23. Hooke-törvény, szerkezeti anyagok jelleggörbéi

Átírás

1 23. Hooke-törvény, szerkezeti anyagok jelleggörbéi F/A =F/A F a pillanatnyilag érvényes húzóerő A a próbatest keresztmetszet-területe Az deformációt úgy állapítjuk meg, hogy a próbatesten kijelölt (tengellyel párhuzamost) szakasz, s annak l= hosszváltozás hányadosát képezzük: = E E a vizsgált anyagra jellemzőállandó neve: rugalmassági tényező dimenziója: erő/terület A nyírás következtében előálló deformáció és a nyírófeszültség között fennálló kapcsolat: G G a vizsgált anyagra jellemző állandó neve: nyíró rugalmassági tényező (csúsztató rugalmassági tényező) dimenziója: erő/terület Ez a két Hooke-tól származó törvény korlátozott érvényű. Húzott rúd deformációja és a rúdkeresztmetszetekre ható feszültség közti kapcsolat, azaz a ( ) függvényt grafikonja a következő: A arányossági határ: eddig érvényes a Hooke-törvény R rugalmasság határ (gyakorlatilag egybeesik A -val): az a feszültség, melyet meg nem haladó feszültségek esetén a rúd még visszanyeri eredeti méretét ( rugalmasan viselkedik) F e pontot elérve a feszültség növelése nélkül is, hirtelen nagy méretváltozást tapasztalunk; F - folyáshatár - a diagram legfelső pontja B az anyag szilárdsága F/A névleges feszültségértékek mindenkori felmérésével nyerjük, ahol A a rúd eredeti keresztmetszet területe. A deformálódás során csökken a keresztmetszet területe. Ha az erő és a pillanatnyilag érvényes keresztmetszet terület hányadosát képezzük, akkor a szaggatottan rajzolt tényleges grafikont kapnánk. Folyt acélhoz hasonló anyagokat, amelyeknél elegendően nagy feszültségeknél maradandó deformációk és folyási határ észlelhető, szívós anyagoknak nevezik. Azokat az anyagokat, amelyek csak rugalmas deformálódásra képesek, folyási határt nem mutatnak, rideg anyagoknak nevezik. (öntött vas, beton)( Jelleggörbékről nem találtam képet, ezért paintbe lerajzoltam kb. azt, amit a füzetbe írtam előadáson )

2 25. Természetes faanyag szilárdsági jellemzése - nem izotróp a mechanikai tulajdonságai irányfüggőek pl.: a nyomószilárság a rostok irányában más, mint a rostokra merőlegesen - inhomogén a faanyag különböző helyein más-más mechanikai jellemzőket mérhetünk (eltérnek a szijácsban és a gesztben mért értékek, de még a tavaszi és őszi pásztában is) - Szilárdságtana nem alapozható két anyagállandóra (E,G). 3 anatómiaia főirány, azaz 3 mechanikai főirány különül el (a koordinátarendszer 3 iránya): L: longitudinális/hosszirányú (rostirányú) R: radiális/sugárirányú az adott ponthoz tartozó vastagsági növekedés iránya T: tangenciális/érintő irányú merőleges az előbbi két tengelyre és érinti az illető ponthoz tartozó évgyűrűt Az olyan anyagot, melynek fizikai tulajdonságai (egy-egy pontban) három egymással merőleges irányban különböznek, ortrotróp anyagnak nevezik. A természetes fa is ilyen; rugalmas viselkedésének leírásához az E,G anyagállandókat is mindhárom irányban illetve koordináta síkban kell ismerni. Befolyásoló tényezők: - a faanyag nedvességtartalma - a terhelőerő iránya (a főirányhoz képest) - a terhelés időtartama - a faanyag fajsúlya Egyéb tényezők: - a fa biológiai állapota - a hőmérséklet - a fában lévő göcsök mérete eloszlása A faanyagot jellemző sajátságok (anyagállandókkal kapcsolatban) - az E L, E R, E T adatok közül az első jelentős; meghatározása húzó-, ill. nyomó kísérlettel történik - G LR, G LT, G RT a megfelelő síkban mért nyírórugalmasság tényezők - LR, LT, RT a Poisson-hányadosok; az első index az alkalmazott feszültség irányát, a második az oldalirányú deformációt adja (Poisson tényező fajlagos mennyiség az egységnyi hosszváltozásra jutó keresztirányú hosszváltozást adja meg

