Mester László. Szemcsés anyagok új fizikai-mechanikai elmélete

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Mester László. Szemcsés anyagok új fizikai-mechanikai elmélete"

Átírás

1 Mester László Szemcsés anyagok új fizikai-mecanikai elmélete 9

2 - - Tartalomjegyzék Bevezetés 3 A szemcsés anyag mint külön almazállapot 4 A szemcsés anyag almazállapotokkal összefüggő tulajdonságai 6 A szemcsés anyag mint anyagi állapot 1 Koézió nélküli szemcsés anyagok fizikai-mecanikai alaptörvényei 13 I törvény 14 II törvény 14 III törvény 16 IV törvény 3 Feszültségek a koézió nélküli szemcsés anyagokban 5 Aktív feszültségi állapot 3 Az aktív feszültségi állapot kialakulása 3 Függőleges támfalra ató nyomás 35 Boltozatképződés szemcsés anyagokban 38 A boltozat kialakulásának feltétele 38 A kifolyás jellege 43 A boltozat kialakulásának mecanizmusa 45 A boltív geometriai egyenlete 46 A garatméretezés elve 48 Kísérleti eredmények 51 Feszültségek a koéziós szemcsés anyagokban 53 Oldalnyomás 53 Szabad rézsű ajlásszöge 57 Aktív feszültségi állapot 6 Összefoglalás 67 Felasznált irodalom 71

3 - 3 - Bevezetés A szemcsés anyagok fizikai-mecanikai elméleti kutatását a XVIII század óta Coulomb majd Rankine munkája nyomán az jellemzi ogy a szilárd testekre levezetett feszültséganalízis módszerét alkalmazzák Mások a viszkózus folyadékok asonlóságait vélik megtalálni a szemcsés anyagokban és azok törvényszerűségeivel írják le az anyag fizikai viselkedését Véleményem szerint kontinuumokra levezetett tételek többsége a szilárd elkülönült szemcsékből álló almazra nem alkalmazató Kiindulásként csak olyan természeti törvények veetők figyelembe melyek az egyetemes anyagra egyaránt érvényesek Jelen munka szakítva az eddigi szemléletmóddal új nézőpontból kívánja megragadni a szemcsés anyagok fizikai-mecanikai összefüggését Ebből következik ogy nem tűzte ki célul a témakörben született elméletek kritikai elemzését iszen azoktól függetlenül került sor az új alapok megatározására A kontinuum szemlélettel ellentétben az egyes szemcsék egyensúlyi elyzetét illetve mozgási állapotát vizsgálva egyszerű kísérletekre valamint a newtoni törvényekre és egy tapasztalati törvényre a súrlódás törvényére épül ez az új elmélet

4 - 4 - A szemcsés anyag mint külön almazállapot A természetben előforduló anyagok fizikai megjelenési formái igen változatosak A Föld felszínének legnagyobb részét óceánok tengerek tavak borítják azaz vizek A szárazföld változatosabb: sziklás egygerinceket lankás talajjal takart felszíneket és omokbuckás sivatagokat találunk Helyenként a felszínt a téli idegben ó vagy jég takarja A felszín felett pedig szél fúj vagy épp szélcsend van azaz a levegőt érzékeljük Ránk a nap melege süt és tudjuk ogy a Nap belsejében megint más anyagi állapot találató A Föld felszínének legnagyobb részét beborító víz megjelenési formája önmagában is változatos Normál őmérsékleten és nyomáson folyékony de a őmérséklet emelkedésével egyre gyorsabban párolog és gőz lesz belőle Köd vagy felő keletkezik A gőz a megfagy és kicsapódik a idegben ó ullik szemcsés anyaggá almozódik Ha a ó elolvad folyadék keletkezik mely a megfagy szilárd jéggé fagy Azaz a víz előfordulat: folyadék gőz (légnemű) ó (szemcsés) és jég (szilárd) állapotban Mindegyik formájában más-más jellemző tulajdonságokkal rendelkezik és más-más törvényszerűségek szerint viselkedik A fizika az anyag főbb megjelenési formáit a almazállapot szerinti csoportosítással választja el: plazmaállapot gáz folyadék és szilárd almazállapot Egyes anyagfajták nem szorítatók be egyetlen merev almazállapot kategóriájába sem mert két vagy több állapot tulajdonságait is magukon viselik Ezek az anyagok viszont a asonló almazállapotú anyagtörvényekre visszavezetve íratók le A szemcsés anyag az említett négy almazállapot egyikébe sem sorolató Az anyag

5 - 5 - fizikai-mecanikai tulajdonságai pedig nem teszik leetővé ogy egy vagy több almazállapot fizikai törvényeivel sikeresen írjuk le viselkedését A szemcsés anyag olyan nagyszámú egymással érintkező szilárd testek almaza aol a szemcsék mint a almaz alkotó elemei a reá ató erők mellett megtartják alakjukat és a szemcsék között esetlegesen fellépő koéziós erő lényegesen kisebb mint a szemcsék belsejében ató összetartó erő A szemcsés anyagok összefüggő fizikai rendszere iányzik csupán egyes lényeges elsősorban talajmecanikai problémák elméleti feldolgozása ismeretes Ezen kérdések megoldására sok és egymásnak ellentmondó eredményre vezető elméletet alkalmaznak melyek között egységes fizikai alapokon nyugvó kapcsolat vagy nincs vagy vitatató A szemcsés anyagokkal foglalkozó mecanikai elméletek többsége a szilárd testekre levezetett feszültséganalízis módszerét alkalmazza mely módszer eleve feltételezi ogy a szemcsés anyag szilárd almazállapotú kontinuum Van olyan felfogás ogy a szemcsés anyagok a viszkózus folyadékok törvényeivel közelítetők viszkoelasztikus vagy elasztoviszkoplasztikus anyagként viselkednek A bonyolult elméleti megoldások egyes mecanikai feladatok megoldásáoz ugyan közelítő eredményt szolgáltatnak de az anyag viselkedésének általános és megbízató leírásáoz nem alkalmazatók A szemcsés anyagok almazállapoti megítélése nem egyértelmű Ezt tükrözi ogy elnevezése sem egységes például szóródó porszerű ömlesztett szilárd szemes szemcsézett szemcsés darás dercés stb anyagnak nevezik A szemcsés anyag fizikai viselkedése és tulajdonságai olyan minőségi eltérést mutatnak a többi almazállapotban előforduló anyagoktól ogy azok között önálló kategóriát képviselnek A szemcsés anyag idealizált fogalma leetővé teszi az anyag fizikai viselkedésének tulajdonságainak és származtatásának egyszerűsített magyarázatát asonlóan a tökéletes gázok ideális folyadékok és kristályos szilárd anyagok esetében alkalmazott feltételezésekez Ideális szemcsés anyag az anyag tömegéez viszonyított kicsi de nagyszámú szilárd testek (szemcsék) olyan almaza aol a

6 - 6 - szemcsék között vonzerő nem at és közöttük Coulomb súrlódási törvénye érvényesül A szemcsés anyag almazállapotokkal összefüggő tulajdonságai A almazállapot szerinti kategorizálás alapját az anyag alakjának és térfogatának önállósága képezi A árom klasszikus almazállapot jellemző ismérve teát - gázok: önálló alakkal és térfogattal nem rendelkeznek; - folyadékok: önálló alakkal nem de önálló térfogattal rendelkeznek; - szilárd testek: önálló alakkal és térfogattal rendelkeznek Az önálló alak és térfogat kérdésében a szemcsés anyagra az a jellemző ogy: - részben önálló alakja van a szemcsés almaz rézsűszögében megáll de rézsűszöge alatt a tárolóedény alakját veszi fel E tulajdonsága a folyadékok és a szilárd testek közé elyezi - részben önálló térfogata van de korlátozott mértékben összenyomató A szemcsés anyag kompresszibilitása a gázok és a szilárd testek összenyomatósága között elyezkedik el Az anyagok almazállapotával összefüggő anyagszerkezeti kutatások az alak- és térfogattartás okát az alkotóelemek tulajdonságaiban és kölcsönatásában találta meg Ezért a modern fizika a almazállapotok megatározásánál az anyagra jellemző legkisebb alkotó elemek mozgási állapotát egymásoz viszonyított elyzetét és kölcsönatását veszi figyelembe Ez tette leetővé ogy a árom klasszikus almazállapot mellett egy negyediket a plazmaállapotot is elfogadta a természettudomány Szükségesnek látszik angsúlyozni az anyagra jellemző legkisebb alkotó elemek kifejezést mert ez a almazállapotok megatározásánál alapvető fontosságú Teát - a plazmaállapotú anyagot a molekulák vagy atomok szétesett részei az atomvagy molekulaionok és az elektronok alkotják A plazmaállapotot az atom- vagy molekulaionok és elektronok kölcsönatásai jellemzik de nem az atom vagy molekula egyéb részei

7 a gázalmazállapotú anyag tulajdonságait a gázmolekulák nemesgázok esetén atomok kölcsönatásai szabják meg - a folyadékoknál szintén az atomok illetve molekulák mozgása és egymásoz való viszonya a döntő Víz esetében nem a idrogén vagy oigén atomok és nem a vízcseppek anem a H O molekulák kölcsönatásai determinálják a folyadékot - kristályos szilárd test esetében a rácspontokban elelyezkedő atomok molekulák vagy ionok atásviszonyaival magyarázatók a szilárd almazállapotú anyag tulajdonságai és nem pl az elemi kristályok illetve krisztallitok kölcsönatásaival és nem a rácspontokban elelyezkedő molekulák felépítésében résztvevő atomok és annak részeinek egyedi tulajdonságaival - szemcsés anyag esetében az anyagra jellemző legkisebb alkotóelem a szemcse Az atomi részek az atomok vagy molekulák melyekből a szemcsék felépülnek nem közvetlen jellemzői legalábbis nem fizikai értelemben vett jellemzői az anyagnak éppen úgy nem mint aogy a gázoknál és folyadékoknál sem az atomok vagy molekulák felépítésében részt vevő atomi részek illetve atomok egyedi fizikai tulajdonságai és kölcsönatásai jellemzik az anyagot A árom klasszikus almazállapot főbb jellemzői az alábbiakban foglalatók össze: Gázalmazállapot: A gázok molekulái nemesgáz esetében atomjai a rendelkezésükre álló térben szabadon mozognak a véletlen törvényszerűségei szerint egymással rugalmasan ütköznek A gázok alkotóelemei saját méreteikez viszonyítva igen nagy átlagtávolságra elyezkednek el egymástól egymásra erőatást csak nagyon kis mértékben gyakorolnak Tökéletes gázokban az erőatástól eltekintetünk A molekulák transzlációs rotációs és vibrációs mozgást végeznek A gázok a rendelkezésükre álló teret egyenletesen kitöltik teát önálló alakkal és térfogattal nem rendelkeznek Folyékony almazállapot: A folyadékra jellemző legkisebb alkotóelemek az atomok illetve molekulák között ató erők elég nagyok aoz ogy a őmozgásból adódó eltávolodásukat egymástól meggátolják de nem elég nagy aoz ogy elyváltoztatásukat megakadályozzák A molekulák a gázokéoz viszonyítva kis transzlációs mozgással rendelkeznek miközben rotációs és vibrációs mozgást is végeznek Az alkotóelemek mozgásuk és közelségük következtében állandóan

8 - 8 - rugalmasan ütköznek egymással teát egymással érintkeznek ezért a folyadékoknak állandó térfogatuk van A molekulák között ató vonzóerő a földi gravitációs erőtérez viszonyítva olyan kicsi ogy az önálló alakképzésez nem elegendő így a folyadékok önálló alakkal nem rendelkeznek Szilárd almazállapot: A szilárd testben az anyagra jellemző legkisebb alkotóelemek az atomok molekulák vagy ionok Helyzetük kötött kristályos szerkezetben geometriailag megatározott csak rezgőmozgást végeznek Az alkotóelemekre nagy erők atnak melyek meggátolják a tartós eltávolodást egyensúlyi elyzetükből Ezért a szilárd testeknek önálló alakjuk és térfogatuk van A szemcsés anyag a árom klasszikus almazállapot főbb almazállapoti jellemzőitől lényeges eltérést mutat Az ideális szemcsés anyag alkotóelemei a szemcsék relatív nyugalomban vannak Az alkotóelemek között vonzóerő nem at az anyagot a gravitációs erőből származó nyomó- és a szemcsék felületén ébredő nyíróerők - nyugvó súrlódó erők tartják almazban Az erőatások következtében az ideális szemcsés anyag rézsűszögéig megáll teát önálló alakkal csak részben rendelkezik A szemcsés anyag alkotóelemei állandó érintkezésben vannak ezért nyugalom esetén térfogata állandó Nyomás atására az anyag tömörödik a szemcsék kedvezőbb elykitöltésű elrendezést foglalnak el A szemcsés anyagok a gázokoz képest kicsi de a szilárd anyagokoz képest nagy kompresszibilitással rendelkeznek Az ideális szemcsés anyag jellemzői az egyes almazállapotok főbb tulajdonságaitól az alábbi lényeges eltérést mutatják: - gázalmazállapottól: az alkotóelemek egymással állandó érintkezésben vannak és saját térfogattal rendelkezik; - folyékony almazállapottól: részben önálló alakja van; - gáz- és folyékony almazállapottól: az alkotóelemek relatív ütközésmentes nyugalomban vannak és bennük nyugvó súrlódó erő nyíróerő ébred; - szilárd almazállapottól: az alkotóelemek között nincs vonzóerő ezért önálló alakkal csak részben rendelkeznek

