É -matek: Csak azoknak, akik a kudarcfélelem nélküli és sikeres Érettségi vizsgára készülnek!
|
|
- Frigyes Kerekes
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Jenő 3.. É-matek matek Módszertani segédlet csak diá koknak! Hogyan elemezzük ki a feladatot? Hogyan alkossunk önmagunk számára szemléletes modellt? Hogyan keressük meg a modell és a matematikai ismeretek kapcsolatait? Hogyan haladjunk lépésről lépésre a teljes megoldás felé? RÉSZLET A VEKTOROK TÉMAKÖRBŐL! Ebben a sorozatban ötletek és eljárások sokasága szerepel, amelyek nem biztos, hogy a legjobbak, de hasznosak! Van egyáltalán legjobb ötlet? Akinek nincs egyetlen ötlete sem, annak biztosan segít ez a sorozat az önáll ó ö tlethez vezet ő út megtalálásában! Akinek van, az bővítheti ötlettárát! Minél több ö tletünk van egy-egy probléma megoldására, annál kreatívabbak lehetünk munkánk során! É -matek: Csak azoknak, akik a kudarcfélelem nélküli és sikeres Érettségi vizsgára készülnek! Példa () Adott az alábbi KLMN téglalap, amelynek oldalain megjelölt pontok harmadoló-, illetve negyedelőpontok. Továbbá: KA a a és KR b b továbbiakban bázisvektorok a) Ábrázolja az alábbi vektorokat úgy, hogy kezdő- és végpontjuk is a KLMN téglalap kerületén megjelölt egy -egy pont legyen: 3 ( ) : a b; () : a + b (3) : (a (3a! 3 b) Írja fel (adja meg) a két bázisvektor segítségével az ábrán berajzolt vektorokat! c) Határozza meg a fenti vektorok koordinátáit!
2 Jenő Fontos tanács, hogy a megadott ábra mindig legyen a szemünk előtt, hiszen a feltételek megadását is onnan tudjuk ellenőrizni, számunkra érthetővé és nyilvánvalóvá tenni. Az emberek közel 8%-a dominánsan vizuális tanulási stílussal rendelkezik, ami természetesen nem hiba, vagy elmarasztalandó. Inkább azt kell tudni, hogy ennél a tanulási stílusnál a látásnak kiemelt szerepe van, ezért minden lehetőséget meg kell ragadni ennek érdekében. Értelmezés, kapcsolatkeresés..,oldalain megjelölt pontok harmadoló-, illetve negyedelőpontok. A téglalap nem szorul magyarázatra, mivel ezt a derékszögű paralelogrammát mindenki ismeri. A harmadolópontok azok a pontok, amelyek az oldalt három egyenlő részre osztják (itt S; R; vagy Q; P). Beszélhetünk pl. a K-hoz közelebbi harmadolópontról (R), vagy az N-hez közelebbihez (S). A negyedelőpontok (három van belőle) az adott oldalt 4 egyenlő részre osztják. Itt is lehet valamelyik végponthoz közelebbi negyedelőpontról beszélni...,bázisvektorok. Egymással nem párhuzamos vektorok. Ezek lineáris kombinációjával (számszorosaik összegével vagy különbségével) kell kifejezni a megadott vektorokat. Itt az előállított vektor kezdőpontjának (kiindulási pont) és végpontjának (ahova mutat) a téglalap kerületén kell hogy legyen. (A vektor fogalmával kapcsolatos ismereteket kell rendszerezni!) Részekre bontás, beazonosítás a) Ábrázolja az alábbi vektorokat úgy, hogy kezdő- és végpontjuk is a KLMN téglalap kerületén megjelölt egy -egy pont legyen. Szedjük részekre a három feladatot. Ahol szükséges és lehet, ott az ábrázolás előtt a megfelelő összevonásokat végezzük el! ( ) : a b; A különbségvektor mindig a kivonandó végpontjából mutat a kisebbítendő vektor végpontjába. Amelyik vektort kivonjuk az a kivonandó vektor!
3 3 Jenő ( ) : a + b Most a két vektor szám-szorosának az összegét kell ábrázolni. Mivel mind a két szám pozitív, így az eredeti vektorok iránya nem változik. A hosszuk igen! Az egyik hossza felére, a másik kétszeresére! b a 3 ( 3) : (a (3a 3 A vektorok műveleti tulajdonságait felhasználva célszerű a kijelölt műveletek elvégzésével használhatóbb alakra hozni! 3 ( 3) : (a (3a a b a + b 3 Mivel a kapott vektor egy nullvektor (iránya tetszőleges, hossza nulla), ennek bármelyik pont megfelel a téglalap kerületén.
