Caspar Schwabe: Heuréka és szerencsés felfedezés: Lábán Rudolf ikozaédere és a Buckminster Fuller-féle jitterbug

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Caspar Schwabe: Heuréka és szerencsés felfedezés: Lábán Rudolf ikozaédere és a Buckminster Fuller-féle jitterbug"

Átírás

1 Caspar Schwabe: Heuréka és szerencsés felfedezés: Lábán Rudolf ikozaédere és a Buckminster Fuller-féle jitterbug A Lábán-ikozaéder 1. kép: a.) A Choreographie borítója. b.) Lábán és 1926-ban publikált tánclejegyzési rendszere [1]. c.) Lábán ikozaéderrel 1938-ban. Lábán Rudolf építészetet tanult a párizsi École des Beaux-Arts-ban. Harminc éves korában Münchenbe költözött és a Bewegungskunst, azaz a mozgásművészet kutatásába kezdett ben megalapította a Koreográfiai Intézetet Zürichben, amelyhez hasonló intézeteket hozott létre később Olaszországban, Franciaországban és másutt Európában. Lábán ontotta magából a szerencsés felfedezéseket, amelyeket aztán tanítványai fejlesztettek tovább. A tánccal kapcsolatos legnagyobb eredménye Choreographie című munkájának 1926-os publikálása volt [1]. A mű egy tánclejegyzési rendszer leírása, amely később Lábán-notáció néven terjedt el és mind a mai napig ez a rendszer szolgál a táncmozdulatok lejegyzésének egyik fő eszközeként ban Lábán lett az Egyesült Állami Színházak igazgatója Berlinben, azonban 1938-ban el kellett hagynia Németországot és Nagy-Britanniába költözött. Az egyik róla készült fényképen kedvenc ikozaéder modelljét tartja a kezében, amelyet Angliába is magával vitt [2]. Lábán váratlan ötlete, miszerint az ikozaéder vázszerkezete is használható lenne a tánckoreográfiák és az egyes mozgások begyakorlása során, a természetes mozdulatoknak azokon a belső törvényszerűségein alapult, amelyeket Lábán építészi, táncosi és tánctanári tapasztalatai révén fedezett fel. Az ikozaéder Lábán térharmónia elméletének illusztrációja is egyben, amely szerint az atomok egyes csoportjait összekötő erők szokatlanul nagyfokú stabilitást idéznek elő, ha a halmazokba rendeződő atomok száma éppen annyi, amennyi egy szabályos ikozaéder felépítéséhez szükséges. Az ikozaéder-elmélet Lábán koreutika -rendszerében (koreutika: a harmonikus mozgás különböző formáinak tanulmányozása) is megjelenik, amit azzal támasztott alá, hogy az emberi test mozgásának képében állandóan kristályszerkezetek töredékeit fedezhetjük fel. Lábán eszerint az elmélet szerint osztályozta a mozgásokat, akárcsak Platón a szabályos testeket és 1958-ban bekövetkezett haláláig folytatta a tanítást és a kutatást Nagy- Britanniában. [3]

2 2. kép: a.) Oldalak a Choreographie című műből, 1926 [1]. b.) Lábán Rudolf táncbirtokán között a Monte Verita (Igazság hegye) tövében, a Maggiore tó közelében (Ascona, Svájc). A helyi társadalom rendkívül toleráns volt az Európának minden részéből odasereglő, különféle utopisztikus társaságokkal szemben. [4]

3 A Buckminster Fuller-féle jitterbug 3. kép: A Heuréka -poliéder, az 1991-es Svájci Nemzeti Tudományos Kiállítás szimbóluma: egy hatalmas jitterbug, amelynek az oldalhossza 8 méter volt. Hidraulikus vezérléssel oktaéderből ikozaéderré, majd kuboktaéderré alakult át [5]. Buckminster Fuller geometriai kutatási anyagaiban az április 25-i dátum alatt az alábbi bejegyzést olvashatjuk: Heuréka, heuréka ezt kereste Archimédesz, Pitagórasz, Kepler és Newton is és ismét heuréka! Fuller megtalálta a bölcsek kövét. Jellemző, hogy a kőnek tökéletes ellentéte volt az, amit talált: korántsem egy szilárd testet fedezett fel, hanem egy folyamatos mozgást, amely során egy test egy másik testté képes átalakulni, egy térbeli forma jön létre egy másik formából, akárcsak a táncban. A felfedezés neve, a jitterbug is innen eredt. A jitterbug egy a negyvenes években népszerű, a táncosok váratlan, ide-oda mozgásán alapuló tánc volt, ami Fuller eszébe jutott, amikor felfedezte ezt a transzformációt. A felfedezés az alapvető geometriai konfigurációknak és azok egymáshoz való kapcsolatának is új értelmezést adott. Mindazok a geometriai alapformák ugyanis, amelyeket Platón óta a szabályos testek készleteként ismerünk, Fuller jitterbugjában egy folyamatos átalakulás egyes fázisaiként jeleníthetők meg. [6] Buckminster Fullernek olyan kvantumhatásokat sikerült modelleznie, amelyek a platóni testeknek is új értelmezést adtak. Fuller egy spirális, zsugorodó mozgás során előállítható, dinamikus átalakulási folyamat egyes fázisaiként értelmezte Platón testeit. A rendszer