9 - 9 - A szemcsés anyag az anyagi almazállapotok lényegét érintő tulajdonságaiban olyan minőségi eltérést mutat mely külön almazállapotként definiálását indokolja Az anyagi almazállapotok idealizált esetének rövid lényeget érintő a teljesség igénye nélküli megatározása az alábbiakban foglalató össze Tökéletes gáz: egymástól távol mozgó de véletlenszerűen rugalmasan ütköző egymásra erőatást nem gyakorló molekulák (nemesgázoknál atomok) rendezetlen almaza Ideális folyadék: egymásoz közel mozgó és folyamatosan rugalmasan ütköző molekulák almaza Kristályos szilárd: vibráló atomok molekulák vagy ionok nagy erővel elyez kötött rendezett almaza Ideális szemcsés: egymással állandóan érintkező relatív mozdulatlan szemcsék olyan almaza melyben az alkotóelemek közötti erőatás a gravitációs súlyerőből származó nyomó- és az azzal arányos súrlódó erőből tevődik össze közöttük koéziós erő nincs A szemcsés anyag külön almazállapot szerinti felfogása elsősorban mecanikai szempontból fontos (A almazállapot szerinti kategorizálás alapja is mecanikai eredetű: az alak- és térfogattartás oka az alkotóelemek közötti erőatásból vezetető le) Az anyagi almazállapotok mecanikai tulajdonságai egymástól megkülönböztető lényegi eltérést mutatnak: - a gázok a nyomásnövekedést térfogatuk jelentős csökkenésével követik (a térfogat és a nyomás szorzata állandó őmérséklet mellett konstans) teát nyomófeszültséget csak részben a térfogatváltozás rovására képesek elviselni A tökéletes gázokban az alkotóelemek közötti vonzóerő nem lép fel ezért úzófeszültség az anyagban nem ébredet A nyugvó nem áramló gázokban nyírófeszültség nem ébred - a folyadékok kis kompresszibilitással rendelkeznek mecanikai szempontból összenyomatatlannak tekintetők ezért nyomófeszültség elviselésére képesek A molekulák között ató vonzóerő az egymással állandóan ütköző molekulák eltávolodását megakadályozza Egyensúlyi illetve stabil elyzet csak adott külső nyomás mellett jön létre azaz mecanikai szempontból a folyadék úzófeszültséget nem képes elviselni (p = nyomás közelében a folyadék megszakad molekulái

10 - 1 - szétrepülnek és gázalmazállapotba jutnak) Ideális folyadékokban súrlódás nincs valóságos folyadékok belsejében nyugvó súrlódás szintén nem ébred - a szilárd testek összenyomatatlannak tekintetők és alkotóelemei jelentős erővel kapcsolódnak egymásoz ezért úzó- nyomó- és nyírófeszültségek elviselésére képesek - az ideális szemcsés anyag kompresszibilitása kicsi így nyomófeszültség elviselésére képes A koézió nélküli szemcsés anyagban a nyomófeszültség mellett csak nyírófeszültség ébred az anyagban úzófeszültség nem lép fel A szemcsés anyag mint anyagi állapot A szemcsés anyag külön almazállapot szerinti felfogását nemcsak az egyéb almazállapotoktól eltérő fizikai tulajdonságai indokolják anem az is ogy a szemcsés anyag az anyag egyik megjelenési formája azaz az anyagnak egyik megatározott állapota A szemcsés anyag mint az anyag egész tömegéez viszonyított kicsi de nagy számú szilárd testek almaza többnyire nagy méretű szilárd anyag mecanikai aprításával aprózódásával keletkezik Keletkezése azaz az anyag szemcsés állapotba ozása azonban nemcsak mecanikai úton leetséges mintogy a természetben előforduló szemcsés anyagok sem csak mecanikai aprózódással jönnek vagy jöttek létre A szemcsés anyag termodinamikailag is előállítató Ismeretes ogy a a folyadék molekuláinak kinetikai energiája egy küszöbértéket megalad akkor gázalmazállapotba jut míg a egy másik küszöbérték alá süllyed akkor szilárd almazállapotba kerül és megindul a kristályosodás A almazállapotokat jellemző termodinamikai állapotatározók küszöbértékei például p t (nyomás őmérséklet) diagramban ábrázolatók Az 1 ábrán a H O p t diagramja látató A p t diagram ármaspontját és az origót összekötő görbe a szublimációs görbe A szilárd almazállapotú jég fázisból a gáz almazállapotú gőz fázisba például nyomáscsökkenéssel a szublimációs görbe átlépésével jut az anyag Gőz fázisból viszont visszafelé átlépve a szublimációs görbét nem jég anem szemcsés almazállapotú ó keletkezik A szemcsés anyag víz esetében a ó

11 lokális gócokban keletkező kristályosodás eredményeként jön létre A folyamat lokális kristályosodásnak nevezető melynek fizikai magyarázata abban van ogy a kis sebességgel (alacsony őmérsékleten) transzlációs mozgást végző molekulák a 1 ábra A H O p - t diagramja van der Waals féle erők vonzási körét nem képesek elagyni például őelvonás következtében - teát a molekulák transzlációs mozgása megszűnik A molekula párba újabb molekulák ütközvén azokat fogva tartva kristályrácsot alkotnak majd a növekvő kristályok ozzák létre a szemcséket A gázalmazállapotban lévő molekulák sűrűsége a szilárd almazállapot molekulasűrűségéez viszonyítva nagyon kicsi ezért az egymástól relatív távol lokálisan kialakuló kristályosodási folyamat elkülönülő szemcsék sokaságát ozza létre melyek lecsapódva szemcsés almazt képeznek Állandó őmérsékleten gáz fázisból szemcsés fázisba őelvonás mellett jutatunk mely az olvadáső és párolgáső összege A almazállapotok a p t diagram fázisatárain változnak Ha a szublimációs görbét a szilárd fázisból a gáz fázis irányába lépi át az anyag gázt kapunk viszont megfordítva gáz fázisból átlépve a görbét szemcsés anyagot nyerünk Teát a fázisatárok átlépésének iránya szerint a almazállapotok a következők:

12 - 1 - gáz lokális kristályosodás szemcsés olvadás folyadék párolgás gáz; viszont ellenkező irányban: gáz kondenzálás folyadék fagyás szilárd szublimálás gáz Szemcsés fázisból szilárd fázisba azonos fázisatár kétszeri átlépésével jutunk: szemcsés olvadás folyadék fagyás szilárd Folyadék fázisból szemcsés anyag közvetlenül is létreozató a túlűtött folyadékba egyszerre sok egymástól közel azonos távolságban levő kristálygócot juttatunk A kristálygócokból kiinduló kristálynövekedéseket a szomszédos kristályok akadályozzák meg melyek geometriai kristály elelyezkedése nem szimmetrikus vagy egybevágó ezért a kristályok között rácserők nem vagy csak elvétve lépnek fel azaz az egyes szemcsék belső koéziós ereje lényegesen nagyobb a szemcsék között esetlegesen ató koéziós erőknél A szemcsés anyag alapvető fizikai tulajdonságai lényegesen eltérnek a kémiailag azonos de szilárd folyékony vagy gáznemű állapotú anyagétól Térfogatsúlya fénytörési ő- és angtani elektromos mecanikai stb tulajdonságai és viselkedése valamint az a tény ogy a legtöbb anyag szemcsés állapotba ozató a szemcsés anyag külön almazállapotkénti megatározását indokolja

13 Koézió nélküli szemcsés anyagok fizikaimecanikai alaptörvényei I Koézió nélküli szemcsés anyagokban csak nyomó- és nyírófeszültségek ébredetnek II Nyugalomban levő koézió nélküli szemcsés anyagokban a függőleges irányú nyomófeszültségek által ébresztett feszültségek a függőleges iránytól mért 9 zónában lefelé atnak ( az anyag súrlódási szöge) III A koézió nélküli szemcsés anyag önsúlyából származó oldalnyomás értéke a mélység () és térfogatsúly (γ) szorzatának fele ( ) iránya a vízszintestől az anyagban ébredő súrlódási szöggel lefelé tér el a a felszín vízszintes és az adott mélység felett az anyag a vízszintessel szöget bezáró teret egyenletesen kitölti IV A koézió nélküli szemcsés anyagok mindaddig megtartják az őket jellemző fizikai-mecanikai törvényeket amíg alkotó elemeik a szemcsék megőrzik relatív nyugalmukat Amint a szemcsék relatív mozgásba kerülnek egymással ütköznek - a szemcsés anyagok a folyadékok fizikai-mecanikai törvényei szerint viselkednek A koézió nélküli szemcsés anyagok fizikai-mecanikai törvényei statisztikai jelleggel érvényesülnek mert maga az anyag különböző szemcsék sokaságából áll

14 I törvény Az I törvény a koézió nélküli szemcsés anyagok fizikai-mecanikai definíciója Az ideális folyadékokban csak nyomófeszültségek ébrednek a koézió nélküli szemcsés anyagok csak nyomó- és nyírófeszültségek míg a szilárd testek nyomó- nyíró- és úzófeszültségek elviselésére képesek A koézió nélküli szemcsés anyagok a szilárd testektől abban különböznek ogy úzófeszültséget nem képesek elviselni az ideális folyadéktól viszont abban ogy bennük nyírófeszültségek is ébrednek A folyadékok alkotóelemei ugyanakkor állandó relatív mozgásban vannak egymással ütköznek - míg a szemcsés anyagok alkotóelemei a szemcsék relatív nyugalomban vannak II törvény A II törvény a függőleges irányú nyomófeszültségek terjedésének irányát fogalmazza meg Kísérleti igazolását a szabad rézsű természetes állékonysága nyújtja ( ábra) ábra A rézsű lapján lévő szemcse egyensúlyi atárelyzete

15 A szemcsékből álló almazban a függőleges nyomófeszültséget a szemcsék önsúlya ozza létre Ha a rézsű lapján elelyezkedő A jelű szemcsére - mely az egyensúly atárelyzetében van - a függőleges irányoz viszonyítva 9 -nél nagyobb szögben mutató feszültségvektor atna a rézsű belsejéből akkor a szemcse elvesztené egyensúlyi elyzetét és lecsúszna 3 ábra A függőleges irányú nyomófeszültségek által ébresztett feszültségek a vízszintessel -nél nagyobb szöget zárnak be A II törvény elyességét további kísérletek bizonyítják (3 ábra) Amennyiben az A jelű szemcsére a vízszintesez képest szögnél kisebb szöget bezáró nyomófeszültség atna úgy a természetes rézsű ajlásszöge -nél kisebb lenne Ha a függőleges irányú nyomófeszültség például vízszintes feszültséget indukálna úgy az a rézsű lapján lévő szemcséket lelökné Az anyag elterülne és a 4 ábra szerinti alakot venné fel Ez azonban nem áll fenn 4 ábra Ha a nyomófeszültségek vízszintes feszültségeket indukálnának akkor a szemcsés anyag elelyezkedésének ilyennek kellene lenni

16 III törvény A III törvényben foglaltak szerinti esetekben az oldalnyomás és iránya a vízszintestől az anyag belsejében ébredő súrlódási szöggel lefelé tér el Bizonyítása a következő: 5 ábra Vízszintes térszín végtelen térnegyede Az 5 ábra végtelen kiterjedésű vízszintes felszínű koézió nélküli szemcsés anyagalmaz két egymásra merőleges függőleges síkkal elméletileg kimetszett részét mutatja (teát a vízszintes térszín végtelen térnegyedét ábrázolja) mely a mecanikai vizsgálatok síkbeli elvégzésének leetőségét biztosítja A II törvény szerint az AB szakasz alóli anyagrészből csak az AB sík feletti anyagrész által kiváltott reakciófeszültségek atatnak az OA síkra Amennyiben az OAB áromszögben találató szemcsés anyagot elvennénk a vízszintesez szögben ajló AB természetes rézsűszögben az anyag megállna Az OA síkra teát csak az OAB térrészben elelyezkedő szemcsés anyag önsúlyából származatnak a feszültségek Az AB síkon egyensúlyi atárelyzet áll fenn a ajlásszögű lejtőn tg súrlódási tényezővel rendelkező anyag még éppen nem csúszik le

17 Amennyiben a lejtőszöget egy igen kis értékkel megnövelnénk akkor a felette levő anyag egyenletesen gyorsuló mozgással lecsúszatna a ajlásszögű lejtőn azaz a tömegével és gyorsulásával egyenes arányú erőatást gyakorolna az OA síkra A szemcsés anyag jellegéből fakadóan végtelen sok ajlásszögű lejtő létezik mely feletti anyagok súlya a szöggel növelt lejtőkön fejtik ki az AO síkra ató lejtő irányú feszültségeket Az 5 ábra szerint a Δ-val növelt mélység eredményeként létrejövő ajlásszögű lejtőn az ADC szemcsés anyag a lejtőre önsúlyával (ΔG) és a felette levő anyag súlyával (G) neezedik Az ADC anyagmennyiség a Δ szakaszon támaszkodik meg A Δ felületszakasz lejtőre merőleges vetülete F cos( ) Tekintve ogy a Δ igen kicsi ezért ott a feszültségeloszlás egyenletesnek tekintető így az ott ébredő lejtő irányú feszültségre felírató: Az egységnyi osszúságú térrészben a ( G G)(sin cos ) F és azaz továbbá G ctg 1 G cos sin G ctg F cos( ) Az egyenletben szereplő ( sin cos ) is kifejezető: sin( ) tg cos( ) sin sin cos cos sin (cos cos sin sin ) cos sin cos sin sin cos sin (cos sin ) cos

18 sin cos A G ΔG ΔF és sin cos értékeit a -ra felírt összefüggésbe elyettesítve: cos sin ctg sin cos cos( ) sin ctg( ) cos cos( ) cos sin ( ) sin cos (cos cos sin sin ) cos sincos sin sin sin cos sin tg de tg az 5 ábra ACE áromszögéből kifejezető: tg tg cos sin sin sin cos sin ezért sin cos sin sin cos sin sin sin

19 a Δ igen kicsi azaz Δ akkor α teát azaz a feszültség iránya a vízszintessel szöget zár be Teát azaz lim A levezetés eredményeként megállapítató ogy a feszültségeloszlás a mélység függvényében lineáris Klasszikus értelemben vett feszültségről a szemcsés anyagok esetében azonban nem beszéletünk mivel a szemcsék érintkezési pontjain keresztül adják át az erőatásokat azaz egy-egy ponton nem az adott irányra merőleges felületen Nem felületen mert az anyag diszkontinium és a szemcsék csak pontokon érintkeznek egymással A feszültség értelme így egy felületre jutó átlagerőként értelmezető és ezek az átlagerők adódnak át egyik szemcséről a szomszédos szemcsékre Ezen erők iránya és nagysága egy adott felületen statisztikai átlagként érvényesül 6ábra A fal melletti szemcsére ató átlagerő felbontása vízszintes és függőleges összetevőre Vizsgáljuk meg ogy az imént levezetett a vízszintessel szöget bezáró feszültség egy függőleges falra mekkora erőatást gyakorol A 6 ábrán feltüntetett

