KVANTUMJELENSÉGEK ÚJ FIZIKA

Átírás

1 KVANTUMJELENSÉGEK ÚJ FIZIKA 196 Erwin Scrödinger HULLÁMMECHANIKA 197 Werner Heisenberg MÁTRIXMECHANIKA A két különböző fizikai megközelítésről később Paul Dirac bebizonyította, ogy EGYENÉRTÉKŰEK. Erwin Rudolf Josef Alexander Scrödinger ( ) fizikai Nobel-díj 1933 Werner Karl Heisenberg ( ) fizikai Nobel-díj 193 Paul Adrien Maurice Dirac ( ) fizikai Nobel-díj 1933 HULLÁMEGYENLETEK A KLASSZIKUS FIZIKÁBAN

2 HULLÁMEGYENLETEK A KLASSZIKUS FIZIKÁBAN Stratégia: majdnem reménytelen dolog a tér minden pontjában a ullámra ató erőkkel Newton II. törvénye szerint elszámolni. Ezért egy idő- és térkoordinátáktól is függő ullámfüggvényre () vonatkozó, parciális differenciálegyenlettel írjuk le a mozgást. x, t x, t v t Egy dimenziós ullám v: terjedési sebesség HULLÁMEGYENLETEK A KLASSZIKUS FIZIKÁBAN Egy idő- és térkoordinátáktól is függő ullámfüggvényre () vonatkozó, parciális differenciálegyenlettel írjuk le a mozgást. r, t r, t t v r v t x y z általános alak Három dimenziós ullám

3 HULLÁMFÜGGVÉNY A KVANTUMMECHANIKÁBAN r t klasszikus mecanika: egy részecske pályája, a elykoordináták az idő függvényében rt, ullámmecanika: egy részecske mozgását jellemző ullám amplitúdója a ely és az idő függvényében A SZUPERPOZÍCIÓ ELVE interferenciajelenségek a klasszikus mecanikában: a két vagy több kölcsönató ullám amplitúdói összeadódnak egységes fizikai tapasztalat: részecskék mozgását jellemző ullámfüggvények interferenciájakor a külön-külön vett ullámfüggvények amplitúdói összeadódnak r, t és r, t r, t r, t 1 eredő 1 1

4 A SZUPERPOZÍCIÓ ELVE részecskedetektorok: a ullámfüggvény intenzitására (= amplitúdó négyzetére) érzékenyek és nem az amplitúdóra eredő 1 1 r, t r, t r, t r, t r, t r, t intenzitásösszeg interferenciatag oda A SZUPERPOZÍCIÓ ELVE ÉS AZ ANYAGMEGMARADÁS ullám-visszaverődés: interferencia egy részecske saját visszavert ullámával Pl. az elektron egy dimenzióban (x) terjedő síkullámként elképzelve kx t sin kx t sin sin vissza eredő oda vissza kx t sin kx t t kx sin cos

5 A SZUPERPOZÍCIÓ ELVE ÉS AZ ANYAGMEGMARADÁS ullám-visszaverődés: t kx eredő sin cos Minden olyan időpontban, aol t = /, a ullámfüggvény a tér minden pontjában nulla (teljes önkioltás) Anyagmegmaradás??? (Hol van az elektron?) Megoldás: a ullámfüggvény értékeinek nem valós számoknak, anem komplex számoknak kell lenniük HULLÁMFÜGGVÉNY KOMPLEX SZÁMOKKAL komplex szám: z a ib i 1 valós rész komplex szám négyzete: képzetes rész z a ib a b abi komplex szám komplex konjugált: z* a ib zz* a ib a ib a b valós szám

6 HULLÁMFÜGGVÉNY KOMPLEX SZÁMOKKAL komplex számsík: zz* a b z zz * cos i sin z zz *e i Az egyszerű jelölés leetősége miatt a komplex számokat már korán asználni kezdték elektromágneses ullámok leírásában. A SZUPERPOZÍCIÓ ELVE KOMPLEX SZÁMOKKAL r, t r, t eredő 1 1 Mind komplex számok. Az intenzitás így nem az amplitúdó négyzete, anem az amplitúdó saját komplex konjugáltjával alkotott szorzata: * * r, t * r, t * r, t * r, t r t r t r t r t eredő eredő *, *, * *,,

