Csercsik Dávid ITK PPKE. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea 1 / 31
|
|
- Róbert Jónás
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea Csercsik Dávid ITK PPKE Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea 1 / 31
2 1 Az információ szerepe Játékok extenzív formában Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea 2 / 31
3 Definíciók I Játékosok: N = {1,.., n} Stratégiahalmazok: S 1,..., S n ezek szorzata: S = S 1... S n kifizetőfüggvények: f i : S R, i = 1,.., n G = {S 1,..., S n ; f 1,..., f n } ahol S i -k végesek: véges játékok minden játékos kifizetőfüggvénye megadható egy n-dim mátrixal. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea 3 / 31
4 Fogolydilemma 1. fogoly 2. fogoly N V N (-2,-2) (-10,-1) V (-1,-10) (-5,-5) 1. táblázat. Fogolydilemma kifizetési bimátrixa. V: vall, N: Nem vall Az 1. fogoly nem tudja mit fog csinálni a másik, de a V stratégia választásával mindkét esetben jobban jár. (A 2. ue.) szigorúan dominált stratégiák kiküszöbölése Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea 4 / 31
5 Iterált fogolydilemma Tit-for-Tat (TFT)- Szemet-Szemért: az első körben kooperálunk, később pedig azt tesszük, amit ellenfelünk tett az előző körben ben és 1982-ben is versenyt írtak ki az iterált Fogolydilemma kapcsán. Iterált stratégiát megvalósító programokat kellett beküldeni, és ezeket eresztették össze fix számú körben. A világ minden tájáról érkeztek különböző, akár igen nagy bonyolultságú megoldások, ámde mindegyiken felülkerekedett Anatol Rapoport szociológus TFT stratégiája. Később a versenyeket kíıró Robert Axelrod még további két anaĺızissel igazolta a TFT stratégia hatékonyságát/ésszerűségét az iterált Fogolydilemma esetében: (1) végzett egy úgynevezett ökológiai anaĺızist, ahol egy végtelen méretű populáció az eredeti versenyekben résztvevő programokból alkotott adott arányú részpopulációinak alakulását vizsgálta, feltéve, hogy ezek mérete (pontosabban a teljes populációhoz viszonyított arányuk) függ az átlagos hasznuktól, amit egy-egy körben nyernek. Itt is a TFT részpopuláció jött ki győztesként. A másik kísérlet, (2) evolúciós anaĺızis címen vált ismertté. Itt Axelrod egy genetikus algoritmushoz hasonló környezetet konstruált, és azon belül evolvált bináris kromoszómák (génszekvenciák) által kódolt iterált stratégiákat. Ezeket vetette körről körre, generációról generációra össze, és a sikeresebbek örökítődhettek tovább. Ennél a kísérletnél is a TFT-hez igen hasonló tulajdonságokkal rendelkező iterált stratégiát kódoló génszekvencia jött ki eredményül. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea 5 / 31
6 2. példa 1. játékos 2. játékos B K J F (1,0) (1,2) (0,1) L (0,3) (0,1) (2,0) Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea 6 / 31
7 2. példa 1. játékos 2. játékos B K J F (1,0) (1,2) (0,1) L (0,3) (0,1) (2,0) Az 1. játékos egyik stratégiája sem dominálja szigorúan a másikat, de a 2. játékos K stratégiája szigorúan dominálja J-t elhagyjuk. A megmaradt mátrixban F szigorúan dominálja L-et, az így magmaradtban pedig K dominálja B-t. (F, K) Szigorúan dominált stratégiák iteratív kiküszöbölése Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea 7 / 31
8 Cournot-duopólium Egy folytonos példa Egy iparág, két meghatározó vállalat, melyek egy homogén terméket álĺıtanak elő. Stratégiák: termelési volumenek. Adott az inverz keresleti függvény, amely az iparág össztermeléséhez rendeli hozzá azt a legmagasabb árat, amelyen a piac kiürül. Adott a vállalatok (azonos) költségfüggvénye. Definiáljuk azt a játékot ahol a kifizetőfüggvények a bruttó nyereségek (a költségekkel csökkentett árbevétel). Tfh: az inverz keresleti függvény és a költségfüggvény lineáris. Ha q 1 és q 2 jelölik a két vállalat (nemnegatív) termelési volumenét, akkor az i játékos kifizetőfüggvénye: f i (q 1, q 2 ) = q i p(q 1, q 2 ) c(q i ) p(q 1, q 2 ) = max{a b(q 1 + q 2 ), 0} c(q i ) = cq i, a, b, c > 0, a > c, i = 1, 2 0 termelési volumen 0 nyereség. Túl nagy termelési volumen veszteség, függetlenül attól, mekkora termelést választ a másik. Elég a megoldást [0, b a ]-n keresni. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea 8 / 31
9 Dominancia S i : Azon stratégiaprofilok halmaza, amik nem tartalmazzák az i játékos stratégiáját. (csonka stratégiaprofilok) ha s i S i akkor s = (s i, s i ) az a stratégiaprofil ahol az i játékos az s i stratégiáját, míg a többiek s i -t játszák. Definíció Legyen G = {S 1,..., S n ; f 1,..., f n }-ben s i és t i S i az i játékos két stratégiája. s i szigorúan dominálja t i -t ha f i (s i, s i ) > f i (t i, s i ) s i S i gyengén dominálja ha Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea 9 / 31