20 - - szemcsére- melyet oldalról egy súrlódásmentes függőleges fal támaszt meg a szomszédos szemcséktől az érintkezési pontokon keresztül erőatás érkezik Ezen erőatás eredője egyezzen meg a F1 felületre számított feszültség szorzatával azaz az erre a szemcsére ató nyomóerő nagyságát és irányát tekintve megfelel ezen szemcsés anyag ebben a mélységében rá ató erő statisztikai átlagának Ez a szemcse nyomja a függőleges súrlódásmentes falat F F vízszintes irányú erővel a falszakaszon az érintkezési ponton A F y 3 függőleges irányú erőt az alatta lévő szemcse illetve szemcsék veszik fel A F1 F és F3 szakaszok statisztikai átlagban egyenlő felületek mert a szemcsék alakját és elelyezkedését tekintve statisztikai átlagban gömbök a gömbök bármely irányban vett vetületei pedig azonos nagyságú felületek (Ha egy szemcsés anyag például rizs osszúkás szemcsékből áll a szemcsék véletlenszerű elelyezkedésére való tekintettel azok bármely irányra vett vetületének átlaga kör azaz statisztikai átlagban a szemcsék gömbnek tekintendők) Teát a 6 ábra vektoráromszögére felírató F F 1 cos de mivel így F 1 F cos A fenti megfontolás eredményéből következik ogy a szemcsés anyagban a feszültségek egy adott felületre számított átlagerők vektoriálisan felbontatók illetve összegezetők A cos egyenletből a nyugalmi nyomás tényezőjét a elyettesítések után megkapjuk azaz y így y cos cos A nyugalmi nyomás levezetésénél eddig csak a vízszintessel szöget bezáró irányra merőlegesen ató és önsúlyból származó feszültségek által keltett

21 - 1 - nyírófeszültségeket vettük figyelembe A vízszintes irányú feszültségkomponensek - cos - által kiváltott y nyírófeszültségek a függőleges irányú γ feszültségeket csökkentik azaz így y cos tg -vel y sin cos cos y sin Tekintettel arra ogy a szemcsés anyag belsejében felvett OA elméleti síkra (5 ábra) feszültségek párosával atnak ezért a függőleges irányú γ feszültségek y -nal csökkennek teát y y azaz illetve y sin ( 1 sin) y Teát a nyugalomban levő koézió nélküli szemcsés anyag belsejében ató feszültségek ábrája megszerkesztető (7 ábra) 7 ábra Nyugalmi elyzetben ató feszültségek Amennyiben az 5 ábra szerinti OA sík a szemcsés anyag belsejében felvett elméleti sík akkor ott a súrlódás szöge Ebben az esetben az OA sík mindkét oldalára

22 - - a vízszintessel szöget bezáró nyomófeszültség at (7 ábra) Az OA síkon a -k elvileg vízszintes és függőleges komponensekre bontatók (8 ábra) A vízszintes összetevők cos értékűek merőlegesek az OA síkra és kielégítik az akció-reakció törvényét A függőleges feszültségkomponensek pedig kölcsönösen az OA síkra szimmetrikusan a függőleges feszültségeket γ-ra egészítik ki y 8 ábra Nyugalmi elyzetben a vízszintes és függőleges feszültségi összetevők Amennyiben az 5 ábra szerinti OA sík súrlódásmentes fal akkor az csak vízszintes feszültséget képes felvenni azaz vízszintes összetevőjét ami cos Ugyanakkor a függőleges összetevője az OAB anyag függőleges feszültségkomponensét γ-ra egészíti ki Ha az OA sík érdes valóságos merev fal mely az OAB anyagmennyiség megtámasztására szolgál akkor a nyugalmi nyomás kialakulása a következők szerint értelmezető Az OAB anyagmennyiségnek az OA fal mögé történő feltöltését követően nem alakul ki azonnal a értéke mert a ferde feszültségatás illetve a falon ébredő súrlódás miatt az OA síkon súlyerő-felvétel valósul meg A súlyerő-felvétel

23 - 3 - következtében az AB síkra ató erő csökken ez így nem képes létreozni a értékű AB irányú feszültségeket A frissen betöltött anyag konszolidációs mozgásának befejeztével nyugalomba jut A nyugalom eredményeként a falon ébredő súrlódás nullára csökken teát a feszültségek vízszintes és függőleges összetevőjükre bomlanak A függőleges összetevők az OAB anyagban a függőleges irányú feszültségkomponenseket γ-ra illetve az OAB anyag súlyát ctg -re egészítik ki Ekkor az OA falra a feszültség vízszintes összetevője at Teát a nyugalmi nyomás vízszintes összetevője: és így a nyugalmi nyomás tényezője (λ): cos cos IV törvény A IV törvény kísérletileg bizonyítató A 9 ábrán bemutatott kísérlet eredményeként a szemcsék ütközése következtében a szemcsés anyag a közlekedő edények törvényei szerint viselkedik 9 ábra a) nyugalmi elyzet b) vibráció eredményeként kialakult elyzet

24 - 4 - A 1 ábrán a γ térfogatsúlyú szemcsés anyagba elyezett γ 1 nagyobb és γ kisebb térfogatsúlyú test a vibráció illetve szemcsék ütközése eredményeként az edény aljára süllyed illetve a szemcsés anyag felszínén úszik teát érvényesül Arcimedes törvénye 1 ábra a) nyugalmi elyzet b) vibráció eredményeként kialakult elyzet A vibráció következtében a szemcsés anyag alkotóelemei a szemcsék egymásoz ütköznek és ennek atására bennük a nyomás minden irányban γ-ra változik

25 - 5 - Feszültségek a koézió nélküli szemcsés anyagokban A III törvény bizonyítási eljárásánál függőleges síkkal kimetszett vízszintes felszínű térnegyed vizsgálatát végeztük el Ha ez a sík a függőlegesez képest az anyag felé dől a vízszintessel β szöget zár be - és a felszín vízszintes akkor a korábbi levezetést általánosítva megatározató ogy ezen almaznak mekkora az oldalnyomása a β szögű síkban 11 ábra Vízszintes térszín ferde síkkal atárolt végtelen térnegyede

26 - 6 - A 11 ábra jelöléseit felasználva a Δ-val növelt mélység eredményeként létrejövő ajlásszögű lejtőn az ADC szemcsés anyag lejtőre önsúlyával (ΔG) és a felette levő anyag súlyával (G) neezedik Az ADC anyagmennyiséget lecsúszás ellen a Δ szakasz támasztja meg Tekintve ogy a Δ igen kicsi ezért ott a feszültségeloszlás egyenletesnek tekintető így az ott ébredő lejtő irányú feszültségre felírató: ( G G)(sin cos ) F aol a ΔF a Δ felületszakasz lejtőre merőleges vetülete 1 ábra A 11 ábra részlete 13 ábra A 11 ábra F részlete Az egyenletben szereplő G ΔG és ΔF egységnyi osszúságú térrészre a 11 1 illetve 13 ábrából kifejezető: G ( ctg ctg ) és m G sin aol m a 11 ábra segítségével kifejezető: m z sin( ) és z cos(9 ) így m sin( cos(9 ) )

27 - 7 - azaz m sin( ) sin m értékét a ΔG-re felírt összefüggésbe elyettesítve: sin( ) G sin sin A ΔF értéke a 13 ábra segítségével kifejezető: F z sin ( ) F sin ( ) sin sin A sin cos egyenlőség II törvény bizonyítása során került cos levezetésre A G ΔG ΔF és sin cos értékeit a σ α -ra felírt összefüggésbe beelyettesítve: sin( ) ( ctg ctg ) sin sin sin cos sin ( ) sin sin( ) ( ctg ctg ) sin sin sin sin cos sin ( ) sin cos cos sin ( ctg sin cos ) sin sin cos sin( ) cos cos( ) sin 1 ( ctg sin cos ) ( ctg sin cos ) cos ctg sin( ) cos( ) de ctg sin cos cos ctg sin( ) cos( ) ctg a 11 ábra ACE áromszögéből a 1 ábra ADF áromszögének felasználásával kifejezető: AE CD AF ctg m m aol: CD és AF z cos( ) sin

28 - 8 - de z cos(9 ) sin ezért F cos( ) sin így ctg cos( ) sin sin m mivel m sin( ) sin ctg cos( ) sin sin sin( ) sin sin sin cos( ) ctg sin sin( ) sin ctg ctg ( ); sin sin( ) ctg értékét összefüggésébe beelyettesítve: ctg sin cos cos sin sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) sin sin( ) sin( ) ctg sin cos cos sin cos( ) cos( ) sin ( )( ctg sin cos )sin sin cos (1 ctg tg) a Δ igen kicsi azaz Δ akkor α teát azaz a feszültség iránya a vízszintessel szöget zár be Teát lim (1 ctg tg)

29 - 9 - azaz A vízszintes összetevője pedig: tg 1 tg sin (cos ) tg A sík vízszintessel bezárt ajlásszögének β-nak árom különleges értékét vizsgálva megállapítató ogy a nélkül megáll a koézió nélküli szemcsés anyag akkor azaz szabad rézsűben megtámasztás Ha 9 akkor e síkra ató nyugalmi nyomás értéke: Ha illetve cos 45 akkor a síkra ató nyugalmi nyomás értéke: 1 illetve tg45 1 sin

30 - 3 - Aktív feszültségi állapot Az aktív feszültségi állapot kialakulása Nyugalomban levő koézió nélküli szemcsés anyagot megtámasztó függőleges fal kismértékű vízszintes irányú elmozdulása elbillenése az anyagban epanziót okoz A vízszintes irányban történő támfalelmozdulást az anyag mozgása fellazulva követi mely az anyag belsejének egy adott pontja szempontjából relatíve két irányú elmozdulásként jelentkezik Az epanziót követő elmozdulás eredményeként a nyugalmi nyomás vízszintes feszültségkomponensei által mobilizált nyírófeszültségek atása megszűnik (felszakad) Az anyag belsejében a relatíve két irányú elmozdulás a függőleges irányú nyírófeszültségeket párosával szakítja fel ezáltal a függőleges feszültség γ-ra növekszik Ezzel egyidejűleg az anyag konszolidációs mozgása is bekövetkezik 14 ábra Feszültségi modell nyugalmi elyzetben

31 A 7 illetve 8 ábra függőleges feszültsége (nyugalmi elyzet) felbontató két azonos irányú és nagyságú feszültségre (14 ábra) Az így nyert feszültségi modell változásával magyarázató a vízszintes felületű koézió nélküli szemcsés anyagokban az aktív feszültségi állapot kialakulása Az epanzió atására felszakadt nyírófeszültségek a 14 ábra feszültségi modelljét a 15 ábra szerintire változtatja 15ábra A feszültségi modell változása aktív állapotban A konszolidációs mozgás a legnagyobb feszültségek azaz a feszültségek eredőinek irányában következik be A feszültségpárok eredőinek iránya a 15 ábrából leolvasató a vízszintessel 45 szöget és egymással 9 szöget zárnak be E feszültségi állapot a ató (eredő) feszültségi irányokat tekintve teát megegyezik a Rankine-féle aktív feszültségi állapottal A konszolidációs mozgást az R 1 feszültség indítja meg E mozgást az R 1 feszültségre merőleges R feszültség tg -szerese csökkenti azaz az R 1 feszültség nyírófeszültséget mobilizál A vízszintesez teát 45 szögben ajló irányban érvényesülő K feszültség nagysága K R 1 R tg Az R 1 feszültség két feszültség Az R 1 és R feszültség a 16 ábra feszültségi vektor ábráiból kifejezető Az R 1 feszültség két feszültség összegeként jelentkezik melynek erre az irányra vett feszültség-komponenseinek összege ( R ) ébreszti a nyírófeszültséget

32 ábra Az eredő feszültség által megindított mozgás nyírófeszültséget mobilizál R 1 sin 45 és R cos 45 így K sin 45 tg cos 45 A K eredő feszültség vízszintes komponense: K K K cos 45 sin 45 cos 45 tg cos 45 mert ugyanis K 1 1 sin 45 tg cos sin 1 sin cos 45 cos sin

33 cos cos 1 cos 1 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos sin 1 cos 4 K K K K sin cos cos cos cos sin cos 1 sin cos 1 sin 1 sin sin sin cos K tg 45 A K eredő feszültség függőleges komponense K v K sin 45 K v K v sin 45 tg sin 45 cos és sin 45 cos 45 cos mivel sin 45 1 sin 1 így K v 1 sin tg cos K v 1 sin 1 sin cos cos K v

34 A K eredő feszültség K K K v K tg 45 1 sin 45 cos 45 K cos 45 cos 45 K sin 45 cos 45 cos 45 K 1 cos 45 1 K cos 45 A K értékét összeasonlítva a értékével mely - belátató ogy a K nagyobb Ezért epanzió esetén illetve a szemcsés anyagot megtámasztó fal jelentősebb elmozdulása esetén az anyag mozgási iránya a vízszintessel szöget zár be 45 Az epanzió következtében teát a mozgást elindító feszültség a 17 ábra szerinti 17 ábra Aktív állapotban a mozgást elindító feszültség

35 A mozgás a feszültségek eredőinek irányában teát a vízszintessel 45 szöget bezáró irányban valósul meg Az anyag teljes mennyiségében mozog azaz végtelen sok a vízszintesez 45 szögben ajló csúszólap alakul ki A K eredő feszültség vízszintes összetevője azaz K cos 45 K sin 45 sin 45 cos 45 tg45 Függőleges támfalra ató nyomás Ha a vízszintes felszínű koézió nélküli szemcsés anyagot valóságos súrlódásos függőleges fal támasztja meg és elmozdulása következtében az anyagban epanzió következik be a falra ató feszültségek a falon ébredő súrlódás szögének (δ) ismeretében megatározatók: A falra nagyságú és a vízszintessel δ szöget bezáró feszültség at E feszültség sin -szorosa csökkenti a függőleges feszültséget sin -ra A függőleges feszültséggel egyenesen arányos a vízszintes feszültség összetevő: a cos éppen úgy mint aogy az anyag belsejében ató feszültségi modellben a

36 függőleges és a az aránypár felírató: A kifejezető: cos vízszintes feszültségi összetevő aránya állandó Teát cos sin cos cos cos sin cos cos sin cos cos A vízszintes összetevője : (cos sin cos) cos cos cos sin cos cos cos cos cos sin cos cos 1 tg cos A kapott eredmény megmutatja a a támfalon nem ébredne súrlódás úgy arra a nyugalmi nyomás atna; megfordítva: a nyugalmi nyomás kialakulásakor a támfalon nem ébred súrlódás Ezt a modellkísérletek tapasztalatai igazolják Ha a támfalon ébredő súrlódás megegyezne a szemcsés anyag belsejében ébredő súrlódással azaz akkor a támfalra az az aktív nyomás atna amely az anyag belsejében is uralkodik aktív feszültségi állapotban Ha a nem éri el a értékét úgy a támfal mellett átmeneti a nyugalmi és aktív nyomás közötti állapot uralkodik

