A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok

A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 1 / 75

Tartalom 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorok koordinátás alakban R n 2 Algebrai struktúrák Test és gy r 3 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Megoldás kiküszöböléssel 4 Vektortér (light) R n, F n Alterek Egyenletrendszer megoldásai Bázis Dimenzió, rang A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 2 / 75

Vektor 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorok koordinátás alakban R n 2 Algebrai struktúrák Test és gy r 3 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Megoldás kiküszöböléssel 4 Vektortér (light) R n, F n Alterek Egyenletrendszer megoldásai Bázis Dimenzió, rang A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 3 / 75

Vektor 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorok koordinátás alakban R n 2 Algebrai struktúrák Test és gy r A 2- és 3-dimenziós tér vektorai 3 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Megoldás kiküszöböléssel 4 Vektortér (light) R n, F n Alterek Egyenletrendszer megoldásai Bázis Dimenzió, rang A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 4 / 75

Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Szabad vektor Ha az irányított szakasz a hal, a vektor a halraj. Ekvivalencia reláció: két irányított szakasz ekvivalens, ha egyik a másikba tolható. A vektorok az ekvivalenciaosztályok. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 5 / 75

Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Origó A közös kezd pont P OP O A pontok és a vektorok közt kölcsönösen egyértelm megfeleltetés: egy P pontnak az OP vektor felel meg, az origónak a nullvektor. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 6 / 75

Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorm veletek O a a a + b b b O a a a + b b b a 1a 2a ( 1)a 0a = 0 Tétel (A vektorm veletek tulajdonságai) Ha a, b és c a 2- vagy 3-dimenziós tér tetsz leges vektorai, 0 a zérusvektor és r, s két tetsz leges valós szám, akkor fönnállnak az alábbi azonosságok: a) a + b = b + a e) r(sa) = (rs)a b) (a + b) + c = a + (b + c) f) r(a + b) = r a + r b c) a + 0 = a g) (r + s)a = r a + sa d) a + ( a) = 0 h) 1a = a és 0a = 0 E tulajdonságok vezetnek a vektortér általános fogalmához. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 7 / 75

Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Lineáris kombináció Deníció (Lineáris kombináció) Az a1, a2,..., a k vektorok lineáris kombinációján egy c1a1 + c2a2 +... + c k a k alakú vektort értünk, ahol c1, c2,..., c k valós számok. