Mészáros József. Játékelmélet

Átírás

1 Mészáros József Játékelmélet

2

3 Mészáros József Játékelmélet Gondolat Kiadó Budapest 2003

4 Minden jog fenntartva. Bármilyen másolás, sokszorosítás, illetve adatfeldolgozó rendszerben való tárolás a kiadó el zetes írásbeli hozzájárulásához van kötve. c Mészáros József, 2003 A kiadásért felel Bácskai István Szöveggondozó Koltai Mária Fedélterv Pintér László A kiadási munkálatokat a Books In Print végezte ISBN

5 El szó Az olvasó az utóbbi években a Budapesti M szaki és Gazdaságtudományi Egyetemen tartott Játékelmélet a társadalomtudományokban el adás leírt változatát tartja a kezében. A jegyzet bevezet jelleg ismereteket ad. A szerz igyekezett nem technikai jelleg el adásokat tartani, és ilyen jegyzetet írni. Magyar nyelven több játékelmélet jegyzet is olvasható, így: Forgó Ferenc- Szép Jen : Bevezetés a játékelméletbe, Szidarovszki Ferenc-Molnár Sándor: Bevezetés a játékelméletbe m szaki alkalmazásokkal, valamint Filep László: Bevezetés a játékelméletbe jegyzete. Az els két jegyzet er sen technikai jelleg és mind a három jegyzet húsz évvel ezel tt íródott. Az utóbb évtizedekben számos új alkalmazásra került sor és a játékelméleti irodalma is rendkívüli mértékben kib vült. A téma iránt érdekl d olvasóknak a technikaibb jelleg bevezetések közül gyelmébe ajánlom: Aumann, Robert: Lectures on Game Theory; Fudenberg, Drew and Jean Tirole: Game Theory; Osborne, Martin J. and Ariel Rubinstein: A Course in Game Theory könyveit. A nem technikai jelleg bevezet könyvek iránt érdekl d knek pedig olvasásra ajánlom: Axelrod, Robert: The evolution of cooperation; Binmore, Ken: Fun and games; Gardner, Roy: Games for Bussiness and Economics; Morrow, James D.: Game Theory for Political Scientists könyveit. A jegyzet I. fejezetében a kétjátékosos játékok segítségével áttekintjük az alapfogalmakat. A továbbiakban a szokásos tárgyalást követve megismerjük a teljes információs játékok alapfogalmait. A függelékben néhány alkalmazási területet tekintünk át. A gazdasági játékok fejezetben összegy jtve újraolvashatóak a jegyzetben elszórt példák. Mindenkinek jó munkát, jó olvasást kívánok! i

6 ii

7 Tartalomjegyzék El szó Tartalomjegyzék Bevezetés 1 I Játékok két játékossal 9 1 Játékok normál alakban szerepl s teljes információs szimultán lépéses játékok Iterált dominancia A játék nyeregpontja Kevert stratégiák Verseng játékok Szekvenciális játékok A játék extenzív formája II Játékok több játékossal 33 1 Nem kooperatív játékok normál alakban Kevert stratégiák A játékok normál alakja Korrelált egyensúly Nash tétel 43 iii i iii

8 iv TARTALOMJEGYZÉK 3 A játékok extenzív formája Extenzív játékok normál alakban Részjáték Indukció visszafelé Racionalizálhatóság 55 5 Információfüggvény Tudásfüggvény Ismeret és megoldási koncepció Bayes-i játékok Ismételt játékok Végtelenszer ismételt játékok Végtelen játék diszkontálás nélkül Nash egyensúly diszkontálással Részjáték Nash visszacsapás Véges ismétl dés játékok Alkalmazás Ismételt Cournot-játék Nash visszacsapás Répa és bot stratégia Evolúciós egyensúly Szelekció a válasz dinamikája Mutáció Kooperatív játékok átvihet nyereménnyel Piaci játék átvihet nyereménnyel Megoldási koncepciók Alkudozási (bargaining) halmaz Kernel A játék "sejtmagja" (nucleolus) Shapley érték Hatalom

9 TARTALOMJEGYZÉK v III Függelék Preferenciák és Pareto elvek Az egyéni preferenciák Maximális elemek Választási függvény Racionalitás Kvázitranzitív racionalitás Egyérték függvények Pareto elvek A választók egyes csoportjaira vonatkozó deníciók Döntéselmélet Döntéselmélet bizonytalanság esetén Gazdasági játékok Cournot játék (szimultán termelési verseny) Lineáris Cournot modell 2 céggel Cournot játék több céggel (N 2) Ismételt Cournot játék Stratégiák ismétl déses játékok esetén Bertrand játék (szimultán árverseny) Domináns megoldás keresése Ismételt Bertrand játék Stackelberg játék Részjáték kielégít Nash egyensúly Társadalmi választások elmélete Arrow tétele Feltevések Választási függvények Preferenciák közötti feltételek Preferenciákon belüli feltételek Manipulálhatóság Elosztási igazságosság Alkudozáselmélet 163

10 vi TARTALOMJEGYZÉK Irodalom 167 Tárgymutató 172

11 0 Bevezetés

12 Bevezetés Döntéselmélet vs. játékelmélet Amikor az egyének (csoportok) más egyének(csoportok)-kel szembeni viselkedésükr l döntenek, szembesülniük kell azzal, hogy magatartásuk befolyásolja a többiek döntését, magatartását. Egy interakciót stratégiai játéknak nevezünk, ha a szerepl k tudatában vannak ennek a hatásnak, s t magatartásuk során gyelembe is veszik. (A játékos tisztában van azzal, hogy a másik is tisztában van azzal, hogy is tisztában van azzal stb.). A stratégiai játékot így egyel re úgy képzelhetjük el, mint egy, a szerepl k közötti interakciót ahol is a szerepl k magatartásuk kialakítása során gyelembe veszik az ellenérdekelt fél általuk ismert, illetve lehetségesnek vélt magatartását is. Gondoljunk csak a sakkjátékosra: a jó sakkozó több lépésre el re gondolatban gyelembe veszi az ellenfél lehetséges lépéseit, majd az egész folyamatot végiggondolva dönt az aktuális lépésr l. Hasonlóan egy hadvezér egy csata megvívásakor igyekszik az ellenfél vezérének fejével is gondolkodni. A játékelmélet tárgyalása során a lehetséges játékosok számát nem sz kítjük le csak kett re. Stratégiai játékról tehát akkor beszélünk, ha ellenérdek felek között érdekkoniktus áll fenn, a felek rendelkezhetnek ismeretekkel, feltételezésekkel a többiek céljáról, lehetséges döntési alternatívákról, de ez az informáltság nem feltétlenül szimmetrikus. Minden játékos az egyéni céljainak megfelel en saját helyzetét próbálja optimalizálni. Próbáljuk egy kicsit formálisabban szemlélni a fentieket. Mi a játékelmélet? Játsszuk a következ t: Mindenki a teremben tippeljen egy számra 1 és 100 között oly módon, hogy tippjének a lehet legközelebb kell kerülnie a többiek tippjei átlagának 2/3-ához. (0,1) Definíció: Játékelméleten a racionális szerepl k stratégiai interakcióinak 1

13 2 Bevezetés elemzését értjük. A fenti denícióban használt kifejezések némi magyarázatra szorulnak: Csoport: Egy játékban egynél több döntéshozó szerepel, ket hívjuk játékosoknak. Ha csak egy játékos van, nem játékról, hanem döntési problémáról beszélünk. Interakció: Ha legalább egy játékos döntései közvetlenül befolyásolják egy másik játékos magatartását a csoporton belül. Ellenkez esetben a játék független döntési problémák sorozata. Stratégia: Olyan cselekvések, ahol az egyes egyének számításba veszik ezt a kölcsönös függ séget. Racionalitás: A kölcsönös összefüggés gyelembevételével az egyes játékosok a legjobb cselekvésüket választják. E feltevést a kés bbiekben enyhítjük, gazdasági vagy biológiai játékokban gyengébb racionalitásfogalmat szokás használni. (0,1) Példa: Tegyük fel, hogy 10 ember vendégl be megy. Mindenki külön zeti a saját fogyasztását. Ez egy döntéselméleti probléma. Ha el re megállapodnak a számla közös zetésében és utólagos felosztásában, akkor ez játékelméleti kérdés. A játékelmélet a közgazdaság tudományban, a szociológiában, a politológiában és a pszichológiában gyakran alkalmazott diszciplína. Néhány példa: A kereskedelem mértéke függ az egyes államok vámpolitikájától. Milyen vámpolitikát érdeke az egyes államoknak választaniuk, hogy a gazdaság a lehet legtöbbet protáljon? Az árak függenek az egyes termel k kibocsátásától. Mi az optimális kibocsátás? A közjószágok el állítása függ a többiek kooperativitásától. Mi számukra az optimális magatartás? Hogyan szavazzunk? A játékok osztályozása Stratégiai játékok nagyon sok helyzetben fordulhatnak el. Az alábbiakban néhány szempont alapján kísérjük meg osztályozni a játékokat.

14 Bevezetés 3 1. A játékosok lépései egyidej ek, vagy egymást követ ek. A sakkban a játékosok egymás után lépnek, el bb a fehér, utána a fekete, egy árverésen a résztvev k egy id ben teszik meg az els ajánlatokat, egymástól függetlenül. A különbségtétel a szekvenciális és az egyidej lépéses játékok között azért lényeges, mert a két játékfajta más gondolkodásmódot igényel. A szekvenciális játék esetén a játékosok a következ képpen gondolkodnak: Ha most ezt lépem, hogyan fog(nak) az ellenérdek (ek) reagálni? A jelen lépés a többiek jöv beni lépései következményeinek kalkulációján alapszik. A szimultán lépéses játék esetén a lépéssel kapcsolatos döntések az ellenérdek felek jelenlegi lépésével kapcsolatos várakozásaikon alapulnak, és igaz ez fordítva is az ellenfeleikre. A szekvenciális játékok esetén fontos kérdés, hogy mi az el nyösebb, els nek lépni avagy másodiknak, ennek a kérdésnek az eldöntése gyakran nem is olyan egyszer. 2. A játékosok érdekkoniktusának természete. Az igen egyszer játékok esetén mint például a sakk van nyertes és vesztes. A kártyajáték esetén az egyik fél nyereménye a másik fél vesztesége. Ezeket a játékokat zérus összeg játékoknak nevezzük. Általánosabban vizsgálva ezekben az esetekben egy adott, el re meghatározott nyeremény játékosok közötti elosztásáról van szó, így a lehetséges nyeremény összege nem feltétlenül zérus. Ebben az esetben konstans összeg játékról beszélünk. A hétköznapi életben, a gazdasági tevékenység során többnyire nem egy el re meghatározott torta felosztásáról van szó. A játékban részt vev k magatartásától függ gyakran a torta mérete is, és akár minden játékos lehet nyertes. Hasonlóan elképzelhet olyan helyzet is, amelyben minden részt vev vesztessé válhat, például egy nukleáris háború esetén. Az ilyen játékokat szokás negatív összeg játékoknak nevezni. A játékok közül számos esetben a játékosok választhatnak a kooperáció és a koniktus között, és gyakran az elemzés tárgya az, hogy milyen feltételek mellett érdemes ezt vagy azt az alternatívát választani. Ez az eset egyébként a játék összegét l függetlenül el fordulhat. 3. A játékosok informáltsága. A sakk esetén a játékosok pontosan ismerik helyzetüket (bábuik helyzetét) a lehetséges lépéseiket, illetve az ellenfél lehetséges lépéseit. Ezeket a játékokat teljes információs játékoknak nevezzük. Általában ez a helyzet kivételes, többnyire néhány játékos olyan információval is rendelkezik, amellyel a többiek nem. A kártyajátékok többsége esetén a

15 4 Bevezetés játékosok ismerik saját lapjukat, és próbálnak következtetni a többiek lapjaira, illetve megtéveszteni a többieket saját lapjaikat illet en. Az összes játékos tisztában van ezzel, így a következtetéseik esetén mindenki igyekszik számba venni a többiek megtéveszt szándékait is. A megtéveszt információk kisz rését hívjuk "signaling"-nak, a kevésbé informált játékosok információszerzési stratégiáját pedig "screening"-nek. A játékosok informáltsági állapotának osztályozását mutatja be a következ táblázat: A játékelméletben szokásos osztályozása a lehetséges információs állapotoknak: Közös tudás, azaz mindegyik játékos tisztában van azzal, hogy a többi játékos is teljes információval rendelkezik, s t azt is tudja, hogy a többi játékos ezt róla is tudja, és így tovább a végtelenségig. Teljes információ. Mindegyik játékos tudja, hogy a többi játékos rendelkezésére milyen stratégiák és azokhoz kapcsolódó kizetések állnak. Perfekt információ. Minden játékos meggyelheti az összes többi játékos minden lépését. Szimmetrikus információ. Minden játékos rendelkezésére azonos információ áll. Magáninformáció. Az egyes játékosok rendelkeznek olyan, a játékkal kapcsolatos információval, amely csak az rendelkezésükre áll. Teljes emlékezet (Perfect recall). Egyik játékos sem felejti el a saját lépéseit a múltban. Visszacsatolás (Closed loop). Az ismétléses játékban a játékosok minden részjáték végén jelzést kapnak a többiek lépéseir l. Visszacsatolás nélkül (Open loop). Az ismétléses játékban a részjátékok lefutása után a játékosok csak a saját lépéseikr l, döntéseikr l rendelkeznek információval. Azt az információt, amelyik minden játékos rendelkezésére áll közös tudásnak nevezzük. Ez a közös "tudás" (common knowledge), jóval több, mint az egyéni tudások összege, ezt jól jellemzi a következ közismert anekdota: Közös tudás Tekintsük a közismert példát, amely megvilágítja, hogy az egyének tudásának összege nem pontosan azonos a közös tudással, hanem a közös tudás azt jelenti, hogy mindenki tudja, és így a végtelenségig:

16 Bevezetés 5 Egy szigeten él 40 házaspár. A helyi szokásoknak megfelel en ha egy asszony felfedezi, hogy a férje h tlen volt, kötelessége a felfedezést követ éjfélig a falu f terén megszégyeníteni férjét. A példázatnak megfelel en a faluban minden asszony viszonyt tart fenn az összes férval, miközben azt gondolja, hogy a saját férje h séges. Ez már régóta így folyik. Egy napon érkezik egy idegen, aki átlátva a helyzetet kijelenti: van egy férj, aki h tlen. Természetesen csak a számára felismert tényt mondta ki, hiszen a meglév gyakorlatot nevezte néven. Aznap éjfélkor mindenki ott van a f téren, és ekkor válik közös tudássá az, hogy mindenki h tlen. Tekintsünk el bb egy egyszer esetet. Legyen csak két házaspárunk, és mind a két hölgynek a másik férjjel van kapcsolata. Megjelenik az idegen, és kijelenti, hogy valaki h tlen. Az els asszony tudja, hogy h tlenkedett a másik férjével, tehát arra vár els nap éjfélkor, hogy a másik asszony kiviszi a f térre a férjét és megszégyeníti. Ez nem történik meg, hiszen a másik asszony is hasonlóan gondolkodik. Így els nap éjfélkor nem történik semmi, második nap éjfélkor viszont mindenki rájön arra, hogy mivel els nap nem történt semmi, ezért az férje is h tlenkedik. A feladatot el bb három házaspárra terjesszük ki, és hasonló megfontolással beláthatjuk az el z eket, majd teljes indukcióval általánosíthatjuk. 4. A játék szabályai rögzítettek vagy manipulálhatóak? A sakk, a sportjátékok szabályai rögzítettek, gyakran bíró kényszeríti ki a szabályok betartását. A gazdasági, politikai játékok nem ilyen egyszer ek, a játékosok gyakran érdekeiknek megfelel en megkísérlik a szabályok változtatását, módosítását. Gyakran fontos elemezni, hogy a játék szabályai mennyire manipulálhatóak, illetve betartásuk mennyire érdeke a játékosoknak ez különösen a politikai játékok estén érdekes. 5. Lehetséges-e a játékosok közötti kooperáció, és ha igen, mennyiben? A játékosok stratégiai interakciói a közös érdek és a koniktus keverékéb l állnak. Gyakran megéri a játékosoknak egyezségeket kötni az együttm ködésr l. Számos esetben az egyes játékosok számára el nyös ezeket az egyezségeket egyoldalúan megszegni, abban bízva, hogy a többiek ezt nem teszik. A többi játékos egyezségkövet magatartására vonatkozóan különböz feltevésekkel élhetünk és ett l függ en alakítjuk ki stratégiánkat. Amennyiben az egyezségek nem kikényszeríthet ek, általában nem jön létre kooperáció. Azokat a játékokat, ahol az egyezségek kikényszeríthet ek, kooperatívnak nevezzük, azokat ahol nem, nem kooperatívnak. 6. A játék egyszeri vagy többször megismétlése.

