Lomoschitz Lilla Anna. Közelít algoritmusok a 2 dimenziós online ládapakolási feladatra forgatással
|
|
- Diána Orosz
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Lomoschitz Lilla Anna Közelít algoritmusok a 2 dimenziós online ládapakolási feladatra forgatással BSc Szakdolgozat Témavezet : Király Tamás Operációkutatási Tanszék Budapest, 2013
2 Köszönetnyilvánítás Szeretném megköszönni témavezet mnek, Király Tamásnak a téma ötletét, és a szakirodalom megkeresését, valamint azt, hogy sok és rendszeres konzultációs alkalmat biztosított számomra. Szakmai és formai észrevételeivel sok segítséget nyújtott. Külön köszönöm a dolgozat szerkesztéséhez alkalmazott programok használatában nyújtott segítséget. Köszönettel tartozom még családomnak és barátaimnak, hogy felhívták gyelmemet a dolgozat korábbi verzióiban lév formai hibákra, és általában a támogatásukért. 2
3 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés A problémakör ismertetése Tartalmi áttekintés Egyéb eredmények, alkalmazások Négyzet alakú ládák Egy algoritmus nem korlátos ládaszám esetén A tárgyak csoportosítása Sávok A tárgyak pakolása Fels korlát Alsó korlát a feladatra Algoritmus téglalap alakú ládák esetén Csoportosítás Tárgyak elhelyezése Általános alsó korlát a feladatra Fels korlát az algoritmusra Javítási lehet ségek Irodalomjegyzék 34 3
4 1. fejezet Bevezetés 1.1. A problémakör ismertetése A ládapakolási feladat egy NP-nehéz kombinatorikus optimalizálási feladat. Számos területen alkalmazható, különböz speciális esetei gyakran fordulnak el gyakorlati problémák megoldásakor. A legegyszer bb alaptípusa az egydimenziós ládapakolási feladat. Ebben az esetben van n darab kis szakaszunk, melyek hosszait a j -vel jelölve teljesül, hogy 0 < a j 1. A cél az, hogy ezeket a szakaszokat minél kevesebb 1 egység hosszú nagy szakaszon helyezzük el, úgy hogy a kis szakaszok ne fedjék egymást, és ne lógjanak le az egységhosszú nagy szakaszokról. A klasszikus két dimenziós ládapakolási feladat esetén téglalap alakú tárgyakat kell elhelyezni minél kevesebb 1 egység oldalú ládában. (Mostantól a tárgy és a kis téglalap szavakat, valamint a láda és a nagy téglalap szavakat szinonímaként használom.) A kis téglalapok magassága és szélessége sem nagyobb, mint 1 egység. A tárgyakat úgy kell elhelyezni, hogy azok oldalai a láda falaival párhuzamosan helyezkedjenek el, a ládából ne lógjanak ki és egymást ne fedjék. Két dimenzióban már felmerül a kérdés, hogy lehessene forgatni a téglalapokat, vagy az eredeti helyzetben kelljen-e ket elhelyezni. Ha nem lehet ket forgatni, akkor könnyen látható, hogy a téglalap alakú ládába pakolás feladata is modellezhet a négyzetbe pakolással. Amennyiben a forgatás megengedett, akkor a téglalap alakú ládába pakolás már nem vezethet vissza ilyen egyszer en a négyzet alakú ládába pakolásra. 4
5 Fontos szerepe van annak, hogy el zetesen ismerjük-e az összes elpakolandó tárgy méretét, ez alapján megkülönböztethetünk online és oine feladatokat. Oine feladat esetén az összes tárgy paramétereit ismerjük, miel tt elkezdenénk a pakolást. Online esetben csak a pakolás során tudjuk meg, hogy milyen tárgyakat kell elpakolnunk; azaz kezdetben egy láda paramétereit ismerjük, és mindig csak akkor ismerünk meg egy új tárgyat, ha az ismertekb l egyet elpakolunk. Olyan feladat is elképzelhet, hogy egyszerre több, de korlátos sok olyan tárgy lehet, aminek ismerjük a méreteit, de még nem pakoltuk el. Online esetben az alapján is lehet osztályozni a feladatokat, hogy mennyi ládát használ egyszerre. Ha nem használunk ilyen megkötést, akkor a feladat megoldására kitalált algoritmus futási ideje nagyon megn het. Ugyanis, ahányszor új ládát nyitunk meg, azaz olyanba pakolunk, amibe addig még nem, akkor eggyel növeljük a megnyitott ládák számát. Ha az összes nyitott ládát megvizsgálja az algoritmus, miel tt egy tárgyat elhelyezne, akkor egy-egy tárgy elhelyezése O(n) nagyságrend id be is telhet, ahol n az összes elpakolni való tárgy számát jelöli. Ezt az id t úgy lehet csökkenteni, hogy maximalizáljuk azoknak a ládáknak a számát, amit az algoritmus megvizsgál az elemek elhelyezésekor. Ehhez deniáljuk a lezárt és aktív ládákat. Azokat a ládák nevezzük aktívnak, amiben már van legalább egy tárgy, és az algoritmus még pakolhat bele tárgyakat. Azt mondjuk, hogy egy algoritmus egy aktív ládát lezár, ha utána már soha többé nem nézi meg, hogy rakjon-e bele tárgyat; az ilyen ládát lezártnak nevezzük. Ha az aktív ládák maximális számára van megkötés, akkor a feladatot korlátos ládaszámúnak nevezzük. Az oine ládapakolási feladat (azaz amikor a minimális ládaszám, és egy hozzá tartozó pakolás megadása a cél) NP-nehéz. Ezért a probléma megoldására kitalált polinomiális id ben futó algoritmusok csak közelít megoldásokat adnak. Ezeknek az algoritmusoknak a teljesítményét lehet úgy mérni, hogy megvizsgáljuk, hányszor annyi ládát használnak, mint amennyit egy optimális oine pakolás használna. Mindezt nagyon sok tárgy esetén nézzük, és a legrosszabb esetekben, azaz olyan ládasorozatok esetén, ahol ez az arányszám maximális. A pontos denícióhoz jelölje L az elpakolni való tárgyak sorozatát, OP T (L) azt, hogy ehhez minimum mennyi láda kell, és A(L) azt, hogy az L sorozat elpakolásához az A algoritmus mennyi ládát használ. Legyen továbbá { } A(L) RA n := max OP T (L) = n OP T (L) 5
6 Ekkor az A algoritmus aszimptotikus hatékonysági arányát (angolul asymptotic worst case ratio) a következ képpen deniáljuk: R := lim sup RA n n Az egyszer ség kedvéért ezt a továbbiakban hatékonysági aránynak nevezzük Tartalmi áttekintés A szakdolgozatnak a bevezet n kívül két f része van. A második fejezet a négyzet alakú ládába történ online pakolással foglalkozik. Itt szerepel egy nem korlátos ládaszámú algoritmus, valamint egy fels korlát annak a hatékonyságára. Az algoritmus S. Fujita, és T. Hada által írt [1] cikkb l származik, a fels korlátot pedig az ott lév számolás mintájára becsültem felülr l, a becslés R < L. Epstein [2] cikke szerint a S. Fujita és T. Hada által adott bizonyítás hibás. Ezért a szakdolgozatban az eredeti fels korlátnál nagyobb szám szerepel. Ebben a fejezetben szerepel még egy alsó korlát a hatékonysági arányra, amennyiben az algoritmus korlátos sok nyitott ládát használ. Ennek az értéke megközelít leg R > 2.535, az erre vonatkozó bizonyítás L. Epstein [2] cikkéb l származik. Annak az oka, hogy az alsó becslés korlátos ládaszámú algoritmusra vonatkozik, míg a fels becslés egy nem korlátos ládaszámúra, az, hogy ez az algoritmus és ezek a bizonyítások szolgálnak a harmadik fejezet alapjául. Ebben saját eredmények vannak téglalap alakú ládába történ online pakolásról. Szerepel egy korlátos ládaszámú algoritmus, ami maximum 10 ládát használ egyszerre, valamint két fels korlát az algoritmusra: 2.75 és 2.55, ami a láda oldalainak arányától függ. Itt található még három alsó korlát a feladatra, szintén a láda oldalainak aránya függvényében: 2.05, 1.77, Egyéb eredmények, alkalmazások Bizonyos ütemezési feladatok modellezésére a 2 dimenziós online pakolás forgatást nem megenged változata alkalmas. A feladat korlátos ládaszámú változatára L. Epstein és R. van Stee adott [4]-ben egy olyan algoritmust, aminek a hatékonysági aránya a lehet legkisebb, körülbelül A nem korlátos ládaszámú feladat hatékonysági arányára X. Han, F.Y.L. Chin, H.-F. Ting, G. Zhang és Y. Zhang [5]-ben adtak egy fels becslést, ez megközelít leg
7 A forgatást is megenged változat nagyméret papír-, furnér-, vagy fémalapokból különböz kisebb méret lapok kivágását modellezheti, ha a kivágások elvégzésénél az a cél, hogy minél kevesebb felhasználatlan anyag maradjon ki, illetve, hogy minél kevesebb nagy lapot használjanak fel. Itt a maximálisan nyitva lev ládák száma azt jelenti, hogy mennyi nagy lapot kell kezelni egyszerre, azaz mennyit kell a kivágás helyén tárolni, és mennyi közül kell kiválasztani azt, amib l a megrendelt kisebb lapot ki fogjuk vágni. Erre a problémára nem korlátos ládaszámmal az L. Epstein és R. van Stee által [6]-ban adott alsó korlát megközelít leg L. Epstein fels korlátot is adott [2]-ben, ami Szintén ebben a cikkben szerepel korlátos ládaszámra egy-egy alsó és fels korlát. Az alsó korlát, a már említett 2.535, ennek bizonyítása a szakdolgozatban is szerepel. A fels korlát Ennek az algoritmusnak a hatékonysági aránya azért annyira jó (azaz alacsony), mert ugyan korlátos ládaszámú, de 10 4 nagyságrend nyitott ládát is használhat. Ezért alkalmazásokra nem is érdemes felhasználni, mert ha nincs 10 5 nagyságrend elpakolni való tárgy, akkor el fordulhat, hogy alig lesz lezárt ládánk, viszont sok megnyitott láda lesz, melyeknek csak kis részét foglalja el tárgy, azaz a szükségesnél jóval több ládát használ fel. Téglalap alakú ládába pakolásról írt M. M. Mehdi és S. P. Willems [3]-ban. Žk egy konkrét problémával foglalkoztak: rögzített méret nagy acéllapokból kellett kivágni kisebbeket, úgy hogy a kisebbek méretei nem ismertek el re, de az eloszlásuk igen. Az algoritmusuk egyszerre maximum három nagy lapot használ. Az ötletük az, hogy mindig úgy vágják ki az aktuális téglalapot, hogy annak a sarka a még felhasználható terület egy sarkához érintkezzen, és hogy a 3 nagy lapból megmaradó részbe beleírható 3 téglalap összmérete a lehet legnagyobb legyen. Hatékonysági arányt nem számoltak, a saját maguk által adott példa-téglalapsorozatok állításuk szerint átlagosan a nagy lapok 80% -át felhasználták. 7