37 Száraz omokkal koézió nélküli szemcsés anyaggal a múltban többen végeztek kísérleti méréseket az oldalnyomás megatározására Pontosság és a modell mérete szempontjából Terzagi 199-ben elkezdett kísérletei emelkednek ki közülük aol a támfal 1 méter magas és 4 méter osszú merev vasbetonszerkezet volt A omokszekrény űrtartalma 37 3 m volt és a fal elmozdulását 5 mm pontossággal mérték A kísérleti eredményeket az alábbiak szerint foglalatók össze: Amíg a támfal mozdulatlan volt addig arra E 4 nagyságú és vízszintes irányú nyugalmi nyomás atott A falnak kismértékű elmozdulásakor az oldalnyomás lecsökkent majd a támfal további elmozdulása elbillenése következtében az oldalnyomás vízszintes összetevője 9 érték közelében állandósult miközben a támfalon ébredt súrlódás szögének tangense tg 54 érték közelében mozgott A omokban kialakult az epanzió a fellazulás és a térszín a elmozduló fal közelében lesüllyedt A mért értékek jól egyeznek az imént levezetett elméleti képletekkel kapott eredményekkel: - a nyugalmi nyomás tényezője 4 volt cos cos mely száraz omokra jellemző érték - a súrlódásos támfalra ató nyomás vízszintes feszültségi összetevője: cos 1 tg cos a mért érték cos 84 és tg azaz a számított körüli mért értékkel igen jó egyezést mutat

38 Boltozatképződés szemcsés anyagokban A boltozatképződés jelensége a szemcsés anyagok mecanikájának egyik alapkérdése A boltozat kialakulásának elméleti tisztázása leetővé teszi az olyan közvetlen gyakorlati probléma megoldását mint a szemcsés anyagok ömlesztett silós tárolását illetve a biztonságos kitárolást A silók garataiban az anyag gyakran összeáll vagy boltozat képződik mely a gravitációs kitárolást megakadályozza A boltozat kialakulásának feltétele A boltozat kialakulását minden esetben az anyag egy részének elmozdulása váltja ki Ez a mozgás származat a konszolidációból tömörödésből vagy például a garat alján levő zsilip kinyitását követő anyagmozgásból Az elmozdulás következtében az anyagban levő feszültségek átrendeződnek úgy ogy a elyben maradó megtámasztó rész veszi át az elmozduló rész feszültségeinek egy részét is Ha az ily módon kialakult feszültségek elég nagyok és irányuk is megfelelő akkor az anyagban kialakul a boltozat mely a további elmozdulást már meggátolja Az elmozdulás boltozatkialakító atása akkor érvényesül a az anyagnak elmozdulása során fajlagos alakváltozást kell elszenvednie azaz például szűkülő keresztmetszeten kell átjutnia

39 Az előbbi megfontolások alapján a boltozat kialakulásának követéséez kiindulásként egy végtelen osszú szűkülő keresztmetszetű szimmetrikus vályú választató melyben koézió nélküli szemcsés anyag van (18 ábra) 18 ábra A vályú méretei Feltételezzük ogy az anyag térfogatsúlya ( ) a mélység függvényében nem változik és a betöltést követően nem tömörödik A függőlegesez β szöggel kifelé ajló sík és merev oldalfalú vályú b szélességű alsó nyílását elmozdítató fenéklap zárja le A végtelen osszúság feltételezése az eset síkbeli vizsgálatát teszi leetővé A vályú fenéklapjának elvétele után az anyag elmozdul ki akar folyni és a szűkülő keresztmetszet miatt fajlagos alakváltozást szenved teát a modell biztosítja a boltozat kialakulásának előzőkben vázolt feltételeit Amennyiben a szemcsés anyag nyugalmi elyzetben van és az oldalfalak merevek az anyag belsejében kialakul a nyugalmi nyomás teát függőleges irányban γ és vízszintes irányban λγ aol λ a függőleges és vízszintes nyomás ányadosa azaz a nyugalmi nyomás tényezője A függőlegesez β szöggel kifelé ajló oldalfalra ató feszültségek illetve a feszültségek eredő ereje (E) nagyság és irány szerint a 19 ábra alapján megatározató:

40 ábra Szemcsés anyaggal töltött zárt fenéklapú vályú erőegyensúlya G a függőleges sík és a β szöggel kifelé ajló oldalfal közötti anyagrész súlya: G tg E a vízszintes irányú nyugalmi nyomás eredő ereje: A vektoráromszögből az eredő erő: E E tg Az eredő erő vízszintes síkkal bezárt ajlásszögére felírató: azaz G tg E tg tg Amennyiben α irányú erőtilletve feszültségeket az oldalfal a súrlódás miatt fel tud venni akkor a fenéklapra csak függőleges irányú és γ nagyságú feszültségek atnak Ez akkor áll fenn a aol δ az oldalfalon a fal és az anyag között ébredő súrlódás szöge A vályú kifolyónyílását elzáró vízszintes lap elvétele után az anyag belsejében nyírási síkok alakulnak ki tekintve ogy a szűkülő keresztmetszeten az anyag csak

41 nyírás útján tud átjutni Ha azaz a vízszintes lapra korábban csak függőleges feszültségek atottak akkor a nyírás síkja függőleges lesz Ugyanis az anyag azon a felületen nyíródik el melyez a legkisebb erő szükséges A koézió nélküli szemcsés anyag nyírásáoz szükséges erőt a Coulomb egyenlet felasználásával a A a nyírt felület F A tg összefüggés fejezi ki aol n n a nyírt felületre ató merőleges feszültség az anyag súrlódási szöge A legkisebb nyíróerő a függőleges sík elnyírásáoz szükséges mivel itt a legkisebb a nyírt felület és a vízszintes irányú feszültségek is e síkban a legkisebbek (A vízszintes feszültségek mindig kisebbek mint a függőleges vagy közbensőirányúak) Teát a nyírás síkja a függőleges A vályú B és D pontjából egy-egy függőleges irányú nyírási sík akkor alakul ki a a b nyílás fölötti anyagrész súlyából származó függőleges irányú erő megegyezik a két sík nyírási erőszükségletével: azaz b tg b tg Ha a b méret ezen értéknél nagyobb akkor a tg szélességű anyag egy tagban szakad ki és a vályú teljes b nyílásáig a fellépő nyírófeszültségek atására magával ragadja a többi anyagrészt Amennyiben a b tg akkor csupán két függőleges irányú nyírási felület alakul ki a vályú kifolyónyílását elzáró lap elvétele után Ekkor az anyag belsejében a nyírási síkon nyírási feszültségek ébrednek melyet a b függőleges irányú súlyerő ív életre A függőleges F nyíróerőket a nyírási sík és a vályú oldalfala közötti anyagrész veszi fel átadva azt az oldalfalakra Az oldalfal ezt a függőleges irányú plusz erőt csak akkor képes maradéktalanul felvenni a az eredő erő ( nem lép ki az oldalfalon ébredő súrlódási szögből E B )

42 - 4 - ábra A vályú fenéklapjának eltávolításakor az erőegyensúly A ábra vektorpoligonján jól látató ogy az E B eredő erő akkor nem lép ki a δ súrlódási szögből a az oldalfal dőlésszöge és az ott ébredő súrlódás elég nagy azaz A vektorábrából a atáresetre felírató F G tg( ) E Az F nyíróerő a nyílás feletti anyagsúly fele mivel két nyírási síkra oszlik meg teát továbbá b F G tg és E Beelyettesítve F G és E értékeit a tg (β+δ)-ra felírt összefüggésbe: egyszerűsítve: teát a tg b tg ) ( b tg tg( ) b tg akkor a vályú alsó nyílásából kiindulva egy-egy nyírási sík keletkezik és a köztük levő anyagrész súlyát a nyírófeszültségek átelyeződése révén az oldalfal akkor tudja felvenni a b tg tg( )

43 Ebben az esetben az anyag nem tud kifolyni és a nyílás fölött kialakul a boltozat A b b tg és a tg( ) -ra kapott összefüggésből a viszony kifejezető: b b tg tg( ) tg A koézió nélküli szemcsés anyagban a boltozat kialakulásának feltételét e két egyenlőség illetve egyenlőtlenség fogalmazza meg A boltozat kialakulásának eredő erőkkel számolt megoldása szerint az F nyíróerő a nyugalmi elyzet E eredő erejének támadáspontját a vályú alsó nyílása felé téríti el Az E B elyzetét az E és F erők atásvonalának metszéspontja atározza meg Az eltérés a β szög növekedésével áll egyenes arányban A gyakorlati számításoknál ez az eltérés figyelmen kívül agyató Ugyanis a β szög jelentős növelése esetén a boltozat már közvetlenül az anyagra és nem az oldalfalra támaszkodik (lásd később) A kifolyás jellege Az előzőekben levezetett boltozati feltételekkel értelmezető a vályúból kifolyó szemcsés anyag kifolyásának jellege akkor a valamelyik feltétel nincs teljesítve b a) Ha azaz tg( ) tg akkor az oldalfal nem képes teljes egészében felvenni a nyírófeszültségek átelyeződése miatt megváltozott eredő erőt Az E eredő erőnek az oldalfallal páruzamos szabad összetevője az oldalfal mentén megindítja az anyag csúszását A függőleges nyírási sík és az oldalfal közötti anyagrész is megmozdul és tömegfolyás alakul ki (1/a ábra)

44 ábra Jellegzetes kifolyások: a) tömegkifolyás; b) alagútfolyás b b b) Ha azaz tg( ) tg de b tg illetve tg akkor ugyan az oldalfal fel tudja venni az eredő erőt de a nyílás fölötti anyag súlyereje nagyobb mint a kiszakadást meggátló nyíróerő ezért a b szélességű anyag függőlegesen kifolyik míg a mellette levő anyagrész a függőleges nyírási sík és az oldalfal közötti rész elyben marad majd felülről folyik ozzá a függőlegesen mozgó anyagrészez Kialakul az alagútfolyás (1/b ábra) Könnyen belátató ogy a kifolyás jellegét nem csupán a vályú dőlésszöge és falsúrlódása atározza meg anem az anyag nyírási ellenállása súrlódási szöge illetve nyomásviszonyai is Silókban megfigyelető ogy egyes szemcsés anyagok először tömegkifolyással majd később alagútkifolyással ürülnek bizonyítva azt ogy a garatban uralkodó nyomásviszonyok is befolyásolják bár kisebb mértékben mint a garat dőlésszöge és súrlódása a kifolyás jellegét Búzával és omokkal különböző dőlésszögű garatokkal végzett kísérleteinknél (egyazon garatnál és anyagnál) először tömegfolyást majd az ürítés folytatásakor alagútfolyást figyeletünk meg Az anyagkifolyás jellegének változása az előre számított magassági értéknél következett be

45 A boltozat kialakulásának mecanizmusa A boltozat kialakulásának feltétele teát ogy a vályú alsó nyílása fölötti anyag súlyereje kisebb legyen mint a nyírási síkokon ébredő nyíróerők összege és az oldalfalakra ató erőket az oldalfalak a dőlésszögük és falsúrlódásuk következtében fel tudják venni A vályú alsó nyílását elzáró lap elvétele után ébredő nyírófeszültségek az oldalfalra elyeződnek át és az ott ató feszültségekkel összegeződnek Ezek az eredő feszültségek alakítják ki a boltozatot A boltozati felület újabb feszültségátrendeződés eredményeként jön létre ábra A boltív feszültségátrendeződés következtében alakul ki A vályú B és D éle között az eredő feszültségek vízszintes összetevőinek eloszlása a /a ábra szerinti Azokon a elyeken aol a nyomófeszültségek vízszintes komponensei kevésnek bizonyulnak az anyag gravitáció elleni megtámasztására a nyírási ellenállása kisebb mint a gravitációból származó súlyereje ott az anyag kipereg A kipergés következtében a feszültségek átrendeződnek felteetően a /b ábra szerint úgy ogy elegendő nyomófeszültség legyen az anyag megtartásáoz A kipergés akkor szűnik meg a a boltozati felület minden pontján azonos a kipergés szempontjából kritikus nagyságú vízszintes irányú feszültségkomponensek atnak Az a tény ogy a boltív minden pontján azonos nagyságú vízszintes

46 feszültségkomponensnek kell atnia leetővé teszi a boltív geometriai alakját leíró egyenlet megatározását A boltív geometriai egyenlete Ismeretes ogy a egyenletesen megoszló terelés alátámasztására olyan másodfokú parabolát asználunk melynek végpontjában csak tangenciális feszültség ébred akkor a parabola minden pontján csak parabola irányú és azonos nagyságú vízszintes komponensű feszültség ébred Az ilyen parabolát ajlító nyomaték nem tereli mely szükséges feltétel A ajlító nyomaték úzási és nyomási feszültségeket ébresztene melyet egy szilárd test felveet de a koézió nélküli szemcsés anyag úzófeszültségeket nem képes elviselni A vályú B és D pontjában β+δ irányú azonos nagyságú feszültség at míg a boltív felett közel egyenletesen megoszló terelés nyugszik A β+δ irány és a b nyílásszélesség a parabolát egyértelműen megatározza A fenti tulajdonságokkal rendelkező parabola emelkedésének maimuma: b f tg( ) 4 Az y koordinátatengely a vályú nyílásának szimmetriasíkjában elyezkedve az tengely pedig a B és D pontokon át fektetve (3 ábra) a parabola csúcspontja az y tengelyt C magasságban metszi 3 ábra A boltív parabolája

47 Az y tengelyre szimmetrikus és lefelé futó másodfokú parabola egyenletének általános alakja: y A C b mivel f=c így C tg( ) 4 b A parabola egyenletének az első differenciálányadosa elyen b y ' tg( ) teát y A C y' A és tg( ) A 1 A kifejezető: A tg( ) b A és C értékét a parabola általános egyenletébe elyettesítve: b y tg( ) tg( ) b 4 b y 4 b tg( ) a boltív geometriai egyenletét kapjuk A tg ( ) a boltozati feltételt megfogalmazó egyenletből beelyettesítető: b b tg y b 4 Van olyan eset amikor a boltív a fenti egyenletben megadott alaknál laposabb Ez akkor következik be a a vályú β dőlésszöge nagy Ekkor a boltív az anyag egy olyan síkjára támaszkodik mely a függőlegessel ε szöget zár be és ε<β Az anyagban a súrlódás szöge teát a boltozati feltételt megfogalmazó és a geometriai alakot leíró egyenletben a β+δ értékei elyébe az lép: b tg( ) tg b y ( ) 4 tg b