3 26. Szilárdsági méretezés megengedett feszültség alapján A műszaki követelmények röviden így foglalhatók össze: a létesítendő szerkezet meghatározott ideig megbízhatóan kell, hogy megfeleljen rendeltetésének. Szilárdságtani követelmények lényege: a szerkezetre a rendeltetésszerű használat közben nem szabad olyan erőknek hatni, melyek a szerkezet funkcióját gátló változásokat, deformációkat hoznának létre. Veszélyes változás a törés, repedés, a maradandó alakváltozás. A szilárdsági méretezés feladata a szilárdságtani követelmények kielégítése. a. Megállapítjuk a szerkezeten veszélyes változásokat okozó terheléseket, majd a várható terhelést az előbbi szerkezet jellemző terheléssel összehasonlítjuk (pl. egyenes rúdon a törést okozó húzóerő). Ez a módszer a testben fellépő feszültségi állapotok összességéből ítéli meg a terhelést. b. A szerkezetet biztosan megóvjuk a tönkremeneteltől, ha biztosítjuk, hogy egyetlen pontjában sem indulnak meg veszélyes változások. Tehát a szerkezet egészének vizsgálata helyett a szerkezet különböző pontjainak elemi környezetét vizsgáljuk. (Csak a veszélyes pontban uralkodó feszültségi állapot alapján mond ítéletet.) Ma még a lokális jellemzők használata a szokásos, noha a szerkezet jellemzőkre alapozott méretezés megbízhatóbb. A lokális jellemzők alkalmazása gyakran túlzott szükségtelen óvatosságra vezet. Méretezés megengedett feszültség alapján A méretezés előfeltétele a szerkezetet érő várható terhelések ismerete. Ez nem lehetséges; bizonytalanság állhat fenn: - a terhelés nagyságában - az időbeni lefolyásában o állandó statikus o időben változó dinamikus ismétlődő lökésszerű - a terhelő erők helyzetében - gyártási hibákkal, méretezésekkel is számolni kell - anyaghibák, minősig eltérések tekintetbe vétele A méretezés lokális szemlélet alapján úgy történhet, hogy a szerkezeteinkben csak olyan feszültségállapot kialakulását engedjük meg a veszélyes pontban, melynek az igénybevétel szempontjából szóba jövő feszültségadata az anyag szilárdságának tört része. felveszünk egy n számot, a biztonsági tényezőt és megfelelő méretkialakítással, ill. anyagmegválasztással gondoskodunk arról, hogy a B helyett maximálisan a m = B / n megengedett feszültség lépjen fel az anyagban. (Hasonlóan beszélhetünk m -ről is) A m = F /n is szokásos.

4 27. Mechanikai terhek csoportosítása és jellemzésük - statikus - dinamikus ismétlődő/periodikus: lüktető, lengő lökésszerű A tönkremenetelt okozó statikus terhelésnél jóval kisebb terhelés is veszélyes lehet, ha sűrűn ismétlődik. Az ismétlődő feszültség egy ia alsó és egy if felső feszültséghatár között ingadozik. Középfeszültségen a ik =( ia + if )/2, ill. ik =( ia + if )/2 feszültségeket értjük. Az időben változó periodikus terhelés lehet - lüktető a feszültség a zérus és egy fix érték között, vagy azonos előjelű két rögzített érték között változik - lengő ha a terhelés, ill. a feszültség két különböző előjelű érték között váltakozik Az anyag viselkedését periodikusan ismétlődő terhelés esetén fárasztó vizsgálatokkal lehet tisztázni: Ezek lényege: több egyenlő méretű próbatestet azonos ik közepes feszültséggel terhelnek, de más-más if maximális feszültségig és megállapítják az egyes if feszültségekhez tartozó ismétlések N számát, amely a tönkremenetelhez szükséges. A if if (N) függvények grafikonjai a Wöhler-görbék. Bizonyos a terhelésmódtól is függő - if alatt akárhány ismétlődés sem okoz törést. Azt a legnagyobb feszültséget, melyet még végtelen sokszor el tud viselni az anyag, K kifáradási határnak nevezik. A terhelés időtartamának statikus igénybevétel esetén is szerepe van. Előfordul, hogy valamely statikus terhelést egy szerkezet t1 ideig elvisel, de t2>t1 ideig már nem. Az a legnagyobb T feszültség, melyhez hosszú terhelési idő tartozik az anyag tartós szilárdsága.

