Csercsik Dávid ITK PPKE. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 1 / 40

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Csercsik Dávid ITK PPKE. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 1 / 40"

Átírás

1 Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea Csercsik Dávid ITK PPKE Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 1 / 40

2 1 CSC Core 2 Kitüntetett értékek CFF kooperatív játékokban A Shapley-érték A Nukleólusz 3 Kombinatorikus játékok Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 2 / 40

3 CSC Core CSC Core P - partíció: Részhalmazok uniója, ami lefedi N-t. Pl: n=6-ra: {1, 3}, {2}, {4, 5, 6} (x, P) - kimenetel (outcome) CSC CSC = (x, P) { x(s) v(s) S P x(s) v(s) S N ] Kiegyensúlyozottság LP {max s λ s v(s) st. λs e S = e N λ s 0} ahol e S {0, 1} N - koaĺıciós indikátorvektor. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 3 / 40

4 CSC Core II CSC Core IP pv(n) = {max s λ s v(s) st. λs e S = e N λ s {0, 1}} x(n) maxlp maxip = pv(n) v(n) Ha az első egyenlőtlenség igaz akkor a játék kiegyensúlyozott. Ekkor CSC Kapcsolat a szuperadditivitással: Ha van olyan partíció ahol x(n) > v(n) biztos hogy nem szuperadditív a játék (a nagykoaĺıció esetén sérül a tulajdonság) Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 4 / 40

5 CSC Core III CSC Core pl. λ i,j = 1/2 ha i, j {A, B, C} A B C D E V v Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 5 / 40

6 Shapley-érték Kitüntetett értékek CFF kooperatív játékokban A Shapley-érték Súlyozott szavazási játék Példa 4 játékos: A, B, C és D. A szavazati súlyaik rendre 5, 3, 3, 1. Csak olyan határozat fogadható el, ahol a támogatók összsúlya legalább 6. Számoljuk ki a szavazási befolyásukat a Banzhaf-index és a Shapley-érték alapján is! Shapley-érték Motiváció A játékosok egyenként, véletlenszerű sorrendben érkeznek. Minden játékos megkapja fizetségképpen a hozzájárulását az adott koaĺıcióhoz. A Shapley érték (φ) a hozzájárulások várható értéke tekintve az összes lehetséges sorrendet, ahol minden sorrend egyaránt valószínű. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 6 / 40

7 Kitüntetett értékek CFF kooperatív játékokban A Shapley-érték Shapley-érték Definíció Minden i N és S 2 N esetén, ahol i S, az i játékos határhozzájárulása az S koaĺıcióhoz m i (S) = v(s {i}) v(s) A Shapley-érték: φ i (v) = S N\{i} S!(n S 1)! m i n! Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 7 / 40

8 Megoldás Kitüntetett értékek CFF kooperatív játékokban A Shapley-érték Shapley-érték ABCD BACD CABD DABC ABDC BADC CADB DACB ACBD BCAD CBAD DBAC ACDB BCDA CBDA DBCA ADBC BDAC CDAB DCAB ADCB BDCA CDBA DCBA A játékosok 4! = 24 féle sorrendben érkezhetnek. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 8 / 40

9 Megoldás Kitüntetett értékek CFF kooperatív játékokban A Shapley-érték Shapley-érték ABCD BACD CABD DABC ABDC BADC CADB DACB ACBD BCAD CBAD DBAC ACDB BCDA CBDA DBCA ADBC BDAC CDAB DCAB ADCB BDCA CDBA DCBA Az A játékos összesen 10-szer volt kritikus. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 9 / 40

10 Megoldás Kitüntetett értékek CFF kooperatív játékokban A Shapley-érték Shapley-érték ABCD BACD CABD DABC ABDC BADC CADB DACB ACBD BCAD CBAD DBAC ACDB BCDA CBDA DBCA ADBC BDAC CDAB DCAB ADCB BDCA CDBA DCBA A B játékos összesen 6-szor volt kritikus. Értelemszerűen a C játékos is ennyiszer. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 10 / 40

11 Megoldás Kitüntetett értékek CFF kooperatív játékokban A Shapley-érték Shapley-érték ABCD BACD CABD DABC ABDC BADC CADB DACB ACBD BCAD CBAD DBAC ACDB BCDA CBDA DBCA ADBC BDAC CDAB DCAB ADCB BDCA CDBA DCBA A D játékos összesen 2-szer volt kritikus. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 11 / 40

12 Kitüntetett értékek CFF kooperatív játékokban A Shapley-érték Megoldás Shapley-érték A = 10 24, B = 6 24, C = 6 24, D = 2 24 A Shapley-érték ebben a példában egybeesett a Bhanzaf-indexszel, de ez merő véletlen. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 12 / 40

13 Kitüntetett értékek CFF kooperatív játékokban A Shapley-érték Súlyozott szavazási játék (régebbi példa) A régebbi példa Az EU tanácstagok Shapley-értéke Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 13 / 40

14 Kitüntetett értékek CFF kooperatív játékokban A Shapley-érték Súlyozott szavazási játék (régebbi példa) A régebbi példa Az EU tanácstagok Shapley-értéke Ország Súly φ i (v) Németország Olaszország Franciaország Hollandia Belgium Luxemburg 1 0 Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 13 / 40