48 A boltív akkor támaszkodik közvetlenül az anyagra amikor kisebb β+δ-nál Ha a két boltozati feltétel közül a b arányt a tg( ) tg egyenlet b korlátozza a atáreset azonos aránynál áll fenn tg( ) tg tg( ) tg tg A atáresetre felírt fenti egyenlőség csak bizonyos értékek esetén ad az ε-ra tg megoldást mert az egyenlet másodfokú és diszkriminánsa δ és arányától függően negatív leet Ha a diszkrimináns negatív akkor a boltív továbbra is a vályú oldalfalára támaszkodik Ha a diszkrimináns pozitív akkor a boltív geometriai alakját az egyenlet írja le b y 4 b tg( ) b Ha a boltozati feltételek közül a arányt a tg korlátozza akkor ε szög az alábbi összefüggésből számítató: tg tg( ) tg A garatméretezés elve Szemcsés anyagokban a boltozat kialakulásának feltételét megfogalmazó összefüggések olyan garatok méretezését teszi leetővé melyekből az anyag gravitációs kifolyása biztosítató és a garat elyigénye a legkisebb Amennyiben a boltozati feltételek egyike nem teljesül akkor a gravitációs kiömlés biztosítató Ha b tg

49 de b tg( ) tg akkor a gravitációs ürítés alagútfolyással következik be Ha viszont akkor az ürítés tömegkifolyású b tg( ) tg A garatok méretezésénél általában cél a legkisebb kifolyónyílás mellett a tömegkifolyás biztosítása úgy ogy a garat függőleges mérete a leető legkisebb legyen A méretezés elvi menete kör keresztmetszetű garatra az alábbi Körszelvényű garatoknál a b nyílásszélesség elyett r sugarú kiömlőnyílást kell alkalmazni így a egyenlet elyett értelemszerűen írunk melyből r b tg r tg r tg A garatméretezés előtt meg kell atározni a szemcsés anyag belső súrlódási szögét a garat felületén ébredő súrlódási szöget és a térfogatsúlyt A súrlódási szögek nyírókísérletekkel atározatók meg A nyíródobozba töltött anyagra adott normál terelések feleljenek meg a garatban várató nyomásértékeknek A δ súrlódási szög méréséez célszerű a garat anyagából betétlemezt készíteni a nyíródobozoz A nyíródoboz nyírási síkjába elyezett betétlemezre rátöltjük a szemcsés anyagot és nyírókísérletekkel megatározzuk a súrlódás szögét Amennyiben a garatban az anyag uzamosabb ideig tartózkodik akkor ennek megfelelő reológiai méréseket kell végezni: a mintára ató normál terelések idejét változtatva végezzük el a nyírást Az idő logaritmusában ábrázolt anyagjellemzők görbéinek tendenciájából jól leet következtetni a uzamosabb tárolás során várató anyagjellemzők értékére Amennyiben a szemcsés anyag koézióval is rendelkezik illetve a tartós tárolás során koéziót nyer úgy a nyírási egyenes adott normál feszültségértékéez az

50 - 5 - origóból úzott egyenes vízszintes tengellyel bezárt ajlásszöge mint a belső nyírási ellenállás szöge (effektív súrlódási szög) veető figyelembe (lásd később) 4 ábra Garatméretezési szerkesztés A garatméretezés elvi menete a következő: 1 Megatározzuk a kritikus cos r sin elyettesítésével: k 1 ; r k1 értékét a tg segítségével mely A 4 ábra szerint felvesszük a garat szimmetriatengelyét és különböző r arányú egyeneseket szerkesztünk; 3 A k 1 egyenesez tartozó 1 garat-dőlésszögét kiszámítjuk a k tg( ) tg összefüggésből: 1 k tg arc tg (1 k tg ) tg 4 tg 4k tg ; 4 A k 1 egyenes egy adott pontjáoz felrajzoljuk a 1 szöget (A garat felső részén a tömegkifolyás 1 garat-dőlésszög illetve ennél meredekebb szög alkalmazásával biztosítató) 5 A kritikus k 1 értéknél kisebb k arányra számítjuk a szög értékét;

51 A k 1 egyenesen nyert metszéspontra szerkesztjük a szöget és szárát a k arányvonalig úzzuk majd a k egyenesre felrajzoljuk a k 3 alapján számított 3 szöget majd a szerkesztést és számítást folytatva egyenes szakaszokkal közelített görbe alkotójú garatot nyerünk; 7 Adott kifolyónyílás méretez vagy a garat felső átmérőjéez a méretarányt megatározva méretelyes garatalakot nyerünk melyről a keresett méretek leolvasatók A kedvező kifolyást biztosító garatprofil teát görbe Ha a tecnológiai neézségek egyenes alkotójú garat megvalósítását indokolják akkor a kifolyónyílás méretében számított dőlésszög az irányadó Ha a tömegkifolyástól eltekintünk akkor a k 1 arány elyett a garat dőlésszöge indifferens csupán az anyag természetes rézsű-szögénél kell meredekebbre választani A görbe alkotójú garat nagy előnye ogy a beépítési elyigénye a leető legkisebb és meglevő garatokba betétként is beelyezető mellyel a kifolyási neézségek atásosan javítatók Görbe alkotójú iperbolikus garatok folyásjavító előnyei ismertek melyet a jelen elmélet alapján méretezett garatok kísérletileg is igazoltak Kísérleti eredmények Az elmélet kidolgozását követően a tárolandó anyagoz méretezett kísérleti tartályokkal és garatokkal méréseket végeztünk Kukoricadara anyag- és súrlódási jellemzőire méretezett garat fölött méter magas és 1 méter átmérőjű anyagoszlop volt β=3º-os dőlésszögű egyenes kúpos garatnál 15 mm átmérőjű garatnyílásig boltozat képződött és a gravitációs ürítést meggátolta Ugyanazon tartálynál görbe alkotójú garattal 1 mm átmérőjű garatnyílással és rövidebb garat beépítéssel biztonságos kifolyást kaptunk (5 ábra)

52 - 5-5 ábra Görbe alkotójú garat Elméleti számításainkat a kísérleti mérések kukoricadarán kívül nedvesített omokra mint modellanyagra - továbbá műtrágyára és keverék takarmányokra etraált szójadarára takarmánymészre lucernalisztre egyaránt igazolták

53 Feszültségek a koéziós szemcsés anyagokban A szemcsés anyagok általában a nedvességtartalomtól függően kisebb-nagyobb koézióval rendelkeznek A koéziós szemcsés anyagok mecanikai viselkedésben számottevő eltérést mutatnak a koézió nélküli szemcsés anyagoktól mely elkülönült tárgyalásukat indokolja Koéziós szemcsés anyagnak tekintető az olyan nagyszámú egymással érintkező szilárd testek almaza aol a szemcsék mint a almaz alkotó elemei - közötti koéziós erő kisebb mint az egyes szemcséket összetartó erő Az anyagban érvényesül Coulomb súrlódási törvénye és az egyes szemcsék a ráató erők mellett megtartják alakjukat Oldalnyomás A koéziós szemcsés anyagok nyírási ellenállása Coulomb súrlódási törvénye értelmében: összefüggéssel írató le aol: tg c n

54 τ = az anyag nyírási ellenállása; n = a nyírt felületre ató normál feszültség; = az anyag súrlódási szöge; c = az anyag koéziós értéke A nyírási ellenállás két részből tevődik össze a súrlódásból (mely függ a nyírt felületre merőlegesen ató nyomástól) és a koézióból (mely viszont független a normál feszültségtől) 6 ábra A csúszási atárszög és a Coulomb egyenes kapcsolata A τ n kapcsolat lineáris (6 ábra) teát egyenest az úgynevezett Coulomb egyenest jeleníti meg Az egyenesen fekvő pontok csúszási atárállapotot azaz atáregyensúlyi elyzetet jelentenek Nyugalomban lévő koéziós szemcsés anyag belsejében minden mélységez azaz önsúlyból származó függőleges irányú γ nagyságú feszültségértékez tartozik egy olyan atárszög aol csúszási atárállapot találató Ez a vízszintessel bezárt ajlásszög: Φ mely a Coulomb egyenes adott pontját és az origót összekötő egyenes vízszintes tengellyel bezárt szöge (6 ábra) A Φ szög a normál feszültségtől azaz a nyugalomban lévő koéziós szemcsés anyag belsejében az önsúly által létreozott normál feszültségtől függően változik Teát a Φ szög a mélység függvénye is A 6 ábra alapján a Φ szögre felírató: tg n mivel és tg c n cos n

55 így c tg tg cos A Φ szög teát függvénye a súrlódási szögnek a koéziós értéknek valamint a mélység és térfogatsúly szorzatának aol a kapcsolat már nem lineáris Koéziós anyag belsejében teát a csúszási atárállapotoz tartozó felület görbe mely érintőjének iránytangense tg Φ A Φ szög tulajdonképpen nem más mint a nyírási ellenállás szöge asonlóan a koézió nélküli szemcsés anyag jellemzésére asznált súrlódási szögöz A Φ szög fizikai tartalma megegyezik a koézió nélküli szemcsés anyagok szögével (A mélység függvényében változó Φ szög c= esetében a konstans -vé fajul) A Φ szög figyelembevételével a koéziós szemcsés anyagokra is alkalmazató a koézió nélküli szemcsés anyagokra vonatkozó II és III törvény: II Nyugalomban lévő koéziós szemcsés anyagokban a függőleges irányú nyomófeszültségek által ébresztett feszültségek a függőleges iránytól mért 9 zónában lefelé atnak (aol Φ az anyag belső nyírási ellenállásának szöge) III Koéziós szemcsés anyag önsúlyból származó nyugalmi nyomás értéke a mélység és térfogatsúly szorzatának fele iránya a vízszintestől az anyag belső nyírási ellenállásának szögével lefelé tér el A nyugalmi nyomás vízszintes összetevője: cos A koéziónélküli szemcsés anyag nyugalmi nyomásának alkalmazását koéziós szemcsés anyagra az teszi leetővé ogy a szemcsés anyagokban az önsúlyból származó függőleges feszültség és a vízszintes feszültségi összetevők közötti arány csak az anyag fizikai jellemzőitől pontosabban az anyag nyírási ellenállásának szögétől függ

56 Tekintettel arra ogy a Φ szög a mélység függvényében változik ezért a cos Φ kifejezető a c tg tg összefüggésből: cos c sin tg cos 1 cos c tg cos c c cos tg cos tg cos 1 c c tg tg 1 cos tg 1 mivel 1 1 tg cos így c c cos sin cos cos 1 cos illetve cos cos c cos c sin A cos Φ-re nyert összefüggés a vízszintes összetevője: A vízszintes előjelűek mélységben a képletbe elyettesítve a nyugalmi nyomás cos cos c c sin feszültségkomponensek egy bizonyos mélységig negatív értéke A = mélysége kifejezető: cos cos c c sin c cos c sin c sin cos c

57 mélységig a vízszintes felszínű koéziós szemcsés anyag teát a függőleges falban megtámasztás nélkül is megáll A vízszintes feszültségkomponensek -tól mélységig vett atározott integráljával nyerető a magasságú függőleges támfalra ató nyugalmi nyomás E eredő erejének értéke (a a támfalon nem ébred súrlódás mely a modellkísérletek szerint a nyugalom eredményeként következik be): Az integrálás eredménye: E d c E cos c cos sin cos 4 c cos 4 3 ln c cos c cos 1 Az ln-t tartalmazó tag az 1-nél kisebb cos armadik atványa valamint az ln aránylag kis értékének szorzata miatt elagyató így c c E cos c cos sin cos 4 4 Teát vízszintes felszínű koéziós szemcsés anyag függőleges támfalra ató nyugalmi nyomásának erdő ereje: cos c E cos c c sin 4 Szabad rézsű ajlásszöge A koéziós szemcsés anyagot jellemző Coulomb-egyenes egy adott pontját és az origót összekötő egyenes n tengellyel bezárt Φ szöge úgy jellemzi az anyag nyírószilárdságát az adott n normál feszültségez tartozó mélységben mint aogy a koézió nélküli szemcsés anyagot a súrlódási szög A különbség csupán abban

58 áll ogy a koéziós anyagban ez a szög a nyírt felületre ató normál feszültségtől függően változik A Φ szög tangense a mélység függvényében az alábbiak szerint fejezető ki: c A korábban felírt tg tg összefüggésből kiindulva és cos 1 cos 1 tg elyettesítéssel c 1 tg tg tg amely összefüggésből a tg Φ kifejezető: c tg tg tg tg c tg tg c tg c c tg sin c cos( c c ) cos Tekintettel arra ogy a nyugalomban lévő koéziós szemcsés anyagokban az önsúlyból származó feszültségek iránya a vízszintessel Φ-nél nagyobb szöget zárnak be ezért a szabad rézsű legnagyobb ajlásszögét az önsúlyból származó függőleges irányú feszültségek által kiváltott a vízszintessel Φ szöget bezáró azon feszültségek atározzák meg melyek még éppen nem lépnek ki a rézsű lapján A koéziós rézsű a nyírási egyenesből a következők szerint (7 ábra) szerkesztető meg: A Coulomb-egyenes nyírókísérletek alapján történt felvétele után megszerkesztjük a mélység függvényében változó Φ szöget: a Coulomb-egyenes A pontjának megfelelő belső nyírási ellenállás szöge A Az OAD áromszögben az OD oldalosszúság cos A azaz az önsúlyból származó függőleges feszültség A irányra merőleges összetevője A áromszög OA átfogója teát γ így az átfogót az O pontból körzőnyílásba véve az O pontból függőlegesen lefelé kiinduló γ tengelyre leforgatva kapjuk az A pontot aová a A szöget átmásoljuk A Coulombegyenesen felvett pontokoz tartozó Φ szögeket ily módon a γ egyenesre szerkesztve megrajzolató a feszültségi irányok burkológörbéje Amennyiben a γ