8 2. fejezet Négyzet alakú ládák 2.1. Egy algoritmus nem korlátos ládaszám esetén Ebben a részben egy S. Fujita és T. Hada által [1]-ben leírt algoritmust mutatok be. El ször a különböz tárgyak csoportosítását írom le, majd a ládák felosztását különböz sávokra, és a tárgyak elhelyezését a nekik megfelel sávokban. Az alfejezet végén egy fels korlát található az algoritmus hatékonysági arányára A tárgyak csoportosítása Legyen T az összes téglalap alakú elem halmaza, amelyeket egy-egy (x, y) pár határoz meg, ahol x és y a téglalapok szélességét, illetve magasságát jelentik; és teljesül, hogy 0 < x y 1. El ször négy részhalmazra osztjuk a T-beli elemeket az x koordinátáik szerint. Legyen T 0 = {(x, y) 2/3 < x 1}, T 1 = {(x, y) 1/2 < x 2/3}, T 2 = {(x, y) 1/3 < x 1/2}, és T 3 = {(x, y) 0 < x 1/3}. A T 2 és T 3 részhalmazokat a bennük lev tárgyak y koordinátái szerint további részhalmazokra osztjuk. T 3 -at így négy részhalmazra osztjuk. Legyen T 0 3 = {(x, y) T 3 2/3 < y 1}, T 1 3 = {(x, y) T 3 1/2 < y 2/3}, T 2 3 = {(x, y) T 3 1/3 < y 1/2}, és T 3 3 = {(x, y) T 3 0 < y 1/3}. A T 2 -beli elemek csoportosításához deniáljuk az {a i } valós számokból álló sorozatot: a i := i N esetén. Például: a 3 3(2 i +1) 1 = 4/9, a 2 = 2/5, a 3 = 10/27. Vegyük észre, hogy 1/3 < a i 1/2 teljesül i N esetén. Legyen ɛ > 0 egy kicsi konstans, és Φ : R + Z függvény, melyre Φ(t) := log 2 ( 2 ). 9t 1 8
9 T 3 0 T 2 0 T 1 T 0 y 2/3 1/2 1/3 T 3 1 T 3 2 T 3 3 T 2 1 T 2 2 hosszú-sávba közepes-sávba rövid-sávba x 1/3 1/2 2/ ábra. Csoportosítás T 2 -t ezek segítségével a következ három részhalmazra osztjuk: Φ(ɛ) 1 T2 0 := {(x, y) a j+1 < x a j, 1 a j < y 1} j=0 {(x, y) 1/3 < x a Φ(ɛ), 1 a Φ(ɛ) < y 1} Φ(ɛ) 1 T2 1 := {(x, y) a j+1 < x a j, 1/2 < y 1 a j } j=0 T 2 2 :={(x, y) 1/3 < y 1/2} {(x, y) 1/3 < x a Φ(ɛ), 1/2 < y 1 a Φ(ɛ) } A csoportosítást a 2.1 ábra is szemlélteti. Egy-egy részhalmazba tartozó elemek méretére vonatkozik a következ két állítás: Állítás. Legyen i > log 2 ( 2 9ɛ 1), ekkor 1/3 (1 a i) > 2/9 ɛ/2. Bizonyítás. Ha i > log 2 ( 2 9ɛ 1), akkor 2i > 2 9ɛ 1. Így 1/3 (1 a i) = 2/9 1 2/9 1 9(2 i +1) > 2/9 1 9(2/9ɛ) = 2/9 ɛ/2. 3(3(2 i +1)) = Állítás. A T 0 -beli elemek mérete > 4/9. A T 1 -beli elemek mérete > 1/4. A T 0 2 -beli elemek mérete > 2/9 (ɛ/2). 9
10 Bizonyítás. Az els két megállapítás triviális. A harmadik bizonyításához el ször megmutatjuk, hogy (1 a i ) a i+1 = 2/9 teljesül i N esetén. Ha i = 0, akkor (1 a 0 ) a 1 = 1/2 4/9 = 2/9. Ha i 1, akkor (1 a i ) a i+1 = ( 2 1 ) ( (2 i +1) 3 1 ) = Ezért T 0 3(2 i+1 +1) 9 9(2 i+1 +1) 9(2 i +1) 9(2 i +1)(2 i+1 +1) 2 legkisebb elemének mérete legalább min{2/9, 1/3 (1 a Φ(ɛ) )}, így segítségével az állítás következik Sávok A ládák sávokra bontásához deniálunk néhány halmazt: { } 1 X := i {3, 4, 5}, j N i 2 j X h := X {1/2} X k := X {a 1, a 2,..., a Φ(ɛ) }, ahol a i = (2 i + 1) i N A továbbiakban x (0, 1] esetén legyen x := min{a X h a x} x := min{a X k a x}. Vegyük észre, hogy x < 1/3 esetén x/ x(= x/ x) > 3/4. Az algoritmus a következ háromféle sávot használja: Deníció. Egy ládának egy részét hosszú-sávnak nevezzük, ha a szélessége 1 egység, és a magassága egy X h -beli szám. Egy ládának egy részhalmazát rövid-sávnak nevezzük, ha a szélessége 1/2 egység, és a magassága egy X h -beli szám. Egy ládának egy részhalmazát közepes-sávnak nevezzük, ha vagy a szélessége 2/3 egység, és a magassága egy X-beli szám; vagy az egyik oldala 1 a i, a másik pedig a i hosszú, valamely 1 i Φ(ɛ) esetén Megjegyzés. A közepes-sávok rövidebb oldalának hossza mindig egy X k -beli szám A tárgyak pakolása Ebben a részben található az algoritmus leírása; el ször az, hogy milyen sávba rak egy bizonyos elemet az algoritmus, majd az, hogy a sávokat hogyan helyezi el, és hogy ehhez mikor kezd el egy új ládába pakolni, illetve mikor zár le egy ládát. 10
11 Ha (x, y) T 0 T 1, akkor az algoritmus egy új ládát nyit meg, abba belerakja az elemet, majd lezárja a ládát. (x, y) T2 0 T3 0 esetén aktiváljunk egy x magas, üres hosszú-sávot, helyezzük el az elemet a sávban, és zárjuk le a sávot. A sávot a kés bb leírt hosszú_sáv nyitása(x) szubrutin szerint tudjuk megnyitni. (x, y) T 1 2 T 1 3 esetén aktiváljunk egy x magas, üres közepes-sávot, helyezzük el az elemet a sávban, és zárjuk le a sávot. A sávot a kés bb leírt közepes_sáv_nyitása(x) szubrutin szerint tudjuk megnyitni. (x, y) T2 2 T3 2 esetén aktiváljunk egy x magas, üres rövid-sávot, helyezzük el az elemet a sávban, és zárjuk le a sávot. A sávot a kés bb leírt rövid_sáv_nyitása(x)) szubrutin szerint tudjuk megnyitni. (x, y) T3 3 esetén rakjuk a tárgyat egy aktív x magasságú hosszú-sávba, ha ezek között van olyan, amiben elfér a tárgy. Ha nincs ilyen sáv, akkor zárjuk le az összes aktív x magas hosszú-sávot; és aktiváljunk egy x magas, üres hosszú-sávot, és helyezzük el az elemet az új sávban. Ekkor az eddigiekt l eltér en még nem zárjuk le a sávot. Az 2.1 ábra azt is szemlélteti, hogy a különböz típusú elemeket milyen sávokba pakolja az algoritmus Állítás. Minden lezárt S terület hosszú-sávnak legalább (4/9 ɛ)s terület részén van tárgy, ha a sáv 1/2 magas; és legalább S/2 terület részén, ha a magassága < 1/2. Bizonyítás szerint egy lezárt 1/2 magas hosszú-sáv legalább 2/9 ɛ/2 területen ki van töltve elemekkel, így a kitöltöttségi aránya egy csak ilyet tartalmazó ládának legalább 4/9 ɛ. Másrészt ugyanezen állítás szerint egy 1/i ( ahol i 3) magas lezárt hosszú-sáv több, mint 2/3 1/(i+1) terület részén van tárgy, így ennek a kitöltöttségi aránya 1/ Állítás. Minden lezárt S terület rövid-sávnak legalább 4/5 S terület részén van tárgy, ha a sáv 1/2 magas; és legalább S/2 terület részén, ha a magassága < 1/2. 11
12 Bizonyítás. Az el z höz hasonlóan következik Állítás. Minden lezárt a i magas rövid-sávnak (ahol 1 i Φ(ɛ)) több, mint 1/2 1/3 = 1/6 terület részén van tárgy; ha pedig a lezárt sáv magassága < 1/i (valamilyen i 3 esetén), akkor egy olyan elem van benne, aminek a területe több, mint 1/(i+1) 1/2 = 1/(2(i + 1)). Bizonyítás. Denícióból következik. A következ kben leírom, hogy az algoritmus hogyan oszt fel sávokra egy ládát. Ezt a hosszú_sáv_nyitása(x), közepes_sáv_nyitása(x), rövid_sáv_nyitása(x) szubrutinok ismertetésével tesszük. Az utasítások pontos leírásai a következ k: hosszú_sáv_nyitása(x): Ha nincs 2 j x magas hosszú-sáv semmilyen j N esetén, akkor legyen j N olyan, hogy 2 j x 1 {1/2, 1/3, 1/5}. Nyissunk egy új ládát, és bontsuk fel darab 2j x 2 j x magas hosszú-sávra. Így van olyan j N, hogy van 2 j x magas hosszú-sáv. Válasszuk ki az egyik legvékonyabb hosszú-sávot, aminek a magassága 2 i x, valamilyen i N esetén. Jelöljük ezt a sávot Q-val. Legyen 2 i x a Q sáv magassága. Ha i = 0, akkor aktiváljuk a Q sávot. Egyébként osszuk fel Q-t i + 1 sávra rendre 2 i 1 x, 2 i 2 x,..., x, x magasságokkal, és aktiváljuk az egyik x sávot. rövid_sáv_nyitása(x): Ha van üres x magas rövid-sáv, akkor ezt aktiváljuk. Egyébként vegyünk egy üres x magas hosszú-sávot, a hosszú_sáv_nyitása(x)-szel, bontsuk a hosszú-sávot két üres x magas rövid-sávra, és az egyiket aktiváljuk. közepes_sáv_nyitása(x): Ha van üres x magas fekv közepes-sáv (vagy ilyen széles álló közepes-sáv), akkor azt aktiváljuk. Egyébként, ha x > 1/3, akkor nyissunk egy új ládát, és jelöljünk ki benne 4 egyforma sávot (2 fekv t és 2 állót) középpontosan szimmetrikusan. A fekv sávok magassága legyen x, szélességük 1 x, az álló sávoknál pedig pont fordítva. 12
