Villamosmérnök A4 7. gyakorlat ( ) Normális eloszlás és tulajdonságai

Átírás

1 Villamosmérnök A4 7. gyakorlat Normális eloszlás és tulajdonságai Azt mondjuk hogy egy X valószín ségi változó standard normális eloszlást követ ha x R esetén Φx : P X < x π x z / dz Szimmetria: Φx + Φx az eloszlásfügggvény értékeit tipikusan táblázatból nyerjük ki. X s r ségfüggvénye: ϕx : x x R. π X várható értéke 0 szórása pedig. Az Y : X + µ valószín ségi változó µ paraméter normális eloszlást követ EY µ SDY ahol µ R > 0. Hasonlóan a Z : X + µ valószín ségi változó µ paraméter log-normális eloszlást követ EZ µ + / SDZ µ + /.. Legyen X standard normális eloszlású. Számoljuk ki a következ mennyiségeket: PX <.5 P < X P < X < 5. P.5 < X <. X > 0! Megoldás: PX <.5 Φ P < X PX < Φ Φ 0.77 P < X < 5. Φ5. Φ Φ5. + Φ 0.84 P.5 < X <. X > 0 P0<X<. PX>0 Φ. Φ0 0.4 mert PX < 0 Φ0.. Legyen X µ paraméter normális eloszlású. Határozzuk meg P µ X µ + értékét! Megoldás: P µ X µ + P X µ Φ Φ Φ + Φ Legyen X normális eloszlású. várható értékkel és szórással. Számoljuk ki a következ mennyiségeket: PX <.5 P0 < X P5 < X < 8 P4. < X <. X < 0! Megoldás: Mivel X. paraméter normális ezért X. standard normális eloszlású. Így PX <.5 Φ P0 < X PX < 0 PX < 0 Φ P5 < X < 8 P. < X. <.4 Φ.4 Φ. Φ.4 + Φ. 0.8 P4. < X <. X < 0 P4.<X<0 PX<0.65PX < 0 PX < Φ.7.65Φ mert PX < 0 Φ0.6 Φ Legyen X normális eloszlású 4 várható értékkel és 0 szórással. Milyen a > 0-ra lesz: P 4 a X 4 + a 0.8? Megoldás: Standardizálunk: P 4 a X 4 + a P a/0 X 4/0 a/0 Φa/0 Φa/0 Φa/0 0.8 abb l Φa/0 0. ezt a táblázatból visszakeresve: a Egy X valószín ségi változó várható értéke 0 szórása pedig. Melyik esetben valószín bb hogy X > ; akkor ha X eloszlása normális vagy akkor ha egyenletes? Megoldás: Ha X normális akkor PX > / Φ/ 0.. Ha X egyenletes valamilyen a b intervallumon a < b akkor 0 EX a+b b a illetve VarX ebb l a b így a s r ségfüggvénye X-nek ha x egyébként 0. Tehát PX > / / A csokigyárban azt gyelték meg hogy 000 tejcsokiból körülbelül 0 csoki tömege tér el az el írttól legalább g-mal. Normálist eloszlást feltételezve mekkora a csokik tömegének szórása? Megoldás: Jelölje X egy véletlen csoki tömegét ennek várható értékét illetve szórását pedig µ. Ekkor 0 X µ P X µ PX µ + PX µ P < X µ + P < 000 X µ P < amib l azt kapjuk hogy X µ P < Φ 0.5 azaz.58 így Magyarországon a férak testmagassága átlagosan 78 cm cm szórással. a Mennyi annak a valószín sége hogy egy véletlenszer en kiválasztott fér testmagassága 6 és 87 cm közé esik? Mekkora a valószín sége annak hogy egy ilyen ember magasabb mint 80 cm?