4 oszcillációja, kitágulása és összezsugorodása során az oktaéder, az ikozaéder és a kuboktaéder is előállítható. A jitterbug, mint egyfajta különleges kvantumgép Fuller egyik legalapvetőbb felfedezésévé vált. Fuller a jitterbug átalakuló mozgását egy egyszerű, kézzelfogható modellel is bemutatta. A modellt egyenlő hosszúságú bambuszrudakból készítette el, a rudak végét pedig hajlékony gumicsővel kapcsolta össze. Ez a megoldás lehetővé tette, hogy a jitterbug bármely irányban összehajtható legyen. A test kacsintgatni, pislogni képes szögei a különleges transzformáció letéteményesei. Az oktaédert összenyomva egy négy pár háromszögből felépített szuperháromszöghöz jutunk, amelyet tetraéderré alakíthatunk át. Végül az egészet egyetlen háromszöggé hajtogathatjuk össze, amely egybevág a kuboktaéder bázis felületével, csak most az élek nyolcszorosát kapjuk. Ez a jitterbug nulla fázisa, Fuller gondolata pedig az volt, hogy a világon minden a háromszöggel kezdődik (hasonlóan a görögök stoicheia [elemek] gondolatához). Ha a jitterbugot egy háromszög kihajtogatásának tekintjük, akkor meglepő módon olyan konfigurációk jönnek létre, amelyek nem csak háromszögeket, hanem négyzeteket is tartalmaznak. Fuller sokat beszélt és írt a jitterbuggal demonstrálható geometriai elvekről és arról, hogy a jitterbug miként segíthet megérteni a kémia és a fizika absztrakt felismeréseit azáltal, hogy láttatni és érzékeltetni képes számos olyan mozgást, amely rendszerint észrevétlenül zajlik körülöttünk. [7] A jitterbug korai modelljei nem voltak stabilak, az összecsuklás megakadályozására egy tartószerkezetet kellett használni egészen 1974-ig, amikor Fuller akkori munkatársa, Dennis Dreher [8] felfedezett egy speciális csuklót. Ez egy olyan konstans lapszögű csukló volt, amit a Maraldi-szögre (109,5 fok) állítottak be. Ez tette lehetővé a jitterbug-modell folyamatos, akadálymentes mozgatását, és ezt alkalmazták az óriási Heureka poliédernél is 1991-ben. A jitterbug alapelveit 1972-ben Joe Clinton-nak, Buckminster Fuller diákjának sikerült általánosítania. Érdekes, hogy amikor Joe Clinton bemutatta a dupla tetraéder-oktaéder jitterbugot Buckminster Fullernek, akkor Fullert ez némileg kihozta a sodrából, mert be kellett látnia, hogy az eredeti jitterbug nem az egyetlen lehetséges transzformáció, és az elv egyaránt kiterjeszthető a platóni és az archimédeszi testekre is. A jitterbug később sokakat ösztönzött arra, hogy hasonló transzformációkat hozzanak létre és a jitterbug-elvből kiindulva egymás után jelentek meg a nagyszerű játékok és publikációk. (Hiroshi Tomurától a Tom kocka 1974-ben; Xavier de Clippeleir Rhombic című alkotása 1990-ben). Hugo F. Verheyen aztán 1981-ben megajándékozott bennünket a jitterbug transzformációk teljes készletének leírásával [9]. Cikkének végén, Fuller szellemében számos építészeti, gépészeti, művészeti és matematikai alkalmazást sorol fel... Hugo F. Verheyen új nevet is adott a jitterbugnak: dipolygonid-nak nevezte el. Ez a név arra utal, hogy modelljében a sokszög lapok két rétegből állnak (mint Joe Clinton jitterbugja esetén), az egyik balra forog, a másik pedig jobbra. Hét különböző jitterbug, illetve dipolygonid felhasználásával (öt platóni test, egy kuboktaéder és egy ikozidodekaéder) elő lehet állítani az 5 platóni és a 13 archimédeszi testet, összesen 18 különböző poliédert! Egymással összekapcsolt egységekből létrehozott szerkezetként szemlélve a jitterbugot, azt mint térkitöltő rendszert is bemutathatjuk. Benne az oktaéder és a kuboktaéder rácsa váltakozva fordul elő. Fuller vektor-egyensúlynak nevezte el a kuboktaédert, mivel ez az egyensúlyi helyzet a jobbos és a balos jitterbugok között. Ha az ikozaéderes fázisból az oktaéder fázisba való átmenethez a jitterbug mozgási metódusainak megfelelően összecsukjuk a kuboktaédert, akkor ugyanannyi oktaédert nyithatunk ki egy ellenkező irányú mozgással is, mint amennyi elegendő

5 volt a rések kitöltéséhez, hogy egy kuboktaédert kapjunk. A folyamat során egy teljes váltást kell végrehajtani a kétféle konfiguráció között (lásd az alábbi képeket). Sokan kísérleteztek azzal is, hogy a jitterbugot monumentális szabadtéri műalkotásként készítsék el. Buckminster Fuller társa, az építész Thomas Zung, egy olyan tervet készített, amelyben három nagyméretű, eltérő ritmusban mozgó köztéri jitterbug szerepel. Carl Solway, Cincinatti-ből, Buckminster Fuller művészi alkotásainak kurátora, egy épületre függesztett óriási jitterbugot szeretett volna létrehozni, azonban erre sem került sor. Ehelyett egy nagy tensegrityszobrot állítottak fel még Bucky (ez volt Buckminster Fuller beceneve) életében, 1981-ben. A legnagyobb jitterbugot végül a svájci tudományos kiállítás emblematikus darabjaként, az én kezdeményezésemre készítették el 1991-ben, Zürichben. A szerkezet oldalhossza 8 méteres volt, hidraulikus mozgatására három, alul elhelyezett Maraldi-csuklót használtak. Kinyitáskor a magassága a duplájára nőtt és a térfogata megötszöröződött. Három hónapos üzemelés után azonban a szerkezet a tetraéder-fázisban megállt, mert az acélcsuklók és a kompozit poliészterből készült háromszögek összekapcsolását gépészetileg nem sikerült kellő pontossággal megvalósítani. 4. kép: Tomoko Sato szinergikus tánca. Bambuszrúdból készült, kézbe vehető jitterbug, gumicsatlakozókkal [10] 5. kép: Egycellás, kézbevehető jitterbug modell a Kinetikus szerencsés véletlen című bemutatóm keretében. A modell textíliából és karbonrudakból készült. A képen a szerző látható.

6 6. kép: Kézbevehető Joe Clinton jitterbug, A külső háromszögek jobbra forognak, a belső háromszögek pedig balra forognak [10]. 7. kép: Fuller jitterbug-szerkezete az oktaéder-/ikozaéder-/kuboktaéder-fázisban, 1948, A heuréka felkiáltással a felfedezés örömét szokták kifejezni. A heuréka ógörög szó, ami azt jelenti, hogy megtaláltam. Amikor Archimédesz rájött, hogy a teste által kiszorított víz térfogata egyenlő a saját testének térfogatával, akkor kiugrott a medencéből, és meztelenül hazafelé rohanva azt kiáltozta Heuréka! Heuréka!, mivel megtalálta a szürakúzai Hieron király által adott feladat megoldását, vagyis azt a módszert, amelynek a segítségével meg lehetett határozni a koronához felhasznált arany tisztaságát. Ez az anekdota Vitruvius építészeti munkájának nyomán terjedt el. A serendipity szó a Serendip -ből származik, amely Sri Lanka (korábban Ceylon) szigetének arab neve volt és váratlan, szerencsés felfedezést jelent. Annyit tesz: ráhibázni vagy szerencsésen rájönni olyan dolgokra, amelyeket valójában nem is kutattunk. A kifejezést ebben az értelemben Horace Walpole, angol író használta először 1751-es Serendip három hercege című regényében [11] ben Frank Oppenheimer felkereste a montreali világkiállítás amerikai pavilonját. Az óriáskupola Fuller mesterműve volt, amelyet Fuller a feleségének dedikált, az emberek pedig kristálypalotának és Taj Mahal-nak nevezték el. Oppenheimer meglátogatta a német pavilont is, ahol elbűvölve vette szemügyre az Erfahrungsfeld (Terepgyakorlat) 30 állomásának kézbe vehető modelljét, amit a német pedagógus és művész Hugo Kükelhaus ( ) készített. Kükelhaus az antropozófia követője és goetheánus gondolkodó volt, kiállításai nagy hatással voltak az oktatási környezet fejlesztésére a hatvanas években [12]. Minden bizonnyal ezek voltak Oppenheimer számára azok a Heuréka-élmények, amelyekből kiindulva két évvel később