4 4 Jenő b) Írja fel (adja meg) a két bázisvektor segítségével az ábrán berajzolt vektorokat! A feladat lényegében nem más, mint a kiválasztott vektor felbontása, az adott bázisvektorokkal páthuzamos összetevőkre. Jó gyakorlat arra is, hogy a felbontandó vektor koordinátáit meghatározzuk, az adott bázisvektorokra vonatkozóan. Ha egyenlő vektorokat, vagy egyenlő hosszúságú és párhuzamos vektorokat sikerül találni, akkor egyszerűsödik a feladat megoldása! Nagy segítség, ha a felbontandó vektort és a bázisvektorok szám-szorosait egy háromszögbe tudjuk foglalni. Természetesen kihasználjuk, hogy a téglalap szemközti oldalainak a hossza egyenlő, így a megfelelő részek is egyenlő hosszúak. Felbontások és azok indoklása A B A N A K + KN a 3b 3 + B B 3 a PM KS b PN PM + MN b a MK MN + NK a 3b LR LK + KR a + b SP LR ( a + b) a b c) Határozza meg a fenti vektorok koordinátáit! Az adott bázisvektorokra vonatkoztatott koordináták, a lineáris kombinációban szereplő számok, ha megadjuk a vektorok sorrendjét. Legyen itt: a; b A3 B ( ;3) B3B ( LR( ;) ;) MK ( ; 3) PM (;) SP(; ) PN ( ;)
5 5 Jenő Példa () Egy kismotoros repülőgép szélcsendben nyugatról keletre halad m/sec sebességgel, de a gépre 3 m/sec sebességű felfelé ható légáramlás és északi 3 m/sec sebességű szél hat. Határozza meg, hogyan, milyen irányban és mekkora sebességgel halad a gép! Az ilyen típusú feladatok megoldásához nagyon körültekintően kell hozzákezdeni! Az első, amit fontos észrevenni, hogy itt, egy térbeli mozgásról van szó. Az égtájakat tekintve még síkban modellezhető a feladat, de a felfelé irányuló mozgás a térbeliséget egyértelműen meghatározza. Kapcsolatkeresés, részekre bontás., nyugatról keletre halad m/sec sebességgel;.3 m/sec sebességű felfelé ható légáramlás, és északi 3 m/sec sebességű szél hat. Ha megfigyeljük a három irányt, akkor megállapítható, hogy ezek egymásra merőlegesek, olyanok, mint egy téglatest egy csúcspontjából kiinduló élek. Mivel a repülőgép sebességvektorát ez a három vektor határozza meg, így ezek eredője lesz a repülőgép sebessége. (A sebesség vektormennyiség!) A j ó szemléltet ő rajz nélkülözhetetlen A repülőgép sebességvektora a téglatest testátlója. Ennek hossza a téglatest átlóiból: v ,4 4m / sec Ezen belül a 3 és egységnyi oldalú téglalap átlója, az eredő vektor földi merőleges vetülete: ,85m / sec Ezzel válaszolhatunk a kérdés egyik részére: a repülőgép kb. 4m/sec sebességgel halad.
6 6 Jenő Értelmezés, új összefüggések keresése.,hogyan, milyen irányban? Az irány kelet-északkelet, valamint felfelé. A hogyan kérdésre csak akkor tudunk válaszolni, ha meghatározzuk az emelkedési szöget, valamint azt a szöget, amelyet az eredeti (keleti) iránnyal az eredő vektor bezár. Mivel az eredővektor térbeli vektor, így a keleti iránnyal bezárt szöge alatt a merőleges vetületének (földi) a keleti iránnyal bezárt szögét értjük. A szögek maghatározásához tovább kell bontanunk a térbeli ábrát. Az eredő vektor merőleges vetülete Emelkedési szög A keleti iránnyal bezárt szög Célszer ű kivenni a két derékszög ű háromszöget! α 3, β 3,85 3 Az ismert szögfüggvények bármelyikének az alkalmazásával a szögek kiszámíthatók: tgα sin β 3 3 4,65,5 α β 33, 7, a keleti iránnyal bezárt szög az emelkedési szög
7 7 Jenő Példa (3) Bontsa fel az x( 6;) a( ;5) b( ;) vektort a következő vektorokkal párhuzamos összetevőkre: A megoldandó feladat azt kéri, hogy az utóbbi két vektor, mint bázisvektorok felhasználásával fejezzük ki (azok lineáris kombinációjával, a bázisvektorok szám-szorosainak összegével) az x vektort. A feladat lényege: határozzuk meg azokat a valós számokat, amelyekkel a bázisvektorokat megszorozva és ezeket összegezve az előállítandó vektort kapjuk. Ez csak akkor lehetséges, ha a bázisvektorok nem párhuzamosak. Ha két vektor párhuzamos, akkor az egyik vektor a másik szám-szorosa (nem nullvektorok természetesen, mert azok is párhuzamosak). Mivel itt a megfelelő koordináták hányadosa nem egyenlő, ezért a két vektor biztosan nem párhuzamos, lehetnek bázisvektorok. Kapcsolatkeresés, beazonosítás A következőkben felhasználjuk: () ha egy koordinátákkal adott vektort megszorzunk egy valós számmal, akkor mindkét koordinátáját meg kell szorozni; () az összegvektor koordinátái az összetevő vektorok koordinátáinak az összege; (3) ha két vektor egyenlő, akkor a megfelelő koordinátáik is egyenlők. Készítsünk értelmez ő rajzot a vektorok felbonthatósági tételé nek szemléltetésére! a // α a α a β b b // β b x α a + β b x( α ; β ) A fentiek [ (), (), (3)] felhasználásával a konkrét összefüggések: α a(α ;5α ); x( 6;) α a + β b( β ;β ) α a + β b(α β ;5α + β ) β b(α β ;5α + β ) 6 α β ; 5α + β
8 8 Jenő Új ismeretek, eljárások is szükségesek lehetnek Ezek után az α ; β ; valós számokat kell meghatározni az egyenletrendszer megoldásával. () 6 α β ; 5α + β / 5 () 6 5α + β () + () 54 7α α ; β Ezek az értékek a felbontásban (lineáris kombinációban) szereplő valós számok. Válasz a kérdésre: x a + b