2 b Mennyi annak a valószín sége hogy egy fér magasabb méternél? c Mekkora testmagasság alatt van a férak 0%-a? Mekkora testmagasság felett van a férak 80%-a? Megoldás: Jelölje X egy fér véletlen testmagasságát melynek várható értéke 78 szórása. a b X 78 X 78 P6 < X < 87 PX < 87 PX < 6 P < P < Φ Φ Φ P80 < X < 87 PX > 80 6 < X < 87 P6 < X < 87 X 78 P Φ Φ Φ/ 0.7. Φ X 78 PX > 00 PX < 00 P < Φ/ X 78 < P < c Keressek azokat az a b számokat melyekre PX < a 0. illetve PX > b 0.8. El bbi esetében: X 78 PX < a P < a 78 a 78 Φ 0. azaz a Az utóbbi esetében tudjuk hogy b < 78 kell legyen ezért X 78 PX > b P < b 78 X 78 P < 78 b 78 b Φ 0.8 azaz b Decemberi napokban Budapesten a minimális h mérséklet legvalószín bb értéke 0 C. A széls séges id járás nagyon valószín tlen: a napok 5%-ban nem mérünk +8 C-nál kevesebbet vagy hogy épp 8 C-nál kevesebbet merünk. Milyen valószín ségi változóval modellezné a minimum h mérsékletet? Mi ennek a várható értéke szórása? Mi annak a valószín sége hogy nem mérünk C-nál kevesebbet egy decemberi napon? Megoldás: Jelölje X egy decemberi napon a minimális h mérsékletet Celsius fokban. A minimális h mérséklet normális eloszlásúnak vehet sok kis tényez eredej a h mérséklet. Normális esetben a módusz egybeesik a várható értékkel azaz X várható értéke 0. X szórása pedig: így Végül: X PX > 8 + PX < 8 P < 8 X 0 P < 8 X 0 azaz P < 8 Φ X 0 + P 8 < X 0 PX > PX < P 4.08 < Φ Szegeden a maximum h mérséklet június hónapban is elég stabilis sokéves statisztikai adatok alapján erre a hónapra es tipikus maximum h mérséklet 5 C 4 C szórással. Mi annak a valószín sége hogy egy nap 4 C-ot is eléri a h mér higanyszála? Átlagosan hány napot kell várnunk ahhoz hogy el tudjunk menni strandra ha a jó id t 40 C-tól számítjuk? A legutóbbi június -én jártunk tizedjére strandon mindig mentünk ha jó volt az id. Mennyi annak a valószín sége hogy ezt nap alatt tudtuk abszolválni? Megoldás: Jelölje X egy júniusi napon a maximális h mérsékletet Celsius fokban. X normális eloszlású melynek várható értéke 5 szórása pedig 4. X 5 PX > 4 PX < 4 P < 7 Φ A siker tehát a strandra menés valószín sége: X 5 PX > 40 PX < 40 P < 5 Φ Az els olyan alkalomra várt napok száma amikor jó id volt geometriai eloszlású p 0. paraméterrel. Ennek a várható értéke p.45. Tehát átlagosan 0 napot kell várni ahhoz hogy el tudjunk menni strandra. P nap alatt voltunk 0-szer strandon de június -én voltunk Paz els 0 nap alatt voltunk -szer strandon és június -én is voltunk P0 nap alatt voltunk -szer strandonpjúnius -én voltunk strandon 0 0 p p p p 0 p

