9. előadás. A táblázat. A táblázatról általában, soros, önátrendező, rendezett és kulcstranszformációs táblázat

Átírás

1 . előadás ról általában, soros, önátrendező, rendezett és kulcstranszformációs Adatszerkezetek és algoritmusok előadás 0. április. ról általában,, és Debreceni Egyetem Informatikai Kar.

2 Általános tudnivalók Ajánlott irodalom: Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein: Új algoritmusok, Scolar Informatika, 00. Donald E. Knuth: A számítógépprogramozás művészete. (Alapvető algoritmusok), Műszaki Könyvkiadó,. Donald E. Knuth: A számítógépprogramozás művészete. (Keresés és rendezés), Műszaki Könyvkiadó,. Seymour Lipschutz: Adatszerkezetek, Panem-McGraw-Hill, Budapest,. Rónyai Lajos, Ivanyos Gábor, Szabó Réka: Algoritmusok, Typotex, Budapest, 00. Félév teljesítésének feltételei: Gyakorlati aláírás ZH Írásbeli vizsga, aminek az értékelésébe... További részletek: ról általában.

3 Adatelemei tartalmuk alapján, valamilyen kulcs segítségével címezhetők (pl.: tömb, mátrix, ). Legegyszerűbb eset: kulcs = index (pl. tömb). Megkülönböztetünk: közvetlen (direkt) szervezésű struktúrák véletlen (indirekt) szervezésű struktúrák Feladat: a kulcs alapján feleltessünk meg valamilyen memóriaterületet az adatelemnek. ról általában Közvetlen szervezésű struktúrák esetén a kulcs és az adatelem között egyértelmű megfeleltetés állítható fel..

4 dinamikus, homogén és asszociatív adatszerkezet. KULCS ÉRTÉK a egy eleme ról általában Elemei összetettek: kulcs és érték komponensből állnak..

5 A kulcsnak a ban előforduló értékeit kulcsértékeknek nevezzük. KULCS ÉRTÉK ról általában a kulcs értékei (különbözőek) elemeit a kulcsuk értékei alapján különböztetjük meg egymástól. ban nem szerepelhet két azonos kulcsérték. (Ezért nevezhetjük őket kulcsértékeknek.).

6 az egydimenziós tömb általánosításának tekinthető: az adatelemeket a kulcsuk értéke alapján azonosítjuk, ezeknek az értékeknek azonban nem feltétlenül kell egész számoknak lenniük, lehet más típusuk is. KULCS ÉRTÉK ról általában azonos típusúak A KULCS és ÉRTÉK komponensek típusának sem feltétlenül kell megegyeznie egymással. Az adatelemekben a kulcsértékek típusát a KULCS típusa, az értékek típusát az ÉRTÉK típusa határozza meg..

7 az egydimenziós tömb általánosításának tekinthető: az adatelemeket a kulcsuk értéke alapján azonosítjuk, ezeknek az értékeknek azonban nem feltétlenül kell egész számoknak lenniük, lehet más típusuk is. KULCS ÉRTÉK ról általában azonos típusúak A KULCS és ÉRTÉK komponensek típusának sem feltétlenül kell megegyeznie egymással. Az adatelemekben a kulcsértékek típusát a KULCS típusa, az értékek típusát az ÉRTÉK típusa határozza meg..

8 Az adatelemek beli sorrendjét az elemek ba kerülésének időbeli (érkezési) sorrendje, ill. az esetleges törlések sorrendje befolyásolja. tal végezhető műveletek Létrehozás: a KULCS és az ÉRTÉK típusának meghatározása, és az elemek elhelyezése érkezési sorrendben. Bővítés: a végén, az új elemet az eddigi utolsó elem mögé helyezzük el. Törlés: mind folytonos, mind szétszórt reprezentáció mellett megvalósítható a fizikai törlés. Csere: az érték rész bármikor, kulcsérték csak akkor cserélhető, ha az új érték még nem szerepel. Rendezés: nem értelmezett. Keresés: teljes keresés a kulcs értéke alapján. Elérés: soros. Bejárás: általában az elejétől a végéig. A feldolgozás alapja a kulcs és a teljes keresés. ról általában.

9 Folytonosan és szétszórtan (pl. egyirányban láncolt listával) egyaránt ábrázolható. Előbbi esetben a fizikai törlést úgy valósíthatjuk meg, hogy a törlendő adatelemet a utolsó elemével felülírjuk, és csökkentjük a aktuális elemszámát. Utóbbi esetben a törlés szokás szerint mutatóértékek cseréjével oldható meg. Mikor érdemes használni? Ha az elemek feldolgozási gyakorisága nagyjából azonos, és nem lényeges az elemek feldolgozásának a sorrendje. (Pl.: Sokkal gyakrabban számolunk átlagot, mint keresünk egy bizonyos elemet.) ról általában.