9 9 Jenő Példa (4) Tudjuk, hogyha egy test elmozdulása s, akkor egy, a testre ható, állandó F erő az elmozdulás során F s munkát végez. Legyen a test elmozdulásának nagysága, méter, a testre ható állandó erő pedig 7 N nagyságú. Mekkora munkát végzett az erő, ha: a) a test kelet felé mozdult el, és eközben az erő mindvégig nyugati irányban mutatott? b) a test nyugat felé mozdult el, és eközben az erő mindvégig dél felé mutatott? c)a test délkelet felé mozdult el, és eközben az erő mindvégig kelet felé mutatott? d) a test észak felé mozdult el, és eközben az erő mindvégig délnyugat felé mutatott? Kapcsolatkeresés, beazonosítás A fizika tanulmányok során előforduló fogalmak szerepelnek a feladatban. Először ezeket kell felidézni, rendszerezni, majd a vektoroknál tanultakkal kapcsolatba hozni. Az erő (F) és a test által megtett út (elmozdulás) (s) vektormennyiségek (irányuk és hosszuk is jellemzi). Az erő SI egysége a newton, jele N. A munkát (W) állandó nagyságú és irányú erő esetén a következő képlettel lehet kiszámolni: W F s F s cosα ahol a képletben szereplő szög az erő (F) és az elmozdulás (s) iránya által bezárt szög. A matematikai modell Ezek után azt is mondhatjuk, hogy a munka, az erő és az elmozdulás vektorok skaláris szorzata. Mivel két vektor skaláris szorzata mindig egy valós szám, így a munka skalármennyiség. Ezért az értéke lehet pozitív és negatív szám is. SI mértékegysége a joule (azzal a munkával egyenlő, ami egy testet egy N erő által méter távolságra mozdít el). Itt az erő vektor hossza 7 egység, az elmozdulás vektor hossza, méter, a vektorok iránya kérdésenként különböző. Válaszok a kérdésekre, szemléltet ő ábrák a) a test kelet felé mozdult el, és eközben az erő mindvégig nyugati irányban mutatott. A keleti és a nyugati irány hajlásszöge 8 fok. Két vektor hajlásszöge az irányuk által bezárt szög, amelyik legfeljebb 8 fok. nyugat A két vektor skaláris szorzata alapján: F α 8 s kelet W F s F s cos8 7, ( ), 4 joul
10 Jenő b) a test nyugat felé mozdult el, és eközben az erő mindvégig dél felé mutatott. Itt az előzőekben értelmezett két vektor merőleges egymásra (nyugat; dél)! nyugat s F Ha a két vektor merőleges, akkor a skaláris szorzatuk nulla, mert: dél W F s F s cos9 7, () joul c)a test délkelet felé mozdult el, és eközben az erő mindvégig kelet felé mutatott. A délkelet és a keleti irányok 45 fokos szöget zárnak be, ezért W F s F s cos 45 7, (,77), 99 joul d) a test észak felé mozdult el, és eközben az erő mindvégig délnyugat felé mutatott. Az ábra alapján: észak 35 s dé ln yugat F W F s F s cos35 7, (,77), 99 joul
Koordináta - geometria I.
Koordináta - geometria I. DEFINÍCIÓ: (Helyvektor) A derékszögű koordináta - rendszerben a pont helyvektora az origóból a pontba mutató vektor. TÉTEL: Ha i az (1; 0) és j a (0; 1) pont helyvektora, akkor
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
RészletesebbenVektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták, lineáris függetlenség
Vektoralgebra Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták, lineáris függetlenség Feladatok: 1) A koordinátarendszerben úgy helyezzük el az egységkockát, hogy az origó az egyik csúcsba essék,
RészletesebbenVektoralgebrai feladatok
Vektoralgebrai feladatok 1. Vektorok összeadása és szorzatai, azok alkalmazása 1.1 a) Írja fel a és vektorokat az és átlóvektorok segítségével! b) Milyen hosszú az + ha =1? 1.2 Fejezze ki az alábbi vektorokat
RészletesebbenJavítóvizsga témakörei matematika tantárgyból
9.osztály Halmazok: - ismerje és használja a halmazok megadásának különböző módjait, a halmaz elemének fogalmát - halmazműveletek : ismerje és alkalmazza gyakorlati és matematikai feladatokban a következő
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria
005-05 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenHa a síkot egyenes vagy görbe vonalakkal feldaraboljuk, akkor síkidomokat kapunk.
Síkidomok Ha a síkot egyenes vagy görbe vonalakkal feldaraboljuk, akkor síkidomokat kapunk. A határoló vonalak által bezárt síkrész a síkidom területe. A síkidomok határoló vonalak szerint lehetnek szabályos
Részletesebben2011. március 9. Dr. Vincze Szilvia
. márius 9. Dr. Vinze Szilvia Tartalomjegyzék.) Elemi bázistranszformáió.) Elemi bázistranszformáió alkalmazásai.) Lineáris függőség/függetlenség meghatározása.) Kompatibilitás vizsgálata.) Mátri/vektorrendszer
RészletesebbenA döntő feladatai. valós számok!
OKTV 006/007. A döntő feladatai. Legyenek az x ( a + d ) x + ad bc 0 egyenlet gyökei az x és x valós számok! Bizonyítsa be, hogy ekkor az y ( a + d + abc + bcd ) y + ( ad bc) 0 egyenlet gyökei az y x és
Részletesebben[MECHANIKA- HAJLÍTÁS]
2010. Eötvös Loránd Szakközép és Szakiskola Molnár István [MECHANIKA- HAJLÍTÁS] 1 A hajlításra való méretezést sok helyen lehet használni, sok mechanikai probléma modelljét vissza lehet vezetni a hajlítás
RészletesebbenAzonosító jel: Matematika emelt szint
I. 1. Hatjegyű pozitív egész számokat képezünk úgy, hogy a képzett számban szereplő számjegy annyiszor fordul elő, amekkora a számjegy. Hány ilyen hatjegyű szám képezhető? 11 pont írásbeli vizsga 1012
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 15 XV DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS 1 DERIVÁLT, deriválás Az f függvény deriváltján az (1) határértéket értjük (feltéve, hogy az létezik és véges) Az függvény deriváltjának jelölései:,,,,,
RészletesebbenBOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY FŐVÁROSI DÖNTŐ SZÓBELI (2005. NOVEMBER 26.) 5. osztály
5. osztály Írd be az ábrán látható hat üres körbe a 10, 30, 40, 60, 70 és 90 számokat úgy, hogy a háromszög mindhárom oldala mentén a számok összege 200 legyen! 50 20 80 Egy dobozban háromféle színű: piros,
RészletesebbenEmelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Szászné Simon Judit; dátum: 2005. november. I. rész
Szászné Simon Judit, 005. november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Szászné Simon Judit; dátum: 005. november. feladat I. rész Oldjuk meg a valós számok halmazán a x 5x
RészletesebbenOsztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 2. félév
Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 2. félév IV. Háromszögek, négyszögek, sokszögek Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzete Néhány alapvető geometriai fogalom A háromszögekről.
RészletesebbenMAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET 2012-2013 11. OSZTÁLY
MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET 2012-2013 11. OSZTÁLY Heti 3 óra Évi 111 óra Készítette: Ellenőrizte: Literáti Márta matematika tanár.. igazgató Másodfokú egyenletek. Ismétlés 1. óra: Másodfokú egyenletek,
RészletesebbenElektronikus tananyag MATEMATIKA 10. osztály II. félév
Elektronikus tananyag MATEMATIKA 0. osztály II. félév A hasonlósági transzformáció és alkalmazásai. Párhuzamos szelők és szelőszakaszok A párhuzamos szelők tétele TÉTEL: Ha egy szög szárait párhuzamos
RészletesebbenPárhuzamos programozás
Párhuzamos programozás Rendezések Készítette: Györkő Péter EHA: GYPMABT.ELTE Nappali tagozat Programtervező matematikus szak Budapest, 2009 május 9. Bevezetés A számítástechnikában felmerülő problémák
RészletesebbenOsztályozó vizsga kérdések. Mechanika. I.félév. 2. Az erőhatás jellege, jelölések, mértékegységek
Osztályozó vizsga kérdések Mechanika I.félév 1. Az erő fogalma, jellemzői, mértékegysége 2. Az erőhatás jellege, jelölések, mértékegységek 4 A 4. 4 3. A statika I., II. alaptörvénye 4. A statika III. IV.
Részletesebben3. KÖRGEOMETRIA. 3.1. Körrel kapcsolatos alapismeretek
3. KÖRGEOMETRIA Hajós György: Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest, 89 109. és 121. oldal. Pelle Béla: Geometria, Tankönyvkiadó, Budapest, 86 97. és 117 121. oldal. Kovács Zoltán: Geometria,
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 10 X DETERmINÁNSOk 1 DETERmINÁNS ÉRTELmEZÉSE, TULAJdONSÁGAI A másodrendű determináns értelmezése: A harmadrendű determináns értelmezése és annak első sor szerinti kifejtése: A
Részletesebben1. Írja fel prímszámok szorzataként a 420-at! 2. Bontsa fel a 36 000-et két részre úgy, hogy a részek aránya 5 : 4 legyen!
1. Írja fel prímszámok szorzataként a 40-at! 40 =. Bontsa fel a 36 000-et két részre úgy, hogy a részek aránya 5 : 4 legyen! A részek: 3. Egy sejttenyészetben naponta kétszereződik meg a sejtek száma.
RészletesebbenMATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3.
MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármelyik
RészletesebbenMATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8.
MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8. I. rész Fontos tudnivalók A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármelyik négyjegyű függvénytáblázatot
RészletesebbenELLENÁLLÁSOK PÁRHUZAMOS KAPCSOLÁSA, KIRCHHOFF I. TÖRVÉNYE, A CSOMÓPONTI TÖRVÉNY ELLENÁLLÁSOK PÁRHUZAMOS KAPCSOLÁSA. 1. ábra
ELLENÁLLÁSOK PÁRHUZAMOS KAPCSOLÁSA Három háztartási fogyasztót kapcsoltunk egy feszültségforrásra (hálózati feszültségre: 230V), vagyis közös kapocspárra, tehát párhuzamosan. A PÁRHUZAMOS KAPCSOLÁS ISMÉRVE:
RészletesebbenMágneses szuszceptibilitás vizsgálata
Mágneses szuszceptibilitás vizsgálata Mérést végezte: Gál Veronika I. A mérés elmélete Az anyagok külső mágnesen tér hatására polarizálódnak. Általában az anyagok mágnesezhetőségét az M mágnesezettség
RészletesebbenÁramlástechnikai gépek soros és párhuzamos üzeme, grafikus és numerikus megoldási módszerek (13. fejezet)
Áramlástechnikai gépek soros és párhuzamos üzeme, grafikus és numerikus megoldási módszerek (3. fejezet). Egy H I = 70 m - 50000 s /m 5 Q jelleggörbéjű szivattyú a H c = 0 m + 0000 s /m 5 Q jelleggörbéjű
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria IV.
Geometria IV. 1. Szerkessz egy adott körhöz egy adott külső ponton átmenő érintőket! Jelöljük az adott kört k val, a kör középpontját O val, az adott külső pontot pedig P vel. A szerkesztéshez azt használjuk
RészletesebbenÉpületvillamosság laboratórium. Villámvédelemi felfogó-rendszer hatásosságának vizsgálata
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Villamos Energetika Tanszék Nagyfeszültségű Technika és Berendezések Csoport Épületvillamosság laboratórium Villámvédelemi felfogó-rendszer hatásosságának
RészletesebbenG Szabályfelismerés 2.2. 2. feladatcsomag
ÖSSZEFÜÉSEK Szabályfelismerés 2.2 Alapfeladat Szabályfelismerés 2. feladatcsomag összefüggés-felismerő képesség fejlesztése szabályfelismeréssel megkezdett sorozat folytatása a felismert szabály alapján
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő. x 3x 2 <
Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 011/01 Matematika I. kategória (SZKKÖZÉPISKOL) Döntő 1. Határozza meg az összes olyan egész számot, amely eleget tesz az egyenlőtlenségnek! log
Részletesebben1. forduló. MEGOLDÁSOK Pontszerző Matematikaverseny 2015/2016-os tanév
MEGOLDÁSOK Pontszerző Matematikaverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló 1. feladat: Jancsi és Juliska Matematikai Memory-t játszik. A játék lényege, hogy négyzet alakú kártyákra vagy műveletsorokat írnak
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló gimnáziuma) Térgeometria III.