13 Ha x 1/3, és 2.2. ábra. Közepes-sávok elhelyezése x > 1/3, és x 1/3 esetén nincsen 2 j x magas üres közepes-sáv semmilyen j N-re, akkor nyissunk egy 1 új ládát, jelöljünk ki benne darab 2j x magas fekv sávot, és 1/3 2 j x 2 j x darab 2 j x széles sávot, ahol j N és 2 j x {1/2, 1/3, 1/5}. Így már van olyan j N, hogy van 2 j x magas közepes-sáv. Válasszuk ki az egyik legkeskenyebb olyan közepes-sávot, aminek a magassága 2 i x valamilyen i N esetén, és nevezzük el a sávot Q-nak. Legyen 2 i x a Q sáv magassága. Ha i = 0, akkor Q legyen egy aktív sáv. Egyébként osszuk fel Q-t i + 1 sávvá rendre 2 i 1 x, 2 i 2 x,..., x, x magasságokkal, és aktiváljuk az egyik x sávot. A közepes-sávok elhelyezkedését egy-egy ládában a 2.2 ábra is illusztrálja Állítás. Minden 1/3-nál szélesebb közepes-sávokra bontott lezárt ládában lev tárgyak összterülete legalább 2/3. Bizonyítás állítás szerint egy ilyen sávban lév tárgyak összterülete legalább 1/6, és a közepes-sávok kijelölési módszere alapján 4 ilyen sáv van egy lezárt ládában. Így a ládában lev tárgyak összterülete legalább 2/ Állítás. Minden 1/3-nál nem szélesebb közepes-sávokra bontott lezárt ládában lev tárgyak területe legalább 1/2. Bizonyítás. Ha a sávok magassága 1/i, ahol i 3, akkor mindegyikben pontosan egy darab több, mint 1/(2(i + 1)) terület tárgy van. Ez igaz a sávok f sávokká egyesítésére is, csak itt a terület több tárgyból is összejöhet. Itt a f sáv azt az eredeti sávot jelenti, amit kés bb felbontott az algoritmus, és amire i {3, 4, 5}. Minden ládában i + 1 f sáv fér el, így a ládában lev tárgyak összterülete több, mint (i + 1) 1/(2(i + 1)) = 1/2. 13
14 Fels korlát Tétel. Minden ɛ > 0 esetén R A ɛ. Bizonyítás. Legyen L tárgyaknak egy n elem sorozata. Jelölje a benne lév T 0 -beli elemek számát n 0, a T 1 -beliekét pedig n 1. Az algoritmus b 0 (= n 0 ) ládát használ a T 0 -beli elemek pakolására, és b 1 = (n 1 ) ládát a T 1 -beliek számára. Tegyük fel, hogy b 2 olyan ládát használ, amit 1/2 magas hosszú-sávokra oszt az algoritmus; és b 3 olyat, amiben 1/3-nál szélesebb közepes-sávok vannak. Legyen S az L-ben lev tárgyak összterülete, S 4 pedig azon tárgyak összterülete, melyek nincsenek benne a fent említett b 0 + b 1 + b 2 + b 3 darab ládában, azaz azoknak a tárgyaknak az összterülete, melyek magassága legfeljebb 1/3. Ha ɛ konstans, akkor az algoritmus legfeljebb b 0 + b 1 + b 2 + b 3 + 2S 4 + O(1) ládát használ. Az optimális oine pakolás legalább max{n 0 + max{n 1, b 2 /2}, S} ládát használ. Ezekb l következik, hogy R A b 0 + b 1 + b 2 + b 3 + 2S 4 max{n 0 + max{n 1, b 2 /2}, S}. A 2.1.5, 2.1.6, és állításokból következik, hogy S 4 S 4/9n 0 (4/9 ɛ)b 2 2/3b 3 n 1 /4. Ezt S 4 helyére behelyettesítve még mindig egy fels becslést kapunk R A -ra: R A n 0 + n 1 + b 2 + b 3 + 2(S 4/9n 0 (4/9 ɛ)b 2 2/3b 3 n 1 /4) max{n 0 + max{n 1, b 2 /2}, S} 2S + n 0/9 + n 1 /2 + (1/9 + ɛ )b 2 b 3 /3 max{n 0 + max{n 1, b 2 /2}, S} 1. eset Ha S > max{n 1, b 2 /2}, akkor Ha még n 1 b 2 /2, akkor R A 2 + 1/S (n 0 /9 + n 1 /2 + (1/9 + ɛ )b 2 ). R A 2 + 1/S (n 0 /9 + (11/36 + ɛ )b 2 ) 2 + 1/S (11/18n 0 + (11/18 + ɛ )b 2 /2) = 2 + n 0 + b 2 /2 11/18 + ɛ /18 + ɛ, S ha pedig n 1 > b 2 /2, akkor R A 2 + 1/S (n 0 /9 + (13/18 + ɛ )n 1 ) 2 + 1/S (13/18n 0 + (13/18 + ɛ )n 1 ) = 2 + n 0 + n 1 13/18 + ɛ /18 + ɛ S 14
15 2. eset Ha S max{n 1, b 2 /2}, akkor Ha még n 1 b 2 /2, akkor RA 2 + n 0/9 + n 1 /2 + (1/9 + ɛ )b 2. n 0 + max{n 1, b 2 /2} RA 2 + n 0/9 + b 2 /4 + (1/9 + ɛ )b 2 n 0 + b 2 /2 2 + (13/18 + ɛ )(n 0 + b 2 /2) n 0 + b 2 /2 ha pedig n 1 > b 2 /2, akkor = 2 + n 0/9 + (13/18 + ɛ )b 2 /2 n 0 + b 2 /2 = /18 + ɛ, R A 2 + n 0/9 + n 1 /2 + (2/9 + ɛ )n 1 n 0 + n 1 = 2 + (n 0/9 + (13/18 + ɛ )n 1 n 0 + n (13/18 + ɛ )(n 0 + n 1 ) n 0 + n 1 = /18 + ɛ. Mivel R A /18 + ɛ < ɛ minden lehetséges esetben, így a tétel teljesül Alsó korlát a feladatra Az alsó korlát bizonyítása L. Epstein [2] cikkéb l származik. El ször egy téglalapsorozatot fogunk megadni. Ehhez 7 viszonylag nagy téglalapot fogunk deniálni, amelyek együtt elférnek egy ládában. Mind a 7 téglalapról tudnunk kell, hogy ha csak egyformákat rakunk egy ládába, abból maximum mennyi fér el. Ehhez szükségünk lesz három állításra Állítás. Olyan téglalapokból, melyek oldala szigorúan nagyobb, mint 1/k, ahol 2 k N, legfeljebb (k 1) 2 darab fér el egy ládában. Bizonyítás. Tekintsük a láda és a benne lev téglalapok vetületét a láda egyik falával párhuzamos tengelyre. Így a láda egy 1 egység hosszú f intervallum lesz, a tárgyak pedig ennek az intervallumnak lesznek 1/k-nál szigorúan hosszabb részintervallumai. Mivel bármely vízszintes, vagy függ leges vonal maximum k 1 tárgyat metszhet a ládában, így a f intervallum minden pontjában legfeljebb k 1 téglalap vetülete lehet. Tekintsük a részintervallumok által meghatározott intervallumgráfot. A legnagyobb klikk mérete legfeljebb k 1. Mivel minden intervallumgráf perfekt, így ennek a pontjait (azaz az intervallumokat 15
16 illetve tárgyakat) k 1 színnel tudjuk színezni. Mivel minden téglalap nagyobb, mint 1/k, így legfeljebb k 1 fér el fedés nélkül az intervallumban, így k 1 intervallum lehet csak minden színb l. Így összesen (k 1) 2 intervallum lehet a f intervallumban, azaz ennyi téglalap lehet a ládában Állítás. Vegyünk egyforma téglalapokat, melyek szélessége 1/2 < y < 2/3 és magassága 1/3 < x < 1/2, és amelyekre teljesül, hogy x + y > 1. Ezekb l legfeljebb 2 fér el egy ládában. Bizonyítás. Vegyünk egy ládát, amiben ilyen tárgyak vannak. Egy, a ládát metsz vízszintes, vagy függ leges vonal legfeljebb 2 tárgyat metszhet. Az, hogy két tárgyat messen, csak úgy fordulhat el, ha mindkét tárgy ugyanarra az oldalára van forgatva; ekkor a vonal egy y hosszú intervallumot metsz ki mindkét téglalapból. Bármely egyéb esetben a téglalapok nem férnének el egymás mellett, vagy egymás felett. Tekintsük a téglalapoknak és a ládának a láda egyik falára való vetületét. A tárgyaknak kétféle vetülete lehet: rövid (x méret ) intervallum, vagy hosszú (y méret ) intervallum. Minden pontot legfeljebb egy rövid intervallum, vagy legfeljebb két hosszú intervallum tartalmazhat. Mivel egy hosszú intervallum mellett nem fér el egy rövid, és egymást pedig nem fedhetik, így vagy csak rövid, vagy csak hosszú intervallumok lehetnek egy vetületen. Ha hosszú intervallumok vannak, akkor azoknak mindenképpen fedniük kell egymást, legalábbis a f intervallum közepén, így ebben az esetben maximum 2 tárgy lehet a ládában. Ha az összes intervallum rövid, akkor azok nem fedhetik egymást, így szintén legfeljebb 2 lehet bel lük egy ládában. Így összesen maximum 2 ilyen téglalap fér el egy ládában Állítás. Vegyünk egyforma téglalapokat, melyek szélessége 1/2 < y < 4/7 és magassága 1/7 < x < 1/6, és amelyekre teljesül, hogy 3x + y > 1. Ezekb l legfeljebb 8 fér el egy ládában. Bizonyítás. Elforgatás nélkül legfeljebb 6 téglalap rakható egy ládába, mivel 7 ilyen téglalap már nem fér el egymás felett. Ha még megmutatjuk, hogy elforgatott téglalapokból a 6 eredeti irányban lev mellett legfeljebb kett fér el, és azt; hogy ha 3 egyik irányba forgatott téglalap van a ládában, amellett maximum 4 másik irányba forgatott téglalap fér el, akkor készen vagyunk. Vegyünk egy ládát például csak fekv téglalapokkal. Tegyük fel, hogy l 3 téglalap van benne. Vegyünk egy függ leges vonalat, ami a láda közepén is áthalad. Mivel y > 1/2, így ez a vonal mind az l tárgyat metszeni fogja. A vonal álló téglalapot nem metszhet, 16
17 ugyanis az már nem férne el a 3 fekv téglalaptól, mivel y + 3x > 1. Kett zzük meg a függ leges vonalat, és toljuk el ket jobbra illetve balra y 1/2 távolságra. Mivel mind az l darab téglalap y széles, így mindkét vonal metszi az összes téglalapot a mozgatás során végig, és a mozgatás végén is. Ezért az l téglalapon felül további téglalapok csak a két vonal által meghatározott sávon kívül lehetnek. A vonalak, és a hozzájuk közelebb lév függ leges ládafal közötti távolság 1 y mindkét esetben. Álló téglalapok csak egymás mellett lehetnek, mert a hosszabb oldaluk > 1/2, így egymás fölött nem férne el 2 bel lük. Mivel a széls sávok szélessége 1 y < 3x, így ezekbe a sávokba csak 2-2 téglalapot lehet pakolni. Így a 3 fekv téglalap mellé maximum 4 álló fér el. Ugyanez igaz fordítva is Tétel. A hatékonysági arány korlátos ládaszám, forgatható elemek és négyzet alakú ládák esetén a két dimenziós ládapakolási feladatra legalább 60377/ Bizonyítás. Legyen δ > 0 egy kicsi konstans. A bizonyításhoz a következ téglalaptípusokat használjuk: A: 1/2 + δ oldalú négyzetek. Ezekb l szerint csak egy darab fér el egy ládában. B: 1/3 + δ oldalú négyzetek. Ezekb l szerint legfeljebb 4 darab fér el egy ládában. C 1 : 2/3 δ széles, és 1/3 + 2δ magas téglalapok alapján ilyenekb l legfeljebb 2 darab fér el egy ládában. C 2 : 2/3 2δ széles, és 1/3 + 3δ magas téglalapok alapján ilyenekb l legfeljebb 2 darab fér el egy ládában. D 1 : 11/21 4δ széles, és 10/63 + 2δ magas téglalapok alapján ilyenekb l legfeljebb 8 darab fér el egy ládában. D 2 : 32/63 4δ széles, és 31/ δ magas téglalapok alapján ilyenekb l legfeljebb 8 darab fér el egy ládában. E: 1/7 + δ oldalú négyzetek. Ezekb l szerint legfeljebb 36 darab fér el egy ládában. Ezenkívül még apró téglalapokat is fogunk használni, melyek oldalai nagyon kicsik. A bet kkel jelölt nagyobb téglalapok úgy vannak deniálva, hogy egy optimális oine algoritmus által pakolt ládában pontosan egy darab fér el mindegyikb l. A pakolás során 17
