A Fokker Planck Kolmogorov-egyenlet és alkalmazása a híradástechnikában

Átírás

1 PAP LÁSZLÓ BME Híradásechnikai Elekronika-Inéze A Fokker Planck Kolmogorov-egyenle és alkalmazása a híradásechnikában ETO : A szohaszikus folyamaokkal vezérel dinamikus nemlineáris rendszerek vizsgálaának fonos kérdése a válaszfüggvény saiszikai jellemzői valószínűségi eloszlásfüggvényeinek vagy (amennyiben léezik) sűrűségfüggvényének meghaározása. Sacioner vezérlő források eseén ez a felada ké részre oszhaó: (i) a ranziens-analízis és (ii) az állandósul állápo vizsgálaa. Ez uóbbihoz arozik a eljesíményspekrum meghaározása is. Amennyiben a vizsgál rendszer állapoai öbbdimenziós Markov-folyamaal jellemezheők, külön kérdés lehe annak az időnek (firs passage ime [1]) a várhaó éréke, amely ala ado kezdei feléelből a rendszer az állapoérben a ranziens során valamely korláozó hiperfelülee elér. A gyakorlai feladaok egy részében a feni kérdések megválaszolásakor jól használhaó a szohaszikus érelméle és a Fokker Planck Kolmogorov-egyenle. A éma először a vélelen lépések elmélee, a Brown-mozgás és a diffúziós folyamaok kapcsán veődö fel, és csak az 50-es évekől kezdve vál az áramkör- és rendszerervező mérnök gyakorlai problémájává. A cikk célja a émában elér legfonosabb eredmények bemuaása és olyan álalános módszer ismereése, amely a fehér Gauss-folyamaokból lineáris vagy nemlineáris szűréssel előállío vezérlőjelek eseén alkalmas a korábban felvee kérdések megválaszolására. A ovábbiakban bemuao eredmények részben az [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10] forrásokban közölek összefoglalása, részben azok kiegészíése a véges korrelációs idejű [11] Gauss-f olyamaok és a sacioner deerminiszikus jelek eseére. A Fokker Planck Kolmogorov-egyenle igen fonos szerepe jászik az álalános szinkronizáló rendszerek és PLL-hurkok analízisében [1, 2, 3, 4, 7, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24], az oszcilláorok zaj álal okozo zavarainak vizsgálaában [25, 26] és a dinamikus szabályzó rendszerek elméleében [10, 27]. 1. A probléma felveése és az előzmények áekinése A felada, melye eljes álalánosságában először A. N. Kolmogorov [28] árgyal a kövekezőképpen Beérkeze: I. 10. fogalmazhaó meg. Ado egy {r](f), f T} időbeli szohaszikus folyama, amelynek eljes saiszikai leírása ismer. Ado ezen kívül egy igen álalános ranszformációs szabály, amely kapcsolao erem az {r)(), í T} és a belőle származahaó { (*), í T} szohaszikus folyamaok közö. Meghaározandó a {l(0> * T} eljes saiszikai leírása. Teljes saiszikai leírás ala a szohaszikus folyamahoz rendel együes valószínűségi eloszlások eljes rendszerének ismereé érjük. A klasszikus fizikában már az elmúl század végén felveődö néhány olyan probléma, amely a fen emlíe álalános felada speciális eseének ekinheő. Ilyen vol a három szabadságfokú mechanikai rendszerekre vonakozó Maxwell Bolzmann (1860 körül) sebességeloszlás számíása, a Rayleigh (1880, 1894 és 1899) álal felvee és végül Pearson (1905) álal megfogalmazo vélelen lépések elmélee és a Bachelier (1900) álal kidolgozo őzsdei modell. Nagy lendülee ado a kérdés ovábbi anulmányozásának Einsein (1905) munkássága a Róber Brown (1827) álal felfedeze molekuláris mozgással és álalában a diffúzióval kapcsolaban. Bár korábban már Rayleigh és Bachelier is eljuo ahhoz a felismeréshez, hogy az álaluk kiűzö felada megoldása egy parciális differenciálegyenle megoldására vezehe vissza, csak a diffúziós alapegyenleek felírása uán kezdődö meg a kérdés ilyen érelmű anulmányozása. A diffúziós elmélee Smoluchowsky (1914, 1916), Langevin (1908), majd Fokker (1913, 1914, 1918) és Planck (1915, 1917) fejleszee ovább, megfogalmazva az ún. szohaszikus differenciálegyenle-problémá és megadva a valószínűségi sűrűségfüggvényre vonakozó Fokker Planck-egyenlee. A. N. Komogorov alapveő munkássága [28] nyomán, amelyben folyonos Markovv-ípusú folyamaokra megada a kiűzö felada megoldásá, Chandrasekhar [29], illeve Ming Chen Wang és Uhlenbeck [30] kiegészíee és eljessé ee a Brown-mozgás elméleé. A vélelen zavarokkal diszurbál nemlineáris dinamikus rendszerek leírásával először Andronov [31] foglalkozo, néhány egyszerűbb esere az állandósul állapora érvényes valószínűségi sűrűségfüggvény is meghaározva. Az elméle mérnöki-gyakorlai al- 225

