Dynamics Solver egy hatékony eszköz a káosz kutatásában és tanításában

Átírás

1 Dynamics Solver egy hatékony eszköz a káosz kutatásában és tanításában Nagy Péter *, Tasnádi Péter ** * Neumann János Egyetem GAMF Kar, Kecskemét, Magyarország ** Eötvös Loránd Tudományegyetem TTK, Budapest, Magyarország * nagy.peter@gamf.kefo.hu, ** tasi@ludens.elte.hu Kulcsszavak: számítógépes szimuláció, kaotikus rendszerek, Dynamics Solver. Kivonat A Dynamics Solver egy ingyenesen letölthető program, amelyet célirányosan dinamikai rendszerek szimulációjára fejlesztettek ki és használatához semmilyen programozói tudás nem szükséges. Tanulmányunkban konkrét kaotikus rendszerek példáin keresztül illusztráljuk a Dynamics Solver sokoldalú és hatékony lehetőségeit mind az oktatásban, mind a kutatásban. Abstract Dynamics Solver is a freely downloadable program which was developed for the investigation of dynamic systems and its use does not need any programming skills. In the present paper the versatile and efficacious possibilities of the use of the Dynamics Solver will be demonstrated with samples. 1 BEVEZETÉS A számítógépek megjelenése a fizika számára is új dimenziót nyitott, létrejött a számítógépes kísérleti fizika, mint teljesen újszerű vizsgálati terület. A számítógépes szimulációk segítségével olyan modellekről tudunk releváns kvantitatív információt nyerni, amelyek korábban egyáltalán nem, vagy csak kvalitatív módon voltak tárgyalhatók. A kaotikus rendszerek vizsgálata az egyik legfontosabb és legismertebb példája a számítógépes kísérleti fizikának, egyszersmind a káosz jelenségköre kiemelt szemléletformáló erővel bír a fizika oktatásában. Ugyanakkor a számítógépes szimulációk készítése programozói tudást és készségeket feltételez, ami sokakat elriaszt. A Dynamics Solver (továbbiakban DS) egy ingyenesen letölthető program [1], amelyet célirányosan dinamikai rendszerek szimulációjára fejlesztettek ki és használatához semmilyen programozói tudás nem szükséges. Jelen tanulmányunkban a DS oktatásban betöltött szerepét emeljük ki, segítségével a diákok szinte játszva érthetik meg a káoszelmélet alapvető fogalmait és módszereit. Konkrét kaotikus rendszerek példáin keresztül illusztráljuk a DS sokoldalú és hatékony lehetőségeit: permanens és tranziens káosz, disszipatív és konzervatív rendszerek kaotikus attraktorainak Poincare-metszete és stroboszkópikus leképezése, vonzási tartományok, stb. Felhívjuk a figyelmet a cikkhez létrehozott [2] honlapunkra, amelyen kapcsolódó elektronikus anyagaink találhatók.

2 A következőkben először a rendelkezésre álló szimulációs eszközöket vetjük össze több szempont alapján, majd minthogy jelen dolgozat célja a dinamikus rendszerek didaktikai célú bemutatása lexikonszerű rövidséggel összefoglaljuk a káoszelmélet alapfogalmait. A fő részben a DS felhasználásához adott részletes útmutatást követően néhány dinamikai rendszer vizsgálatával illusztráljuk a kaotikus rendszerek tulajdonságait. MAFIOK 2017 Konfereciaközlemény 1. táblázat: programok összevetése 2 SZIMULÁCIÓS ESZKÖZÖK A dinamikai modellek számítógépes szimulációjára használható szoftverek három alapkategóriába sorolhatók: - magas szintű programozási nyelvek (Pascal, C, python, stb.), - általános célú matematikai felhasználói programok (Maple, MathCad, MatLab, stb.), - specifikus célú (jelen esetben dinamikai rendszereket modellező) felhasználói programok (DS, Pyndamics, ODE3d, Elmer, COMSOL, stb.). A fenti kategóriákból egyet-egyet (olyanokat, amelyeket magunk is használtunk) kiválasztva (Pascal, Maple, DS) a következő négy szempont szerint próbáljuk összevetni őket (ugyanazon dinamikai modell szimulációját implementálva és futtatva bennük): - hozzáférhetőség (és költség), - a szükséges előképzettség és a futtatható szimuláció előállításának becsült időigénye, - validitás, azaz az alkalmazott eljárások, rutinok ellenőrzött, elfogadott megbízhatósági szintje, - gyorsaság és pontosság. Tapasztalatainkat az 1. táblázatban mutatjuk be, amely alapján a DS egyértelmű befutó. A Dynamics Solver lényegi tulajdonságai tehát: - ingyenesen letölthető, - minimális programozási előismeret szükséges, - magas szintű validitás, erős megbízhatóság, - extrém gyorsaság, - elképesztő flexibilitás, azaz szinte minden dinamikai rendszer modellje identifikálható benne. A szerzők számára mind az oktatásban, mind a kutatásban valóságos áttörést hozott a használata. Valós hátránya, hogy csak Windows platformra készült verzió létezik (bár Linux, Unix és Mac platformokon az ingyenes WINE kompatibilitási rétegen futtatható, így véleményem szerint megbízható, időálló megoldásnak tekinthető).