7 megalapította az Exploratoriumot San Franciscóban. (Ugyanebben az évben nyitották meg az Ontario Tudományos Központot is). 8. kép: Fuller a montreali világkiállítás óriáskupolája előtt. Hugo Kükelhaus Erfahrungsfeld - je a német pavilonban volt kiállítva, ugyanekkor, 1967-ben. 9. kép: A szerencsés felfedezés kibernetikája című kiállítás katalógusának első oldala. Jasia Reichardt, London, Én is részt vettem kiállításoknak és múzeumoknak szánt kézbevehető modellek tervezésében [13]. (Phaenomena 1984, Symmetry 1986, Aha gallery 1988, Circle 1990, Heureka 1991, Mathemagie 1993). Foglalkozásokon és előadásokon is gyakran használok hajtogatható modelleket, az egyik bemutatómnak a kinetikus szerencsés véletlen címet adtam. Ezzel az elnevezéssel Jasia Reichardt előtt is szeretnék tisztelegni, aki kibernetikus szerencsés véletlen címmel rendezett kiállítást Londonban, 1968-ban [14]. Ez a kiállítás mind a mai napig úttörő kísérletnek számít az interaktív művészet és tudomány élményközpontú bemutatása terén. A kiállítást a későbbiekben több helyszínre is elvitték az Egyesült Államokban. Első állomása a San Francisco-i Exploratorium volt, amikor 1969-ben megnyitotta kapuit [15]. Lábán Rudolf tánca az ikozaéderben és Buckminster Fuller jitterbugja egyaránt rendkívüli felfedezések voltak, hiszen az interaktivitáson alapultak, valamint az elmét és a testet is megmozgatták, tevékenységre késztették. Heinrich Pestalozzi ( ), a svájci pedagógus a fej, szív és a kéz közötti egyensúly után kutatott. Tanítványa volt az a Friedrich Froebel ( ), aki a későbbiekben róla elnevezett kézbevehető modelleket is készített (gömb, henger, kocka). A modellekkel való játék a rácsodálkozással járó felismeréshez, az aha -élményhez vezethet el. Frank Lloyd Wright és Buckminster Fuller is Froebel-óvodába jártak. Fuller csodálta Margaret nagynénjét, aki transzcendentalista és Johann Wolfgang Goethe rajongója volt [16]. A jitterbughoz hasonló kinetikus modelleknek van egy olyan érdekes tulajdonságuk, hogy egy racionális periodikus rácsból ikozaéderes, vagyis irracionális alakzattá (aranymetszés) is átalakíthatók. John Edmark egyik újabb interaktív modellje (2010) a Fibonacci fenyőtobozból indul ki, s a természetben is előforduló alapvető morfológiát (a 137,5 fokos aranyszöget) mutatja be. A kör négyszögesítése a síklapon körzővel és vonalzóval nem lehetséges, a probléma viszont megoldható egy kézbevehető modellel, ha az inverzió elvét alkalmazzuk, és egy 4- dimenziós folyamatban gondolkozunk. Vitruvius emberének jól ismert, Leonardo da Vinci-féle ábrázolása (1487) az emberi testet mutatja be, amely tökéletesen illeszkedik az irracionális körbe és a racionális négyezetbe is... Az embernagyságú, interaktív modellekkel zajló előadás nem más, mint a dimenziók tánca, amely során olyan érdekes kinetikus jelenségeket érthetünk meg, mint például az eltolás,

8 az elforgatás, a kitágulás és az összehúzódás, az inverzió és a gasztruláció (a csíralemez kialakulása az embrió kifejlődése során), a jitterbug és a tensegritás, a csomók és a hurkok, valamint a Mőbiusz-szalagok tulajdonságai. 10. kép: Az India ősi iszlám kultúráját felelevenítő Taj Mahal lánya című előadás, amely a sejtosztódás folyamatának lényegét ragadja meg. Egy nagyméretű gömb összenyomható két kisebb gömbbé, vagy átalakítható egy nagyméretű körré. [17] 11. kép: Rebecca Horn A fekete test legyező című performansza 1972-ből. [18] 11. kép: Alexander Graham Bell és felesége sárkányrepülőjük alumínium oktett vázszerkezetével (1903) [19] (Buckminster Fuller ugyanezt az oktett tartószerkezetet szabadalmaztatta 1961-ben)

9 Hivatkozások [1] Rudolf von Laban, Choreographie, Eugen Diederichs, Jena [2] Giorgio J. Wolfensberger, Suzanne Perrottet ein bewegtes Leben, Benteli Verlag, Bern 1984 [3] Online Archive of California OAF, Guide to the Rudolf Laban Icosahedron, Collection Guide [4] Ursula Pellaton, Monte Verita, Ausdruckstanz, Turicum p , Zurich, 1993 [5] Swiss National Science Expo, Heureka, Exhibition catalogue, Zurcher Forum, [6] Joachim Krausse, Claude Lichtenstein, Your Private Sky R. Buckminster Fuller, Lars Muller, [7] Joachim Krausse, Claude Lichtenstein, Your Private Sky: Discourse R. B. Fuller, Lars Muller, [8] Dennis Dreher, Octabug, manufactured by the bug group, Bethel Maine, U.S.A [9] Hugo F. Verheyen, The complete set of jitterbug, Comp. Math. Appl. 17, Pergamon, Oxford, 1989 [10] Caspar Schwabe, Atsuhiko Ishiguro, Geometric Art, Kousakusha publishers, Tokyo 2006 [11] Horace Walpole, The Three Princess of Serendip, London 1751 [12] Hugo Kukelhaus, Urzahl und Gebarde, Alfred Metzner Verlag, Frankfurt, 1934 [13] Exhibition, Symmetrie- Spiel, Natur und Wissenschaft, Band 3, Eduard Roether, Darmstadt, 1986 [14] Jasia Reichardt, Cybernetic Serendipity, Interactive exhibition ICA, London, 1968 [15] Gabriele Gramelsberger, Science Centers-Places for Informal Education, Freie Univ. Berlin, 2007 [16] Frederick Augustus Braun, Margaret Fuller and Goethe, Henry Holt and Company, 1910[ [17] Peter Jenny, Bildrezepte, Lars Hochschuleverlag an der ETH Zuerich, 1996 [18] Rebecca Horn, The Glance of Infinity, Kerstner Gesellschaft, Hannover 1997 [19] Dorothy Harey Eber, Genius at work, Images of Alexander Graham Bell, The Viking press, 1982

Kora modern kori csillagászat. Johannes Kepler ( ) A Világ Harmóniája

Kora modern kori csillagászat. Johannes Kepler ( ) A Világ Harmóniája Kora modern kori csillagászat Johannes Kepler (1571-1630) A Világ Harmóniája Rövid életrajz: Született: Weil der Stadt (Német -Római Császárság) Protestáns környezet, vallásos nevelés (Művein érezni a

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

FRAKTÁLOK ÉS A KÁOSZ

FRAKTÁLOK ÉS A KÁOSZ FRAKTÁLOK ÉS A KÁOSZ Meszéna Tamás Ciszterci Rend Nagy Lajos Gimnáziuma és Kollégiuma, Pécs, meszena.tamas@gmail.com, az ELTE Fizika Tanítása doktori program hallgatója ÖSSZEFOGLALÁS A fraktálok olyan