5 28. Központos húzás és nyomás Valamely szelvény igénybevétele húzás, ill. nyomás, ha az erőrendszer eredője a tengellyel azonos hatásvonalú erő. Deformáció Ha egy egyenes tengelyű, tetszőleges keresztmetszetű rúdra a tengelyével párhuzamos vonalakat karcolunk és ugyancsak kijelöljük néhány keresztmetszet határoló vonalát, akkor a rúd felületén egy derékszögű vonalhálózatot nyerünk. Ha most a rugalmas anyagú rudat a tengellyel egybeeső hatásvonalú N, N erőkkel terheljük az ábra szerint, s az erők támadáspontja eléggé messze van a vonalhálózattól, a következőket tapasztaljuk: a vonalhálózat továbbra is a tengellyel párhuzamos egyenesekből és ezeket merőlegesen metsző síkgörbékből áll. Csupán az egymással párhuzamos vonalak távolsága változik meg. Húzásnál és nyomásnál fajlagos hosszváltozás figyelhető meg ( = l/l 0 ). Húzás: az erőrendszer eredője egyetlen erő, amelynek hatásvonala a rúd tengelye, iránya balra mutat. Nyomás: az erőrendszer eredője egyetlen erő, amelynek hatásvonala a rúd tengelye, az eredő nyílban jobbra mutat. A húzó és nyomó igénybevételt közös néven normál igénybevételnek, a rúdirányú erőt normálerőnek is nevezik. Ha a rúd alakú test tengelyirányú nézete a keresztmetszeti méretek többszöröse, akkor lényeges különbség van köztük. nyomó igénybevételnél a megállapítások csak zömök rudak esetén érvényesek (általában akkor tekintünk egy rudat zömöknek, ha a kisebb keresztmetszeti méretének ötszörösénél nem nagyobb a hossza)

6 29, Méretezés húzásra, nyomásra Hő terhelés, klimatikus terhelés Ellenőrzés Azt kell kimutatni, hogy a max feszültség nem haladja-e meg a m megengedett feszültséget. A rúd megfelel, ha max =N/A m. N a veszélyes szelvényben fellépő normálerő A a veszélyes szelvény keresztmetszet területe Tervezés A terhelés, valamint a megengedett feszültség ismeretében a minimális szükséges keresztmetszet terület a következő: A sz =N/ m ( =N/Aból) Gazdaságos kialakítás esetén a tényleges keresztmetszet ennél sokkal nagyobb nem lehet. Egy l hosszúságú rúd hőmérsékletének t értékű megváltozásakor fellépő l hosszváltozás a következőképpen számítható: l=α*l* t α a rúd anyagára jellemző állandó, az 1/ C mértékegységű hőtágulási együttható Ha a változó hőmérsékletű rúd hosszváltozását meggátoljuk, a rúdban feszültségek ébrednek. A fajlagos hosszváltozás a hőmérsékletváltozás következében: = l/l=α* t Ezt megakadályozni a rúdvégeken fellépő =E* nagyságú feszültség képes E a rúd anyagának rugalmassági tényezője A feszültség tehát: =α* t*e A rúdvégeken ható erő F=A* =A*α* t*e A a rúd keresztmetszet területe

7 30. Természetes fa húzó igénybevétele Egyenszilárdságú nyomott rudak, réteges felépítésű rudak A természetes faanyag rostirányú szakítószilárdsága sz általában nagyobb, mint a nyomószilárdsága n. Nyomószilárdság kapcsolata a különböző befolyásoló tényezőkkel - Ha u 1, u 2 nedvességtartalomhoz a u1, u2 nyomószilárdságok tartoznak, akkor u1 = u 2 *{1+α*(u 1 -u 2 )} α fafajtól függő állandó - n n kapcsolat a nyomó erő iránya és a rostirány által bezárt szög között. Ha és a rosttal párhuzamos, ill. a rostra merőleges nyomószilárdság, akkor n n kapcsolat a testsűrűséggel: a nyomószilárság egyenesen arányos a testsűrűséggel.