2 HÍRADÁSTECHNIKA XXVII. ÉVF. 8. SZ. kalmazásainak sorá Szraonovics és munkaársai nyioák meg 1953 és 1960 közö. Az álaluk publikál eredmények sorába arozik Tyihonov ké alapveő cikke [3, 4], amely a fázis-zár hurok zajviszonyaival foglalkozik, és amely az ún. koherens hírközléselméle egyik alapozó művének ekinheő. A munkaközösség elmélei eredményei Szraonovics 1963-ban megjelen könyve [32] foglalja össze, amely az állandósul állapook vizsgálaán kívül a valószínűségi sűrűségfüggvény időbeli ranzienseinek egy elemzési módszeré is bemuaja. Az 1960-as évek elejéől kezdve a Fokker Planck Kolmogorovegyenle alkalmazása körében egész sor gyakorlai émával foglalkozó publikáció jelenik meg. A híradásechnikában jelenős yierbi [1, 2], Lindsey [7, 11, 15, 17, 24], Devele [12], Rey [13], Schilling és Billíng [14], Tausworhe [16] munkája és Gupa [21] összefoglaló cikke, a szabályozáselméle erüleén pedig Fuer [10] és Larson [17] áekinő anulmánya. Pawula [5] 1967-ben publikál cikkében a klasszikus elmélee kierjeszee a nem Markov-ípusú szohaszikus folyamaokra is, bebizonyíva, hogy néhány nem úlságosan szigorú megköéssel elméleileg leheőség nyílik arra, hogy eszőleges bemeni {»](*), T} folyama és eszőleges ranszformációs szabály eseén előállísuk az eredményeze kimenei { (/), í T) folyama eljes saiszikai leírásá. A éma maemaikai alapjainak mélyebb megisme résé segíi Doob [33],"Spizer [34] és Bharucha Reid [6] szohaszikus folyamaokkal foglalkozó monográfiája és Deusch [9] összefoglaló munkája. 2. A Markov-folyamaok Fokker-flanek-Kolmogorov-egyenlee Elekinve Pawula [5] korábban emlíe álalánosíásáól, a ovábbiakban a Fokker Planck Kolmpgorov-egyenlee csak Markov-folyamaok eseére haározzuk meg. Legyen ado az első fejezeben bevezee {%(), /< T} n-dimenziós folyonos szohaszikus vekorfolyama, amely az E", n-dimenziós euklideszi érben vesz fel érékeke. Folyonos ala i időbeli folyonosságo érünk, ehá T=R, ahol R a valós számok halmaza. Téelezzük fel, hogy az {](f), * T} folyama és a ranszformációs szabály olyan, hogy a {í"(0» * T} folyama elsőrendű Markovfolyama, a ovábbiakban egyszerűen Markov-folyama, és léezik a p(x, ÍK, í 0 )=P(xs xdx, Wo)=x<,> *o)> ámenei valószínűségi sűrűségfüggvény, ahol p(- «) álalában a feléeles valószínűségi sűrűségfüggvény jelölése. Elsőrendű Markov-folyamaokra igaz, hogy P(x, fix,,, 0 ;x v í x ;... ; x, n ) = p(x, ^, 0 ), (1) amiből azonnal kövekezik, hogy a folyama eljes saiszikai leírásához elegendő a másodrendű eloszlások rendszerének ismeree, mivel a p(x, /; XQ, 0 ; x l <p... ; x n _ x, í,,^; x n, í )=p(x, f xo, / ) P(X<)> o\*e -P( X n-l> *n-ll x n> n )P(Xn> Q> f ^ í ^... ^,. ^ (2) összefüggés alapján bármely együes eloszlás generálhaó. Ismer [5] ovábbá, hogy a folyonos Markovfolyamaok ámenei valószínűségi sűrűségfüggvénye kielégíi a Smoluchowsky- vagy más néven Chapman Kolmogorov-egyenlee, ehá p(x, í[xo, / 0 )= j*p(x, \x', ')p(x', f' x 0, f 0 )dx'; o^'^, (3) azaz a p(x,í\x 0, 0 ) előállíásához elegendő számba venni az összes (x',f) állapooka, amelyeken kereszül a rendszer az (x,),/ 0 ) állapoból az (x,/) állapoba kerül. Időben homogén folyamaokra az ámenei valószínűségi sűrűségfüggvény csak a V növekményől függ, így a (3) egyenle módosío válozaa a p(x, 11 x', ')=p(x, ' x, 0) hely eesí éssel nyerheő. Amennyiben a folyama sacionárius, a p s (x x 0 ) sacionárius állapoban érelmeze ámenei valószínűségi sűrűségfüggvény függelen az időől, vagyis (3) módosío válozaa a p s (x x 0 ) = j"p(x, /-í' x',0)p s (x' Xo)dx' (4) E" alakban irhaó fel. * ~~ A Fokker Planck Kolmogorov-egyenle a Smoluchowsky-egyenleből öbbféle úon származahaó [1, 5, 10, 11, 28, 32]. Ezek közül a Vierbi [1] és Lindsey [7] álal közöl eljárás kövejük. =ía és ' = í helyeesíéssel (3)-ból megkapjuk a időponban érelmeze ámenei valószínűségi sűrűségfüggvény kifejezésé: p(x,/zlí x 0,í 0 ) = = J*p(x, \x', )p(x', f x 0, í 0 ) dx'. (5) E" p(x, í x 0,/ ) A idő alai növekménye a p(x,ízlí x 0,í 0 )-p(x,r x 0,í 0 ) (6) különbséggel adhaó meg. Vezessünk be ezuán egy eszőleges R(x) skalár- -vekor függvény, amely x szerin m-szer (m = l,2,... ) deriválhaó, és <*>, (z*=l,2,...,ri) eseén elég gyorsan elűnik. Vizsgáljuk a ovábbiakban a lim i f fl(x) [p(x, lxp / 0 )-p(x, í Xo, / 0 )]dx= J-0 J = lim ~ Jj?(x) Jp(x, \x',)p(x',\x 0 0 )dx'dx- E" E" -lim ~ f/?(x)p(x,í x 0,gdx (7) ^-o A J 226

3 PAP L.: A FOKKER PLANCK KOLMOGOROV EGYENLET inegrál éréké akkor, ha A-*0, azaz, ha az A deriválhaósági - feléel kövekezében az R(x) egyenle bal oldalán a p(x,í x,f 0 ) idő szerini deri- függvény az x' pon körül öbbdimenziós Taylor-sorválja szerepel. ' ba fejheő: / n n n,j_ y y (x -x'mx x') x=x d m ( x ) i x=x'... (8) A Taylor-sor (7)-be helyeesíése, a bal oldalon kijelöl haárámene elvégzése és néhány áalakíás uán [1, 7] az E n, E" B" 4 J^:^^'V*0d X... f (9) B» egyenlehez juunk, mivel a (8) jobb oldalának első ^j. 1 f,. ( x agja áalakíások uán azonos a (7) jobb olda- *H*>Ü= jf" j ' ~ X ^ K ' A \^' 0* Iának második agjával. A kifejezésben szereplő E» ( /í l [ k )(z=l,2,...) ún. inénziás-együhaók a (10) es Kíf(x,0=lim f(x i '- : r i )(x i '-ar j )p(x' ) ízl/ x,í)dx' (11) J~0 íi J E" K$(x,0=ljmj^^ \ ' (12) egyenleek alapján az x x' differenciális szohaszikus növekmény momenumai. A (9) egyenle agonkéni parciális inegrálása uán, felhasználva az, hogy az J?