17 6 Bevezetés Számos játék esetén a játékosok egyszer találkoznak, lejátsszák a játékot, kiki megkapja a nyereményét (veszteségét), és távoznak. Gyakran azonban nincs így, a játékosok többször egymás után játsszák ugyanazt a játékot. A gazdasági életben, szervezetekben, egy családban ez gyakran el fordulhat. Ekkor ismétl déses játékról beszélünk. Az ismétl déses játékok esetén fontos különbség, hogy véges számú, avagy végtelen az ismétl dések száma. Véges ismétl déses játék esetén különbséget teszünk aszerint, hogy az ismétl dések száma egy el re meghatározott, rögzített szám, avagy ezt nem ismerjük, csak annyit tudunk, hogy a játék befejez dik, de hogy mikor, azt nem. 7. Véges vagy végtelen játékok. Ha a játékosok száma véges, és a véges számú játékos bármelyikének véges számú stratégia áll rendelkezésére, akkor véges játékról beszélünk. Ha akár a játékosok, akár az egyes játékosok stratégiahalmazai közül valamelyik végtelen, akkor végtelen játékról beszélünk. Minden látszat ellenére nagyon gyakran el fordulnak végtelen játékok. Gondoljuk meg, hogy például egy olajnomító optimális kibocsátását modellezzük, ekkor végtelen sok stratégiánk van. 8. Evolúciós (tanuló) játékok. Gyakran, még relatíve egyszer játékok esetén is a játékok kimenetele jelent s mértékben függ a játékosok felkészültségét l. A játékelmélet megismeréséhez el ször ismerkedjünk meg néhány, a kés bbiekben használt alapfogalommal: Játékosok. A játékosok tetsz leges (megszámlálható számosságú) egyének vagy csoportok halmaza. Stratégiák A stratégiának egyszer en a játékosok el tt álló döntési alternatívákat hívjuk. A stratégiák nyilván függenek a játék szerkezetét l, hiszen ha egyszeri szimultán játékról van szó, akkor a stratégiák a rendelkezésre álló döntési alternatívákat jelentik. Amennyiben egy szekvenciális játékról van szó (azaz a játékosok egymás után lépnek), akkor az egymás után következ lépéssorozatok jelentik az egyes stratégiákat. Azaz ebben az esetben a játékot egy gráal jellemezhetjük. Azaz a stratégián egy döntési alternatívát vagy döntési alternatívák egy sorozatát értjük.

18 Bevezetés 7 Kizetések Egy adott játék esetén egy játékos célja a gy zelem, de néha nem olyan egyszer meghatározni, hogy mit is jelent ez. Gyakran célunk az, hogy például egy adott terméket hamarabb dobjunk a piacra, vagy jobb min ségben, mint a konkurencia, azaz csak ritkán lehet a gy ztesvesztes kategóriában gondolkodni. Kizetésnek egy adott stratégiakombináció (azaz egy adott saját stratégiaválasztás és az ellenfelek adott stratégiaválasztása) melletti eredményt értjük, mely lehet numerikus érték, de nem feltétlenül az. Egy gazdasági játékban lehet a kizetés az általunk elért prot, de az is, hogy a konkurens vállalat cs dbe megy. A kizetések értelmezéséhez, meghatározásához érdemes a hasznosságfüggvények irodalmát áttekintenünk. Ezt az olvasó az 1.sz. függelékben találja. Racionalitás A társadalomtudományokban a racionalitás fogalmát nagyon sok értelemben szokás használni, mi a továbbiakban egy nagyon korlátozott értelemben használjuk. A játékosok ismerik a rendelkezésre álló alternatíváikat (stratégiákat), az egyes stratégiákhoz tartozó kizetéseket, a kizetéseket képesek legalább gyenge értelemben rendezni, és ezen rendezés alapján el tudják dönteni, hogy melyik (melyek) a számukra legkedvez bb(ek), és azt akarják elérni. (A racionalitásról a 2.sz. függelék tartalmaz b vebb olvasnivalót.) A leírtakból világos, hogy a fenti koncepció semmilyen morális feltevést következtetést nem tartalmaz a cselekvésr l, se azt nem gondoljuk, hogy játékosaink önz k, sem azt nem, hogy altruisták. A fenti koncepció a játékosok id horizontjáról sem tételez fel semmit, nem gondoljuk, hogy rövid távra és azt sem, hogy hosszú távra diszkontálnak. Ez a koncepció csak egyfajta konzisztenciát jelent: minden játékos a saját értékrendszerének megfelel en konzisztensen cselekszik. Természetesen gyakran a játékosok különböz értékrendszerrel rendelkeznek, és nem feltétlenül ismerik egymás értékrendszerét. Ez a kérdés azonban ebben a koncepcióban már az informáltság és nem a racionalitás kérdése. A racionalitás feltételezése a cselekv kr l igen er s feltevés, és gyakran nem is teljesül, de számunkra (és a közgazdaságtan számára is) rendkívül fontos, hogy a kés bbiekben számolni tudjunk. A játék szabályai A játékelmélet tárgyalása során feltételezik, hogy a játékosok tisztában vannak azzal, mi az a játék, amelyben részt vesznek, s t tudják ezt a többi játékosról

19 8 Bevezetés is, és a többi játékos is tudja ezt, azaz a játék szabályai a közös tudás részét képezik. A játék szabályai tartalmazzák: a játékosok meghatározását, az egyes játékosok stratégiáit, az egyes játékosok kizetéseit az összes lehetséges releváns stratégiakombinációra és azt, hogy a játékosok racionálisak. Az általunk használt meghatározásba nem férnek bele az olyan játékok, ahol nem lehet tudni, ki is a játék résztvev je, és ki nem, ahol nincsenek egyértelm en meghatározva az egyes stratégiák és azok követelményei. Ez a deníció igen sz kít, de azt gondolom, hogy egy jegyzet erejéig elegend. Egyensúly A következ kben az egyensúly fogalmi keretei között járunk el. Mit jelent ez? Az egyes stratégiai kombinációk közül azok valósulnak meg, amelyek a legjobb válaszok a többiek lehetséges lépéseire. Ez, mint a közgazdaságtanból már tudjuk, nem feltétlenül jelenti azt, hogy a döntéshozó mindig a legjobban jár, s t gyakran senki sem jár jól. Egyensúlynak egy olyan állapotot tekintünk, ahol senkinek sem éri meg az adott stratégiakombinációtól eltérnie.