3 3 KÁOSZELMÉLETI ALAPFOGALMAK Fázistér: valamely dinamikai rendszer egy időpillanatbeli állapotának egyértelmű megadásához szükséges (minimális számú) x x1, x2,..., xn változók által kifeszített n dimenziós absztrakt tér, így a rendszer állapotát minden pillanatban a fázistér egy pontja jelenti. Trajektória: a rendszer pillanatnyi állapotát megadó fázistérbeli pont a rendszer időbeli változását követve elmozdul, és egy utat jár be. Ezt az utat trajektóriának nevezik. Dinamika (időfejlődés): a változóinak x f x elsőrendű differenciálegyenlet rendszerével (például sebességváltozók bevezetésével) adjuk meg: x 1 f1 x1, x2,..., xn x 2 f 2 x1, x2,..., xn. (3.1).. x n f n x1, x2,..., xn Fixpont: a rendszer egyensúlyi állapotának megfelelő fázistérbeli pont. Határciklus: időben periodikus állandósult mozgás, fázistérben zárt görbe. Attraktor: a fázistér vonzó halmaza, amely felé a trajektóriák közelednek. egyszerű attraktor: szabályos mozgásokhoz tartozó attraktorok, fixpont attraktor, vagy határciklus attraktor, különös (kaotikus) attraktor: szabálytalan (kaotikus) mozgást végző rendszer fraktál típusú attraktora. Fraktál: végtelenül komplex geometriai alakzatok, amelyek egzakt, vagy közelítő (statisztikus) módon önhasonlóak több nagyságrendi skálán (mérettartományon) keresztül. és valamely jellemzőjüket a skála (méret) függvényében log-log léptékben ábrázolva egyenest kapunk, amely meredeksége a (jellemzően törtszám értékű) fraktáldimenzió. Káosz: olyan mozgás (időbeli változás), amely: szabálytalan (nem ismétli önmagát, nem periodikus), extrém érzékeny a kezdőfeltételekre, ezért előrejelezhetetlen, hosszú távon csak valószínűségi leírás adható, határozott struktúrájú a fázistérben: fraktál szerkezetű. Káosz feltétele: folytonos időváltozás esetén legalább háromdimenziós fázisterű nemlineáris mozgásegyenletű rendszer. Megjelenítés: az absztrakt sokdimenziós fázistérbeli attraktor megjelenítésére két dimenzióban (pl. számítógép képernyőjén) két alapvető lehetőség van (1. ábra): projekció: vetítés egy fázissíkra, vagy tetszőleges altérre, azaz kétdimenziós vetület megjelenítése, vetítés során információt veszítünk (pl. a trajektória a vetületen metszi önmagát), Poincaré térkép (-leképezés): a trajektóriának csak egy kiválasztott felületet átdöfő (egy adott altérbe eső) metszéspontjait ábrázoljuk, melyek diszkrét pontsorozatot alkotnak. A gerjesztett rendszerek esetén használt ún. stroboszkópikus leképezés egy speciális Poincaré-leképezés, amely a trajektória gerjesztési periódusidőnként (azaz állandó fázisértékeknél) vett mintájaként kapott pontsorozat.