7 A SZUPERPOZÍCIÓ ELVE KOMPLEX SZÁMOKKAL ullám-visszaverődés: e e oda ikx it ikx it vissza ikx it ikx it eredő oda vissza e e e it cos kx Stacionárius pályák a Bor-modellben: e i t r alakú állóullámok, amelyekben az elektromos töltéssűrűség eloszlása állandó, így nincs sugárzás HULLÁMCSOMAG, CSOPORTSEBESSÉG ullámterjedés és részecskemozgás: Különböző ullámosszú ullámok szuperpozíciójából ullámcsomag alakul ki, ez a részecske mozgásának analógiája. Véletlen szuperpozíciók a legtöbb elyen kioltják egymás, ullámcsomag csak azokon a elyeken alakulat ki, aol a részullámok fázisai egybeesnek. A jó szuperpozíciós elyek viszont más időpontokban másol vannak, vagyis a ullámcsomag elmozdul. Ennek a mozgásnak a sebessége a csoportsebesség.

8 HULLÁMCSOMAG, CSOPORTSEBESSÉG Egydimenziós (x) példa: Legyen a ullámossz és k = / ( körullámszám ) sin kx t Az azonos fázisú elyek v fázis = / k sebességgel terjednek Alkossuk meg sok különböző k-jú ullám szuperpozícióját, ezek körfrekvenciája függ a k-tól az (k) függvény szerint eredő k sin kx k t dk integrálás az összegzés elyett, mert k folytonosan változat. HULLÁMCSOMAG, CSOPORTSEBESSÉG eredő k sin kx k t dk Az integrál olyan (x, t) párokra leet nullától jelentősen különböző, aol a színuszjel mögötti kifejezés alig (gyakorlatilag nem) függ k-tól. Teát: k kx k t 0 k x t k 0 Az ilyen, nullától különböző elyek v csop csoportsebességgel mozognak: x k v csop t k

9 HULLÁMCSOMAG, CSOPORTSEBESSÉG k vcsop k Nagyon egyszerű kiterjesztés árom dimenzióra: v csop k k De Broglie ullámossz emlékeztető: Körullámszám: p π πp k 3D-ben: π k p p E π m Energia: v HULLÁMCSOMAG, CSOPORTSEBESSÉG csop k k E p π m π k p v csop π p E E m π p p p p m Teát a csoportsebesség a klasszikus sebesség közvetlen ullámmecanikai analógja:

10 MOZGÁS ERŐTÉRBEN A ullámmecanikában a mozgások változatossága sokkal nagyobb, mint a klasszikus mecanikában. A leírásoz az egyedi erőjárulékokkal való bonyolult elszámolás elyett sokkal célszerűbb potenciálfüggvényekkel dolgozni (ld. Hamilton-mecanika a klasszikus fizikában). Aol adott E energia mellett változik a potenciál, ott változik a jellemző ullámossz is. Az eddigiek alapján továbbra is célszerű körullámszámmal dolgozni a ullámossz elyett (nyílt ullámcsomag): π k r m E V r MOZGÁS ERŐTÉRBEN π k r m E V r Ha egy lokalizált ullámcsomag a potenciális energia csökkenése irányába mozdul el, akkor növekszik a ullámossza, csökken a ullámossza, növekszik az impulzusa. A potenciális energia változása matematikailag a potenciális energia térkoordináták szerinti deriváltjával (gradiensével) írató le, ez éppen az erő.