(x) függvény a végelenben elég gyorsan elűnik, az C R M ^ j M ) n * ^^)(x,q P (x,jxp,g í» ^ ^ ^ ( ^ O P C X ^ I X Q ^ O ) J* ( X ) ^ D X - J [~á '.. ar, ( ) 2Í i -f l j éi ( ) fr.ar, ", ' _ l y y y f i M * M M ) l d x - íl3>..siáéííi ( x ). dx-^dx, ---\ d összefüggéshez juunk, és miuán R(x) eszőleges, nyessége függelen a generáló {ÍJ(Í), í T} folyama és az egyenlőségnek az inegrál argumenumára is fenn a ranszformációs szabály léezéséől, és explici forkell állnia. Továbbá igaz, hogy a Markov-folyamaok mában nem is aralmazza azok jellemzői. Igaz egy igen széles oszályára [5] a K$.... inenzi- viszon, hogy a K inenziás-együhaók előállíásáás-együhaók bármely indexpermuációra zérus- hoz elméleileg szükség volna az ismerelen ámenei sá válnak*, így (13) a klasszikus Fokker Planck valószínűségi sűrűségfüggvényre. Ha a ranszformá- Kolmogorov-parabolikus ípusú parciális differen- ciós szabály és a generáló folyama eljes saiszikai ciálegyenlee adja: leírása ismer, akkor gyakran leheőség'adódik (ld, a n későbbiekben) a K inenziás-együhaók kiszámíflp( x»'l x o>'o) 2} [K^x, f)p(x, f x 0,f 0 )] ására, és az így nyer parciális differenciálegyenle d i=idxi kezdei és haárfeléeleinek meghaározására. 1 n n #2 Az ámenei valószínűségi sűrűségfüggvény az 2\2 Z g j ^ W^'OP^'IXo.ío)]- (14) (Xo,í 0 ) kezdei feléelekől is függ. Ez fejezi ki a közel 1-1 i ' ' hasonló módon származahaó (7) Visszaérve az 1. ponban megfogalmazo alap- a / \x f\ íl a problémára, jól láhaó, hogy a (14) egyenle érvé- = 2 K?\ x o> *«>) 4~ [P(*> < x», 0 )] * Pawula [5] álalánosan is igazola, hogy amennyiben a zé- 1 " " d z f rusól különböző inenziásegyühaók száma véges, akkor ~ő\2 2 ffiffa)' o) a V.' [P( x > ^l^o* W z=»2 eseén minden inenziásegyühaó elűnik. ^!i=ij=i- (^m^oj 227

4 HÍRADÁSTECHNIKA XXVII. ÉVF. 8. SZ. parciális differenciálegyenle, melynek a (14) adjungálja [35]. Az uóbbi Kolmogorov első, másnéven backward, az előbbi pedig Kolmogorov második, forward egyenleének is szokák nevezni [31]. A ké jelző arra ual, hogy a deriválás az időben korábbi vagy későbbi állapo szerin örénik. Mivel a backward egyenle jelenősége a gyakorlaban kisebb, a ovábbiakban csak a Fokker Planck Kolmogorovegyenleel foglalkozunk. 8. A dinamikus nemlineáris rendszerek Fokker Planck Kolmogorov-egyenlec A dinamikus nemlineáris rendszerek állapoválozás leírása [36] az elerjed szabályozásechnikai és hálózaelmélei alkalmazásokon [37, 38] kívül eredményesen használhaó fel a szohaszikus üzenee ovábbíó lineáris vagy nemlineáris híradásechnikai csaornáléf[8], valamin, a zajjal diszurbál fázis-zár hurkok és oszcilláorok analízisére is.'az állapoválozók elsőrendű differenciálegyenle-rendszere a ^=f(x,0b(x,0u(0 (16) alakban írhaó fel, ahol x az állapoválozók n X l-es oszlopvekora, az idő, f(x, ) az x és függvényeinek nxl-es oszlopvekora, B(x, ) egy nxm-es márix, u(f) pedig a külső gerjeszések mx l-es oszlopvekora. Az álalánosság némi szűkíésével a ovábbiakban feléelezzük, hogy a kimenei jellemző az állapoér valamely koordináájával azonos, így a szokásos második állapoegyenle [36] elhagyhaó. Az álalunk vizsgál szohaszikus jelekkel gerjesze rendszerekben az u(í) gerjeszésvekor az (í?(í), f T} vekorral helyeesíheő, amelynek minden rendezője valamely időbeli szohaszikus folyama. Az álalánosság ovábbi szűkíésével a kövekezőkben csak olyan redszereke vizsgálunk, ahol a gerjesző jelek mindegyike fehér Gauss-folyama vagy ún. állapofüggő [10] fehér Gauss-folyama. Ezeknek a fehér Gauss-folyamaoknak a szigorú maemaikai érelmezése, pl. a Dirac-dela függvényhez hasonlóan, nem adhaó meg, ezér a (16) differenciál-egyenle inegrálása elő célszerű a fehér Gauss-folyamaoka más, maemaikailag egzak módon kezelheő szohaszikus folyamaokból származani. Az 1. Függelékben közöl összefüggések alapján az {rj(), í T} fehér Gauss-vekorfolyamaok a {v(), fét} diffúziós vekorfolyama idő szerini formális deriváljai. A (16) állapoegyenle módosío formában a dx=f(x,)áíb(x,)-dv (17) alakban írhaó fel. Mindké oldal formális inegrálása uán az x() x() szohaszikus növekmény áz x()-x() M - li = j f(x(er), a) d<r J B(x( ff ), a) dv(er) ( 1 8 ) egyenleel haározhajuk meg. A jobb oldal első agja Riemann-ípusú, idő szerini inegrál, a második ag azonban külön érelmezendő, mivel v() megválozása nem véges, így a közönséges Sieljes-ípusú inegrálkalkulus alapján sem érékelheő ki. Az ilyen ún. szohaszikus inegrál érelmezésé Doob [33] álalános felveése alapján Iő [41] és Szraonovics [421 ada meg ké, egymásól elérő formában (ld. 2. Függelék). Bár a ké szohaszikus inegrálkalkulus alapján érelmeze inegráloknak különböző saiszikai jellemzőik vannak, Kailah és Fros [431 részlees analízise a ké inegrál összehasonlíásakor kimuaa, hogy nincs álalános definíció abban áz érelemben, hogy minden más definíció helyelen. Mindig az akuális felada döni el, hogy