20 I. rész Játékok két játékossal 9

21

22 1. fejezet Játékok normál alakban (1,1) Példa Tekintsük a következ játékot: két játékos, A és B snóbliznak, azaz hol egyik, hol másik kezükben dugnak el pénzérméket. Ha A bal kezébe dugja a pénzt, és B jobb kezébe, akkor A zet B-nek 2 forintot, ha A jobb kezébe dugja a pénzt, B a bal kezébe, akkor B zet A-nak 2 forintot. Ha mindketten a bal kezükbe dugják a pénzt, akkor A zet B-nek 3 forintot, ha mindketten a jobb kezükbe, akkor pedig B zet A-nak 3 forintot. A fenti játékot összefoglalhatjuk az alábbi táblázatban: A\B bal jobb bal ( 3, 3) ( 2, 2) jobb (2, 2) (3, 3) ahol a zárójelben lév els szám A, míg a második szám B nyereményét jelenti. Egy normál formában megadott játékon a következ t értjük: 1. A játékosok halmazát N = {1,..., n} 2. Mindegyik játékos rendelkezik döntési alternatívák egy halmazával, jelölje ezt S i. A megel z példában: hogy a bal vagy a jobb kezet választja, azaz S 1 = S 2 = {b, j} 3. A játék lehetséges kimenetelei, azaz az összes lehetséges stratégiai kombináció: S = S i. A megel z példában (b, b)(b, j)(j, b)(j, j), 2 2 = 4 i kimenet van. 11

23 12 1. JÁTÉKOK NORMÁL ALAKBAN 4. A játékosok preferenciákkal rendelkeznek a lehetséges kimenetekkel kapcsolatban. A fenti példában, mivel pénzre megy a játék, elég egyszer a helyzet, a több pénz többre értékelt. Számos esetben a kimenetek nem feltétlenül számszer síthet k, ekkor azt várjuk el, hogy a játékosoknak legyen rendezése a kimenetek felett. A preferenciákat hasznosságfüggvényekkel reprezentálhatjuk (lásd 1. sz. függelék). Így u i : S R Ekkor szokás u i -t kizet függvénynek nevezni. A fentieket formális denícióba rendezve: (1,1) Definíció: Egy G játékot normál formában megadott játéknak nevezünk, ha 1. a játékosok adottak, és számuk véges N={1...n} N <, 2. i, i N-re S i = {s 1 i,..., sn i } stratégiahalmaz, 3. u i u i : i S i R kizet függvény. Tekintsük példánkat normál formában megadott játékra: (1,2) Példa zérus összeg játékra Két játékos sakkozik, a gy ztes kap 1 pontot, a vesztes 1 pontot, a remi esetén egyikük sem kap pontot. (1,2) Definíció: Egy játékot kétszemélyes zérus összeg játéknak nevezünk, ha N = 2 és u 2 = u 1. (1,3) Definíció: Véges összeg játék: Egy játékot kétszemélyes véges összeg játéknak nevezünk, ha N = 2 és u i < i. (1,1) Megjegyzés: Matematikai értelemben a véges összeg játékok zérus összeg játékká transzformálhatóak. Természetesen ez társadalmi értelemben nem igaz, az emberek szociális magatartását nagyon is befolyásolhatja, hogy zérus összeg - e a játék vagy sem.

24 SZEREPLŽS TELJES INFORMÁCIÓS SZIMULTÁN LÉPÉSES JÁTÉKOK szerepl s teljes információs szimultán lépéses játékok (1,1) Példa folytatás Hogyan érdemes játszani? A játékos számára a jobb kéz választása el nyösebb, hiszen jobb kézzel nyer, míg a bal kéz választása esetén mindig veszít. Ilyenkor azt mondjuk, hogy a jobbkéz-stratégia dominálja a balkéz-stratégiát. (1,4) Definíció: az i N játékos ŝ i S i stratégiája dominálja az S i stratégiát, ha u i (ŝ i, s i ) u i (s i, s i ) s i -re és u i (ŝ i, s i ) > u i (s i, s i ) legalább egy s i -re. (1,5) Definíció: az i N játékos ŝ i s i stratégiája er s értelemben dominálja az s i stratégiát, ha: (1,1) Példa folytatás Ekkor a mátrix így alakul u i (ŝ i, s i ) > u i (s i, s i ) s i -re. A \ B bal jobb jobb (2, 2) (3, 3) hiszen A játékos a bal-stratégiát soha nem fogja választani, így B játékos számára csak a veszteség minimalizálása marad: a bal-stratégiával 2 forintot, míg a jobbal 3 forintot veszít. Azaz a bal-stratégia dominálja döntésre a jobbkézstratégiát. Azaz a játék egyensúlypontja a (jobb, bal)-stratégia. (1,6) Definíció: Egy ŝ = (ŝ 1,..., ŝ n ) stratégiavektort Nash egyensúlynak nevezünk, ha u i (ŝ) u i (s i, ŝ i ) i I és s i S i -re. (1,7) Definíció: Egy ŝ = (ŝ 1,..., ŝ n ) i I stratégiavektort szigorú értelemben vett Nash egyensúlynak nevezzük, ha u i (ŝ) > u i (s i, ŝ i ) i I és s i S i -re. A példa táblázatából jól látható, hogy a (jobb, bal)-stratégiából egyik félnek sem érdeke elmozdulni, hiszen csak rosszabb helyzetbe kerülhet. Ezt a megoldásmódot hívjuk a dominált stratégiák eliminációjának.

25 14 1. JÁTÉKOK NORMÁL ALAKBAN (1,3) Példa. Fogolydilemma Két b nöz t súlyos b ntény elkövetésével vádolnak, és külön-külön tartják ket fogva. Bizonyíték ellenük csak csekély mértékben áll rendelkezésre. Mindkét fogoly számára két alternatíva áll rendelkezésre: vallani vagy tagadni; ha valaki vall, akkor a b ntársát vádolja, és saját maga ártatlansága mellett érvel. Így a kizet mátrix (a büntetés mértékére) a következ képpen alakul: A \ B vall nem vall vall (4 év, 4 év) (0 év, 5 év) nem vall (5 év, 0 év) (1 év, 1 év) A táblázat számaiból világosan következik, hogy a vall-stratégia dominálja a nem vall-stratégiát, hiszen 4 < 5 és 0 < 1 az eredmény. Így mind a két b nöz vallani fog és (4, 4) év büntetést kapnak, amely nagyobb, mint az (1, 1) év. Azaz, ha a játékosok nem kooperálnak, vagy nem hihetnek a másik kooperativitásában, akkor egy ilyen inferior állapot áll el. Tekintsük általánosságban, ha a fenti példába nem éveket, hanem hasznosságokat írunk, akkor: A \ B nem kooperál kooperál nem kooperál (p, p) (t, s) kooperál (s, t) (r, r) ahol s < p < r < t és 2r < s+t ekkor létrejön a fogolydilemma, azaz a játékosok domináns stratégiája a dezertálás (a nem kooperálás). Általában a többszerepl s fogolydilemma 1 játékokat szokás közjószág-, közlegel vagy társadalmicsapda-játékoknak nevezni. (1,4) Példa fogolydilemmára Két különböz droggal üzletel drogkeresked megállapodik, hogy prolt b vítenek, és a rendelkezésükre álló drog egy részét elcserélik egymással. Korábban nem ismerték egymást, és kés bb sem fognak találkozni. A cserét rendkívül gyorsan kell lebonyolítani, azaz próbára nincs id, kérdés, hogy érdemes-e csalniuk, azaz valóban drog helyett hamisat adni a cserénél. A drog piaci értéke legyen 4 egység, önköltsége 1 egység. A \ B igazi hamis igazi (3, 3) (1, 4) hamis (4, 1) (0, 0) 1 A foglolydilemma nevet Albert Tucker adta 1950-ben a hasonló típusú játokoknak.