4 1. ábra: projekció és Poincaré-metszet MAFIOK 2017 Konfereciaközlemény 1. modell deklaráció: azaz megadjuk a modellünk szabatos leírását, 2. numerikus metódus: a szimulációs algoritmus választása és felparaméterezése, 3. output megadása: az eredmény megjelenítésének módja. 4 KAOTIKUS MODELLEK SZIMULÁCIÓI A DYNAMICS SOLVERBEN A DS tehát ingyenesen letölthető az [1] honlapról. A program sokrétűen támogatja a felhasználót: a telepítés során létrehozott mappában egy nagyon részletes (mintegy 240 oldalas) manual (dsdoc.pdf) található, a programba beépített Help (? ikon az eszközsor végén) nagy jól használható segítség, a program File menüje Open example funkciójával rengeteg kész példaprogramot próbálhatunk ki és tanulmányozhatunk. A legalapvetőbb tudnivalókat e cikk szerzői (egy korábbi külföldi konferenciára) 5 oldalas angol nyelvű brief tutoriál leírásban foglalták össze, amely megtalálható a [2] honlapunkról letölthető e-materiál.zip fájl kicsomagolása után kapott mappában. E mappában megtalálhatók az alább bemutatásra kerülő példaprogramjaink is. A honlapon pedig linkek is találhatók, melyekre kattintva két általunk készített videó tekinthető meg (javasoljuk a teljes képernyős megtekintést és felhívjuk a figyelmet arra, hogy hang is van). A videók egy-egy modellre mutatják be a DS szimulációk készítési folyamatát. A DS használatának fő mozzanatai: Modell deklaráció: (1) A modell matematikai típusának megadása (Edit/Type ). (2) Változók deklarálása (Edit/Variables ). (3) Paraméterek értékeinek megadása (Edit/Parameters ). (4) A (3.1) képlet szerinti egyenletek (az f vezérlőfüggvények) beírása (Edit/Equations ) (5) Kezdeti értékek megadása (Edit/Initial conditions ) (6) Határfeltételek megadása (Edit/Boundary conditions ) Numerikus metódus: (1) Független változó beállításai (Edit/Range ) (2) A numerikus algoritmus megadása (Edit/Method ) Output megadása: (1) Grafikus megjelenítés (Output/New graph window, Output/Graphics format ) (2) Numerikus (szöveg) megjelenítés (Output/New text window, Output/Text format ) 5 DS AZ OKTATÁSBAN Ezek után bemutatunk néhány didaktikai szempontból érdekes és fontos konkrét alkalmazási példát.

5 2. ábra: vízszintesen rezgetett felfüggesztésű súrlódásos inga Elsőként tekintsük viszonylag egyszerű mechanikai rendszerként a vízszintesen rezgetett felfüggesztésű súrlódásos ingát (2. ábra). A rendszer részletes tárgyalása (PDF formátumban) megtalálható a letöltött mappában. A tárgyalás végén kapott modell fázistere háromdimenziós (a szögkitérés, a szögsebesség és a gerjesztő rezgés fázisa), a (3.1) standard alakú dinamikai egyenletrendszer: d dt d a G sin( ) R cos sin dt d 2 dt A modell alább bemutatott DS szimulációs programjai a letöltött anyagban megtalálhatók, kipróbálhatók. A 3. ábrán az inga szabad végének mozgását szimuláló DS program képernyő-másolata látható. Vizuálisan is érzékelhető, hogy a mozgás pályája semmiféle szabályosságot sem mutat, az inga kaotikus mozgást végez (nagyon hosszú idő alatt gyakorlatilag besatírozna egy tartományt). 3. ábra: az inga kaotikus pályája Amint a 3. fejezetben leszögeztük a káosz egyik legalapvetőbb vonása a kezdőfeltételekre mutatott extrém érzékenység, amely legszemléletesebben az úgynevezett fáklya-diagrammon mutatható be. A diagramon különböző, egymáshoz nagyon közeli kezdőfeltételekből indított mozgások valamelyik jellemzőjét (jelen esetben a szögkitérést) ábrázoljuk az idő függvényében. A 4. ábrán az inga szögkitérés-idő grafikonját hét különböző, de egymáshoz nagyon közel eső kezdőfeltétellel indítva ábrázoltuk. A tipikus fáklya-diagram valóban fáklya alakra emlékeztet: bizonyos ideig a közeli kezdeti feltétellel indított mozgások együtt haladnak, később azonban drasztikusan szétválnak. Hosszabb időre már csak az adható meg, hogy milyen valószínűséggel kerül a mozgó test valamely adott állapot környezetébe. 4. ábra: fáklyadiagram