Térgeometria III. 1. Szabályos háromoldalú gúla alapéle 1 cm, oldaléle 1 cm. Milyen magas a gúla? Tekintsük a következő ábrát: Az alaplap szabályos ABC, így a D csúcs merőleges vetülete a háromszög S súlypontja.
RészletesebbenTérgeometria feladatok. 2. Egy négyzetes oszlop magassága háromszor akkora, mint az alapéle, felszíne 504 cm 2. Mekkora a testátlója és a térfogata?
Térgeometria feladatok Téglatest 1. Egy téglatest éleinek aránya 2 : 3 : 5, felszíne 992 cm 2. Mekkora a testátlója és a 2. Egy négyzetes oszlop magassága háromszor akkora, mint az alapéle, felszíne 504
RészletesebbenAlgebra es sz amelm elet 3 el oad as Rel aci ok Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Relációk Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Relációk reláció lat. 1. kapcsolat, viszony; összefüggés vmivel 2. viszonylat, vonatkozás reláció lat. 3. mat halmazok elemei
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2011/2012-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 011/01-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az ábrán látható ABC derékszögű háromszög
RészletesebbenKombinatorika. 9. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Kombinatorika p. 1/
Kombinatorika 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kombinatorika p. 1/ Permutáció Definíció. Adott n különböző elem. Az elemek egy meghatározott sorrendjét az adott
RészletesebbenFöldrajzi helymeghatározás
A mérés megnevezése, célkitűzései: Földrajzi fokhálózat jelentősége és használata a gyakorlatban Eszközszükséglet: Szükséges anyagok: narancs Szükséges eszközök: GPS készülék, földgömb, földrajz atlasz,
RészletesebbenLineáris algebra jegyzet
Lineáris algebra jegyzet Készítette: Jezsoviczki Ádám Forrás: Az előadások és a gyakorlatok anyaga Legutóbbi módosítás dátuma: 2011-12-04 A jegyzet nyomokban hibát tartalmazhat, így fentartásokkal olvasandó!
RészletesebbenJelek tanulmányozása
Jelek tanulmányozása A gyakorlat célja A gyakorlat célja a jelekkel való műveletek megismerése, a MATLAB környezet használata a jelek vizsgálatára. Elméleti bevezető Alapműveletek jelekkel Amplitudó módosítás
RészletesebbenA skatulya-elv alkalmazásai
1 A skatulya-elv alkalmazásai Számelmélet 1. Az első 4n darab pozitív egész számot beosztjuk n számú halmazba. Igazoljuk, hogy mindig lesz három olyan szám, amelyek ugyanabban a halmazban vannak és valamely
RészletesebbenConjoint-analízis példa (egyszerűsített)
Conjoint-analízis példa (egyszerűsített) Az eljárás meghatározza, hogy a fogyasztók a vásárlás szempontjából lényeges terméktulajdonságoknak mekkora relatív fontosságot tulajdonítanak és megadja a tulajdonságok
Részletesebben31 521 09 1000 00 00 Gépi forgácsoló Gépi forgácsoló
Az Országos Képzési Jegyzékről és az Országos Képzési Jegyzékbe történő felvétel és törlés eljárási rendjéről szóló 133/2010. (IV. 22.) Korm. rendelet alapján. Szakképesítés, szakképesítés-elágazás, rész-szakképesítés,
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika középszint 1513 É RETTSÉGI VIZSGA 015. október 13. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:
RészletesebbenA 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny. MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták)
A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták) Javítási-értékelési útmutató Kérjük a javító tanárokat,
RészletesebbenKorszerű geodéziai adatfeldolgozás Kulcsár Attila
Korszerű geodéziai adatfeldolgozás Kulcsár Attila Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Főiskolai Kar Térinformatika Tanszék 8000 Székesfehérvár, Pirosalma -3 Tel/fax: (22) 348 27 E-mail: a.kulcsar@geo.info.hu.
RészletesebbenBOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY DÖNTŐ 2004. 5. osztály
5. osztály Ha egy négyzetet az ábrán látható módon feldarabolunk, akkor a tangram nevű ősi kínai játékot kapjuk. Mekkora a nagy négyzet területe, ha a kicsié 8 cm 2? (A kis négyzet egyik csúcsa a nagy
RészletesebbenEGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK
X. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő X.TÉMAKÖR EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK Téma Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása Egyszerűbb modellalkotást igénylő, elsőfokú egyenletre
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika középszint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:.