26 1.2. ITERÁLT DOMINANCIA 15 Ha igazit cserélnek igazira (4 1), azaz 3 egységnyi haszon keletkezik, ha hamisat igazira, akkor a hamis drogot adó 4 egység hasznot, míg a másik fél 1 egységnyi veszteséget realizál. A táblázatból jól látszik, hogy a hamis stratégia dominálja az igazi stratégiát. (1,5) Példa. Nemek háborúja A közismert játék többféle történettel ismert. Egy pár együtt szeretné tölteni az estét, a feleség színházba, a férj meccsre szeretne menni, de el nyben részesítenék az együtt töltött estét Iterált dominancia fér \ n színház meccs színház (1, 2) (0, 0) meccs (0, 0) (2, 1) Gyakran a játék megoldása során a legfontosabb probléma, hogy milyen feltevéssel élhetünk a másik játékosról. Egyel re feltételezzük, hogy mindenki racionálisan cselekszik. (1,8) Definíció: Tegyük fel, hogy i játékos elgondolással rendelkezik ellenfelér l. Az elgondolás azt jelenti, hogy a másik játékos az egyes stratégiáit milyen valószín séggel játssza meg, azaz µ i egy eloszlás. Ekkor i játékos racionális µ i elgondolással, ha s i maximalizálja a s i u i (s i, s i )µ(s i ) kifejezést. A fogolydilemmával (1,3) Példa láttuk, hogy a racionális játékos sohasem kooperál. Tekintsük most a következ játékot. 1 \ 2 s 1 2 s 2 2 s 3 2 s 1 1 (2,2) (1,1) (4,0) s 2 1 (1,2) (4,1) (3,5) 1. Ha 2. racionális, s 2 2-t nem játssza játékos tudja ezt, ha felteszi, hogy 2. racionális, így nem játssza a s 2 1-t szintén felteszi, hogy 1. racionális. Ha ezt felteszi, akkor tudja, hogy nem fogja s 2 1-t. Így neki nem értelmes s 3 2-t játszani.

27 16 1. JÁTÉKOK NORMÁL ALAKBAN 4. Így csak (s 1 1, s1 2 ) stratégiapár marad. A fenti példából világossá válik, hogy nemcsak az a fontos, hogy én racionális vagyok, hanem az is, hogy ellenfelem az. S t, az ellenfelemnek tudnia kell, hogy én racionális vagyok, és azt is, hogy tudom, hogy racionális. S t, tudom, hogy tudja, hogy én racionális vagyok, azaz a racionalitás a közös tudás része. (1,9) Definíció: Iterált dominancia 1. lépés, legyen S 0 i = S i 2. lépés, legyen k. lépés, legyen legyen: S i S 1 i = {s i s k i s i s 0 i u i (s i, s i ) > u i (s i, s i ) s i S 0 i} S k+1 i = {s i S k i s i S k i u i (s i, s i ) > u i (s i, s i ) s i S k i} i=1 S k i (az eljárás véges lépésben befejez dik, ha S i < i). Ha S = 1, akkor a játékot iterált dominanciával megoldhatónak nevezzük. (1,2) Megjegyzés: hasonló eljárással konstruálható az iterált gyenge dominanciával való megoldhatóság. (1,3) Megjegyzés: vigyázat, a gyenge dominanciával való iterálás nem útfüggetlen! (1,6) Példa. Tekintsük az alábbi játékot: 1\2 s 1 2 s 2 2 s 1 1 (3,4) (4,3) s 2 1 (5,3) (3,5) s 3 1 (5,3) (4,3) s 3 1 {s 2 1, s 1 1} = 1/2 s 1 2 s 2 2 s 1 1 (3,4) (4,3) s 3 1 (5,3) (4,3) s 1 2 s 2 2 = 1/2 s 1 2 s 1 1 (3,4) s 3 1 (4,3) s 3 1 s 1 1 = 1\2 s1 2 s 3 1 (5,3) 1\2 s 1 2 s 2 2 s 1 1 (3,4) (4,3) s 2 1 (5,3) (3,5) s 3 1 (5,3) (4,3) s 3 1 {s 2 1, s 1 1} = 1 2 s 1 2 s 2 2 s 2 1 (5,3) (3,5) s 3 1 (5,3) (4,3) s 2 2 s 1 2 = 1\2 s 2 2 s 2 1 (3,5) s 3 1 (4,3)

28 1.2. ITERÁLT DOMINANCIA 17 S 3 1 > s 2 1 = 1\2 s2 2 s 3 1 (4,3) (1,7) Példa. Cournot-verseny A Cournot-verseny bizonyos esetekben iterációval megoldható. Legyen a keresleti függvény lineáris. Kiindulásként feltehetjük, hogy a cégek bármennyi terméket gyárthatnak Si = R. Az optimális mennyiség azonban jól láthatóan 0 és a c 2b közé esik. Ezen intervallumon kívüli termelés negatív protot hoz, így eliminálható. A következ lépésben, mivel F csökken, a sz kebb intervallumra folytatjuk az eljárást stb. Belátható, hogy a fenti eljárás konvergens. (1,4) Megjegyzés: Véges stratégiahalmazokra az S, mivel az egyes lépések után mindig marad elem. Ha a stratégiahalmazok nem ilyenek, a helyzet nem ilyen egyszer. Bizonyos feltevésekkel élve azonban S elérhet. (1,8) Példa. Bertrand-verseny (árverseny) Két vállalat van a piacon, annak a termékét veszik meg, akinek a p i ára alacsonyabb (egyenl ár esetén megoszlik közöttük a kereslet). Az el z példa jelöléséhez hasonlóan a kibocsátás q i, a költség c i (q i ). c i (0) = 0, az összkereset Q(P ), inverze P (Q). Így N = {1, 2} s i = p i s i = R + u i (p 1, p 2 ) 0 ha p i > p j p i Q(s i ) c i (Q(s i )) ha s i < s j ) ha si = s j ( s i Q(s i ) 2 c Q(si ) i 2 (1,9) Példa. Cournot-verseny: legyen a keresleti függvény lineáris c i (q i ) = cq i p = a bq a kizet függvény u i (q i ) = (a c)q i bq i q i b 2 q i Ebb l deriválva kapjuk a széls értéket: (a c)bq j qbq i = 0

29 18 1. JÁTÉKOK NORMÁL ALAKBAN Így a "legjobb válasz": Nash egyensúly { (a c) BR i (q j ) = max 2b q } j 2, 0 (1,1) Állítás: Ha s Nash megoldás, akkor s S. Bizonyítás: Indirekt módon bizonyítunk. Tegyük fel, hogy az állítás nem igaz. Ekkor k, hogy s S1 k... n, de Sk s S1 k+1... Sn k+1. Az iterált eljárásból adódóan s i Sk i S i, melyre: u i (s i, s i ) > u i (s i, s i ) s i S k i. Így s i S i, melyre u i (s i, s i ) > u i(s i, s i), ez ellentmond annak, hogy s Nash egyensúly. (1,10) Példa. Cournot-verseny Határozzuk meg a Cournot-versenyre a Nash egyensúlyt! (1,1) Lemma. (q1, q 2 ) Nash egyensúly pontosan akkor, ha qi BR i (q i ) i-re BR i -ket újramásolva BR i (q j ) = { α c 2β q j 2 ha q j α c β 0 különben a Nash egyensúly a q 1 = BR 1 (q 2 ) és q 2 = BR 2 (q 1 ).

