6. Matematika tanterv-kiegészítés Szakközépiskola Célok és feladatok

Átírás

1 Matematika tanterv-kiegészítés 6.1. Szakközépiskola Célok és feladatok - A tanulók önálló, rendszerezett, logikus gondolkodásának kialakítása, fejlesztése. Ennek eléréséhez fokozatosan kiépítjük a matematika belső struktúráját (fogalmak, axiómák, tételek, bizonyítások elsajátítása), és a tanultakat változatos területeken alkalmazzuk - a pontos fogalomalkotás- melyet a tanulók számára a problémák felvetése tegyen indokolttá. - a tanulók absztrakciós és szintetizáló képességének fejlesztése; - a kombinatív készség, a kreativitás fejlesztése; - a problémahelyzetek önálló, megfelelő önbizalommal történő megközelítésének és megoldásának fejlesztése; ( Ezeket szolgálják: a célszerű, új fogalmak alkotása, az összefüggések felfedezése és az ismeretek feladatokben való alkalmazása.) - a tanulók matematizáló, modellalkotó tevékenységének fejlesztése; - a megfogalmazott összefüggések, hipotézisek bizonyítási igényének kialakítása; - a matematika hasznosságának, belső szépségének, az emberi kultúrában betöltött szerepének megmutatása; - a tanulók térbeli tájékozódásának esztétikai érzékének fejlesztése; - segítséget nyújtani (a matematika hagyományos és modern eszközeinek segítségével) a természettudományok, az informatika, a technikai, a humán műveltségterületek, a választott szakma ismeretanyagának tanulmányozásához, a mindennapi problémák értelmezéséhez, leírásához és kezeléséhez; - támogatni az elektronikus eszközök (zsebszámológép, számítógép, grafikus kalkulátor, inernet stb.) célszerű felhasználásának megismerését, alkalmazásukat; - a tanulókat képessé kell tenni a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára, arra, hogy töreked-jenek az önellenőrzésre, legyenek képesek várható eredmények becslésére

2 161 - a pozitív motiváltság biztosítása, az önállóság fejlesztése;(ebben a törekvésben fontos terü-let a matematika alkalmazásának, eszköz jellegének sokoldalú bemutatása és a tanításban való érvényesítése) - tanításunkban egyre inkább a tárgy deduktív jellege kapjon hangsúlyt (bár továbbra sem nélkülözhető a szemléletre és tevékenységre épülő feldolgozás sem; - váljanak képessé a középszintű, valamint az emelt szintű érettségi vizsga sikeres letételére; Fejlesztési követelmények: Az elsajátított matematikai fogalmak alkalmazása. A matematikai szemlélet fejlesztése - a korábban szemléletesen, segítségével kialakított fogalmak megerősítése, bizonyos fogalmak definiálása, általánosítása; - a különböző témakörökben megismert összefüggések feladatokban, gyakorlati problémák-ban való alkalmazása, más témakörökben való felhasználhatóságának felismerése és alkalmazásképes tudása révén a tanulók matematizáló tevékenységének fejlesztése; - a valós számkör biztos ismerete, az e számkörben megismert műveletek gyakorlati és elvontabb feladatokban való alkalmazása ;( a számításoknál fontos a zsebszámológép, a számítógép biztos használata, a számítógép alkalmazása!) - a műveleteknek az algebrai kifejezések és a vektorok körében való értelmezése és használata; - az elemi függvények ábrázolása koordinátarendszerben és a legfontosabb függvénytulajdonságok meghatározása (nemcsak a matematika, hanem a természettudományos tárgyak megértése miatt, különböző gyakorlati helyzetek leírásának érdekében is); - a dinamikus geometriai szemlélet fejlesztése : a geometriai ismeretek bővítésével, a megismert geometriai transzformációk rendszerezettebb tárgyalásával; - a gyakorlat szempontjából fontos trigonometriai számítások ( távolságok, szögek meghatározása útján);

3 162 - a térszemlélet, az analógiás gondolkodás fejlesztése a sík-és térgeometriai fogalmak és tételek által. (A terület-,felszín-, térfogatszámítás más tantárgyakban is elengedhetetlenül fontos!) - a koordinátageometria elemeinek tanításával megmutathatjuk a matematika különböző területeinek összefüggéseit,s így a matematika komplexitását; - A következtetési, a bizonyítási készség fejlesztése hangsúlyos ennél a korosztálynál. A ha, akkor, az akkor és csak akkor helyes használata az élet számos területén fontos. Gyakorlottság a matematikai problémák megoldásában, jártasság a logikus gondolkodásban - Fontos feladat a problémaérzékenységre, a problémamegoldásra nevelés (ehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése,s az, hogy a tanulók minél többször önállóan oldjanak meg feladatokat.) - aktívan vegyenek részt a tanítási, tanulási folyamatban; - A diszkussziós képesség fejlesztése, a többféle megoldás keresése, megtalálása és megbeszélése a logikus gondolkodást is fejleszti. - Az élet és a különböző tudományok megértéséhez a gyakorlatban fontos témák megismerése, pl. a geometriai számítások, a leíró statisztika és valószínűségszámítás elemeinek alkalmazása igen hasznos.ez megmutatja a tanulók számára a matematika használhatóságát. (El kell érnünk, hogy az érettségi előtt állók e területen bizonyos gyakorlottságra tegyenek szert.) Az elsajátított megismerési módszerek és gondolkodási műveletek alkalmazása: - A deduktív következtetések az induktív módszer mellett nagyobb szerepet kapnak. A tanítandó anyagban sejtéseket fogalmazunk (fogalmaztatunk) meg, melyek néhány lépésben bizonyíthatók vagy megcáfolhatók. - Fontos a bizonyítás iránti igény felkeltése. Sor kerül néhány egyszerű tétel bizonyítására, bizonyítási módszerek megismerésére, valamint a fogalmak, szabályok pontos megfogalmazására.

4 163 - A matematikatanításban alapvetően fontos az absztrakciós képesség fejlesztése. - A matematika komplexitását mutatja meg a 12.évfolyamon való rendszerező összefoglaláskor az elemi halmazelméleti és logikai ismeretek alkalmazása különböző témakörökben, valamint egyszerű modellek (pl. gráfok) szerepeltetése. - A logikus gondolkodás a problémamegoldásban, az algoritmikus eljárások során és az alkalmazásokban egyaránt lényeges.(néhány lépéses algoritmusok készítése az informatika tanulmányozásához is fontos) - Szemléltető ábrák és egyéb eszközök alkalmazása ezen időszakban is elengedhetetlen. (geometriában, trigonometriában, kombinatorikában és statisztikában is) Az alkalmazásképes tudást fejleszthetjük az adatsokaságok különböző jellemzési lehetőségeinek megis-mertetésével. Helyes tanulási szokások fejlesztése: - A gyakorlati számítások során alkalmazott újabb ismeretek egyre fontosabbá teszik az elektronikus eszközök célszerű használatát. - Elengedhetetlen a becslés, a kerekítés, az ellenőrzés különböző módjainak az alkalmazása a közelítő értékekkel való számoláshoz. - Megkívánjuk a szaknyelv pontos használatát, a jelölésrendszer helyes alkalmazását. - A matematikai szöveg értő olvasása, tankönyvek, lexikonok használata, szövegekből a lényeg kiemelése, a helyes jegyzeteléshez szoktatás a felsőfokú tanulást is segíti. - A helyes érvelésre szoktatással sokat tehet a matematikatanítás a kommunikációs készség fejlesztéséért. - Nagyon fontos elérnünk, hogy a tanulók meg tudják különböztetni a definíciót, a sejtést és a tételt. Matematikatudásról akkor beszélhetünk, ha a definíciókat, tételeket alkalmazni is tudja a tanuló. - Nem hagyhatjuk figyelmen kívül, hogy a matematika a kultúrtörténet része. Komoly motiváció lehet tanításunkban a matematikatörténet egy-egy mozzanatának megismertetése, a máig meg nem oldott, egyszerűnek tűnő matematikai sejtések megfogalmazása, nagy matematikusok élete, munkássága. Ehhez segítséget ad a könyvtár és az internet használata is.