RészletesebbenBoldva és Vidéke Taka r ékszövetkezet
A Takarékszövetkezet jelen ben szereplő, változó kamatozású i termékei esetében i kamatváltozást tesz közzé, az állandó (fix) kamatozású i termékek esetében pedig a 2014.06.15-től lekötésre kerülő ekre
RészletesebbenA Hozzárendelési feladat megoldása Magyar-módszerrel
A Hozzárendelési feladat megoldása Magyar-módszerrel Virtuális vállalat 2013-2014/1. félév 3. gyakorlat Dr. Kulcsár Gyula A Hozzárendelési feladat Adott meghatározott számú gép és ugyanannyi független
RészletesebbenBoldva és Vidéke Taka r ékszövetkezet
A Takarékszövetkezet jelen ben szereplő, változó kamatozású i termékei esetében i kamatváltozást tesz közzé, az állandó (fix) kamatozású i termékek esetében pedig a 2014.08.13-tól lekötésre kerülő ekre
RészletesebbenEgyszerű áramkörök vizsgálata
A kísérlet célkitűzései: Egyszerű áramkörök összeállításának gyakorlása, a mérőműszerek helyes használatának elsajátítása. Eszközszükséglet: Elektromos áramkör készlet (kapcsolótábla, áramköri elemek)
RészletesebbenÖ É ú ú Ú Ú Ö ú É ű Ó Ú ú ú ú Ó Ú ű Ó ú ú ú ű Ú
ú Ő Ü ú ú ú ú Ó ű ú É Ö É ú ú Ú Ú Ö ú É ű Ó Ú ú ú ú Ó Ú ű Ó ú ú ú ű Ú Ü ú ú ú Ó ű Ö ű ú ú ú Ö Ó ű ű Ú ű ű Ó Ü ú ú Ú ú É Ó ú Ü Ü ú ú ú ű ű ú ú Ú ú ú Ú Ó ú Ö Ú Ó Ó ú ú ű Ó É Ó Ó ú Ó Ó Ó ú ú ú ú Ó Ö ű ű ú
Részletesebbenű ű Ú Ú ű Ö Ö Ó ű ű Ú É Ö
ű Ú É Ü ű ű ű Ú Ú ű Ö Ö Ó ű ű Ú É Ö ű ű ű ű ű É ű ű É Ó É É Ó É ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ü Ó ű ű ű Ü ű Ó ű ű ű ű ű Ö É É Ú Ü É Ú Ó ű ű ű ű Ü Ú ű Ú Ú ű ű ű Ö ű ű ű ű ű ű ű ű Ö Ü Ó ű ű ű É Ü Ú ű Ü Ú É ű
Részletesebbenü ü ü ü ü ü ű ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ű ű Ü ü ü ü ü
ü ü ü ü É ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ű ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ű ű Ü ü ü ü ü ü ü ü Ü Ö Ö Ö É É Ü É ü ű Ü É É Ö ü Ó ű ü ü ü ü ü ű ű Ű ü Ö É É É Ű Ó Ö É Ó É É Ó Ó É Ö ü ü ü ü ü ü Ü ű ü ü ű Ü ü ű ű ü ű ű
RészletesebbenHázi dolgozat. Minta a házi dolgozat formai és tartalmi követelményeihez. Készítette: (név+osztály) Iskola: (az iskola teljes neve)
Házi dolgozat Minta a házi dolgozat formai és tartalmi követelményeihez Készítette: (név+osztály) Iskola: (az iskola teljes neve) Dátum: (aktuális dátum) Tartalom Itt kezdődik a címbeli anyag érdemi kifejtése...
RészletesebbenLineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 3 gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 2012 február 27 Bogya Norbert Lineáris algebra gyakorlat (3 gyakorlat) Tartalom Egyenletrendszerek Cramer-szabály 1 Egyenletrendszerek
RészletesebbenAz aktiválódásoknak azonban itt még nincs vége, ugyanis az aktiválódások 30 évenként ismétlődnek!
1 Mindannyiunk életében előfordulnak jelentős évek, amikor is egy-egy esemény hatására a sorsunk új irányt vesz. Bár ezen események többségének ott és akkor kevésbé tulajdonítunk jelentőséget, csak idővel,
RészletesebbenMBLK12: Relációk és műveletek (levelező) (előadásvázlat) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
MBLK12: Relációk és műveletek (levelező) (előadásvázlat) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Jelölje Z az egész számok halmazát, N a pozitív egészek halmazát, N 0 a nem negatív egészek halmazát, Q a racionális
RészletesebbenFÜGGVÉNYEK, SOROZATOK
FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK A FÜGGVÉNYFOGALOM ELŐKÉSZÍTÉSE 1-6. OSZTÁLY Adott szabály követése Szabályfelismerés és szabálykövetés Szabályfelismerés és szabály megadása szöveggel, képlettel EGYENES ÉS FORDÍTOTT
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria
MTEMTIK ÉRETTSÉGI TÍPUSFELDTOK KÖZÉPSZINT Koordináta-gomtria szürkíttt háttrű fladatrzk nm tartoznak az érinttt témakörhöz azonban szolgálhatnak fontos információval az érinttt fladatrzk mgoldásához! 1)
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria II.
Geometria II. Síkidomok, testek: A sík feldarabolásával síkidomokat, a tér feldarabolásával testeket kapunk. Törött vonal: A csatlakozó szakaszok törött vonalat alkotnak. DEFNÍCIÓ: (Sokszögvonal) A záródó
RészletesebbenBOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ SZÓBELI (2012. NOVEMBER 24.) 3. osztály
3. osztály Két szám összege 33. Mennyi ennek a két számnak a különbsége, ha az egyik kétszerese a másiknak? Hány olyan háromjegyű szám van, amelyben a számjegyek összege legalább 25? 4. osztály A Zimrili
RészletesebbenTrigonometria és koordináta geometria
Tantárgy neve Trigonometria és koordináta geometria Tantárgy kódja MTB1001 Meghirdetés féléve I. Kreditpont 4k Összóraszám (elm+gyak) 30+30 Számonkérés módja Gyakorlati jegy (2 zárthelyi dolgozat) Előfeltétel
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten RACIONÁLIS TÖRTFÜGGVÉNYEK INTEGRÁLJA Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat
RészletesebbenÍRÁSBELI FELADAT MEGOLDÁSA
54 523 04 1000 00 00-2014 MAGYAR KERESKEDELMI ÉS IPARKAMARA Országos Szakmai Tanulmányi Verseny Elődöntő ÍRÁSBELI FELADAT MEGOLDÁSA Szakképesítés: 54 523 04 1000 00 00 SZVK rendelet száma: Modulok: 6308-11
RészletesebbenA SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA
A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA TERMÉSZETES SZÁMOK ÉRTELMEZÉSE 1-5. OSZTÁLY Számok értelmezése 0-tól 10-ig: Véges halmazok számosságaként Mérőszámként Sorszámként Jelzőszámként A számok fogalmának kiterjesztése
RészletesebbenAnalízis elo adások. Vajda István. 2012. október 3. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)
Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem / 40 Fogalmak A függvények értelmezése Definíció: Az (A, B ; R ) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármely a A -hoz pontosan egy olyan
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Térgeometria V.
Térgeometria V. 1. Egy 4, 6 dm átmérőjű, 5 dm magasságú, 7, dm sűrűségű hengerből a lehető legnagyobb szabályos nyolcoldalú oszlopot kell készíteni. Mekkora lesz a tömege? Az oszlop magassága a henger
RészletesebbenMATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 12.C ÉS 13.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 31 HÉT/ ÖSSZ 124 ÓRA
MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség kezdete: 2013.09. 01. Oldal/összes: 1/6 Fájlnév:ME-III.1.1. Tanmenetborító SZK-DC- 2013 MATEMATIKA
Részletesebbenú ű ú ű Ó Ú Á ú Ú ú ú ú Ú Ú Ó ú ú Ö ú É ű ú
ű ú ű ű ű É ű ú É É ú Ó Á ú ú Á ú É É ű ű É ú ú ű ú ű ú ű Ó Ú Á ú Ú ú ú ú Ú Ú Ó ú ú Ö ú É ű ú ú ú ú É ú ű ű Ú ú É ű ú ú ú ú ú Á Ú ú Ú ű ú ű ú ú ű ú ú ű ú ú ú Ú ú ú ű ú ú Á ú ú ú ű ú Ú ú ú ú ű ú ú Ú ú ű
RészletesebbenVektoros elemzés végrehajtása QGIS GRASS moduljával 1.7 dr. Siki Zoltán
Vektoros elemzés végrehajtása QGIS GRASS moduljával 1.7 dr. Siki Zoltán Egy mintapéldán keresztül mutatjuk be a GRASS vektoros elemzési műveleteit. Az elemzési mintafeladat során gumipitypang termesztésére
RészletesebbenA szintvonalas eljárásról. Bevezetés
A szintvonalas eljárásról Bevezetés A tetőket építő ács a kötőács napi munkájának része leet a fedélidom - közepelés is. Ennek során megszerkeszti a tető felülnézeti képét, ennek birtokában pedig a további
RészletesebbenA 27/2012 (VIII. 27.) NGM rendelet (12/2013 (III.28) NGM rendelet által módosított) szakmai és vizsgakövetelménye alapján.
A 27/2012 (VIII. 27.) NGM rendelet (12/2013 (III.28) NGM rendelet által módosított) szakmai és vizsgakövetelménye alapján. Szakképesítés, azonosító száma és megnevezése 35 582 03 Hűtő-, klíma- és hőszivattyú
RészletesebbenKooperáció és intelligencia
Kooperáció és intelligencia Tanulás többágenses szervezetekben/2 Tanulás több ágensből álló környezetben -a mozgó cél tanulás problémája (alapvetően megerősítéses tanulás) Legyen az ágens közösség formalizált
RészletesebbenKÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2009. október 20. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. október 20. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Matematika
RészletesebbenTartalomjegyzék. I. A lineáris algebra forrásai 7. 1 Vektorok 11. 2 Lineáris egyenletrendszerek és megoldásuk 53
Tartalomjegyzék I. A lineáris algebra forrásai 7 1 Vektorok 11 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 11 Irányított szakasz, kötött és szabad vektor 11 Vektor magadása egy irányított szakasszal 12 Vektor
RészletesebbenAnalízis előadások. Vajda István. 2013. február 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem
Analízis előadások Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 013. február 10. Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február 10. 1 / 3 Az elemi függvények csoportosítása
RészletesebbenMATEMATIKA HETI 3 ÓRA
EURÓPAI ÉRETTSÉGI 010 MATEMATIKA HETI 3 ÓRA IDŐPONT : 010. június 4. A VIZSGA IDŐTARTAMA : 3 óra (180 perc) MEGENGEDETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor
RészletesebbenEMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint írásbeli
Részletesebbenö ö ö ö ő ö ö ő ö ő ő ő ö ö ő ő ö ö ő ő ű ű ő ő ö ű ő ö ö ő ö ő ö ú ő ö ű ű ő ő ö ű ő ö ö ű ű ő ö ű ő ö ö ű ű ű ű ű ű ű ö ű ő É ö ú ö ö ö ö Ő ö ö ö ö ő ö ö ő ö ö ő ö ö ő ű ö ö ö ö ö ö ő Ö ő ö ö ő ö ő ö
RészletesebbenÉ ő ő ő ő ő ö É ö ő ö ő É ő ú ő ö ő ő ő ö ö ö ő ő ő
É Í É É Ó Ó É É Ő É É Í ő ö ő Ó É É ö ő É ő ő ő ő ő ö É ö ő ö ő É ő ú ő ö ő ő ő ö ö ö ő ő ő ő Ö É É É ö ő ö ü ö ő ü Í É É ő ő ö ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő Í ő ö ő ő É É Í É É É ő ő ü É ö ö ü ő ő ö ő ő ü ü ő
RészletesebbenPitagorasz tételének általánosítása n-dimenzióra
Pitagorasz tételének általánosítása n-dimenzióra Ajánlom ezt az írást Lázárné Kántor Irénnek, a kolozsvári Báthory István Líceum volt matematika tanárának és igazgatójának, aki bevezetett a matematika
RészletesebbenMATLAB. 4. gyakorlat. Lineáris egyenletrendszerek, leképezések