18 B C 1 D 1 E C 2 A D ábra. Optimális oine elrendezés maradnak kitöltetlen részek a ládában, az apró téglalapokat úgy kell megadni, hogy ezt a maradék területet az így megadott ládában pont kitöltsék. Mivel az oine algoritmus által pakolt összes láda területe 1 egység, így az apró tárgyak területe egy ládában 1 (bet kkel jelölt tárgyak területe) = 361/ Θ(δ) Így az összes ládában az apró tárgyak összterülete (361/ Θ(δ)) (az oine ládák száma). A tárgyak elrendezését az optimális oine algoritmus szerint a 2.3 ábra szemlélteti. A négyzet tetejéb l egy 1/3+2δ magas sávot levágunk, ebbe kerül egy B és egy C 1 típusú tárgy. A megmaradó rész jobb oldalából egy 1/3 + 3δ széles sávot vágunk le, ezt pont egy C 2 típusú tárgy tölti ki. Így egy 2/3 2δ magas és 2/3 3δ széles téglalap marad. Ennek a bal alsó sarkába egy A, a bal fels sarkába egy D 1, a jobb fels be egy E, a jobb alsóba pedig egy D 2 típusú elemet helyezünk el. Így a kimaradó terület V = 361/47628 Θ(δ) Θ(δ). Egy téglalap-sorozat n téglalapot tartalmaz minden típusból, úgy, hogy az egyfélék egymás után jönnek, és utána az apró téglalapokat. Azaz el ször jön n darab A típusú, majd n darab B típusú, és így tovább, azaz az egyformák mindig együtt jönnek, a különböz k nem keverednek. Mivel az online algoritmus korlátos ládaszámú, így csak konstans sok ládát tarthat nyitva egyszerre, így ha n, akkor csak konstans sok ládába kerülhet többféle elem, így konstans sok láda kivételével csak egyféle tárgy van az egyes ládákban. Az n darab A típusú elem n O(1) ládát foglal el, a B típusúak n/4 + O(1)-et, a C 1 és C 2 típusúak külön-külön n/2 O(1) ládát, a D 1 és D 2 külön-külön n/8 + O(1), az E-típusúak pedig n/36 + O(1)-et. Az apró téglalapok pakolása legalább V n O(1) ládát használ fel. Ez 18
19 összesen (91/36 + V )n O(1) ládát jelent. Mivel az oine algoritmus ezeket az elemeket n ládába pakolja, így a hatékonysági arány 91/36 + V
20 3. fejezet Algoritmus téglalap alakú ládák esetén A következ algoritmus során a feladat abban változik, hogy az elpakolni való kis téglalapokat (tárgyakat) nem négyzetekben, hanem téglalapokban kell elhelyezni. A téglalap (láda) rövidebb oldala 1 egység hosszú, a másik oldal hossza a, ahol a > 4/3. A tárgyakat szintén a láda falával párhuzamosan kell elhelyezni, és lehet ség van azok 90 -kal való elforgatására. A tárgyak mérete itt is maximum 1 egység lehet mindkét irányban. A rövidebb oldalukat x, a hosszabat y jelöli. Az algoritmus maximum 10 nyitott ládát használ egyszerre, de ez az a szám növekedésével monoton csökken 7-ig. Az algoritmus minden érkez tárgyat el ször osztályoz, majd megkeresi, hogy a csoportjának megfelel ládában van-e hely neki; ha van, akkor (a kés bb leírtak szerint) elhelyezi ott, ha nincs, akkor bezárja a ládát és új ládát nyit, majd ebben helyezi el a tárgyat. A fejezetben el ször leírom a tárgyak csoportosítását, majd azt, hogy az egyes csoportokba tartózókat hogyan helyezi el az algoritmus, azzal együtt, hogy minimum mekkora részét foglalja el tárgy egy-egy lezárt ládának. Majd alsó és fels korlátokat adok az algoritmus hatékonysági arányára különböz a paraméterek esetén. Végül leírok két javítási lehet séget: az egyik nem módosítja a hatékonysági arányt, de általában csökkenti az összesen felhasznált ládák számát, a másik a hatékonysági arányt csökkenti, de a valóban felhasznált ládák számát akár növelheti is Csoportosítás A tárgyakat a csoportosításhoz úgy forgatjuk, hogy a rövidebb, (x-szel jelölt) oldalukon álljanak. Így 0 < x y 1 teljesül. A ládákat y szerint 4 f csoportra osztjuk: hosszúra, ha 2/3 < y; közepesre, ha 1/2 < y 2/3; rövidre, ha 1/3 < y 1/2; és minire, ha 20
21 H1 H2 H3 H1 H2 2/3 K1 K2b K3 2/3 K1 K2a K3 y 1/2 1/3 R1 M1,M2 M3 y 1/2 1/3 R1 M1,M2 M3 x 1/3 1/2 2/3 3/4=a/2 x 1/3 1/2 2/3=a/ ábra. Csoportosítás a=3/2 és a=2 esetén 1/3 M1 1/4 M2 y 1/6 1/8 1/12 1/16 1/24 M1 M2 M3 M3 M1,M2 x 3.2. ábra. M1, M2, M3, csoportosítása y 1/3. A további osztályozás alcsoportokra (x és néha y szerint) gyakran a függvénye. A hosszú f csoportot felosztjuk H1-re, ha x a/3; H2-re, a/3 < x a/2; és H3-ra, ha a/2 < x. A közepeset K1-re, ha x 1/3; K2a-ra, ha 1/3 < x 1/2 és y a/3; K2b-re, ha 1/3 < x 1/2 és a/3 < y; K3-ra, ha 1/2 < x 2/3. A rövideket R1-re, ha x a/3; és R2-re, ha a/3 < x a/2. A minibe tartozók csoportosítása bonyolultabb: M3-ba kerül az, amire 1/24 < y 1/12; a többi közül M1-be kerülnek azok, amikhez k N, amire y 1/3 1/2 k és y > 1/4 1/2 k. A maradék pedig M2-be kerül. A csoportosítást a 3.1 ábra szemlélteti a = 3/2, és a = 2 esetén. Az M1, M2, M3-ba tartozó tárgyak csoportosítása a 3.2 ábrán látható. 21
22 3.2. Tárgyak elhelyezése A más-más típusba tartozó tárgyak általában különböz módon, és külön-külön ládákban kerülnek elhelyezésre. Mindenhol leírom a legrosszabb kitöltöttségi arányt 4/3 a < 2 és 2 a esetén. Ez a szám azt mutatja meg, hogy egy-egy lezárt láda területének mekkora részén van tárgy. Ezt az alfejezet végén található 3.2 táblázat foglalja össze. A ládák hosszabb oldalukon fekszenek. A tárgyak állítása mindig azt jelenti, hogy a rövidebb oldaluk van alul és felül, a fektetése pedig azt, hogy a hosszabb. A hosszú f csoportba tartozók közül a H1-es tárgyakat a nekik megnyitott ládában balról folytonosan egymás mellé állítjuk. Ha a soron lev tárgy nem fér már el, új ládát nyitunk, és ugyanígy folytatjuk a pakolást. Mivel y > 2/3 minden tárgy esetén, így ha valamelyik vízszintes tengely szerinti helyen van tárgy a ládában, ott a láda 2/3 magasságig tele lesz. Ez az elrendezés a láda egyik hosszabb oldalára vetítve tulajdonképpen egy egydimenziós ládapakolási feladat, ahol az x oldalak a szakaszok hosszai. Mivel x a/3, így maximum a/3 hosszú kitöltetlen rész lehet a láda jobb szélén, ami a láda hosszának az 1/3-a. Így a H1-típusú láda 2/3 2/3 = 4/9 részét biztosan tárgy fedi. A H2 típusú tárgyakat szintén így állítjuk a ládába, minden H2-es ládában pontosan 2 tárgy fér el. Ezek együttes mérete 2xy > 2 a/3 2/3 = (4/9)a, a láda mérete a, így annak 4/9 része biztosan ki lesz töltve. H2 típusú elemek csak a 3 esetén vannak, a > 3 esetén nincs szükség ilyen ládára. A H3 típusú tárgyakból összesen egy fér egy ládába. Ezért ebb l nincs is fenntartott nyitott láda, hanem csak az új H3 tárgy érkezésénél nyitunk egyet, és azután rögtön be is zárjuk. Egy ilyen téglalap területe xy > a/2 2/3 = a/3, így az a méret láda 1/3 részig van kitöltve. H3 típusú elemek csak a 2 esetén vannak; a > 2 esetén nincs szükség ilyen ládára. A közepes tárgyak közül a K1-be tartozók pakolásához a ládát fel kell osztani: balról folytonosan felbontjuk 2/3 széles, 1 egység magas sávokra, ameddig lehet. Az ilyen sávokba fogjuk fektetni lentr l felfelé folytonosan a tárgyakat; ha az aktuális sávba már nem fér bele az elhelyezend tárgy, akkor a következ be kezdünk pakolni. Ha az aktuális tárgyat már egyetlen sávban sem tudjuk elhelyezni, akkor a sávokból kimaradt jobb oldali rész bal szélébe állítjuk. Ett l fogva ide is pakolunk balról folytonosan. Ha az aktuális tárgyat se sávban, se pedig a kimaradó jobb oldali részben nem tudjuk elhelyezni, akkor az eddig használt ládát lezárjuk, új ládát nyitunk és ebben helyezzük el a tárgyat. Ezt a pakolást a 3.3 ábra is illusztrálja. 22