3 0. Átlagosan 000 feln tt emberb l 550 n 450 pedig fér. A férak testsúlyának a szórása 0 kg és tudjuk hogy férak fele 80 kg-nál könnyebb míg a n knél ugyanezen adatok kg illetve 60 kg. Normális eloszlást feltételezve mennyi annak a valószín sége hogy egy véletlenül választott fér testsúlya 70 és 0 kg között van? Mi az esélye hogy egy n 45 kg-nál könnyebb? Mi annak a valószín sége hogy egy ember testsúlya 50 és 00 kg között van? Számítsuk ki a feln ttek átlag testsúlyát! Megoldás: Jelölje X egy n véletlen testsúlyát illetve Y egy férét kg-ban. Legyen X illetve Y várható értéke µ X illetve µ Y. A feladat szövege alapján: X szórása míg Y -é csak 0; továbbá 60 µx 80 µy PX < 60 Φ 0.5 PY < 80 Φ. 0 Ebb l kapjuk hogy µ X 60 illetve µ Y 80. Ezt számolás nélkül rögtön megkaphattuk volna ha arra gondolunk hogy a normális eloszlás s r ségfüggvénye szimmetrikus a várható értéke körül azaz / súly esik t le jobbra illetve balra. Végül: P70 < Y < 0 PY < 0 PY < 70 Φ Φ Φ 0.68 PX < 45 Φ Φ 0.6 P50 és 00 kg között van egy ember testsúlya P50 < X < 00 + P50 < Y < PX < 00 PX < PY < 00 PY < Φ40/ Φ0/ Φ Φ 0.55Φ8/ + Φ/ Φ + Φ Feln ttek átlag testsúlya: 0.55EX EY 0.55µ X µ Y Meggyelték hogy egy napszakban egy metrókocsiban az átlagos utaslétszám 80 f. Azt is tudjuk hogy a kocsik 80%- ában kevesebb mint 00 f utazik. Feltételezzük hogy az utaslétszám közelít leg normális eloszlást követ mekkora a valószín sége hogy az utaslétszám egy kocsiban: 50 f nél kevesebb? 85 és 0 f között lesz? Megoldás: Jelölje X a metrókocsiban lév emberek véletlen számát. Felthet hogy X normális eloszlású melynek várható értéke 80 szórása pedig a következ kb l adódik: X PX < 00 P < 0 0 Φ amib l táblázat segítségével azt kapjuk hogy Ebb l X 80 PX < 50 P.8 <.6 X 80 P85 < X < 0 PX < 0 PX < 85 P.8 <.6 Φ.6 Φ Φ.6 Φ.6 0. P X 80.8 < 0.. Az emberek különböz életkorban különböz sebességgel bicajoznak: a atalabbak gyorsabban a tapasztaltabbak kimértebben tekernek. Tegyük fel hogy a és 0 év közötti atal átlag 0 km/h-val 0 és 60 év közötti középkorú átlag km/h-val míg 60 év felett egyenl eséllyel bicajozik valaki 0 km/h-nál kisebb illetve nagyobb sebességgel. Mindhárom esetben minden tizedik bringás sebessége tér el az átlagtól legalább km/h-val. Magyarországon a bicajozó emberek 50%-a atal és 0%-a id sebb mint 60 év. Mi annak a valószín sége hogy egy atal legalább 0 km/h-val teker? Mi az esélye hogy egy középkor kevesebb mint 0 km/h-val hajt és mi a valószín sége hogy egy id s 5 km/h-val gyorsabban halad? Mi annak a valószín sége hogy egy bicajozó sebessége legalább km/h? Adjuk meg a bicajozók sebességének eloszlásfüggvényét és s r ségfüggvényét! Számítsuk ki a bicajosok átlagsebességét! Megoldás: Jelölje X Y illetve Z rendre a atal- középkorú- illetve tapasztalt 60 feletti bringás véletlen sebességét ami normális eloszlást követ. X várható értéke 0 Y -é míg Z várható értéke 0 km/h φ szimmetriája miatt. A feladat szövege alapján a szórásokra fennáll hogy X Y Z tehát elegend az egyiket meghatározni: X 0 X 0 0. P X 0 > P > + P X X Φ + Φ Φ azaz 0.5 Φ/ X ebb l X 0.6. Kérdésekre a válaszok: X 0 PX > 0 P < 6.4 Φ PY < 0 Φ5/0.6 Φ8. 0. X X PZ > 5 Φ5/0.6 Φ5/0.6. X X < X Pbicajozó sebessége min. km/h 0.5PX > + 0.4PY > + 0.PZ > 0.5 Φ5/ Φ5/