MATLAB 4. gyakorlat Lineáris egyenletrendszerek, leképezések Menetrend Kis ZH MATLAB függvények Lineáris egyenletrendszerek Lineáris leképezések Kis ZH pdf MATLAB függvények a szkriptekhez hasonlóan az
RészletesebbenÚtmutató a vízumkérő lap kitöltéséhez
Útmutató a vízumkérő lap kitöltéséhez A vízumkérő lap ( Visa application form of the People s Republic of China, Form V. 2013 ) az egyik legfontosabb dokumentum, amit a kínai vízumra való jelentkezésnél
RészletesebbenLécgerenda. 1. ábra. 2. ábra
Lécgerenda Egy korábbi dolgozatunkban melynek címe: Karimás csőillesztés már szóltunk arról, hogy a szeezetek számításaiban néha célszerű lehet a diszkrét mennyiségeket folyto - nosan megoszló mennyiségekkel
Részletesebben1. Mintapélda, amikor a fenék lekerekítési sugár (Rb) kicsi
1 Mélyhúzott edény teríték méretének meghatározása 1. Mintapélda, amikor a fenék lekerekítési sugár (Rb) kicsi A mélyhúzott edény kiindulási teríték átmérőjének meghatározása a térfogat-állandóság alapján
RészletesebbenVizuális- és környezetkultúra tanári szak mesterképzés A VIZUÁLIS- ÉS KÖRNYEZETKULTÚRA TANÁR SZAK BEMUTATÁSA UTOLJÁRA INDÍTVA 2016. 09.01.
kultúra szak mesterképzés A VIZUÁLIS- ÉS KÖRNYEZETKULTÚRA TANÁR SZAK BEMUTATÁSA UTOLJÁRA INDÍTVA 2016. 09.01. Célkitűzések: A képzés célja a Képi ábrázolás alapképzésben (Ba) vagy más, a szaktel kompatibilis
RészletesebbenDr. Kulcsár Gyula. Virtuális vállalat 2013-2014 1. félév. Projektütemezés. Virtuális vállalat 2013-2014 1. félév 5. gyakorlat Dr.
Projektütemezés Virtuális vállalat 03-04. félév 5. gyakorlat Dr. Kulcsár Gyula Projektütemezési feladat megoldása Projekt: Projektütemezés Egy nagy, összetett, általában egyedi igény alapján előállítandó
RészletesebbenAz Európai Szabadalmi Egyezmény végrehajtási szabályainak 2010. április 1-étől hatályba lépő lényeges változásai
DANUBIA Szabadalmi és Védjegy Iroda Kft. Az Európai Szabadalmi Egyezmény végrehajtási szabályainak 2010. április 1-étől hatályba lépő lényeges változásai A Magyar Iparjogvédelmi és Szerzői Jogi Egyesület
RészletesebbenJAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
EMIR azonosító: TÁMOP-3..8-09/-00-0004 MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 4 ÍRÁSBELI VIZSGA Ideje: 04. április 4. JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatási Hivatal Cím: H 055 Budapest, Szalay u.
RészletesebbenJ E G Y Z Ő K Ö NY V. Készült: Buj község Kisebbségi Önkormányzat Testületének 2010. október 28-án megtartott üléséről.
J E G Y Z Ő K Ö NY V Készült: Buj község Kisebbségi Önkormányzat Testületének 2010. október 28-án megtartott üléséről. Jelen vannak: Csikós Árpádné elnök, Csikós Árpád, Bancsók Elemér képviselők. Tanácskozási
RészletesebbenA táblázatkezelő felépítése
A táblázatkezelés A táblázatkezelő felépítése A táblázatkezelő felépítése Címsor: A munkafüzet címét mutatja, és a program nevét, amivel megnyitottam. Menüszalag: A menüsor segítségével használhatjuk az
RészletesebbenIKU WORLD KOCKA Játékszabály. IKU WORLD Gondolkodásfejlesztő Vállalkozás
NN IKU WORLD KOCKA Játékszabály MAGYAR OLASZ IKU WORLD Gondolkodásfejlesztő Vállalkozás IKU WORLD KOCKA Logikai társasjáték Egy új játék, melyet sokféleképpen lehet használni: kirakójáték, társasjáték,
RészletesebbenJelentéskészítő TEK-IK () Válaszadók száma = 610
Jelentéskészítő TEK-IK () Válaszadók száma = 0 Általános mutatók Szak értékelése - + átl.=. Felmérés eredmények Jelmagyarázat Kérdésszöveg Válaszok relatív gyakorisága Bal pólus Skála Átl. elt. Átlag Medián
RészletesebbenHallgatói Elégedettségi Kérdőív
Hallgatói Elégedettségi Kérdőív Kérjük, töltse ki az elméleti képzésre vonatkozó kérdőívünket és küldje vissza nekünk a facetofacejogsi@gmail.com e-mail címre. Köszönjük, hogy véleményével hozzájárul magasabb
RészletesebbenÖ Ü Ú Ö ű ű Ö ű ű ű ű Ú
Ö ű ű Ö ű Ó Ó Ö Ü Ú Ö ű ű Ö ű ű ű ű Ú ű Ó ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ó Ó ű ű ű ű ű Ú ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ö Ó ű ű Ü ű ű Ü ű Ö ű Ú Ü Ú ű ű Ü ű ű ű ű ű ű ű Ö Ö ű ű ű Ó ű Ö Ö Ü ű Ö ű ű ű ű ű ű ű ű Ö ű ű ű
Részletesebben