5 164 II. A fejlesztési feladatok,, tartalom és továbbhaladási feltételek évfolyamonként: 6.2 Nyelvi előkészítő évfolyammal induló osztály 74 óra Gondolkodási módszerek: A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elég-séges feltétel megkülön-böztetése. Algebra és számelmélet: A fogalom célszerű kiterjesztése, a számok nagyságrendjének tudá-sa. A megismert számhalmazok, ponthalmazok áttekintése, véges és végtelen halmazok, az intervallum fogalma. Halmazműveletek: unió, metszet, részhalmazképzés, két halmaz különbsége. kombinatorikai feladatok, az összes eset áttekintése. Az akkor és csak akkor használata (folyama-tos). Tétel és megfordítása (folyamatos). A hatványozás értelme-zése 0 és negatív egész kitevőre, a hatványozás azonosságai; számok abszolút értéke, normál alakja. Algebrai kifejezések osztályozása (változók szá-ma, fokszám, tagok száma szerint) Nevezetes azonosságok: kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás; a ± b, a b ( ), 3 3 ( a ± b) 3, a b A szorzattá alakítás módszerei (kiemelés, feltételei Tájékozottság a racio-nális számkörben. Részhalmaz, unió, metszet, két halmaz különbsége. feltételei Az azonosságok isme-rete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja. A másodfokú azonossá-gok alkalmazása.

6 Műveletek végzése számokkal és algebrai kifejezésekkel, a szak-nyelv használata. A matematika iránti érdeklődés erősítése az elemi számelmélet alap-vető problémáival és matematikatörténeti vonatkozásaival. 165 nevezetes azonosságok alkalmazása.) Azonosságok alkalma-zása egyszerű algebrai törtekkel végzett műve-leteknél. Egyes változók kifejezé-se fizikai, kémiai kép-letekben. Relatív prímek, oszthatósági feladatok, a prímszámok száma, pél-da számrendszerekre. A legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös feltételei A négy alapművelet egyszerű algebrai törtekkel. 3-mal, 9-cel való oszthatóság ismerete. Számok prímtényezőkre való bontása. Függvények: A függvényszemlélet fejlesztése: a hozzárendelések sza-bályként való értelmezése. A megfelelő modell keresése. A függvény fogalma, elemi tulajdonságai; a lineáris függvény; abszolútérték függvény; másodfokú függvény; a négyzetgyök függvény; gyakorlati példák további függvényekre (egészrész-, törtrész-, előjelfüggvény); a fordított arány, a x. x feltételei Tudjon a derékszögű koordinátarendszerben ponthalmazokat, egyszerű függvényeket ábrázolni. Az alapfüggvények tulajdonságainak ismerete. Képlettel megadott függvény ábrázolása értéktáblázat segítségével. Célszerű eszközhasz-nálat Függvénytranszformá-ciók. Egyszerű egyenletek grafikus megoldása. Az alapfüggvények transzformációja egy lépés esetén.

7 166 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek Algoritmikus gondolkodás és a gyakorlati problémák modellezése, értő szövegolvasás. Egyenlet, azonosság fogalma. Egyenletek értelmezési tartományának és értékkészletének vizsgálata. Egyenletek algebrai és grafikus megoldása. Egyenlőtlenségek Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása. Egyenletrendszerre veze-tő szöveges feladatok, százalékszámítás, kamatszámítás. feltételei Egyszerű egyenletek, egyenlőtlenségek, e- gyenletrendszerek biztos megoldása. A százalékszámítás alkalmazása a gyakorlat-ban. A tantervi anyag és a javasolt óraszámok: 1.) Halmazok : ( 7 ) - halmaz, részhalmaz, komplementer halmaz,venndiagram; - számhalmazok :N;Z;Z + ;Q;R; - ponthalmazok,mértani hely fogalma; - halmaz műveletek (unió, metszet, különbség); - /kieg.:,descartes-féle szorzat,halmaz műveleti azonosságok: kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás vizsgálata/; - pontok, ponthalmazok jellemzése számokkal, rendezett számpárokkal. 2.) A számelmélet elemei, hatványozás: ( 8) - számelméleti alapfogalmak: osztó, többszörös, prímszám, összetett szám, prímtényezős felbontás; - a legkisebb közös többszörös, legnagyobb közös osztó, relatív prímek; - oszthatósági szabályok (2-vel, 5-tel, 4-gyel, 3-mal, 9-cel); - a pozitív egész, 0, negatív egész kitevőjű hatvány értelmezése; - a számok normálalakja.

8 167 3.) Polinomok, algebrai törtek: (18) - a polinom fogalma, polinomok összevonása (fokszám, egynemű, különnemű kifejezések) - polinomok szorzása, osztása, műveleti azonosságok; - nevezetes szorzatok; - polinomok hatványozása; - polinomok szorzattá alakítása; - az algebrai tört fogalma, értelmezési tartománya; - algebrai törtek összevonása, szorzása, osztása. 4.) Függvények: (15) - halmaz leképezése halmazba, halmazra; - egyértelmű, kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés, a függvény definíciója (D f ; R f ); - függvények megadása, jelölése, két függvény azonossága; - függvények ábrázolása; - a lineáris függvény; - az egyenes arányosság; - a fordított arányosság; - egyéb függvények ábrázolása ( törtfüggvény, parabola, abszolútérték függvény, egészrész, törtrész, sgnx függvény) 5.) Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek: (20) - lineáris egyismeretlenes egyenletek, egyenlőtlenségek; - abszolútértéket tartalmazó egyenletek; - törtes egyenletek; - egyenlőtlenségrendszerek, törtes egyenlőtlenségek, - a lineáris kétismeretlenes egyenlet, egyenletrendszer fogalma; - a lineáris kétismeretlenes egyenletrendszer grafikus és algebrai megoldása; - szöveges feladatok megoldása.