4 Bicajozók eloszlásfüggvénye ha x R: F x Pegy bicajos sebessége < x km/h 0.5PX < x + 0.4PY < x + 0.PZ < x x 0 x x 0 0.5Φ + 0.4Φ + 0.Φ Bicajosok átlagsebessége: 0.5EX + 0.4EY + 0.EZ km/h.. Egy csokiautomata kis nom csokimazsolákat gyárt és csomagol. A csokimazsolák csinos csomagolása elég érzékény ezért a gép csak akkor tudja biztonságosan becsomagolni a csokimazsolát ha annak tömege 4 és 6 g közé esik. A csokimazsolák tömege normális eloszlást követ: a legnagyobb valószín séggel 5 g-os csokimazsolák készülnek. Továbbá a csokimazsolák 80%-ának a tömege a normálistól való eltérése nem haladja meg az g-ot. Mi annak a valószín sége hogy egy csokimazsola tömege 4 és 6 g közé esik? Átlagosan hány csokimazsolát kell a gépnek legyártani hogy 400-at biztonságosan csomagolni tudjon? Megoldás: Jelölje X egy csokimazsola véletlen súlyát. A normális eloszlás esetében a módusz egybeesik a várható értékkel tehát X várható értéke 5 g. X szórása pedig: X P X 5 < P < X 5 P < Φ amib l kapjuk hogy 0. Φ/ azaz 0.78 g. X 5 P4 < X < 6 PX < 6 PX < 4 P 0.78 <.8 Ahhoz tehát hogy 400-at biztonságosan csomagolni tudjon körülbelül n X 5 P 0.78 <.8 Φ at el kell készíteni. 4. Egy pékségben minden nap 00 db kenyeret szeretnének legyártani. Ehhez átlagosan 00 kg alapanyagot használnak fel. A pékek pontos emberek azonban éjjel ébrednek és hajnalban dolgoznak így elég álmosak ezért átlagosan minden 7-edik kenyér tömege az átlagostól legalább 0 dkg-mal eltér. Az elkészült kenyereknek mi az átlagos tömege és mekkora a szórásuk? Megoldás: Mivel 00 db kenyeret gyártanak és ehhez átlagosan 00 kg alapanyagot használnak fel egyszer ség kedvéért tegyük fel hogy az alapanyagot 00%-ban felhasználják ezért az átlagos kenyértömeg kg. Feltehet továbbá hogy a kenyértömeg normális eloszlású így ennek a szórása : X P X > 0. P < 0. X + P < Φ 7 azaz 0. Φ0./ ebb l: kg ami 6.85 dkg.. Sok intelligencia teszt normális eloszlást követ 00 pont várható értékkel és pont szórással. Ha ezeknek a teszteknek és értékelésüknek hihetünk akkor az emberiség hány százalékának van 5 és 0 pont között az IQ-ja? A 00 pont körüli mekkora intervallumban van az emberiség 50%-ának az IQ-ja? Egy 500 f s településen várhatóan hány embernek lesz 5 pont fölött az IQ-ja? Megoldás: Jelölje X az intelligencia teszt eredményét ami normális eloszlást követ 00 pont várható értékkel és pont szórással így X 00 P5 < X < 0 PX < 0 PX < 5 P Φ Φ 0.78 < X 00 P < Tehát az emberiség 7.8%-ának van az IQ-ja 5 és 0 között. Meg kell határoznunk x-et x > 0 úgy hogy: X P00 x < X < 00 + x P < x x Φ amib l Φx/ 0.75 így x Végül: X 00 PX > 5 PX < 5 P < 5 5 Φ Egy 500 f s településen azoknak a száma akik IQ-ja 5 fölött van binomiális eloszlású n 500 p paraméterrel tehát átlag ember rendelkezik 5 feletti IQ-val. 6. Az IQ teszteknek még mindig hiszünk és tegyük fel mint el bb hogy az eredmény 00 pont várható érték és szórású normális eloszlást követ. A teszteket megírt és kiértékelt alanyokat általában csoportba szokták sorolni: alacsony- átlagos- illetve magas intelligenciahányadosúak. A résztvev knek rendre 0 65 illetve %-a került a megfelel csoportokba. Hol húzták meg a határokat azaz melyek azok a pontszámok melyek megkülönböztetik az egyes csoportokat?