30 1.2. ITERÁLT DOMINANCIA 19 A szimmetria miatt: q 1, q 2 = q, így q = α c β q 2 q = 2(α c) 3β Többszörös Nash egyensúly Tekintsük az alábbi játékot: (1,11) Példa 1 \ 2 s 2 1 s 2 2 s 1 1 (2,2) (0,0) s 1 2 (0,0) (2,2) Jól látható, hogy a játéknak két Nash egyensúly-pontja van: (s 1 1, s 2 1) és (s 1 2, s 2 2). (1,5) Megjegyzés: A társadalomban gyakran fordulnak el hasonló esetek, ezeket általában normákkal, szabályokkal kezeljük. A közlekedésben lehet jobbra hajts és balra hajts elvet érvényesíteni, mind a kett m ködik, de nem egyszerre. A következ kben megismerünk három, a közgazdaságtanban alapvet játékot, melyek a kés bbi fejezetekben újra meg újra elemzéseink tárgyai lesznek: (1,12) Példa. Cournot-verseny (termelési verseny) Két cég versenyez a piacon. A kibocsátást jelöljük q i -vel, és a költségfüggvényünk legyen c i (q i ). A két termék lényegében ugyanaz, az összkereslet Q(P ), inverze pedig P (Q). Az ár a két termék kibocsátásának függvénye. A termel k protjuk maximalizálására törekednek. N = {1, 2} s i = q i s 1 = s 2 = R+ u 1 (q 1, q 2 ) = q 1 p(q 1 + q 2 ) c 1 (q 1 ) azaz u 2 (q 1, q 2 ) = q 2 p(q 1 + q 2 ) c 2 (q 2 ) u i (q 1, q 2 ) = p(s 1 + s 2 )s i c i (s i )

31 20 1. JÁTÉKOK NORMÁL ALAKBAN (1,13) Példa. Stackelberg-verseny. (Szekvenciális termelési verseny) Az els cég q 1 -t termel. A második cég ezt meggyeli, és q 2 -t termel. s 1 = q 1 S 1 = R + s 2 R + R S 2 pedig a függvénytér. u(s 1, s 2 ) = p(s 1 + s 2 (s 1 ))s 1 c(s 1 ) u 2 (s 1, s 2 ) = p(s 1 + s 2 (s 1 ))s 2 (s 1 ) c 2 (s 2 (s 1 )) (1,6) Megjegyzés. a fenti példák a standard mikroökonómiai könyvekben elemzettek. Ha tökéletes piaci versenyt tételezünk fel, akkor a vállalatok csak az árakon keresztül tudják befolyásolni a piacot. Ekkor, ha nincs interakció a cégek között, a protmaximalizálás döntési problémává válik A játék nyeregpontja (1,10) Definíció: Az 1. játékos biztos nyereménye: α 1 = sup s 1 S 1 inf u(s 1, s 2 ). s 2 S 2 (1,11) Definíció: Az 1. játékos s 1 S 1 stratégiáját prudensnek nevezzük, ha α 1 = inf s 2 S 2 u(s 1, s 2 ). (1,12) Definíció: A 2. játékos biztos vesztesége: α 2 = inf s 2 S 2 sup u(s 1, s 2 ). s 1 S 1 (1,13) Definíció: az s 2 S 2 stratégia prudens, ha sup u(s 1, s 2) = α 2. s 1 S 1 (1,2) Állítás: minden kétszemélyes zérus összeg játékra: α 1 α 2. Bizonyítás: egyszer en adódik a denícióból. (1,14) Definíció: ha G kétszemélyes zérus összeg játékra α 1 = α 2, akkor ezt G értékének nevezzük, ha α < α 2, akkor azt mondjuk, G-nek nincs értéke.

32 1.3. A JÁTÉK NYEREGPONTJA 21 (1,14 ) Példa: 1 \ 2 Fej Írás Fej +1,1 1,1 Írás 1,1 +l,1 Jelen esetben α 1 = 1, α 2 = 1, tehát a játéknak nincs értéke. (1,15) Definíció: egy (s 1, s 2 ) S 1 S 2 stratégiapárt nyeregpontnak nevezünk, ha s 1 S 1, és s 2 S 2 : u(s 1, s 2) u(s 1, s 2) u(s 1, s 2) u(s 1, s 2 ) (1.1) (1,1) Tétel: A G játéknak v értéke és (s 1, s 2 ) nyeregpont pontosan akkor, ha (s 1, s 2 ) prudens, és ekkor v = u(s 1, s 2 ). Ha G-nek nincs értéke, akkor nyeregpontja sincs. Bizonyítás: Tegyük fel: v = α 1 = α 2 és (s 1, s 2 ) prudens stratégiák. Ekkor a prudensség deníciója miatt: és (1.1) és (1.2). sup u(s 1, s 2) = v = inf u(s 1, s 2 ) (1.2) s 1 S 1 s 2 S 2 u(s 1, s 2) v u(s 1, s 2) mivel v = u(s 1, s 2) Fordítva: Tegyük fel: (s 1, s 2 ) G nyeregpontja, ez a következ t jelenti: sup s 1 S 1 u(s 1, s 2) = u(s 1, s 2) = inf s 2 S 2 u(s 1, s 2 ) (1.3) α deníciója miatt: sup u(s 1, s 2) α 2 és s 1 S 1 inf u(s 1, s 2 ) α 1. s 2 S 2 (1.3)-ból α 2 u(s 1, s 2 ) α 1. Mivel α 1 α 2 mindig igaz, ezért u(s 1, s 2 Ekkor ) = v. s 1, s 2 prudens stratégiák. Q.E.D. (1,15) Példa. Párbaj Két párbajozó pisztolyával egy adott távolságról megindul egymás felé konstans sebességgel (legyen t = 0-ban ez a távolság: 1, t = 1-ben pedig 0). A találati pontosságot jelölje a i (t) és legyen fordítottan arányos a távolsággal, ha a távolság

33 22 1. JÁTÉKOK NORMÁL ALAKBAN 0, a találati valószín ség legyen 1. Ha valamelyik fél eltalálja a másikat, +1 a nyeresége, ha t találják el, 1, és ha senki sem talál, 0. Formalizálva a példát: S 1 = S 2 = [0, 1], s i stratégia a következ t jelenti: i játékos t = s i id pontban l, ha a másik nem l tt még, ha a másik fél l tt, és nem talált, akkor t = 1-ig kell várni a lövéssel, amikor már bizonyos a találat. Így G = (S 1, S 2, u), ahol: u(s 1, s 2 ) = 2a 1 (s 1 ) 1 ha s 1 < s 2 a 1 (s 1 ) a 2 (s 2 ) ha s 1 = s 2 1 2a 1 (s 1 ) ha s 1 > s 2 Ha például s 1 = s 2, akkor a kizet függvény értéke: p = q 1 (s 1 )(1 a 2 (s 2 )) valószín séggel csak 1 talál, míg 2 nem. Jól látható, hogy a játéknak van értéke és nyeregpontja: mivel a játék szimmetrikus s 1 = s Kevert stratégiák α 1 = 2a 1 (s 1) 1 = 1 2a 2 (s 2) α 1 = α 2 = 2a 1 (s ) 1 = 1 2a 2 (s ) (1,16) Példa (Montmort lovag példája) Egy apa a következ játékot ajánlja a ának. Az apa eldug egy aranypénzt valamelyik kezébe, a únak ki kell találni, hogy melyikbe. Ha a ú eltalálja jutalmat kap. Ha az apa a bal kezébe dugta, és eltalálja, 1 aranyat, míg ugyanez jobb kéz esetén 2 arany. Mátrixba írva: ú \ apa bal jobb Bal (1, 1) (0, 0) Jobb (0, 0) (2, 2) A feladatban egyik stratégia sem dominálja a másikat, azaz eddigi megoldásmódunk, a dominált stratégiák eliminációja nem m ködik. Ebben az esetben válasszuk a következ megoldást. Tekintsük úgy, mintha sokszor játszanánk le a játékot, és átlagos nyereményünket akarnánk maximalizálni, azaz minden stratégiához rendeljünk valószín séget, és azt vizsgáljuk, hogy ez a valószín ség mekkora legyen, hogy az átlagos nyereményünk maximális legyen. Tekintsük az alábbi mátrixot:

