TDK-dolgozat

Átírás

1 TDK-dolgozat

2

3 Zongora- s heged hang szint zis nek lehet s gei TDK dolgozat K sz tett k: Bank Bal zs Lajos Nagy Attila Bal zs V. ves villamosm rn k hallgat k. Konzulensek: dr. Augusztinovicz F l p docens, HIT dr. Sujbert L szl adjunktus, MIT 1999

4

5 Tartalomjegyz k 1. Bevezet s 9 2. Alapvet hangszint zistechnik k Addit v szint zis A szint zis alapelve A szint zis min s ge, haszn lhat s ga A m dszer tov bbfejleszt sei Szubtrakt v szint zis A szint zis alapelve A szint zis min s ge, haszn lhat s ga FM szint zis A szint zis alapelve A szint zis min s ge, haszn lhat s ga Mintav telez ses szint zis A szint zis alapelve A szint zis min s ge, haszn lhat s ga Fizikai modellez s A szint zis alapelve A szint zis min s ge, haszn lhat s ga sszefoglal s Fizikai modell alap szint zis T rt neti ttekint s A hangszermodell Az ide lis h r waveguide modellje, rezon toros strukt ra Nemide lis h r, nemide lis lez r s A waveguide j interpret ci ja A zongora A mechanika s a kalap csok A mechanika A kalap cs A kalap cs viselked s nek vizsg lata A zongora h rjai T bb h r rezg se, k tir ny transzverz lis polariz ci

6 Inharmonicit s Az inharmonicit s m r se Nemline ris hat sok, longitudin lis hull mok A zongorahang spektruma A h d s a rezon torlemez A rezon torlemez m r se Ped lok A zenget ped l hat s nak vizsg lata Mit l zongora a zongora A zongorahang szint zise A kalap csmodell A h rmodell A jel param tereinek meghat roz sa Sz r tervez s A vesztes gi sz r tervez se A diszperzi s sz r A t rtr szk sleltet A sug rz modellez se Az alapmodell kieg sz t sei T bb h r gyelembev tele A hi nyz polariz ci k A h r nemlinearit sa Hangtomp t Ped lok V letlen hat sok Az ide lis zongoramodell sszefoglal s A heged A heged von s a von s A j heged von val szembeni k vetelm nyek A von s mint gerjeszt s A h r rezg se, hangkelt s A h r s rezg se Vont h r rezg se Hangkelt s A l b s a test A l b A sordino hat sa A test Mit l heged a heged

7 7. A heged hang szint zise Jelmodell alap szint zis A modell egyszer s t se s ennek hat sai Szint zisk s rletek A zikai modellen alapul szint zis A von smodell A h rmodell A sug rz modellez se tviteli f ggv ny m r se mechanikus gerjeszt ssel tviteli f ggv ny m r se inverz m dszerrel Egy b m r si lehet s gek sszefoglal s 91 Irodalomjegyz k 95 F ggel k 99 F.1. A zongora m r se F.2. A heged m r se

8 8

9 1. fejezet Bevezet s A megismer s v gya egyid s az emberis ggel. B r ez a megismer s kezdetben a term szet jelens geinek tanulm nyoz s t jelentette, ahogy az ember alkotta t rgyak sz ma gyarapodott, a megismer s egy j form ja j tt l tre. A mai tudom nyos letet tekintetbe v ve term szetesnek t nik, hogy a l trehozott eszk z k, berendez sek tesnek a tervez s f zis n, m ez nem volt mindig gy. Hatalmas katedr lisokat emeltek csup n az el d k tapasztalataira t maszkodva, ut nozhatatlan hang hangszereket k sz tettek az s k tan csai s az el z prob lkoz sok eredm nyei alap n. Mi ez ut bbi k rd s misztikum nak eredt nk a nyom ba. Az emberek t bbs ge tal n megel gszik azzal, hogy a heged s a zongora sz l, m k dik, de a m rn ki szeml letm d szinte automatikuss teszi a hogyan? s a mi rt? k rd s nek felvet s t. Mi az, ami ezeknek a hangszereknek a hangj t oly egy rtelm en megk l nb ztethet v teszi m s hangszerek t l? Mely t nyez k sz ks gesek a hangszer felismer s hez, s melyek azok, amelyek ink bb csak a hangszer min s g nek meg t l se szempontj b l fontosak? Milyen zikai alapelvek h z dnak meg a hangjelens gek m g tt? Mekkora befoly ssal b r az az el ad a kialakult hangsz nre? L teznek-e olyan alapelvek, melyek szerint a hangszerek csoportjai (jelen esetben a t gabb rtelemben vett h ros hangszerek) hasonl m don t rgyalhat k? Dolgozatunk ezekre a k rd sekre keresi a v laszt, de ha lehet, m g egyel tov bb l p: az anal zis m lt p rj val, a szint zissel is megpr b lkozik. Ha siker lt megismerni a vizsg lt hangszerek m k d s nek alapjait, az eredm nyek alapj n fel p tett modell rtelemszer en a hangjelens g bizonyos m rt k reprodukci j ra is alkalmazhat, ehhez azonban a modell param tereinek gondos be ll t s ra van sz ks g. Megfeleltet st kell teh t tal lni a val vil g (a hangszer hangja) s a modell param terei k z tt. Ilyenform n az ltalunk javasolt anal zis-szint zis strukt ra egy modellilleszt si feladatnak is tekinthet, a speci lis k r lm nyek gyelembev tel vel. Dolgozatunk els fele a hagyom nyos, zenei hangokra alkalmazott anal zis s szint zis m dszereinek ttekint s vel foglalkozik, melyek ltal nos jellemz je, hogy a kialakult hangz s megismer s re s ut nz s ra koncentr l, nem veszi gyelembe a hangot el ll t strukt ra (a hangszer) saj toss gait. Ezek a m dszerek, ppen el z tulajdons guk alapj n, a nemparametrikus szint zis kateg ri j ba tartoznak. R vid t rgyal suk azonban kor ntsem haszontalan, mint l tni fogjuk, t bb m dszer visszat r a param teres szint zis elemek nt. 9