59 tengelyen a beosztást γ-val osztjuk akkor a vízszintes felületű koéziós szemcsés anyag legmeredekebb rézsűjének geometriai alakját nyerjük 7 ábra Koéziós rézsű szerkesztése c A koéziós szemcsés anyag magasságig megtámasztás nélkül függőleges falban megáll míg a mélység növekedésével a Φ szög csökken és a súrlódási szögöz mint atárértékez tart A legmeredekebb rézsű alakja iperbolikus jellegű Amennyiben a legmeredekebb de síklapú rézsű vízszintesez mért ajlásszögének megatározása a feladat akkor a vízszintesez Φ szögben ajló feszültségi irányok burkológörbéjének adott mélységez tartozó pontját az O origóval összekötő egyenes mint a sík rézsűlap vízszintessel bezárt β szöge nyújtja a keresett legmeredekebb sík rézsű ajlásszögét A vízszintesez Φ szögben ajló feszültségi irányok burkológörbéjét most fölfelé irányított tengely segítségével megszerkesztve (8 ábra) az O origóból kiindulóan egy kívánt β szög szára által a burkológörbén kimetszett pontjáoz tartozó magasság nyújtja azt a rézsűmagasságot

60 - 6 - mely a β rézsűszögben sík rézsűlap mellett a vízszintes felszínű koéziós szemcsés anyag még megtámasztás nélkül megáll 8 ábra A rézsűmagasság és a rézsűszög közötti összefüggés A Φ feszültségi irányok burkológörbéje omorú jellegű (7 ábra) A rézsű lapja leet sík (8 ábra) de domború is A domborúság mértéke annak függvénye ogy a rézsű bármely pontján keresztül fektetett függőleges síkban vizsgált a mélység függvényében változó a vízszintesez Φ szögben ajló feszültségi irányok a rézsű lapját ne metsszék Adott szerint szerkesztető meg: magasságú rézsű domború burkológörbéje a 9 ábra A omorú burkológörbét a 7 ábrán bemutatott módszerrel szerkesztjük A magasságú omorú rézsű geometriai alakját a pontból úzott vízszintes által a burkológörbéből kimetszett B pont és a O közötti görbe írja le A magasságoz tartozó domború rézsű az O B görbe oly módon történő elforgatásával nyerető ogy az O és B pont elyzete felcserélődik Szerkesztéssel könnyen igazolató ogy domború rézsű esetén a talpponti B pont feszültséggyűjtő ely ezért a domború rézsű állékonysága kevésbé biztos mint a omorúé A szerkesztésből ugyanakkor belátató ogy az OB egyenes szakasz

61 vízszintesez mért ajlásszöge egyben a legnagyobb β ajlásszöge magasságoz tartozó síklapú rézsű 9 ábra Domború rézsű szerkesztése A 9 ábrán a magasságoz tartozó omorú és domború atárelyzetű szabad rézsű geometriai görbéi között vonalkázott részben a rézsű lapjának geometriai alakja úgy választató ogy az OB szakasz felett folytonos görbét feltételezve domború míg alatta omorú jelleget mutasson Törtvonalú rézsű esetén a mélység függvényében változó Φ irányú feszültségekre a vizsgálatot el kell végezni ogy a feszültségi irányok a rézsű lapját ne metsszék Domború atárelyzetű rézsű kialakulásával akkor számolatunk a az anyagot megtámasztó például függőleges falat óvatosan függőlegesen lefelé mozgatva távolítjuk el míg omorú atárelyzetű rézsű a fal függőlegesen felfelé irányuló eltávolításával nyerető

62 - 6 - Aktív feszültségi állapot A koézió nélküli szemcsés anyag belsejében az aktív nyomás vízszintes összetevőjét tg45 összefüggés fejezi ki Koéziós szemcsés anyagban az aktív feszültség vízszintes összetevőjére - a Φ és a koézió nélküli anyagra vonatkozó analógiája alapján mely kis súrlódási szögű és kis koéziójú szemcsés anyagban aránylag kis mélységben már bekövetkezik felírató: azaz tg45 1 sin cos A sinφ és cosφ értéke Coulomb-egyenesből nyert összefüggés segítségével fejezető ki: c tg tg cos c sin tg cos c cos sin tg tg A sinφ és cosφ értékeit a -re felírt összefüggésbe elyettesítve: de tg cos c tg sin c sin tg cos c így c tg cos

63 A cosφ-re a Coulomb-egyenesből levezetető volt: cos cos c cos c sin A cosφ értékét a összefüggésbe elyettesítve nyerető egy adott mélységben az anyag belsejében ébredő aktív nyomás vízszintes feszültségi összetevője: cos c sin c cos c sin Amennyiben a koéziós szemcsés anyagban az aktív feszültségi állapotot függőleges és súrlódásos támfal elmozdulása elbillenése- ozza létre akkor a támfal és az anyag között ébredő súrlódás a támfalra ató feszültségek irányát és nagyságát módosítja A koéziós szemcsés anyag és a fal között ébredő súrlódás általános esetben a felületre ató normál feszültségtől függő tg súrlódási tényezőből és az attól független a adézióból tevődik össze mely Coulomb súrlódási törvénye értelmében a 3 ábra szerinti 3 ábra A koéziós szemcsés anyag és a fal között ébredő súrlódás Egy adott alapján kifejezető: n normál feszültség mellett a súrlódási szöge A tg n tg a 3 ábra

64 a tg tg A koéziós szemcsés anyagban a Φ irányú feszültségeket az önsúlyból származó függőleges feszültségek ozzák létre n 31 ábra Koéziós feszültségi modell A koézió nélküli szemcsés anyagokra felállított feszültségi modellt a koéziós anyagra alkalmazva szög elyett Φ-t asználva (31 ábra) felírató a függőleges és vízszintes feszültségi összetevők közötti arányossági kapcsolat: y cos Súrlódásos támfal mellett a koéziós szemcsés anyag függőleges feszültségösszetevőinek egy része a támfalra elyeződik át a támfalon súlyerő-felvétel valósul meg Ha a támfalra a vízszintessel szöget bezáró feszültség at akkor a támfal sin függőleges irányú feszültséget vesz fel az anyagból azaz a támfal melletti anyagrész függőleges feszültségét sin -vel csökkenti Ezzel arányosan csökken a támfalra ató vízszintes feszültségi összetevő is A támfalra pedig cos nagyságú vízszintes feszültségkomponens at A függőleges és vízszintes feszültségi összetevők közötti arány alapján felírató: cos sin cos

Hidrosztatika. Folyadékok fizikai tulajdonságai

Hidrosztatika. Folyadékok fizikai tulajdonságai Hidrosztatika A Hidrosztatika a nyugalomban lévő folyadékoknak a szilárd testekre, felületekre gyakorolt hatásával foglalkozik. Tárgyalja a nyugalomban lévő folyadékok nyomásviszonyait, vizsgálja a folyadékba

Részletesebben

A nyomás. IV. fejezet Összefoglalás

A nyomás. IV. fejezet Összefoglalás A nyomás IV. fejezet Összefoglalás Mit nevezünk nyomott felületnek? Amikor a testek egymásra erőhatást gyakorolnak, felületeik egy része egymáshoz nyomódik. Az egymásra erőhatást kifejtő testek érintkező

Részletesebben

Középszintű érettségi feladatsor Fizika. Első rész

Középszintű érettségi feladatsor Fizika. Első rész Középszintű érettségi feladatsor Fizika Első rész Az alábbi kérdésekre adott válaszleetőségek közül pontosan egy a jó. Írja be ennek a válasznak a betűjelét a jobb oldali feér négyzetbe! (Ha szükséges,

Részletesebben

A szilárd testek alakja és térfogata észrevehetően csak nagy erő hatására változik meg. A testekben a részecskék egymáshoz közel vannak, kristályos

A szilárd testek alakja és térfogata észrevehetően csak nagy erő hatására változik meg. A testekben a részecskék egymáshoz közel vannak, kristályos Az anyagok lehetséges állapotai, a fizikai körülményektől (nyomás, hőmérséklet) függően. Az anyagokat általában a normál körülmények között jellemző állapotuk alapján soroljuk be szilád, folyékony vagy

Részletesebben

Mit nevezünk nehézségi erőnek?

Mit nevezünk nehézségi erőnek? Mit nevezünk nehézségi erőnek? Azt az erőt, amelynek hatására a szabadon eső testek g (gravitációs) gyorsulással esnek a vonzó test centruma felé, nevezzük nehézségi erőnek. F neh = m g Mi a súly? Azt

Részletesebben

MECHANIKA I. /Statika/ 1. előadás SZIE-YMM 1. Bevezetés épületek, építmények fizikai hatások, köztük erőhatások részleges vagy teljes tönkremenetel használhatatlanná válás anyagi kár, emberáldozat 1 Cél:

Részletesebben

2.3 Newton törvények, mozgás lejtőn, pontrendszerek

2.3 Newton törvények, mozgás lejtőn, pontrendszerek Keresés (http://wwwtankonyvtarhu/hu) NVDA (http://wwwnvda-projectorg/) W3C (http://wwww3org/wai/intro/people-use-web/) A- (#) A (#) A+ (#) (#) English (/en/tartalom/tamop425/0027_fiz2/ch01s03html) Kapcsolat

Részletesebben

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó Mechanika Kinematika A mechanika a fizika része mely a testek mozgásával és egyensúlyával foglalkozik. A klasszikus mechanika, mely a fénysebességnél sokkal kisebb sebességű testekre vonatkozik, feloszlik:

Részletesebben

9. Laboratóriumi gyakorlat NYOMÁSÉRZÉKELŐK

9. Laboratóriumi gyakorlat NYOMÁSÉRZÉKELŐK 9. Laboratóriumi gyakorlat NYOMÁSÉRZÉKELŐK 1.A gyakorlat célja Az MPX12DP piezorezisztiv differenciális nyomásérzékelő tanulmányozása. A nyomás feszültség p=f(u) karakterisztika megrajzolása. 2. Elméleti

Részletesebben

Reológia Mérési technikák

Reológia Mérési technikák Reológia Mérési technikák Reológia Testek (és folyadékok) külső erőhatásra bekövetkező deformációját, mozgását írja le. A deformációt irreverzibilisnek nevezzük, ha a az erőhatás megszűnése után a test

Részletesebben

A K É T V É G É N A L Á T Á M A S Z T O T T T A R T Ó S T A T I K A I V IZS-

A K É T V É G É N A L Á T Á M A S Z T O T T T A R T Ó S T A T I K A I V IZS- A K É T V É G É N A L Á T Á M A S Z T O T T T A R T Ó S T A T I K A I V IZS- Forgatónyomaték meghatározása G Á L A T A Egy erő forgatónyomatékkal hat egy pontra, ha az az erővel össze van kötve. Például

Részletesebben

Méréstechnika. Hőmérséklet mérése

Méréstechnika. Hőmérséklet mérése Méréstechnika Hőmérséklet mérése Hőmérséklet: A hőmérséklet a termikus kölcsönhatáshoz tartozó állapotjelző. A hőmérséklet azt jelzi, hogy egy test hőtartalma milyen szintű. Amennyiben két eltérő hőmérsékletű

Részletesebben

A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása

A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása Nyomaték (x 0 Nm) O k t a t á si Hivatal A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása./ A mágnes-gyűrűket a feladatban meghatározott sorrendbe és helyre rögzítve az alábbi táblázatban feltüntetett

Részletesebben

A gáz halmazállapot. A bemutatót összeállította: Fogarasi József, Petrik Lajos SZKI, 2011

A gáz halmazállapot. A bemutatót összeállította: Fogarasi József, Petrik Lajos SZKI, 2011 A gáz halmazállapot A bemutatót összeállította: Fogarasi József, Petrik Lajos SZKI, 0 Halmazállapotok, állapotjelzők Az anyagi rendszerek a részecskék közötti kölcsönhatásoktól és az állapotjelzőktől függően

Részletesebben

Ábragyűjtemény levelező hallgatók számára

Ábragyűjtemény levelező hallgatók számára Ábragyűjtemény levelező hallgatók számára Ez a bemutató a tanszéki Fizika jegyzet kiegészítése Mechanika I. félév 1 Stabilitás Az úszás stabilitása indifferens a stabil, b labilis S súlypont Sf a kiszorított

Részletesebben

Az anyagok lehetséges állapotai, a fizikai körülményektől (nyomás, hőmérséklet) függően. Az anyagokat általában a normál körülmények között jellemző

Az anyagok lehetséges állapotai, a fizikai körülményektől (nyomás, hőmérséklet) függően. Az anyagokat általában a normál körülmények között jellemző Az anyagok lehetséges állapotai, a fizikai körülményektől (nyomás, hőmérséklet) függően. Az anyagokat általában a normál körülmények között jellemző állapotuk alapján soroljuk be szilárd, folyékony vagy

Részletesebben

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk,

Részletesebben

A.2. Acélszerkezetek határállapotai

A.2. Acélszerkezetek határállapotai A.. Acélszerkezetek határállapotai A... A teherbírási határállapotok első osztálya: a szilárdsági határállapotok A szilárdsági határállapotok (melyek között a fáradt és rideg törést e helyütt nem tárgyaljuk)

Részletesebben

5. gy. VIZES OLDATOK VISZKOZITÁSÁNAK MÉRÉSE OSTWALD-FENSKE-FÉLE VISZKOZIMÉTERREL

5. gy. VIZES OLDATOK VISZKOZITÁSÁNAK MÉRÉSE OSTWALD-FENSKE-FÉLE VISZKOZIMÉTERREL 5. gy. VIZES OLDAOK VISZKOZIÁSÁNAK MÉRÉSE OSWALD-FENSKE-FÉLE VISZKOZIMÉERREL A fluid közegek jellemző anyagi tulajdonsága a viszkozitás, mely erősen befolyásolhatja a bennük lejátszódó reakciók sebességét,

Részletesebben

ELÕADÁS ÁTTEKINTÉSE. Környezetgazdálkodás 2. A hidraulika tárgya. Pascal törvénye. A vízoszlop nyomása

ELÕADÁS ÁTTEKINTÉSE. Környezetgazdálkodás 2. A hidraulika tárgya. Pascal törvénye. A vízoszlop nyomása ELÕADÁS ÁTTEKINTÉSE Környezetgazdálkodás. A ízgazdálkodás története, elyzete és kilátásai A íz szerepe az egyén életében, a társadalomban, és a mezõgazdaságban. A ízügyi jog pillérei. Hidrológiai alapismeretek

Részletesebben

1 Műszaki hőtan Termodinamika. Ellenőrző kérdések-02 1

1 Műszaki hőtan Termodinamika. Ellenőrző kérdések-02 1 1 Műszaki hőtan Termodinamika. Ellenőrző kérdések-02 1 Kérdések. 1. Mit mond ki a termodinamika nulladik főtétele? Azt mondja ki, hogy mindenegyes termodinamikai kölcsönhatáshoz tartozik a TDR-nek egyegy