éppen melyik inegrálípus kell felhasználni. A 2. Függelékben megado definíciók és éelek alapján a (18) szohaszikus differenciálegyenleben kijelöl szohaszikus inegrálok érelmezheők és várhaó érékük valamin szórásuk meghaározhaó. Io és Szraonovics igazola, hogy a fehér Gauss-folyamaokkal gerjesze lineáris rendszerekre és a nemlineáris rendszerek egy igen széles oszályára (gyakorlaban a hiszerézismenes rendszerekre [45]) az állapovekor min időbeli szohaszikus vekorfolyama Markov-folyama. így a szohaszikus inegrálok érelmezése alapján a (10) és (11) összefüggésekkel definiál differenciális szohaszikus növekmények saiszikai jellemzői meghaározhaók, azaz előállíhaók a Markov-folyamaokra érvényes (14) Fokker Planck Kolmogorov-egyenle Kffl(z= 1,2) inenziásegyühaói. További fonos eredmény, hogy amennyiben a B(x(f), ) márix nem függ az x(/) vekoról, az Io és Szraonovics-inegrálok alapján számol inenziásegyühaók azonos érékűek (ld. az (F27, F28 és F29) összefüggés). Fuller [10] egyszerű másodrendű rendszer eseére igazola, hogy amennyiben a B(x(í)> ) márix elemei "az x(í) állapovekor fügvényei, a Szraonovics-inegrálok alapján érelmeze inenziás-együhaók és az így felállío Fokker Kolmogorov-egyenle írja le egzak módon a fehér Gauss-folyamaokkal gerjesze rendszerek működésé*. Ebben az eseben, amely elsősorban a paraméer-vezérel rendszerek analízisében kapo hangsúlyozo szerepe [46], gyakran állaposzorzo fehér" Gauss-folyamaokról beszélünk, szemléleesen ualva a B(x(/), ) márix és az r)() vekor szorzaának jelenléére a szochaszikus differenciálegyenleben**. A (17) differenciálegyenlehez arozó Fokker Planck Kolmogorov-egyenle inenziás-együhaói a 2. fejeze eredményei alapján a differenciális szochaszikus növekmény momenumai (ld. a (10) és (11) egyenleeke), amelyek szoros kapcsolaban állnak a 2. Függelékben definiál inegrálok várhaó érékével és másodrendű momenumaival. Az ismeree de- * A émában megjelenő publikációk nagy része másodrendű rendszerek vizsgálaával foglalkozik, mivel a parabolikus ípusú Fokker Planck-^ Kolmogorov-parciális differenciálegyenleek a másodrendű eseek egy részében zár alakban megoldhaók. A [10] összefoglala a zár alakban megoldhaó egyenleek főbb ípusai. ** A éma irodalmában gyakran emlíe módszer az Szraonoyics-egyenleek Iö-egyenleé ranszformálása, mely azzal indokolhaó, hogy az Iő-inegrálok kezelése egyszerűbb. A ranszformáció alapja az Iő- és Szraonovics-inegrálok közö fennálló (F27) kapcsola. 228

5 PAP L.: A FOKKER PLANCK KOLMOGOROV EGYENLET finíciók és éelek alapján a (10), (11), (18), (F28) és alábbi formában írhaók fel (az álalánossághoz ele- (F29) felhasználásával az inenziás-együhaók az gendő a Szraonovics-inegrálkalkulus ekineni): es A{»(í,0=JjiiiJ ( Mh(//IO-^iWI=«m i 2 í {jlí J/,««). Jlf] = i. i 4i i i ^^w^r^w ' j = l k = l 1 = 1 Kff)( X, 0 = lim i [( a;i (ízj0-^(0)(^(í ^)-^(0)] = lim ie s = (19) k=ll=l ^ (20) A (19) és (20) egyenleek (14)-be helyeesíése uán megkapjuk az x(í) állapovekorra vonakozó öbbdimenziós feléeles valószínűségi sűrűségfüggvény n 1 válozós parciális differenciálegyenleé, amely ado p(x 0, í ) kezdei feléelek és ado peremfeléelek ismereében leheővé eszi a p(x, í x 0, í 0 ) számíásá. Az eseek öbbségében csak a p s (x x 0 ) sacionárius, időől függelen megoldás keressük, amely a (14) egyenle bal oldalán szereplő idő szerini deriválás elhagyásával módosío egyenle megoldásából nyerheő, ha az inenziás-együhaók azidőől függelenek. A sacionárius megoldás egyérelműsége könnyen igazolhaó [10], a léezéssel kapcsolaosan Kolmogorov [31] éelé heuriszikusán álalánosíva [10] kijelenheő, hogy mindig van egyérelmű sacionárius megoldás, ha a vizsgál rendszernek nincs olyan része, amely a vezérlő jelekől eljesen függelen, és ha a sacionárius megoldás nem azonosan zérus. A dinamikus nemlineáris rendszerek analízisének érdekes kérdése a fehér Gauss-folyamaokból lineáris vagy nemlineáris szűréssel előállío, álalában sávhaárol vezérlő jelekkel gerjesze rendszerek vizsgálaa. Legyen ado a (17) állapoegyenle módosío formája dxi(í) =f x ( Xl, QB^, í)í*(0b 2 (x 15 0 d»i(0 " (21) ahol x L () az állapoválozók ^Xl-es oszlopvekora, í az idő, f (Xj, í) az x x és í függvényeinek n L X l-es oszlopvekora, j(í) a fehér Gauss-folyamaból szűréssel előállío vezérlő jelek AX l-es oszlopvekora, i> (í) a zérus várhaó érékű diffúziós folyamaok n^x l-es oszlopvekora, B,(x, í) i^xk, B 2 (x,, ) n 1 Xm 1 dimenziójú márix. Ezenkívül ismerjük, vagy a ^(^saiszikai jellemzőinek ismereében approximáljuk azon rendszer állapoegyenleé, amely fehér Gauss-folyamaokból a p(í) vezérlőjeleke előállíja: ' ^-=f 2 (x 2,0 B 3 (x 2,0 d V a ( / ) d X jí(í)=c(x 2,í) D(x 2,í) dv 2 (0 (22) ahol X2(í) az állapoválozók n 2 Xl-es oszlop vekora, f 2 (x2, í) az x 2 és í függvényeinek n 2 X l-es oszlop vekora v 2 (í) a zérus várhaó