10 A dolgozat gerinc t a zikai modell alap hangszint zis egy lehets ges megval s t s nak t rgyal sa alkotja. Elv b l ad d an ez a m dszer nem a jel, hanem a strukt ra modellez s re t rekszik. H tr nya, hogy gy kev sb ltal nos (ugyanaz a modell nem alkalmazhat k t k l nb z hangszerre) s ltal ban nagyobb sz m t sig nye a hagyom nyos m dszerekn l. El nye viszont a nagyobb a r l t s a szint zis folyamat ra, m g pl. az addit v szint zis sor n a v ltoztathat param terek az egyes harm nikusok frekvenci i s amplitud i, itt legt bbsz r zikailag interpret lhat param terek jelennek meg: ilyen lehet a rezg h r hossza, a von h z s nak sebess ge vagy a zongora kalap cs nak t mege. Ezt tov bbgondolva r lelhet nk a zikai modell alap szint zis legnagyobb el ny re: a zen sz beavatkoz s nak gyelembev tele itt j tszi k nnyeds ggel megtehet, semmi m st nem kell tenn nk, mint a zen sz ltal v ltoztatott zikai param tereket (pl. von s sebess ge) a modell nkben is megv ltoztatni. Ism t az addit v szint zis p ld j val lve, ott szinte megoldhatatlan feladatnak t nik megfeleltet st tal lni a von sebess ge s a harmonikusok v ltoz sa k z tt. Az ut bbi k ts gtelen el ny ket ny jt az anal zis sor n (h la a Fourier-transzform ci nak), de a szint zis f zis ban az el ad m v sz beavatkoz s nak gyelembev tele egy ltal n nem trivi lis feladat. A zikai modellez s az anal zis egyszer s g t ldozza fel az leth s g s rugalmass g olt r n, ez azonban nem jelent nagy h tr nyt, hiszen az anal zisre csak egyszer, a modellalkot skor ker l sor. A dolgozat m sodik fele a zongora s a heged m k d s nek le r s val foglalkozik, egyr szt irodalmi forr sokra t maszkodva, m sr szt saj t m r si eredm nzek alapj n. Megpr b lja sszegy jteni a k t hangszer hangz sa szempontj b l fontos hat sokat, param tereket, s megkeresni azokat, melyek a hangz s min s g nek fel- ldoz sa n lk l elhanyagolhat ak. Dolgozatunknak nem c lja az olyan, egy bk nt rendk v l rdekes s mindm ig megv laszolatlan k rd sek t rgyal sa, hogy pl. mi okozza az adott hangszerek (pl. heged k) hangz sa k z tti hatalmas elt r seket. Ink bb azokra a jellegzetes tulajdons gokra pr b l meg koncentr lni, amelyek alapj n mindenki felismeri, hogy a hangszer, ami ppen sz l, az egy zongora. Annak a magyar zata, hogy a tapasztalt zongorista k nnyed n megmondja, hogy amit hall, ppen egy B sendorfer, vagy egy Steinway, t lmutat a dolgozat keretein, mindazon ltal az itt ismertetett m dszerek egy k s bbi, ilyen ir ny kutat s alapjait is k pezhetik. A dolgozat lez r s t a t rgyalt zikai modellez s zongor ra t rt n alkalmaz s nak bemutat sa k pezi, mely kit r a modell fel p t s re, az ltal nos elvekhez k pesti, hangszerspecikus kieg sz t sekre s a modell param tereinek meghat roz s ra. Szint n itt ker lnek t rgyal sra a felmer lt implement ci s k rd sek s az ltal nos jelfeldolgoz si probl m k megold sai. A befejez r sz felcsillantja a heged modellez s nek lehet s g t, bemutatja a fenn ll korl tokat, v g l az sszefoglal s keret ben rt keli az eddigi munka eredm nyeit s kit zi a tov bbi kutat sok ir nyvonal t. 10

11 2. fejezet Alapvet hangszint zistechnik k Az elektronikus hangkelt s t rt nete a 19. sz zad m sodik fel re ny lik vissza. Hermann von Helmholtz 1860 k r l k sz tette az els elektromosan vez relt hangszert, egy hangolhat rezon tort. Igaz, tudom nyos vizsg latok c lj b l, nem pedig zenei m vek el ad s ra. Zenei c lokra Elisha Gray 1876-ban p tette az els elektromos hangkelt eszk zt, a Musical Telegraph-ot, amellyel ac llemezk k rezg s t tudt k telefonvonalon kereszt l tov bb tani. Eleinte az elektromos hangszerek mechanikus alkatr szt is tartalmaztak, igazi tt r st az elektroncs megjelen se jelentett. gy ugyanis lehet v v lt heterodin elven m k d, ll that frekvenci j oszcill tor k sz t se, s t, az elektromos jel er s t s nek probl m ja is megold dott. A tri da atyja, Lee De Forest 1915-ben mutatta be elektroncs ves hangszer t, az Audion Piano-t. Megeml tend m g Harald Bode s Laurens Hammond neve is (b r az ut bbi ltal k sz tett orgon ban elektromechanikus elven m k d oszcill torok voltak). A k vetkez l nyeges v ltoz st a tranzisztor hozta. A kor bbi nagy, vaskos hangszerek m rete cs kkent, megb zhat s guk, min s g k javult. Az elektroncs vek elvesztett k vezet szerep ket a hangszint zisben. Hasonl jelent s g volt az integr lt ramk r k elterjed se a `60-as vekben. A szintetiz torok j gener ci ja fejl d tt ki, a nagy tt r k Robert Moog s Donald Buchla voltak. A digit lis technika, mint szinte minden m s ter leten, az elektronikus hangszerekn l is j t vlatokat nyitott. J min s g, sszetett szint zism dszereket megval s t term kek v ltak mindenki sz m ra el rhet v. Az ramk r k egyre nagyobb sebess ge, a mem ri k kapacit s nak n veked se azonban tov bbi fejl d st enged, lehet s get adva magas hangh s g szint zism dszerek kidolgoz s ra, megval s t s ra. A kezdeti, igen elm s elektro-mechanikus szerkezeteket a technika fejl d s vel felv lt bonyolult, tiszt n elektronikus hangszerek t bbf le szint zism dszert alkalmaztak. Az vek sor n j m dszereket tal ltak fel, de megmaradtak a r giek is, hiszen mindegyik m s-m s el nnyel s h tr nnyal rendelkezik. K z l k aszerint v laszthatunk, milyen hangot szeretn nk el ll tani. ltal nos megold st m g nem dolgoztak ki. Ebben a fejezetben az alapvet, elterjedtebb m dszereket ismertetj k. 11

12 2.1. Addit v szint zis A hangszerek hangja, a besz d s ltal ban a k rnyezet nkben el fordul sszes hang sszetett, nem tiszt n szinuszos, az elektronikus oszcill torok jele azonban igen. Lehet s g nk van viszont t bb oszcill tor jel t sszeadni, s gy l trehozni egy hangot A szint zis alapelve Tudjuk, hogy minden periodikus jel Fourier-sorba fejthet, azaz fel rhat f 0 alapfrekvenci j s ennek eg sz sz m t bbsz r seinek megfelel frekvenci j, k l nb z amplit d j szinuszjelek sszegek nt. Ezen az elven m k dik az addit v ( sszead ) vagy m s n ven Fourier-szint zis. A szintetiz lni k v nt hangnak el sz r meghat rozzuk a spektr lis komponenseit, vagyis a harmonikusok amplit d it s ezeket elt roljuk. Szint ziskor el ll tunk egy szinuszjelet a k v nt alapfrekvenci val, a felharmonikus komponenseket az adott amplit d kkal, majd az gy kapott jeleket sszeadjuk. Ahhoz, hogy a hang ne legyen t l g pies, burkol g rb t illeszthet nk r. A burkol g rbe az ampit d v ltoz s t adja meg az id f ggv ny ben. ltal ban n gy line ris szakaszb l ll (attack felfut s, decay visszaes s, sustain kitart s s release elenged s), amelyek param terei (id tartam vagy szint) ll that ak. Tov bbi nom t sk nt alkalmazhatunk amplit d - s frekvenciamodul ci t is, amivel tremolo ill. vibrato hat s rhet el. A szint zis legegyszer bb eset t a 2.1. bra szeml lteti, ahol az egyes oszcill torok a lenyomott billenty h z rendelt f 0 frekvencia eg sz sz m t bbsz r seit ll tj k el, az gy kapott jelek sszeg re illesztj k a burkol g rb t, nem k l n-k l n az egyes komponensekre, valamint nincsen tov bbi modul ci sem. Oszcillátor Oszcillátor 1 2 f 0 2f 0 Burkológörbe (ADSR) generátor Oszcillátor n n f bra. Az addit v szint zis legegyszer bb m dja A szint zis min s ge, haszn lhat s ga A szint zis l that an nagyon egyszer, anal g ramk r kkel is k nnyen, sokf le hang el ll that. El szeretettel haszn lj k orgonahang ill. speci lis, egyedi hangok l trehoz s ra. Ezen az elven m k dtek a '60-as vek szintetiz torai. Egyszer s j 12