Részletesebben

Tudomány és művészetek tehetséggondozó műhely záró foglalkozás és kiállítás

Tudomány és művészetek tehetséggondozó műhely záró foglalkozás és kiállítás NTP-KKI-B-15 A köznevelés és kulturális intézményekben működő tehetséggondozó programok támogatása Tudomány és művészetek tehetséggondozó műhely záró foglalkozás és kiállítás Tudomány és művészetek tehetséggondozó

Részletesebben

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással

Részletesebben

HÁZAK ÉS MEZŐK. Mindennapi művészet a kortárs angol építészetében

HÁZAK ÉS MEZŐK. Mindennapi művészet a kortárs angol építészetében HÁZAK ÉS MEZŐK Mindennapi művészet a kortárs angol építészetében Alkér Katalin 2014. tavasz témavezető: Klobusovszki Péter opponens: Simon Mariann BME Építőművészeti Doktori Iskola TÉMAVÁZLAT bevezető

Részletesebben

Egy feladat megoldása Geogebra segítségével

Egy feladat megoldása Geogebra segítségével Egy feladat megoldása Geogebra segítségével A következőkben a Geogebra dinamikus geometriai szerkesztőprogram egy felhasználási lehetőségéről lesz szó, mindez bemutatva egy feladat megoldása során. A Geogebra

Részletesebben

Képzeld el, építsd meg! Síkbeli és térbeli alakzatok 3. feladatcsomag

Képzeld el, építsd meg! Síkbeli és térbeli alakzatok 3. feladatcsomag Síkbeli és térbeli alakzatok 1.3 Képzeld el, építsd meg! Síkbeli és térbeli alakzatok 3. feladatcsomag Életkor: Fogalmak, eljárások: 10 12 év sokszög, szabályos sokszög egybevágó lap, él, csúcs párhuzamos,

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/7 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek

16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek 16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK Geometriai transzformáció Def:Olyan speciális függvény, melynek értelmezési

Részletesebben

(Solid modeling, Geometric modeling) Testmodell: egy létező vagy elképzelt objektum digitális reprezentációja.

(Solid modeling, Geometric modeling) Testmodell: egy létező vagy elképzelt objektum digitális reprezentációja. Testmodellezés Testmodellezés (Solid modeling, Geometric modeling) Testmodell: egy létező vagy elképzelt objektum digitális reprezentációja. A tervezés (modellezés) során megadjuk a objektum geometria

Részletesebben

ARANYMETSZÉS. - érettségi dolgozat védése analízis és algebrából - Készítette: Szénási Eszter Mentor: Dr. Péics Hajnalka június 11.

ARANYMETSZÉS. - érettségi dolgozat védése analízis és algebrából - Készítette: Szénási Eszter Mentor: Dr. Péics Hajnalka június 11. ARANYMETSZÉS - érettségi dolgozat védése analízis és algebrából - Készítette: Szénási Eszter Mentor: Dr. Péics Hajnalka 2014. június 11. Zenta TARTALMI ÁTTEKINTÉS Az aranymetszés fogalma eredete és előfordulása

Részletesebben

5. modul: ARÁNYOSSÁG, SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS

5. modul: ARÁNYOSSÁG, SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS MATEMATIK A 9. évfolyam 5. modul: ARÁNYOSSÁG, SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS KÉSZÍTETTE: VIDRA GÁBOR Matematika A 9. évfolyam. 5. modul: ARÁNYOSSÁG, SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 16. modul EGYBEVÁGÓSÁGOK. Készítette: Vidra Gábor

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 16. modul EGYBEVÁGÓSÁGOK. Készítette: Vidra Gábor Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 16. modul EGYBEVÁGÓSÁGOK Készítette: Vidra Gábor MATEMATIKA A 9. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM 16. modul: EGYBEVÁGÓSÁGOK TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 7 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

Matematika az építészetben

Matematika az építészetben Matematika az építészetben Molnár-Sáska Katalin Főisk.docens YMÉK Bevezetés - Történeti áttekintés - A geometria helye a főiskolai képzésben - Újraindítás és körülményei Részletes tanmenet Megjegyzések:

Részletesebben

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 14. modul GEOMETRIAI ALAPFOGALMAK. Készítette: Vidra Gábor

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 14. modul GEOMETRIAI ALAPFOGALMAK. Készítette: Vidra Gábor Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 14. modul GEOMETRIAI ALAPFOGALMAK Készítette: Vidra Gábor MATEMATIKA A 9. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM 14. modul: GEOMETRIAI ALAPFOGALMAK TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret

Részletesebben

domokos gábor - várkonyi péter

domokos gábor - várkonyi péter mono-monostatic bodies: the answer to Arnold s question www.gomboc.eu domokos gábor - várkonyi péter DESIGNCOMMUNICATION: CO&CO Honnan származik a Gömböc gondolata? A Gömböc létezését a XX. század egyik

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

2015. november 16. Művészet, Matematika, Játék és Innováció: ÉlményMűhely a Debreceni Ady Endre Gimnáziumban

2015. november 16. Művészet, Matematika, Játék és Innováció: ÉlményMűhely a Debreceni Ady Endre Gimnáziumban 2015. november 16. Művészet, Matematika, Játék és Innováció: ÉlményMűhely a Debreceni Ady Endre Gimnáziumban 4024 Debrecen, Liszt Ferenc u. 1. PROGRAM ÓRIÁSFRAKTÁL ÉS FULLERÉN MOLEKULA ÉPÍTÉS 4DFRAME KÉSZLETTEL

Részletesebben

Fejlesztı neve: VINCZÉNÉ CSETE GABRIELLA. Tanóra / modul címe: ALKALMAZZUK A SZIMMETRIÁT! SÍK- ÉS TÉRBELI TENGELYESEN TÜKRÖS ALAKZATOK ELİÁLLÍTÁSA

Fejlesztı neve: VINCZÉNÉ CSETE GABRIELLA. Tanóra / modul címe: ALKALMAZZUK A SZIMMETRIÁT! SÍK- ÉS TÉRBELI TENGELYESEN TÜKRÖS ALAKZATOK ELİÁLLÍTÁSA Fejlesztı neve: VINCZÉNÉ CSETE GABRIELLA Tanóra / modul címe: ALKALMAZZUK A SZIMMETRIÁT! SÍK- ÉS TÉRBELI TENGELYESEN TÜKRÖS ALAKZATOK ELİÁLLÍTÁSA 1. Az óra tartalma A tanulási téma bemutatása; A téma és

Részletesebben

2013. június 5., Fülek. ÉlményMűhely a füleki Tudománynapokon MŰVÉSZET, TUDOMÁNY, JÁTÉK ÉS INNOVÁCIÓ AZ ISKOLÁBAN ÉS A KIÁLLÍTÓTÉRBEN

2013. június 5., Fülek. ÉlményMűhely a füleki Tudománynapokon MŰVÉSZET, TUDOMÁNY, JÁTÉK ÉS INNOVÁCIÓ AZ ISKOLÁBAN ÉS A KIÁLLÍTÓTÉRBEN 2013. június 5., Fülek ÉlményMűhely a füleki Tudománynapokon MŰVÉSZET, TUDOMÁNY, JÁTÉK ÉS INNOVÁCIÓ AZ ISKOLÁBAN ÉS A KIÁLLÍTÓTÉRBEN >>> Az ÉlményMűhely Nemzetközi Mozgalom az Élményközpontú Matematika-oktatásért

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

A manzárdtetőről. 1. ábra Forrás: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0a/drawing_in_perspective_ of_gambrel-roofed_building.