10 Nash-egyensúly Definíció Legyen G = {S 1,..., S n ; f 1,..., f n }-ben egy n-személyes játék normál formában. Egy s stratégiaprofilt Nash-egyensúlypontnak (NEP) nevezünk, ha f i (s i, s i) f i (s i, s i) s i S i i = 1,..., n vegyük észre hogy egyszerre csak 1 játékos válthat stratégiát Definíció Az s S stratégiaprofilt domináns Nash-egyensúlypontnak (DNEP) nevezünk, ha f i (si, s i ) f i (s i, s i ) s S i = 1,..., n pl a fogolydilemmában a (V,V). Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea 10 / 31
11 Felcserélhetőség Definíció Ha s = (s 1,..., s n ) és t = (t 1,..., t n ) a G = {S 1,..., S n ; f 1,..., f n } játék két NEP-je és u = (u 1,..., u n ) u i {s i, t i } i = 1,..., n szintén NEP akkor s és t felcserélhetőek. Ha G-nek csak egyetlen NEP-je van vagy 2 NEP-je felcserélhető, akkor G rendelkezik a felcserélhetőségi tulajdonsággal. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea 11 / 31
12 Antagonizmus Definíció A G = {S 1, S 2 ; f 1, f 2 } kétszemélyes játékot antagonisztikusnak nevezzük, ha s 1, t 1 S 1 és s 2, t 2 S 2 stratégiapárosra f 1 (s 1, s 2 ) f 1 (t 1, t 2 ) f 2 (s 1, s 2 ) f 2 (t 1, t 2 ) Antagonisztikus játékokban a játékosok érdekei ellentétesek. A konstans összegű játékok (f 1 + f 2 = c) antagonisztikusak, de nem minden antagonisztikus játék konstans összegű. Tétel Minden antagonisztikus játék rendelkezik a felcserélhetőségi tulajdonsággal, és minden NEP-ben mindkét játékos kifizetőfüggvény értéke azonos. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea 12 / 31
13 Nash halmaz, stratégiai ekvivalencia E. = G = {S 1,..., S n ; f 1,..., f n } NEP-jei. e f iff ha e és f E felcserélhetőek. A reláció reflexív, szimmetrikus de nem tranzitív. Definíció Az E egy olyan D részhalmazát, amelyre d 1, d 2 D esetén d 1 d 2 Nash-halmaznak nevezzük. Ha egy Nash-halmaz nem valódi részhalmaza egyetlen Nash-halmaznak sem, akkor maximális Nash-halmaznak hívjuk. Definíció Legyen G = {S 1,..., S n ; f 1,..., f n } G = {S 1,..., S n ; g 1,..., g n } G és H stratégiailag ekvivalens, ha NEP-jeik halmaza megegyezik. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea 13 / 31
14 3 tétel Tétel G = {S 1,..., S n ; f 1,..., f n } játék esetén ha ϕ i : R R szig. mon. növő minden i-re, akkor a H = {S 1,..., S n ; ϕ 1 f 1,..., ϕ n f n } játék stratégiailag ekvivalens G-vel. Tétel A G = {S 1,..., S n ; f 1,..., f n } játék játékban a szigorúan dominált sratégiák iteratív kiküszöbölésével egyetlen NEP-et sem vesztünk el. Tétel Ha a G = {S 1,..., S n ; f 1,..., f n } játék véges, és a szigorúan dominált sratégiák iteratív kiküszöbölésével egyetlen s. stratégiaprofil marad, akkor s a G játék egyetlen NEP-je. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea 14 / 31
15 Egzisztencia I Érmepárosítás: ha megegyezik az oldal az 1. játékos nyer (és vica versa). Véges, 2 személyes, 0 összegű játék. ( ) 1 1 A = 1 1 Nincs NEP. G = {S 1,..., S n ; f 1,..., f n }, legyen most S i R k i Recall: NEP: f i (si, s i ) f i(s i, s i ) s i S i i = 1,..., n Definíció Az i játékos B i : S S i legjobbválasz-leképzése B i (s) = {t i S f i (t i, s i ) f i (r i, s i ), r i S i } B i (s) az i-ik játékos legjobb stratégiáit tartalmazza, ha a többi játékos az s i csonka stratégiaprofilban szereplő stratégiákat játsza. B i (s) üres is lehet. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea 15 / 31
16 Egzisztencia II Definíció Az egész játékra vonatkozó B : S S vagyis t B iff t i B i (s) i = 1,..., n Tétel B(s) = B 1 (s)... B n (s) Legyen G = {S 1,..., S n ; f 1,..., f n } normál formában megadott játék, ahol a stratégiahalmazok véges dimenziós euklideszi terek nemüres, konvex, kompakt részhalmazai, és a kifizetőfüggvények folytonosak a stratégiaprofilok S halmazán. Ha a G játékra vonatkozó B legjobbválasz-leképzés egyértékű, akkor G-nek van legalább egy NEP-je. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea 16 / 31
17 Cournot-duopólium III f i (q 1, q 2 ) = q i p(q 1, q 2 ) c(q i ) p(q 1, q 2 ) = max{a b(q 1 + q 2 ), 0} Ha a második vállalat kibocsátása q (q 2 = q), az első vállalat legjobb válasza erre az f 1 (x) = x(a b(x + q)) cx kvadratikus kifizetésfüggvényt maximalizáló x = a c 2b q a c 2. A legjobb válasz az egyik játékos q kibocsátására max{ 2b q 2, 0} és a legjobbválasz-leképzés egyértelmű (vagyis egy függvény). Fixpont: q = a c 2b q 2 q = a c 3b a szimmetria miatt az egész iparág kibocsátása 2(a c) 3b monopolár: a+c 2, az ár pedig a+2c 3 Monopol kibocsátás (x =? ha q = 0): a c 2b, duopolár < monoplár, duopólium összkibocsátása > monopólium összkibocsátása Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea 17 / 31