13 eredm nyt ad hangalak anal zise is, a szint zis-strukt ra k nnyen fel p thet s robosztus (nincs vele gond, mint pl. a 3.3. fejezetben ismertet sre ker l waveguide eset ben). A m dszer egyszer s g b l erednek h tr nyai is. A hangszerek hangja sok felharmonikust tartalmaz, a val s gban ezek mindegyik hez k l n burkol g rbe tartozik, saj t felfut ssal s lecseng ssel, ezek egy ttes vez rl se probl m t jelenthet. M sik h tr nya, hogy a hangok analitikus feldolgoz sa sor n neh z megfeleltet st tal lni a jelalak v ltoz sa s a val di hangszer vez rl si param terei k z tt, gy a tranziens folyamatok modellez se jelent s m rt kben korl toz dik. Legink bb teh t olyan hangokn l alkalmazhat, amelyek j l jellemezhet k lland sult llapotukkal A m dszer tov bbfejleszt sei Az addit v szint zis m sik tov bbfejleszt se a csoportszint zis, amely l trej tt hez a digit lis technika elengedhetetlen volt. Elve a k vetkez : Digit lis ton tetsz leges jelalak egyszer en l trehozhat s t rolhat. A szintetiz lni k v nt hang komponenseit csoportokra bontva, a csoportokba tartoz komponenseket sszeadva, majd ezek eredm ny t, mint j hull mform t t rolva, a szint zis sor n el g csak a csoportokat amplit d helyesen sszegezni, gy a m veleti ig nyt lecs kkenthetj k. Ha a csoportot alkot komponensek sz m t tov bb n velj k, a m dszer tvezet a mintav telez ses szint zishez (2.4). Az addit v szint zis nom t s nak, fejleszt s nek l tezik egy m sik m dja is, ha a modellezend hangszer hangja feloszthat berezg si, lland sult s lecseng si szakaszokra. Ilyenkor keress k meg a hang spektrum ban jelent s amplit d j komponenseket az lland sult szakasz alapj n, ezut n k vess k ezek amplit d v ltoz s t a hang megsz lal s t l eg szen elhalkul s nak v g ig. A teljes folyamatot bontsuk h rom r szre: berezg s, tart s, lecseng s. A k z ps, tart s szakaszban a komponensek amplit d ja lland nak vehet, itt a hang ezen amplit d kkal jellemezhet. A berezg si s lecseng si szakaszban pedig hat rozzuk meg minden egyes komponens burkol j t, majd az gy kapott g rb ket k zel ts k IIR (Innite Impulse Response, azaz v gtelen impulzusv lasz ) sz r kkel. A hallhat hangban azonban mindig jelen van valamilyen, a hangkelt sb l ered zaj, amit f l nk megszokott, ig nyel. A zajspektrum alapj n modellezz k ez rt a zajt is. Ha minden, a hangszeren megsz laltathat hangra elv gezz k a fenti anal zist, egy nagym ret adatb zishoz jutunk, amelynek seg ts s vel a hangszer hangj t j min s ggel szintetiz lhatjuk. A szint zis menete az anal zisb l k vetkezik: A le t tt (kiv lasztott) hanghoz tartoz adatok szerint el sz r a berezg si, majd a kitartott szakaszt, illetve a felenged s (a hang v ge) ut n a lecseng s szakaszt ll tjuk el, hasonl an a hanghoz tartoz zajjal. A kett t sszeadva kapjuk a szintetiz lt hangot. A m dszer probl m ja a nagym ret adatb zis l trehoz sa, kezel se, valamint a sz m t si ig ny, amit legink bb a felhangok sz m nak korl toz s val cs kkenthet nk. 13

14 Egy ezen az elven m k d orgonaszintetiz tor az eredeti hangt l f llel nehezen megk l nb ztethet eredm nyt ad [M rkus99] Szubtrakt v szint zis A szubtrakt v (kivon ) szint zis az addit v ellenkez je, amelynek sor n bonyolultabb jelalakokb l kiindulva, sz r s tj n ll tunk el hangot. Ezzel a m dszerrel teljesen j hangokat alkothatunk, s t, n h ny hangszer eset ben az addit vhez k pest jobb eredm nyt is kaphatunk A szint zis alapelve ll tsunk el az oszcill torral felhangd sabb, pl. h romsz g-, f r szfog- vagy n gysz gjelet, gy el g ez az egy, a hang alapfrekvenci j n m k d oszcill tor ahhoz, hogy az sszes harmonikus felhangot megkapjuk. A k l nb z hangsz neket ebb l a nemk v natos felhangok elt vol t s val ill. alak t s val, sz r k seg ts g vel nyerhetj k. Sz r k nt alkalmazhatunk alul- s fel l tereszt t, rdekesebb hat st rhet nk el azonban s v tereszt s s vz r sz r kkel, valamint ezek tetsz leges kombin ci j val A szint zis min s ge, haszn lhat s ga Ez a m dszer is k nnyen megval s that anal g ramk r kkel. Sz vesen haszn lj k elektromos orgon kn l, mert a d s felhangtartalm s pokn l az lland sult llapotot j l k zel tik. A kevesebb harmonikussal rendelkez regiszterek hangj nak el ll t sa m r probl m sabb [M rkus99]. Mivel az emberi sz j s sz j reg sz r k nt viselkedik, a szubtrakt v m dszert beszd dhang szint zis re is haszn lj k. A modul ris fel p t s anal g szintetiz torok az addit v s szubtrakt v m dszereket egy ttesen alkalmazt k. Az p t elemek sorrendj nek vari lhat s ga lehet v tette szinte b rmilyen strukt ra megval s t s t. Ilyen elemek p ld ul a hangfrekvenci s, fesz lts gvez relt oszcill torok (Voltage Controlled Oscillator), kisfrekvenci s, modul ci ra haszn lt oszcill torok (Low Frequency Oscillator), fesz lts gvez relt sz r k s er s t k (Voltage Controlled Filter, Amplier), a jelek kombin l s t szolg l kever k, stb. A VCO-k szinusz-, h romsz g-, f r szfog- s n gysz gjeleket (szimmetrikus s aszimmetrikus), valamint sz less v zajjelet szolg ltatnak. Lehets ges az oszcill torok egym shoz k pesti elhangol sa, gy el ll that nem harmonikus felhangokb l ll hang is, kisebb elhangol s eset n pedig k rus hat s rhet el. Ezen szintetiz torok kezel s t er sen nehez tette fel p t s kb l k vetkez en a k belek mennyis ge, ami komolyabb szintetiz tor eset n ttekinthetetlen k belerd t eredm nyezett. R szben ez rt is tudtak a digit lis hangszerek megjelen s k ut n hamar elterjedni. 14

15 Vannak olyan modern szintetiz torok, amelyek a modul ris fel p t st is t mogatj k, de a digit lis m k d snek k sz nhet en kongur l suk egyszer s ttekinthet FM szint zis A digit lis technika a `70-es vek k zep re m r komoly vet lyt rsk nt l phetett fel az anal g szint zisekkel szemben. Mivel azonban, ebben az id ben a digit lis rendszerek m g nem voltak k pesek nagyobb foksz m sz r k val s idej futtat s ra, a klasszikus addit v s szubtrakt v szint zisek hely t egy b, egyszer bben megval s that m dszerek vett k t. Egyik ilyen m dszer az FM szint zis A szint zis alapelve Digit lis oszcill torokkal t bbf le hull mforma is k nnyen el ll that. Ezekb l tov bbi, teljesen j hangokat hozhatunk l tre, ha modul ljuk a jel amplit d j t, frekvenci j t vagy f zis t. Egy periodikus jel a k vetkez ltal nos alakban rhat fel: x(t) = A(t) cos [2f c + a (t)] (2.1) A haszn lt modul ci t pusa amplit d modul ci (AM), ha A(t) = f 1 [u(t)]; f zismodul ci (PM), ha a (t) = f 2 [u(t)]; s frekvenciamodul ci (FM), ha ` a (t) = f 3[u(t)]; ahol u(t) jel li a modul l jelet. Az amplit d modul ci t legink bb m s szint zissel el ll tott hangok kieg sz t modul ci j ra alkalmazz k (pl. tremolo). A f zismodul ci nagyon hasonl t a frekvenciamodul ci ra, ami n ll szint zism dszernek is megfelel. A hasonl s g a frekvenciamodul ci k plet b l is kit nik: y(t) = A(t) sin [2f c t + I sin(2f m t)] (2.2) Ez a Beseel-f ggv nyek seg ts g vel a k vetkz alakban is fel rhat : y(t) = 1X k= 1 J k(i) sin(2(f c + kf m )t) (2.3) ahol J k a k-adrend Bessel-f ggv ny, I a modul ci s index. Komponensek csak f c kf m frekvenci kon lesznek, ahol f c a viv, f m pedig a modul l frekvencia [F rjes96]. Term szetesen t bb modul torb l fel p thet bonyolultabb strukt ra is, pl. egy l nc, a modul ci k ism telt alkalmaz s val. Alkalmazhat visszacsatol s is, ennek sor n az oszcill tor saj t mag t, vagy a l ncban el tte ll oszcill tort modul lja. 15

