A. Jakovác, ELTE, Institute of Pysics
|
|
- Marika Patakiné
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Understanding understanding A. Jakovác, ELTE, Institute of Pysics Intelligent particles OTKA group
2 Tartalom Bevezetés A megértés definíciója Az AI feladatok megközelítése Mikor hasznos a tudomány? Megértés és tanulás Konklúzió 2
3 Tartalom Bevezetés A megértés definíciója Az AI feladatok megközelítése Mikor hasznos a tudomány? Megértés és tanulás Konklúzió 3
4 Mi a megértés? Mit lehet megérteni? matematikai formulát, könyvet, viccet, Honnan tudjuk, hogy értünk valamit? Tudunk válaszolni a kérdésekre! ellenőrző kérdés: pl. az alábbiak közül válaszd ki a racionális számokat számolási kérdés: pl. körpályán mozgó test gyorsulása összefoglaló kérdés: pl. írd le a Római Birodalom bukásának okait példa kérdezése: pl. mondj egy példát exoterm reakcióra Ezek az AI feladatai is! (klasszifikáció, regresszió, tömörítés, dekódolás) Megértés technikai definíciója: egy jelenség olyan leírása, ahol a fenti feladatok egyszerűen megoldhatók. 4
5 Többféle megértés Egy jelenség többféle módon is megérthető! gáz megértése molekulák ütközése, Newton-egyenletek vagy kvantummechanika kinetikus gázelmélet, statisztikus fizika hidrodinamika ill. gáztörvények, termodinamika Mindegyik külön-külön is egyfajta megértés 5
6 Többféle megértés Egy jelenség többféle módon is megérthető! gáz megértése molekulák ütközése, Newton-egyenletek vagy kvantummechanika kinetikus gázelmélet, statisztikus fizika hidrodinamika ill. gáztörvények, termodinamika képfeldolgozás Mindegyik külön-külön is egyfajta megértés digitalizált képben pixelek színe, korrelációja, technikai részletek: textúrák, színek, színfoltok makroszkopikus részletek: pl. macska, nő, fotel festmény: Renoir: Nő macskával 6
7 Többféle megértés Egy jelenség többféle módon is megérthető! gáz megértése molekulák ütközése, Newton-egyenletek vagy kvantummechanika kinetikus gázelmélet, statisztikus fizika hidrodinamika ill. gáztörvények, termodinamika képfeldolgozás Mindegyik külön-külön is egyfajta megértés Ez lesz aamegértés megértésére: Ezigaz igaz leszkorrelációja, megértés megértésére: digitalizált képben pixelek színe, technikai részletek (DNN, technikai részletek: textúrák, színek, színfoltok technikai részletek (DNN,Boltzmann BoltzmannMachine, Machine,...)...) Bayes-i modell makroszkopikus részletek: pl. macska, nő, fotel Bayes-i modell(valószínűségi) (valószínűségi) fogalmi festmény: Renoir: Nő macskával fogalmirendszerek rendszerek 7
8 Miért fontos a megértés megértése? Általánosan: megértés szükséges a tervezéshez. Intelligencia/megértés megértésével megközelíthetünk olyan kérdéseket, mint miért hibáznak az AI módszerek váratlanul, és hogyan lehet ezen segíteni? mekkora a minimálisan szükséges információ a veszteségmentes tömörítéshez? lehet-e/érdemes-e a tudományos módszereket (elméletek, algoritmusok) helyettesíteni AI módszerekkel? 8
9 Klasszifikációs hibák Amazon s facial recognition matched 28 members of Congress to criminal mugshots 9
10 Tartalom Bevezetés A megértés definíciója Az AI feladatok megközelítése Mikor hasznos a tudomány? Megértés és tanulás Konklúzió 10
11 Definiáljuk a megértést! Egy jelenség megértéséhez meg kell találnunk a hasznos fogalmakat (pl. pixel, vagy macska, szem, arc, haj, ember, vagy festészeti stílusok stb.) A különböző szintű megértések ugyanannak a jelenségkörnek másfajta fogalmi reprezentációját adják Megértés Megértésdefiníciójához definíciójáhozaa jelenségek jelenségek különféle különféle reprezentációját reprezentációját kell kell megvizsgálnunk! megvizsgálnunk! 11