A manzárdtetőről. 1. ábra Forrás: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0a/drawing_in_perspective_ of_gambrel-roofed_building. A manzárdtetőről Az építőipari tanulók ácsok, magasépítő technikusok részére kötelező gyakorlat a manzárdtetőkkel való foglalkozás. Egy manzárd nyeregtetőt mutat az. ábra.. ábra Forrás: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0a/drawing_in_perspective_

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III. Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak

Részletesebben

SZAKÁLL SÁNDOR, ÁsVÁNY- És kőzettan ALAPJAI

SZAKÁLL SÁNDOR, ÁsVÁNY- És kőzettan ALAPJAI SZAKÁLL SÁNDOR, ÁsVÁNY- És kőzettan ALAPJAI 6 KRISTÁLYTAN VI. A KRIsTÁLYOs ANYAG belső RENDEZETTsÉGE 1. A KRIsTÁLYOs ÁLLAPOT A szilárd ANYAG jellemzője Az ásványok néhány kivételtől eltekintve kristályos

Részletesebben

SZAKÁLL SÁNDOR, ÁsVÁNY- És kőzettan ALAPJAI

SZAKÁLL SÁNDOR, ÁsVÁNY- És kőzettan ALAPJAI SZAKÁLL SÁNDOR, ÁsVÁNY- És kőzettan ALAPJAI 7 KRISTÁLYTAN VII. A KRIsTÁLYOK szimmetriája 1. BEVEZETÉs Az elemi cella és ebből eredően a térrácsnak a szimmetriáját a kristályok esetében az atomok, ionok

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

A szabályos sokszögek közelítő szerkesztéséhez

A szabályos sokszögek közelítő szerkesztéséhez 1 A szabályos sokszögek közelítő szerkesztéséhez A síkmértani szerkesztések között van egy kedvencünk: a szabályos n - szög közelítő szerkesztése. Azért vívta ki nálunk ezt az előkelő helyet, mert nagyon

Részletesebben

2014. május 29. TEHETSÉGEK ÉS TEHETSÉGGONDOZÓK ÉlményMűhelye. Cím: Pécs, Boszorkány út 2., PTE PMMIK

2014. május 29. TEHETSÉGEK ÉS TEHETSÉGGONDOZÓK ÉlményMűhelye. Cím: Pécs, Boszorkány út 2., PTE PMMIK és Informatikai Kar 2014. május 29. TEHETSÉGEK ÉS TEHETSÉGGONDOZÓK ÉlményMűhelye a Pécsi Tudományegyetem án Cím: Pécs, Boszorkány út 2., PTE PMMIK Építsd velünk a jövőd! Tehetségútlevél a jövő mérnökeinek

Részletesebben

reactable interaktív zeneasztal

reactable interaktív zeneasztal reactable interaktív zeneasztal 2(6) - reactable Interaktív zeneasztal reactable Interaktív zeneasztal A reactable interakív asztal egy modern, többfelhasználós elektroakusztikus hangszer. A hangszer kezeléséhez

Részletesebben

Egy kiállítás képeire A lepkész felfedezései és a grafikus megvalósításai. Bálint Zsolt Állattár Lepkegyűjtemény

Egy kiállítás képeire A lepkész felfedezései és a grafikus megvalósításai. Bálint Zsolt Állattár Lepkegyűjtemény Egy kiállítás képeire A lepkész felfedezései és a grafikus megvalósításai Bálint Zsolt Állattár Lepkegyűjtemény 2000 őszén kiállítást terveztünk Szappanos Albert rovarillusztrátorral. Én adtam a lepkéket

Részletesebben

TANMENET. Matematika

TANMENET. Matematika Bethlen Gábor Református Gimnázium és Szathmáry Kollégium 6800 Hódmezővásárhely, Szőnyi utca 2. Telefon: +36-62-241-703 www.bgrg.hu OM: 029736 TANMENET Matematika 2016/2017 9. B tagozat Összeállította:

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

Erdősné Németh Ágnes. Batthyány Lajos Gimnázium Nagykanizsa. agi@microprof.hu. INFO SAVARIA 2010. április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 1

Erdősné Németh Ágnes. Batthyány Lajos Gimnázium Nagykanizsa. agi@microprof.hu. INFO SAVARIA 2010. április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 1 Parkettázás s szabályos sokszögekkel Erdősné Németh Ágnes Batthyány Lajos Gimnázium Nagykanizsa agi@microprof.hu INFO SAVARIA 2010. április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 1 LOGO versenyfeladatok

Részletesebben

Feuerbach kör tanítása dinamikus programok segítségével

Feuerbach kör tanítása dinamikus programok segítségével Feuerbach kör tanítása dinamikus programok segítségével Buzogány Ágota IV. Matematika-Angol Fejezetek a matematika tanításából Kovács Zoltán 2004-12-10 2 A Feuerbach körnek többféle elnevezése is van,

Részletesebben

Készítette: niethammer@freemail.hu

Készítette: niethammer@freemail.hu VLogo VRML generáló program Készítette: Niethammer Zoltán niethammer@freemail.hu 2008 Bevezetés A VLogo az általános iskolákban használt Comenius Logo logikájára épülő programozási nyelv. A végeredmény

Részletesebben

Kémiai reakciók mechanizmusa számítógépes szimulációval

Kémiai reakciók mechanizmusa számítógépes szimulációval Kémiai reakciók mechanizmusa számítógépes szimulációval Stirling András stirling@chemres.hu Elméleti Kémiai Osztály Budapest Stirling A. (MTA Kémiai Kutatóközpont) Reakciómechanizmus szimulációból 2007.

Részletesebben

6. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnöktanár)

6. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnöktanár) SZÉHNYI ISTVÁN GYT LKLZOTT HNIK TNSZÉK 6. HNIK-STTIK GYKORLT (kidolgozta: Triesz Péter egy. ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár) Négy erő egyensúlya ulmann-szerkesztés Ritter-számítás 6.. Példa gy létrát egy

Részletesebben

Szent Pál székesegyház, London Sir Christopher Wren BME GTK november Helfrich Szabolcs DLA, egyetemi adjunktus

Szent Pál székesegyház, London Sir Christopher Wren BME GTK november Helfrich Szabolcs DLA, egyetemi adjunktus Szent Pál székesegyház, London Sir Christopher Wren 1708 Petrarca - reneszánsz 1304-1374 Palotabelső - barokk Az ember tere - építészeti alapismeretek Klasszicizmus Kis Trianon, Versailles, Jacques-Ange

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP

P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP J UHÁSZ I STVÁN P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ T é m a k ö r ö k é s p r ó b a f e l a d a t s o r 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP 1. oldal 9. OSZTÁLYOS PÓTVIZSGA TÉMAKÖRÖK: I.