16 A szint zis min s ge, haszn lhat s ga Az algoritmus egyszer s ge ellen re is felharmonikusokban gazdag jelet produk l. Inharmonikus jelek el ll t s ra, p ld ul harang modellez s re is alkalmas. A szint zissel alapvet en szintetikus s inharmonikus, lecseng hangok, rdekes hangz sok hozhat k l tre, de akusztikus hangszerek modellez s re kev sb alkalmas, mert az anal zis nincs j l kidolgozva, ez rt a param terek s a strukt ra csak k s rletez s tj n hat rozhat k meg [F rjes96] Mintav telez ses szint zis A mem ri k kapacit s nak s az ramk r k sebess g nek gyors n veked se lehet v tette hangmint k j min s g, digit lis t rol s t. Ez biztos totta az alapot a PCM (Pulse Code Modulation) szint zis kialakul s hoz A szint zis alapelve Egy akusztikus hangszer val ban leth hangj t gy kaphatjuk meg, ha az eredeti hangot felvessz k s elt roljuk, majd ha arra sz ks g van, visszaj tsszuk. Erre a c lra a digit lis t rol s teljesen megfelel nek bizonyult. A l trej tt hangb l ezek ut n m r csak elvenni tudunk, ez rt a m dszer egyfajta szubtrakt v szint zisk nt is felfoghat ban j val a digit lis korszak el tt m r bemutattak egy ilyen elven m k d hangszert, a Mellotron-t. Ebben minden billenty h z tartozott egy-egy magn szalag, amire az eredeti hangot legink bb von sok hangj t r gz tett k. Amikor a billenty t lenyomt k, a magn lej tszotta a megfelel felv telt, majd a billenty felenged s vel a magn fej visszat rt a szalag elej re. Ezzel a m k d si elvvel megmaradtak a kitartott hang jellegzetess gei, korl tot csak a szalagon t rolt hangminta hossza jelentett, ami ltal ban 8 m sodperc volt. Noha m g gy sem siker lt leth en visszaadni a hangszerek hangj t, a Mellotron nagyon kedvelt volt a rockzen szek k r ben. Az alapelvet k vetve sz ks ges lenne k l nb z hangmagass g- s hanger - rt kek mindegyik hez egy-egy regisztr tumot t rolni. Ennek megval s t sa m g a mai mem ri k mellett is neh zkes s dr ga. Ez rt a hangregisztr tumok t rol s n l t m r t seket alkalmaznak. Az egyik ilyen t m r t s azon alapszik, hogy lland sult llapottal rendelkez hangok k zel periodikus jelet gener lnak. Elegend teh t csak a berezg si tranziens s a stacioner szakasz n h ny peri dus nak elt rol sa. Ut bbit a berezg si szakasz lej tsz sa ut n ism telgetik (Sustain Loop), gy ll el a kitartott hang. Az ism tl sek k z tti sima tmenetet biztos tani kell, hogy a keletkezett hang ne kattogjon. Az ilyen elven m k d szint zis a hull mt bla (Wavetable) szint zis. A m sik haszn lt t m r t s azt felt telezi, hogy a hangszer hangja nem nagyon v ltozik az alapfrekvencia f ggv ny ben, gy nem sz ks ges az sszes hanghoz k l n 16

17 mint t t rolni. A hi nyz mint kat a megl v k r videbb ill. gyorsabb visszaj tsz s val kaphatjuk meg. Azt a modellez si elj r st, amely mindk t fent eml tett t m r t s el nyeit felhaszn lja, PCM-nek nevezik [M rkus99] A szint zis min s ge, haszn lhat s ga A m sodik t m r t s felt telez se csak durva k zel t s, gy egyszer bb szintetiz torokn l, ahol okt vonk nt csak egy hang mint it t rolj k el (vagy m g ennyit sem), a hangmin s g gyenge, a hangok uniformiz ltak. A berezg si tranziensek er sen f ggenek a megsz laltat s m dj t l, egy mintasorozattal nem adhat k meg. Ig nyesebb megold sokn l ez rt minden hanghoz t bb mint t r gz tenek a megsz laltat s param terei (le t s er ss ge, ill. sebess ge) szerint. A mai PCM szintetiz torokban sz r k is tal lhat k, ezek param tereinek (v g si/s vk z pi frekvencia, j s gi t nyez ) ll t s val az eredeti hang j t k k zbeni v ltoz sa a param terek megfelel megv laszt s val modellezhet.a sz r kre s a mag ra a jelre burkol g rb k is illeszthet k, valamint egy LFO-val a hangmagass g, hanger vagy ak r a sz r param terek is modul lhat ak. Ett l adhat a PCM igen j eredm nyt. Az egyes bukol g rb k a dinamik t l f ggenek, pl. nagyobb le t s eset n a sz r v g si frekvenci ja magasabb, ez rt a zongora hangja lesebb lesz. A sz r k, burkol k param terei analitikus ton meghat rozhat k, az eredm nyek a hull mt bl ban elt rolhat k, szint ziskor a megfelel adatok alapj n a hang k nnyen el ll that. Nagysz m minta t rol sa s modul ci k alkalmaz s val j min s g hangszint zis hozhat l tre. Zongorahang visszaad s nak kedvelt m dja, napjaink legszebb hang elektromos zongor i ezen az elven m k dnek. Von szenekari hangz s eset n a PCM szint zis nagyon j eredm nyt ad, mert a sok hangszer hangja tlagol dik, a hangsz nv ltoz sok szerepe s hat sa lecs kken, n h ny param terrel k zbentarthat v v lik. Sz l heged ( s egy b sz l von s hangszer) eset ben a param terek sz ma el g nagy, ezek kezel se, val s idej ll t sa okoz gondot, noha a szint zis, alapelv b l k vetkez en, lehet v tenn az leth hangszint zist. Az ebb l ered lettelens ge miatt vet dhet fel m s, jobb min s g hangszint zis megalkot s ra. Egyik legnagyobb el nye minden m s szint zissel szemben pedig az, hogy megfelel hardver-t mogat ssal sz mit sig nye s ennek megfelel en k lts ge is igen kicsire reduk lhat Fizikai modellez s Az eddig eml tett szint zisekben k z s, hogy mind a hangszerek hangj t modellezik, az eredeti hangot vizsg lj k az elektronikus jelgener l sban alkalmazott m dszerek vari ci ival pr b lj k vals s gh en visszaadni. 17