18 Mi a baj a NEP-el? Tragedy of the commons - közlegelők problémája Adott egy közlegelő amely 10 tehenet tud eltrartani úgy hogy ekkor mindegyik tehén 10 l tejet ad (egységnyi idő alatt). Az egyik gazda gondol egyet és kiküld még egy tehenet a legelőre egy-egy tehénnek már kevesebb fű jut, ezért mindegyik csak 9 l tejet ad. Viszont az a gazda amelyik 2 tehenet legeltet 2*9=18 l tejhez jut. Ezt észreveszi egy másik gazda is, ő is kiküld még egyet még kevesebb fű jut a teheneknek, egy tehén már csak 8 l tejet ad, de a 2 dezertőrnek 16 l teje lesz. Mikor már 8 gazda tart 2 tehenet, ők 2*(10-8)=4 l tejet kapnak, a 9-ik gazda nem nyer semmit a 2. tehénnel. Ha egy gazda úgy dönt hogy visszavonja az egyik tehenét, rosszabbul jár. Annyi Nash-egyensúly van, ahány féleképpen 10-ből el tudunk hagyni 2-őt = 10 alatt a 2=45. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea 18 / 31
19 Unicitás Definíció A G = {S 1,..., S n ; f 1,..., f n } játék pontosan akkor konkáv ha az S = S 1,..., S n stratégiahalmazok kompaktak és konvexek, és az f i (s i, s i ) függvény konkáv s i -ben rögzített s i mellett i-re Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea 19 / 31
20 Példa Cournot-duopólium. S i = [0, 1], c : [0, 1] R, c(x) = 1 2x, p : [0, 2] R p(y) = { y ha 0 y y egyébként A profitfüggvéynek: f i : [0, 1] 2 R, f i (x 1, x 2 ) = x i p(x 1 + x 2 ) 1 2 x i, i {1, 2} Elemi számolással igazolható hogy f i szigorúan konkáv fv-e x i -nek a [0, 1] intervallumon. Ugyancsak belátható hogy az X = {(x 1, x 2 ) 1 2 x 1 1, 1 2 x 2 1, x 1 + x 2 = 3 2 } halmaz minden eleme NEP. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea 20 / 31
21 Unicitás II Tétel Legyen G = {S 1,..., S n ; f 1,..., f n } konkáv játék, és tegyük fel hogy a B legjobbválasz-leképzés egyértékű. Ha a B függvény kontrakció, akkor G-nek csak egy egyensúlypontja van. f a d távolságfüggvénnyel ellátott M metrikus téren kontrakció ha ( 0 k < 1)( (x, y) M)(d(f (x), f (y)) kd(x, y)) Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea 21 / 31
22 Kevert stratégiák Neumann János 1928 Adott valószínűséggel játszhatunk 1 adott stratégiát. i N egy kevert stratégiája q i Q ahol (s j S i ) q i (s j ) > 0 és s j S i q i (s j ) = 1 (q i (s i ) egy függvény ami az i-ik játékos minden lehetséges stratégiájához egy valószínűséget rendel - tiszta: q i (s i ) = 1) Kevert stratégia kombinációk kifizetőfüggvények (várható érték): q = (q 1,..., q n ) Q = Q 1... Q n f i (q) = sum s=(s1,...,s n) Sq 1 (s 1 ) q 2 (s 2 )... q n (s n )f i (s) Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea 22 / 31
23 Kevert Nash egyensúly q = (q 1,...q n) kevert NE ha ( i N)( q i Q i )f i (q i, q i) f i (q i, q i) Tétel Nash, 1951: Ha az n személyes játék tiszta stratégiahalmazai végesek, akkor a keveréssel létrejövő halmazok szorzatán defniált játéknak van legalább egy kevert egyensúlya. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea 23 / 31
24 Kölcsönös tudás Az információ szerepe Aumann játék 3 hölgy ül egy asztal körül, a fejükön kalap. A kalapok lehetnek pirosak vagy feketék, de tfh hogy most mind piros. Mindgyik hölgy látja a másik 2 hölgy kalapját, de a sajátját nem. Egy külső szemlélő megkérdezi hogy tudják-e a kalapjuk színét. mindenki nem -el válaszol. Ezután a szemlélő kijelenti hogy legalább egyikükön piros kalap van, majd sorban újra felteszi az előző kérdést. Az 1-es válasza nem, a 2-esé is. De a 3-asé igen. A látszólag semmi újat nem jelentő legalább egy valakin piros kalap van információ közhírré tétele után a 3-as játékos a fenti esetben valóban, őszintén Igen -nel tud válaszolni. A 3-as így gondolkozhatott: Az 1-es azért mondta, hogy Nem, mert vagy rajtam, vagy a 2-esen (vagy mindkettőnkön) piros kalap van. Ezt persze a 2-es is tudja, de ő is Nem -mel válaszolt. Ha rajtam fekete kalap lenne (és ő ezt nyilván látná), akkor tudná, hogy rajta van piros (hiszen akkor miatta válaszolt Nem -mel az 1-es) - ekkor Igen -nel válaszolt volna. De nem ezt tette. A 2-es is Nem -mel válaszolt. Tehát rajtam biztosan nem fekete, hanem piros kalap van. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea 24 / 31
25 Áruházlánc játék Játékok extenzív formában Egy város kiskereskedelmét egy nagy áruház (N) uralja. Egy vállalkozó (B) szeretne erre a piacra belépni és egy konkurens áruházat nyitni. Ha B belép a piacra, akkor N kétféleképpen reagálhat: vagy árháborút indít (h), vagy belenyugszik az új helyzetbe (b). A játékot a ábrán látható játékfával adhatjuk meg. Előbb B lép és dönt, hogy belép-e a piacra (l), vagy kívül marad (m). Ha belépett, akkor N dönt, hogy harcol, vagy belenyugszik az új helyzetbe. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea 25 / 31
