Az első kiegyensúlyozott fa algoritmus. Kitalálói: Adelson-Velskii és Landis (1962)

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Az első kiegyensúlyozott fa algoritmus. Kitalálói: Adelson-Velskii és Landis (1962)"

Márk Szekeres
8 évvel ezelőtt
Látták:

1 6. előadás

2 AVL fák Az első kiegensúlozott fa algoritmus Kitalálói: Adelson-Velskii és Landis (196) Tulajdonságok Bináris rendezőfa A bal és jobb részfák magassága legfeljebb 1-gel különbözik A részfák is AVL fák AVL fa AVL fa

3 AVL fák Jelölje m(f) az f bináris fa magasságát (szintjeinek számát), a az f fa eg csúcsa: ekkor m() jelöli az -gökerű részfa magasságát. Definíció (AVL-tulajdonság): Eg bináris keresőfa AVL-fa, a minden csúcsára teljesül, og m(bal[]) m(jobb[]) 1

4 AVL fák Mekkora a k - szintű AVL-fa minimális csúcsszáma? S 0 = 1 S 1 = S = 4 S 3 = 7

5 AVL fák Mekkora a k - szintű AVL-fa minimális csúcsszáma? S 4 =1

6 AVL fák Összefüggés az AVL-fa pontszáma és magassága között: n adattal felépítető fa minimális magassága? majdnem teljes bináris fa n adattal felépítető fa maimális magassága? uganez a kérdés: az adott szintszámú AVL-fák közül menni a minimális pontszám? A szintszámú minimális csúcsszámú AVL-fa gökerének egik részfája 1, a másik szintű; az eredeti fa minimalitása miatt pedig mindkét részfa minimális csúcsszámú.

7 -1 - rekurzió: S = 1 + S -1 + S -

8 AVL fák - magasság Tétel: Eg magasságú AVL fának legalább F +3-1 csúcsa van Bizonítás: Legen S a legkisebb magasságú AVL fa mérete (ezt jelöljük majd n-nel) Nilván, S 0 = 1 és S 1 = valamint S = S -1 + S Indukcióval.. S = F +3-1 ( 3-mal eltolt Fibonacci ) (F + -1+F =F +3-1)

9 AVL fák - magasság A Fibonacci számokra igaz a Binet-formula: F n 1 1 n 1 n F

n S 1,44log log 1 log 1 log / 1 1 1 1 1 8 3 3 1

10 n S 1,44log log 1 log 1 log / n S nem meet az optimális fölé 44%- kal többel

11 Újrakiegensúlozás beszúrásnál A beszúrás elrontja az AVL tulajdonságot eset: 1 és 4 tükörképek és 3 tükörképek

12 Újrakiegensúlozás beszúrásnál Eg új attribútumot vezetünk be: kiegensúlozási ténező -1 : bal részfa magasabb 1-gel 0 : egforma magasak a részfák +1: jobb részfa magasabb 1-gel

13 A (++,+) szabál: < < < < beszúrás Az új levél a részfába került. A beszúrás előtt a fa magassága + volt.

A (++,+) szabál: ++ + +1 Az új levél a részfába került. A beszúrás előtt a fa magassága + volt. Forgatás: +1 Ennek a tükörképe a (--,-) szabál! (1.

14 A (++,+) szabál: Az új levél a részfába került. A beszúrás előtt a fa magassága + volt. Forgatás: +1 Ennek a tükörképe a (--,-) szabál! (1. eset) < < < < A forgatás után ismét + a magasság. Ezért feljebb, a befoglaló fában (a van), változatlanul érvénes az AVL tulajdonság, nem kell feljebb menni ellenőrizni.

15 Példa ezt szúrtuk be

16 Példa

17 A (++,-) szabál: + 0 z Az új levél a z alatti vag részfába került. A beszúrás előtt a z csúcs alatti fák egformák: z ++ - < < < z < < < -1-1 A beszúrás után az egik részfa magassága lett, a másik maradt -1.

18 A (++,-) szabál: ++ Dupla forgatás kell: először jobbra: ++ - z + z -1 v. 0 v v. -1 < < < z < < <

19 A (++,-) szabál: Dupla forgatás kell: azután balra: z z

20 A (++,-) szabál: Végeredmén z A beszúrás előtt az gökerű fa magassága + volt. A forgatás után ismét + a magasság. Ezért feljebb, a befoglaló fában (a van), változatlanul érvénes az AVL tulajdonság, nem kell feljebb menni ellenőrizni. Továbbra is igaz: < < < z < < < Ennek a tükörképe a (--,+) szabál!