18 A szint zis alapelve A zikai modellez s a fenti szint zisekkel szemben nem a hangot mag t, hanem a hang keletkez s t pr b lja modellezni. Ehhez felt telezni kell, hogy a hangszer zikai jellemz i s hangja k z tt egy rtelm lek pez s ll fenn, valamint a hang s a zikai modell param terei k z tt is tal lhat hasonl transzform ci [F rjes96]. A modell seg ts g vel keletkez hangok nem f ggetlenek egym st l, hanem mint az eredeti hangszern l egym s keletkez s nek k r lm nyeit befoly solj k. A hangszer zikai m k d s n alapul szint zissel gy lehet s g nk ny lhat val s gh hang l trehoz s ra, az sszes, a hangform l shoz sz ks ges param ter biztos t sa mellett. A zikai szint zishez a hangszer modellj t kell megalkotnunk gy, hogy az val s id ben is m k dtethet legyen. Ez a felt tel nagyon er s, hogy teljes lj n, a modell egyszer s t s vel kell ln nk. A hangkelt s folyamata ltal ban r szekre oszthat. A r szek k l n-k l n modellezhet k, ami jelent s k nny t st is adhat. Sz ks ges m g az egyes r szek k z tti kapcsolat modellez se, ez rendszerint igen sszetett, visszacsatol sokat is tartalmaz. Egy c lszer feloszt s lehet p ld ul a k vetkez : Gerjeszt tag itt t rt nik a gerjeszt s, vez rl s, Rezg sform l tag, vagy rezon tor a hangszer fel p t s nek gyelembev tele, Kicsatol tag a rendszer kimenete. A szint zisprogram a m k dtet hardver k pess geinek gyelembev tele mellett a matematikai sszef gg sek alapj n meg rhat A szint zis min s ge, haszn lhat s ga A val s gh hangvisszaad snak csak a modell min s ge szab hat rt, gy ezzel a szint zissel elm letileg ig nyeinknek megfelel hang el ll t sa is lehets ges. A j t k sor n a zikai modell k veti a gerjeszt s param tereinek v ltoz s t, a tranziensek, apr noms gok nem vesznek el. Sajnos, komoly probl m t jelent a modell param tereinek meghat roz sa. Egyel re m g nem l tezik olyan ltal nos elj r s, amivel b rmely hangszerre ezek egy rtelm en meghat rozhat k lenn nek. Tov bbi probl ma a szint zis sz m t sig nye, ami egyszer modell eset ben is igen nagy. Az algoritmusok val s id beni megval s that s ga a mai jelfeldolgoz processzorokkal is k rd ses. A zikai modellen alapul szint zist a k vetkez fejezetben r szletesen ismertetj k sszefoglal s Az ltalunk v lasztott k t hangszer, a zongora s a heged hangja sszetett, t bb param tert l f gg. Nem jellemezhet teh t egy-egy hangj nak stacioner szakasz b l 18

19 nyert inform ci kkal, a tranziensek mell z s vel. Ez rt nem alkalmazhat sem az addit v, sem a szubtrakt v m dszer egyszer v ltozata. Kiz rhat tov bb az FM szint zis is. Mint eml tett k, napjaink PCM szintetiz torai mind a heged, mind a zongora eset ben m r elfogadhat hangmin s get produk lnak, korl tot csak a vez relhet s g jelent. A zikai modellen alapul szint zis feltehet en kiel g t eredm nyt adhat, a m dszert alkalmaz szintetiz torok azonban m g nem t l elterjedtek, az ltaluk haszn lt modellek kezdetlegesek. 19

20 20

21 3. fejezet Fizikai modell alap szint zis 3.1. T rt neti ttekint s A zikai modellez s gy kerei m lyre ny lnak vissza: a rezg - s hull mmozg s alapjait m r a 18. sz zadban ismert k, sz zadunk elej n pedig megjelentek az eszk z k a hangszerek viselked s nek vizsg lat ra. Az anal zis eredm nyeinek szint zis c lj b l t rt n felhaszn l sa azonban a sz m t g pek megjelen s ig v ratott mag ra. A `70-es vek elej nek els pr b lkoz sai ut n a `80-as vek v g n, `90-es vek elej n vett jabb lend letet a t ma kutat sa. Ez egyr szt a szem lyi sz m t g pek sebess gn veked s nek k sz nhet, m sr szt pedig annak, hogy ezekben az vekben jelent meg egy sz m t si szempontb l nagyon hat kony m dszer, az ltalunk is haszn lt, s a k s bbiekben ismertet sre ker l waveguide modellez s [Smith92]. A zikai modellez s egy lehets ges tja a rezg objektumot le r dierenci legyenletek numerikus megold sa, Hiller s Ruiz [Hiller71] a rezg h r mozg s t szimul lta v ges dierenci lok m dszer vel. Ennek a megk zel t snek az el nye, hogy az el d k munk j nak k sz nhet en rendszerint m r rendelkez sre ll egyenletek k zvetlen l algoritmuss alak that k, h tr nya viszont a rendk v l nagy sz m t sig ny. Ez okb l kifoly lag a m dszer a mai napig sem alkalmas val s idej szint zis megval s t s ra, de bizonyos zikai jelens gek vizsg lat n l rugalmass ga miatt j szolg latot tehet. A `70-es vek v g n Cadoz, Luciani s Florens egy m sik megk zel t st alkalmaztak. CORDIS-nak keresztelt rendszer k a hangszert mint egym shoz rug kkal s csillap t kkal kapcsol d t megpontokat modellezte [De Poli 92]. Ez a m dszer legink bb a mechanikai rezg sek vizsg lat n l j l bev lt v ges elem m dszerhez (FEM) hasonl that. A p rizsi IRCAM kutat i egy harmadik megold st v lasztottak: a rendszer mozg s t m dusokra bontva a szint zist csillap tott rezg k r k jel nek sszegz s b l nyerik [De Poli 92]. A m dszer el nye az ltal noss ga (ebb l a szempontb l elt r a t bbi zikai modellt l, az irodalom m gis ide sorolja), s az a t ny, hogy a m duselemz s m r el g kiforrott technik nak tekinthet. Egy hangszer anal zise p r nap alatt elv gezhet, egyszer bb esetekben pedig a mod lis param terek ak r a hangszert le r dierenci legyenletekb l is meghat rozhat k. 21

22 Az ltalunk is haszn t waveguide modellez s a folytonos hull megyenlet megold s t diszkretiz lja, teh t nem mag t a hull megyenletet (ahogy a v ges diferenci lok m dszere teszi) s nem is a frekvenciatartom nybeli megold st (ami pedig a mod lis szint zis alapja). A hangszer rendszertechnikai r szekre bont sa ut n ezt a m dszert vizsg ljuk A hangszermodell Vizsg latunkat nagyban megk nny ti, ha hangszer nket funkcion lis elemeire bontjuk (3.1. bra): els ilyen elem a gerjeszt s, ez lehet kalap cs t s, von h z s vagy egy cs be t rt n leveg bef v s. Az gy kialakult jel (valamilyen zikai mennyis g) egy olyan egys gbe ker l, amely meghat rozza a rendszer frekvenci it, m dusait, bizonyos ideig t rolja a rezg si energi t. Ilyen rezon tor lehet a h r vagy a leveg oszlop. Az gy fel p l rezg si energia kicsatol s rt a sug rz a felel s. A f v s hangszerekn l ez ugyan nem v laszthat el egy rtelm en a rezon tort l, de a h ros hangszerekn l a sz tv laszt s megtehet : ilyen a zongora rezon torlemeze (sajnos, az irodalom sz haszn lata megt veszt, mert ez nem rezon tor) vagy a heged teste. A legfontosabb, negyedik komponensr l sem feledkezhet nk meg: ez pedig az emberi beavatkoz s. A m v sz legt bbsz r a gerjeszt st v ltoztatja, de a rezon tor param tereinek (pl. h r hossz nak) v ltoztat sa sem ritka a hangszerek vil g ban. A sug rz m dos t s ra legink bb a f v s hangszerekn l van m d (pl. a franciak rtn l a m v sz jobb kez t a k rt ny l s ba helyezi), b r az a rezon torra is hat ssal van. A hang alapfrekvenci j t teh t a rezon tor hat rozza meg, a gerjeszt s s a sug rz a hang m s id beli s spektr lis jellemz i rt felel s. gerjesztés rezonátor sugárzó hallható hang emberi beavatkozás 3.1. bra. A modell feloszt sa Rendszertechnikai t rgyal s szempontj b l az a legegyszer bb, ha az egyes egys gek k z tti interakci t egyir ny nak tekintj k, a gyakorlatban ez azonban nem mindig tehet meg. A rezon tor s a sug rz k z tti k lcs nhat s j k zel t ssel egyir ny nak s line risnak tekinthet, felt ve, hogy a rezon tor param tereinek be- ll t s n l gyelembe vessz k a sug rz hat s t (pl. a h r ltal l tott impedanci t). Ez a gerjeszt s eset ben nem tehet meg ilyen egyszer en, mivel az minden esetben nemline ris k lcs nhat s k vetkezt ben j n l tre. El fordul, hogy ez viszonylag kev s ldozat r n lineariz lhat, mint ahogy azt Smith a von s hangszerek [Smith93], s a zongora [Smith95], [Van Duyne 95] eset ben megmutatta, de nem tehet meg az ltal noss g fel ldoz sa n lk l (ilyenkor a gerjeszt st a bemeneti zikai v ltoz kb l 22