6 6. ábra: a Henon-Heiles modell Poincarétérképe 5. ábra: az inga stroboszkópikus leképezéssel kapott különös attraktora A kaotikus mozgást jellemző különös attraktor szerkezetének feltérképezése a 3. fejezetben említett Poincaréleképezéssel történik, illetve gerjesztett rendszerek esetén az ún. stroboszkópikus leképezéssel. Az 5. ábrán a gerjesztett súrlódásos inga kaotikus attraktorát jelenítettük meg. A futtatható DS fájl szintén megtalálható a letöltési mappában, a [2] honlapunkon pedig az első videó-link részletesen, lépésrőllépésre mutatja be a szimulációs fájl elkészítését, így mindenki maga is végighaladhat a lépéseken. Az ábrán jól szemlélhető a különös attraktor ún. Cantor-szálas fraktálszerkezete. A gerjesztett súrlódásos inga disszipatív rendszer, második példaként tekintsünk egy konzervatív rendszert, amely energiája időben állandó. Az ún. Henon-Heiles modellt eredendően csillagok bizonyos típusú síkmozgásainak leírására dolgozták ki. A letöltési mappában megtalálható a Henon-Heiles modell Poincaré-térképét generáló DS program, a [2] honlapunkon levő második videó-linkre kattintva pedig lépésről-lépésre követhető a DS program elkészítése. A 6. ábrán látható a kapott Poincaré-térkép. Konzervatív rendszerek esetén nem létezik attraktor, különböző kezdőfeltételekből indítva a rendszert eltérő hosszú távú viselkedéseket tapasztalunk. A Poincaré-térkép szerkezete konzervatív rendszerek esetén (kvázi)periodikus szigetekkel szabdalt ún. kövér fraktál. A különböző kaotikus rendszerek vizsgálata a DS programmal nagy didaktikai értékkel bír. Nem csupán szemléletessé és kézzelfoghatóvá válnak a káoszelmélet lényegi fogalmai és módszerei, de a szó legnemesebb értelmében vett (számítógépes) kísérleti fizikát művelhetnek a diákok: a kaotikus tartományok megkeresése igazi felfedező munka, a Poincaré-térképek megjelenítése pedig szinte esztétikai élményt nyújt. E cikk szerzői ezen élmény fokozása céljából kidolgoztak egy eljárást 3-dinemziós kaotikus attraktorok üvegkockába gravírozására (7. ábra) és [3] videó.

7 7. ábra: a Lorenz-modell pillangó attraktorának 3D képe üvegkockában 6 DS A KUTATÁSBAN Jelen tanulmány elsődlegesen a DS oktatásban betöltött szerepét emeljük ki és mutatjuk be, de világszerte sok publikációban szerepet kap [4]-[10]. E cikk szerzői is valójában először a kutatásaikban használták, számos publikációjuk épült a használatára [11]- [15] és csak később vitték be az oktatásba. Például az ELTE Fizika Doktori Iskolájának Fizika Tanítása programjában a káoszelmélet vizsgára már egy konkrét mechanikai rendszer DS szimulációját kell elkészíteni, tanulmányozni és bemutatni, mely didaktikai hatékonyságát több, doktoranduszok által írt publikáció is fémjelzi [16]-[18]. A katasztrófaelméletben alap modellként ismert az ún. Zeeman-féle katasztrófagép (8. ábra). Ez lényegében egy vízszintes lapra szerelt, függőleges tengely körül forgatható körlap, amelynek valamely P kerületi pontjába egy rugalmas szál egy (nagyjából közepén levő) pontját rögzítjük. A rugalmas szál A végpontját rögzítjük a lapon, a B végét pedig (lassan) mozgatva figyeljük a körlap Φ elfordulási szögét. E cikk szerzői elsőként vizsgálták a Zeeman-gép kaotikus tulajdonságait a B végpontra ható harmonikus gerjesztő erő esetén [11]-[13]. A számos igen érdekes eredményből példaként a 9. ábrán bemutatjuk a gerjesztett Zeeman-gép kaotikus attraktorának scale-zoom előállítású fraktálszerkezetét. 8. ábra: a Zeeman-féle katasztrófagép 9. ábra: a gerjesztett Zeeman-gép kaotikus attraktorának fraktál szerkezete