10 tal végezhető műveletek A műveletek legtöbbje megegyezik a soros éval. Kivételt képez a feldolgozás. Egy elem feldolgozása után a feldolgozott elemet a elejére helyezzük, az addigi első elem elé. Ennek következtében mindig a legutoljára feldolgozott elem lesz a elején. Nagyszámú adatelem feldolgozása után az elemek sorrendje a ban jól fogja közelíteni a feldolgozási gyakoriságot: a elején lesznek a gyakrabban feldolgozott elemek. Az önátrendező legjobban szétszórtan, egyirányban láncolt listával reprezentálható. Ekkor a feldolgozás művelete mindössze három mutató értékének a cseréjét jelenti. ról általában Mikor érdemes használni? Ha az elemek feldolgozási gyakorisága (nagyon) eltérő..

11 endezett Elemei a kulcsértékek alapján rendezettek, az adatelemek sorrendjét a kulcsértékek (általában) növekvő sorrendje definiálja. tal végezhető műveletek A műveletek legtöbbje megegyezik a soros éval. Kivételt képeznek a következő műveletek: Létrehozás és bővítés: az érkező elemeket rendezetten helyezzük el a ban, rendezett sorozatba történő beszúrással. Csere: az adatelem értékrésze bármikor cserélhető. Keresés: lineáris vagy bináris (reprezentációfüggő). Folytonos reprezentációnál gyorsabb a keresés, de nehézkes a bővítés és a törlés. Szétszórt reprezentációnál ennek az ellenkezője igaz. ról általában Mikor érdemes használni? Ha az elemek feldolgozási gyakorisága nagyjából azonos, és fontos a feldolgozásuk sorrendje és gyorsasága..0

12 ulcstranszformációs Véletlen szervezésű struktúrák. Cél A (szinte) közvetlen elérés biztosítása a kulcsértékek alapján. Hash függvény A kulcstranszformációs ban egy K értékű kulccsal rendelkező elem helyét (címét) egy h függvény h(k ) értéke határozza meg. Ezt a h függvényt hívjuk hasító vagy hash függvénynek. Hashing Azt az eljárást, melynek során egy adatelem K értékű kulcsához meghatározzuk a h(k ) értéket (az adatelem beli helyét), hasításnak, hashingnek, randomizálásnak vagy kulcstranszformációnak nevezzük. ról általában Ennek a fajtának az ábrázolása folytonos vagy legalább a folytonos ábrázoláson alapul..

13 ulcstranszformációs Kölcsönösen egyértelmű hash függvény használható, ha a gyakorlatban előforduló kulcsértékek száma közel azonos az elvileg lehetséges kulcsértékek számával; vagy a gyakorlatban előforduló kulcsértékek egyenletesen oszlanak el az elvileg lehetséges kulcsértékek között. ról általában Ha a gyakorlatban előforduló kulcsértékek száma és az elvi lehetőségek száma között nagy az eltérés, és a gyakorlatban előforduló kulcsértékeknek nem egyenletes az eloszlása, akkor csak egyértelmű hash függvények használatára van lehetőség. Egy egyértelmű hash függvénytől a következőket várjuk el: a gyakorlatban előforduló kulcsokat képezze le a rendelkezésre álló címtartományba; a rendelkezésre álló címtartományon belül tegye egyenletessé az elemek eloszlását..

14 ulcstranszformációs módszer A kulcstranszformációs módszer egy algoritmus, amely azt írja le, hogy a hash függvény hogyan képezi le a kulcsértéket a tárbeli címre. A gyakorlatban a kulcsok típusa alapján megkülönböztetünk szöveges és numerikus kulcsokat. Szöveges típusú kulcsok esetén a szöveget alkotó karakterek belső kódjainak valamilyen numerikus függvényét tekintjük, amellyel a kulcstranszformációt a numerikus típusú kulcsok esetére vezethetjük vissza. ról általában Numerikus típusú kulcsok esetén többek között az alábbi használhatók: prímszámmal való osztás szorzás helyiérték-kiválasztás bázistranszformáció.

15 , szinonimakezelő Univerzális hash függvény nem létezik. A csak egyértelmű hash függvényeknél előfordulhat, hogy a függvény a különböző kulcsértékekkel rendelkező adatelemekhez ugyanazt a tárcímet rendeli. Az ilyen adatelemeket szinonimáknak, magát a jelenséget pedig túlcsordulásnak nevezzük. (Egyéb elnevezések: ütközés, ütközéskezelés.) A szinonimák felbukkanását kezelni kell, mert nem helyezhetünk el két vagy több adatelemet ugyanazon a tárhelyen. ról általában Néhány szinonimakezelő módszer: független túlcsordulási lista alkalmazása nyílt címzés módszere nyílt címzés (belső) láncolással.

16 üggetlen túlcsordulási lista h(k) = k mod + 0 ról általában.

17 üggetlen túlcsordulási lista h(k) = k mod + 0 nil ról általában.

18 üggetlen túlcsordulási lista h(k) = k mod + 0 nil nil ról általában.

19 üggetlen túlcsordulási lista h(k) = k mod + 0 nil nil ról általában.

20 üggetlen túlcsordulási lista h(k) = k mod + 0 nil nil nil ról általában.

21 üggetlen túlcsordulási lista h(k) = k mod + 0 nil nil nil ról általában.

22 üggetlen túlcsordulási lista h(k) = k mod + 0 nil nil nil nil ról általában.

23 üggetlen túlcsordulási lista h(k) = k mod + 0 nil nil nil nil nil ról általában.

24 üggetlen túlcsordulási lista h(k) = k mod + 0 nil nil nil nil nil ról általában.

25 üggetlen túlcsordulási lista ról általában.

26 Független túlcsordulási lista Hatékonyság Legyen T egy m rést tartalmazó hasító, melyben n elem van. Definiáljuk T-ben az α kitöltési tényezőt, mint az n/m hányadost, ami nem más, mint az egy láncba fűzött elemek átlagos száma. Feltételezzük, hogy minden elem egyforma valószínűséggel képződik le bármely résre, függetlenül attól, hogy a többiek hová kerültek. Ezt egyszerű egyenletes hasítási feltételnek nevezzük. Ha a T[j] lista hosszát n j -vel ( j =,,..., m ), jelöljük, akkor n = n + n + + n m ról általában és n j várható értéke E [n j ] = n/m = α. Feltesszük, hogy a h(k) hasított érték O() idő alatt számítható ki, s így egy k kulcsú elem keresésének ideje lineárisan függ a T [h(k)] lista n h(k) hosszától..

27 Független túlcsordulási lista Hatékonyság Theorem (Tankönyv:.. tétel.) Ha egy hasító ban az ütközések feloldására láncolást használunk és a hasítás egyszerű egyenletes, akkor a sikertelen keresés átlagos ideje Θ( + α). Bizonyítás. Az egyszerű egyenletesség feltételezése miatt bármely k kulcs, amely még nincs a ban, egyforma valószínűséggel képződik le az m rés bármelyikére. Ezért egy k kulcs sikertelen keresésének átlagos ideje megegyezik annak átlagos idejével, hogy a T [h(k)] listát végigkeressük. Ennek a listának az átlagos hossza E [ n h(k) ] = α. Ezért a sikertelen keresés során megvizsgált elemek várható száma α, s így az összes szükséges idő (beszámítva a h(k) kiszámítási idejét is) valóban Θ( + α). ról általában Theorem (Tankönyv:.. tétel.) Ha egy hasító ban a kulcsütközések feloldására láncolást használunk és a hasítás egyszerű egyenletes, akkor a sikeres keresés átlagos ideje Θ( + α)..

28 Független túlcsordulási lista Hatékonyság Theorem (Tankönyv:.. tétel.) Ha egy hasító ban az ütközések feloldására láncolást használunk és a hasítás egyszerű egyenletes, akkor a sikertelen keresés átlagos ideje Θ( + α). Bizonyítás. Az egyszerű egyenletesség feltételezése miatt bármely k kulcs, amely még nincs a ban, egyforma valószínűséggel képződik le az m rés bármelyikére. Ezért egy k kulcs sikertelen keresésének átlagos ideje megegyezik annak átlagos idejével, hogy a T [h(k)] listát végigkeressük. Ennek a listának az átlagos hossza E [ n h(k) ] = α. Ezért a sikertelen keresés során megvizsgált elemek várható száma α, s így az összes szükséges idő (beszámítva a h(k) kiszámítási idejét is) valóban Θ( + α). ról általában Theorem (Tankönyv:.. tétel.) Ha egy hasító ban a kulcsütközések feloldására láncolást használunk és a hasítás egyszerű egyenletes, akkor a sikeres keresés átlagos ideje Θ( + α)..

29 yílt címzés módszere Egy tárhely státusza lehet: { üres szabad logikailag törölt foglalt bővítése: ról általában h(k) = k mod + h(k) 0.