15 Kitüntetett értékek CFF kooperatív játékokban Költségjáték Shapley értéke A Shapley-érték v(s) = c(s) pl taxi költségének szétosztása: A játékosok 3! = 6 féle sorrendben érkezhetnek. c(a) 80 c(b) 56 c(c) 70 c({ab}) 80 c({ac}) 85 c({bc}) 72 c({abc}) 90 Sorrend m A m B m C ABC ACB BAC BCA CAB CBA Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 14 / 40

16 A Nukleólusz Kitüntetett értékek CFF kooperatív játékokban A Nukleólusz Csődjáték: d 1 = 100, d 2 = 200, d 3 = 300, E = 400 legyen x = [ ], y = [ ] v(1) 0 v(2) 0 v(3) 100 v({1,2}) 100 v({1,3}) 200 v({2,3}) 300 v({1,2,3}) 400 profit x y e(1) e(2) e(3) e({1,2}) e({1,3}) e({2,3}) θ (x) : [ ] θ (y) : [ ] Nukleólusz: A min legyen max. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 15 / 40

17 Kitüntetett értékek CFF kooperatív játékokban A Nukleólusz A Nukleólusz II Profit Legyen x R n egy szétosztás, ekkor S koaĺıció profitja (excess) e(s, x) := x(s) v(s). Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 16 / 40

18 Kitüntetett értékek CFF kooperatív játékokban A Nukleólusz A Nukleólusz II Profit Legyen x R n egy szétosztás, ekkor S koaĺıció profitja (excess) e(s, x) := x(s) v(s). Profitvektor Egy adott x R n elosztásvektorhoz, tartozik egy θ(x) R 2n 2 profitvektor, ami a 2 n 2 profitot tartalmazza nem-csökkenő sorrendben (az N-hez és a -hez tartozó triviális profitokat nem tekintjük). Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 16 / 40

19 Kitüntetett értékek CFF kooperatív játékokban A Nukleólusz A Nukleólusz II Profit Legyen x R n egy szétosztás, ekkor S koaĺıció profitja (excess) e(s, x) := x(s) v(s). Profitvektor Egy adott x R n elosztásvektorhoz, tartozik egy θ(x) R 2n 2 profitvektor, ami a 2 n 2 profitot tartalmazza nem-csökkenő sorrendben (az N-hez és a -hez tartozó triviális profitokat nem tekintjük). Nukleolusz A nukleolusz az az x R n + elosztás, ami lexikografikusan maximalizálja θ(x)-et I (N, v) felett, ahol I (N, v) jelöli az elosztások (imputációk) halmazát. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 16 / 40

20 Kitüntetett értékek CFF kooperatív játékokban A Nukleólusz A Nukleólusz III Definíció Legyen θ (x) azon permutációja a θ(x) vektornak, melyben a vektor elemei növekvő sorrendben követik egymást. Azt mondjuk hogy θ(x) is leximin superior θ(y)-hoz képest (θ(x) θ(y)) ha ( k)(θ (x) i = θ (y) i )( i < k) és (θ (x) k > θ (y) k ) Az (N, V ) játék nukleólusza: NC(N, V ) = {x X (N, V ) : y X (N, V ), e(y) e(x)} Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 17 / 40

21 Kitüntetett értékek CFF kooperatív játékokban A Nukleólusz IV - példa 2 A Nukleólusz v({1, 2, 3}) = 42, v({1, 2}) = 20, v({1, 3}) = 30, v({2, 3}) = 40, v({i}) = 0 i N x = (14, 14, 14) θ (x) = [ 12, 2, 8, 14, 14, 14] (A legrosszabbul járó koaĺıció {2, 3}) Nézzük pl. y = (4, 24, 14) θ (y) = [ 12, 2, 4, 8, 14, 24] x y z = (4, 14, 24) θ (y) = ( 2, 2, 2, 4, 14, 24) z = NC(N, V ) Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 18 / 40

22 Megjegyzések Kitüntetett értékek CFF kooperatív játékokban A Nukleólusz A Shapley érték hatékony: ϕ i (v) = v(n) i N A Shapley érték szimmetrikus: ( i, j)(v(s {i}) = v(s {j}))( S N)(i, j / S) ϕ i (v) = ϕ j (v) A nukleólusz kiszámítása nem konstruktív, és nagyon nehéz is lehet (általában megoldatlan probléma, vannak játéktípusok ahol a megoldás ismert - pl csődjáték) Ha a mag nemüres, a nukleólusz mindig a magban van. Ha a játék nem konvex, a Shapley érték a magon kívül is eshet. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 19 / 40

23 Kombinatorikus játékok Kombinatorikus játékok Egy játékot kombinatorikusnak nevezünk, ha igazak rá az alábbi feltételek Kétszemélyes, szekvenciális A játéknak 3 lehetséges kimenetele lehet (valamelyik játékos győz, vagy döntetlen) Adott egy G = (P, L) irányított gráf. A gráf csúcsai (P) a játék lehetséges pozíciói, míg az élek (L) a lehetséges lépéseknek felelnek meg. Adott továbbá egy p 0 P kezdőállás. Végesfokú: Minden állásból csak véges sok másikba lehetséges lépni. Tetszőleges p 0 kezdőállásból a játék véges sok lépésen belül véget ér, akárhogyan is játszanak. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 20 / 40