Részletesebben

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat 3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA 1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal

Részletesebben

TANMENETJAVASLAT AZ ÚJ KERETTANTERVHEZ MATEMATIKA 1. ÉVFOLYAM KÉSZÍTETTÉK: KURUCZNÉ BORBÉLY MÁRTA ÉS VARGA LÍVIA TANKÖNYVSZERZŐK 2013

TANMENETJAVASLAT AZ ÚJ KERETTANTERVHEZ MATEMATIKA 1. ÉVFOLYAM KÉSZÍTETTÉK: KURUCZNÉ BORBÉLY MÁRTA ÉS VARGA LÍVIA TANKÖNYVSZERZŐK 2013 TANMENETJAVASLAT AZ ÚJ KERETTANTERVHEZ MATEMATIKA 1. ÉVFOLYAM KÉSZÍTETTÉK: KURUCZNÉ BORBÉLY MÁRTA ÉS VARGA LÍVIA TANKÖNYVSZERZŐK 2013 1 Kedves Kollégák! Tanmenet javaslatunkkal segítséget kívánunk nyújtani

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

XVII. FIZIKA-KÉMIA ÁLTALÁNOS ISKOLAI TEHETSÉGGONDOZÓ DIÁKTÁBOR

XVII. FIZIKA-KÉMIA ÁLTALÁNOS ISKOLAI TEHETSÉGGONDOZÓ DIÁKTÁBOR XVII. FIZIKA-KÉMIA ÁLTALÁNOS ISKOLAI TEHETSÉGGONDOZÓ DIÁKTÁBOR Horgos, 2016. január 8-10. Muhi Béla főszervező beszámolója A GENIUS a tehetséges diákokért mozgalom keretében a Vajdasági Magyar Pedagógusok

Részletesebben

Lássuk be, hogy nem lehet a három pontot úgy elhelyezni, hogy egy inerciarendszerben

Lássuk be, hogy nem lehet a három pontot úgy elhelyezni, hogy egy inerciarendszerben Feladat: A háromtest probléma speciális megoldásai Arra vagyunk kiváncsiak, hogy a bolygó mozgásnak milyen egyszerű egyensúlyi megoldásai vannak három bolygó esetén. Az így felmerülő három-test probléma

Részletesebben

GALÉRIA. Digitális Fotó Magazin 2014/7.

GALÉRIA. Digitális Fotó Magazin 2014/7. 014-025_galeria_rafal:port 2014.10.20. 16:08 Page 14 14 GALÉRIA Digitális Fotó Magazin 2014/7. 014-025_galeria_rafal:port 2014.10.20. 16:08 Page 15 www.fotomagazin.hu Gyönyörű fények, elképesztő tájak,

Részletesebben

Térgeometriai taneszközök síkba összenyomható és zsinóros térbeli modellek (9 10. évfolyam) Tanári eszközök. Szalóki Dezső

Térgeometriai taneszközök síkba összenyomható és zsinóros térbeli modellek (9 10. évfolyam) Tanári eszközök. Szalóki Dezső Térgeometriai taneszközök síkba összenyomható és zsinóros térbeli modellek (9 10. évfolyam) Tanári eszközök Szalóki Dezső matematika, fizika, ábrázoló-geometria és biológia szakos vezetőtanár Lektorálta:

Részletesebben

TANMENETJAVASLAT. Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA. Tankönyv nyolcadikosoknak. címû tankönyveihez

TANMENETJAVASLAT. Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA. Tankönyv nyolcadikosoknak. címû tankönyveihez TANMENETJAVASLAT Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA Tankönyv nyolcadikosoknak címû tankönyveihez 8. OSZTÁLY Óraszám 1. 1 2. Halmazok ismétlés Tk. 6/1 5. Gyk. 3 6/1 10. 2. 3 4. A logikai szita Tk. 9 10/6 20.

Részletesebben

6. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya, Culmann-szerkesztés, Ritter-számítás

6. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya, Culmann-szerkesztés, Ritter-számítás ZÉHENYI ITVÁN EGYETE GÉPZERKEZETTN É EHNIK TNZÉK 6. EHNIK-TTIK GYKORLT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya ulmann-szerkesztés Ritter-számítás 6.. Példa Egy létrát egy verembe letámasztunk

Részletesebben

ÁGAZATI SZAKMAI ÉRETTSÉGI VIZSGA ÉPÍTŐIPAR ISMERETEK EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA MINTAFELADATOK ÉS ÉRTÉKELÉSÜK

ÁGAZATI SZAKMAI ÉRETTSÉGI VIZSGA ÉPÍTŐIPAR ISMERETEK EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA MINTAFELADATOK ÉS ÉRTÉKELÉSÜK ÉPÍTŐIPAR ISMERETEK EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA MINTAFELADATOK ÉS ÉRTÉKELÉSÜK 1. Tétel A feladat Építészeti alapfogalmak Mutassa be a természetes és az épített környezet elemeit, azok kapcsolatát, egymásra

Részletesebben

GONDOLKODJUNK! A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

GONDOLKODJUNK! A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z GONDOLKODJUNK! GONDOLJ EGY TETSZŐLEGES KÉTJEGYŰ SZÁMRA! VOND KI BELŐLE A SZÁMJEGYEINEK AZ ÖSSZEGÉT! AZ ÍGY KAPOTT SZÁMNAK VEDD A SZÁMJEGYEINEK AZ ÖSSZEGÉT! EBBŐL VONJÁL KI 5-öt! VEDD AZ ANGOL ABC-ben AZ

Részletesebben

Ne csak nézz! Kattanj rá! Építészeti fotópályázat

Ne csak nézz! Kattanj rá! Építészeti fotópályázat Ne csak nézz! Kattanj rá! Építészeti Az Atrium magazin pályázatával olyan amatőr tehetségeket kerestünk, akik képesek ebben a cseppet sem könnyű műfajban értékeset alkotni. A pályázatot amelyet nagy érdeklődés

Részletesebben

2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat

2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat 1. tétel Természetes számok tízes számrendszer műveletek és tulajdonságaik Természetes számok, jele, jelölések, ábrázolása számegyenesen műveletek a természetes számok halmazán belül Tízes számrendszer

Részletesebben

Newton törvények és a gravitációs kölcsönhatás (Vázlat)

Newton törvények és a gravitációs kölcsönhatás (Vázlat) Newton törvények és a gravitációs kölcsönhatás (Vázlat) 1. Az inerciarendszer fogalma. Newton I. törvénye 3. Newton II. törvénye 4. Newton III. törvénye 5. Erők szuperpozíciójának elve 6. Különböző mozgások

Részletesebben

Elemi Alkalmazások Fejlesztése II.

Elemi Alkalmazások Fejlesztése II. Elemi Alkalmazások Fejlesztése II. Osztályok közötti kapcsolatok öröklődés asszociáció aggregáció kompozíció 1. Feladat Készítsünk programot, amellyel testek térfogatát határozhatjuk meg, illetve megadhatjuk

Részletesebben

Információ megjelenítés Történet és példák. Dr. Iványi Péter

Információ megjelenítés Történet és példák. Dr. Iványi Péter Információ megjelenítés Történet és példák Dr. Iványi Péter Charles Minard (1781-1870) Francia mérnök Napóleon 1812-es oroszországi hadjárata William Playfair (1759-1823) The Commercial and Political Atlas,

Részletesebben

Magyar Táncművészeti Főiskola Nádasi Ferenc Gimnáziuma. Mozgásanatómia. Mozgásanatómia

Magyar Táncművészeti Főiskola Nádasi Ferenc Gimnáziuma. Mozgásanatómia. Mozgásanatómia Magyar Táncművészeti Főiskola Nádasi Ferenc Gimnáziuma Mozgásanatómia Mozgásanatómia 9. évfolyam A 9. évfolyamon az intézményünk profiljának megfelelő tantárgy, a mozgásanatómia kerül bevezetésre. A mozgásanatómia

Részletesebben

A SZOCIOLÓGIA ALAPÍTÓJA. AugustE Comte

A SZOCIOLÓGIA ALAPÍTÓJA. AugustE Comte A SZOCIOLÓGIA ALAPÍTÓJA AugustE Comte A szociológia önálló tudománnyá válása a 19.század közepén TUDOMÁNYTÖRTÉNET: a felvilágosodás eszméi: Szabadság, egyenlőség, testvériség. Az elképzelt tökéletes társadalom

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév 9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek

Részletesebben

15. modul: EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK

15. modul: EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK MATEMATIK A 9. évfolyam 15. modul: EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK KÉSZÍTETTE: BIRLONI SZILVIA Matematika A 9. évfolyam. 15. modul: VEKTOROK, EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK Tanári útmutató 2 A modul célja

Részletesebben

1.modul Válogatások, válogatások kétfelé

1.modul Válogatások, válogatások kétfelé FEJLESZTEN- Szeptember 1-2. óra 1.modul Válogatások, válogatások kétfelé Halmazok összehasonlítása szétválogatása: több, kevesebb, ugyanannyi. Relációk értelmezése. Meg- és leszámlálás tárgyakról, képekről.

Részletesebben

A csoda odabent van!

A csoda odabent van! A csoda odabent van! Középpontban a laboratórium! Laborlátogatás, kísérletek, élménykémia Bemutatkozik a WESSLING Hungary tavasszal induló, középiskolásoknak szánt oktatási programja Középpontban a laboratórium

Részletesebben

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz (111 óra, 148 óra, 185 óra) A tanmenetben olyan órafelosztást adunk, amely alkalmazható mind a középszintû képzés (heti 3 vagy heti 4 óra), mind az emelt szintû képzés

Részletesebben

JELENKOR. Propaganda Hitler után

JELENKOR. Propaganda Hitler után JELENKOR Propaganda Hitler után Thomas Mergel 1 Propaganda Hitler után című könyvében elsősorban azt vizsgálja, milyen politikai elvárások születnek a szavazók és a politikai aktivisták választások alatt

Részletesebben

Termék modell. Definíció:

Termék modell. Definíció: Definíció: Termék modell Összetett, többfunkciós, integrált modell (számítógépes reprezentáció) amely leír egy műszaki objektumot annak különböző életfázis szakaszaiban: tervezés, gyártás, szerelés, szervízelés,

Részletesebben

AB - Labanov Ateliér Bratislava Lábán műterem Pozsonyban

AB - Labanov Ateliér Bratislava Lábán műterem Pozsonyban AB - Labanov Ateliér Bratislava Lábán műterem Pozsonyban BEVEZETÉS Kidolgozta: Kozmerová Kinga/ ERASMUS 2010. október Munkámban szeretném megismertetni Lábán Rudolf munkásságát, röviden ismertetni az ő

Részletesebben

Könyvek Tusája 4. forduló

Könyvek Tusája 4. forduló Könyvek Tusája 4. forduló Ifjúság kategória Válaszaidat elküldheted az alábbi linkre kattintva. Minden beküldött választ, CSAK EGYSZER fogadunk el! Mielőtt rákattintasz az "Elküld" gombra, kérünk, nézd

Részletesebben

4. Lecke. Körök és szabályos sokszögek rajzolása. 4.Lecke / 1.

4. Lecke. Körök és szabályos sokszögek rajzolása. 4.Lecke / 1. 4.Lecke / 1. 4. Lecke Körök és szabályos sokszögek rajzolása Az előző fejezetekkel ellentétben most nem újabb programozási utasításokról vagy elvekről fogunk tanulni. Ebben a fejezetben a sokszögekről,

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 12.E ÉS 13.A OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 31 HÉT/ ÖSSZ 124 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 12.E ÉS 13.A OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 31 HÉT/ ÖSSZ 124 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

PÁLYÁZATI LAP a Színpadon a Természettudomány 2014 rendezvényre

PÁLYÁZATI LAP a Színpadon a Természettudomány 2014 rendezvényre PÁLYÁZATI LAP a Színpadon a Természettudomány 2014 rendezvényre Köszönjük az érdeklődését, hogy jelentkezni kíván a Színpadon a Természettudomány 2014 rendezvényre, amelyet 2014. okt. 11 én, szombaton

Részletesebben

V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M É R N Ö K I M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I

V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M É R N Ö K I M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M É R N Ö K I M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I Előadásvázlat a Multidiszciplináris Műszaki Tudományi Doktori Iskola hallgatói számára

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 9. évfolyam 1. félév ESZKÖZÖK Matematika A 9. évfolyam 1. modul 1.1 dominó { 5-re végződő páros számok } { az x < 0 egyenlet megoldásai } { a Föld holdjai }

Részletesebben

A GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA. Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria

A GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA. Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria GEOMETRIA A GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria A SÍKGEOMETRIA TANÍTÁSA 5-10. OSZTÁLY Síkgeometriai fogalmak

Részletesebben

Pestisjárványok a késő középkorban: Vallási és orvosi reakciók (PD 75642)

Pestisjárványok a késő középkorban: Vallási és orvosi reakciók (PD 75642) Pestisjárványok a késő középkorban: Vallási és orvosi reakciók (PD 75642) Gecser Ottó A 14. századi, Fekete Halálként ismert nagy pestisjárvánnyal kezdődően az orvosi és vallási betegségfelfogás, illetve

Részletesebben

Tanmenetjavaslat. Téma Óraszám Tananyag Fogalmak Összefüggések Eszközök Kitekintés. Helyi érték, alaki érték. Számegyenes.