9 168 9.) Ismétlés, jegyek lezárása: Minimum követelmények 9.F. témakör tartalom követelmények Javasolt feladatok Halmazok -Halmazok megadása -halmazok egyenlősége -rézhalmaz, üres hal-maz Fgy.:1/ ; egyesítés, metszet, különbség, 70. Venn-diagram A számelmélet elemei, hatványozás Algebrai egész és törtkifejezések -ponthalmazok, hely -ábrázolás koordinátarend-szerben mértani Számhalmazok: Természetes, egész, racionális, irracionális számok halmaza -Oszthatósági alapfogalmak, prímszám, összetett szám, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös, egyszerű oszthatósági szabályok - hatványozás (pozitív egész, nulla és negatív egész kitevőre), a hatványozás azonosságai, a számok normálalakja -Algebrai kif. fogalma, összevonás, kifejezés számértéke, alg.-i kif.-k szorzása, osztása, egyszerűsítése - törtkifejezések értelmezési tartománya -nevezetes azonossá-gok -szorzattá alakítás -Tudjon egyszerű művele-teket végezni halmazokkal -tudja az alapműveleteket szemléltetni Venn-diagram segítségével - ismerje a Descartes-féle derékszögű k.-r.-t, Legyen tájékozott a valós számkörben! (készség szinten tudjon alapműveleteket elvégezni, ismerje a műveletek azonosságait, tudja használni a számológépet) - A számok prímtényezőkre való bontása, lnko. és lkkt. meghatározása - a 2-es alapú számrendszer kapcsolata a 10-es alapú számrend-szerrel. -A négy alapművelet egyszerű algebrai kifejezé-sekkel, szorzattá alakítás, egyszerűsítés -Nevezetes azonosságok (összeg, különbség négy-zete, négyzetek kül.-sége) alkalmazása Fgy.:1/16-20;28; 29; 31;32 Fgy.: III/1;2;519;20;34; 48;52; 55;56;57;70;74-78; IV/1-3;4;5;6;9;10;19/ah; 20;21;23/ae;28;35; 36; 37; 47;48; 49/a-f; 52./a55; 56./ak;58;59;60;61/ag;

10 169 témakör követelmények Javasolt feladatok Függvények -Halmaz leképezése halmazba, -Alapfogalmak ismerete: II/1-5; 8.;9;11;12;13; halmazra. értelmezési tartomány, 14/a-d;16; 20 -Egyértelmű, kölcsönösen képhalmaz, értékkészlet, egyértelmű hozzárende-lés hozzárendelés, zérushely -A függvény definíciója - Tudjon képlettel adott -Függvények megadása, lineáris függvényt táblázat jelölése nélkül ábrázolni. -Függvényábrázolás -Tudjon alapfüggvényeket -A lineáris függvény, ábrázolni meredekség, monotoni-tás -Ismerje az alapfüggvé-nyek -egyenes és fordított tulajdonságait arányosság - Ismerje a különböző -hiperbola, szakadás megadási módok közötti - parabola, abszolútérték, kapcsolatot (tudjon táblázathoz négyzetgyök függvény grafikont, esetleg -töréspont, szélsőérték képletet alkotni stb.) -Ismerje a legegyszerűbb Egyenletek -Megoldási módszerek: mérlegelv, grafikus msz. - azonos átalakítások - egyenletek alkalmazása szöveges feladatok megoldásában -lineáris egyismeretlenes egyenletek, egyenlőtlenségek -abszolútértéket tartalma-zó egyenletek - egyszerű törtes egyenle-tek -Fizikai, matematikai képletekben szereplő válto-zók kifejezése - és, vagy a matematikában függvénytranszformációkat Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása Fgy. V./1-3.;4.;5;6;7;8; 11/ad;13/a-d,f,g,h,i; 17; 18/a-j; 23-31;35;37; 40;41; 46, 47, 50,51, 52, 53, 56, 58, 59, 63, 64, 71,72, 74,76,77,85

11 A 9. évfolyam Évi óraszám: 129,5 Gondolkodási módszerek: A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. Számtan, algebra: A megismert számhalmazok, ponthalmazok áttekintése, véges és végtelen halmazok, az intervallum fogalma. Halmazműveletek: unió, metszet, részhalmazképzés, két halmaz különbsége. kombinatorikai feladatok, az összes eset áttekintése. Az akkor és csak akkor használata (folyamatos). Tétel és megfordítása (folyamatos). feltételei Tájékozottság a racionális számkörben. Részhalmaz, unió, metszet, két halmaz különbsége. A fogalom célszerű kiterjesztése, a számok nagyságrendjének tudása. Műveletek végzése számokkal és algebrai kifejezésekkel, a szaknyelv használata. A hatványozás értelmezése 0 és negatív egész kitevőre, a hatványozás azonosságai; számok abszolút értéke, normál alakja. Nevezetes azonosságok: kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás; a ± b, a b ( ), 3 3 ( a ± b) 3, a b alakja. szorzat Ezen azonosságok alkalmazása egyszerű algebrai törtekkel végzett műveletek- feltételei Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja. A másodfokú azonosságok alkalmazása. feltételei A négy alapművelet egyszerű algebrai törtekkel.

12 Algoritmikus gondolkodás és a gyakorlati problémák modellezése,értő szövegolvasás. A rendszerezőképesség fejlesztése. A matematika iránti érdek-lődés erősítése az elemi számelmélet alapvető prob-lémáival és matematikatör-téneti vonatkozásaival. 171 nél. Egyes változók kifejezése fizikai, kémiai képletekben. A lineáris egyenletek megoldásának áttekintése. Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása. Egyenletrendszerre vezető szöveges feladatok, százalékszámítás, kamatszámítás, példák többismeretlenes e- gyenletrendszerre. Abszolútértékes egyenletek Relatív prímek, oszthatósá-gi feladatok, a prímszámok száma, példa számrendsze-rekre. Egyszerű egyenletrendszerek biztos megoldása. A százalékszámítás alkalmazása a gyakorlatban. 3-mal, 9-cel való osztható-ság ismerete. Számok prímtényezőkre való bontása. Függvények, sorozatok: A függvényszemlélet fejlesztése: a hozzárendelések szabályként való értelmezése. A megfelelő modell keresése. Célszerű eszközhasználat A függvény fogalma, elemi tulajdonságai; a lineáris függvény; abszolútérték függvény; másodfokú függvény; a négyzetgyök függvény; gyakorlati példák további függvényekre (egészrész-, törtrész-, előjelfüggvény); a fordított arány, x a. x Függvénytranszformációk Kétismeretlenes egyenletrendszer grafikus megoldása. feltételei Az alapfüggvények tulajdonságainak ismerete. Képlettel megadott függvény ábrázolása értéktáblázat segítségével. feltételei Az alapfüggvények transzformációja egy lépés esetén.

13 172 Geometria: Tájékozottság a megismert síkidomok tulajdonságaiban Sejtések megfogalmazása, új összefüggések felfedezése, bizonyítási igény kialakítása. A transzformációk, mint függvények értelmezése, a matematika különböző területei közötti kapcsolatok keresése. Síkbeli tájékozódás, tervezés, a konstrukciós, diszkussziós igény kialakítása, sokoldalú szemléltetés, szerkesztőprogramok megismerése. Geometriai alapfogalmak, háromszögekkel, négyszögekkel, sokszögekkel kapcsolatos ismeretek kiegészítése, rendszerezése. A háromszög nevezetes vonalai, beírt köre, körülírt kö-re. Thalész tétele, a kör és érintői, érintősokszög fogalma. A tengelyes és középpontos tükrözés, az eltolás áttekintése, rendszerezése, példa további egybevágósági transzformációra.(pont körüli elforgatás) A forgásszög fogalma, ívmérték, a kör középponti szöge, körív hossza, körcikk kerülete, területe. Egyszerű szerkesztési feladatok. feltételei Speciális háromszögek, négyszögek és szabályos sokszögek tulajdonságainak ismerete. A nevezetes vonalak ismerete, a háromszög beírt és köréírt körének ismerete. A körrel kapcsolatos fogalmak és az érintő tulajdonságának ismerete. A megismert transzformációk tulajdonságainak felhasználása egyszerű, konkrét esetekben. Valószínűség, statisztika A statisztikai adatok helyes értelmezése. Statisztikai adatok és ábrázolásuk (kördiagram, oszlopdiagram stb.), számtani közép, medián, módusz; a- datok szóródásának mérése feltételei Számsokaság számtani közepének kiszámítása, a középső érték (medián) és a leggyakoribb érték (módusz) ismerete. Kördiagram, oszlopdiagram adatainak értelmezése.