5 Megoldás: Jelölje X az IQ teszt eredményét ami normális eloszlású 00 várható értékkel és szórással. Jelölje a választóvonalakat x < x ezekre a következ ket tudjuk: X PX < x P < x x Φ vagyis x Végül az x : X PX < x P < x 00 Φ x 00 vagyis x Tehát 88 pont alatt az alacsony IQ-júak 88 és.6 között az átlagos IQ-júak míg.6 fölött a magas intelligenciahányadosúak csoportja húzódik. 7. Tegyük fel hogy egy nagy villamosmérnök évfolyam ZH eredményei normális eloszlást követnek 6 pont átlaggal és szórással. a Mi annak a valószín sége hogy egy hallgató 85 pontnál többet szerez? b Azon hallgató melynek eredménye a dolgozatok legrosszabb 5%-ában van automatikusan megbukott. Legalább hány pontot kellett szereznünk hogy ha átmentünk a ZH-n? Egy véletlenül választott hallgató mekkora eséllyel szerzett a minimum pontszámtól legalább 0 ponttal többet? c Azon hallgatóknak akik elérték a 70 pontot hány százaléka érte el a 80 pontot is? Megoldás: Jelölje X a villamomérnök ZH eredményét ami 6 pont várható érték és szórású valamint normális eloszlású. a PX > 85 PX < 85 Φ b Keressük x-et min. pontszám melyre az kell hogy: 0.5 PX < x Φx 6/ Φ6 x/ amib l Φ6 x/ 0.75 azaz x Tehát legalább 54 pontot kellett hogy szerezzünk ha átmentünk. Végül: PX > 64 PX < 64 Φ/ c X 6 < PX > 80 PX > 80 X > 70 PX > 70 P P X 6 < Tehát 6.5%-a érte el a 80 pontot is azok közül akik elérték a 70 pontot. Φ Φ Kora reggel a mindig tömött négyeshatos megállójában villamosmérnök hallgató várakozik: Péter és Miklós. Mindketten ugyanoda A4 gyakorlatra szeretnének eljutni. A villamosok egymás után érkeznek átlagosan 80 ember ül rajtuk és tipikusan perc telik el két villamos érkezése között. A villamossal nagyon sok ember is utazhat azonban minden tizedik villamoson utazik csak több mint 00 ember. A hallgatók szeretnének kényelmesen utazni ezért csak akkor szállnak fel ha legfeljebb 60 ember ül a villamoson. a Ha egyszerre szállnak fel hányadik villamossal tudnak elmenni? Átlagosan hány perc alatt érnek be az egyetemre? tegyük fel hogy az utazás x perc hosszúságú b Néha az els olyan villamoson amire fel tudnának szállni megtippelik körülbelül hányan lehetnek. Egészen pontosan: Miklós azt állítja hogy nem lesz több mint 40 ember rajta Péter pedig azt hogy több mint 50 ember lesz rajta. Mi a valószín bb ki fog el bb elutazni? Megoldás: Feltehet hogy a villamoson ül k száma X közelít leg normális eloszlást követ 80 ember várható értékkel és szórással ahol X PX > 00 PX < 00 P < 0 0 Φ amib l 0. Φ0/ így.65. a A siker valószín sége: PX < 60 a várható értékre 80 való szimmetria miatt éppen PX > 00 ami 0.. Az els villamosra amivel el tudnak menni való várakozási id geometriai eloszlású p 0. paraméterrel. Tehát várhatóan p 0 villamost kell várni ahhoz hogy végre el tudjanak menni. Mivel átlagosan perc telik el két villamos érkezése között ezért átlagosan perc alatt érnek be. b Miklós esélye: PX < 40 X < 60 Péter esélye: PX < 40 X < 60 PX < 60 PX < Φ 0 Φ P50 < X X < 60 PX < 60 PX < 50 PX > 50 X < 60 PX < Φ 0Φ Azaz jóval valószín bb hogy Péter fog el bb felszállni!