24 Kombinatorikus játékok Sakk A sakk komplexitása Egy átlagos sakkparti 40 lépésig tart, azonban az emberi játékosok hajlamosak feladni, ha az ellenfél döntő fölénybe kerül. Egy mattig játszó gép számára átlagosan 80 lépésig tart egy parti. Egy állásban kb lehetséges lépést tehet az egyik fél, azaz egy lépéspár hozzávetőleg 10 3 változatot jelent. Lehetséges pozíciók száma kb Lehetséges sakkjátszmák száma kb Atomok becsült száma az univerzumban Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 21 / 40

25 Kombinatorikus játékok Go A Go komplexitása Egy mesterek által játszott Go játszma átlagosan 150 lépésig tart és a lehetséges lépések száma egy állásban kb. 250 (19 19-es táblát feltételezve). Lehetséges pozíciók száma kb Lehetséges Go játszmák száma kb Ez azt is megmagyarázza miért nem sikerült eddig olyan programot írni, ami Go-ban meg tudná verni a mesterjátékosokat. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 22 / 40

26 További definíciók Kombinatorikus játékok Definíció Normál játéknak nevezzük azt a játékot, amelyben az utolsónak lépő játékos nyer. Betli játék esetén éppen fordítva, az nyer aki nem tud lépni. Ha a nyerő pozíciók és lehetséges lépések halmaza, minden játékos számára ugyanazok, akkor a játékot személytelennek hívjuk, egyébként partizán játékról beszélünk. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 23 / 40

27 Kombinatorikus játékok További definíciók Stratégia Stratégia alatt egy P P függvényt értünk, amely minden P beli helyzethez, amelyik nem nyelő hozzárendeli egy szomszédját (tehát egy olyan pozíciót, ami egy lépésen belül elérhető). Egy stratégiát nyerőnek nevezünk, ha őt követve mindig nyerünk, függetlenül attól, hogy az ellenfelünk mit lép. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 24 / 40

28 Kombinatorikus játékok Éles kombinatorikus játékok Definíció Élesnek mondunk egy kombinatorikus játékot, ha döntetlen nem lehetséges. Tétel Minden éles kombinatorikus játékban pontosan az egyik játékosnak van nyerő stratégiája. Minden kombinatorikus játékban vagy az egyik játékosnak van nyerő stratégiája, vagy mindkettőnek van nem vesztő stratégiája. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 25 / 40

29 Kombinatorikus játékok Mérgezett csoki (CHOMP) CHOMP A mérgezett csoki játékban adott egy m n-es tábla csoki, amelynek a bal alsó kockája mérgezett, aki ezt megeszi az veszít. Egy betli típusú játékról van szó, hiszen az utolsónak lépő játékos veszít. Minden játékosnak a saját körében ki kell jelölnie egy még meg nem evett csokikockát és meg kell ennie minden azt és minden attól jobbra és fölfelé lévő kockát is. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 26 / 40

30 Kombinatorikus játékok Mérgezett csoki (CHOMP) CHOMP A mérgezett csoki játékban adott egy m n-es tábla csoki, amelynek a bal alsó kockája mérgezett, aki ezt megeszi az veszít. Egy betli típusú játékról van szó, hiszen az utolsónak lépő játékos veszít. Minden játékosnak a saját körében ki kell jelölnie egy még meg nem evett csokikockát és meg kell ennie minden azt és minden attól jobbra és fölfelé lévő kockát is. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 26 / 40

31 Kombinatorikus játékok Mérgezett csoki (CHOMP) CHOMP A mérgezett csoki játékban adott egy m n-es tábla csoki, amelynek a bal alsó kockája mérgezett, aki ezt megeszi az veszít. Egy betli típusú játékról van szó, hiszen az utolsónak lépő játékos veszít. Minden játékosnak a saját körében ki kell jelölnie egy még meg nem evett csokikockát és meg kell ennie minden azt és minden attól jobbra és fölfelé lévő kockát is. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 26 / 40

32 Kombinatorikus játékok Mérgezett csoki (CHOMP) Tétel Tetszőleges m n-es mérgezett csoki játékban a kezdőnek van nyerő stratégiája. Feladatok Találjuk ki mi a 2 n-es és az n n-es mérgezett csoki játékban a nyerő kezdőlépés! Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 27 / 40

33 Kombinatorikus játékok Partizán játékok Hex A Hexet két játékos játsza (kék,piros). A játékosok a saját körükben kiszínezhetnek egyet a tábla még üresen álló hatszög alakú mezői közül. Az a játékos nyer, aki egy folytonos hidat tud létrehozni a két saját színű oldala között. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 28 / 40

34 Kombinatorikus játékok Partizán játékok Tétel Egy teljesen kiszínezett Hex-táblán mindig van valamelyik színből híd (= a Hex éles kombinatorikus játék). Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 29 / 40

35 Kombinatorikus játékok Partizán játékok Tétel Egy teljesen kiszínezett Hex-táblán mindig van valamelyik színből híd (= a Hex éles kombinatorikus játék). Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 29 / 40

36 Kombinatorikus játékok Partizán játékok Tétel Egy teljesen kiszínezett Hex-táblán mindig van valamelyik színből híd (= a Hex éles kombinatorikus játék). Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 29 / 40

37 Partizán játékok Kombinatorikus játékok Tétel A Hexben mindig a kezdő játékosnak van nyerő stratégiája. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 30 / 40

38 Partizán játékok Kombinatorikus játékok Tétel A Hexben mindig a kezdő játékosnak van nyerő stratégiája. Bizonyítás: Hasonló a véges táblán játszott amőbához, ahol a kezdőnek mindig van nem-vesztő stratégiája. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 30 / 40