Részletesebben

A végeselem módszer alapjai. 2. Alapvető elemtípusok

A végeselem módszer alapjai. 2. Alapvető elemtípusok A végeselem módszer alapjai Előadás jegyzet Dr. Goda Tibor 2. Alapvető elemtípusok - A 3D-s szerkezeteket vagy szerkezeti elemeket gyakran egyszerűsített formában modellezzük rúd, gerenda, 2D-s elemek,

Részletesebben

A 2010/2011. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának. feladatai fizikából. I. kategória

A 2010/2011. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának. feladatai fizikából. I. kategória Oktatási Hivatal A 2010/2011. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai fizikából I. kategória A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható. Megoldandó

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei 10. tétel Milyen mérési feladatokat kell elvégeznie a kördiagram megszerkesztéséhez? Rajzolja meg a kördiagram felhasználásával a teljes nyomatéki függvényt! Az aszinkron gép egyszerűsített kördiagramja

Részletesebben

1. feladat Alkalmazzuk a mólhő meghatározását egy gázra. Izoterm és adiabatikus átalakulásokra a következőt kapjuk:

1. feladat Alkalmazzuk a mólhő meghatározását egy gázra. Izoterm és adiabatikus átalakulásokra a következőt kapjuk: Válaszoljatok a következő kérdésekre: 1. feladat Alkalmazzuk a mólhő meghatározását egy gázra. Izoterm és adiabatikus átalakulásokra a következőt kapjuk: a) zéró izoterm átalakulásnál és végtelen az adiabatikusnál

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Ideális gáz és reális gázok

Ideális gáz és reális gázok Ideális gáz és reális gázok Fizikai kémia előadások 1. Turányi Tamás ELTE Kémiai Intézet Állaotjelzők állaotjelző: egy fizikai rendszer makroszkoikus állaotát meghatározó mennyiség egykomonensű gázok állaotjelzői:

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

Néhány közelítő megoldás geometriai szemléltetése

Néhány közelítő megoldás geometriai szemléltetése 5. Fejezet Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése 5.. Iránymező Látattuk, ogy az explicit differenciálegyenletek rendelkeznek azzal az érdekes és kivételes tulajdonsággal, ogy bár esetenként

Részletesebben

Fizika példák a döntőben

Fizika példák a döntőben Fizika példák a döntőben F. 1. Legyen két villamosmegálló közötti távolság 500 m, a villamos gyorsulása pedig 0,5 m/s! A villamos 0 s időtartamig gyorsuljon, majd állandó sebességgel megy, végül szintén

Részletesebben

Belső energia, hőmennyiség, munka Hőtan főtételei

Belső energia, hőmennyiség, munka Hőtan főtételei Belső energia, hőmennyiség, munka Hőtan főtételei Ideális gázok részecske-modellje (kinetikus gázmodell) Az ideális gáz apró pontszerű részecskékből áll, amelyek állandó, rendezetlen mozgásban vannak.

Részletesebben

ahol m-schmid vagy geometriai tényező. A terhelőerő növekedésével a csúszó síkban fellép az un. kritikus csúsztató feszültség τ

ahol m-schmid vagy geometriai tényező. A terhelőerő növekedésével a csúszó síkban fellép az un. kritikus csúsztató feszültség τ Egykristály és polikristály képlékeny alakváltozása A Frenkel féle modell, hibátlan anyagot feltételezve, nagyon nagy folyáshatárt eredményez. A rácshibák, különösen a diszlokációk jelenléte miatt a tényleges

Részletesebben

41. ábra A NaCl rács elemi cellája

41. ábra A NaCl rács elemi cellája 41. ábra A NaCl rács elemi cellája Mindkét rácsra jellemző, hogy egy tetszés szerint kiválasztott pozitív vagy negatív töltésű iont ellentétes töltésű ionok vesznek körül. Különbség a közvetlen szomszédok

Részletesebben

GÉPÉSZETI ALAPISMERETEK TÉMAKÖRÖK

GÉPÉSZETI ALAPISMERETEK TÉMAKÖRÖK GÉPÉSZETI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK Preisz Csaba mérnök-tanár Műszaki mechanika Statikai alapfogalmak - Erőrendszer fogalma - Vektorokkal végezhető alapműveleteket (erők felbontása,

Részletesebben

Az úszás biomechanikája

Az úszás biomechanikája Az úszás biomechanikája Alapvető összetevők Izomerő Kondíció állóképesség Mozgáskoordináció kivitelezés + Nem levegő, mint közeg + Izmok nem gravitációval szembeni mozgása + Levegővétel Az úszóra ható

Részletesebben

Hőtan I. főtétele tesztek

Hőtan I. főtétele tesztek Hőtan I. főtétele tesztek. álassza ki a hamis állítást! a) A termodinamika I. főtétele a belső energia változása, a hőmennyiség és a munka között állaít meg összefüggést. b) A termodinamika I. főtétele

Részletesebben

Kosárra dobás I. Egy érdekes feladattal találkoztunk [ 1 ] - ben, ahol ezt szerkesztéssel oldották meg. Most itt számítással oldjuk meg ugyanezt.

Kosárra dobás I. Egy érdekes feladattal találkoztunk [ 1 ] - ben, ahol ezt szerkesztéssel oldották meg. Most itt számítással oldjuk meg ugyanezt. osárra dobás I. Egy érdekes feladattal találkoztunk [ 1 ] - ben, ahol ezt szerkesztéssel oldották meg. Most itt számítással oldjuk meg ugyanezt. A feladat Az 1. ábrán [ 1 ] egy tornaterem hosszmetszetét

Részletesebben

Tornyai Sándor Fizikaverseny 2009. Megoldások 1

Tornyai Sándor Fizikaverseny 2009. Megoldások 1 Tornyai Sánor Fizikaerseny 9. Megolások. Aatok: á,34 m/s, s 6,44 km 644 m,,68 m/s,,447 m/s s Az első szakasz megtételéez szükséges iő: t 43 s. pont A másoik szakaszra fennáll, ogy s t pont s + s t + t

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező

Részletesebben

Járműelemek. Rugók. 1 / 27 Fólia

Járműelemek. Rugók. 1 / 27 Fólia Rugók 1 / 27 Fólia 1. Rugók funkciója A rugók a gépeknek és szerkezeteknek olyan különleges elemei, amelyek nagy (ill. korlátozott) alakváltozás létrehozására alkalmasak. Az alakváltozás, szemben más szerkezeti

Részletesebben

Gyakorlat 04 Keresztmetszetek III.

Gyakorlat 04 Keresztmetszetek III. Gyakorlat 04 Keresztmetszetek III. 1. Feladat Hajlítás és nyírás Végezzük el az alábbi gerenda keresztmetszeti vizsgálatait (tiszta esetek és lehetséges kölcsönhatások) kétféle anyaggal: S235; S355! (1)

Részletesebben

Elektrosztatika. 1.2. Mekkora két egyenlő nagyságú töltés taszítja egymást 10 m távolságból 100 N nagyságú erővel? megoldás

Elektrosztatika. 1.2. Mekkora két egyenlő nagyságú töltés taszítja egymást 10 m távolságból 100 N nagyságú erővel? megoldás Elektrosztatika 1.1. Mekkora távolságra van egymástól az a két pontszerű test, amelynek töltése 2. 10-6 C és 3. 10-8 C, és 60 N nagyságú erővel taszítják egymást? 1.2. Mekkora két egyenlő nagyságú töltés

Részletesebben

Frissítve: 2015.04.29. Feszültség- és alakváltozási állapot. 1. példa: Írjuk fel az adott kockához tartozó feszültségtenzort!

Frissítve: 2015.04.29. Feszültség- és alakváltozási állapot. 1. példa: Írjuk fel az adott kockához tartozó feszültségtenzort! 1. példa: Írjuk fel az adott kockához tartozó feszültségtenzort! 1 / 20 2. példa: Rajzoljuk fel az adott feszültségtenzorhoz tartozó kockát! 2 / 20 3. példa: Feszültségvektor számítása. Egy alkatrész egy

Részletesebben

Folyadékáramlás. Orvosi biofizika (szerk. Damjanovich Sándor, Fidy Judit, Szöllősi János) Medicina Könyvkiadó, Budapest, 2006

Folyadékáramlás. Orvosi biofizika (szerk. Damjanovich Sándor, Fidy Judit, Szöllősi János) Medicina Könyvkiadó, Budapest, 2006 14. Előadás Folyadékáramlás Kapcsolódó irodalom: Orvosi biofizika (szerk. Damjanovich Sándor, Fidy Judit, Szöllősi János) Medicina Könyvkiadó, Budapest, 2006 A biofizika alapjai (szerk. Rontó Györgyi,

Részletesebben

OPTIKA. Geometriai optika. Snellius Descartes-törvény. www.baranyi.hu 2010. szeptember 19. FIZIKA TÁVOKTATÁS

OPTIKA. Geometriai optika. Snellius Descartes-törvény. www.baranyi.hu 2010. szeptember 19. FIZIKA TÁVOKTATÁS OPTIKA Geometriai optika Snellius Descartes-törvény A fényhullám a geometriai optika szempontjából párhuzamos fénysugarakból áll. A vákuumban haladó fénysugár a geometriai egyenes fizikai megfelelője.

Részletesebben

Mérés: Millikan olajcsepp-kísérlete

Mérés: Millikan olajcsepp-kísérlete Mérés: Millikan olajcsepp-kísérlete Mérés célja: 1909-ben ezt a mérést Robert Millikan végezte el először. Mérése során meg tudta határozni az elemi részecskék töltését. Ezért a felfedezéséért Nobel-díjat

Részletesebben

óra 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 24 C 6 5 3 3 9 14 12 11 10 8 7 6 6

óra 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 24 C 6 5 3 3 9 14 12 11 10 8 7 6 6 Időjárási-éghajlati elemek: a hőmérséklet, a szél, a nedvességtartalom, a csapadék 2010.12.14. FÖLDRAJZ 1 Az időjárás és éghajlat elemei: hőmérséklet légnyomás szél vízgőztartalom (nedvességtartalom) csapadék

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

2.9.1. TABLETTÁK ÉS KAPSZULÁK SZÉTESÉSE

2.9.1. TABLETTÁK ÉS KAPSZULÁK SZÉTESÉSE 2.9.1 Tabletták és kapszulák szétesése Ph.Hg.VIII. Ph.Eur.6.3-1 01/2009:20901 2.9.1. TABLETTÁK ÉS KAPSZULÁK SZÉTESÉSE A szétesésvizsgálattal azt határozzuk meg, hogy az alábbiakban leírt kísérleti körülmények

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Hidegfolyató eljárások

Hidegfolyató eljárások Indítsa el az animációkat! Figyelje meg a bélyeg és az anyag mozgását az előre- és a hátrafolyatás esetében! Döntse el, vajon miért nevezik előre és hátrafolyatásnak a műveleteket! Előrefolyatás Hátrafolyatás

Részletesebben

II. Gyakorlat: Hajlított vasbeton keresztmetszet ellenőrzése (Négyszög és T-alakú keresztmetszetek hajlítási teherbírása III. feszültségi állapotban)

II. Gyakorlat: Hajlított vasbeton keresztmetszet ellenőrzése (Négyszög és T-alakú keresztmetszetek hajlítási teherbírása III. feszültségi állapotban) II. Gyakorlat: Hajlított vasbeton keresztmetszet ellenőrzése (Négyszög és T-alakú keresztmetszetek hajlítási teherbírása III. feszültségi állapotban) Készítették: Dr. Kiss Rita és Klinka Katalin -1- A

Részletesebben

Rezgés tesztek. 8. Egy rugó által létrehozott harmonikus rezgés esetén melyik állítás nem igaz?

Rezgés tesztek. 8. Egy rugó által létrehozott harmonikus rezgés esetén melyik állítás nem igaz? Rezgés tesztek 1. Egy rezgés kitérés-idő függvénye a következő: y = 0,42m. sin(15,7/s. t + 4,71) Mekkora a rezgés frekvenciája? a) 2,5 Hz b) 5 Hz c) 1,5 Hz d) 15,7 Hz 2. Egy rezgés sebesség-idő függvénye

Részletesebben

S T A T I K A. Az összeállításban közremûködtek: Dr. Elter Pálné Dr. Kocsis Lászlo Dr. Ágoston György Molnár Zsolt

S T A T I K A. Az összeállításban közremûködtek: Dr. Elter Pálné Dr. Kocsis Lászlo Dr. Ágoston György Molnár Zsolt S T A T I K A Ez az anyag az "Alapítvány a Magyar Felsôoktatásért és Kutatásért" és a "Gépészmérnök Képzésért Alapítvány" támogatásával készült a Mûszaki Mechanikai Tanszéken kísérleti jelleggel, hogy

Részletesebben

MUNKAANYAG. Szabó László. Hogyan kell U csöves manométerrel nyomást mérni? A követelménymodul megnevezése: Fluidumszállítás

MUNKAANYAG. Szabó László. Hogyan kell U csöves manométerrel nyomást mérni? A követelménymodul megnevezése: Fluidumszállítás Szabó László Hogyan kell U csöves manométerrel nyomást mérni? A követelménymodul megnevezése: Fluidumszállítás A követelménymodul száma: 699-06 A tartalomelem azonosító száma és célcsoportja: SzT-001-0

Részletesebben

LEVEGŐTISZTASÁG-VÉDELEM

LEVEGŐTISZTASÁG-VÉDELEM BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Épületgépészeti és Gépészeti Eljárástechnika Tanszék Dr. Örvös Mária LEVEGŐTISZTASÁG-VÉDELEM (oktatási segédlet) Budapest, 2010 Tartalomjegyzék 1 Bevezetés...