8 Szintén elsőként vizsgáltuk egy golyó kaotikus mozgását bonyolult alakú tálban [14]-[15]. Egyik legfontosabb eredményünk a 10. ábrasoron szemlélhető: a vonzási tartományhatárok Cantor-szálas jellegű fraktálgeometriája, látszólag szomszédos tartományok között a nagyítások során újabb és újabb tartományok tűnnek fel. Ez megfelelne a klasszikus fraktáltulajdonságnak. Viszont jelen esetben a klasszikushoz képest irreguláris viselkedést tapasztalunk, mivel a fraktálgeometriát jellemző paraméterek nem függetlenek az időtől és a vonzási tartományok struktúrája vizuálisan is jól érzékelhető módon nem invariáns a nagyítási sorozatra (szemmel láthatóan csökken a fraktáldimenziójuk). MAFIOK 2017 Konfereciaközlemény 2. táblázat: Természetesen ez a tulajdonság numerikusan is nyomon követhető, ha meghatározzuk valamely tartomány fraktáldimenzióját különböző felbontások mellett. A 2. táblázatban a 10. ábrán középen levő tartomány számított fraktáldimenzióit láthatjuk növekvő felbontások során (a numerikus analízis nagy felbontások mellett akár sokórányi gépidőt is igényelhet). A táblázatból jól látható, hogy a fraktáldimenzió markánsan csökken a felbontás növelésével, extrém felbontások mellett a fraktáldimenzió értéke 1-hez tart, azaz a fraktáltulajdonság fokozatosan eltűnik. Ez a jelenség igen új felfedezés a káoszelméletben [19], kettős tranziens káosz (double transient chaos) néven vált ismertté és eddig csupán néhány rendszerben mutatták ki, fontos eredmény, hogy a mi egyszerű mechanikai modellünkben is megtaláltuk. Ugyanezen rendszerben vizsgáltuk a külső gerjesztés hatását is a kaotikus jellegre és kimutattuk, hogy a gerjesztési csatolási állandó, mint kontrollparaméter függvényében a tranziens kaotikus viselkedés permanens káosszá alakul át. 10. ábra: kettős tranziens káosz a tál vonzási tartományhatárainak fraktálszerkezetében A fentiek alapján összefoglalásként kijelenthetjük, hogy a Dynamic Solver program roppant hasznos eszköz mind az oktatásban, mind a tudományos kutatásban.

9 FÜGGELÉK: NÉHÁNY PRAKTIKUS FOGÁS (1) Szögváltozó megjelenítése A szögkitérés, vagy a gerjesztési fázis triviálisan periodikus változók, tehát a grafikus megjelenítésnél a szögértéknek a ; alap tartományra visszaszámolt értékét kell megjeleníteni, különben a trajektória elszáll a végtelenbe! Ezt pl. a következő transzformációval tehetjük meg: mod( x pi,2* pi) pi (bárki könnyen ellenőrizheti, hogy tetszőleges x szögértéket a ; tartományba képezi le. (2) Output pontsűrűség A szimuláció mintavételezési (grafikus megjelenítési, illetve numerikus kiírási) időköze (a független változó lépésköze): t Frequency Step output ahol a Step paramétert az Edit/Range ablakban adjuk meg (az Interpolate jelölőnégyzet bekapcsolva!), míg a Frequency paramétert grafikus megjelenítésnél a Graphics Output (Output Graphics format ) ablak Format lapján, numerikus (text) kijelzés esetén pedig a Text Output (Output text format ) ablakban (itt a pontos neve Output frequency). (3) Poincaré-leképezés A Graphics Output párbeszédablakban először megadjuk, hogy mely változók legyenek a vízszintes, illetve függőleges tengelyeken (azaz kijelöljük a megjelenítendő fázis-síkot), majd pipát teszünk a Poincere section jelölőnégyzetbe, végül a Condition beviteli mezőbe nullára rendezve (!) beírjuk a fázistér többi változójára vonatkozó feltételünket (hogy mikor vegyen fel ábrázolási pontot). (Lásd például a Henon-Heiles fázis-sík példaprogramban.) (4) Stroboszkópikus leképezés A fázis: 2 t, így a megjelenítés Tp 2 fázislépésenként történik. toutput Tp Tehát ha toutput Frequency Step 1, Tp Tp akkor mindig ugyanabban a fázisban mintavételezünk! (Lásd például a gerjesztett súrlódásos inga fázis-sík példaprogramban.) Kiemelve azon állítást, hogy a stroboszkópikus leképezés lényegében egy speciális Poincaré-leképezés, más módon is megadhatjuk a stroboszkópikus leképezést, gondolkodtató feladatként az Olvasóra bízzuk. (5) Ciklus-paraméterek Az Edit/Parameters menüben megadhatunk két ciklus-paramétert, amelyet ismétlő (ciklus) számításban használhatunk. Például a gerjesztett súrlódásos inga fáklyadiagram programunkban az nx ciklus-paramétert az 1 5 értékeken futtatjuk végig és az Edit/Initial conditions menü Initial functions mezőjében a kezdő kitérésszöghöz a fi0(t)= nx*0.01 kifejezést írjuk be (a Graphics format ablakban pedig a vízszintes tengelyen ábrázolandó változóhoz a PenColor(- nx)+t kifejezést azért, hogy a függvénygörbék eltérő színűek legyenek).