23 nek nk kell kital lni, a modell ezt nem v gzi el automatikusan), ugyanakkor sz mottev sz m t stechnikai el ny ket ny jthat. ltal nos esetben teh t a gerjeszt s s a rezon tor egy egym ssal k tir nyban sszekapcsolt alrendszernek tekinthet, amely kimeneti jele a sug rz ra jut. A sug rz pedig a legt bb esetben egy line ris sz r vel modellezhet Az ide lis h r waveguide modellje, rezon toros strukt ra Az ide lis h r egyenlet nek fel r s n l egyszer s t felt telek sor ra van sz ks g nk. A h rt v gtelennek kell tekinten nk (mint l tni fogjuk, ez k s bb feloldhat ), anyag t s a benne bred h rir ny fesz ls get homog nnek, a rajta terjed hull mok alakj t pedig kell en lank snak (dy=dx 1). A h r mozg s b l csak egy transzverz lis polariz ci t vesz nk gyelembe. Az gy fel rhat hull megyenlet levezet se az irodalomban megtal lhat [Morse48], [Fletcher98], v geredm nyk nt a j l ismert (hasonl an pl. a t vvezet kekhez s a rudak longitudin lis rezg s hez) egydimenzi s hull megyenletet kapjuk: 2 = 2 y T c = (3.1) 2 c 2 ahol x a vizsg lt pont poz ci ja a h r ment n, y a transzverz lis (h rra mer leges) kit r s, t az id, T a h rra hat fesz t er, az egys gnyi hosszra es t meg s c a hull m terjed si sebess ge. L that, hogy a h r adott pontj nak gyorsul sa a h r ugyanazon pontbeli g rb let vel ar nyos. Ennek a dierenci legyenletnek minden olyan halad hull m megold sa, amely mozg sa sor n megtartja alakj t. Mivel mindk t ir ny megengedett, az ltal nos megold s k t ellent tes ir nyba halad hull m szuperpoz ci ja: y(x; t) = f + (ct x) + f (ct + x) v(x; dy + t) = dt = cdf (ct x) + cdf (ct + x) (3.2) dt dt Ezek az egyenletek egyben megadj k a k t hull m v laszt s nak met dus t is: a k t komponenst (f + s f ) a h r egy adott t id pontbeli kit r se (alakja) s sebess ge mint kezdeti felt tel, egy rtelm en meghat rozza. Az ltal nos megold s id beli s t rbeli mintav telez se minden olyan f f ggv nyek eset n megtehet, amelyek teljes tik a Nyquist-felt telt. Ez esetben a hull malak a t rben s id ben mintavett pontok k z tt interpol lva mindig vissza ll that. Ha a mintav telez st gy v gezz k, hogy az egyes komponensek egy id beli tem alatt pontosan egy csom pontnyit mozduljanak el, az ide lis waveguide modellhez jutunk [Smith92]: y(t n ; x m ) = y + (n m) + y (n + m) (3.3) 23

24 Ez felfoghat k t, egym ssal szemben halad v gtelen hossz k sleltet vonalnak, ahol a h r aktu lis kit r s t k t egym s feletti k sleltet -kimenet sszegek nt kapjuk. Ennek blokkdiagrammja l that a 3.2. br n y ( n ( m 1)) y ( n m) y ( n ( m + 1)) 1 z 1 z 1 z 1 z + y( t n, xm ) 1 z 1 z 1 z 1 z y y ( n + ( m 1)) ( n + m) y ( n + ( m + 1)) 3.2. bra. A waveguide alapkoncepci ja A h r linearit sa miatt megtehet, hogy az egyes k sleltet vonalainkba m s v ltoz kat k pzel nk, ilyen lehet a kit r s sebess ge, gyorsul sa, a h r meredeks ge, g rb lete s gy a h rra hat er is. Ezek egyt l-egyig kiel g tik a hull megyenletet. Figyelm nket rdemes a kit r s sebess ge (v) s a h r adott pontj ra hat transzverz lis er (F ) fel ford tani: ezen halad hull mok k z tt ugyanis az ide lis h ron egyenes ar nyoss g ll fenn. A h r hull mimpedanci ja: Z F + 0 = = F q T (3.4) v + v Z 0 = Ez a t vvezet khez hasonl an a h r b rmely poz ci j ra s b rmely id pillanatban igaz. A hull mimpedancia ismeret ben k nnyed n meg tudjuk mondani, mi t rt nik, ha a h rt egy Z impedanci val z rjuk le. A t vvezet kekkel anal g m don itt is reexi l p fel, amelynek m rt ke sebess g- s er hull mokra a k vetkez k ppen alakul: r v (x lez ; t) Z v = v + (x lez ; t) = 0 Z Z 0 + Z r F (x lez; t) f = F + (x lez ; t) = r Z Z 0 v = Z 0 + Z (3.5) Az ide lisan merev lez r s v gtelen Z impedanci nak felel meg, eszerint a sebess ghull mok azonos amplit d val de ellent tes el jellel, az er hull mok azonos amplit d val s azonos el jellel ver dnek vissza a lez r sr l. B r nincs gyakorlati jelent s ge, a szeml letess g kedv rt rdemes a sebess get (v) v ltoz nak tekinteni, mert ilyenkor a h r kit r se id beli integr l ssal megkaphat. Sz ks g nk van m g a h rra hat gerjeszt er bejuttat s ra is: ha F er vel hatunk a h r adott pontj ra, ott a h r sebess ge v-vel megn vekszik, az egyes k sleltet vonalakba jut t bblet sebess g v be = F be =(2Z 0 ). Ezek alapj n (hasonl an az irodalomban tal lhat s-tartom nybeli s a pengetett h rra vonatkoz t rgyal shoz [Karjalainen98]) ssze ll thatjuk ide lis waveguide modell nket (3.3. bra). 24

25 M be + z M ki M z ( ) be M M ki be ( M M ki ) z M 1 Fbe 1 2 Z 0 M z ( M ) be M ki be ( M M ki ) + z + vki z bra. Az ide lis h r waveguide modellje Az er t M be pontban bejuttatva a sebess g az M ki csom pontban: v ki (z) = v ki (z) = 1 1 z N 1 1 z 2M be 1 z 2(M M ki) z F (M ki M be ) be 2Z 0 1 H be(z)h ki (z)z F (M ki M be) be N = 2M (3.6) z N 2Z 0 A k z ps tagot r szlett rtekre bontva: v ki (z) = 1 N 1 1 Fbe + 1 z 1 e j# 1 : : : + 1 z 1 e j# N 2Z 0 H be (z)h ki (z)z (M ki M be ) # k = 2k N (3.7) Ez megfeleltethet k t f s sz r k z be gyazott rezon toros strukt r nak is, amit a 3.4. bra szeml ltet. + Fbe + + e jϑ 1 e jϑ 2 e j ϑ N 1 z 1 z.. 1 z vki 3.4. bra. Az ekvivalens rezon toros strukt ra 25