érékű diffúziós folyamaok m 2 Xl-es oszlopvekora, c(x, í) A-Xl-es oszlopvekor, llfaj)n 2 Xm 2, D(x,,í) /íxm 2 dimenaiójú márix. Az emlíe approximáció lineáris szűrés eseén legalább eljesímény-sávszélességre örénik, nemlineáris szűrés eseén a (22) egyenle előállíására álalános szabály nincs. Az inenziás-együhaók meghaározására alkalmas összevon állapoegyenle (21) és (22) felhasználásával a fi B 1 c l f 2 B, <fr 2(í) Í 2^f H L -D d^) (23) alakban írhaó fel. Az összevon állapoegyenle r^n^ dimenziós, így a hozzá arozó Fokker Planck Kolmogorov-egyenle válozóinak száma n L n 2 1. í. Illuszraív példák 4.1 Egyszerű diffúziós folyama Meghaározandó az x() időbeli, szochaszikus folyama eljes saiszikai leírása, ha ado a dx(0 dt = %(0 (24) egydimenziós szochaszikus differenciálegyenle, és i7 f (í) N 0 /2 eljesíménysűrűségű fehér Gauss-f olyama (Id. 1. Függelék). A (24) egyenlehez arozó inenziásegyühaók a (19) és (20) alapján igen egyszerűen előállíhaók, mivel K^=0 és K$=NJ2. A Fokker -Planck-Kolmogorov-egyenle a (14) egyenle felhasználásával dp(x,)_i% (Vp(x,) (25) d 4 " &r 2 formában írhaó fel. Ha a í=í 0 időponban p(x, í 0 ) = d(x x 0 ) és lim p(x, í) = 0, akkor a (25) egyenle megoldása a jól ismer p(x,q = exp (x-x 0 ) 2 (26) időben lineárisan válozó szórzásnégyzeű Wiener Gauss-f olyama. A (26) eredmény újra igazolja az

6 HÍRADÁSTECHNIKA XXVII. ÉVF. 8. SZ. Függelékben megado definíció, miszerin a fehér Gauss-folyama a Wiener Gauss-folyama idő szerrini deriválja. 4.2 Keskeny sávú Gauss-f oly amaal vezérel elsőrendű fáziszár hurok Haározzuk meg az 1. ábrán megado fáziszár hurokban a kimenő jel és a bemenő hasznos jel fáziskülönbségének sacionárius eloszlásá a [ JF, TI] arományban, ha a bejövő jel: Szorzó fázisdeekor Cl feszülség-- /ol oszcilláor Sí x() 1, ábra ÜSS F(p) rcpu-1 x bá0~y2a sin (oofj&^)z()i O^Aco, (27) vezérlési karakeriszikája a egy állandó co=co 0 Aco frekvenciájú szinuszos jel, és a C(0 keskeny sávú Gauss-folyama összege. Legyen a keskeny sávú Gauss-folyama a feszülséggel vezérelheő oszcilláor co 0 ermészees frekvenciája (x(f)=0) körül szimmerikus spekrumú és N 0 /2 eljesíménysűrűségű. Ismer, hogy az így megado keskeny sávú Gauss-folyama a (0=^2K(0 sin K0 %(0 cos KO] (28) alakban felírva kifejezheő az %(/) és %(f) függelen Gauss-folyamaok kombinációjakén, ahol az %(/) és ij 2 (/) folyama NQ/2 eljesíménysűrűségű és az origóra szimmerikus spekrumú. Ha az %(<) és %(í) folyamaok sávszélessége lényegesen nagyobb a hurok sávszélességénél, az %(í) és ij 2 (f) folyamaoka az rj n () és r) n {) korrelálalan fehér Gauss-folyama-párral szokák [1, 2, 3, 4, 7] közelíeni. A feszülséggel vezérelheő oszcilláor kimenő jele az a; ki (O=y2BcosHí0 2 ), (29) d 2 á =C 2 z(0 (30) egyenleel adhaó meg. A szorzó deekor együhaója C. Egyszerű áalakíások uán megkapjuk a 0= = 0^0 2 fáziskülönbségre vonakozó differenciálegyenlee:, -^-=Aa>-CsmÍ&)- i^sin (0-0)- - ^ % cos (6> x -<*>), (31) ahol C=C 2 AB. Az áalakíások során a 2co 0 frekvencia környezeében megjelenő oldalsávoka a szorzó deekor kimeneén elhanyagoluk. A (31) egyenleben % és % együhaói a 0 állapoválozó fügvényei, így az állapoal szorzo" Gaus-folyama eseéről van szó. A Fokker Planck Kolmogorovegyenle ineziás-együhaói a (19) és (20) alapján : KÍ»=Aco-Csin (f>)_ * ^8 [sin (<9 X - 0)] sin 0) -~[cos (0 L -0)] cos (0 X -<2>)j =^a>-csin (0) (32) 4.3 Fehér Gauss-folyamaal megzavar kéfázisú oszcilláor & = ^ [ s i I l 2 ( 0 _ 0 ) c o s 2 { 0 _ 0 ) ] = ^. ( 3 3 ) A rendszer Fokker Planck Kolmogorov-egyenlee a (32) és (33) felhasználásával sacionárius eloszlások eseére a =O=-^[ ( zja,-csin(0))p] ^ J (34) Haározzuk meg a 2. ábrán bemuao oszcilláor rendszer ampliúdójának és fázisának együes sacionárius valószínűségi sűrűségfüggvényé, ha az 7? f (f) folyama fehér Gauss-folyama NJ2 spekrális eljesíménysűrűséggel. A rendszer egyik leheséges állapoegyenlee y(f)=x 1 és y()=x 2 állapoválozó kifejezéssel adhaó meg. Az egyenle megoldása a [ n, n] arományban, a p( n)=p(ti) haárfeléelek melle «2JT - E Q()!() p(0)=d exp ({}0<x. cos <&)Jexp ( (}y x cos y) dy, * (35) 4A* ahol D a normalizálási állandó, a.=jj-p és /3= _ 4Aü)A 2 ~ N 0 C* * y X yh)y*(i)-l 2. ábra X y*() x wii9-m\ 230