14 173 A tantervi anyag és a javasolt óraszámok: 1.) Halmazok : ( 7 ) - halmaz, részhalmaz, komplementer halmaz,venn-diagram; - számhalmazok :N;Z;Z + ;Q;R; - ponthalmazok,mértani hely fogalma; - halmaz műveletek (unió, metszet, különbség); - /kieg.:,descartes-féle szorzat,halmaz műveleti azonosságok: kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás vizsgálata/; - pontok, ponthalmazok jellemzése számokkal, rendezett számpárokkal. 2.) Függvények: (19) - halmaz leképezése halmazba, halmazra; - egyértelmű, kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés, a függvény definíciója (D f ; R f ); - függvények megadása, jelölése, két függvény azonossága; - függvények ábrázolása; - a lineáris függvény; - az egyenes arányosság; - a fordított arányosság; - egyéb függvények ábrázolása ( törtfüggvény, parabola, abszolútérték függvény, egészrész, törtrész, sgnx függvény) 3.) A számelmélet elemei, hatványozás: ( 11) - számelméleti alapfogalmak: osztó, többszörös, prímszám, összetett szám, prímtényezős felbontás; - a legkisebb közös többszörös, legnagyobb közös osztó, relatív prímek; - oszthatósági szabályok (2-vel, 5-tel, 4-gyel, 3-mal, 9-cel); - a pozitív egész, 0, negatív egész kitevőjű hatvány értelmezése; - a számok normálalakja. 4.)Polinomok, algebrai törtek: (14) - a polinom fogalma, polinomok összevonása (fokszám, egynemű, különnemű kifejezések) - polinomok szorzása, osztása, műveleti azonosságok; - nevezetes szorzatok; - polinomok hatványozása;

15 174 - polinomok szorzattá alakítása; - az algebrai tört fogalma, értelmezési tartománya; - algebrai törtek összevonása, szorzása, osztása. 5.) Egyenletek, egyenletrendszerek: (26) - lineáris egyismeretlenes egynletek, egyenlőtlenségek; - abszolútértéket tartalmazó egyenletek; - törtes egyenletek; - egyenlőtlenségrendszerek, törtes egyenlőtlenségek, paraméteres egyenletek, abszolútértéket tartalmazó egynlőtlenségek; - a lineáris kétismeretlenes egyenlet, egyenletrendszer fogalma; - a lineáris kétismeretlenes egyenletrendszer grafikus és algebrai megoldása; - szöveges feladatok megoldása. 6.) Geometria: (27) - geometriai alapfogalmak (szögek, szögpárok, térelemek távolsága); - alapszerkesztések; - a háromszögek szögeire, oldalaira vonatkozó összefüggések; - a szakaszfelező merőleges, a háromszög köré írható kör; - a tengelyes tükrözés, tengelyesen szimmetrikus alakzatok; - a szögfelező, a háromszögbe írható kör; - Thalész tétele; - a kör érintője, érintőnégyszög; - a pontra vonatkozó tükrözés, középpontosan szimmetrikus alakzatok; - a paralelogramma, a háromszög, a trapéz középvonala; - a háromszög magasságvonalai, magasságpontja; - az eltolás, vektorok, vektorműveletek(összeadás, kivonás, skalárral való szorzás; - a pont körüli elforgatás; - a szög mérése, a forgásszög, a középonti szög; - a körív hossza, a körcikk területe; - a háromszögek egybevágósága; - a háromszöghöz írható körök, két kör közös külső, belső érintői;

16 175 7.) Valószínűség, statisztika: ( 8) - statisztikai alapfogalmak; - középértékek, számtani közép, súlyozott számtani közép; - a szóródás mérőszámai. 8.) Dolgozatok: ( 8) 9.) Ismétlés: ( 9,5) Gondolkodási módszerek: 10. évfolyam Évi óraszám: 111 A köznapi gondolkodás és a matematikai gondolkodás megkülönböztetése. Bizonyítási igény további fejlesztése. Tétel és megfordítása. Bizonyítási módszerek, jellegzetes gondolatmenetek (indirekt módszer, skatulyaelv). feltétele A csak kimondott, illetve be is bizonyított összefüggések megkülönböztetése. Változatos feladatok. kombinatorikai Egyszerű sorbarendezési és kiválasztási feladatok konkrét elemszám esetén. Számtan, algebra: A permanencia elve a számfogalom bővítésében. A valós szám szemléletes fogalma, kapcsolata a számegyenessel, a valós számok tizedestört alakja, példák ir- feltétele Tájékozottság a valós számok halmazán, a racionális és irracionális számok tizedestört alakja, nevezetes ir-

17 176 A megoldás keresése többféle úton, tanulói felfedezések, önálló eljárások keresése. Az algoritmikus gondolkodás fejlesztése. A matematika eszközként való felhasználása gyakorlati és természettudományos problémák megoldásában. Tevékenységek Diszkussziós igény az algebrai feladatoknál. Az algebrai és grafikus módszerek együttes alkalmazása a problémamegoldásban. Függvények, sorozatok: Tevékenységek Új függvénytulajdonságok megismerése, függvénytranszformációk további alkalmazása. A négyjegyű függvénytáblázatok és matematikai öszszefüggések célszerű használata. Geometria: Tevékenységek racionális számokra. A négyzetgyökvonás azonosságai, az n-dik gyök fogalma. A másodfokú egyenlet megoldása, a megoldóképlet, gyöktényezős alak, gyökök és együtthatók összefüggése, összefüggés két pozitív szám számtani és mértani közepe között. Másodfokú egyenletre vezető szöveges feladatok. Ekvivalens és nem ekvivalens lépések egyenletek átalakításánál, egyszerű négyzetgyökös egyenletek. Másodfokú egyenlőtlenség megoldása. A forgásszög szögfüggvényeinek értelmezése, összefüggés a szög szögfüggvényei között. A szögfüggvények tulajdonságai (értelmezési tartomány, monotonitás, zérushelyek, szélsőértékek, periodicitás,értékkészlet), a függvények ábrázolása racionális számok ismerete. A négyzetgyökvonás azonosságainak alkalmazása egyszerű esetekben.. A megoldóképlet biztos ismerete és alkalmazása. Két pozitív szám számtani és mértani közepének fogalma. Különböző típusú egysze-rű szöveges feladatok megoldása. feltétele Egyszerű négyzetgyökös egyenlet megoldása. A megoldások ellenőrzése. feltétele A szögfüggvények definíciójának ismerete, az x sin x és x cos x függvények ábrázolása és tulajdonságai. feltétele