21 Újrakiegensúlozás beszúrásnál Összefoglalva: A beszúrás után az új levéltől felfelé aladva a gökér felé újra számoljuk a csúcsok címkéit ezen az útvonalon. Ha eg csúcs címkéje ++ vag -lesz, akkor az gökerű (rész)fa (esetleg dupla) forgatásával elreállítató az AVL tulajdonság. Műveletigén: O(1)

22 Újrakiegensúlozás beszúrásnál Tétel. Legen S eg n csúcsból álló AVL-fa. BESZÚR(s; S) után legfeljebb eg (esetleg dupla) forgatással elreállítató az AVL-tulajdonság. A beszúrás költsége ezzel egütt is O(log n). Bizonítás: az előzőekből következik

23 AVL fák újrakiegensúlozás törlésnél A (++,+) és (++,0) szabál v. 0 v A törlés az részfában történt. Ennek a magassága +1 volt és lett. Az gökerű fa magassága +3 volt v. 0 v < < < <

24 A (++,+) (++,0) szabál ++ + v A törlés az részfában történt. Ennek a magassága +1 volt és lett. Az gökerű fa magassága +3 volt. Forgatás: v v < < < < A forgatás után + a magasság. Ezért feljebb, a befoglaló fában (a van), nem biztos, og változatlanul érvénes az AVL tulajdonság, feljebb kell menni ellenőrizni, amíg a gökérig nem jutunk.

25 A (++,+) szabál Ha az eredeti fában például: + z < < < < < z <

26 A (++,+) szabál Akkor az eredmén fa: z < < < < < z < feljebb kell menni ellenőrizni, és szükség szerint elreállítani, amíg a gökérig nem jutunk.

27 A (++,-) szabál +1-1 v. z + v. -1 < < < z < < < - A törlés az részfában történik. Ennek a magassága +1 volt és lett. Az gökerű fa magassága v. z ++ 0 v dupla forgatás

28 A (++,-) szabál: ++ Dupla forgatás kell: először jobbra: ++ - z z -1 v. -1 v. v. -1 v. -1 < < < z < < <

29 A (++,-) szabál: Dupla forgatás kell: azután balra: z z -1 v. v. -1

30 A (++,-) szabál: Végeredmén z A forgatás után + a magasság. Ezért feljebb, a befoglaló fában (a van), nem biztos, og változatlanul érvénes az AVL tulajdonság, feljebb kell menni ellenőrizni, amíg a gökérig nem jutunk. Továbbra is igaz: < < < z < < <

31 Újrakiegensúlozás törlésnél Összefoglalva: Mivel az gökerű fa magassága csökkent a forgatással, ezért feljebb is, a van befoglaló fa, elromolatott az AVL tulajdonság. A törlés után a törölt elem szülőjétől kezdve felfelé aladva a gökér felé újra számoljuk a csúcsok címkéit ezen az útvonalon. Ha eg csúcs címkéje ++ vag - lesz, akkor az gökerű (rész)fa (esetleg dupla) forgatásával elreállítjuk annak AVL tulajdonságát. Ha nem a gökér, akkor feljebb kell lépni és foltatni kell az ellenőrzést. Szélsőséges esetben az adott útvonal minden pontjában forgatni kell!

32 Újrakiegensúlozás törlésnél Tétel: Az n pontú AVL-fából való törlés után legfeljebb 1,44 log n (sima vag dupla) forgatás elreállítja az AVL-tulajdonságot. Bizonítás: az előzőekből következik.

33 Összefoglalás AVL fák Az első dinamikusan kiegensúlozott fák A magasság az optimális 44%-án belül Újrakiegensúlozás forgatásokkal O(log n) Nézzük meg az animációt! ttp://

Hasonló dokumentumok

Gyakorló feladatok ZH-ra

Algoritmuselmélet Schlotter Ildi 2011. április 6. ildi@cs.bme.hu Gyakorló feladatok ZH-ra Nagyságrendek 1. Egy algoritmusról tudjuk, hogy a lépésszáma O(n 2 ). Lehetséges-e, hogy (a) minden páros n-re