Tanmenetjavaslat. Téma Óraszám Tananyag Fogalmak Összefüggések Eszközök Kitekintés. Helyi érték, alaki érték. Számegyenes. Heti 4 óra esetén, 37 tanítási hétre összesen 148 óra áll rendelkezésre. A tanmenet 132 óra beosztását tartalmazza. Heti 5 óra esetén összesen 37-tel több órában dolgozhatunk. Ez összesen 185 óra. Itt

Részletesebben

SZERZŐ: Kiss Róbert. Oldal1

SZERZŐ: Kiss Róbert. Oldal1 A LEGO MindStorms NXT/EV3 robot grafikus képernyőjét és programozási eszközeit használva különböző dinamikus (időben változó) ábrákat tudunk rajzolni. A képek létrehozásához koordináta rendszerben adott

Részletesebben

Dinamikus geometriai programok

Dinamikus geometriai programok 2011. február 19. Eszköz és médium (fotó: http://sliderulemuseum.com) ugyanez egyben: Enter Reform mozgalmak a formális matematika megalapozását az életkjori sajátosságoknak megfelelő tárgyi tevékenységnek

Részletesebben

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk

Részletesebben

41. ábra A NaCl rács elemi cellája

41. ábra A NaCl rács elemi cellája 41. ábra A NaCl rács elemi cellája Mindkét rácsra jellemző, hogy egy tetszés szerint kiválasztott pozitív vagy negatív töltésű iont ellentétes töltésű ionok vesznek körül. Különbség a közvetlen szomszédok

Részletesebben

Kilencvenöt éves korában elhunyt Robert Merle

Kilencvenöt éves korában elhunyt Robert Merle 3. szint Március-április Kilencvenöt éves korában elhunyt Robert Merle Kilencvenöt éves korában elhunyt Robert Merle, jelentette be kedd este a francia író lánya. Kilencvenöt éves korában Párizs környéki

Részletesebben

XI.5. LÉGY TE A TANÁR! A feladatsor jellemzői

XI.5. LÉGY TE A TANÁR! A feladatsor jellemzői XI.5. LÉGY TE A TANÁR! Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Algebrai, geometriai, kombinatorikai és valószínűségszámítási tipikus gondolkodási hibák, buktatók. Előzmények Mérlegelv, másodfokú egyenletek

Részletesebben

A népesség iskolázottságának előrejelzése 2020-ig

A népesség iskolázottságának előrejelzése 2020-ig Közgazdasági Szemle, LIX. évf., 2012. július augusztus (854 891. o.) Hermann Zoltán Varga Júlia A népesség iskolázottságának előrejelzése 2020-ig Iskolázási mikroszimulációs modell (ISMIK) Tanulmányunkban

Részletesebben

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont I. 1. A páros számokat tartalmazó részhalmazok: 6 ; 8 ; 6 ; 8. { } { } { }. 5 ( a ) 17 Összesen: t = = a a Összesen: ot kaphat a vizsgázó, ha csak két helyes részhalmazt ír fel. Szintén jár, ha a helyes

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember MATEMATIKA TANMENET 9. osztály 4 óra/hét Budapest, 2014. szeptember 2 Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Ismerkedés, év elejei feladatok, szintfelmérő írása 2 óra I. Kombinatorika, halmazok 13 óra

Részletesebben

Genf felfedezése: KINCSVADÁSZAT

Genf felfedezése: KINCSVADÁSZAT Genf felfedezése: KINCSVADÁSZAT Genf felfedezése: KINCSVADÁSZAT A nagy felbontású! 1. A törött lábú széket valami ellen való tiltakozás szimbólumaként készítették. Mi ellen tiltakoztak? 1. A törött lábú

Részletesebben

Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára

Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára Német Nemzetiségi Gimnázium és Kollégium Budapest Helyi tanterv Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára 1 Emelt szintű matematika 11 12. évfolyam Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka

Részletesebben

Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal-

Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal- Fazekas Gabriella IV. matematika-informatika Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal- Jelen tanulmány a fent megjelölt fogalmak egy lehetséges

Részletesebben

TÁNC ÉS DRÁMA 612 TÁNC ÉS DRÁMA 5. ÉVFOLYAM

TÁNC ÉS DRÁMA 612 TÁNC ÉS DRÁMA 5. ÉVFOLYAM TÁNC ÉS DRÁMA 612 TÁNC ÉS DRÁMA 5. ÉVFOLYAM TÁNC ÉS DRÁMA 613 CÉLOK ÉS FELADATOK A Tánc és dráma tantárgy tanterve nem elméleti ismeretek tanítását helyezi a középpontba, hanem a drámajáték eszköztárának

Részletesebben

Bár Skócia földrajzi, nyelvi, gazdasági. Az oktatási rendszer Skóciában magyar szemmel

Bár Skócia földrajzi, nyelvi, gazdasági. Az oktatási rendszer Skóciában magyar szemmel idegen nyelven megvalósuló autentikus kommunikáció létrejöttére és a résztvevõk személyiségének fejlesztésére. Egyetemistákkal és nyelvtanárokkal végzett munkám ezt egyértelmûen igazolja. Jelen cikkben

Részletesebben

Orbán Béla EGY CSEPP GEOMETRIA

Orbán Béla EGY CSEPP GEOMETRIA Orbán Béla EGY CSEPP GEOMETRIA A matematikai feladatok egy része olyan szellemi erőfeszítést igénylő rejtvényként fogható fel, amelynek megoldása jóleső érzést (sikerélményt) biztosít. Fokozott mértékben

Részletesebben

Virtuális randi-játék lányoknak! Csábításból jeles - 2013-as sajtócsomag

Virtuális randi-játék lányoknak! Csábításból jeles - 2013-as sajtócsomag Virtuális randi-játék lányoknak! A Csábításból jeles egy tizenéves lányoknak szóló virtuális randi-játék. A Japánban kitalált, romantikus online játék (Otome game) mintájára létrehozott randijáték lehetővé

Részletesebben

Hogyan óvjuk meg értékes festményeinket?

Hogyan óvjuk meg értékes festményeinket? Hogyan óvjuk meg értékes festményeinket? Hajnal Péter Bolyai Intézet, SZTE, Szeged 2013. április Bevezető példa I. Feladat Adott egy konvex nyolcszög. Bevezető példa I. Feladat Adott egy konvex nyolcszög.

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

VII.1. POLIÉDER-LABIRINTUSOK. A feladatsor jellemzői

VII.1. POLIÉDER-LABIRINTUSOK. A feladatsor jellemzői VII.1. POLIÉDER-LABIRINTUSOK Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Testek makettjének elkészítése, ismerkedés a testekkel szórakoztató formában. Előzmények Cél Egyszerűbb testek, tulajdonságaik. A térgeometriai

Részletesebben

Propedeutika-teszt 1. Bevezetés a bevezetésbe

Propedeutika-teszt 1. Bevezetés a bevezetésbe Propedeutika-teszt 1. Bevezetés a bevezetésbe Propedeutika-teszt 1 (1) 1. Mi a művészettörténet? az emberiség mindenkori művészi-esztétikai tevékenységeinek és az ebből fakadó emlékanyag összessége; a

Részletesebben