34 1.4. KEVERT STRATÉGIÁK 23 ú \ apa bal 2 jobb 2 b 1 (a, α) (b, β) j 1 (c, γ) (d, δ) ha az apa p valószín séggel b 2 -t játszik, míg a ú b 1 -t, akkor a ú várható nyeresége: u 1 (b 1 ) = pa + (1 p) b ha pedig j 1 -t játszik a ú, akkor a nyereség: Tekintsük újra a mátrixot: A ú várható nyereménye: u 1 (j 1 ) = pc + (1 p)d. ú \ apa b 2 j 2 P 1 p b 1 w wp a w(1 p)b j 1 (1 w) (1 w)p c (1 w)(1 p)d u 1 (w, p) = wu 1 (b 1 )+(1 w)u(j 1 ) = w[pa+(1 p)b]+(1 w)[pc+(1 p)d] (1.4) A ú nyereménye a w függvénye, így w-ben kell a széls értéket keresnünk: p-re megoldva u 1 w = [pa + (1 p) pc + (1 p)d = 0 (1.5) p = Hasonlóan az apára kiszámolva adódik w = d b a b + d c. (1.6) γ δ β α + γ δ. Az eredeti feladatba visszahelyettesítve: p = w = 2/3. Tekintsünk néhány közismert bimátrix játékot: (1,17) Példa. Galambhéja játék 2 Két állat egy id ben érkezik a táplálékhoz, amely mindkett jüknek nem elegend. Mindkét állat számára két stratégia áll rendelkezésre. Megkísérli 2 A játék eredeti leírását lásd Maynuel Smith, 1982.

35 24 1. JÁTÉKOK NORMÁL ALAKBAN megszerezni a teljes táplálékot (héja) vagy békésen megosztozni (galamb). Ha mindketten a galamb stratégiáját követik, akkor ugyan jól nem laknak, de valamennyi táplálékhoz jutnak. Ha egyik galamb-stratégiát követ, akkor a héjastratégiát követ jól jár, övé lesz az egész élelem. Ha mindketten "héják" akkor komoly sérülést okozhatnak egymásnak a táplálékért folytatott küzdelem során. Jellemezzük az alábbi kizet mátrix-szal a játékot: A \ B galamb héja galamb (1, 1) (0, 2) héja (2, 0) (10, 10) (1.3)-as képletbe helyettesítve: p = w = = 11, 1 azaz valószín séggel 1 galamb-stratégiává és 11 valószín séggel a héja-stratégia jelenti az optimális stratégiát. (1,18) Példa. Csirke-játék (game of chicken) A játék egy James Dean lmb l közismert: két atal lopott autóval versenyez. Egy szakadék felé rohannak, és miel tt a szakadékba esne az autó, kiugranak. Az veszít, aki korábban ugrik ki. Ábrázoljuk a játékot! (Tekintsünk el attól, hogy lehet-e kizetéseket rendelni a feladathoz.) Legyen K = kiugrik T = továbbhalad I\ II K T K (10, 10) (25, 25) T (25, 25) (10, 10) A feladatnak jól láthatóan nincs domináns megoldása Verseng játékok (1,16) Definíció: Egy G = {{1, 2}, S, i } szigorúan verseng, ha bármely a S, b S a 1 b pontosan akkor b 2 a (1,7) Megjegyzés: a fenti deníció speciális esete a zérus összeg játék. (1,17) Definíció: Legyen G = {(1, 2), S, u} szigorúan verseng játék, ekkor s 1 S 1 maxminimáló 1 játékosra, ha: min s 2 S 2 u 1 (s 1, s 2 ) min s 2 S 2 u 1 (s 1, s 2 ) s 1 S 1

36 1.5. VERSENGŽ JÁTÉKOK 25 és hasonlóan s 2 S 2 maxminimáló 2 játékosra, ha: min u 2 (s 1, s 2) min u 2 (s 1, s 2 ) s 2 S 2. s 1 S 1 s 1 S 1 (1,8) Megjegyzés: a maxminimáló maximalizálja azokat a kizetéseket, amelyeket a játékosok garantálni tudnak maguknak. Így például az s 1 a megoldása a max s 1 min u 1 (s 1, s 2 )-nek. s 2 (1,3) Állítás: legyen G(N, S, u) N = 2, szigorúan verseng játék. Ekkor: min s 2 max min s 2 S 2 s 1 S 1 Az s 2 S 2 megoldása a max s 2 -nek. max s 1 Bizonyítás: tetsz leges függvényre igaz: u 2 (s 1, s 2 ) = min s 2 S 2 max s 1 S 1 u 1 (s 1, s 2 ) minu 2 (s 1, s 2 ) s 1 pontosan akkor, ha megoldása a min( f) = max f arg max f = arg min( f) A fenti összefüggésekb l triviálisan adódik: (1,4) Állítás: Legyen G = (N, S, u) szigorúan verseng játék. Ekkor: 1. Ha (s 1, s 2 ) G Nash egyensúlya, akkor s 1 maxinimáló 1-re és s 2 maxminimáló 2-re 2. Ha (s 1, s 2 ) G Nash egyensúlya, akkor: max s 1 min s 2 u 1 (s 1, s 2 ) = min max u 1 = u 1 (s s 2 s 1 1, s 2) és Nash egyensúly ugyanazt a kizetést eredményezi. 3. Ha max s 1 min s 2 u 1 (s 1, s 2 ) = min s 2 max s 1 u 1 (s 1, s 2 ), s 1 maxminimáló 1-re és s 2 maxminimáló 2-re, akkor G Nash egyensúlya.

37 26 1. JÁTÉKOK NORMÁL ALAKBAN Bizonyítás: el ször 1. és 2. Legyen (s 1, s 2 ) G Nash egyensúlya. Ekkor: u 2 (s 1, s 2 ) u 2(s 1, s 2) s 2 S 2 vagy mivel u 2 = u 1 u 1 (s 1, s 2 ) u 1(s 1, s 2) s 2 S 2 mivel u 1 (s 1, s 2 )=min s 2 u 1 (s 1, s 2) max s1 min s2 (s 1, s 2 ) hasonlóan u 1 (s 1, s 2 ) u 1(s 1, s 2 ) s 1 S 1 és u 1 (s 1, s 2 ) min s 2 u 1 (s 1, s 2 ) s S 1 így u 1 (s 1, s 2 ) max s 1 min s2 u 1 (s 1, s 2 ) u 1 (s 1, s 2 )=max s 1 min s2 u 1 (s 1, s 2 ) s S 1 és így s 1 maxminimáló 1-re Hasonlóan belátható, hogy s 2 maxminimáló 2-re. 3. igazolásához, legyen u = max min s 1 s 2 u 1 (s 1, s 2 ) = min s 2 így max s 1 u 1 (s 1, s 2 ). Az el z állítás miatt: max s2 min s1 u 2(s 1, s 2 ) = u. Mivel s 1 maxminimáló 1-re: u 1 (s 1, s 2 ) v s 2 S 2, és s 2 maximinimáló s 2 u 2 (s 1, s 2 v s 1 S 1 ebb l adódik Nash egyensúlya. u 1 (s 1, s 2) = u és u 2 = u 1 így (s 1, s 2), G (1,9) Megjegyzés: az állításból következik, hogy a szigorúan verseng játékok Nash egyensúlyai felcserélhet k, azaz ha (s 1 1, s1 2 ) és (s2 1, s2 2 ) Nash egyensúlyok, akkor (s 1 1, s2 2 ) és (s2 1, s1 2 ) is azok. min(s 1, s 2 s 2 ), akkor ez a játék ér- (1,10) Megjegyzés: ha min s 2 téke. max s 1 (s 1, s 2 ) = max s 1

38 2. fejezet Szekvenciális játékok 2.1. A játék extenzív formája A játék fájának elemei: 1. Élek 2. A csomópontokon a játékosok megfeleltetése 3. Élek 4. Az élek és a játékosok döntéseinek megfeleltetése 5. A csomópontok és élek sorrendje 6. Az élek valószín ség-eloszlása (2,1) Definíció: c, A fa gyökere egy olyan csomópont, amelyet nincs megel z csomópont, azaz mindegyik csomópontot megel zi. (2,2) Definíció: Végs csomópont, amelynek nincs rákövetkez je. Feltevéseink (kés bb enyhítjük ket): 1. A csomópontok száma véges 2. Egy gyökér létezik 3. A gyökért l az egyes végs csomópontokig csak egy út vezet 27