26 L that, hogy a rezg s frekvenci i rt a rezon toros strukt ra a felel s, az ide- lis h r eset ben az egys gk r n fekv p lusok hat rozz k meg a m dusokat. A f s ssz r k (egy kis k sleltet sen k v l) csak a m dusok amplit d it v ltoztatj k. Viselked s k megfelel az ltalunk elv rt zikai k pnek: a h rt pl. hetedr sz n l gerjesztve (M in =M = 1=7) minden k 7-edik harmonikus amplit d ja z rus lesz. A kialakult amplit d t ugyan gy befoly solja a meggyel s poz ci ja. A rezon toros strukt ra megval s t si szempontb l a waveguide alternat v ja, ilyenkor a f s ssz r k hat s t a rezon torok kimenet nek amplit d j val is gyelembe vehetj k (ez eddig minden esetben 1=N volt). Ebben az esetben a waveguide s a rezon toros modell tviteli f ggv nye csak k sleltet sben t r el egym st l, amely sz ks g eset n (pl. nemline ris gerjeszt s gyelembev tel n l) egyszer en kompenz lhat. v ki (z) F be (z) = 1 1 2Z 0 N a 1 1 z 1 e j# 1 + : : : + a N z M 1 z 1 e j# N a k = 4 sin(2k M be N ) sin(2k M M ki ) # 2k k = N N (3.8) A waveguide modell nk vagy az alternat v rezon toros strukt ra seg ts g vel teh t b rmely id pillanatban ismerj k a h r b rmely pontj nak adott gerjeszt sre (F be ) adott v lasz t (v ki ). Ez gy azonban csak a csom pontokra vonatkozik, a h r helyzet nek meghat roz s hoz a waveguide modellben csom pontok k z tt interpol ci ra van sz ks g. Ezzel inverz oper ci a deinterpol ci, ahol t rtr szk sleltet k seg ts g vel juttatj k be a gerjeszt st a csom pontok k z [V lim ki95], [Laakso96]. A rezon toros strukt ra el nye, hogy erre nincs sz ks g, mivel az tetsz leges val s M be s M ki param terek mellett az elvb l ad d an helyes eredm nyt ad. A rendszer linearit s b l k vetkez en a nem pontszer gerjeszt s is modellezhet, azt t rben mintav telezve s egym s melletti csom pontokban bejuttatva a k sleltet vonalakba. A rezon torok kimeneti egy tthat i ilyenkor is egyszer en (a szuperpoz ci elve alapj n) sz molhat k, ha azonban az egyes t rben elosztott gerjeszt sek nem csak egy konstans szorz ban k l nb znek, akkor minden egyes elemi gerjeszt shez m s s m s bemeneti egy tthat t kell rendeln nk, azaz a bemeneti vektor m trix alakot vesz fel (teh t egy MISO rendszert kapunk). Az esetek t bbs g ben szerencs re lhet nk a pontszer gerjeszt s felt telez s vel. Ha ez valamilyen okn l fogva nem tehet meg, akkor is j k zel t st jelent az, ha a skal r gerjeszt jel nket egy t rbeli s lyoz f ggv nnyel ter tj k sz t a waveguide-on. Ilyenkor az egyes elemi gerjeszt sek egym s konstansszorosai lesznek, teh t tov bbra is haszn lhat az egyszer, egybemenetes strukt ra. A h ros hangszerek szimul ci j n l nem els sorban a h r mozg s ra vagyunk k v ncsiak, hanem a lez r sra (h d, l b) hat er re, hiszen az energia kicsatol sa a lez r son kereszt l t rt nik (A h r s a leveg rossz impedanciailleszt se miatt a h r ltal leveg be lesug rzott energi t l eltekinthet nk). A h dra hat er meghat rozhat (3.5) felhaszn l s val az al bbi k pletekkel (a mennyis gek a lez r sn l rtend k): 26

27 F + = v + Z 0 F = r f F + = r f v + Z 0 F hid = F + + F = (1 + r f )Z 0 v + = 2Z 0 v + (3.9) A teljes tviteli f ggv ny: F hid F be = 1 1 z N 1 z 2M be z (M M be ) Ilyenkor a rezon tor a k egy tthat i a k vetkez alakot veszik fel: F hid = 1 F be N a k = 2 sin(2k M be N ) a 1 1 z 1 e j# 1 + : : : + # k = 2k N a N z M 1 z 1 e j# N (3.10) (3.11) 3.4. Nemide lis h r, nemide lis lez r s A meg rt s szempontj b l c lszer bb el sz r a lez r s idealit s t feloldani. Tetsz leges frekvenciaf ggetlen (reziszt v) Z impedanci t a h r v g re k pzelve s (3.5)-be behelyettes tve r v -re szint n frekvenciaf ggetlen rt ket kapunk, de ez abszol t rt kben kisebb lesz 1-n l. A k sleltet vonalakban utaz hull mok teh t mindk t lez r son egy-egy konstanssal szorz dnak, azaz az egyes harmonikusuk azonos id - lland val, exponenci lisan csillapodnak. Az egyszer s g kedv rt t telezz k fel, hogy csak a h r egyik v g t z rjuk le v ges (azaz nem ide lisan merev) impedanci- val (Ha mindk t lez r s v ges impedanci j, a k pletekbe a k t r f szorzat t kell helyettes teni). Ez esetben a lecseng si id kifejez se a k vetkez alakot lti: = 1 f 0 ln r f r f = r v f 0 = N f s (3.12) ahol f 0 a h r alapfrekvenci ja, f s pedig a mintav telez si frekvencia. Az ekvivalens rezon toros strukt ra annyiban v ltozik meg, hogy a p lusok az egys gk rr l az orig fel v ndorolnak: F hid F be = 1 N ( ) a 1 a N + 1 p 1 e j# 1 : : : + 1 p N e j# N z M p 1 = : : : = p N = (r f ) 1 2N #k = 2k N (3.13) Ha a h rt k pzeletben egy olyan impedanci val z rjuk le, amelynek nagys ga frekvenciaf gg, viszont rt ke val s (f zisa minden tt nulla), a lecseng si id rt k t s az ekvivalens rezon toros strukt ra p lusait k zel t leg hasonl m don sz m thatjuk (3.5), (3.12) s (3.13) seg ts g vel. Ha pl. a nagyobb frekvenci k fel a lez r 27