23 3.3. ábra. K1-beli elemek elhelyezése egy ládában Állítás. Az aszimptotikus kitöltöttségi arány 4/3 a < 2 esetén minimum 2/5, a 2 esetén minimum 3/7. Bizonyítás. Az els esetben pont kett darab 2/3 széles sáv fér el. Ezekben minimum 1/2 hosszú tárgyak fekszenek, így szélességében 3/4-ig vannak kitöltve az ilyen sávok. A tárgyak magassága külön-külön maximum 1/3, így egy maximum 1/3 magas rész maradhat üresen a sáv tetején, így az magasság szerint 2/3-ig ki lesz töltve. Összességében egy-egy ilyen sáv minimum 1/2 részében lesz tárgy. A kimaradó a 4/3 széles részb l maximum 1/3 szélesség rész marad üresen, és a többi szélessége 1/2 magasságig lesz kitöltve. Így a kitöltöttségi arány: (2 2/3 1/2)/a, ha a < 5/3 és (2 2/3 1/2 + (a 4/3 1/3) 1/2)/a, ha a 5/3; ez az a = 5/3-ban veszi fel a minimumát, ahol 2/5 értéket vesz fel. A második esetben nem egyértelm, hogy mennyi sáv lesz, így a sávok száma (n) és a láda mérete (a) szerint is minimalizálni kell. A sávok száma n = (3/2)a. A sávok az el z vel megegyez en minden esetben minimum 1/2 részig lesznek kitöltve. A kimaradó rész pedig minimum d [0, 1/4) arányban, ahol d = 0, ha a 2n 1/3, és d = 1 a (2/3)n 1/3, 3 2 a (2/3)n ha a 2 n > 1/3. Így a teljes láda kitöltöttsége 1/2 és d konvex kombinációja lesz. Ha ezt 3 minimalizálni szeretnénk, akkor egyrészt az 1/2 súlyát kell csökkentenünk, másrészt 0-t választani 0 és 1/4 közül. A minimalizálandó függvény: 3a/2 2/3 1/2, ha a 2 n 1/3, és a 3 3a/2 2/3 1/2+(a 1/3 2/3 3a/2 ) 1/2, ha a 2 a 3 n > 1/3. Ez a = 7/3 esetén veszi fel a minimumot, akkor a kitöltöttség 3/7 lesz. A K2a-ba és K2b-be tartozó tartozó tárgyakhoz két-két egyforma vízszintes sávra osztjuk a ládát. A K2a és K2b típusúak külön ládába kerülnek. Mindkét esetben balról folytonosan fektetjük a tárgyakat a sávokba, amíg valamelyik sávban még van hely. (Amíg mindkét sávban van hely, addig mindegy, hogy melyikben helyezzük el a tárgyat.) K2a esetén minden sáv 1/3 magaságig ki lesz töltve, hosszra pedig maximum a/3 üres rész marad a jobb oldalukon, így a teljes elfoglalt terület minimum 2 1/3 2/3 a lesz, így a kitöltöttség minimum 4/9. K2b csak a > 2 esetén fordul el. Egy sávba pontosan két ilyen 23
24 3.4. ábra. K2a-beli és R1-beli tárgyak elhelyezése, valamint K2b és R2-beli tárgyak elhelyezése elem kerülhet, így a ládába összesen 4. Az elfoglalt terület 4xy 4 1/3 a/3 = 4/9 a, a kitöltöttségi arány 4/9. Ezt az elhelyezést a 3.4 ábra szemlélteti. A K3-ba tartozó tárgyakat balról folytonosan, állítva pakoljuk egy ládába, majd ha nem fér bele az aktuális tárgy, akkor a ládát lezárjuk, és újat nyitunk. A kitöltöttségi arány megmutatására nem elég egy ládát nézni, néhány ládához a kövekez K3-as láda kitöltött részéb l hozzászámolunk egy darabot, természetesen azt a következ láda kitöltöttségébe már nem számoljuk bele Állítás. Minden K3 típusú láda aszimptotikus kitöltöttsége legalább 1/3, ha 4/3 < a < 2; és legalább 3/8, ha 2 a. Bizonyítás. Ha a 3/2, akkor pont két tárgy fér el; ezek összmérete több, mint 1/2, mivel 2 x y < 2 1/2 1/2 = 1/2. A láda mérete maximum 3/2, így a minimális kitöltöttség több, mint 1/2 = 1/3. A többi esetben azt mutatom meg, hogy egy láda 1/2 3/2 magasságig minden esetben ki lesz töltve, és általában szélességében csak 1/2 rész marad üresen. Ha mégsem, akkor a következ láda ennél nagyobb mértékben van kitöltve, ami a hiányt kompenzálja. Mivel y > 1/2, így magasságban 1/2-ig ki lesz töltve a láda. A láda szélességében u [0, 2/3) széles rész maradhat ki. Ha u < 1/2, akkor rendben van. Ha u > 1/2, akkor bontsuk fel u = 1/2 + v alakban. Ez esetben a soron lev tárgy, ami már nem fért bele a ládába, x > u = 1/2 + v széles, és y x > 1/2 + v magas. Ha az elhelyezett tárgy tetejér l képzeletben levágunk egy v magas sávot (továbbiakban pótsáv), akkor a megmaradt rész még mindig legalább 1/2 magasságú marad. Ha ezt a pótsávot elfordítjuk, és a régi láda végébe állítjuk, akkor annak már csak 1/2 rész fog hiányozni a szélességéb l. A pótsáv mérete miatt a magassága is el fogja érni az 1/2-et. A pótsáv áthelyezését a 3.5 ábra illusztrálja. A láda kitöltöttsége így minimum 1/2 (a 1/2), ez 3/2 a < 2 esetén minimum 1/3, a 2 a esetén pedig 3/8. 24
25 3.5. ábra. Két egymást követ K3-as láda pakolása, az áthelyezett pótsávot a két pöttyözött rész jelöli A rövid f csoportból az R1-beliek pakolásához két egyforma vízszintes sávra osztjuk a ládát, és a tárgyakat balról folyamatosan állítva pakoljuk a sávokba. Ezt addig folytatjuk, amíg olyan elem nem jön, ami már az egyik sávba sem fér bele, ekkor az eddig használ ládát lezárjuk, és új ládát nyitunk. Mindkét sáv 1/3 magasságig ki lesz töltve (ahol egyáltalán van benne valami), és maximum a/3 üres részek lesznek a jobb szélükön. Így a kitöltöttsége legalább 4/9 lesz. Az R2-be tartozókat szintén így pakoljuk két sávba. Mindkét sávban pont két tárgy fér el, a ládában 4 tárgy van, melyek összmérete 4xy 4 a/3 1/3 = (4/9)a, így a kitöltöttség minimum 4/9. R2-beli elemek csak a < 3/2 esetén vannak Megjegyzés. A K2a és R1; valamint a K2b és R2 típusú elemek pakolása megegyezik. Így a K2a és R1 számára elég egy ládát fenntartani, míg a K2b és R2-belieknek is elég összesen egy nyitott láda. A minik pakolásához az egy típusba tartozókat még tovább kell csoportosítani. Az M1-beli tárgyak további felosztásához deniáljuk a következ függvényt: g(y) := min{1/3 2 k 1/3 2 k y, k N}. Minden y magasságú ládát egy g(y) magasságú (szélesség ) sávba fogunk állítani (fektetni). A fekv sávok hossza nincs el re rögzítve, hanem az érkez tárgyak függvénye. Ezek közül az egyiket két oldalról fogjuk pakolni különböz méret elemekkel, a sáv akkor telik be, amikor középen már majdnem összeérnek a különböz típusú tárgyak. A ládát 3 darab 1/3 magasságú f sávra osztjuk. Ezek közül az alsót még két vízszintes 1/6 magas sávra osztjuk, de csak a jobb oldalán. A fels f sáv bal végének egy 1/12 széles részét további függ leges sávokra osztjuk fel, ezek rendre k (k N) szélesek. Azokat a tárgyakat, melyekre g(y) = 1/3, balról folytonosan pakoljuk a f sávokba, el ször a fels be, majd a középs be,aztán az alsóba, egészen addig, amíg ezekben van hely. Az 1/6 magas sávba való tárgyakat jobbról pakoljuk folytonosan, mindig abba a kicsi sávba, amelyikben az utoljára elhelyezett tárgy bal széle jobbrább van. Ha 25
26 3.6. ábra. M1, és M3-beli tárgyak pakolása az alsó f sávban már nem fér el az aktuális 1/6-os tárgy, akkor a középs sávot ugyanúgy felosztjuk, mint kezdetben az alsót, és ide pakolunk tovább. Az ezeknél kisebb tárgyakat a nekik megfelel fels f sávban álló kicsi sávba fektetjük folytonosan. Ha egy ilyen kicsi sávban már nem fér el a soron lev tárgy, akkor nyitunk egy vele megegyez méret kicsi sávot, amit úgy helyezünk el az 1/3-os f sávban, mintha egy 1/3 magas tárgy lenne; innent l fogva ide pakoljuk az ennek megfelel méret elemeket. Egy láda akkor telik be, ha az éppen elhelyezend 1/3-os vagy 1/6-os tárgyat nem tudjuk elhelyezni, vagy nem tudunk új kicsi sávot nyitni egy elhelyezend 1/24-es, vagy annál kisebb tárgynak. Az M1-beliek pakolását a 3.6 ábra illusztrálja Megjegyzés. Az 1/24-es, és annál kisebb tárgyaknak nem feltétlenül kellene el re kis sávokat lefoglalni, mert lehet, hogy nem lesz rájuk szükség; viszont ekkor bonyolultabb lenne mindig megkeresni az aktuális tárgyhoz tartozó kicsi sáv helyét. Az M2-be tartozó tárgyak pakolása hasonlóan történik. A tárgyak besorolását a h(y) := min{1/4 2 k 1/4 2 k y} függvény adja meg. A ládát 4 darab 1/4 magas f sávra bontjuk, az alsó f sáv jobb oldalán két darab 1/8 széles kisebb sáv indul. 1/16 széles részt vágunk le a fels f sáv bal végéb l a kicsi sávoknak, amik rendre 1/16 2 k (k N) szélesek. A pakolás ugyanúgy történik, és itt is igaz marad a megjegyzés, csak 1/32-del. Az M3-ba tartozók pakolásához 4 darab 1/4 magas f sávra osztjuk fel a ládát. A fels sávot bal oldalról 3 kisebb 1/12 magas sávra bontjuk, az alsót pedig jobbról 4 darab 1/16 szélesre. Az el bbiekbe pakoljuk állítva azokat a tárgyakat, melyekre y > 1/16; az utóbbiakba pedig a többit. Ha egy f sávba már nem fér bele az aktuális tárgy, akkor közvetlenül alatta vagy fölötte nyitunk egy ugyanolyat, mint ami éppen betelt. Új ládát akkor nyitunk, ha valamelyik sávban összeérnek a tárgyak (az aktuálisan elhelyezend vagy egy 1/12-esbe, vagy egy 1/16-osba belelógna), vagy mind a 4 sáv betelt. Az M3-beli elemek pakolását is a 3.6 ábra illusztrálja. 26