39 Kombinatorikus játékok Angyal probléma Conway (1996) Egy angyal és az ördög játszanak egy végtelen sakktáblán. Az ördög a saját körében megehet egy mezőt, ide az angyal már nem léphet. Az angyal a saját körében k mezőt repülhet tetszőleges irányban (a már megevett mezőket is átrepülheti, ha tudja). Ha csak olyan mezőre tud lépni, amit az ördög már megevett, akkor az ördög nyer. Ha végtelenségig el tud szökni az ördög elől, akkor az angyal nyer. Kérdés létezik-e olyan k érték, amire az angyal nyer? (ilyenkor azt mondjuk az angyal erőssége k) Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 31 / 40

40 Angyal probléma Kombinatorikus játékok Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 32 / 40

41 Kombinatorikus játékok Naív stratégiák Tétel (Berlekamp) Ha az angyal erőssége 1, akkor az ördög nyer. Az angyal egy as táblán elfogható. Definíció Feleltessük meg a mezőket egy (x, y) koordinátarendszer rácspontjainak. Bolondnak nevezünk egy angyalt, ha mindig úgy lép, hogy az y koordinátája növekedjen. Tétel (Conway) Az ördög tetszőlegesen erős bolondot elkap. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 33 / 40

42 Kombinatorikus játékok Naív stratégiák II. Tétel (Conway) A bolond akkor is veszít ha nem szigorúan csak monoton halad az y tengely mentén (azaz ha soha nem csökkenti az y koordinátáját). Definíció Fejvesztett bolondnak nevezzük azt az angyalt, amely minden lépésével távolodik a kezdőponttól. Tétel (Conway) Az ördög tetszőlegesen erős fejvesztett bolondot elkap. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 34 / 40

43 Kombinatorikus játékok Angyal probléma megoldása Tétel (Máthé tőle függetlenül Kloster) Ha az angyal erőssége legalább 2, akkor az angyal nyer. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 35 / 40

44 Nim típusú játékok Kombinatorikus játékok Nim A nimben adott k-kupac kavics, ezek méretei n 1, n 2,..., n k. A soron következő játékos pontosan az egyik kupacból vehet kavicsot, onnan viszont bármennyit (de legalább egyet). Az veszít, aki nem tud lépni. Feladat Bizonyítsuk be, hogy ha hozzáveszünk a meglévő kupacokhoz két további egyforma méretű kupacot, akkor a játék lényegében nem változik, ugyanannak a játékosnak lesz nyerő stratégiája. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 36 / 40

45 Nim pl Kombinatorikus játékok Sizes of heaps Moves A B C Bob takes 2 from A Alice takes 3 from C Bob takes 1 from B Alice takes 1 from B Bob takes entire A heap, leaving two 2s Alice takes 1 from B Bob takes 1 from C leaving two 1s Alice takes 1 from B Bob takes entire C heap and wins. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 37 / 40

46 Kombinatorikus játékok Nim típusú játékok Pénzforgató játék A pénzforgató játékban adott n pénzérme, mindegyik fejjel vagy írással felfelé. A két játékos közül a soron következő átfordíthat egy fejet írásra, és ezen kívül még egy ettől balra lévő érmét átfordíthat az ellenkezőjére (akár fejről írásra, akár írásról fejre). Az veszít, aki nem tud lépni (vagyis amikor mindegyik érme írással felfelé néz). Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 38 / 40

47 Kombinatorikus játékok Nim típusú játékok Pénzforgató játék A pénzforgató játékban adott n pénzérme, mindegyik fejjel vagy írással felfelé. A két játékos közül a soron következő átfordíthat egy fejet írásra, és ezen kívül még egy ettől balra lévő érmét átfordíthat az ellenkezőjére (akár fejről írásra, akár írásról fejre). Az veszít, aki nem tud lépni (vagyis amikor mindegyik érme írással felfelé néz). Feladat Bizonyítsuk be, hogy a pénzforgató játék valójában ekvivalens a Nimmel: ha balról az i. érme fej, az egy i méretű kupacnak felel meg. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 38 / 40

48 Kombinatorikus játékok Nim-összeg Nim-összeg Az a és b számok Nim-összegét a b-vel jelöljük és a következőt értjük alatta: feĺırjuk az a és b számokat 2-es számrendszerben, majd az azonos helyiértéken szereplő számjegyeket átvitel nélkül, modulo 2 összeadjuk. Pl = = = 39 Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 39 / 40

49 Kombinatorikus játékok Nim-összeg Tulajdonságok A Nim-összeg asszociatív és kommutatív valamint teljesülnek a következő összefüggések: a b = c-ből következik a c = b és b c = a (1) a x = 0 egyenlet egyetlen megoldása az x = 0 (2) Tétel [Bouton, 1901] Az n 1, n 2,..., n k méretű kupacokkal játszott Nim játékban a nem soron lévő játékosnak pontosan akkor van nyerő stratégiája, ha n 1 n 2 n k = 0. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 40 / 40

A próbafelvételi eredményei: (Minden feladat 5 pontos volt...)