18 A transzformációs szemlélet fejlesztése. Kreatív problémamegoldás. Geometriai ismeretek alkalmazása, biztos számolási készség, zsebszámológép célszerű használata. Tevékenységek A vektorok további alkalmazása. 177 A hasonlósági transzformáció, síkidomok hasonlósága. A háromszögek hasonlóságának alapesetei. A hasonlóság alkalmazásai Háromszög súlyvonalai, súlypontja, arányossági tételek a derékszögű háromszögben.hasonló síkidomok területének aránya, hasonló testek térfogatának aránya. Pitagorász tételének alkalmazása, szögfüggvények alkalmazása derékszögű háromszög hiányzó adatainak kiszámítására, gyakorlati feladatok. Síkbeli és térbeli számítások, nevezetes szögek szögfüggvényértékeinek kiszámítása. A vektor szorzása számmal, vektor felbontása síkban. A hasonlóság szemléletes tartalmának ismerete, a középpontos nagyítás és kicsinyítés alkalmazása egyszerű gyakorlati feladatokban. feltétele Az alapesetek ismerete. A felsorolt tételek ismerete és alkalmazása egy vagy két lépéssel megoldható számítási feladatoknál. Valószínűség, statisztika: Tevékenységek A valós helyzetek értelmezése, megértése és értékelése. További valószínűségi kisérletek, a valószínűség becslése, kiszámítása egyszerű esetekben. A valószínűség szemléletes fogalma, kiszámítása konkrét esetekben. feltétele Egyszerű problémák megoldása a klasszikus valószínűségi modell alapján.

19 178 A tantervi anyag és javasolt óraszámok: 1.) Hasonlóság: (24) - összemérhető és összemérhetelen szakaszok; - a párhuzamos szelők tétele, a tétel megfordítása; - a háromszögek szögfelezőjének egy tulajdonsága; - középpontos hasonlóság, hasonlóság; - a hasonlósági transzformáció fogalma; - a háromszögek hasonlósága; - hasonló alakzatok (síkidomok, testek) tulajdonságai, hasonló síkidomok területének, hasonló testek térfogatának aránya; - a háromszög súlyvonalai, súlypontja; - a számtani és mértani közép, és ezek összehasonlítása; - arányossági tételek a derékszögű háromszögben (magasságtétel, befogótétel); - arányos távolságok a körben; - szerkesztési és számítási feladatok megoldása. 2.) Szögfüggvények: (21) - szögfüggvények értelmezése hegyesszögekre; - összefüggések a szögfüggvények között; - nevezetes szögfüggvények; - derékszögű háromszögek hiányzó adatainak meghatározása szögfügg-vények és Pitagorász tételének alkalmazásával, összetettebb feladatok megoldása, térelemek hajlásszögének meghatározása; - a vektor felbontása síkban, a vektor koordinátái, a vektor os elforgatottjának koordinátái; - a forgásszög szögfüggvényeinek értelmezése, a szögfüggvények általánosítása; - a háromszög területének meghatározása a két oldal és a közbezárt szög segítségével; - a szögfüggvények ábrázolása és jellemzése ( értelmezési tartomány, monotonitás, zérushelyek, szélsőértékek, periodicitás, értékkészlet, korlátosság, paritás); 3.) Négyzetgyök: (13) - a négyzetgyökvonás fogalma és azonosságai; - kiemelés a gyökjel alól, bevitel a gyökjel alá, értelmezési tartományok meghatározása; - gyöktelenítés; - az n-edik gyök fogalma és azonosságai; - a négyzetgyök függvény. 4.) Másodfokú egyenletek: (32) - másodfokú függvények ábrázolása; - szélsőérték-feladatok megoldása; - a másodfokú egyenlet grafikus megoldása; - a másodfokú egyenlet algebrai megoldása, a megoldó képlet; - a diszkrimináns; - gyöktényezős alak; - gyökök és együtthatók összefüggése; - másodfokú egyenletrendszerek megoldása; - másodfokú egyenlőtlenségek; - másodfokú egyenlettel, egyenletrendszerrel megoldható szöveges feladatok; - egyenletek ekvivalenciája; - egyszerű négyzetgyökös egyenletek megoldása.

20 179 5.) Valószínűség, statisztika: ( 6) - valószínűségi kísérletek, a valószínűség becslése, kiszámítása egyszerű esetekben; - a valószínűség szemléletes fogalma, kiszámítása konkrét esetekben. 5.) Dolgozatok: ( 8) 6.) Ismétlés: ( 7) Gondolkodási módszerek: 11. évfolyam Éves óraszám: 111 Tevékenységek A kombinatív készség fejlesztése, A többféle megoldási mód lehetőségének keresése. Előzetes becsléshez szoktatás, a becslés összevetése a számításokkal A gráf modellként való felhasználása Permutációk, variációk, kombinációk. Binomiális együtthatók. Vegyes kömbinatorikai feladatok. Gráfelméleti alapfogalmak, alkalmazásuk. Feladatok megoldása gráfokkal. feltételei Egyszerű kombinatorikai feladatok megoldása A gráf szemléletes fogalma, egyszerű alkalmazásai Számtan, algebra: Tevékenységek A matematikai fogalom célszerű kiterjesztése, a fogalmak általánosításánál a permanencia elv felhasználása. Bizonyítás iránti igény mélyítése. Matematikatörténeti vonatkozások megismerése Másodfokúra visszavezethető egyenletek, egyenletrendszerek. A hatványozás kiterjesztése pozitív alap esetén racionális kitevőkre. A hatványozási azonosságok A logaritmus értelmezése. A logaritmus, mint a hatványozás inverz művlete. A logaritmus azonosságai. feltételei A hatványozás definíciója, műveletek, azonosságok ismerete egész kitevő esetén. A logaritms fogalmának ismerete, azonosságainak alkalmazása egyszerűbb esetekben.

21 (könyvtár- és internethasználat) Az absztrakciós és szintetizáló képesség fejlesztése. Az önellenőrzés igényének fejlesztése. Függvények, sorozatok: Tevékenységek A függvényfogalom fejlesztése. Összefüggések felismerése a matematika különböző területei között. A bizonyításra való törekvés fejlesztése. Számítógép használata a függvényvizsgálatokban és a transzformációkban. 180 Exponenciális és logaritmikus egyenletek. A 2 x, a 10 x függvény, az exponenciális függvény vizsgálata, exponenciális folyamatok a természetben. A szögfüggvényekről tanultak áttekintése. A tanult függvények tulajdonságai (értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték, monotonitás, periodicitás, paritás) A szögfüggvények transzformációi: f(x)+c; f(x+c); cf(x); f(cx). A definíció és az azonosságok egyszerű alkalmazása exp., logaritmusos és trigonometrikus egyenlet esetén. feltétele Az alapfüggvények ábrái és legfontosabb tulajdonságainak vizsgálata (értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték) Geometria, mérés: A térszemlélet fejlesztése. Pontos fogalomalkotásra törekvés. Bizonyítás iránti igény továbbfejlesztése. A fizika és a matematika termékeny kapcsolatának megmutatása. Tervszerű munkára nevelés. Az esztétikai érzék fejlesztése A vektorokról tanultak áttekintése. A vektorműveletek tulajdonságai. Két vektor skaláris szorzata. A skaláris szorzat tulajdonságainak felsorolása Szinusztétel, koszinusztétel. Az alkalmazásukhoz szükséges egyszerű trigonometrikus egyenletek. feltétele A vektorműveletek és tulajdonságaik (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás.) Vektorok alkalmazásai A szinusztétel és a koszinusztétel alkalmazása alapfeladatok megoldásában. (a háromszög hiányzó adatainak meghatározása)