10 KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS A tanulmány elkészítését a Magyar Tudományos Akadémia Tantárgypedagógiai Kutatási Programja támogatta. Köszönettel tartozunk a konferencia részvétel támogatásáért, amely az EFOP A kutatási potenciál fejlesztése és bővítése a Pallasz Athéné Egyetemen pályázat keretében valósult meg. A projekt a Magyar Állam és az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával, a Széchenyi 2020 program keretében valósul meg. IRODALOM [1] [2] [3] tor_uvegbe_gravirozva [4] J. M. Aguirregabiria: Robust chaos with prescribed natural invariant measure and Lyapunov exponent, [5] B. Horton, M. Wiercigroch, X. Xu: Transient tumbling chaos and damping identification for parametric pendulum, Phil. Trans. R. Soc. A pp [6] M. Gidea, M. Burgos: Chaotic transfers in three- and four-body systems, Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, Vol. 328, Iss. 3, pp [7] J. A. G. Roberts, A. Iatrou, G. R. W. Quispel1: Interchanging parameters and integrals in dynamical systems: the mapping case, J. Phys. A: Math. Gen. 35. (2002), pp [8] C.P. Cristescu, B. Mereu, C. Stan, M. Agop: Feigenbaum scenario in the dynamics of a metal oxide semiconductor heterostructure under harmonic perturbation. Golden mean criticality, Chaos, Solitons and Fractals 40 (2009) pp MAFIOK 2017 Konfereciaközlemény [9] J. J. Żebrowski, K. Grudziński, T. Buchner, P. Kuklik, and J. Gac: Nonlinear oscillator model reproducing various phenomena in the dynamics of the conduction system of the heart, Chaos 17, (2007) [10] D. Feldmann, A. Gorges, A. Müller, M. Schwendke, M. Walz: Oscillations, in Elektromagnetische Schwingungen,Physikalisches Grundpraktikum, University of Potsdam ( ellen/em-schwingungen_03.pdf) [11] P. Nagy and P. Tasnádi, Zeeman catastrophe machines as a toolkit for teaching chaos, European Journal of Physics, vol.35: Paper p., [12] P. Nagy and P. Tasnádi, Networks of Zeeman catastrophe machines for the investigation of complex systems, European Journal of Physics, vol.35: Paper p., [13] P. Nagy and P. Tasnádi, Chaotic behaviour of Zeeman machines at introductory course of mechanics, Nuovo Cimento di Fisica C, vol. 38:(3) Paper p., [14] P. Nagy and P. Tasnádi, Irregular chaos in a bowl, Proceedings of GIREP EPEC p., pp , [15] P. Nagy and P. Tasnádi, On the border-land between transient and permanent chaos, Book of Global Conference on Applied Physics and Mathematics. 169 p., pp [16] Tóthné Juhász T., Gócz É.: Káosz egy tálban, Fizikai Szemle 2014/12., pp.: [17] Csernovszky Zoltán: Az iránytű harmonikus rezgésétől kaotikus mozgásáig, Fizikai Szemle, 2017./6. pp d [18] T. Meszéna: Chaos at High School, ICPE- EPEC 2013 Proceedings pp AND Scientia in Educatione Vol 8 (2017) pp [19] Adilson E. Motter, Marton Gruiz, Gyorgy Karolyi, Tamas Tel: Doubly Transient Chaos: The Generic Form of Chaos in Autonomous Dissipative Systems, Phys. Rev. Lett. 111, (2013)