A próbafelvételi eredményei: (Minden feladat 5 pontos volt...) A csoport: A próbafelvételi eredményei: (Minden feladat pontos volt...) Minta feladatsor (A) matematikából 014. december 1. (Feladat számolásra) Határozd meg a ; b és c értékét! a = ( 1 3 + 1 6) : 1 6

Részletesebben

Csercsik Dávid ITK PPKE. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 1 / 21

Csercsik Dávid ITK PPKE. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 1 / 21 Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea Csercsik Dávid ITK PPKE Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 1 / 21 1 Nash bargaining 2 Kooperatív játékok TU CFF játékok tulajdonságai

Részletesebben

KOMBINATORIKA. Készítette: Bordi István Tóth Árpád Gimnázium Debrecen,

KOMBINATORIKA. Készítette: Bordi István Tóth Árpád Gimnázium Debrecen, KOMBINATORIKA 1 Készítette: Bordi Istvá Tóth Árpád Gimázium Debrece, boi@tagdebr.suliet.hu Kérdések: A KOMBINATORIKA TÁRGYA 1. elemet háyféleképpe lehet egymás mellé tei (permutáció). 2. elemből háyféleképpe

Részletesebben

Nyerni jó. 7.-8. évfolyam

Nyerni jó. 7.-8. évfolyam Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u. 4-6. : 27-317 - 077 /fax: 27-315 - 093 WEB: http://boronkay.vac.hu e-mail: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör Nyerni

Részletesebben

GEOMATECH TANULMÁNYI VERSENYEK 2015. ÁPRILIS

GEOMATECH TANULMÁNYI VERSENYEK 2015. ÁPRILIS GEOMATECH TANULMÁNYI VERSENYEK 2015. ÁPRILIS Eddig nehezebb típusú feladatokkal dolgoztunk. Most, hogy közeledik a tavaszi szünet, játékra hívunk benneteket! Kétszemélyes játékokat fogunk játszani és elemezni.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 4. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 4. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 00. május. EMELT SZINT I. ) Adott f és g függvény. f : D f \ k ; k x tgx ctgx sin x a) Igazolja, hogy az így definiált f függvény konstans! ( pont) g : D 7;7 x x 6 x g b) Számítsa

Részletesebben

N-személyes játékok. Bársony Alex

N-személyes játékok. Bársony Alex N-személyes játékok Bársony Alex Előszó Neumann János és Oskar Morgenstern Racionális osztozkodás törvényeinek tanulmányozása Játékosok egy tetszőleges csoportjának ereje Nem 3 személyes sakk Definíció

Részletesebben

Sarokba a bástyát! = nim

Sarokba a bástyát! = nim Nim-összeadás, játékok összege Sarokba a bástyát! = nim Nim (két csomóval) Két kupac kaviccsal játszunk. Egy lépésben valamelyikből (de csak az egyikből!) elvehetünk bármennyit. Az nyer, aki az utolsó

Részletesebben

Kombinatorika jegyzet és feladatgyűjtemény

Kombinatorika jegyzet és feladatgyűjtemény Kombinatorika jegyzet és feladatgyűjtemény Király Balázs, Tóth László Pécsi Tudományegyetem 2011 2 Lektor: Kátai Imre egyetemi tanár, az MTA rendes tagja Tartalomjegyzék Előszó 5 I. Jegyzet 7 I.1. Permutációk,

Részletesebben

Matematika 9. megoldások

Matematika 9. megoldások Barnáné Lukács Erika Darabánt Emese Matematika 9. megoldások Szakiskolák részére School Kiadó Nyíregyháza 2010 1 2 Gondolkodtató feladatok Fejtörôk, szöveges feladatok, logikai játékok Feladatok (Tankönyv:

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Kétszemélyes játékok Gregorics Tibor Mesterséges intelligencia

Kétszemélyes játékok Gregorics Tibor Mesterséges intelligencia Kétszemélyes játékok Kétszemélyes, teljes információjú, véges, determinisztikus,zéró összegű játékok Két játékos lép felváltva adott szabályok szerint, amíg a játszma véget nem ér. Mindkét játékos ismeri

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA

Részletesebben

Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Permut aci ok Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev

Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Permut aci ok Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev Algebra és számelmélet 3 előadás Permutációk Waldhauser Tamás 2014 őszi félév 1. Definíció. Permutációnak nevezzük egy nemüres (véges) halmaz önmagára való bijektív leképezését. 2. Definíció. Az {1, 2,...,

Részletesebben

Játékelmélet jegyzet

Játékelmélet jegyzet Játékelmélet jegyzet Végh László (veghal@cs.elte.hu) Király Tamás (tkiraly@cs.elte.hu) Pap Júlia (papjuli@cs.elte.hu) 2017. december 14. Bevezetés Játékelmélet alatt sok, egymással lazán vagy szorosabban

Részletesebben

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny Bonyhád, 011. március 11 15. 10. osztály 1. feladat: Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b és c. Bizonyítsuk be, hogy 3 (a+b+c) ab+bc+ca 4 Mikor állhat

Részletesebben

V. Kétszemélyes játékok

V. Kétszemélyes játékok Teljes információjú, véges, zéró összegű kétszemélyes játékok V. Kétszemélyes játékok Két játékos lép felváltva adott szabályok szerint. Mindkét játékos ismeri a maga és az ellenfele összes választási

Részletesebben

2. Kombinatorikus játékok

2. Kombinatorikus játékok 2. ombinatorikus játékok ombinatorikus játékok alatt kétszemélyes játékokat fogunk érteni, ahol a játékosok felváltva lépnek. Ebbe az osztályba tartoznak az olyan népszerűtáblajátékok, mint asakk, amalom