6 . Magyar autópályákon a sebességkorlátozás: 0 km/h. Az elszaporodott balesetek miatt a sebességtúllépés fokozottan büntetett: a zetend büntetés ezer forintban túllépett kilometeróránként lineárisan növekszik azaz 0 km/h túllépés esetén 0 ezer forintot kell zetni. Ezért a szabálysértések száma jelent sen megcsappant azonban így is azt tapasztalják hogy havi átlag autós túllépi a sebességhatárt. Tegyük fel hogy az autósok sebessége átlag 0 km/h km/h szórással. a Mi a valószín sége hogy egy véletlenül választott autós túllépi a sebességhatárt? b 7 véletlenül választott autósból mi a valószín sége hogy pontosan ketten lépik túl a sebességhatárt? c 00 autóstól átlag mennyi büntetést szednek be? d Átlag mennyi bevételt könyvelhet el hónap végén a rend rség? Megoldás: Az autósok sebessége közelíthet normális eloszlással aminek a feladat szövege alapján a várható értéke 0 szórása km/h. Ebb l a PX > 0 PX < 0 P X 0 < Φ/ 0.5. b 7 vagy akárhány autósból azoknak az autósoknak a száma akik túllépik a sebességhatárt binomiális eloszlású p 0.5 paraméterrel tehát: 7 P7-b l pontosan -en lépik túl p p 5 0. c Legyen Y { X 0 ha X 0; 0 egyébként. Y a zetend büntetés véletlen nagysága ezer forintban. Ekkor + EY x 0 x 0 π x0 dx + x 0 x 0 + π x0 dx 0 x 0 π x0 dx ] + x [ π 0 Φ+ Φ x0 0 Φ.668 π ahol az y : x 0/ dy dx/ integrál-transzformációt használtuk. Azaz 00 autóstól átlag forintot hajtanak be. d Egy hónapban átlag -en lépik túl a sebességhatárt tehát t lük átlag forintot hajtanak be. 0. Válaszoljuk meg az el bbi feladat kérdéseit akkor is ha a zetend büntetés kvadratikusan n kilométeróránként? azaz 0 km/h túllépés 00 ezer forint bírságot von maga után Megoldás: Az el bbi feladat jelöléseit követjük az els két részre ugyanaz a válasz a c d részeknél van csak változás ezek a következ ek lesznek. Most { X 0 Y ha X 0; 0 egyébként. jelöli a büntetés nagyságát ezer forintban. Ezzel EY + x 0 π x0 + x 0 x 0 π + 0 π x0 + π [ x 0 0 π + 0 π x0 x 0 dx x 0 x 0 x0 dx ] + x 0 x0 x 0 x 0 dx + 5 Φ 0 π dx 0 π + x π x0 5 Φ x 0 x 0 dx + x 0 dx π ahol a 4. egyenl ségben parciálisan integráltunk majd felhasználtuk az el z feladat részeredményeit is. Azaz 00 autóstól átlag forintot hajtanak be. Végül: egy hónapban átlag -en lépik túl a sebességhatárt tehát t lük átlag forintot hajtanak be.

7 . Nemcsak az autópályákon de a közutakon is nagyon sok a sebességtúllépés. A rend rök általában egy hídról fényképezik le a gyanús autókat melyek sebessége normális eloszlású 84 km/h várható értékkel 5 km/h szórással. Ha a sebességhatár 0 km/h 00 autósból várhatóan hány fogja túllépni a sebességhatárt? Egy átlagos nap a rend rök 40 autóst fogtak meg. Hány autóst kellett ehhez lefényképezniük? Megoldás: Jelölje X egy véletlen autós sebességét ami tehát 84 várható érték és 5 szórású normális km/h-ban. A sebességkorlátozás 0 km/h tehát annak a valószín sége hogy egy autós ezt túllépi: X 84 PX > 0 PX < 0 P <. Φ Egy autós tehát eséllyel lépi túl a sebességhatárt tehát 00 autósból várhatóan fogja túllépni. Avagy azoknak az autósoknak a száma akik túllépik a sebességhatárt binomiális eloszlású itt n 00 p paraméterrel ennek a várható értéke pedig np. Ahhoz hogy egy átlagos nap 40 autóst megfogjanak körülbelül n ször kellett fényképezniük.. Felhajtunk az autópályára az el bbi feladatok alapján tudjuk hogy a sebességkorlátozás 0 km/h. A kezd