27 Állítás. Az M1-be tartozó ládák kitöltöttségi aránya 4/3 a < 2 esetén 187/384 > 0.48, 2 a esetén 319/576 > Az M2-be tartozó ládák kitöltöttségi aránya 4/3 a < 2 esetén 1111/2304 > 0.48, 2 a esetén 605/1152 > Az M3-be tartozó ládák kitöltöttségi aránya 4/3 a < 2 esetén 79/128 > 0.61, 2 a esetén 365/576 > Bizonyítás. M1 esetén a sávok a rövidebb oldaluk 3/4-éig mindig ki vannak töltve, mert az ennél kisebb tárgyak már M2-be kerülnek. A csak 1/3-os tárgyakat tartalmazó sávban maximum 1/3 széles rész marad üresen, mivel x y < 1/3, így az új sávot nyitó elem, ami már nem fért ide, kevesebb, mint 1/3 széles lehet. Ez összesen 1/3 1/3 = 1/9 területegység. A csak 1/6-os tárgyakat tartalmazóban pedig maximum 1/6 széles, ez 1/3 1/6 = 1/18 területegység. Amelyik sávban mindkét féle tárgy van, abban a maximális kimaradó terület 1/3 1/3 + 1/6 1/6 = 5/36. Az utóbbi tulajdonságú sávból csak egy lehet minden ládában, így a legtöbb üresen maradó rész akkor fordulhat el, ha kett 1/3-os, és egy vegyes sávunk van. Ez összesen 2 1/9 + 5/36 = 13/36 területegység. Az üresen maradó részhez még hozzá kell vennünk a kicsi sávokban kimaradó helyeket, ennek fels becsléseként tekinthetjük az összes megnyitott, de még nem lezárt kicsi sávot. Mivel minden sávméretb l összesen egy van, így ezek összterülete 1/3 1/12 = 1/36. Így már csak a lezárt kicsi sávok végén maradó kihasználatlan területet nem vettük gyelembe. Ez minden esetben maximum akkora lehet, mint a kicsi sáv szélessége, ez a legnagyobb, azaz 1/24 széles kicsi sávnál veszi fel a maximumát, ami a kicsi sáv területének az 1/8-a. Ez a szám a állítás bizonyításához hasonló módon lecsökkenthet 1/12-re. Ha egy 1/24-es kicsi sáv végén 2/3 1/24+u = 1/36+u rész marad üresen, akkor a következ kicsi sávban az els tárgy minimum u-val szélesebb lesz, mint az eddig kitöltöttnek számolt 2/3 1/24 = 1/36 széles rész, így ezt a kilógó részt képzeletben az el z lezárt sávba helyezve, annak a kitöltetlen része minimum u 1/36-dal csökken, így a hosszanti kitöltöttsége 11/12 lesz. Ha ilyen 1/24 széles kicsi sávokkal lesz tele a láda, a kitöltöttség akkor is minimum 11/12 3/4 a 13/36 1/36. Ez 4/3 a < 2 esetén a = 4/3-nál veszi fel a minimumát, ami a 187/384 > Másrészt 2 a esetén a = 2-ben, ahol 319/576 > M2 esetén a rövidebb oldal szerint minimum 2/3-ig ki lesznek töltve a sávok. Az 1/4- es sávokban 1/4 1/4 rész marad maximum üresen, az 1/8-osban maximum 1/4 1/8, a vegyesben 1/4 1/4 + 1/8 1/8, a 4 sávban összesen (három 1/4-es, egy vegyes) maximum 3 1/4 1/4 + 1/4 1/4 + 1/8 1/8 = 17/64. A kitöltetlen kicsi sávok miatt legfeljebb 1/4 1/16 = 1/64 rész maradhat üresen. A lezárt kicsi sávok végén lev üres rész miatti kitöltési arány az el z höz hasonlóan 1/12-el csökkenhet. Így az összkitöltöttség minimum 27
28 11/12 2/3 a 17/64 1/64. Ez 4/3 a < 2 esetén a = 4/3-nál veszi fel a minimumát, ami a 1111/2304 > 0.48 Másrészt 2 a esetén a = 2-ben, ahol 605/1152 > M3 pakolása esetén a sávok minimum 2/3 vagy 3/4 magasságig lesznek kitöltve. Így 2/3-dal számolva alsó becslést kapunk a kitöltöttségre. Egy csak 1/12-es tárgyakat tartalmazó befejezett f sávban maximum 1/4 1/12 terület rész marad üresen. Egy csak 1/16-os tárgyakat tartalmazóban legfeljebb 1/4 1/16. A vegyesben kevesebb mint 1/4 1/12+1/4 1/16. Négy ilyen összege maximum 3 1/4 1/12+1/4 1/12+1/4 1/16 = 19/192. Így a teljes láda kitöltöttsége több, mint 2/3 a 19/192. Ez 4/3 a < 2 esetén a a = 4/3-nál veszi fel a minimumát, ami 79/128 > Másrészt 2 a esetén a = 2-ben, ahol 365/576 > Ládatípus 4/3 a < 2 2 a H1 4/9 4/9 H2 4/9 4/9 H3 1/3 - K1 2/5 3/7 K2a és R1 4/9 4/9 K2b és R2 4/9 - K3 1/3 3/8 M1 >0.48 >0.55 M2 >0.48 >0.52 M3 >0.61 > táblázat. Kitöltöttségi arányok legrosszabb esetekben 3.3. Általános alsó korlát a feladatra A négyzetbe pakoló algoritmusokhoz hasonlóan itt arra adok alsó becslést, hogy egy algoritmus a legrosszabb esetben hányszor annyi ládát használhat, mint az optimális oine pakolás. Mivel a hatékonysági arány az a szám függvénye, így az a értékét l függ en több becslést adok. Az el z ekhez hasonlóan olyan ládasorozatokat fogok konstruálni, amiknek az optimális oine elhelyezése n darab egyformán kitöltött ládában történik. Mindhárom esetben el ször egy darab ilyen oine ládában szerepl tárgyakat fogom megadni. Majd az 28
29 D D D B A D D C 3.7. ábra. Oine pakolás az alsó korláthoz 4/3 < a 3/2 esetén oine ládában szerepl összes tárgyra megadom, hogy csak olyanból maximum mennyi fér el egy ládában. Ez alapján meg lehet mondani, hogy az egyes tárgyakból n darab mennyi ládában fér el. Ebb l pedig kiszámítható, hogy az n darab oine láda tárgyait minimum mennyi ládába pakolja akármelyik online algoritmus. Ha 4/3 < a < 3/2, akkor minden oine ládában lesz egy a/2 + ɛ, egy 1/2 + ɛ egy a/3 + ɛ és öt darab a/7 + ɛ oldalú négyzet. Ezeket rendre A, B, C, D bet kkel jelölve az elrendezés leolvasható a 3.7 ábráról. A maradék részt is teljesen kitöltjük akármilyen méret kicsi téglalapokkal, a továbbiakban ezeknek a neve apró téglalapok lesz. Jelöljük r-rel, azt, hogy az apró téglalapok a láda területének hányadrészét foglalják el. Ekkor r a a2 /4 1/4 a 2 /9 5 a 2 /49. Az a/2+ɛ oldalú négyzetekb l 1 fér bele egy ládába, az 1/2+ɛ a oldalúból kett, a/3 + ɛ oldalúból négy. Az a/7 + ɛ oldalú négyzetek esetén esetszétválasztást kell csinálni aszerint, hogy a > 5/7, vagy nem. Els esetben 4 láda fér el egymás felett, így a ládában összesen 24, második esetben 5 láda fér el egymás fölött, így a ládában összesen 30 darab pakolható. Így n darab oine láda tartalmának elpakolásához legalább n + n/2 + n/4 + 5 n/24 + n r ládát használ, ha a > 5/7, és n + n/2 + n/4 + 5 n/30 + n r ládát, ha a 5/7. Ha ezek közül a másodikat tekintjük, akkor egy alsó becslést kapunk. Ez a minimumát a = 3/2-ben veszi fel, ahol 2417/1176 n > 2.05 n. Így R 4/3<a<3/2 > Ha 3/2 < a < 2, akkor az oine ládákban van egy a/2 + ɛ, és egy a/3 + ɛ oldalú négyzet, és egy oszlopban annyi a/7 + ɛ oldalú négyzet, amennyi elfér egymás felett. Ezt a 3.8 ábra is illusztrálja, a négyzeteket rendre A, B, C bet kkel jelölve. A maradék részt szintén kitöltjük apró téglalapokkal. Ez esetben r a a2 /4 a 2 /9 a/6 a. Mivel a/3 + ɛ > 1/2, így az ilyen oldalú négyzetekb l csak kett fér el egy ládában, a többi tárgyra ez a szám megegyezik az eddigivel. Most n darab oine láda tartalmát legalább n + n/2 + n/6 + n r ládába pakolja minden online algoritmus. Ez a minimumát a = 2 esetén veszi fel, ahol 16/9 n > 1.77n. Így R 3/2<a<2 >
30 C A C C C B 3.8. ábra. Oine pakolás az alsó korláthoz 3/2 < a 2 esetén Ha 2 < a < 3, akkor az oine láda tartalmazzon kett darab a/3 + ɛ oldalú négyzetet, és egy a/4 + ɛ oldalú négyzetet. A kimaradó részt szintén apró téglalapokkal töltjük ki. Az a/3 + ɛ oldalú négyzetekb l most kett fér el egy ládában, az a/4 + ɛ oldalúakból 3. Az apró téglalapoknak kimaradó hely ebben az esetben r = a 2 a2 /9 a 2 /16. Így n darab a ilyen oine láda tartalmát minimum 2 n/2 + n/3 + n r ládába pakolja bármelyik online algoritmus. Ennek minimuma a = 3-ban van, ahol 71/48 n > 1.47n. Ezért R2<a<3 > Fels korlát az algoritmusra El ször a 4/3 < a < 2 esetet nézzük. Legyen L elpakolni való kis téglalapok n elem sorozata. Jelölje h 3 azoknak a ládáknak a számát, amennyibe az algoritmus H3 típusú tárgyakat pakolna az L sorozatból; k 3 pedig azoknak a számát, amennyit K3 típusúak pakolására használna. Jelölje S az L sorozatban lév tárgyak összterületét, S h3 k 3 pedig a H3-on és K3-on kívüli tárgyak összterületét. Mivel az algoritmus a H3 és K3 típusú tárgyak kivételével a ládákat minimum 2/5 arányban kitölti, így az ezen kívüli elemeket maximum 2, 5 S h3 k 3 + O(1) ládába pakolja. Így összesen maximum k 3 + h 3 + 2, 5 S h3, k 3 + O(1) ládát használ. Az optimális online pakolásra igazak az alábbiak: minimum annyi ládát használ, amennyi a tárgyak összterülete minimum annyi ládát használ, amennyi H3-beli tárgy van a sorozatban, mivel ezekb l mindig 1 darab kerülhet az online algoritmus szerint is egy ládába, ezért ezek darabszáma legalább h 3 minimum h 3 + 2/3 (k 3 1/2 h 3 ) ládát használ. Mivel, ha K3 és H3 beli tárgyak is vannak, akkor ha az oine el ször a H3-beli elemeket rakodja egyesével ládákba, akkor minden H3-at már tartalmazó ládába még maximum egy darab K3-beli elemet még el lehet helyezni. Mivel az online minimum 2 darab K3-beli elemet rakott egy 30
Approximációs algoritmusok
Approximációs algoritmusok Nehéz (pl. NP teljes) problémák optimális megoldásának meghatározására nem tudunk (garantáltan) polinom idejű algoritmust adni. Lehetőségek: -exponenciális futási idejű algoritmus
RészletesebbenSorozatok és Sorozatok és / 18
Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle
RészletesebbenIV. Matematikai tehetségnap 2013. szeptember 28. IV. osztály
IV. osztály 1. feladat. Ha leejtünk egy labdát, akkor az feleakkora magasságra pattan fel, mint ahonnan leejtettük. Milyen magasról ejtettük le a labdát, ha ötödször 10 cm magasra pattant fel? 2. feladat.