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 091 ÉRETTSÉGI VIZSGA 010. május. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Kétszemélyes játékok

Kétszemélyes játékok Mesterséges Intelligencia alapjai, gyakorlat Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Programozáselmélet és Szoftvertechnológiai Tanszék 2010 / udapest Kétszemélyes teljes információjú játékok két

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

6. előadás. Vektoriális szorzás Vegyesszorzat

6. előadás. Vektoriális szorzás Vegyesszorzat 6. előadás Vektoriális szorzás Vegyesszorzat Bevezetés Definíció: Az a és b vektorok vektoriális szorzata egy olyan axb vektor, melynek hossza a vektorok abszolút értékének és hajlásszögük szinuszának

Részletesebben

ULTIMATE TIC TAC TOE. Serfőző Péter

ULTIMATE TIC TAC TOE. Serfőző Péter ULTIMATE TIC TAC TOE Serfőző Péter 2016.05.02. ULTIMATE TIC TAC TOE Amőba alapján Két változat, az első könnyű, a második nehéz A játék keletkezéséről nincsenek információk, de a játékelmélet elkezdett

Részletesebben

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L

Részletesebben

További forgalomirányítási és szervezési játékok. 1. Nematomi forgalomirányítási játék

További forgalomirányítási és szervezési játékok. 1. Nematomi forgalomirányítási játék További forgalomirányítási és szervezési játékok 1. Nematomi forgalomirányítási játék A forgalomirányítási játékban adott egy hálózat, ami egy irányított G = (V, E) gráf. A gráfban megengedjük, hogy két

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

Diszkrét matematika 1.

Diszkrét matematika 1. Diszkrét matematika 1. 201. ősz 1. Diszkrét matematika 1. 1. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 201. ősz Kombinatorika Diszkrét matematika 1. 201. ősz 2. Kombinatorika Kombinatorika

Részletesebben

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen 10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

Hálózati folyamok. Tétel: A maximális folyam értéke megegyezik a minimális vágás értékével.

Hálózati folyamok. Tétel: A maximális folyam értéke megegyezik a minimális vágás értékével. Hálózati folyamok Definíció: Legyen G = (V,E) egy irányított gráf, adott egy c: E R + {0} ún. kapacitásfüggvény, amely minden (u,v) ε E élhez hozzárendel egy nem negatív c(u,v) kapacitást. A gráfnak van

Részletesebben

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :

Részletesebben

JÁTÉKELMÉLETTEL KAPCSOLATOS FELADATOK

JÁTÉKELMÉLETTEL KAPCSOLATOS FELADATOK 1.Feladat JÁTÉKELMÉLETTEL KAPCSOLATOS FELADATOK Az alábbi kifizetőmátrixok három különböző kétszemélyes konstans összegű játék sorjátékosának eredményeit mutatják: 2 1 0 2 2 4 2 3 2 4 0 0 1 0 1 5 3 4 3

Részletesebben

Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.

Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23. Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

A játék készlet tartalma: 40 bábu sógitábla játékszabályok

A játék készlet tartalma: 40 bábu sógitábla játékszabályok A játék készlet tartalma: 40 bábu sógitábla játékszabályok www.shogi.cz info@shogi.cz /Shogi.cz /Shogi.cz Online: www.shogi.cz/manuals KEZDoÁLLÁS Ha a saját oldalunkról nézzük, akkor a játékosok a bábokat

Részletesebben

Egy francia-sakk feladvány: Világos lép, és döntetlen az alsó sor az 1. sor!

Egy francia-sakk feladvány: Világos lép, és döntetlen az alsó sor az 1. sor! Leüttetni az összes bábud! A játszmát a rendes sakkal ellentétben sötét kezdi. Döntetlen itt is lehetséges, például két különböző színű futó esetén. A királynak ebben a játékban nincsen kitüntetett szerepe

Részletesebben

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 1. Tegyük fel, hogy A és B egymást kölcsönösen kizáró események, melyekre P{A} = 0.3 és P{B} = 0.. Mi a valószínűsége, hogy (a A vagy B bekövetkezik;

Részletesebben

Regressziós játékok. Pintér Miklós. XXVII. OPKUT Konferencia 2007, június 7-9. Balatonöszöd. Budapesti Corvinus Egyetem Matematika Tanszék

Regressziós játékok. Pintér Miklós. XXVII. OPKUT Konferencia 2007, június 7-9. Balatonöszöd. Budapesti Corvinus Egyetem Matematika Tanszék Budapesti Corvinus Egyetem Matematika Tanszék XXVII. OPKUT Konferencia 2007, június 7-9. Balatonöszöd Tartalomjegyzék 1 2 3 Statisztikus játék Legyen (Ω, M, P) valószínűségi mező rögzítet, v : Ω P(N) R

Részletesebben

Megoldások 4. osztály

Megoldások 4. osztály Brenyó Mihály Pontszerző Matematikaverseny Megyei döntő 2015. február 14. Megoldások 4. osztály 1. Számkeresztrejtvény: Az alábbi keresztrejtvény ábra abban különbözik a hagyományos keresztrejtvényektől,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül? 1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy

Részletesebben

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet

Részletesebben

KOMBINATORIKA MATEMATIKA SEGÉDANYAG A TANÍTÓKÉPZÉSHEZ

KOMBINATORIKA MATEMATIKA SEGÉDANYAG A TANÍTÓKÉPZÉSHEZ KOMBINATORIKA MATEMATIKA SEGÉDANYAG A TANÍTÓKÉPZÉSHEZ C. Neményi Eszter 2015. ELTE TANÍTÓ- ÉS ÓVÓKÉPZŐ KAR SZERKESZTŐ: Radnai Gyuláné Dr. Szendrei Julianna LEKTOROK: Wéber Anikó vezető tanító és a Matematika

Részletesebben

Mesterséges Intelligencia MI

Mesterséges Intelligencia MI Mesterséges Intelligencia MI Keresés ellenséges környezetben Dobrowiecki Tadeusz Eredics Péter, és mások BME I.E. 437, 463-28-99 dobrowiecki@mit.bme.hu, http://www.mit.bme.hu/general/staff/tade Ellenség

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI

FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNY: Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez egyértelműen hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 3. Fuzzy aritmetika Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Intervallum-aritmetika 2 Fuzzy intervallumok és fuzzy számok Fuzzy intervallumok LR fuzzy intervallumok

Részletesebben

Műveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz

Műveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz 2018/2019 ősz Elérhetőségek Előadó: (safaro@math.bme.hu) Fogadóóra: hétfő 9-10 (H épület 3. emelet 310-es ajtó) A pontos tárgykövetelmények a www.math.bme.hu/~safaro/kalkulus oldalon találhatóak. A mátrix

Részletesebben

Chomsky-féle hierarchia

Chomsky-féle hierarchia http://www.ms.sapientia.ro/ kasa/formalis.htm Chomsky-féle hierarchia G = (N, T, P, S) nyelvtan: 0-s típusú (általános vagy mondatszerkezetű), ha semmilyen megkötést nem teszünk a helyettesítési szabályaira.

Részletesebben

Rasmusen, Eric: Games and Information (Third Edition, Blackwell, 2001)

Rasmusen, Eric: Games and Information (Third Edition, Blackwell, 2001) Játékelmélet szociológusoknak J-1 Bevezetés a játékelméletbe szociológusok számára Ajánlott irodalom: Mészáros József: Játékelmélet (Gondolat, 2003) Filep László: Játékelmélet (Filum, 2001) Csontos László

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Geometriai példatár 3.

Geometriai példatár 3. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Baboss Csaba Szabó Gábor Geometriai példatár 3. GEM3 modul Projektív geometria SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999.

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Kereskedési rendszerek kétoldalú szerződésekkel

Kereskedési rendszerek kétoldalú szerződésekkel Kereskedési rendszerek kétoldalú szerződésekkel Fleiner Tamás, Jankó Zsuzsanna, Akihisa Tamura, Alexander Teytelboym 2017. június 16. MOK Fleiner Tamás, Jankó Zsuzsanna, Akihisa Tamura, Kereskedési Alexander

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. Diszkrét matematika 2. 2018. szeptember 21. 1. Diszkrét matematika 2. 2. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. szeptember 21. Gráfelmélet

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga

MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1 Írásban, 90 perc. 2 Személyazonosságot igazoló okmány nélkül

Részletesebben

11. előadás. Konvex poliéderek

11. előadás. Konvex poliéderek 11. előadás Konvex poliéderek Konvex poliéder 1. definíció: Konvex poliédernek nevezzük a térben véges sok, nem egysíkú pont konvex burkát. 2. definíció: Konvex poliédernek nevezzük azokat a térbeli korlátos

Részletesebben

Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben

Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára Analízis R d -ben Gyakorlatvezetõ: Hajnal Péter 2012. február 8 1. Konvex függvények Definíció. f : D R konvex, ha dom(f) := D R n konvex és tetszőleges

Részletesebben

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Megyei forduló április mal, így a számjegyeinek összege is osztható 3-mal.

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Megyei forduló április mal, így a számjegyeinek összege is osztható 3-mal. 44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Megyei forduló - 2015. április 11. HATODIK OSZTÁLY - Javítási útmutató 1. Melyik a legkisebb 3-mal osztható négyjegyű szám, amelynek minden számjegye különböző,

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.

Részletesebben

Gyakorlatok. P (n) = P (n 1) + 2P (n 2) + P (n 3) ha n 4, (utolsó lépésként l, hl, u, hu-t léphetünk).

Gyakorlatok. P (n) = P (n 1) + 2P (n 2) + P (n 3) ha n 4, (utolsó lépésként l, hl, u, hu-t léphetünk). Gyakorlatok Din 1 Jelölje P (n) azt a számot, ahányféleképpen mehetünk le egy n lépcsőfokból álló lépcsőn a következő mozgáselemek egy sorozatával (zárójelben, hogy mennyit mozgunk az adott elemmel): lépés

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 3. Előadás

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 3. Előadás Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 3. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Pék Máté 2009. szeptember 21. 1. Folyamok 1.1. Definíció. G = (V, E, K, B) irányított gráf, ha e! v : ekv

Részletesebben

FELVÉTELI VIZSGA, július 17.