26 Információ Játékok extenzív formában Mind a sakkjátékban, mind az Áruházlánc játékban az egyes lépések jól definiált egymásra következése, és amiatt, mert a múlt (korábbi lépések) mindenki számára megfigyelhető, a játékosok tökéletesen informáltak. Ezen azt értjük, hogy minden játékos ismeri a játékot leíró fát, mindig tudja, hogy a játék éppen hol (melyik pontján a fának) tart, és emlékszik arra, hogy melyik ösvény mentén jutott oda. Nem mindig van azonban ez így. pl: (Egyszerűsített snóbli). Két játékos mindegyike 0 vagy 1 pénzérmét tesz a kezébe úgy, hogy ezt a másik nem látja. Ezután az 1. játékos megtippeli, hogy a két kézben összesen hány érme van. Utána a 2. játékos tippel, de nem mondhatja ugyanazt, mint az 1. játékos. A helyzet további egyszerűsítése céljából feltesszük, hogy a blöffölés nem megengedett, vagyis pl. senki sem tippelhet 0-át, miközben az ő kezében 1 van. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea 26 / 31
27 Infromációs halmaz Játékok extenzív formában Ezt a játékot nem tudjuk úgy ábrázolni, mint pl. a sakkot, mert a játékosoknak nincs információjuk arról, hogy a másik hány érmét tett a kezébe, és így nem tudják pontosan, hogy éppen merre járnak a játékfában. Információs halmaz Definíció Jelöljük U i -vel a játékfa azon pontjainak halmazát, amelyekben az i játékos lép. Az U i egy Ui t részhalmazát az i játékos egy információs halmazának nevezzük, ha U t i minden pontjából ugyanannyi él indul ki, és az élek ugyanazokhoz a játékosokhoz tartozó pontok felé irányulnak bármely útnak legfeljebb egy közös pontja van Ui t -vel (nem megengedett pl., hogy Ui t két pontja éllel legyen összekötve). az U t i halmazok az U i egy partícióját adják Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea 27 / 31
28 Infromációs halmaz II Játékok extenzív formában Vegyük észre, hogy az információs halmazok struktúrája nem következik a játék fájának szerkezetéből, tehát az információs halmazok a játék leírásához tartoznak, nem pedig abból vezethetőek le. Az információs halmazok definíciója mögötti intuíció a következő: az i játékos tudja, hogy az Ui t valamelyik pontjában van a játék, neki kell lépnie (választani az Ui t pontjaiból kiinduló azonos számú él közül) anélkül, hogy tudná, hogy az Ui t melyik pontjában van. Ehhez még arra is szükség van, hogy minden Ui t információs halmazhoz hozzárendeljünk egy Vi t indexhalmazt, amely azoknak a játékosoknak az indexeit tartalmazza (egyes játékosok többször is szerepelhetnek), akik Ui t pontjaiból egy éllel elérhetőek. Ezek szerint egy információs halmaz minden pontjából ugyanazok a játékosok (Vi t elemei) érhetőek el. Ha nem így lenne, akkor az adott információs halmazhoz tartozó játékos esetleg különbséget tudna tenni az információs halmaz pontjai között, amit persze nem engedhetünk meg. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea 28 / 31
29 A snóbli információs halmazai Játékok extenzív formában Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea 29 / 31
30 Játékok extenzív formában Tökéletes információs és tökéletes emlékezetű játékok Definíció Ha a játékban minden információs halmaz egyetlen pontból áll, akkor azt tökéletes információs játéknak hívjuk. Azokat a játékokat, ahol legalább egy információs halmaznak legalább két pontja van, nem tökéletes (imperfect) információs játék oknak nevezzük. Definíció Azokat a játékokat, amelyekben az információs halmazok összhangban vannak azzal a feltételezéssel, hogy minden játékos emlékszik korábbi lépéseire, tökéletes emlékezetű (perfect recall) játékoknak nevezzük. Ha ez a feltétel nem teljesül, akkor nem tökéletes emlékezetű (imperfect recall) játék okról beszélünk. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea 30 / 31
31 Játékok extenzív formában Példa nem tökéletes emlékezetű játékra Az 1. játékos kétszer lép és mindkétszer J(obb) és B(al) közül választ, a 2. játékos egyszer választ J és B közül. Az egyetlen információs halmazban az 1. játékos nem tudja, hogy melyik pontban van a játék, hiszen elfelejtette, hogy elsőre J-t vagy B-t lépett. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea 31 / 31
Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea
Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea Csercsik Dávid ITK PPKE Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1 / 37 1 Nevezetes normál formájú játékok Iteráció Szigorúan dominált
RészletesebbenJátékelmélet 1. Forgó Ferenc Pintér Miklós Simonovits András Solymosi Tamás. (elektronikus jegyzet)
Játékelmélet 1 (elektronikus jegyzet) Forgó Ferenc Pintér Miklós Simonovits András Solymosi Tamás 2005 1 Ez a munka az OTKA T046194 pályázat támogatásával készült. 2 El szó Nagyon sok jó játékelmélet könyv
RészletesebbenMikroökonómia I. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 12. hét STRATÉGIAI VISELKEDÉS ELEMZÉSE JÁTÉKELMÉLET
MIKROÖKONÓMIA I. B ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia I. B STRATÉGIAI VISELKEDÉS ELEMZÉSE JÁTÉKELMÉLET K hegyi Gergely, Horn Dániel, Major Klára Szakmai felel s: K hegyi Gergely 2010.