7 PAP L.: A FOKKER PLANCK KOLGOMOROV EGYENLET válaszással a dr 1 ~d7 Xn 2 fsf 0 ; z,/=l, 2, n ; (F4) -^-=- Xl -e(xl 4-1)^-^(0 (36) alakban írhaó fel. Az inenziás-együhaók: K{»=x 2 ; = -xy-e(aixl-1); /^=/ g>=^ = 0; Af 2 >=^?. (37) Ennek alapján a Fokker Planck Kolmogorovegyenle sacionárius eseben a d N 0 d*p l x 2P) K*i (*? A - l)p] j ^ = 0 (38) kifejezéssel adhaó meg. Az egyenle megoldása a lim p^, a^)=0 és lim p(x 1,x 2 )=0 peremfeléelek xi-*-oo melle Xa-*- p(x x, x 2 )=D exp j - (a? af -l) 2 (39) ahol D normáló állandó. Az egyszerű x x = r cos és X2=rsmxp koordináaranszformációval az x v x 2 síkról áérheünk az oszcilláor pillananyi ampliúdója (r) és pillananyi fázisa (99) álal meghaározo polárkoordináarendszerre. A fázis és ampliúdó együes eloszlása a ranszformáció felhasználásával a p(r, q>)=d'r exp N, (r*-lf ; (p \-n, n] (40) alakban adhaó meg. Az eloszlás függelen a pillananyi fázisól, azaz a <p-re vonakozó peremeloszlás konsans. A (40) egyenleben szereplő D' a módosío normáló állandó. 1. Függelék A fehér Gauss-folyama és a Wiener Gauss-f oly ama kapcsolaa Az {í7 f (0> f T}. fehér Gauss-vekorfolyama vagy másnéven fehér zaj vekor a v,(f), f T} Wiener Gauss-vekorfolyamaból származahaó. A (v f (f), f T} vekor z'-edik rendezője (z'= 1, 2,..., rí) zérus várhaó érékű, orogonális növekményű, az időben lineárisan, válozó szórásnégyzeű, Gauss-eloszlású folyama, azaz a kövekező definíciós összefüggésekkel adhaó meg:» (0=0; ^ 0 ; i=í, 2,...,n; (FI) xm{v fi (<)}=0; / T; í=l, 2,... h; (F2) s 0 ; i=\, 2, (F3) ki-^k^k^k^k^ki *Wo>7>/ =1 > 2.» «; (F5) ahol M{ } a valószínűségi érben érelmeze várhaó érék, gjj, N o i, N 0 J a folyamao jellemző állandók (g u = 1, 9^ =, gjj l ^ 1). Jól láhaó, hogy a Wiener Gauss-folyama a = 0 időpillanaban indul" és szórásnégyzee bármely véges időponban véges. Definíció: Az {r) (), T} fehér Gauss-vekorfolyama a {v f (/)» * T} Wiener Gauss-vekorfolyama formális idő szerini deriválja [1, 7, 10, 39], azaz a vekor z'-edik rendezője: Vn(> d "' i ( 0 -=lim ^('^0-^(0 df zl-o A (F6) Mivel az (F6) művele lineáris, az így nyer folyama is Gauss-eloszlású. A folyama kovariancia-függvénye az z'-edik és /-edik rendezőre M{%(íT) % j (0}=lim ^M{[v H (r)- -v r X)){v n ()-v rs ()}}, (P7) amely az (F3), (F4) és (F5) felhasználásával az M{%(fr)% i (0}=lim^ J-0 { AP y \x\^ai \%\>A (F8) alakban írhaó fel. A haárámene elvégzése uán a kovariancia-függvény a Qi}\/N K N 0} /2 súlyozású Diracdela függvényhez ar, ehá az időől függelen és csak a érék függvénye, így a rj R (f) folyama bizosan gyengén sacionárius. Az (F8) kifejezés lényegében ké, N 0i /2 és N 0 -J2 eljesíménysűrűségű, 0^ normál korrelációs ényezőjű fehér Gauss-folyama kovariancia-függvénye. Az állapofüggő fehér Gauss-folyana és az álalános, zérus várhaó érékű diffúziós folyama kapcsolaa Az állapofüggő {77(0, í T} fehér Gauss-vekorfolyama, az álalános {v(f), /GT} diffúziós, Gausseloszlású vekorfolyamaból származahaó. Az álalános diffúziós vekorfolyama z'-edik rendezője (z'=l, 2,..., n) az alábbi definíciós összefüggésekkel írhaó le (csak zérus várhaó érékű folyamaoka ekinve): M{v,(Q} = 0; 1 = 1, 2, n; (F9) lim limmj^ d~0 { ()- Vi (f)y M{!i A A v()= *v 0 (f)} = ṈM), ). 2 :1, 2, n; (F10) V(y-=»o(o}= d-o 1 A ) (FII) 231

8 HÍRADÁSTECHNIKA XXVII. ÉVF. 8. SZ. és M{[i; i (f 1 /J/ 1 )-v i (í 1 )][ Vj (í 2 zlí 2 )-i' J (Í2)]} = 0; r()-x(f)=.j f(x(a), a) doj b(x(o), a) dv(a), 4^2>f 2 >í' 1 Zlí 1 >f' 1 ; i,j=l, 2,... n; (F12). ahol Qij(v(f), ), N oi (v(f), ) és N oj (v(), ) a folyamao (F14) jellemző folyonos függvények (É? Ü = 1, É?ij = É?]i> amelyben a v() zérus várhaó érékű diffúziós folya- f, S1). A kifejezések alapján megállapíhaó, hogy m a ^ o ( Xj ) függvénnyel (Id. (F10) egyenle), /(x, ) a Wiener-Gauss-folyama az álalános diffúziós fo- és b(x, ) az x állapoválozó és idő folyonos függvélyama speciális esee, amikor az i definiál Q i}, N oi nyei. Első lépésben.- a [, ] inervallumo bonsuk és iv oj függvények konsansok. fel részinervallumokra a Definíció: Az {íj(í), J? T} állapofüggő fehér Gaussvekorfolyama a {v(f), T} álalános diffúziós vek í=í 0 <í r < Í N - I < Í Í N = Z ^ J max( i1 i )=A orfolyama formális, idő szerini deriválja, azaz a vekor z-edik rendezője: (F15) időponokban úgy, hogy minden inervallum a A korláal azonos vagy az ala marad., l ( 0 ^ = H m ^ ± ^. (FIS) Definíció: A szohaszikus inegrál Io szerin az Az állapofüggő fehér Gauss-folyama kovarianciafüggvénye az (F8) kifejezéshez hasonlóan Dirac-dela függvény, a súlyozási ényező azonban függ az időől és v() akuális érékéől, így a folyama nem sacionárius. A fehér" jelző ebben az eseben a folyama Dirac-dela korrelálságára ual, mivel nem sacionárius folyamaok eseén a eljesíményspekrum álalában nem érelmezheő, azaz i nem beszélheünk 1 egyenlees spekrumról. Megjegyzendő, hogy a dinamikus nemlineáris rendszerekben a gjj, N o i és N 0} álalában a rendszer leíró x(í) állapoválozó akuális érékeiől függ (innen származik az állapofüggő fehér Gauss-folyama elnevezés), és csak az állapoválozókon kereszül függ a v() vekor akuális érékeiől. íb(x(a), a) év{a) = \mx n 2 W k)w w )-v(d\ J A-»0 i=0 (F16) églányösszegek haárérékével adhaó meg, ha M^\b(x(a), ff) 2 dffj<oo, (F17) és a haárérék négyzees középben érendő [44]. Az Iő inegrál várhaó éréke a 2. Függelék Az Io- és Szraonovics-inegrálok érelmezése és kapcsolaa [41, 42] A (18) egyenleben kijelöl szohaszikus inegrálok érelmezéséhez ekinsünk egy egydimenziós példá. Ado ehá a (17) ípusú egydimenziós állapoegyenle A időre ve inegrálja: N-l = lim ZMf^/lKU-KíillhO (F18) J-0 i=l kifejezés alapján 1 valószínűséggel zérussal egyenlő, mivel a jobb oldali összeg minfen agja függeléh válö- színűségi válozók szorzaa (x(f,)" függelen a v() időpon uáni növekményéől). Az Io inegrál szórásnégyzee pedig a! = M\\(b(x(a), a) dyojllim Y Y M{«). 