FELVÉTELI VIZSGA, július 17. BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 2017. július 17. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL I. TÉTEL (30 pont) 1) (10 pont) Igazoljuk, hogy tetszőleges m R esetén

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Fonyó Lajos: A végtelen leszállás módszerének alkalmazása. A végtelen leszállás módszerének alkalmazása a matematika különböző területein

Fonyó Lajos: A végtelen leszállás módszerének alkalmazása. A végtelen leszállás módszerének alkalmazása a matematika különböző területein A végtelen leszállás módszerének alkalmazása a matematika különböző területein A végtelen leszállás (infinite descent) egy indirekt bizonyítási módszer, ami azon alapul, hogy a természetes számok minden

Részletesebben

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 2. : Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 Tananyagfejlesztéssel

Részletesebben

Diszkrét matematika 1.

Diszkrét matematika 1. Diszkrét matematika 1. 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes 1. Algebrai alapok: DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz

Részletesebben

1. beadandó feladat: egyszerű grafikus felületű alkalmazás. Közös követelmények:

1. beadandó feladat: egyszerű grafikus felületű alkalmazás. Közös követelmények: 1. beadandó feladat: egyszerű grafikus felületű alkalmazás Közös követelmények: A megvalósításnak felhasználóbarátnak, és könnyen kezelhetőnek kell lennie. A szerkezetében törekedni kell az objektumorientált

Részletesebben

Megoldókulcs. Matematika D kategória (11-12. osztályosok) 2015. február 6.

Megoldókulcs. Matematika D kategória (11-12. osztályosok) 2015. február 6. Megoldókulcs Matematika D kategória (11-12. osztályosok) 2015. február 6. 1. Az ABC háromszög mindhárom csúcsából merőlegeseket állítunk a többi csúcs külső és belső szögfelezőire. Igazoljuk, hogy az így

Részletesebben

4 = 0 egyenlet csak. 4 = 0 egyenletből behelyettesítés és egyszerűsítés után. adódik, ennek az egyenletnek két valós megoldása van, mégpedig

4 = 0 egyenlet csak. 4 = 0 egyenletből behelyettesítés és egyszerűsítés után. adódik, ennek az egyenletnek két valós megoldása van, mégpedig Oktatási Hivatal Az forduló feladatainak megoldása (Szakközépiskola) Melyek azok az m Z számok, amelyekre az ( m ) x mx = 0 egyenletnek legfeljebb egy, az m x + 3mx 4 = 0 egyenletnek legalább egy valós

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

17. előadás: Vektorok a térben

17. előadás: Vektorok a térben 17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0 I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)

Részletesebben

Függvény határérték összefoglalás

Függvény határérték összefoglalás Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis

Részletesebben

Döntési rendszerek I.

Döntési rendszerek I. Döntési rendszerek I. SZTE Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék Készítette: London András 7. Gyakorlat Alapfogalmak A terület alapfogalmai megtalálhatók Pluhár András Döntési rendszerek

Részletesebben

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

10. előadás. Konvex halmazok

10. előadás. Konvex halmazok 10. előadás Konvex halmazok Konvex halmazok Definíció: A K ponthalmaz konvex, ha bármely két pontjának összekötő szakaszát tartalmazza. Állítás: Konvex halmazok metszete konvex. Konvex halmazok uniója

Részletesebben

MintaFeladatok 2.ZH Megoldások

MintaFeladatok 2.ZH Megoldások 1. feladat Kérem e-mail-ben jelezze, ha hibát talál: (veanna@inf.elte.hu, vagy veanna@elte.hu ) P={ } S A B C AB SC AC a c BC b CS SS c S a kezdőjel Mivel a piramis tetején lévő kocka a mondatkezdő szimbólumot

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Matematika alapjai; Feladatok

Matematika alapjai; Feladatok Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \

Részletesebben

1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata.

1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. 1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HLMZOK halmaz axiomatikus fogalom, nincs definíciója. benne van valami a halmazban szintén axiomatikus fogalom,

Részletesebben

HAMILTON KÖR: minden csúcson PONTOSAN egyszer áthaladó kör. Forrás: (

HAMILTON KÖR: minden csúcson PONTOSAN egyszer áthaladó kör. Forrás: ( HAMILTON KÖR: minden csúcson PONTOSAN egyszer áthaladó kör Teljes gráf: Páros gráf, teljes páros gráf és Hamilton kör/út Hamilton kör: Minden csúcson áthaladó kör Hamilton kör Forrás: (http://www.math.klte.hur/~tujanyi/komb_j/k_win_doc/g0603.doc

Részletesebben

Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy

Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy 1. előadás: Halmazelmélet Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy hozzátartozik-e,

Részletesebben

Halmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1

Halmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1 Halmazelmélet 1. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Halmazelmélet p. 1/1 A halmaz fogalma, jelölések A halmaz fogalmát a matematikában nem definiáljuk, tulajdonságaival

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

Játékok és a számítógép

Játékok és a számítógép Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Játékok és a számítógép BSc szakdolgozat Készítette: Témavezeto : Szabó Dávid Szo nyi Tamás Matematika BSc egyetemi tanár Alkalmazott matematikus Számítógéptudomány

Részletesebben

Tartalom. Állapottér reprezentációk tulajdonságai stabilitás irányíthatóság megfigyelhetőség minimalitás

Tartalom. Állapottér reprezentációk tulajdonságai stabilitás irányíthatóság megfigyelhetőség minimalitás Tartalom Állapottér reprezentációk tulajdonságai stabilitás irányíthatóság megfigyelhetőség minimalitás 2018 1 Állapottér reprezentációk tulajdonságai Általánosan egy lineáris, SISO dinamikus rendszer

Részletesebben