22 181 A matematika gyakorlati felhasználása.a zsebszámológép és a számítógép alkalmazása. Az eredmények realitásának és pontosságának eldöntése. Geometriai feladatok megoldása algebrai eszközökkel. A bizonyítási készség fejlesztése Adott probléma többféle megközelítése. Valószínűség, statisztika: A körülmények kellő figyelembevétele. Előzetes becslés összevetése a számításokkal. Modellalkotásra nevelés A számítógép alkalmazása statisztikai adatok, illetve Távolság, magasság és szög meghatározása gyakorlati feladatokban és a fizikában Helyvektor. Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal. Szakasz osztópontja. A háromszög súlypontja. Két pont távolsága, szakasz hossza.a kör egyenletei. Az irányvektor, a normálvektor, az iránytangens fogalma. Az egyenes egyenlete. Két egyenes párhuzamosságának, merőlegességének feltétele, két egyenes metszéspontja. Kör és egyenes kölcsönös helyzete. A kör érintője. A parabola mint ponthalmaz. Egyszerű valószínűségszámítási problémák. Néhány konkrét eloszlás vizsgálata. Műveletek eseményekkel konkrét valószínűségszámítási példák esetén. ( és, vagy, nem ). Relatív gyakoriság. A valószínűség klasszikus modellje. Statisztikai mintavétel. feltétele Vektorok koordinátáinak biztos használata Szakasz felezőpontja koordinátáinak kiszámítása. A kör középponti egyenletének ismerete. Az egyenes egy szabadon választott egyenletének tudása. Két egyenes metszéspontjának meghatározása. Kör és egyenes kölcsönös helyzetének vizsgálata. feltétele A relatív gyakoriság és a valószínűség közötti szemléletes kapcsolat ismerete, egyszerű valószínűségi feladatok megoldása.

23 182 véletlen jelenségek vizsgálatára. A mindennapi problémák értelmezése, a statisztikai zsebkönyvek, a napi sajtó adatainak elemzése. A tantervi anyag és a javasolt óraszámok: 1.) Hatvány, gyök, logaritmus: (23) - másodfokúra visszavezethető magasabbfokú egyenletek megoldása; - a hatványozás álalánosítása racionális kitevőre, a hatványozás azonosságai (permanenciaelv); - műveletek hatványokkal és gyökös kifejezésekkel; - a logaritmus fogalma és azonosságai; - exponenciális és logaritmusos egyenletek megoldása; - exponenciális és logaritmusos egyenlőtlenségek; - exponenciális és logaritmusos egyenletrendszerek; - különböző alapú logaritmusok. 2.) Függvények: (14) - az exponenciális függvény; - a logaritmus függvény (mint az exponenciális függvény inverze); - függvénytranszformációk, a tanult függvények transzformáltjainak ábrázolása és a függvények elemi vizsgálata. 3.) Trigonometria: (23) - vektorok skaláris szorzata, a skaláris szorzat tulajdonságainak felsorolása, vektor koordináták, vektor abszolútértéke; - skaláris szorzat meghatározása koordinátákkal; - a szinusztétel; - a koszinusztétel; - a szinusz-és koszinusztétel alkalmazása: távolság, magasság és szög meghatározása gyakorlati feladatokban és a fizikában; - egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása; - addiciós tételek; - egyszerű trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldása; 4.) Koordináta-geometria: (27) - helyvektor, műveletek koordinátákkal adott vektorokkal; - szakasz osztópontjának koordinátái; - a háromszög súlypontja; - két pont távolsága, szakasz hossza; - az irányvektor, a normálvektor, az iránytangens fogalma; - az egyenes egyenletei; - az egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének feltételei; - két egyenes metszéspontja; - a kör egyenlete;

24 183 - kör és egyenes kölcsönös helyzete; - a kör adott pontjába húzott érintőjének egyenlete; - két kör kölcsönös helyzete; - a parabola mint ponthalmaz; - a parabola tengelyponti egyenlete, a parabola és egyenes kölcsönös helyzete, parabola adott pontbeli érintője. 5.) Valószínűségszámítás, statisztika: (10) Leíró statisztika: - statisztikai adatok gyűjtése, rendszerezése, különböző ábrázolásai (kördiagram, oszlopdiagram); - gyakoriság, relatív gyakoriság; - átlagok: számtani közép, súlyozott közép, rendezett minta közepe (medián), leggyakoribb érték (módusz) - szórás; Valószínűségszámítás: - mintavételi eljárások- visszatevéses mintavétel - valószínűség, relatív gyakoriság. Matematikai statisztika: - sokaság, paraméter; - minta, relatív gyakoriság. 6.) Dolgozatok ( 8) 7.) Ismétlés ( 6) (Megjegyzés: a dőlt betűvel írott, kiegészítő anyag)

25 évfolyam Éves óraszám: 96 Gondolkodási módszerek: Az ismeretek redszerezése: A matematika különböző területei közti összefüggéseinek tudatosítása. A deduktív gondolkodás fejlesztése Ekvivalencia, implikáció. A halmazelméleti és logikai ismeretek kapcsolata, rendszerezése. A megismert bizonyítási módszerek összefoglalása. A kombinatorikai és gráfokkal kapcsolatos ismeretek áttekintése feltétele Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek Számtan, algebra: Matematikatörténeti ismeretek (könyvtár- és internethasználat). Szám- és műveletfogalom biztos alkalmazása Tervszerű, pontos és fegyelmezett munkára nevelés. Az önellenőrzés fontossága. Rendszerező összefoglalás. Számhalmazok Számelméleti összefoglalás. A valós számok és részhalmazai. A műveletek értelmezése, műveleti tulajdonságok. Közelítő érték Egyenletek Nevezetes másod- és harmadfokú algebrai azonosságok. Az egyenletmegoldás módszerei. Az alaphalmaz szerepe. Egyenlőtlenségek. Egyenlet-, ill. egyenlőtlenségrendszerek. Másodfokú kifejezések. Másodfokú egyenletek, Viete-formulák. Négyzetgyökös kifejezések és egyenletek. feltétele Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek.