30 yílt címzés módszere Egy tárhely státusza lehet: { üres szabad logikailag törölt foglalt bővítése: h(k) h(k) = k mod + 0 ról általában.

38 yílt címzés módszere Ha adott egy h : U {,,..., m } közönséges hasító függvény, akkor a lineáris kipróbálás módszere az alábbi hasító függvényt használja (i=,,...,m): h(k, i) = ((h (k) + i ) mod m) +. ról általában Négyzetes kipróbálás módszere: ( ) h(k, i) = (h (k) + c (i ) + c (i ) ) mod m +. Dupla hasítás módszere: h(k, i) = ((h (k) + (i ) h (k)) mod m) +. Itt h (k)-nak relatív prímnek kell lennie m-hez képest. (Pl. m = k és h (k) = h (k) +.).0

41 yílt címzés módszere Theorem (Tankönyv:.. tétel.) Ha adott egy nyílt címzéses hasító az α = n/m < kitöltöttségi aránnyal, akkor a sikertelen keresés várható próbaszáma az egyenletes hasítási feltétel teljesülése esetén legfeljebb /( α). Corollary (Tankönyv:.. következmény.) Egy α kitöltési tényezőjű nyílt címzéses hasító ba való beszúrás várható próbaszáma az egyenletes hasítási feltétel teljesülése esetén legfeljebb /( α). Theorem (Tankönyv:.. tétel.) ról általában Legyen adott egy nyílt címzéses hasító az α < kitöltöttségi aránnyal. Tegyük fel az egyenletes hasítási feltételt és azt, hogy a minden elemét egyforma valószínűséggel keressük. Ekkor a sikeres keresés várható próbaszáma α ln α.

42 yílt címzés módszere Bizonyítás. Egy k kulcsot keresve ugyanazt a kipróbálási útvonalat követjük, mint amikor az azt tartalmazó elemet beszúrtuk. A.. következmény szerint ha k az (i + )-edik elemként került be a hasító ba, akkor a próbák várható száma a keresésnél legfeljebb /( i/m) = m/(m i). A hasító ban levő n kulcsra átlagolva azt kapjuk, hogy a sikeres keresés átlagos próbaszáma: n m n m i i=0 = m n = α n m i i=0 m k m α m n x dx k=m n+ = α ln m m n = α ln α Például: α = 0. = várható próbaszáma, α = 0. = várható próbaszáma, ról általában.

43 yílt címzés (belső) láncolással Egy tárhely státusza lehet: szabad (üres vagy logikailag törölt) (Itt tényleg mindegy.) foglalt bővítése: ról általában h(k) = k mod + h(k) 0.

44 yílt címzés (belső) láncolással Egy tárhely státusza lehet: szabad (üres vagy logikailag törölt) (Itt tényleg mindegy.) foglalt bővítése: h(k) h(k) = k mod ról általában.

45 yílt címzés (belső) láncolással Egy tárhely státusza lehet: szabad (üres vagy logikailag törölt) (Itt tényleg mindegy.) foglalt bővítése: h(k) 0 h(k) = k mod ról általában.

46 yílt címzés (belső) láncolással Egy tárhely státusza lehet: szabad (üres vagy logikailag törölt) (Itt tényleg mindegy.) foglalt bővítése: ról általában h(k) h(k) = k mod

50 yílt címzés (belső) láncolással Egy tárhely státusza lehet: szabad (üres vagy logikailag törölt) (Itt tényleg mindegy.) foglalt bővítése: h(k) 0 0 h(k) = k mod ról általában.

52 ulcstranszformációs tal végezhető műveletek Létrehozáskor a gyakorlatban előforduló kulcsértékek darabszámát megbecsüljük, kiválasztunk egy hash függvényt és (ha szükséges) egy szinonimakezelési módszert, majd lefoglaljuk a tárhelyeket a becslésnek megfelelően, és mindegyiket üresre állítjuk. Bővítés: az adatelem kulcsértéke alapján, a hash függvény segítségével. Törlés: szinte kizárólag logikai; fizikai csak a túlcsordulási listából. Csere: kulcs alapján a hozzá tartozó értéket lehet cserélni. Rendezés: nincs. Elérés: kvázi közvetlen, a hash függvény a közvetlen elérést szolgálja, a szinonimákat keresni kell. Keresés: általában nincs, csak szinonimákat kereshetünk, az pedig a szinonimakezelési módszertől függ. Bejárás: nincs, mivel csak közvetlen elérés van. A feldolgozás alapja a hash függvény, illetve a közvetlen elérés. ról általában.