RészletesebbenKÖZGAZDASÁGTAN I. Készítette: Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június
KÖZGAZDASÁGTAN I. Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi
RészletesebbenRasmusen, Eric: Games and Information (Third Edition, Blackwell, 2001)
Játékelmélet szociológusoknak J-1 Bevezetés a játékelméletbe szociológusok számára Ajánlott irodalom: Mészáros József: Játékelmélet (Gondolat, 2003) Filep László: Játékelmélet (Filum, 2001) Csontos László
RészletesebbenCsercsik Dávid ITK PPKE. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 1 / 21
Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea Csercsik Dávid ITK PPKE Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 1 / 21 1 Nash bargaining 2 Kooperatív játékok TU CFF játékok tulajdonságai
Részletesebben2015/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 9. Előadás Egy példa Adott két TV csatorna (N1, N2), melyek 100 millió nézőért versenyeznek.
RészletesebbenPiaci szerkezetek VK. Gyakorló feladatok a 4. anyagrészhez
Piaci szerkezetek VK Gyakorló feladatok a 4. anyagrészhez Cournot-oligopólium Feladatgyűjtemény 259./1. teszt Egy oligopol piacon az egyensúlyban A. minden vállalat határköltsége ugyanakkora; B. a vállalatok
RészletesebbenJÁTÉKELMÉLETTEL KAPCSOLATOS FELADATOK
1.Feladat JÁTÉKELMÉLETTEL KAPCSOLATOS FELADATOK Az alábbi kifizetőmátrixok három különböző kétszemélyes konstans összegű játék sorjátékosának eredményeit mutatják: 2 1 0 2 2 4 2 3 2 4 0 0 1 0 1 5 3 4 3
RészletesebbenUniversität M Mis is k k olol ci c, F Eg a y kultä etem t, für Wi Gazda rts ságcha tudft o sw máis n s yen i scha Kar, ften,
6. Előadás Piaci stratégiai cselekvések leírása játékelméleti modellek segítségével 1994: Neumann János és Oskar Morgenstern Theory of Games and Economic Behavior. A játékelmélet segítségével egzakt matematikai
RészletesebbenNem-kooperatív játékok
Nem-kooperatív játékok Versengő ágensek konfliktusai játékelmélet Cselekvéseivel mások cselekvéseinek hatását befolyásolják. Ettől a cselekvések (mind) várható haszna meg fog változni. A változás az én
RészletesebbenDöntési rendszerek I.
Döntési rendszerek I. SZTE Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék Készítette: London András 8 Gyakorlat Alapfogalmak A terület alapfogalmai megtalálhatók Pluhár András Döntési rendszerek
Részletesebben1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
RészletesebbenSarokba a bástyát! = nim
Nim-összeadás, játékok összege Sarokba a bástyát! = nim Nim (két csomóval) Két kupac kaviccsal játszunk. Egy lépésben valamelyikből (de csak az egyikből!) elvehetünk bármennyit. Az nyer, aki az utolsó
RészletesebbenKiszorító magatartás
8. elõadás Kiszorító magatartás Árrögzítés és ismételt játékok Kovács Norbert SZE GT Az elõadás menete Kiszorítás és információs aszimmetria Kiszorító árazás és finanszírozási korlátok A BOLTON-SCHARFSTEIN-modell
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok
RészletesebbenA stratégiák összes kombinációján (X) adjunk meg egy eloszlást (z) Az eloszlás (z) szerint egy megfigyelő választ egy x X-et, ami alapján mindkét
Készítette: Jánki Zoltán Richárd Robert Aumann (1930) Izraeli-amerikai matematikus 1974-ben általánosította a Nash-egyensúlyt 2005-ben közgazdasági Nobel-díjat kapott (kooperatív és nem-kooperatív játékok)
Részletesebben4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI
4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok
RészletesebbenTovábbi forgalomirányítási és szervezési játékok. 1. Nematomi forgalomirányítási játék
További forgalomirányítási és szervezési játékok 1. Nematomi forgalomirányítási játék A forgalomirányítási játékban adott egy hálózat, ami egy irányított G = (V, E) gráf. A gráfban megengedjük, hogy két
Részletesebben11. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 11. előadás Kvadratikus alakok, Stratégiai viselkedés
11. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 98. 108. oldal. Gondolkodnivalók Leontyev-modell, Sajátérték 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg, hogy az x valós paraméter mely értékeire lesz az alábbi A mátrix
RészletesebbenMátrixjátékok tiszta nyeregponttal
1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják
Részletesebben2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia
2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia Mind a hétköznapi, mind a tudományos életben gyakran előfordul, hogy bizonyos halmazok elemei között kapcsolat figyelhető meg. A kapcsolat fogalmának matematikai
RészletesebbenPiaci szerkezetek VK. Gyakorló feladatok a 3., az 5. és a 7. anyagrészhez
Piaci szerkezetek VK Gyakorló feladatok a 3., az 5. és a 7. anyagrészhez Kartellek Feladatgyűjtemény 266./33. teszt A kartellekkel kapcsolatos engedékenységi politika azt jelenti, hogy A. bizonyos esetekben
RészletesebbenPIACI SZERKEZETEK BMEGT30A hét, 1-2. óra: Játékelmélet, Cournot- és Bertrand-oligopólium
PIACI SZERKEZETEK BMEGT30A104 7. hét, 1-2. óra: Játékelmélet, Cournot- és Bertrand-oligopólium PRN: 9. és 10. fejezet 2018.03.19. 10:15 2018.03.21. 12:15 QAF14 Kupcsik Réka (kupcsikr@kgt.bme.hu) Oligopóliumok
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 3. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014.