12 Adatok reprezentációja Feldolgozandó adatok legyenek valamilyen X véges halmaz elemei x ϵ X (pl.: X = képek, szövegek, adatsorok, stb. ) Ezt valamilyen formában számszerűsíteni kell; ehhez Ψ V : X V bijekciót N használunk (pl. V =V 1, ahol V 1 = {pixel színek} vagy {karakterek}...) De másfajta reprezentáció is lehet: Ψ Z : X Z ΨZ A két reprezentáció viszonya: 1 F=Ψ V Ψ Z, F :V Z szintén bijekció koordináták koordináták~ ~fogalmak, fogalmak,tulajdonságok tulajdonságok egy egyadat adatesetén eseténnincs nincskitüntetett kitüntetettreprezentáció! reprezentáció! 12 ΨV F=Ψ 1 V ΨZ
13 Adathalmazok Adathalmazok: valódi objektum megfigyelése: különböző szögek, megvilágítás, stb élő beszéd: ugyanazok a szavak más háttérzajban, más kiejtéssel, stb. macskás képek: más helyzet, eltérő fajták, más háttér, stb. Adathalmazok esetén eloszlásokat értelmezhetünk. Ψ : X Z koordináták eloszlása C X részhalmazon: (C ) Független koordináták: p Ψ ( ξ )= 1 (C ) p Ψ ( ξ )= δ C x C Ψ( x)=ξ i p(cψ ) ( ξ i ) i Ez esetben a korrelációs függvények szorzat alakúak: 1 (C ) ξ a ξ a C = Ψ a ( x) Ψ a ( x)= d ξ p Ψ ( ξ ) ξ a ξ a = ξ a ξ a C x C 1 13 k 1 k 1 k 1 k
14 Egyszerű példa: 3 bites kép esete Összes kép halmaza: X = { 3 bit }, 8 elemű halmaz A pixelek eloszlása: p i ( σ )= δ σ 0 + δ σ 1 i {1,2,3 } A pixelek függetlenek a teljes X halmazon, mert σ i X =, σ 1 σ 2 X = = σ 1 X σ 2 X, σ 1 σ 2 σ 3 X = = σ 1 X σ 2 X σ 3 X Ha egymástól függetlenül választok pixeleket a fenti (egyenletes) eloszlással, akkor a teljes X halmazt legenerálom! 14
15 Egyszerű példa: 3 bites kép esete Válasszuk ki a C = { 001, 010, 100, 111 } X részhalmazt! Az egyes pixelek eloszlása C-n: egyenletes, mint az előbb. 1 1 p i ( σ )= δ σ 0 + δ σ i {1,2,3 } De a pixelek nem függetlenek C-n! σ i C =, σ 1 σ 2 C = = σ 1 C σ 2 C, σ1 σ 2 σ 3 C = σ 1 C σ2 C σ 3 C Részhalmaz választása esetén korrelációk alakulnak ki a pixelek között! 15
16 Egyszerű példa: 3 bites kép esete Más koordináták: ξ1= {1-esek száma mod 2}, ξ2 =σ 2, ξ 3 =σ 3 Ezek eloszlása C-n: p 1 ( ξ )= δ ξ 1, 1 1 pi ( ξ )= δ σ 0 + δ σ 1 i {2,3 } 2 2 ξ1 éles eloszlású, ξ2,3 egyenletes eloszlású. Ezek a koordináták már függetlenek! ξ1 C =1, ξ 2,3 C =, ξ1 ξ 2,3 C =, ξ2 ξ3 C =, ξ 1 ξ 2 ξ3 C = Ezek a koordináták hasznos fogalmak C jellemzésére! pl.: x C ξ1 =1 le lehet generálni C-t függetlenül választva a koordinátákat 16
17 Hogy lehet megtalálni ezt a koordinátarendszert? p C minden elemhez rendeljük hozzá a sorszámát permutáljuk a képhalmazt (bijekció), hogy a C halmaz elemei kis sorszámúak legyenek a sorszámot írjuk fel C bázisban n=a C +b, b C x C elemekre a=0, x C elemekre a 0 17
18 Több részhalmaz együttes megértése A A A = {0001,0011,0110,1110}, B={1001,1101} Lehet-e olyan koordinátarendszert felírni, amelyben mindkét részhalmaz elemei beazonosíthatók? A B B A 18
19 Több részhalmaz együttes megértése A A A B A 19 p A = {0001,0011,0110,1110}, B={1001,1101} Lehet-e olyan koordinátarendszert felírni, amelyben mindkét részhalmaz elemei beazonosíthatók? B minden elemhez rendeljük hozzá a sorszámát (n) permutáljuk (p) az X halmazt úgy, hogy A kerüljön előre, utána B következzen X B A x A, ha ξ1=0, ξ2, ξ3 tetszőleges x B, ha ξ1=1, ξ 2=0, ξ 3 tetszőleges n ( p( x))= ξ1 A + ξ 2 B + ξ 3 ξ1 {0, 1} A A ξ2 {0, 1} B ξ 3 {0, B 1}
20 A megértés matematikai definíciója def.: A Ψ: X Z bijekció a C₁, C₂,, Cₙ X diszjunkt részhalmazok teljes közös modellje, ha a megfelelő ξᵢ ᵢ koordináták függetlenek, és eloszlásuk vagy éles, vagy nem-nulla. def.: Akkor mondjuk, hogy értjük a C₁, C₂,, Cₙ X diszjunkt részhalmazokat, ha találunk teljes közös modellt rájuk. (C 1) p ={ (C 2 ) p ={,,,,, },,,,, }... 20
21 A megértés matematikai definíciója def.: A Ψ: X Z bijekció a C₁, C₂,, Cₙ X diszjunkt részhalmazok teljes közös modellje, ha a megfelelő ξᵢ ᵢ koordináták függetlenek, és eloszlásuk vagy éles, vagy egyenletes. def.: Akkor mondjuk, hogy értjük a C₁, C₂,, Cₙ X diszjunkt részhalmazokat, ha találunk teljes közös modellt rájuk. (C 1) p ={ (C 2 ) p ={,,,,, },,,,, }... éles eloszlás: releváns koordináták 21...