8 31. Tiszta nyírás Az erőrendszer eredője egyetlen erő, melynek hatásvonala áthalad a szelvény súlypontján nyírás. Ha az igénybevétel eléggé nagy, a rúdnak a szelvény által elválasztott két része egymáshoz képest eltolódhat, amint azt az ollóval való nyírás során tapasztaljuk Tiszta nyíró igénybevétel sohasem fordul elő. Megvalósítható olyan terhelés, melynek hatására egy test bizonyos metszetein csak nyírófeszültségek lépnek fel. Az ábrán pontozással jelölt kocka oldallapjai, ill. a velük párhuzamos síkmetszetek ilyenek. A csupán feszültségek hatása alatt álló kis kocka deformálódása a lapszögek megváltozásából áll, az élhosszak nem változnak meg. A deformáció mértékének tekinthető szög a feszültségek nagyságától, s az anyag rugalmas tulajdonságaitól függ: = /G A műszaki gyakorlatban sokszor előfordul, hogy egy nem feltétlen rúd alakú test valamely metszetén, ill. egy a test belsejében kijelölhető felületdarabján közelítőleg nyírásnak vehető a pontok feszültségállapota. Ezt a metszetet, ill. felületdarabot a továbbiakban nyírt idomnak nevezzük, s az ábrákon recézett vonallal szemléltetjük. Általában akkor vehetjük úgy, hogy a test, ill. szerkezeti elem igénybevétele nyírás, ha a testet terhelő erőrendszer a testnek a nyírt idom által elválasztott két (vagy több) részét egymással ellentétes irányokba igyekszik elcsúsztatni. Ezen azt értjük, hogy ha a terhelés elég nagy, fennáll annak veszélye, hogy a nyírt idom mentén a test részei egymáshoz képest eltolódnak. A nyírt idomon a feszültségek megoszlását az elemi szilárdságtanban többnyire egyenletesnek tekintjük, pontosabban feltételezzük, hogy a nyírt idom pontjaiban egyenlő nagy feszültségek ébrednek, állásuk azonos a nyíróerő irányával (illetőleg az elegendő nagy terhelés esetén bekövetkező elmozdulás irányával). Ha a nyírt idom által két részre osztott test egyik darabjára ható erőnek a nyírt idommal párhuzamos összetevője T, s a nyírt idom da területű darabján a feszültség, akkor egyensúlyt feltételezve,ahol a nyírt idom felszíne. Egyenletes feszültségmegoszlást feltételezve tehát: =T/A

9 32. Méretezés nyírásra (szegecs, csavar) A méreteket úgy kell meghatározni, hogy a nyírt idomban ébredő feszültségek nagysága ne haladja meg a nyírásra megengedett m feszültséget Ellenőrzés: a nyírt idomon ébredő feszültséget hasonlítjuk össze a nyírással megengedett feszültséggel. max=t/a m nek teljesülnie kell Tervezés: a nyír idom szükséges felszínét vagy valamely méretét keressük a nyíróerő és a megengedett feszültség ismeretében. Asz=T/ m a szükséges legkisebb felszín Szegecs és csavarkapcsolatok A különböző irányú erőkkel terhelt lemezdarabok egymáshoz képest bekövetkező elmozdulását egy szegecs akadályozza meg. A szegecs tönkremenetelének egyik oka az elnyíródás lehet. Attól függően, hogy hány szelvénye van a szegecs szárának igénybe véve, beszélhetünk egyszer, kétszer, n-szer nyírt szegecsről. n-szer nyírt szegecs által felvehető erő: m a szegecs anyagának nyírásra megengedett feszültsége Ha a szegecskötést terhelő erő F, a szükséges szegecsek száma: Ez a szegecskötés nyírásra történő méretezésének alapja. A szegecseket azonban nemcsak nyírásra kell méretezni, mert számolni kell egy másik jellemző igénybevétellel, a palástnyomással is. Ez a szegecs szára és a szegecs által összekapcsolt lemezek furata között fellépő erőhatás.