39 28 2. SZEKVENCIÁLIS JÁTÉKOK (2,1) Megjegyzés: Az egyes játékosok döntéseik során a múltra különböz mértékben emlékezhetnek, és így döntéseik is eltér ek lehetnek. (2,3) Definíció: Játék teljes emlékezettel: egy játékot teljes emlékezet játéknak nevezünk, ha: 1. egy játékos sohasem felejti el korábbi döntéseit, 2. egy játékos sohasem felejti el azt az információt, melyet korábbi döntéseinél birtokolt. (2,2) Megjegyzés: teljes emlékezet szekvenciális játékra jó példa a sakk, ahol a játékosok egymás után lépnek, és korábbi lépéseik ismertek el ttük. (2,1) Példa A következ kben megismerkedünk az úgynevezett Százlábú játékkal, melyet még a kés bbiekben tovább elemzünk. Két játékosunk van: (A, B), mindegyik játékos 1-1 forintot helyez maga elé. Mindkét játékosnak két döntési alternatívája van, vagy folytatja a játékot (F ), vagy leállítja (L). Amennyiben valamelyik játékos a leállítás mellett dönt, a játék befejez dött, és mindenki megtartja az addig szerzett nyereményét. Amennyiben valaki a folytatás mellett dönt, zet 1 forintot, míg a másik játékos kap 2 forintot. A játék véget ér, ha valaki eléri a 100 forintot. Ábrázoljuk a játékot! (2,3) Megjegyzés: A játékot tetsz leges kiindulás pontból lejátszhatjuk, például:

40 2.1. A JÁTÉK EXTENZÍV FORMÁJA 29 (2,2) Példa Két játékos pénzfeldobást játszik, A tippel: fej vagy írás, B tippel fej vagy írás. Ha (fej, fej) vagy (írás, írás) az eredmény, akkor B ad A-nak 2 forintot, egyébként pedig A ad B-nek 2 forintot. (2,2/b) Példa: Két játékos pénzfeldobást játszik, el ször A tippel: fej vagy írás. másodszor B tippel (ismerve A tippjét) fej vagy írás Ha (fej, fej) vagy (írás, írás) az eredmény, akkor B ad A-nak 2 forintot, egyébként pedig A ad B-nek 2 forintot. (2,4) Megjegyzés: a (2,2) példájából látszik, hogy míg az els példában a játékosok egyszerre döntenek, addig a második esetben a döntéseknek van sorrendje. Azaz míg ezt a játékot az eddig használt mátrix alakba írjuk: A \ B F I F I (2,2) (2,2) (2,2) (2,2) addig a második játékot jobban leírja a gráf alak:

41 30 2. SZEKVENCIÁLIS JÁTÉKOK (2,4) Definíció: (Részjáték) Γ extenzív alakú játék részjátéka Γ, ha i) a Γ játék T csomópontjainak T halmazára, ha egy csomópontot tartalmaz, akkor a követ it is. ii) Γ maga is extenzív játék. (2,3) Példa Szekvenciális galamb-héja játék, az els madár már táplálkozik, így az odaérkez második madárnak két stratégiája van: marad vagy távozik. A jelen lév 1. madár ekkor vagy galamb- vagy héja-magatartást vehet fel. Ekkor 1 valódi részjáték van:

42 2.1. A JÁTÉK EXTENZÍV FORMÁJA 31 (2,5) Definíció: Indukció hátrafelé, a Γ játék részjátékain deniáljuk a részjáték tulajdonságot, ez részben rendezés. Válasszuk ki azokat a részjátékokat, melyek már nem tartalmaznak részjátékot, oldjuk meg ket, és így egyszer sítsük a játékot. Folytassuk az eljárást mindaddig, amíg az lehetséges. (2,1) Tétel (Kuhn): Minden véges kétszemélyes zérus összeg extenzív játéknak van értéke, és mindegyik játékosnak van legalább egy prudens stratégiája. Bizonyítás: A bizonyítás a gráf hosszára történ indukcióval történik: legyen l a fa leghosszabb ága. Ha l = 1, a tétel triviálisan teljesül. Tf az állítás igaz l-ig. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy 1. játékos húz el ször, és legyenek a (m 1... m t ) a követ csomópontok. Bármelyik csomópontból induló részfa hossza bizonyosan rövidebb, mint l + 1. Az indukciós feltevés miatt mindegyik részjátéknak is van értéke, legyen ez v r. Ekkor az eredeti G játék értéke v = sup. Ez 1. játékos számára biztos, 2. 1 r t játékost bármelyik részjátékban bizonyosan legfeljebb v veszteség érheti.

43 32 2. SZEKVENCIÁLIS JÁTÉKOK (2,5) Megjegyzés: A gráfelméletben szokás a G irányított gráfot egy (M, σ) párnak tekinteni, ahol M a csúcsok halmaza, és jelöli az adott csúcsot megel z csúcsokat.

44 II. rész Játékok több játékossal 33

45

46 1. fejezet Nem kooperatív játékok normál alakban Jelölje N = {1,..., n} S = {S 1... S n } u : S 1 S n R n a játékosok számát, a stratégiahalmazt, a kizet függvényt. (1,1) Definíció: Legyen G egy n személyes játék normál alakban: ekkor a biztos nyeresége: G = {N, S i, u i } α i = sup inf u i (s i, s i ). s i S i s i S i (1,2) Definíció: s i S i prudens stratégiája i játékosnak, pontosan akkor, ha inf u i (s i, s i ) = α i. s i S i (1,3) Definíció: egy G játékot lényegtelennek nevezünk, ha (α 1,..., α n ) kizetés Pareto-értelemben nem dominált, azaz s S N : α i u i ( s) i és α i < u i ( s) legalább egy i-re. 35

47 36 1. NEM KOOPERATÍV JÁTÉKOK NORMÁL ALAKBAN (1,1) Megjegyzés: Próbáljunk egy tortát játékosaink között elosztani. Tegyük fel, hogy i játékos optimálisan játszva, függetlenül a többiek játékától legalább α i méret szeletet nyer, i Nα i = 1. Ekkor (α 1,..., α N ) a torta optimális felosztása. A hasznosságok viszont nem felcserélhet k a játékosok között. (1,4) Definíció: Nash egyensúly Egy stratégiai játék Nash egyensúlyán a következ t értjük: G(N, S, ( )) egy s S ahol i-re (s i, s i ) i (s i, s i ) s i S i. (1,5) Definíció: valamely s i stratégiavektorra az i játékos legjobb válasza: BR i (s i ): BR i (s i ) = {s i S i : (s i, s i ) (s i, s i ) s i S i } a B-t ekkor i legjobb válasz függvénynek nevezzük. (1,2) Megjegyzés: a fenti fogalommal Nash egyensúly egy s stratégiavektor, melyre: s i BR i (s i ) i N. (1,1) Példa Fogolydilemmára tekintsük a korábbi fogolydilemmát Kevert stratégiák (1,2) Példa Tekintsük a következ k papírolló játékot. A játékban két játékos játszik a fenti három stratégiából választva egyet. Az így keletkez stratégia párokra a következ k igazak: a papír er sebb, mint a k, mert képes becsomagolni, a papír gyengébb, mint az olló, mert az olló elvágja a papírt, a k er sebb, mint az olló, mert a k kicsorbítja az ollót. A kizet mátrix tehát: 1 \ 2 K P O K (0,0) (1,1) (1,1) P 1,1) (0,0) (1,1) O (1,1) (1,1) (0,0) Vegyük észre, hogy ez egy szimmetrikus zérus összeg játék. A játéknak nincs Nash egyensúlya a "tisztán játszott" stratégiák között.