22 A megértés matematikai definíciója def.: A Ψ: X Z bijekció a C₁, C₂,, Cₙ X diszjunkt részhalmazok teljes közös modellje (common complete model CCM), ha a megfelelő ξᵢ ᵢ koordináták függetlenek, és eloszlásuk vagy éles, vagy egyenletes (nem-nulla). def.: Akkor mondjuk, hogy értjük a C₁, C₂,, Cₙ X diszjunkt részhalmazokat, ha találunk teljes közös modellt rájuk. (C 1) p ={ (C 2 ) p ={,,,,, },,,,, }... nem-nulla eloszlás: irreleváns koordináták éles eloszlás: releváns koordináták 22...
23 Tartalom Bevezetés A megértés definíciója Az AI feladatok megközelítése Mikor hasznos a tudomány? Megértés és tanulás Konklúzió 23
24 Teljes közös model és megértés Hogyan lehet egy teljes közös modell (CCM) segítségével elvégezni az AI feladatokat? klasszifikáció regresszió tömörítés dekódolás 24
25 Klasszifikáció Feladat: tudjuk, hogy x C= a C a, határozzuk meg azt az a-t, amelyre x C a! Megoldás: írjuk fel a részhalmazok teljes közös modelljét! A koordináták lehetnek relevánsak C-re, és minden Cₐ részhalmazra: ezek nem fontosak, csak azt jelzik, hogy a C elemét vizsgáljuk irrelvánsak C-re, és minden Cₐ részhalmazra: ezek nem fontosak, csak azt jelzik, melyik elemét nézzük a részhalmazoknak irrelevánsak C-re, de relevánsak legalább az egyik Cₐ részhalmazra: ezek döntik el, melyik részhalmaz eleméről van szó! pl. a 4 bites példában elég figyelni a ξ₁ és és ξᵢ ₂ koordinátákat. 25
26 Klasszifikáció Feladat: tudjuk, hogy x C= a C a, határozzuk meg azt az a-t, amelyre x C a! Megoldás: írjuk fel a részhalmazok teljes közös modelljét! A koordináták lehetnek relevánsak C-re, és minden Cₐ részhalmazra: ezek nem fontosak, csak azt jelzik, hogy a C elemét vizsgáljuk irrelvánsak C-re, és minden Cₐ részhalmazra: ezek nem fontosak, csak azt jelzik, melyik elemét nézzük a részhalmazoknak irrelevánsak C-re, de relevánsak legalább az egyik Cₐ részhalmazra: ezek döntik el, melyik részhalmaz eleméről van szó! Klasszifikáció Klasszifikáció releváns releváns koordináták koordináták értéke értéke pl. a 4 bites példában elég figyelni a ξ₁ és és ξᵢ ₂ koordinátákat. 26
27 Klasszifikáció Feladat: tudjuk, hogy x C= a C a, határozzuk meg azt az a-t, amelyre x C a! Megoldás: írjuk fel a részhalmazok teljes közös modelljét! A koordináták lehetnek relevánsak C-re, és minden Cₐ részhalmazra: ezek nem fontosak, csak azt jelzik, hogy a C elemét vizsgáljuk irrelvánsak C-re, és minden Cₐ részhalmazra: ezek nem fontosak, csak azt jelzik, melyik elemét nézzük a részhalmazoknak Megjegyzés: irrelevánsak C-re, de relevánsak legalább az egyik Cₐ részhalmazra: ezek döntik el, melyik részhalmaz eleméről van szó! Klasszifikáció Klasszifikáció releváns releváns koordináták koordináták értéke értéke minden releváns koordinátának egyeznie kell! pl. a 4 bites példában gyakorlat: elég figyelni acsak ξ₁ és és egy ξᵢ ₂ koordinátákat. (jelenlegi klasszifikációs koordináta) 27
28 Regresszió Feladat: tudjuk, hogy x C, határozzuk meg, melyik elem az! bx (például: egy ponthalmazról tudjuk, hogy y=a e, adjuk meg a-t és b-t!) Megoldás: írjuk fel a részhalmaz teljes modelljét! a releváns koordináták konstansok minden x C-re irrelváns koordináták különböztetik meg C elemeit! 28 bx y=a e
29 Regresszió Feladat: tudjuk, hogy x C, határozzuk meg, melyik elem az! bx (például: egy ponthalmazról tudjuk, hogy y=a e, adjuk meg a-t és b-t!) Megoldás: írjuk fel a részhalmaz teljes modelljét! a releváns koordináták konstansok minden x C-re irrelváns koordináták különböztetik meg C elemeit! bx y=a e Regresszió Regresszió irreleváns irreleváns koordináták koordináták értéke értéke 29
30 Veszteségmentes tömörítés Feladat: tudjuk, hogy x C, mennyi információ elég a meghatározásához? (lényegében ugyanaz, mint a regresszió ) Megoldás: írjuk fel a részhalmaz teljes modelljét! a releváns koordináták konstansok minden x C-re, ezt hardveresen rögzíthetjük irrelváns koordináták alapján meghatározhatók C elemei! 30