0'^). ^WW-^iWWW-^i)]} < F19 > \LJ J J 4-^0 i=0 j=0 egyenle segíségével számolhaó. Felhasználva a dif- számíása Riemann-ípusú, idő szerini inegrálásra fúziós folyama növekményeinek orogonaliásá vezeheő vissza. (Id. (F12) kifejezés), valamin az (F10) definíciós egyenlee az (F19) 1 valószínűséggel a Definíció: szerin az; A szohaszikus inegrál Szraonoyies N-1 0\ =lim 2 M{ö 2 (x(í,), /,)[v( i1 )-K'i)] 2 } = ^b(x(a), o)d s v(o) = J-0 i=0 J->0i=0 á 1 = hm^ 1 ö(x(-^ij, ^M^-vü)} (F21) églányösszegek haárérékével adhaó meg, ha b(x, ) szerin differenciálhaó és az (F17) feléel fen- áll. A haárérék i is négyzees középben érendő. = jv(x(<r), a) N^x( g - >' ) da (F20) alakban adhaó meg. Az (F20) szerin a szórásnégyze 232

9 Téel (Szraonovics [42]): Az Io és a Szraonovics inegrál közö 1 valószínűséggel fennáll az >AP L.í A FOKKER PLANCK KOLGOMOROV EGYÉNÉÉT jb(x(a), a) d s v(a) = j b(x(a), a) d i v(a) oldalán kijelöl szohaszikus inegrál a ^i m C 2 ^(x^m^c*) (F26) formában írhaó fel, ahol b^{x(), ) a B(x(í), í) márix z-edik sorában és /-edik oszlopában levő elem, vfi) db(x(a), a) N 0 (x(a), g) pedig v(í) vekor /-edik rendezője. Az Io- és Szraonovics-inegrálok az (FI 6) és (F21) definíciókkal dv (F22) dv 2 azonos módon érelmezheők az (F26) összeg minden...,. ',... agjára. A részlees definíciós egyenle felírásá melkapcsola, ha b(x ) x-ben differenciálhaó A bizow h á r o m é e l i s m e r e ü n k a ö b b d i m en Z iós nyiás Doob [33] éelének felhasználásával a [42]- s z o h a s z i k u s inegrálokkal kapcsolaban. ben megalálhaó....., L,,,,,,, Téel (Szraonovics [42]): A öbbdimenziós Io- és A ^raonovics-inegrál Szraonovicí várhaó ereké zérusól Szraonovics-inegrálok közö 1 valószínűséggel különböző mivel az (F22) jobb oldalának második ' ^ ^ Z i ' ^ Í M ^ ^ M agja álalában nem űnik el, így 1 valószínűséggel ervenyes az M s=m JJ* b(x(a), a) d s v(f)j= m C m r 2 b ij (x(a),a)d^v í (a)=2 & lj (x(ff),ff)d^j(ff) j=ij j=i j 1»»» f dbjx(o), a),..1 = 1 j db(x(o), g) N 0 {x(o), cr) d f f ( F 2 3 ) /Ar oj (x(ff), er)n ok (x(ff), ff) dff, összefüggés. A Szraonovics-inegrál szórásnégyzee ij( x (0> 0 x-ben differenciálhaó. A bizonyíás h a a 6 1 valószínűséggel azonos az Io-inegrál szórásnégy- [42]-ben megalálhaó. zeével (ld. (F20) kifejezés) [42]. Téel (Szraonovics [42]): A öbbdimenziós Iö-ín- Amennyiben ismer az x() és v() közöi kapcsola g r á I várhaó éréke 1 valószínűséggel zérus, a öbb e (azaz az állapoegyenle (F14) ípusú, egydimenziós dimenziós Szraonovics-inegrál várhaó éréke 1 alakja), akkor az (F22) és (F23) kifejezésekben a valószínűséggel differenciálás láncszabályá alkalmazva a (F27) dv dx dv dx helyeesíés alkalmazhajuk, mivel (F14) v v ' alapján "*'-' '! ^j=l k=ll=l J 0X X így a Szraonovics-inegrál várhaó éréke 1 valószínűséggel az ^ S = MJJ b(x(o), ff) d s v(ff)j =. g, ( x(ff), ff) ^ i( x < g > ^ ( ^ M d f f ( F 2 g ) Téel (Szraonovics [42]): Ké öbbdimenziós Iővagy Szraonovics-inegrál kovarianciája 1 valószínűséggel a ^ ^ ^ { [ j? j ö ik (x(ff), ff)d\(ff)]- = l J ^ ^ é ( x ( f f ) 5 f f ) ^ M d f f (F25) alakban írhaó fel. Mindké előbb definiál inegrálkalkulus kierjeszheő a (17) ípusú öbbdimenziós állapoegyenlere és a (18) egyenle jobb oldalán kijelöl öbbdimenziós szohaszikus inegrálokra is az (F16) és (F21) kifejezésekkel analóg módon. Ismer ehá a [ ra C 11 m m r 2 } b.ma),ö)d\(c)^=2 i Z) ö ik (x(ff), ff)..* jl( x(ff), ff) gk,(x(g), a ) ^ ^ g ) dcr (17) állapoegyenle és az álalános {v(f), í T} diffú- kifejezéssel adhaó meg. Az uóbbi ké éel bizonyíziós vekorfolyama a hozzá rendelheő Q(X(Í), ), ása [42]-ben megalálhaó. Az (F28) és (F29) bal N 0i (x(í), í), (i, f=1,2,..., m) x-ben és f-ben folyonos oldalán alkalmazo csillag jelölés a öbbdimenziós függvényekkel. A (17) egyenle z'-edik sorának jobb inegrálásra ual. (F29) 233