RészletesebbenMIKROÖKONÓMIA - konzultáció - Termelés és piaci szerkezetek
MIKROÖKONÓMIA - konzultáció - Termelés és piaci szerkezetek Révész Sándor reveszsandor.wordpress.com 2011. december 17. Elmélet Termelési függvény Feladatok Parciális termelési függvény Adott a következ
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenMIKROÖKONÓMIA - konzultáció - Termelés és piaci szerkezetek
MIKROÖKONÓMIA - konzultáció - Termelés és piaci szerkezetek Révész Sándor reveszsandor.wordpress.com 2011. december 20. Elmélet Termelési függvény Feladatok Parciális termelési függvény Adott a következ
RészletesebbenDiMat II Végtelen halmazok
DiMat II Végtelen halmazok Czirbusz Sándor 2014. február 16. 1. fejezet A kiválasztási axióma. Ismétlés. 1. Deníció (Kiválasztási függvény) Legyen {X i, i I} nemüres halmazok egy indexelt családja. Egy
RészletesebbenOpkut deníciók és tételek
Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét
RészletesebbenAz előadásokat és a gyakorlatokat pénteken az M 316 tanteremben tartjuk. Az előadás időpontja: , a gyakorlat időpontja:
Játékelmélet (2017 / 2018-as tanév, II. félév) (TTMME0208 / TMME0205, TTMMG0208 / TMMG0205) Az előadásokat és a gyakorlatokat pénteken az M 316 tanteremben tartjuk. Az előadás időpontja: 10 00 11 45, a
RészletesebbenKözgazdaságtan I. 11. alkalom
Közgazdaságtan I. 11. alkalom 2018-2019/II. 2019. Április 24. Tóth-Bozó Brigitta Tóth-Bozó Brigitta Általános információk Fogadóóra szerda 13-14, előzetes bejelentkezés szükséges e-mailben! QA218-as szoba
Részletesebben1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a
A merész játékok stratégiája A következő problémával foglalkozunk: Tegyük fel, hogy feltétlenül ki kell fizetnünk 000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a még
RészletesebbenPIACI SZERKEZETEK BMEGT30A hét, 1-2. óra: Játékelméleti bevezető, Cournot- és Bertrandoligopólium
PIACI SZERKEZETEK BMEGT30A104 7. hét, 1-2. óra: Játékelméleti bevezető, Cournot- és Bertrandoligopólium PRN: 9., 10. fejezet 2019.03.25. 10:15 2019.03.27. 12:15 QAF14 Kupcsik Réka (kupcsikr@kgt.bme.hu)
Részletesebben1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?
Definíciók, tételkimondások 1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 2. Sorolja fel a logikai jeleket. 3. Milyen kvantorokat ismer? Mi a jelük? 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?
RészletesebbenStruktúra nélküli adatszerkezetek
Struktúra nélküli adatszerkezetek Homogén adatszerkezetek (minden adatelem azonos típusú) osztályozása Struktúra nélküli (Nincs kapcsolat az adatelemek között.) Halmaz Multihalmaz Asszociatív 20:24 1 A
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
RészletesebbenRelációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenJátékelmélet. előadás jegyzet. Kátai-Urbán Kamilla. Tudnivalók Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~katai Vizsga: írásbeli.
Játékelmélet Kátai-Urbán Kamilla Tudnivalók Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~katai Vizsga: írásbeli Irodalom előadás jegyzet J. D. Williams: Játékelmélet Filep László: Játékelmélet 1. Előadás Történeti
RészletesebbenMetrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenLineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 0. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 202. április 23. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Tartalom Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 2 Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok)
RészletesebbenRE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,
RészletesebbenParciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc
Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc numerikus módszerei számítógépes írta Karátson, János, Horváth, Róbert, és Izsák, Ferenc Publication date 2013 Szerzői jog 2013 Karátson János, Horváth Róbert,
RészletesebbenAnalízisfeladat-gyűjtemény IV.
Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította
RészletesebbenMatematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás
Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre
RészletesebbenLeképezések. Leképezések tulajdonságai. Számosságok.
Leképezések Leképezések tulajdonságai. Számosságok. 1. Leképezések tulajdonságai A továbbiakban legyen A és B két tetszőleges halmaz. Idézzünk fel néhány definíciót. 1. Definíció (Emlékeztető). Relációknak
RészletesebbenSzemidenit optimalizálás és az S-lemma
Szemidenit optimalizálás és az S-lemma Pólik Imre SAS Institute, USA BME Optimalizálás szeminárium 2011. október 6. Outline 1 Egyenl tlenségrendszerek megoldhatósága 2 Az S-lemma 3 Szemidenit kapcsolatok
RészletesebbenMIKROÖKONÓMIA II. B. Készítette: K hegyi Gergely. Szakmai felel s: K hegyi Gergely február
MIKROÖKONÓMIA II. B Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi
RészletesebbenKözgazdaságtan I. Számolási feladat-típusok a számonkérésekre 10. hét. 2018/2019/I. Kupcsik Réka
Közgazdaságtan I. Számolási feladat-típusok a számonkérésekre 10. hét 2018/2019/I. Témakörök I. Tökéletesen versenyző vállalat II. Tökéletesen versenyző iparág III. Monopólium konstans határköltséggel
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
RészletesebbenA relációelmélet alapjai
A relációelmélet alapjai A reláció latin eredet szó, jelentése kapcsolat. A reláció, két vagy több nem feltétlenül különböz halmaz elemei közötti viszonyt, kapcsolatot fejez ki. A reláció értelmezése gráffal
RészletesebbenMátrixok, mátrixműveletek
Mátrixok, mátrixműveletek 1 előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Mátrixok, mátrixműveletek p 1/1 Mátrixok definíciója Definíció Helyezzünk el n m elemet egy olyan téglalap
RészletesebbenHalmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy
1. előadás: Halmazelmélet Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy hozzátartozik-e,
RészletesebbenBEVEZETÉS A JÁTÉKELMÉLETBE: VÁZLAT. MTA Közgazdaságtudományi Kutatóközpont Budapest, Budaörsi út 45, 1112 e-mail: simonov@econ.core.hu 2007. május 6.
Simonovits András: BME, Matematikai Intézet BEVEZETÉS A JÁTÉKELMÉLETBE: VÁZLAT MTA Közgazdaságtudományi Kutatóközpont Budapest, Budaörsi út 45, 1112 e-mail: simonov@econ.core.hu 2007. május 6. i ELŐSZÓ
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
RészletesebbenHadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.
Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus
RészletesebbenMesterséges Intelligencia MI
Mesterséges Intelligencia MI Keresés ellenséges környezetben Dobrowiecki Tadeusz Eredics Péter, és mások BME I.E. 437, 463-28-99 dobrowiecki@mit.bme.hu, http://www.mit.bme.hu/general/staff/tade Ellenség
Részletesebben4. Fogyasztói preferenciák elmélete
4. Fogyasztói preferenciák elmélete (ld. Temesi J.: A döntéselmélet alapjai, 47-63) 4.1 Preferencia relációk Mit jelent a fogyasztó választása? Legyen X egy olyan halmaz amelynek az elemei azok a lehetőségek
RészletesebbenKözgazdaságtan. A vállalatok kínálata Szalai László
Közgazdaságtan A vállalatok kínálata Szalai László A vállalat kínálata Döntési faktorok Termelési mennyiség Értékesítési ár Korlátozó feltételek Technológiai korlátok Termelési függvény Gazdasági korlátok
RészletesebbenRelációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk
Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram. 1. Descartes-szorzat 1. Deníció. Tetsz leges két a, b objektum
RészletesebbenDöntési rendszerek I.
Döntési rendszerek I. SZTE Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék Készítette: London András 7. Gyakorlat Alapfogalmak A terület alapfogalmai megtalálhatók Pluhár András Döntési rendszerek
RészletesebbenAgrárstratégiai irányok játékelméleti alapokon
fejlesztés,felzárkózás Agrárstratégiai irányok játékelméleti alapokon Dr. Zöldréti Attila Miskolc 2015.09.04. Mit értünk stratégia fogalma alatt? Ne tévedjünk el! Egy irányba kell haladni! Azért nem ilyen
RészletesebbenA L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
RészletesebbenFelügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
RészletesebbenHALMAZELMÉLET feladatsor 1.
HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenItt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:
1. Halmazok, relációk, függvények 1.A. Halmazok A halmaz bizonyos jól meghatározott dolgok (tárgyak, fogalmak), a halmaz elemeinek az összessége. Azt, hogy az a elem hozzátartozik az A halmazhoz így jelöljük:
Részletesebben2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció
2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció Folláth János Debreceni Egyetem - Informatika Kar 2012/13. I. félév Áttekintés 1 Függvények Relációk Halmazok 2 Természetes számok Formulák Definíció
Részletesebben10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai
Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál
RészletesebbenTananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,
// KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 21. lecke: A feltételes valószínűség, események függetlensége Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,
RészletesebbenMarkov-láncok stacionárius eloszlása
Markov-láncok stacionárius eloszlása Adatbányászat és Keresés Csoport, MTA SZTAKI dms.sztaki.hu Kiss Tamás 2013. április 11. Tartalom Markov láncok definíciója, jellemzése Visszatérési idők Stacionárius
RészletesebbenIsmételt játékok: véges és végtelenszer. Kovács Norbert SZE GT. Példa. Kiindulás: Cournot-duopólium játék Inverz keresleti görbe: P=150-Q, ahol
9. elõaás Ismételt játékok: véges és végtelenszer történõ smétlés Kovács Norbert SZE GT Az elõaás menete Ismételt játékok Véges sokszor smételt játékok Végtelenszer smételt játékok Péla Knulás: ournot-uopólum
Részletesebben13. A zöldborsó piacra jellemző keresleti és kínálati függvények a következők P= 600 Q, és P=100+1,5Q, ahol P Ft/kg, és a mennyiség kg-ban értendő.
1. Minden olyan jószágkosarat, amely azonos szükségletkielégítési szintet (azonos hasznosságot) biztosít a fogyasztó számára,.. nevezzük a. költségvetési egyenesnek b. fogyasztói térnek c. közömbösségi
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenA félév során előkerülő témakörök
A félév során előkerülő témakörök rekurzív algoritmusok rendező algoritmusok alapvető adattípusok, adatszerkezetek, és kapcsolódó algoritmusok dinamikus programozás mohó algoritmusok gráf algoritmusok
Részletesebben1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata.
1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HLMZOK halmaz axiomatikus fogalom, nincs definíciója. benne van valami a halmazban szintén axiomatikus fogalom,
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenFormális nyelvek - 9.
Formális nyelvek - 9. Csuhaj Varjú Erzsébet Algoritmusok és Alkalmazásaik Tanszék Informatikai Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem H-1117 Budapest Pázmány Péter sétány 1/c E-mail: csuhaj@inf.elte.hu 1 Véges
RészletesebbenA tiszta stratégiával a biztosan elérhető nyereség:
Mátrixjátékok ismétlés: Mátrixjátékok megoldásáról (ismétlés) Legyen adott két játékos, A és B. A két játékos véges stratégia halmazból választ. Jelölje A stratégia vektorát u U, míg B stratégia vektorát
RészletesebbenE-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények
Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
RészletesebbenJÁTÉKELMÉLETI MAGYARÁZAT A KÖZJÓSZÁGOK LÉTREJÖTTÉNEK ELMARADÁSÁRA
Szociológiai Szemle 2005/1, 23 40. JÁTÉKELMÉLETI MAGYARÁZAT A KÖZJÓSZÁGOK LÉTREJÖTTÉNEK ELMARADÁSÁRA MÉSZÁROS József Budapesti Mûszaki és Gazdaságtudományi, Egyetem Szociológia és Kommunikáció Tanszék
Részletesebben3. előadás Stabilitás
Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása
RészletesebbenChomsky-féle hierarchia
http://www.ms.sapientia.ro/ kasa/formalis.htm Chomsky-féle hierarchia G = (N, T, P, S) nyelvtan: 0-s típusú (általános vagy mondatszerkezetű), ha semmilyen megkötést nem teszünk a helyettesítési szabályaira.
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. középszint
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 3. el adás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenKözgazdaságtan 1. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 9. hét OLIGOPÓLIUM ÉS STRATÉGIAI VISELKEDÉS
KÖZGAZDASÁGTAN I. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Közgazdaságtan 1. OLIGOPÓLIUM ÉS STRATÉGIAI VISELKEDÉS Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára Szakmai felel s: K hegyi Gergely 2010. június
Részletesebben(Diszkrét idejű Markov-láncok állapotainak
(Diszkrét idejű Markov-láncok állapotainak osztályozása) March 21, 2019 Markov-láncok A Markov-láncok anaĺızise főként a folyamat lehetséges realizációi valószínűségeinek kiszámolásával foglalkozik. Ezekben
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
RészletesebbenOperációkutatás vizsga
Operációkutatás vizsga A csoport Budapesti Corvinus Egyetem 2007. január 9. Egyéb gyakorló és vizsgaanyagok találhatók a honlapon a Letölthető vizsgasorok, segédanyagok menüpont alatt. OPERÁCIÓKUTATÁS
RészletesebbenA Morra játék Módosított Morra Blöff és alullicitálás mint racionális stratégiák
A Morra játék Módosított Morra Blöff és alullicitálás mint racionális stratégiák Előadás felépítése Morra játék háttere, fajtái Módosított Morra Egyszerűsítési stratégiák Blöff és alullicitálás Mi az Morra?
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenMIKROÖKONÓMIA II. Készítette: K hegyi Gergely. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2011. február
MIKROÖKONÓMIA II. Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi
Részletesebben11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba
11. Előadás Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak 1. Gondolkodnivaló Adjuk meg, hogy az alábbi A mátrixnak mely α értékekre lesz sajátértéke a 5. Ezen α-ák esetén határozzuk meg a 5 sajátértékhez
RészletesebbenMikro- és makroökonómia. Monopolisztikus verseny, Oligopóliumok Szalai László
Mikro- és makroökonómia Monopolisztikus verseny, Oligopóliumok Szalai László 2017.10.12. Piaci feltételek A termékek nem homogének, de hasonlóak A különbség kisebb termékjellemzőkben jelentkezik Pl.: Coca-Cola
RészletesebbenValószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
Részletesebben