26 185 A problémamegoldó gondolkodás, a szövegértés, a szövegelemzés fejlesztése. Exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus kifejezések, egyszerű egyenletek Szöveges feladatok Függvények, sorozatok: A matematika alkalmazása a gyakorlati életben Az absztrakciós készség fejlesztése. A függvényszemlélet fejlesztése. A függvények alkalmazása a gyakorlatban és a természettudományokban. A sorozat fogalma. Számtani és mértani sorozat, az n. tag, az első n elem összege. Kamatoskamat-számítás. Rendszerező összefoglalás A függvényekről tanultak áttekintése, rendszerezése. Az alapfüggvények ábrázolása. Függvénytraszformációk. f(x)+c; f(x+c);cf(x);f(cx). Függvényvizsgálat függvényábrák segítségével. feltétele Számtani és mértani sorozat esetén az n-dik tag, és az első n elem összegének kiszámítása feladatokban. Kamatoskamat-számítás alkalmazása egyszerű gyakorlati feladatokban. Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek. Geometria, mérés: A térszemlélet fejlesztése. Az esztétikai érzék fejlesztése. Térelemek kölcsönös helyzete, távolsága, szöge. Egyszerű poliéderek. feltétele Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételeken kívül: térelemek kölcsönös helyzetének, távolságuk, hajlásszögük definíciójának ismerete

27 A matematika gyakorlati alkalmazásai a térgeometriában. Sík-és térgeometriai ismeretek összekapcsolása, analógiák felismerése. A függvényszemlélet fejlesztése. A deduktív gondolkodás fejlesztése. A matematika különböző területei közötti összefüggések felhasználása 186 A terület-és kerületszámítással kapcsolatos ismeretek összefoglalása. A poliéder felszíne, térfogata. A hengerszerű testek, a henger felszíne és térfogata. Kúpszerű testek. A kúpszerű testek felszíne és térfogata. A csonkagúla, csonkakúp térfogata, felszíne. A gömb felszíne, térfogata. Rendszerező összefoglalás Geometriai alapfogalmak, ponthalmazok. A geometriai transzformációk áttekintése. Háromszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásaik. Négyszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásaik. Körre vonatkozó tételek és alkalmazásaik. Vektorok, vektorok koordinátái. Vektorműveletek, műveleti tulajdonságok, alkalmazások. Derékszögű koordinátarendszer. Alakzatok egyenlete. Trigonometrikus összefüggések és alkalmazásaik. feltétele A megismert felszín- és térfogatszámítási képletek alkalmazása egyszerű feladatokban. Valószínűség, statisztika A leíró statisztika és a valószínűségszámítás gyakorlati szerepe, alkalmazása Statisztikai és mintavételi adatok vizsgálata (közvéleménykutatás, minőségellenőrzés). feltétele Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek.

28 A számítógép felhasználása statisztikai adatok kezelésére, véletlen jelenségek vizsgálata. 187 Összefoglalás: Adathalmazok jellemzői: számtani közép, mértani közép, súlyozott közép, medián, módusz, szórás. Gyakoriság, relatív gyakoriság. A klasszikus valószínűségi modell. Egyszerű klasszikus valószínűség-számítási feladatok megoldása. A tantervi anyag és a javasolt óraszámok: 1.) Számsorozatok: (21) - a számsorozat fogalma, megadása és ábrázolása; - sorozatok monotonitása, korlátossága; - a számtani sorozat definíciója, az n. tag (a n ) és az első n elem összegének (S n ) meghatározása; - a mértani sorozat, az n. tag (a n ) és az első n elem összegének (S n ) meghatározása; - az a n és S n használata feladatokban; - kamatos kamat-számítás gyakorlati feladatokban. 2.) Kerület- és területszámítás: ( 6) - egymásba skatulyázott zárt intervallumok vizsgálata; - a kerület és terület fogalma; - egyszerű síkidomok (háromszögek, négyszögek, sokszögek, a kör és részei) kerületének és területének meghatározása, az ismeretek gyakor-lati alkalmazása; - hasonló síkidomok kerülete és területe. 3.) Felszín- és térfogatszámítás: (19) - a testek csoportosítása; - a hasábok származtatása, tulajdonságai, felszíne és térfogata; - a forgáshenger származtatása, tulajdonságai, felszíne és térfogata; - a gúla származtatása, tulajdonságai, felszíne és térfogata; - a csonkagúla származtatása, tulajdonságai, felszíne és térfogata; - a forgáskúp származtatása, tulajdonságai, felszíne és térfogata; - az egyenes csonkakúp származtatása, tulajdonságai, felszíne és térfogata; - feladatok az ismert testek felszínének, térfogatának a meghatározására 4.) Kombinatorika, gráfok: (3) - feladatok permutációkra, variációkra és kombinációkra; - a gráf szemléletes fogalma, egyszerű alkalmazásai; - gráfelméleti alapfogalmak. 5.) Valószínűség, statisztika: ( 3) - statisztikai és mintavételi adatok vizsgálata (közvélemény-kutatás, minőség-ellenőrzés;

29 188 5.) Rendszerező összefoglalás: (38) 6.) Dolgozatok ( 6) 11. évfolyam (emelt szintű érettségire való felkészítés) (Éves óraszám: 37 x 5 =185) Gondolkodási módszerek: A kombinatív készség fejlesztése, A többféle megoldási mód lehetőségének keresése. Előzetes becsléshez szoktatás, a becslés összevetése a számításokkal A gráf modellként való felhasználása Permutációk, variációk, kombinációk. Binomiális együtthatók. Binomiális tétel. Vegyes kombinatorikai feladatok. Gráfelméleti alapfogalmak, alkalmazásuk. Feladatok megoldása gráfokkal. feltételei Kombinatorikai feladatok megoldása. A binomiális tétel ismerete, alkalmazása A gráf szemléletes fogalma, alkalmazásai Számtan, algebra: Másodfokúra visszavezethető egyenletek, egyenletrendszerek. feltételei A matematikai fogalom célszerű kiterjesztése, a fogalmak általánosításánál a permanencia elv felhasználása. n n a b szorzattá alakítása, alkalmazása A hatványozás kiterjesztése racionális kitevőkre. A hatványozási azonosságok Irracionális kitevőjű hatvány szemléletes fogalma. A hatványozás definíciója, műveletek, azonosságok ismerete.

30 Bizonyítás iránti igény mélyítése. Matematikatörténeti vonatkozások megismerése (könyvtár- és internethasználat) Az absztrakciós és szintetizáló képesség fejlesztése. Az önellenőrzés igényének fejlesztése. 189 A logaritmus értelmezése. A logaritmus, mint a hatványozás inverz művelete. A logaritmus azonosságai. Különböző alapú logaritmusok. Exponenciális és logaritmusos egyenletek és egyenlötlenségek A logaritmus fogalmának ismerete, azonosságainak alkalmazása. A definíció és az azonosságok alkalmazása exp., logaritmusos egyenlet, egyenlőtlenség és trigonometrikus egyenlet esetén. Függvények, sorozatok, az analízis elemei: A függvényfogalom fejlesztése. Összefüggések felismerése a matematika különböző területei között. A bizonyításra való törekvés fejlesztése. Számítógép használata a függvényvizsgálatokban és a transzformációkban. A differenciál- és integrálszámítás alapjainak elsajátítása. Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok megoldása a derivált ismeretében. A 2 x, a 10 x függvény, az exponenciális függvény vizsgálata, exponenciális folyamatok a természetben. A függvény matematikai fogalma A szögfüggvényekről tanultak áttekintése. A tanult függvények tulajdonságai (értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték, monotonitás, növekedés, fogyás, periodicitás, paritás, korlátosság, konvexitás) A szögfüggvények transzformációi: f(x)+c; f(x+c); cf(x); f(cx). A határérték szemléletes fogalma. A folytonosság szemlélees fogalma. Differenciálhányados. A derivált függvény alkalmazása (érintő egyenletének felírása, szélsőértékfeladatok, harmadfokú poli- feltétele Az alapfüggvények és transzformáltjaik ábrái és tulajdonságainak vizsgálata A differenciál- és integrálszámítás alapjainak ismerete és alkalmazása gyakorlati problémák megoldásában.