Részletesebben1. A k-szerver probléma
1. A k-szerver probléma Az egyik legismertebb on-line probléma a k-szerver probléma. A probléma általános deníciójának megadásához szükség van a metrikus tér fogalmára. Egy (M, d) párost, ahol M a metrikus
Részletesebbeni=1 i+3n = n(2n+1). j=1 2 j < 4 2 i+2 16 k, azaz az algoritmus valóban konstans versenyképes.
1. Feladat Adott egy parkoló, ahol egy professzor a kocsiját tartja. A parkolóhelyeket egy n és n közötti szám azonosítja, az azonosító szerint helyezkednek el balról jobbra. A professzor kijön az egyetemr
RészletesebbenA valós számok halmaza
VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben
RészletesebbenOnline algoritmusok. Algoritmusok és bonyolultságuk. Horváth Bálint március 30. Horváth Bálint Online algoritmusok március 30.
Online algoritmusok Algoritmusok és bonyolultságuk Horváth Bálint 2018. március 30. Horváth Bálint Online algoritmusok 2018. március 30. 1 / 28 Motiváció Gyakran el fordul, hogy a bemenetet csak részenként
Részletesebbenp j p l = m ( p j ) 1
Online algoritmusok Online problémáról beszélünk azokban az esetekben, ahol nem ismert az egész input, hanem az algoritmus az inputot részenként kapja meg, és a döntéseit a megkapott részletek alapján
Részletesebben1. Bevezet példák, síbérlés
Gyakorlatokhoz emlékeztet 1. Bevezet példák, síbérlés 1.1. Feladat Adott egy parkoló, ahol egy professzor a kocsiját tartja. A parkolóhelyeket egy n és n közötti szám azonosítja, az azonosító szerint helyezkednek
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenOnline ládapakolás. 1. Ládapakolási modellek
Online ládapakolás 1. Ládapakolási modellek A ládapakolási problémában inputként tárgyak egy sorozatát kapjuk meg, ahol az i-edik tárgyat a mérete határozza meg, ami egy a i (0, 1] érték. Célunk a tárgyak
RészletesebbenVéletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.
Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza
Részletesebben1. Online kiszolgálóelhelyezés
1. Online kiszolgálóelhelyezés A probléma általános deníciójának megadásához szükség van a metrikus tér fogalmára. Egy (M, d) párost, ahol M a metrikus tér pontjait tartalmazza, d pedig az M M halmazon
RészletesebbenEgyváltozós függvények 1.
Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata
RészletesebbenTűgörgős csapágy szöghiba érzékenységének vizsgálata I.
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Tudományos Diákköri Konferencia Tűgörgős csapágy szöghiba érzékenységének vizsgálata I. Szöghézag és a beépítésből adódó szöghiba vizsgálata
RészletesebbenLehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád
Dr. Katz Sándor: Lehet vagy nem? Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád A kreativitás fejlesztésének legközvetlenebb módja a konstrukciós feladatok megoldása.
RészletesebbenBevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai
Bevezetés Az ábrázoló geometria célja a háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelműen és egyértelműen visszaállítható (rekonstruálható) módon történő való
Részletesebben11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba
11. Előadás Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak 1. Gondolkodnivaló Adjuk meg, hogy az alábbi A mátrixnak mely α értékekre lesz sajátértéke a 5. Ezen α-ák esetén határozzuk meg a 5 sajátértékhez
RészletesebbenEÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY
EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat
RészletesebbenMBNK12: Permutációk (el adásvázlat, április 11.) Maróti Miklós
MBNK12: Permutációk el adásvázlat 2016 április 11 Maróti Miklós 1 Deníció Az A halmaz permutációin a π : A A bijektív leképezéseket értjünk Tetsz leges n pozitív egészre az {1 n} halmaz összes permutációinak
RészletesebbenA Markowitz modell: kvadratikus programozás
A Markowitz modell: kvadratikus programozás Harry Markowitz 1990-ben kapott Közgazdasági Nobel díjat a portfolió optimalizálási modelljéért. Ld. http://en.wikipedia.org/wiki/harry_markowitz Ennek a legegyszer
RészletesebbenA derivált alkalmazásai
A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls
RészletesebbenLádapakolási játékok
Ládapakolási játékok 0.1 0.15 Dόsa György Pannon Egyetem Veszprém, Hungary XXXII. MOK, Cegléd, 2017 jun 14 1 A ládapakolási feladat n tárgy Sok láda (1 méretű) Tárgyak méretei: (0,1] Mindegyiket be kell
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T
Részletesebben6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
RészletesebbenForgásfelületek származtatása és ábrázolása
Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Ha egy rögzített egyenes körül egy tetszőleges görbét forgatunk, akkor a görbe úgynevezett forgásfelületet ír le; a rögzített egyenes, amely körül a görbe forog,
RészletesebbenOnline migrációs ütemezési modellek
Online migrációs ütemezési modellek Az online migrációs modellekben a régebben ütemezett munkák is átütemezhetőek valamilyen korlátozott mértékben az új munka ütemezése mellett. Ez csökkentheti a versenyképességi
RészletesebbenAnalízisfeladat-gyűjtemény IV.
Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította
RészletesebbenPermutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)
Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz
RészletesebbenBináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Bináris keres fák kiegyensúlyozásai BSc szakdolgozat Egyed Boglárka Matematika BSc, Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet : Fekete István, egyetemi
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2017/2018-as tanév 2. forduló Haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 017/018-as tanév. forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Egy tanár kijavította egy 1 f s csoport dolgozatait.
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék
Részletesebben2. Halmazelmélet (megoldások)
(megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek
RészletesebbenÁltalános algoritmustervezési módszerek
Általános algoritmustervezési módszerek Ebben a részben arra mutatunk példát, hogy miként használhatóak olyan általános algoritmustervezési módszerek mint a dinamikus programozás és a korlátozás és szétválasztás
Részletesebben19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI
19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI Ebben a fejezetben aszimptotikus (nagyságrendi) alsó korlátot adunk az összehasonlításokat használó rendező eljárások lépésszámára. Pontosabban,
RészletesebbenTantárgyi útmutató. 1. A tantárgy helye a szaki hálóban. 2. A tantárgyi program általános célja. Statisztika 1.
Tantárgyi útmutató 1. A tantárgy helye a szaki hálóban Gazdálkodási és menedzsment szakirány áttekintő tanterv Nagyításhoz kattintson a képre! Turizmus - vendéglátás szakirány áttekintő tanterv Nagyításhoz
RészletesebbenMechatronika segédlet 3. gyakorlat
Mechatronika segédlet 3. gyakorlat 2017. február 20. Tartalom Vadai Gergely, Faragó Dénes Feladatleírás... 2 Fogaskerék... 2 Nézetváltás 3D modellezéshez... 2 Könnyítés megvalósítása... 2 A fogaskerék
RészletesebbenBevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba: példákkal, szimulációkkal
Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba: példákkal, szimulációkkal Arató Miklós, Prokaj Vilmos és Zempléni András 2013.05.07 Tartalom Tartalom 1 1. Bevezetés, véletlen kísérletek 4 1.1 Bevezetés...................................
Részletesebben0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)
Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses
RészletesebbenBázistranszformáció és alkalmazásai
Bázistranszformáció és alkalmazásai Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Elmélet Gyakorlati végrehajtás 2 Vektor bevitele a bázisba Rangszámítás Lineáris egyenletrendszer
RészletesebbenGráfokkal megoldható hétköznapi problémák
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Szakdolgozat Készítette Vincze Ágnes Melitta Konzulens Héger Tamás Budapest, 2015 Tartalomjegyzék Bevezetés
RészletesebbenV. osztály. Matematikai tehetségnap 2013. október 12. Megoldások
V. osztály 1. feladat. Ha leejtünk egy labdát, akkor az fele akkora magasságra pattan fel, mint ahonnan leejtettük. Milyen magasról ejtettük le a labdát, ha ötödik alkalommal 10cm magasra pattant fel?
Részletesebben5 = hiszen és az utóbbi mátrix determinánsa a középs½o oszlop szerint kifejtve: 3 7 ( 2) = (példa vége). 7 5 = 8. det 6.
A pivotálás hasznáról és hatékony módjáról Adott M mátrixra pivotálás alatt a következ½ot értjük: Kijelölünk a mátrixban egy nemnulla elemet, melynek neve pivotelem, aztán az egész sort leosztjuk a pivotelemmel.