31 Veszteségmentes tömörítés Feladat: tudjuk, hogy x C, mennyi információ elég a meghatárzásához? (lényegében ugyanaz, mint a regresszió ) Megoldás: írjuk fel a részhalmaz teljes modelljét! a releváns koordináták konstansok minden x C-re, ezt hardveresen rögzíthetjük irrelváns koordináták alapján meghatározhatók C elemei! Tömörítés Tömörítés irreleváns irreleváns koordináták koordináták tárolása tárolása 31
32 Dekódolás Feladat: adjunk meg egy tetszőleges elemet C-ből! Megoldás: írjuk fel a részhalmaz teljes modelljét! A koordináták függetlenek, így a releváns koordináták értékét rögzítsük C-nek megfelelően ξ a irrelvánsak koordináták értékét az eloszlásuk alapján válasszuk ξ b 1 a Ψ : X Z bijekció inverzével hatva x=ψ ( ξ a, ξ b ) C Ψ 32 1
33 Dekódolás Feladat: adjunk meg egy tetszőleges elemet C-ből! Megoldás: írjuk fel a részhalmaz teljes modelljét! A koordináták függetlenek, így a releváns koordináták értékét rögzítsük C-nek megfelelően ξ a irrelvánsak koordináták értékét az eloszlásuk alapján válasszuk ξ b 1 a Ψ : X Z bijekció inverzével hatva x=ψ ( ξ a, ξ b ) C Dekódolás Dekódolás koordináták koordináták független független megválasztása megválasztása Ψ 33 1
34 Tartalom Bevezetés A megértés definíciója Az AI feladatok megközelítése Mikor hasznos a tudomány? Megértés és tanulás Konklúzió 34
35 Hány releváns koordináta van? A releváns koordináták száma függ a C halmaztól! C=X (teljes halmaz): minden koorindáta irreleváns (szabadon választható) C={x} (egyetlen elem): minden koordináta releváns (rögzített értékű) C={001,010,100,111}: 1 bit releváns, 2 bit irreleváns C={0001,0011,0110,1110}: 2 bit releváns, 2 bit irreleváns általában: irreleváns bitek száma =log 2 ( C ), a többi releváns bit 35
36 Hány releváns koordináta van? Bonyolultabb példa: 100x100-as színes kép, rajta legfeljebb 10 négyszög. 10 Az ilyen képek száma: N obj=0 ( 2 2 L1 L2 Nc 2 2 ) N obj vagyis 486 irreleváns bit írja le. Az összes bit száma: ! A releváns bitek száma tehát
37 Hány releváns koordináta van? Bonyolultabb példa 100x100-as színes kép, rajta legfeljebb 10 négyszög: 10 Az ilyen képek száma: N obj=0 ( 2 2 L1 L2 Nc 2 2 ) N obj vagyis 486 irreleváns bit írja le. Az összes bit száma: ! A releváns bitek száma tehát Kép Kép esetén esetén aa releváns relevánsbitek bitekszáma száma nagyon nagyon nagy! nagy! (ezért (ezérttömöríthetőek) tömöríthetőek) 37
38 Hány releváns koordináta van? Statisztikus fizika, mikrokanonikus sokaságban előforduló konfigurációk: ergodicitás: minden konfiguráció egyenértékű megengedett konfigurációk, amelyek a megmaradó mennyiségeket (E, V, N) állandónak tartják Releváns koordináták megmaradó mennyiségek: 3 db nem tömöríthető Irreleváns koordináta minden egyéb! Tudományos modellekben: releváns koordináták független kontrollálható/mérhető mennyiségek 38
39 Mikor lehet tudományos modellt felírni? Ha a független paraméterek jól definiálhatók és nincs túl sok belőlük létezik tudományos modell (algoritmus) Törvények: megfigyelhető mennyiségek kifejezése a független koordinátákkal Ha a releváns koordináták száma nagy vagy rosszul definiálható (pl. gyorsan változnak), akkor nem lehet algoritmizálni képfelismerés/arcfelismerés sakk vs. go előre persze nehéz megmondani, lehet-e csökkenteni a releváns paraméterek számát (hit a tudományban ). 39
40 Tartalom Bevezetés A megértés definíciója Az AI feladatok megközelítése Mikor hasznos a tudomány? Megértés és tanulás Konklúzió 40
41 Mi történik a tanuláskor (unsupervised learning)? Hogy találhatunk meg egy jó (nem feltétlenül teljes) modellt? tanulás Valódi helyzet: a C halmaz elemeit egyesével ismerjük meg nem tudjuk előre, melyek a releváns és irreleváns koordináták próbamodell: nem tökéletes 41
42 Tanulás: a próbamodell javítása nem tökéletes modell koordinátája tegyük fel, hogy releváns! tegyük fel, hogy irreleváns! VAGY élesítsük! 42 laposítsuk!