10 33. Síkidomok másodrendű nyomatékai Valamely síkidomnak egy koodrináltarendszer x tengelyére vonatkozó elsőrendű vagy statikai nyomatékához így jutunk: - a síkidomot felosztjuk A 1, A 2,... A n területű részekre, - a részekben felvesszük az y 1, y 2,...y n ordinátájú pontokat, - képezzük a Aiyi összeget, miközben n és a felosztás minden határon túl finomodik (mindegyik rész területe és átmérője zérushoz tart) - Az ilyen módon nyert mennyiséget jelöli Hasonló módon képezhetjük a Aiyi2 (a 2-es hatványkitevő, az i-k alsó indexek) mennyiséget is. Ez a mennyiség a síkidomnak az x tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatéka: (cm 4 ) Egy síkidomnak a síkjában felvett 0 pontra vonatkozó poláris másodrendű nyomatéka: (cm 4 ) Valamely síkidomnak egy (a síkidom síkjában fekvő) koordináta rendszerre vonatkozó deviációs nyomatéka (centrifugális nyomatéka): (cm 4 ) I 0 =b*h 3 /36 a súlypont az alapttól h/3 távolságra van I=b*h 3 /12 I x =a*b 3 /12 I y =b*a 3 /12

11 34. Másodrendű nyomatékokra vonatkozó alaptételek Ha az A 1, A 2,., A n területű részekből álló síkidom részeinek másodrendű nyomatékai valamely tengelyre I 1, I 2,,I n, akkor az egész síkidom másodrendű nyomatéka ugyanarra a tengelyre: I = I 1 +I I n. Ha egy síkidomnak valamely (síkjában fekvő) x,y derékszögű koordináta rendszer tengelyeire vonatkozó másodrendű nyomatéka Ix, Iy, az 0 kezdőpontra vonatkozó poláris másodrendű nyomatéka Io, akkor I0=Ix + Iy. Steiner-tétel: ha egy A területű síkidom súlypontján áthaladó tetszőleges tengelyre a síkidom másodrendű nyomatéka I, a tengellyel párhuzamos, tőle t távolságra lévő x tengelyre a síkidom másodrendű nyomatéka I x, akkor: I x I At 2. Ha x, y és, derékszögű koordináta-rendszerek megfelelő tengelyei egyirányúak s az utóbbi rendszer kezdőpontja egy A területű síkidom súlypontja, továbbá a súlypont koordinátái (x, y rendszerben) x S, y S, akkor: Ixy = I A x S y S. Egy a síkidomnak valamely x,y koordináta-rendszerre vonatkozó deviációs nyomatéka zérus, ha legalább az egyik koordináta-tengely szimmetria-tengely. Tetszőleges alakú síkidom esetében is mindig található legalább két olyan x,y súlyponti tengely, melyek egymásra merőlegesek és I xy =0. Az ilyen tulajdonságú tengelyek a súlyponti főtengelyek, a reájuk vonatkozó másodrendű nyomatékok a főmásodrendű nyomatékok. Jelölésük: I1 és I2. Megmutatható, hogy ha I1 I2, akkor az egyik ezt jelöljük I1-el a lehetséges súlyponti másodrendű nyomatékok közül a legnagyobb, a másik (I2) a legkisebb. Egy síkidom szimmetria-tengelye egyben súlyponti főtengely is. Olykor előnyös a tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatékot a síkidom A területe és egy távolság négyzetének szorzataként felírni: Pl.: I x Ai x 2. Az i x távolság neve: inerciasugár.

12 35. Egyszerű és összetett síkidomok másodrendű nyomatékának számítása