10 HÍRADÁSTECHNIKA XXVIll ÉVF. 8. SZ. IRODALOM [1] A. J.' Vierbi: Principles of Coheren Communicaion. McGraw-HUl, New York, [2] A. J. Vierbi: Phase-Locked Loop Dynamics in Presence of Nőise by Fokker Planck echniques, Proc. IEEE, Vol. 51 pp , December [3] V. I. Tikhonov: The Effecs of Nőise on Phase-Lock Oscillaion Operaion. Auomaika i Telemekhanika, Vol. 22., No. 9., '! [4] V. I. Tikhonov: Phase-Lock Auomaic Frequency Conrol Applicaion in he Presence of Nőise. Auomaika i Telemekhanika, Vol. 23., [5] R. F. Pawula: Generalizaions and Exensions of he Fokker Planck Kolmogorov Equaion. IEEE Trans. on Informaion Theory, IT 13, No. 1., January 1976, pp [6] A. T. Bharucha-Reid: Elemens of he Theory of Markov Processes and Their Applicaions. McGraw-HUl, New York [7] W. C. Lindsey: Synchronizaion Sysems in Communicaions and Conrol. Englewood Cliffs, N. J. Prenice-Hall, ' [8] D. L. Snyder: The Sae Variable Approacho Coninuous Esimaion wih Applicaions o Communicaion Theory, Cambridge, Mass. M. I. T. Press, [9] R. Deusch: Nonlinear Transformaion of Random Processes. Englewood Cliffs, N. J. Prenice-Hall, [10] A. T. FuHer: Analysis of Nonlinear Sochasic Sysems by he Fokker Planck Equaion. Inernaional Journal of Conrol, Vol. 9. No. 6. June pp [11] W. C. Lindsey: Nonlinear Analysis of Generalized Tracking Sysems. Proc. of IEEE, Vol. 57. No. 10. Ocober pp [12] J. A. Devele: A Threshold Crierion for Phase-Lock Demodulaion. Proc. of IEEE, Vol. 51. April p. 580 [13] T. J. Reg: Furher on he Phase-Locked Loops in he Presence of Nőise. Proc. of IEEE, Vol. 53. May pp [14] D. L. Schilling J. Biliing: On he Threshold Exenion Capabiliy of he PLL and FDMFB. Proc. IRE, Vol. 52. May p. 621 [15] F. J. Charles W. C. Lindsey: Somé Analyical and Experimenál PLL Resuls for low SNR. Pric. of IEEE, Vol. 54. Sepember pp [16] R. C. ausworhe: A Mehod for Calculaing Phase-Locked Loop Performance Near Threshold. IEEE Trans. Commun Technol. Vol. COM 15. Aug pp [17] W. C. Lindsey: Phase-Densiy Disribuion of Phase- Locked Loops in Cascade. IEEE Trans. Commun. Technol. Vol. COM 17. Aug p. 503 [18] K. E. Dominiak R. L. Pickholz: Transien Behavior of a Phase-Locked Loop in he Presence of Nőise. IEEE, Trans. Commun. Technol. Vol. COM 18. Aug pp [19] J. E. Ohlson: Phase-Locked Loop Operaion in he Presence of Impulsive and Gaussian Nőise. IEEE Trans. Commun. Technol. Vol. COM 21. Sepember pp [20] P. W. Osborne, D. L. Schilling: Threshold analysis of he phase-locked-loop demodulaors using mos likely nőise. IEEE Trans. Commun. Tehnol. Vol. COM.18. Aug. 1970/. pp [21] S. C. Gupa: Phase-Locked Loops. Proc. of IEEE, Vol. 63. No. 2. February pp ] J. C. Lindenlaub J. J. Uhran: Threshold Sudy of Phase-Lock Loop Sysems. Trans. Commun. Technol. Vol. COM 16. No. December pp [23] J. J. Siffler: Theory of Synchronous Communicaions. Prenice-Hall, Englewood Cliffs, N. J [24] W. C. Lindsey M. K. Simon: Telecommunicaion Sysems Engineering. Prenice-Hall, Englewood Cliffs, N. J [25] E. J. Baghdady: Lecures on Communicaion Sysems Theory. McGraw-Hül, New York, [26] E. Bozzoki 17. Mengali: An Analysis of he Performance of he Oscillaing Limier Driven by FM Signals Corruped by- Nőise. IEEE Trans. on Aerospace and Elecronic Sysems, Vol. AES 5. No. 3. May pp [27] V. H. Larson: Somé Differenial Equaions of Probabiliy Theory in Sochasic Processes and Conrol Sysems. In. J. Conrol, Vol. 9. No. 6. June 1969.'pp [28] A. N. Kolmogorov: On Analyical Mehods in Probabiliy Theory. Mah. Ann. Vol pp [29] S. Chandrasekhar: Sochasic Problems in Physics and Asronomy. Rev. Mod. Phys. Vol. 15. January pp [30] M. C. Wang G. E. UHenbeck: On he Theory of Brownian Moion II. Rev. Mod. Phys. Vol. 17. April-July pp i [31] Ponryagin, L. A. Andronov, A. Vi: On he Saisical Invesigaion of Dynamic Sysems. J. Exp. Theore. Phys: (USSR), 3, p. 165 [32] R. L. Sraonovich: Topics in he Theory of Random Nőise. Gordon and Breach. New York, [33] J. L. Doob: Sochasic Processes. Wiley. New York, [34] F. Spizer: Principles of Random Walk. Van Nosrandr Princeon, N. J [35] Fenyő I. Frey T.: Maemaika villamosmérnököknek II. Műszaki Könyvkiadó, Budapes, [36] L. Zadeh C. Desoer: Linear Sysem Theory. Mc Graw- Hill, New York, [37] Trón T.: Hálózaszinézis az állapoválozók alapján. Híradásechnika, XXIV. évf. 10. szám, nov. pp [38] Csáki F.: Fejezeek a szabályzásechnikából. Állapoegyenleek. Műszaki Könyvkiadó, Budapes, [39] W. Wedig: Momens and Probabiliy Densiies of Dyna- / namical Sysems under Sochasic Parameric Exciaion. VII. Inernaional Conference on Nonlinear Oscillaions, Berlin, [40] Rényi A.: Valószínűségszámíás. Tankönyvkiadó, Budapes, [41] K. hó: Lecures on Sochasic Processes, Lecure Noes. Taa Insiue of Fundainenal Research, Bombay, India, [42] Jí. L. Szraonovics: Uszlovnüe markovszkije processzüi ih primenyenyije k eorii opimalnovo upravlenyija. Izdaelszvo Moszkovszkovo Unyiversziyea [43] T. Kailah P. A. Fors: Mahemaical Modeling and Transformaion Theory of "Whie Nőise Processes. Sanford, Calif. Sanford Universiy, [44] Frey T.: Szochaszikus folyamaok. Jegyze, J5 945, Tankönyvkiadó, Budapes, [45] K. R. George D. P. Aheron: Analyical and Experimenál Sudies of Nonlinear Feedback Sysems wih Random Inpus. VII. Inernaional Conference on Nonlinear Oscillaions, Berlin, Sepember, s [46] G. Schmid: Nonlinear Sysems under Randon and Periodic Paraméer Exciaion. VII. Inernaional Conference on Nonlinear Oscillaions, Berlin, Sepember,