43 Tanulás: a fogalmak átalakítása Előfordulhat, hogy nem érünk célt a további élesítéssel/laposítással változtassunk a relevancia besoroláson Heuréka! ez a fogalom releváns! 43 Leszámolás a hiedelmekkel: ez a koordináta nem kötött értékű!
44 A valószínűség eredete Nem teljes modellnél előfordul, hogy a megfigyelt jelenség releváns koordinátáinak értéke nem felel meg egy kategóriának sem. valószínűleg kutya: valószínűségi mérték! (kutyák releváns koordinátája módosítandó) kutyák kutyaszerű új állatcsoport (új releváns koordináták bevezetése)? macskák nem tudom (túl messze vagyunk minden ismert fogalomtól) Ezekhez az opciókhoz több releváns koordináta ismerete kell! 44
45 Egyéb kérdések Sok egyéb érdekes kérdést lehet feltenni: tanulás és evolúció viszonya a tulajdonságok hierarchiája, és a veszteséges tömörítés renormálás: az irreleváns koordináták ritkításának szisztematikus módszere végtelen (igen nagy) halmaz tanulása, a diszkretizálás hatása, nem ekvivalens világképek kialakulása megértés és látás: a rendszer paramétereinek szerepe, értelmezhetősége, ekvivalens modellek miért gondolkodik mindenki másként a világról?... 45
46 Tartalom Bevezetés A megértés definíciója Az AI feladatok megközelítése Mikor hasznos a tudomány? Megértés és tanulás Konklúzió 46
47 Konklúzió A megértés matematikai leírásához részhalmazok teljes (közös) modelljének fogalmára van szükségünk: független független releváns releváns vagy vagy irreleváns irreleváns koordináták koordináták (tulajdonságok, (tulajdonságok, fogalmak) fogalmak) Ilyen koordinátákkal a klasszifikáció regresszió tömörítés dekódolás egyszerűen megvalósítható. 47
Matematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \
RészletesebbenA maximum likelihood becslésről
A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának
RészletesebbenBiomatematika 12. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János
Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 12. Regresszió- és korrelációanaĺızis Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision
RészletesebbenLeképezések. Leképezések tulajdonságai. Számosságok.
Leképezések Leképezések tulajdonságai. Számosságok. 1. Leképezések tulajdonságai A továbbiakban legyen A és B két tetszőleges halmaz. Idézzünk fel néhány definíciót. 1. Definíció (Emlékeztető). Relációknak
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebbenx, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel:
Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Valószínűségi változó általános fogalma: A : R leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha : ( ) x, x R, x rögzített esetén esemény.
RészletesebbenStatisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1
Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában
RészletesebbenA mérési eredmény megadása
A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű
RészletesebbenMindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1
Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,
RészletesebbenMindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.
HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak
Részletesebben4. Az A és B események egymást kizáró eseményeknek vagy idegen (diszjunkt)eseményeknek nevezzük, ha AB=O
1. Mit nevezünk elemi eseménynek és eseménytérnek? A kísérlet lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük. Az adott kísélethez tartozó elemi események halmazát eseménytérnek nevezzük, jele: X 2.
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
RészletesebbenAlap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:
RészletesebbenInfobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében
Infobionika ROBOTIKA X. Előadás Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom Direkt kinematikai probléma Denavit-Hartenberg konvenció
Részletesebben1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata.