28 impedancia cs kken, a lecseng si id k is cs kkenni fognak (Ha r v (z) meredeks ge k zel nulla, a m dusfrekvenci k nem t rnek el jelent sen az ide lis eset t l). Ha b rmilyen lez r impedanci t megenged nk, nemcsak a lecseng si id k, hanem a m dusfrekvenci k is megv ltoznak. Szint n j k zel t s a l trej v frekvenci- kra: '(# k ) # k N = 2k '(# k ) = arg(r f ) (3.14) ahol az els tag a reexi s t nyez, a m sodik pedig a waveguide ltal okozott f zistol s. Az egyenlet zikai jelent se az, hogy a hull mnak eg szsz mszor kell belef rnie a h rba ( s az impedanci ba) ahhoz, hogy ll hull m alakuljon ki. Az impedancia ismerete n lk l ez az egyenlet sajnos nem adhat meg explicit form ban. Ha az implicit egyenlet megold sa t ls gosan bonyolultnak g rkezik, vagy az impedancia rt keit csak diszkr t pontokban ismerj k s a f zismenet nk kell en lapos, tov bbi k zel t ssel kell ln nk. Az els tag argumentum ba az ide lis waveguide adott frekvenci j t helyettes tve: 2k 2k + '( N # k = ) (3.15) N Tov bb pontos thatjuk az eredm nyt, ha most a kapott frekvenci t helyettes tj k be a f ziskarakterisztik ba. Az iter ci stabilit s ra el gs ges felt tel (a xpontt tel alkalmaz s val): d'(#) d# < N (3.16) minden # -ra, sz ks ges felt tel pedig a megold s kis k rnyezet ben tal lhat frekvenci kra. A gyakorlatban el fordul f zisf ggv nyek szerencs re teljes tik az el gs ges felt telt, teh t az algoritmus tetsz leges kis hib val mindig megtal lja a megold st. ltal nos lez r impedanicia eset n r v -t teh t a waveguide-ban egy line ris sz r vel kell gyelembe venn nk, amely f zismenet b l k zel t leg meghat rozhatjuk a kialakul frekvenci kat (3.14, 3.15), amplit d menet b l pedig a lecseng si id ket (3.12). Az ekvivalens rezon toros strukt ra a kapott rt kekb l s (3.13) seg ts g vel fel p thet. A kialakul frekvenci kra az amplit d menet is hat ssal van, a gyakorlatban azonban a lez r impedancia nagys grendekkel nagyobb a hull mimpedanci n l, gy r v mindig 1 k zel ben marad, azaz sz munkra medfelel en viselkedik. Ha rendelkez sre llnak numerikus m dszerek, elvileg enn l pontosabb eredm ny is el rhet (pl. teljes tviteli f ggv ny r szlett rtekre bont sa a MATLAB residue utas t s seg ts g vel). Az el z m dszer azonban a k s bbiekben modellilleszt sre sokkal praktikusabban haszn lhat. Most, hogy ismerj k a lez r sok hat s t, r t rhet nk a nemide lis h r t rgyal s ra. ltal nos esetben a h r hull megyenlete 3.1-hez hasonl alakot vesz f l, csak magasabb rend hely- s id szerinti deriv ltakkal eg sz l ki. A p ratlanadik hatv ny id szerinti deriv ltak a h r vesztes gei rt, a p ros sz m, helyszerintiek 28

29 pedig a diszperzi rt felelnek pl. [Smith93]. Ez ut bbi azt jelenti, hogy a nem ide lisan rugalmas (r szben merev) h ron a hull m terjed si sebess ge a frekvencia f ggv ny ben v ltozik, azaz a kialakul frekvenci k elt rnek a harmonikus sort l. Mivel a h r line ris rendszer s mi k t pont k z tt gyelj k a viselked s t, az elosztott param ter vesztes gek s a diszperzi egy pontba koncentr lhat [Smith92]. A lez r impedancia hat sa egyszer en gyelembe vehet, gy rdemes teh t tekinten nk a h r rezg s t, mintha minden ide list l elt r viselked s rt a lez r impedancia lenne felel s. Tov bb egyszer s thetj k modell nket, ha a k t lez r impedancia hat s t az egyik oldalra transzform ljuk (r v = r vbal r vjobb ), s a m sik oldalon csak egy 1-szeres szorz st alkalmazunk. Ez az j reexi s t nyez teh t egyr szt tartalmazza a t nyleges lez r impedanci k hat s t, m sr szt pedig a h r vesztes ges s diszperz viselked s t. A tov bbiakban az a feladatunk, hogy szimul ci vagy m r si eredm nyek alapj n ezt a k pzeletbeli impedanci t meghat rozzuk. Ha ez siker l, a modell nk a bemeneti s a kimeneti pontok k z tt gy fog viselkedni, mint az eredeti rendszer. Tervez si szempontb l el ny sebb a vesztes geket s a diszperzi t sz tv lasztani. Az el bbit egy kell en kis f zistol s, az ut bbit pedig egy mindent tereszt sz r vel modellezhetj k [Smith92]. Az eddigiekben felt telezt k, hogy waveguide-unk teljes hossza 2N, ami a megval s that alapfrekvenci kat er sen korl tozza. Ezt kik sz b lend megtehetj k, hogy egy t rtr szk sleltet t helyez nk a h r v g re (ezt is be p tj k a k pzeletbeli impedanci nkba), amellyel tetsz leges noms ggal be ll that a hangmagass g [V lim ki96], [Laakso96] (3.5. bra). M be + M z be ( M M be z ) M + Fhí 1 F be 1 2 M z be + z ( M M be ) H r v (z) bra. A nemide lis h r waveguide modellje Modell nk param tereit t bbf lek ppen is meghat rozhatjuk. Az irodalomban (pl. [Van Duyne 95], [V lim ki96]) a leggyakrabban haszn lt m dszer a lecseng h r hangj nak vizsg lata, ahol a waveguide v g re illesztett reexi s sz r t a harmonikusok frekvenci ib l s lecseng si id ib l hat rozz k meg. A m dszer el nye, hogy kivitelez se egyszer s a megfelel sz r illeszt s vel automatikusan j eredm nyt ad, f ggetlen l att l, hogy a t nyleges vesztes gek a h r-lez r s rendszer mely r sz n keletkeztek. Alternat v m dszer lehet a lez r impedancia vizsg lata, itt viszont a h r vesztes geit s diszperz viselked s t valamilyen m s (pl. analitikus) ton kell meghat rozni, s a k pzeletbeli, waveguide-ot lez r impedanci t az eredeti impedancia s a vesztes gek gyelembev tel vel kell megalkotni. Az els vizsg lati m d- 29

30 szer eredm nyek nt tulajdonk ppen a rezon toros strukt ra ismeretlen param tereit (p lusok frekvenci ja s k z ppontt l val t vols ga) kapjuk A waveguide j interpret ci ja Megford tva eddigi gondolatmenet nket s szak tva a zikai k ppel, a waveguide-ot gy is tekinthetj k, mintha a rezon toros strukt ra approxim ci ja lenne. Ha az egyes r szlett rteket k z s nevez re hozzuk, megkapjuk a rezon toros modell nk pontos m s t. ltal nos esetben a tiszta k sleltet vonal elt nik s az eg sz waveguide a k pzeletbeli lez r impedanci b l ll. Ezzel m g nem nyer nk semmit, hiszen a szimul ci sor n elv gzend m veletek sz ma nem cs kken, ha viszont nem k vetelm ny az, hogy a waveguide teljesen azonos m don viselkedjen mint rezon torunk, nagys grendnyi sz m t si el nyh z juthatunk. Ahelyett, hogy pl. 100 rezon tor kimen jel nek sszegek nt ll tjuk el az adott hangot, azt k zel t leg egy k sleltet vonallal s a v g re illesztett 5- d, 10-edfok sz r vel megtehetj k. Az egyes harmonikusok frekvenci ja s lecseng si ideje n mileg el fog t rni az eredetit l, de ez jelent sebb ldozatokat nem k vetel. Kimondottan j hang git rmodell k sz thet els fok reexi s sz r alkalmaz s val [V lim ki96]. M g a rezon toros strukt r n l a sz m t sig ny a szimul lt harmonikusok sz m val ar nyos, addig a waveguide modellben ez az approxim ci pontoss g nak f ggv nye. gy t nik, hogy az emberi f l sokkal kev sbe rz keny az esetleges pontatlans gokra mint a harmonikusok hi ny ra, adott sz m t si kapacit s mellett teh t a waveguide modellel rendszerint jobb hangmin s get rhet nk el. A rezon toros strukt r t sem rdemes teljesen elvetn nk, a k s bbiekben, bizonyos esetekben (pl. ha csak p r harmonikust k v nunk modellezni) j szolg latot tehet. 30