sebességünk 00 km/h majd rálépünk a gázra azaz választunk egy véletlen gyorsulást 00 km/h várható értékkel és 0 km/h szórással. Feltéve hogy gyorsulásunk nem haladta meg az 0 km/h -et mekkora valószín séggel vagyunk még határon belül 0 perc eltelével? Hány perc elteltével lépjünk le a gázról ha azt szeretnénk hogy akkor 5% biztonsággal ne fényképezzenek le? negatív gyorsulás jelentse azt hogy valami hiba miatt félre kellett állnunk Megoldás: Jelölje X a véletlen gyorsulásunkat km/h -ben mely normális eloszlású; várható értéke 00 szórása 0. A feladat szövege alapján t id elteltével t-t mérjük órákban a sebességünk: 00 + Xt km/h. tehát: P00 + PX < 80 X < 0 PX < 80 X < 0 X < 0 6 PX < 0 PX < 0 P X 00 0 < P X 00 0 < Φ Φ 0.4. Végül legyen t az az id órában amikor le kell lépjünk a gázról annak érdekében hogy még 5%-os eséllyel határon belül autózzunk azaz t-re a következ összefüggés kell hogy fennálljon: X P00 + Xt < 0 P < 0 t 0 ezt táblázatból visszakeresve kapjuk hogy t 0.65 vagyis t 0.04 h ami körülbelül 7. perc.. Egy feleletválasztós felvételi teszt 00 kérdést tartalmaz: minden kérdésnél 4 opció van melyekb l pontosan egy helyes. Azokat veszik fel akik legalább 50 kérdésre helyesen válaszolnak. Tegyük fel hogy Véletlen Viktor véletlenül betévedt a felvételire és minden kérdésnél véletlenül egyenl valószín séggel megjelöl egy választ. Mi a valószín sége hogy felveszik? Megoldás: Ez egy CHT's feladat: legyen X i Bernoulli valószín ségi változó amely ha Viktor i. kérdésre adott válasza helyes ennek valószín sége /4; és 0 különben ennek az esélye /4. Az X i változók függetlenek és azonos eloszlásúak összegük éppen Viktor eltalált válaszainak a számát adja ami binomiális eloszlású de mi most a standardizált összeget normális eloszlással közelítjük. Akkor megy át ha legalább 50 kérdésre helyesen válaszol ennek a valószín sége: X + X + X P X + X + X P 0 00 mert EX i 4 és SDX i EXi EX i Φ T zsdén a következ feltételeket is tehetjük egy részvény áralakulására vonatkozóan: ha most kezdünk el kereskedni egy adott részvénnyel melynek ára s 0 akkor ennek t id múlva s t + rs 0 -ra változik az ára ahol r normális eloszlású ez a ráta 0 várhatóértékkel és t szórásnégyzettel az id t mérjük években és legyen t. Elkezdünk kereskedni ezzel a részvénnyel S Ft kezd t kével hogyan változik id ben a t kénk milyen modellt írna fel S t -re? Mi az eloszlása S t -nek? Segítség: tegyük fel hogy minden t/n hosszúságú részintervallumban n nagy r/n eloszlású a ráta növekedése/csökkenése és az egyes részintervallumokban ez egymástól függetlenül változik valamint kamatos kamattal számolunk azaz: S t S 0 + r n n Megoldás: A segítségben tulajdonképpen már minden le van írva az utolsó képletben ha elvégzünk egy n + határátmenetet akkor azt kapjuk hogy S t S 0 r ahol r 0 t paraméter normális eloszlású és S azaz S t 4 log0 + r így S t természetes alapú logaritmusa normális eloszlású 4 log0 t paraméterrel vagyis S t log-normális eloszlású ugyanezzel a paraméterpárral. 5. Hogyan generálna le µ paraméter normális eloszlást követ véletlen valós számokat a RAND VÉL függvénnyel? Megoldás: Ha U egyenletes eloszlású a 0 -en akkor Φ U standard normális hiszen: PΦ U < x PU < Φx Φx x R. Ebb l Φ U + µ transzformációval tudunk µ paraméter normális véletlen számot gyártani µ R R +. Vesd össze ezt a feladatot a. feladatsor utolsó 8. feladatával.