1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HLMZOK halmaz axiomatikus fogalom, nincs definíciója. benne van valami a halmazban szintén axiomatikus fogalom,
RészletesebbenNagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem
agy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem A mérés mint statisztikai mintavétel A méréssel az eloszlásfüggvénnyel
RészletesebbenA Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Függvények. Függvények A Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a szabadon eső test sebessége az idő függvénye. Konstans hőmérsékleten
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 9 IX. ROBUsZTUs statisztika 1. ROBUsZTUssÁG Az eddig kidolgozott módszerek főleg olyanok voltak, amelyek valamilyen értelemben optimálisak,
Részletesebben2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia
2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia Mind a hétköznapi, mind a tudományos életben gyakran előfordul, hogy bizonyos halmazok elemei között kapcsolat figyelhető meg. A kapcsolat fogalmának matematikai
RészletesebbenRobotika. Kinematika. Magyar Attila
Robotika Kinematika Magyar Attila amagyar@almos.vein.hu Miről lesz szó? Bevezetés Merev test pozíciója és orientációja Rotáció Euler szögek Homogén transzformációk Direkt kinematika Nyílt kinematikai lánc
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
RészletesebbenStatisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége
[GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell
RészletesebbenDiszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. Nagy Gábor nagy@compalg.inf.elte.hu nagygabr@gmail.com ELTE IK Komputeralgebra Tanszék 014. ősz 014-15 őszi félév Gyakorlat: 1. ZH tervezett időpontja: október 1.,. ZH tervezett
RészletesebbenFraktál alapú képtömörítés p. 1/26
Fraktál alapú képtömörítés Bodó Zalán zbodo@cs.ubbcluj.ro BBTE Fraktál alapú képtömörítés p. 1/26 Bevezetés tömörítések veszteségmentes (lossless) - RLE, Huffman, LZW veszteséges (lossy) - kvantálás, fraktál
RészletesebbenIntergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
RészletesebbenStatisztika I. 12. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre
Statisztika I. 1. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Regresszió analízis A korrelációs együttható megmutatja a kapcsolat irányát és szorosságát. A kapcsolat vizsgálata során a gyakorlatban ennél messzebb
RészletesebbenMiért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek
Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,
RészletesebbenHadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.
Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus
RészletesebbenAsszociációs szabályok
Asszociációs szabályok Nikházy László Nagy adathalmazok kezelése 2010. március 10. Mi az értelme? A ö asszociációs szabály azt állítja, hogy azon vásárlói kosarak, amik tartalmaznak pelenkát, általában
RészletesebbenModellkiválasztás és struktúrák tanulása
Modellkiválasztás és struktúrák tanulása Szervezőelvek keresése Az unsupervised learning egyik fő célja Optimális reprezentációk Magyarázatok Predikciók Az emberi tanulás alapja Általános strukturális
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:
Részletesebben1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!
Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 4-6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)
(11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)
Részletesebbene (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:
Normális eloszlás ξ valószínűségi változó normális eloszlású. ξ N ( µ, σ 2) Paraméterei: µ: várható érték, σ 2 : szórásnégyzet (µ tetszőleges, σ 2 tetszőleges pozitív valós szám) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye:
RészletesebbenGépi tanulás. Hány tanítómintára van szükség? VKH. Pataki Béla (Bolgár Bence)
Gépi tanulás Hány tanítómintára van szükség? VKH Pataki Béla (Bolgár Bence) BME I.E. 414, 463-26-79 pataki@mit.bme.hu, http://www.mit.bme.hu/general/staff/pataki Induktív tanulás A tanítás folyamata: Kiinduló
RészletesebbenA PiFast program használata. Nagy Lajos
A PiFast program használata Nagy Lajos Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 2. Bináris kimenet létrehozása. 3 2.1. Beépített konstans esete.............................. 3 2.2. Felhasználói konstans esete............................
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenMATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenVéletlenszám generátorok és tesztelésük. Tossenberger Tamás
Véletlenszám generátorok és tesztelésük Tossenberger Tamás Érdekességek Pénzérme feldobó gép: $0,25-os érme 1/6000 valószínűséggel esik az élére 51% eséllyel érkezik a felfelé mutató oldalára Pörgetésnél
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenPontműveletek. Sergyán Szabolcs Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar február 20.
Pontműveletek Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar 2012. február 20. Sergyán (OE NIK) Pontműveletek 2012. február 20. 1 / 40 Felhasznált irodalom
RészletesebbenLineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2010. szeptember 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest
RészletesebbenA következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.
Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ
RészletesebbenValószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
RészletesebbenAlgoritmusok bonyolultsága
Algoritmusok bonyolultsága 11. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm () 1 / 1 NP-telesség Egy L nyelv NP-teles, ha L NP és minden L NP-re L L. Egy Π döntési feladat NP-teles, ha Π NP és
Részletesebben11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba
11. Előadás Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak 1. Gondolkodnivaló Adjuk meg, hogy az alábbi A mátrixnak mely α értékekre lesz sajátértéke a 5. Ezen α-ák esetén határozzuk meg a 5 sajátértékhez
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenKÓDOLÁSTECHNIKA PZH. 2006. december 18.
KÓDOLÁSTECHNIKA PZH 2006. december 18. 1. Hibajavító kódolást tekintünk. Egy lineáris bináris blokk kód generátormátrixa G 10110 01101 a.) Adja meg a kód kódszavait és paramétereit (n, k,d). (3 p) b.)
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek
1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.
RészletesebbenInformációs rendszerek elméleti alapjai. Információelmélet
Információs rendszerek elméleti alapjai Információelmélet Az információ nem növekedés törvénye Adatbázis x (x adatbázis tartalma) Kérdés : y Válasz: a = f(y, x) Mennyi az a információtartalma: 2017. 04.
RészletesebbenAlgoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G)
Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) 2014. január 14. 1. Gyakorlat 1.1. Feladat. Adott K testre rendre K[x] és K(x) jelöli a K feletti polinomok és racionális törtfüggvények halmazát. Mutassuk meg, hogy
RészletesebbenEgy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban
Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban avagy mit kell(ene) tudnia egy 8.-osnak a matematika versenyeken Kunos Ádám Középiskolás pályázat díjkiosztó SZTE Bolyai Intézet 2011. november 12.
RészletesebbenSzámításelmélet. Második előadás
Számításelmélet Második előadás Többszalagos Turing-gép Turing-gép k (konstans) számú szalaggal A szalagok mindegyike rendelkezik egy független író / olvasó fejjel A bemenet az első szalagra kerül, a többi
RészletesebbenRegresszió. Csorba János. Nagyméretű adathalmazok kezelése március 31.
Regresszió Csorba János Nagyméretű adathalmazok kezelése 2010. március 31. A feladat X magyarázó attribútumok halmaza Y magyarázandó attribútumok) Kérdés: f : X -> Y a kapcsolat pár tanítópontban ismert
RészletesebbenPrincipal Component Analysis
Principal Component Analysis Principal Component Analysis Principal Component Analysis Definíció Ortogonális transzformáció, amely az adatokat egy új koordinátarendszerbe transzformálja úgy, hogy a koordináták
RészletesebbenMatematikai geodéziai számítások 10.
Matematikai geodéziai számítások 10. Hibaellipszis, talpponti görbe és közepes ponthiba Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 10.: Hibaellipszis, talpponti görbe és Dr. Bácsatyai, László
RészletesebbenA szimplex algoritmus
A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás
RészletesebbenHalmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1
Halmazelmélet 1. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Halmazelmélet p. 1/1 A halmaz fogalma, jelölések A halmaz fogalmát a matematikában nem definiáljuk, tulajdonságaival
RészletesebbenEGYSZERŰ, SZÉP ÉS IGAZ
EGYSZERŰ, SZÉP ÉS IGAZ AVAGY EGY FIZIKUS (FIZIKATANÁR?) VILÁGKÉPE Trócsányi Zoltán Eötvös Loránd Tudományegyetem és MTA-DE Részecskefizikai Kutatócsoport 62. Országos Fizikatanári Ankét és Eszközbemutató,
RészletesebbenHalmazelméleti alapfogalmak
Halmazelméleti alapfogalmak halmaz (sokaság) jól meghatározott, megkülönböztetett dolgok (tárgyak, fogalmak, stb.) összessége. - halmaz alapfogalom. z azt jelenti, hogy csak példákon keresztül magyarázzuk,
Részletesebben2014. november Dr. Vincze Szilvia
24. november 2-4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék. Meredekség, szelő, szelő meredeksége 2. Differencia-hányados fogalma 3. Differenciál-hányados fogalma 5. Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata
RészletesebbenAtomok és molekulák elektronszerkezete
Atomok és molekulák elektronszerkezete Szabad atomok és molekulák Schrödinger egyenlete Tekintsünk egy kvantummechanikai rendszert amely N n magból és N e elektronból áll. Koordinátáikat jelölje rendre
RészletesebbenTANMENET 2015/16. Készítette: KOVÁCS ILONA, Felhasználja: Juhász Orsolya
Tantárgy: Matematika Osztály: 10. B Készítette: KOVÁCS ILONA, Felhasználja: Juhász Orsolya Vetési Albert Gimnázium, Veszprém Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 108 Tankönyv: Hajdu Sándor Czeglédy István Hajdu
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
Részletesebben1. feladatsor Komplex számok
. feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4
RészletesebbenProbabilisztikus modellek II: Inferencia. Nagy Dávid
Probabilisztikus modellek II: Inferencia Nagy Dávid Statisztikai tanulás az idegrendszerben, 2015 előző előadás előző előadás az agy modellt épít a világról előző előadás az agy modellt épít a világról
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint
RészletesebbenLássuk be, hogy nem lehet a három pontot úgy elhelyezni, hogy egy inerciarendszerben
Feladat: A háromtest probléma speciális megoldásai Arra vagyunk kiváncsiak, hogy a bolygó mozgásnak milyen egyszerű egyensúlyi megoldásai vannak három bolygó esetén. Az így felmerülő három-test probléma
RészletesebbenA digitális számítás elmélete
A digitális számítás elmélete 8. előadás ápr. 16. Turing gépek és nyelvtanok A nyelvosztályok áttekintése Turing gépek és a természetes számokon értelmezett függvények Áttekintés Dominó Bizonyítások: L
Részletesebben1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?
Definíciók, tételkimondások 1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 2. Sorolja fel a logikai jeleket. 3. Milyen kvantorokat ismer? Mi a jelük? 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?
RészletesebbenÖnálló labor beszámoló Képek szegmentálása textúra analízis segítségével. MAJF21 Eisenberger András május 22. Konzulens: Dr.
Önálló labor beszámoló Képek szegmentálása textúra analízis segítségével 2011. május 22. Konzulens: Dr. Pataki Béla Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2 2. Források 2 3. Kiértékelő szoftver 3 4. A képek feldolgozása
RészletesebbenAlgoritmusok és adatszerkezetek 2.
