6. gyakorlat. Számtani és mértani sorozatok. Számtani sorozatok. További feladatok: Bevezető matematika példatár: 1.7 fejezet

Átírás

1 6. gyakorlat További feladatok: Bevezető matematika példatár: 1.7 fejezet Számtani és mértani sorozatok Számtani sorozatok Definíció: Az a n sorozat számtani sorozat, ha minden n pozitív egészre a n1 a n d vagy a n1 a n d. d: differencia Állítás: Az a n számtani sorozat n-edik tagja: a n a 1 n1d Bizonyítás: Teljes indukcióval. 1) lépés: a a 1 d a 3 a da 1 dda 1 d a 4 a 3 da 1 dda 1 3d Tehát n1,, 3, 4 esetén igaz az állítás. ) lépés: Tegyük fel, hogy a n1 a 1 nd. Ekkor a definíció alapján a n a n1 da 1 ndda 1 n1d Ez éppen a bizonyítandó egyenlőség, tehát az állítás minder n-re igaz. Tulajdonságok: Ha d0 d0, akkor az a n sorozat d0 monoton növő, alulról korlátos monoton csökkenő, felülről korlátos. állandósorozat, korlátos Számtani közép tulajdonság Ha a n számtani sorozat, akkor a n1 a n d a n1 a n d a n1a n1 a n da n da n Így minden n egész esetén: a n a n1 a n1 Hasonlóan, minden nk esetén a n a nk a nk Az első n tag összege: S n Az első n tag összegét kétféleképpen felírva, majd az egyenleteket összeadva:

2 bevmat-06.nb S n a 1 a a 3...a n a n1 a n S n a n a n1 a n...a 3 a a S n a 1 a n a a n1 a 3 a n...a n a 3 a n1 a a n a 1 Az összeg minden tagja a 1 a n -nel egyenlő, ugyanis a a n1 a 1 da n da 1 a n a 3 a n a 1 da n da 1 a n stb. Így S n a 1 a n n S n a 1 a n n Felhasználva, hogy a n a 1 n1d S n a 1 n1d n Mértani sorozatok Definíció: Az a n sorozat mértani sorozat, ha minden n pozitív egészre a n1 q vagy a n1 a n q a n a n 0. q: kvóciens vagy hányados Állítás: Az a n mértani sorozat n-edik tagja: a n a 1 q n1. Bizonyítás: Teljes indukcióval (házi feladat). Tulajdonságok: Ha q0 q0, akkor a sorozat tagjai azonoselőjelűek váltakozóelőjelűek. Ha 0, akkor az a n sorozat monoton növő monoton csökkenő. állandó sorozat Mértani közép tulajdonság Ha a n mértani sorozat, akkor a n1 a n q a n1 a n q a n1 a n1 a n q a nqa n a n a n1 a n1 Ha a n1,a n,a n1 0, n, akkor a n a n1 a n1. Az első n tag összege: S n

3 bevmat-06.nb 3 Ha, akkor S n a 1 a 1 a 1...a 1 a 1 na 1. Ha, akkor Az első n tag összegét q-val szorozva, majd a második egyenletből az elsőt kivonva: S n a 1 a 1 qa 1 q...a 1 q n a 1 q n1 S n qa 1 qa 1 q a 1 q 3...a 1 q n1 a 1 q n S n qs n a 1 q a 1 S n a 1 q n 1 S n a 1 qn 1 (ahol ). Feladatok 1. Egy számtani sorozat első tagja 10, a nyolcadik tagja a sorozat differenciájával egyenlő. Mennyi a sorozat második tagja?. Egy könyvszekrény alsó polcán 18 könyv van, és fölötte minden polcon hárommal több, mint az alatta lévőn. Összesen hány polc van a könyvszekrényben, ha tudjuk, hogy a legfelső polcon 50-nél több, de 54-nél kevesebb könyv van? 3. Határozza meg az első 100 hárommal osztható pozitív egész szám összegét! 4. Egy számtani sorozat első három tagjának összege 1, a harmadik, negyedik, és ötödik tag összege 30. Mennyi az első 10 tag összege? 5. Egy moziterem nézőterének utolsó, huszadik sorában 34 férohely van. Az első sortól kezdve minden következő sorban eggyel több szék van, mint az előtte lévőn. Hányan lehetnek a moziban szombat este egy teltházas előadás alatt? 6. Egy derékszögű háromszög oldalhosszai számtani sorozatot alkotnak. A köréírt kör sugara 5cm. Mennyi a háromszög kerülete? 7. Egy háromszög oldalai egy számtani sorozat egymást követő tagjai. A háromszög kerülete 36 cm, legrövidebb és leghosszabb oldalának szorzata 108 cm. Hány centiméter hosszú a háromszög leghosszabb oldala? 8. Három szám mértani sorozatot alkot. Szorzatuk 8, összegük 3. Határozzuk meg a sorozat első három tagját. 9. Egy mértani sorozat első három tagjának összege 7, az első és a harmadik tag szorzata 9. Határozzuk meg a sorozat első három tagját.

4 4 bevmat-06.nb 10. Egy mértani sorozat első 5 tagjának szorzata 1, az első három tag összege 3. Határozzuk meg a sorozat első tagját és hányadosát. Eredmények cm cm 8. 1,, 4 vagy 4,, , 3, 9 vagy 9, 3, a 1 1, vagy a 1 4,q 1 Házi feladatok 1. Számítsuk ki a) a kétjegyű páros számok összegét; b) a háromjegyű páratlan számok összegét.. Egy számtani sorozat első három tagjának az összege 30-cal kevesebb, mint a következő három tag összege. Az első hat tag összege 60. Határozzuk meg a sorozat első tagját és differenciáját. 3. Legyen az a n számtani sorozat, melyben a 5 17 és a Határozzuk meg a sorozat első tagját, differenciáját, és a sorozat első nyolc tagjának összegét. 4. Egy derékszögű háromszög oldalai egy számtani sorozat egymást követő tagjai. A háromszög területe 150 cm. Mekkorák az oldalak? 5. Egy könyvszekrény polcain, alulról fölfelé számtani sorozat szerint növekvo darabszámú könyv van. A második polcon 18, a negyedik polcon 4 könyvet találunk. Hány könyv van a szekrényben összesen, ha 1 polcból áll? 6. Az a n számtani sorozat ötödik eleme 3, különbsége 4. Melyik az a legkisebb n természetes szám, amelyre az a n 00 egyenlőtlenség teljesül? 7. Legyen a n számtani sorozat, melyben a 1 a a 3 1 és a 1 a a Határozzuk meg a sorozat első három tagját. 8. Legyen a n mértani sorozat, melyben a 1 a a 3 39 és a 1 a a Határozzuk meg a sorozat első három tagját. 9. Számítsuk ki a következő összeg értékét: Egy nem csupa pozitív tagból álló mértani sorozat harmadik tagja 4, ötödik tagja pedig 16. Mennyi lesz a sorozat első 10 elemének összege? 11. Legyen a n mértani sorozat, melyben a 4 a a a 3 a 4 6. Mennyi a sorozat első tagja és hányadosa?

5 bevmat-06.nb 5 1. Egy mértani sorozat első három tagjának összege 3, szorzata 1. Számítsuk ki a sorozat első tagját és hányadosát. Eredmények 1. a) 430 b) a 1 5 3, d a 1 31, d 7, S cm, 0cm, 5cm , 4, vagy, 4, , 9, 7 vagy 7, 9, a 1 1,q 1. a 1 1,q vagy a 1,q 1