31 190 nomfüggvények vizsgálata). A kétoldali közelítés módszere, a határozott integrál szemléletes fogalma. A primitív függvény fogalma. Newton-Leibniz-tétel. Határozott integrál alkalmazása grafikon alatti terület számítására Geometria, mérés: A térszemlélet fejlesztése. Pontos fogalomalkotásra törekvés. Bizonyítás iránti igény továbbfejlesztése. A fizika és a matematika termékeny kapcsolatának megmutatása. Tervszerű munkára nevelés. Az esztétikai érzék fejlesztése A matematika gyakorlati felhasználása.a zsebszámológép és a számítógép alkalmazása. Az eredmények realitásának és pontosságának eldöntése. Geometriai feladatok megoldása algebrai eszközökkel. A bizonyítási készség fejlesztése Adott probléma többféle megközelítése. A vektorokról tanultak áttekintése. A vektorműveletek tulajdonságai. Két vektor skaláris szorzata. A skaláris szorzat tulajdonságainak felsorolása Szinusztétel, koszinusztétel. Az alkalmazásukhoz szükséges egyszerű trigonometrikus egyenletek. Távolság, magasság és szög meghatározása gyakorlati feladatokban és a fizikában Helyvektor. Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal. Szakasz osztópontja. A háromszög súlypontja. Két pont távolsága, szakasz hossza. A kör egyenletei. Az irányvektor, a normálvektor, az iránytangens fogalma. Az egyenes egyenletei. Két egyenes párhuzamosságának, merőlegességének feltétele A vektorműveletek és tulajdonságaik (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás.) Vektorok alkalmazásai. A szinusztétel és a koszinusztétel alkalmazása feladatok megoldásában. Vektorok koordinátáinak biztos használata Szakasz felező- és harmadolópontja koordinátáinak kiszámítása. A kör középponti egyenletének ismerete. Az egyenes egyenletének biztos tudása. Két egyenes metszéspontjának meghatározása. Kör és egyenes kölcsönös

32 191 feltétele, két egyenes metszéspontja. Kör és egyenes kölcsönös helyzete. Két kör kölcsönös helyzete. A kör adott pontjába húzott érintőjének egyenlete. A parabola. helyzetének vizsgálata.két kör kölcsönös helyzetének vizsgálata. Valószínűség, statisztika: A körülmények kellő figyelembevétele. Előzetes becslés összevetése a számításokkal. Modellalkotásra nevelés A számítógép alkalmazása statisztikai adatok, illetve véletlen jelenségek vizsgá- Egyszerű valószínűségszámítási problémák. Néhány konkrét eloszlás vizsgálata. Műveletek eseményekkel konkrét valószínűségszámítási példák esetén. ( és, vagy, nem ). Mintavételi eljárások- viszszatevéses mintavétel. A binomiális eloszlás várható értéke, szórása Visszatevés nélküli modell. A nagy számok törvényének szemléletes tartalma. Eseményalgebra Események függetlensége. Gyakoriság, relatív gyakoriság. A valószínűség klasszikus modellje. Átlagok: számtani közép, súlyozott közép, rendezett minta közepe (medián), leggyakoribb érték (módusz). Szórás Átlagtól való eltérés 2-3 szórásnyi intervallumban Statisztikai mintavétel. Statisztikai adatok gyűjtése, rendszerezése, külön- feltétele A relatív gyakoriság és a valószínűség közötti szemléletes kapcsolat ismerete, egyszerű valószínűségi feladatok megoldása.

33 192 latára. A mindennapi problémák értelmezése, a statisztikai zsebkönyvek, a napi sajtó adatainak elemzése. Matematikai statisztika böző ábrázolásai (kördiagram, oszlopdiagram, hisztogram) Sokaság, paraméter Minta, relatív gyakoriság Relatív gyakoriság intervallum becslése. A közvéleménykutatás elemei A tantervi anyag és a javasolt óraszámok: 2.) Hatvány, gyök, logaritmus: (28) - másodfokúra visszavezethető magasabbfokú egyenletek megoldása; - a hatványozás álalánosítása racionális kitevőre, a hatványozás azonosságai (permanenciaelv); - műveletek hatványokkal és gyökös kifejezésekkel; - a logaritmus fogalma és azonosságai; - exponenciális és logaritmusos egyenletek megoldása; - exponenciális és logaritmusos egyenlőtlenségek; - exponenciális és logaritmusos egyenletrendszerek; - különböző alapú logaritmusok. 2.) Függvények: (14) - az exponenciális függvény; - a logaritmus függvény (mint az exponenciális függvény inverze); - függvénytranszformációk, a tanult függvények transzformáltjainak ábrázolása és a függvények elemi vizsgálata. 3.) Trigonometria: (29) - vektorok skaláris szorzata, a skaláris szorzat tulajdonságainak felsorolása, vektor koordináták, vektor abszolútértéke; - skaláris szorzat meghatározása koordinátákkal; - a szinusztétel; - a koszinusztétel; - a szinusz-és koszinusztétel alkalmazása: távolság, magasság és szög meghatározása gyakorlati feladatokban és a fizikában; - egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása; - addiciós tételek; - egyszerű trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldása; 4.) Koordinátageometria: (34) - helyvektor, műveletek koordinátákkal adott vektorokkal; - szakasz osztópontjának koordinátái; - a háromszög súlypontja; - két pont távolsága, szakasz hossza; - az irányvektor, a normálvektor, az iránytangens fogalma;

34 193 - az egyenes egyenletei; - az egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének feltételei; - két egyenes metszéspontja; - a kör egyenlete; - kör és egyenes kölcsönös helyzete; - a kör adott pontjába húzott érintőjének egyenlete; - két kör kölcsönös helyzete; - a parabola mint ponthalmaz, a parabola tengelyponti egyenlete, a parabola és egyenes kölcsönös helyzete, parabola adott pontbeli érintője. 5.) Az analízis elemei: (32) - a határérték szemléletes fogalma; - a folytonosság szemléletes fogalma; - differenciálhányados; - a derivált függvény alkalmazása; - szélsőérték-feladatok megoldása; - a kétoldali közelítés módszere, a határozott integrál szemléletes fogalma; - a primitív függvény fogalma; - Newton-Leibniz- tétel; - határozott integrál alkalmazása a grafikon alatti terület számítására. 6.) Kombinatorika: (16) - permutációk, variációk, kombinációk; - kombinatorikai feladatok megoldása; - binomiális tétel ismerete, alkalmazása; - gráfok: a gráf szemléletes fogalma, alkalmazásai. 5.) Valószínűségszámítás, statisztika: (10) Leíró statisztika: - statisztikai adatok gyűjtése, rendszerezése, különböző ábrázolásai (kördiagram, oszlopdiagram); - gyakoriság, relatív gyakoriság; - átlagok: számtani közép, súlyozott közép, rendezett minta közepe (medián), leggyakoribb érték (módusz) - szórás; Valószínűségszámítás: - mintavételi eljárások- visszatevéses mintavétel - valószínűség, relatív gyakoriság. Matematikai statisztika: - sokaság, paraméter; - minta, relatív gyakoriság. 6.) Dolgozatok ( 8) 7.) Ismétlés ( 14)