RészletesebbenASTER motorok. Felszerelési és használati utasítás
1. oldal ASTER motorok Felszerelési és használati utasítás A leírás fontossági és bonyolultsági sorrendben tartalmazza a készülékre vonatkozó elméleti és gyakorlati ismereteket. A gyakorlati lépések képpel
RészletesebbenSegítség az outputok értelmezéséhez
Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró
Részletesebben2. előadás: További gömbi fogalmak
2 előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak Valamely gömbi főkör ívének α azimutja az ív egy tetszőleges pontjában az a szög, amit az ív és a meridián érintői zárnak be egymással
RészletesebbenValós függvények tulajdonságai és határérték-számítása
EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
RészletesebbenNémeth László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa
Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező
RészletesebbenPénzügyi matematika. Vizsgadolgozat I. RÉSZ. 1. Deniálja pontosan, mit értünk amerikai vételi opció alatt!
NÉV: NEPTUN KÓD: Pénzügyi matematika Vizsgadolgozat I. RÉSZ Az ebben a részben feltett 4 kérdés közül legalább 3-ra kell hibátlan választ adni ahhoz, hogy a vizsga sikeres lehessen. Kett vagy kevesebb
RészletesebbenLINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL
LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
Részletesebben1. feladat Az egyensúly algoritmus viselkedése: Tekintsük a kétdimenziós Euklideszi teret, mint metrikus teret. A pontok
1. feladat Az egyensúly algoritmus viselkedése: Tekintsük a kétdimenziós Euklideszi teret, mint metrikus teret. A pontok (x, y) valós számpárokból állnak, két (a, b) és (c, d) pontnak a távolsága (a c)
RészletesebbenHaladók III. kategória 2. (dönt ) forduló
Haladók III. kategória 2. (dönt ) forduló 1. Tetsz leges n pozitív egész számra jelölje f (n) az olyan 2n-jegy számok számát, amelyek megegyeznek az utolsó n számjegyükb l alkotott szám négyzetével. Határozzuk
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
RészletesebbenKomplex számok. Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal.
Komplex számok Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal. 1. Komplex számok A komplex számokra a valós számok kiterjesztéseként van szükség. Ugyanis már középiskolában el kerülnek olyan másodfokú
RészletesebbenSCILAB programcsomag segítségével
Felhasználói függvények de niálása és függvények 3D ábrázolása SCILAB programcsomag segítségével 1. Felhasználói függvények de niálása A Scilab programcsomag rengeteg matematikai függvényt biztosít a számítások
Részletesebben2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése
2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk
Részletesebben4,5 1,5 cm. Ezek alapján 8 és 1,5 cm lesz.
1. Tekintse az oldalsó ábrát! a. Mekkora lesz a 4. sor téglalap mérete? b. Számítsa ki az ábrán látható három téglalap területösszegét! c. Mekkora lesz a 018. sorban a téglalap oldalai? d. Hány téglalapot
RészletesebbenNULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI
NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 08-09-07 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! A feladatlap kizárólag kék vagy fekete tollal tölthető ki.
RészletesebbenAmortizációs költségelemzés
Amortizációs költségelemzés Amennyiben műveleteknek egy M 1,...,M m sorozatának a futási idejét akarjuk meghatározni, akkor egy lehetőség, hogy külön-külön minden egyes művelet futási idejét kifejezzük
RészletesebbenAtlon 2 Utasbiztosítási Rendszer
Atlon 2 Utasbiztosítási Rendszer (újdonságok) Megújult az Atlon Utasbiztosítási rendszer felülete. Ez a dokumentum röviden összefoglalja a változásokat és újdonságokat. Reméljük, hogy a fejlesztés nyomán
Részletesebben24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.)
24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) D) PERMUTÁCIÓK RENDJE Fontos kérdés a csoportelméletben, hogy egy adott elem hanyadik hatványa lesz az egység. DEFINÍCIÓ: A legkisebb olyan pozitív k számot,
RészletesebbenDiMat II Végtelen halmazok
DiMat II Végtelen halmazok Czirbusz Sándor 2014. február 16. 1. fejezet A kiválasztási axióma. Ismétlés. 1. Deníció (Kiválasztási függvény) Legyen {X i, i I} nemüres halmazok egy indexelt családja. Egy
RészletesebbenTárgy. Forgóasztal. Lézer. Kamera 3D REKONSTRUKCIÓ LÉZERES LETAPOGATÁSSAL
3D REKONSTRUKCIÓ LÉZERES LETAPOGATÁSSAL. Bevezetés A lézeres letapogatás a ma elérhet legpontosabb 3D-s rekonstrukciót teszi lehet vé. Alapelve roppant egyszer : egy lézeres csíkkal megvilágítjuk a tárgyat.
RészletesebbenSorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.
RészletesebbenKisvállalkozások könyvelése. Infotéka Kft. programjaival
A Kisvállalkozások könyvelése Könyvelés a gyakorlatban (Perfekt, 2014) című könyv esettanulmányának megoldása az Infotéka Kft. programjaival Készítette: Hauserné Dénes Éva A programok letölthetők: http://infoteka.hu/ugyviteli-szoftverek/
RészletesebbenFÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI
FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNY: Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez egyértelműen hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenFelkészülést segítő kérdések Gépszerkesztés alapjai tárgyból
Felkészülést segítő kérdések Gépszerkesztés alapjai tárgyból - Ismertesse a kézi rajzkészítési technikát (mikor használjuk, előny-hátrány stb.)! Kézi technikák közül a gondolatrögzítés leggyorsabb, praktikus
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
RészletesebbenKonvex optimalizálás feladatok
(1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy
RészletesebbenJulia halmazok, Mandelbrot halmaz
2011. október 21. Tartalom 1 Julia halmazokról általánosan 2 Mandelbrot halmaz 3 Kvadratikus függvények Julia halmazai Pár deníció Legyen f egy legalább másodfokú komplex polinom. Ha f (ω) = ω, akkor ω
RészletesebbenBiztosítási ügynökök teljesítményének modellezése
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Budapest Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése Szakdolgozat Írta: Balogh Teréz Biztosítási és
Részletesebben5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás
5. házi feladat 1.feladat A csúcsok: A = (0, 1, 1) T, B = (0, 1, 1) T, C = (1, 0, 0) T, D = ( 1, 0, 0) T AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: 1 0 0 T AB = 0 1 0, elotlási rész:(i T AB )A = (0, 0, )
RészletesebbenPISA2000. Nyilvánosságra hozott feladatok matematikából
PISA2000 Nyilvánosságra hozott feladatok matematikából Tartalom Tartalom 3 Almafák 8 Földrész területe 12 Háromszögek 14 Házak 16 Versenyautó sebessége Almafák M136 ALMAFÁK Egy gazda kertjében négyzetrács
Részletesebben352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm
5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
RészletesebbenFraktálok. Klasszikus fraktálpéldák I. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék
Fraktálok Klasszikus fraktálpéldák I Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 86 Bevezetés. 2 of 86 TARTALOMJEGYZÉK Bevezetés. Az önhasonlóságról intuitív módon Klasszikus
Részletesebben13. Egy január elsejei népesség-statisztika szerint a Magyarországon él k kor és nem szerinti megoszlása (ezer f re) kerekítve az alábbi volt:
A 13. Egy 2000. január elsejei népesség-statisztika szerint a Magyarországon él k kor és nem szerinti megoszlása (ezer f re) kerekítve az alábbi volt: korcsoport (év) férfiak száma (ezer f ) n k száma
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenMinden jó válasz 4 pontot ér, hibás válasz 0 pont, ha üresen hagyja a válaszmezőt, 1 pont.
1. 1. Név: NEPTUN kód: Tanult középiskolai matematika szintje: közép, emelt szint. Munkaidő: 50 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható. A feladatlap üresen
RészletesebbenOptika gyakorlat 6. Interferencia. I = u 2 = u 1 + u I 2 cos( Φ)
Optika gyakorlat 6. Interferencia Interferencia Az interferencia az a jelenség, amikor kett vagy több hullám fázishelyes szuperpozíciója révén a térben állóhullám kép alakul ki. Ez elektromágneses hullámok
RészletesebbenIsmétlés nélküli permutáció
Ismétlés nélküli permutáció Hányféleképpen lehet sorba rendezni n különböz elemet úgy, hogy a sorrend számít? (Ezt n elem ismétlés nélküli permutációjának nevezzük.) Például hány féleképpen lehet sorba
RészletesebbenGeometriai valo szí nű se g
Geometriai valo szí nű se g Szűk elméleti áttekintő Klasszikus valószínűség: Geometriai valószínűség: - 1 dimenzióban: - dimenzióban: - + dimenzióban: jó esetek összes eset jó szakaszok teljes szakasz
Részletesebben6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?
6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.
RészletesebbenKözgazdaságtan 1. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 3. hét A KERESLETELMÉLET ALAPJAI. HASZNOSSÁG, PREFERENCIÁK
KÖZGAZDASÁGTAN I. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Közgazdaságtan 1. A KERESLETELMÉLET ALAPJAI. HASZNOSSÁG, PREFERENCIÁK Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára Szakmai felel s: K hegyi Gergely
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 3. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014.
RészletesebbenMiskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
RészletesebbenInteraktivitás a matematika órán
Interaktivitás a matematika órán Kiindulópontunk a kocka Szakdolgozat Készítette: Szatmári Tünde Szak: Matematika BSc tanári szakirány Témavezető: Holló-Szabó Ferenc, a Matematikai Múzeum vezetője Eötvös
Részletesebben1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)
Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt
Részletesebben9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában
9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának
RészletesebbenÁltalános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László
Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Publication
RészletesebbenAZ ÉPÍTÉSI MUNKÁK IDŐTERVEZÉSE
UDPESTI MŰSZKI ÉS GZDSÁGTUDOMÁNYI EGYETEM ÉPÍTÉSZMÉRNÖKI KR ÉPÍTÉSKIVITELEZÉSI és SZERVEZÉSI TNSZÉK dr. Neszmélyi László Z ÉPÍTÉSI MUNKÁK IDŐTERVEZÉSE - 2015. - Tartalom 1. EVEZETÉS... 4 2. Z ÉPÍTÉSEN
RészletesebbenSorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK
Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész
RészletesebbenDiszkrét démonok A Borsuk-probléma
A Borsuk-probléma Bessenyei Mihály DE TTK Matematikai Intézet, Analízis Tanszék Regionális Matematika Szakkör (megnyitó el adás) Debrecen, 2017. október 16. Bevezetés Magyarázat a címhez... Napjainkban
RészletesebbenGEOMETRIAI VALÓSZÍNŰSÉGEK
GEOMETRIAI VALÓSZÍNŰSÉGEK 1. Feladat. Egy lavina területet betemetett egy síelésre gyakran használt térségben. Bence az nap síelni ment, és még nem jelentkezett, így a mentésére sietnek. Mi az esélye,
Részletesebben