11 MOZGÁS ERŐTÉRBEN Zárt pálya mentén szétfolyó, önmagába záródó ullámra: a ullámossza függ térkoordinátáktól: a dr kis szakaszra ráférő ullámosszányad: dr r Az önmagába záródás geometriai feltétele: dr r p r dr n n p d r n n: egész szám p d r n MOZGÁS ERŐTÉRBEN p d r n n: egész szám Egyenletes körmogásnál az impulzus nagysága nem függ a elykoordinátától, az integrálás pedig egy kör kerülete mentén történik: p d r p d r pπr n Bor-Sommerfeld-kvantumfeltétel a Bor-modell impulzusmomentum-kvantáltsági posztulátuma: m e vr = n/

12 MOZGÁS ERŐTÉRBEN p d r n n: egész szám Bor-Sommerfeld-kvantumfeltétel Arnold Joannes Wilelm Sommerfeld ( ) tanítványai 3 fizikai és kémiai Nobel-díjat kaptak HATÁROZATLANSÁGI RELÁCIÓ(K) Egy ullámcsomag mozgása sok mindenben nem asonlít egy klasszikus tömegpont (részecske) mozgására. Egy ullámcsomag térben kiterjedt, teát nincs egyetlen atározott elye: legyen a kiterjedés eredő k sin kx k t dk A ullámcsomagot különböző körullámszámú komponensekből leet kikeverni, ezért az impulzusnak is van kiterjedése : p = k /

13 HATÁROZATLANSÁGI RELÁCIÓ(K) π k min 1 π k min p 1 π k max max max p Heisenberg-féle atározatlansági reláció 4π Más fizikai mennyiségek párjaira is létezik, pl.: te 4π ALAPÁLLAPOT Egy elektron és egy proton sokkal kisebb elyen is elférne, mint a idrogénatom szokásos mérete... Miért annyira nagyok az atomok? A idrogénatom zsugorítása ugyan az elektron potenciális energiájának csökkenésével járna, de a atározatlansági reláció miatt cserébe megnőne a kinetikus energiája. Alapállapot: a legstabilabb állapot, aol a potenciális és kinetikus energia összege a legkisebb A méretez tartozó impulzus-bizonytalanság négyzete nagyjából az impulzus nullától való eltérésének az átlaga: p 16π durva közelítések E 3mπ kin

14 E 3mπ ALAPÁLLAPOT kin A kinetikus és a potenciális energia összege (Hamiltonfüggvénye) próba: armonikus oszcillátor m V x x H( ) V 3mπ H m 16mπ a rezgés körfrekvenciája 3 a minimumelyen: H 0 0 ALAPÁLLAPOT m min 3 16mπ min min az oszcillátor mérete 4πm m Emin H( min) min 3mπ 1 m 4πm 4π 3mπ 4π m azonos az oszcillátor nullponti energiájára vonatkozó későbbi képlettel min

15 ALAPÁLLAPOT H( ) V 3mπ. próba: idrogénatom e V 4 0 e mπ 0 min 3 0 min min 4emπ Bor-féle atomsugár a πem 0 0 e BORN-FÉLE STATISZTIKUS ÉRTELMEZÉS ÉS NORMÁLÁS Hol van a részecske: 1. a detektorok a intenzitást észlelik, nem az amplitúdót. csak valószínűségi válasz adató Annak a valószínűsége, ogy a részecske egy adott ely körül kicsiny d 3 r térfogatú térelemben van (Born-szabály): (, ) * (, )d 3 r t r t r Valaol lennie kell a térben a részecskének, teát a teljes térben 1 valószínűséggel meg kell találnunk: teljes 3 ( r, t) * ( r, t)d r 1 Normálás

16 BORN-FÉLE STATISZTIKUS ÉRTELMEZÉS ÉS NORMÁLÁS Max Born ( ) fizikai Nobel-díj, 1954 BORN-FÉLE STATISZTIKUS ÉRTELMEZÉS ÉS NORMÁLÁS Annak a valószínűsége, ogy a részecske egy adott ely körül kicsiny d 3 r térfogatú térelemben van: (, ) * (, )d 3 r t r t r i i ii e ( r, t) e * ( r, t) e ( r, t)e * ( r, t) ( r, t) * ( r, t) Egy ullámfüggvény fizikai tartalmát nem változtatja meg, a mértéktranszformációnak vetjük alá, vagyis szorozzuk egy e i taggal mértékinvariancia