Részletesebben

Mágneses erőtér. Ahol az áramtól átjárt vezetőre (vagy mágnestűre) erő hat. A villamos forgógépek mutatós műszerek működésének alapja

Mágneses erőtér. Ahol az áramtól átjárt vezetőre (vagy mágnestűre) erő hat. A villamos forgógépek mutatós műszerek működésének alapja Mágneses erőtér Ahol az áramtól átjárt vezetőre (vagy mágnestűre) erő hat A villamos forgógépek mutatós műszerek működésének alapja Magnetosztatikai mező: nyugvó állandó mágnesek és egyenáramok időben

Részletesebben

A vizsgálatok eredményei

A vizsgálatok eredményei A vizsgálatok eredményei A vizsgált vetőmagvak és műtrágyák nagy száma az eredmények táblázatos bemutatását teszi szükségessé, a legfontosabb magyarázatokkal kiegészítve. A közölt adatok a felsorolt publikációkban

Részletesebben

1 Mechanikai anyagvizsgálatok.

1 Mechanikai anyagvizsgálatok. 1 Mecanikai anyagvizsgálatok. 1.1 Szakítóvizsgálat A vizsgálat elve: Az S kiinduló keresztmetszetű és L kezdeti osszúságú próbatestet egytengelyű úzó igénybevétellel adott sebesség mellett addig nyújtunk,

Részletesebben

Halmazállapot-változások

Halmazállapot-változások Halmazállapot-változások A halmazállapot-változások fajtái Olvadás: szilárd anyagból folyékony a szilárd részecskék közötti nagy vonzás megszűnik, a részecskék kiszakadnak a rácsszerkezetből, és kis vonzással

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

MÁGNESES TÉR, INDUKCIÓ

MÁGNESES TÉR, INDUKCIÓ Egy vezetéket 2 cm átmérőjű szigetelő testre 500 menettel tekercselünk fel, 25 cm hosszúságban. Mekkora térerősség lép fel a tekercs belsejében, ha a vezetékben 5 amperes áram folyik? Mekkora a mágneses

Részletesebben

tápvezetékre jellemző, hogy csak a vezeték végén van terhelés, ahogy az 1. ábra mutatja.

tápvezetékre jellemző, hogy csak a vezeték végén van terhelés, ahogy az 1. ábra mutatja. Tápvezeték A fogyasztókat a tápponttal közvetlen összekötő vezetékeket tápvezetéknek nevezzük. A tápvezetékre jellemző, hogy csak a vezeték végén van terhelés, ahogy az 1. ábra mutatja. U T l 1. ábra.

Részletesebben

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása l--si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása evezetés Farkas János 1, Dr. Roósz ndrás 1 doktorandusz, tanszékvezető egyetemi tanár Miskolci Egyetem nyag- és Kohómérnöki Kar Fémtani Tanszék

Részletesebben

Nyomás. Az az erő, amelyikkel az egyik test, tárgy nyomja a másikat, nyomóerőnek nevezzük. Jele: F ny

Nyomás. Az az erő, amelyikkel az egyik test, tárgy nyomja a másikat, nyomóerőnek nevezzük. Jele: F ny Nyomás Az az erő, amelyikkel az egyik test, tárgy nyomja a másikat, nyomóerőnek nevezzük. Jele: F ny, mértékegysége N (newton) Az egymásra erőt kifejtő testek, tárgyak érintkező felületét nyomott felületnek

Részletesebben

Mágneses mező tesztek. d) Egy mágnesrúd északi pólusához egy másik mágnesrúd déli pólusát közelítjük.

Mágneses mező tesztek. d) Egy mágnesrúd északi pólusához egy másik mágnesrúd déli pólusát közelítjük. Mágneses mező tesztek 1. Melyik esetben nem tapasztalunk vonzóerőt? a) A mágnesrúd északi pólusához vasdarabot közelítünk. b) A mágnesrúd közepéhez vasdarabot közelítünk. c) A mágnesrúd déli pólusához

Részletesebben

2014/2015. tavaszi félév

2014/2015. tavaszi félév Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés

Részletesebben

Tevékenység: Gyűjtse ki és tanulja meg a kötőcsavarok szilárdsági tulajdonságainak jelölési módját!

Tevékenység: Gyűjtse ki és tanulja meg a kötőcsavarok szilárdsági tulajdonságainak jelölési módját! Csavarkötés egy külső ( orsó ) és egy belső ( anya ) csavarmenet kapcsolódását jelenti. A következő képek a motor forgattyúsházában a főcsapágycsavarokat és a hajtókarcsavarokat mutatják. 1. Kötőcsavarok

Részletesebben

A A. A hidrosztatikai nyomás a folyadék súlyából származik, a folyadék részecskéi nyomják egymást.

A A. A hidrosztatikai nyomás a folyadék súlyából származik, a folyadék részecskéi nyomják egymást. . Ideális olyadék FOLYDÉKOK ÉS GÁZOK SZTTIKÁJ Nincsenek nyíróerők, a olyadékréegek szabadon elmozdulanak egymásoz kées. Emia a nyugó olyadék elszíne mindig ízszines, azaz merőleges az eredő erőre. Összenyomaalan

Részletesebben

Vasbetonszerkezetek II. Vasbeton lemezek Rugalmas lemezelmélet

Vasbetonszerkezetek II. Vasbeton lemezek Rugalmas lemezelmélet Vasbetonszerkezetek II. Vasbeton lemezek Rugalmas lemezelmélet 2. előadás A rugalmas lemezelmélet alapfeltevései A lemez anyaga homogén, izotróp, lineárisan rugalmas (Hooke törvény); A terheletlen állapotban

Részletesebben

A 2007/2008. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második fordulójának feladatai és megoldásai fizikából

A 2007/2008. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második fordulójának feladatai és megoldásai fizikából Oktatási Hiatal A 007/008. tanéi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második fordulójának feladatai és megoldásai fizikából II. kategória A dolgozatok elkészítéséez minden segédeszköz asználató. Megoldandó

Részletesebben

A lengőfűrészelésről

A lengőfűrészelésről A lengőfűrészelésről Az [ 1 ] tankönyvben ezt írják a lengőfűrészről, működéséről, használatáról: A lengőfűrész árkolásra, csaprések készítésére alkalmazott, 150 00 mm átmérőjű, 3 4 mm vastag, sűrű fogazású

Részletesebben

Az elválasztás elméleti alapjai

Az elválasztás elméleti alapjai Az elválasztás elméleti alapjai Az elválasztás során, a kromatogram kialakulása közben végbemenő folyamatok matematikai leirása bonyolult, ezért azokat teljességgel nem tárgyaljuk. Cél: * megismerni az

Részletesebben

Magfizika tesztek. 1. Melyik részecske nem tartozik a nukleonok közé? a) elektron b) proton c) neutron d) egyik sem

Magfizika tesztek. 1. Melyik részecske nem tartozik a nukleonok közé? a) elektron b) proton c) neutron d) egyik sem 1. Melyik részecske nem tartozik a nukleonok közé? a) elektron b) proton c) neutron d) egyik sem 2. Mit nevezünk az atom tömegszámának? a) a protonok számát b) a neutronok számát c) a protonok és neutronok

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

DÖNTŐ 2013. április 20. 7. évfolyam

DÖNTŐ 2013. április 20. 7. évfolyam Bor Pál Fizikaverseny 2012/2013-as tanév DÖNTŐ 2013. április 20. 7. évfolyam Versenyző neve:.. Figyelj arra, hogy ezen kívül még két helyen (a belső lapokon erre kijelölt téglalapokban) fel kell írnod

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Forogj! Az [ 1 ] munkában találtunk egy feladatot, ami beindította a HD - készítési folyamatokat. Eredményei alább olvashatók. 1.

Forogj! Az [ 1 ] munkában találtunk egy feladatot, ami beindította a HD - készítési folyamatokat. Eredményei alább olvashatók. 1. 1 Forogj! Az [ 1 ] munkában találtunk egy feladatot, ami beindította a HD - készítési folyamatokat. Eredményei alább olvashatók. 1. Feladat Egy G gépkocsi állandó v 0 nagyságú sebességgel egyenes úton

Részletesebben

METEOROLÓGIAI MÉRÉSEK és MEGFIGYELÉSEK

METEOROLÓGIAI MÉRÉSEK és MEGFIGYELÉSEK METEOROLÓGIAI MÉRÉSEK és MEGFIGYELÉSEK Földtudomány BSc Mészáros Róbert Eötvös Loránd Tudományegyetem Meteorológiai Tanszék MIÉRT MÉRÜNK? A meteorológiai mérések célja: 1. A légkör pillanatnyi állapotának

Részletesebben

Kondenzált anyagok csoportosítása

Kondenzált anyagok csoportosítása Szilárdtestfizika Kondenzált anyagok csoportosítása 1. Üvegek Nagy viszkozitású olvadék állapotú anyagok, amelyek nagyon lassan szilárd állapotba mennek át. Folyékony állapotból gyors hűtéssel állíthatók

Részletesebben

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program Regresszió számítás GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program DigiKom Kft. 2006-2010 Tartalomjegyzék: Egyenes x változik Egyenes y változik Egyenes y és x változik Kör Sík z változik Sík y, x és z

Részletesebben

1. gyakorlat. Egyenletes és egyenletesen változó mozgás. 1. példa

1. gyakorlat. Egyenletes és egyenletesen változó mozgás. 1. példa 1. gyakorlat Egyenletes és egyenletesen változó mozgás egyenletes mozgás egyenletesen változó mozgás gyorsulás a = 0 a(t) = a = állandó sebesség v(t) = v = állandó v(t) = v(0) + a t pályakoordináta s(t)

Részletesebben

Kötések kialakítása - oktett elmélet

Kötések kialakítása - oktett elmélet Kémiai kötések Az elemek és vegyületek halmazai az atomok kapcsolódásával - kémiai kötések kialakításával - jönnek létre szabad atomként csak a nemesgázatomok léteznek elsődleges kémiai kötések Kötések

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

MUNKAANYAG. Szabó László. Szilárdságtan. A követelménymodul megnevezése:

MUNKAANYAG. Szabó László. Szilárdságtan. A követelménymodul megnevezése: Szabó László Szilárdságtan A követelménymodul megnevezése: Kőolaj- és vegyipari géprendszer üzemeltetője és vegyipari technikus feladatok A követelménymodul száma: 047-06 A tartalomelem azonosító száma

Részletesebben

Haladó mozgások A hely és a mozgás viszonylagos. A testek helyét, mozgását valamilyen vonatkoztatási ponthoz, vonatkoztatási rendszerhez képest adjuk

Haladó mozgások A hely és a mozgás viszonylagos. A testek helyét, mozgását valamilyen vonatkoztatási ponthoz, vonatkoztatási rendszerhez képest adjuk Haladó mozgások A hely és a mozgás viszonylagos. A testek helyét, mozgását valamilyen vonatkoztatási ponthoz, vonatkoztatási rendszerhez képest adjuk meg, ahhoz viszonyítjuk. pl. A vonatban utazó ember

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

52 524 01 0100 31 01 Nyomástartóedény-gépész Kőolaj- és vegyipari géprendszer üzemeltetője

52 524 01 0100 31 01 Nyomástartóedény-gépész Kőolaj- és vegyipari géprendszer üzemeltetője A 10/2007 (II. 27.) SzMM rendelettel módosított 1/2006 (II. 17.) OM rendelet Országos Képzési Jegyzékről és az Országos Képzési Jegyzékbe történő felvétel és törlés eljárási rendjéről alapján. Szakképesítés,

Részletesebben

A halmazállapot-változások

A halmazállapot-változások A halmazállapot-változások A bemutatót összeállította: Fogarasi József, Petrik Lajos SZKI, 2011 1 Halmazállapotok Energia Kondenzáció Kondenzációs hő Kondenzáció Párolgás Gőz Fagyáshő Párolgáshő Folyadék

Részletesebben

Jegyzőkönyv. mágneses szuszceptibilitás méréséről (7)

Jegyzőkönyv. mágneses szuszceptibilitás méréséről (7) Jegyzőkönyv a mágneses szuszceptibilitás méréséről (7) Készítette: Tüzes Dániel Mérés ideje: 8-1-1, szerda 14-18 óra Jegyzőkönyv elkészülte: 8-1-8 A mérés célja A feladat egy mágneses térerősségmérő eszköz

Részletesebben

Segédlet a Hengeres nyomó csavarrugó feladat kidolgozásához

Segédlet a Hengeres nyomó csavarrugó feladat kidolgozásához Segédlet a Hengeres nyomó csavarrugó feladat kidolgozásához A rugók olyan gépelemek, amelyek mechanikai energia felvételére, tárolására alkalmasak. A tárolt energiát, erő vagy nyomaték formájában képesek

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Szilárdtestek el e ek e tr t o r n o s n zer e k r ez e et e e t

Szilárdtestek el e ek e tr t o r n o s n zer e k r ez e et e e t Szilárdtestek elektronszerkezete Kvantummechanikai leírás Ismétlés: Schrödinger egyenlet, hullámfüggvény, hidrogén-atom, spin, Pauli-elv, periódusos rendszer 2 Szilárdtestek egyelektron-modellje a magok

Részletesebben

SZIMULÁCIÓ ÉS MODELLEZÉS AZ ANSYS ALKALMAZÁSÁVAL

SZIMULÁCIÓ ÉS MODELLEZÉS AZ ANSYS ALKALMAZÁSÁVAL SZIMULÁCIÓ ÉS MODELLEZÉS AZ ANSYS ALKALMAZÁSÁVAL MAGYAR TUDOMÁNY NAPJA KONFERENCIA 2010 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA CSUKA ANTAL TARTALOM A KÍSÉRLET ÉS MÉRÉS JELENTŐSÉGE A MÉRNÖKI GYAKORLATBAN, MECHANIKAI FESZÜLTSÉG

Részletesebben

Készült az FVM Vidékfejlesztési, Képzési és Szaktanácsadási Intézet megbízásából

Készült az FVM Vidékfejlesztési, Képzési és Szaktanácsadási Intézet megbízásából Készült az FVM Vidékfejlesztési, Kézési és Szaktanácsadási Intézet mebízásából Kélettár Készült az Élelmiszer-iari mőeletek és folyamatok tankönyöz Összeállította: Pa ászló ektorálta: Koács Gáborné Budaest,

Részletesebben

2. Laboratóriumi gyakorlat A TERMISZTOR. 1. A gyakorlat célja. 2. Elméleti bevezető

2. Laboratóriumi gyakorlat A TERMISZTOR. 1. A gyakorlat célja. 2. Elméleti bevezető . Laboratóriumi gyakorlat A EMISZO. A gyakorlat célja A termisztorok működésének bemutatása, valamint főbb paramétereik meghatározása. Az ellenállás-hőmérséklet = f és feszültség-áram U = f ( I ) jelleggörbék

Részletesebben

Póda László Urbán János: Fizika 10. Emelt szintű képzéshez c. tankönyv (NT-17235) feladatainak megoldása

Póda László Urbán János: Fizika 10. Emelt szintű képzéshez c. tankönyv (NT-17235) feladatainak megoldása Póda László Urbán ános: Fizika. Emelt szintű képzéshez c. tankönyv (NT-75) feladatainak megoldása R. sz.: RE75 Nemzedékek Tudása Tankönyvkiadó, Budapest Tartalom. lecke Az elektromos állapot.... lecke

Részletesebben