Algoritmusok és adatszerkezetek 2. Varga Balázs gyakorlata alapján Készítette: Nagy Krisztián 1. gyakorlat Nyílt címzéses hash-elés A nyílt címzésű hash táblákban a láncolással ellentétben egy indexen
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenDiszkrét matematika I. gyakorlat
Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség
RészletesebbenKeresés képi jellemzők alapján. Dr. Balázs Péter SZTE, Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika Tanszék
Keresés képi jellemzők alapján Dr. Balázs Péter SZTE, Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika Tanszék Lusta gépi tanulási algoritmusok Osztályozás: k=1: piros k=5: kék k-legközelebbi szomszéd (k=1,3,5,7)
Részletesebben3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI
3. Fuzzy aritmetika Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Intervallum-aritmetika 2 Fuzzy intervallumok és fuzzy számok Fuzzy intervallumok LR fuzzy intervallumok
RészletesebbenMegoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!
MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:
Részletesebben1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)
1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)
Részletesebbendefiniálunk. Legyen egy konfiguráció, ahol és. A következő három esetet különböztetjük meg. 1. Ha, akkor 2. Ha, akkor, ahol, ha, és egyébként.
Számításelmélet Kiszámítási problémának nevezünk egy olyan, a matematika nyelvén megfogalmazott kérdést, amire számítógéppel szeretnénk megadni a választ. (A matematika nyelvén precízen megfogalmazott
RészletesebbenBizonytalanság. Mesterséges intelligencia április 4.
Bizonytalanság Mesterséges intelligencia 2014. április 4. Bevezetés Eddig: logika, igaz/hamis Ha nem teljes a tudás A világ nem figyelhető meg közvetlenül Részleges tudás nem reprezentálható logikai eszközökkel
Részletesebben4/24/12. Regresszióanalízis. Legkisebb négyzetek elve. Regresszióanalízis
1. feladat Regresszióanalízis. Legkisebb négyzetek elve 2. feladat Az iskola egy évfolyamába tartozó diákok átlagéletkora 15,8 év, standard deviációja 0,6 év. A 625 fős évfolyamból hány diák fiatalabb
RészletesebbenMÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI
MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk
Részletesebben2014/2015. tavaszi félév
Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés
RészletesebbenNagyméretű adathalmazok kezelése (BMEVISZM144) Reinhardt Gábor április 5.
Asszociációs szabályok Budapesti Műszaki- és Gazdaságtudományi Egyetem 2012. április 5. Tartalom 1 2 3 4 5 6 7 ismétlés A feladat Gyakran együtt vásárolt termékek meghatározása Tanultunk rá hatékony algoritmusokat
Részletesebben2. Fejezet : Számrendszerek
2. Fejezet : Számrendszerek The Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An Information Technology Approach 3. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons 2003 Wilson Wong, Bentley College
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenA mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája
A mechanika alapjai A pontszerű testek dinamikája Horváth András SZE, Fizika Tsz. v 0.6 1 / 26 alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. alapi 2 / 26 Bevezetés alapi Bevezetés Newton
RészletesebbenLogika és számításelmélet. 11. előadás
Logika és számításelmélet 11. előadás NP-teljesség Emlékeztetőül: NP-teljes nyelv Egy L probléma NP-teljes (a polinom idejű visszavezetésre nézve), ha L NP L NP-nehéz, azaz minden L NP esetén L p L. Azaz
RészletesebbenExplicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához Izsák Ferenc 2007. szeptember 17. Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 1 Vázlat Bevezetés: a vizsgált egyenlet,
RészletesebbenDiszkrét Matematika. zöld könyv ): XIII. fejezet: 1583, 1587, 1588, 1590, Matematikai feladatgyűjtemény II. (
FELADATOK A LEKÉPEZÉSEK, PERMUTÁCIÓK TÉMAKÖRHÖZ Diszkrét Matematika 4. LEKÉPEZÉSEK Értelmezési tartomány és értékkészlet meghatározása : Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából ( zöld könyv ): XIII.
RészletesebbenDiMat II Végtelen halmazok
DiMat II Végtelen halmazok Czirbusz Sándor 2014. február 16. 1. fejezet A kiválasztási axióma. Ismétlés. 1. Deníció (Kiválasztási függvény) Legyen {X i, i I} nemüres halmazok egy indexelt családja. Egy
RészletesebbenKÖZELÍTŐ INFERENCIA II.
STATISZTIKAI TANULÁS AZ IDEGRENDSZERBEN KÖZELÍTŐ INFERENCIA II. MONTE CARLO MÓDSZEREK ISMÉTLÉS Egy valószínűségi modellben a következtetéseinket a látensek vagy a paraméterek fölötti poszterior írja le.
RészletesebbenAlgoritmuselmélet 7. előadás
Algoritmuselmélet 7. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Március 11. ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 1 Múltkori
Részletesebben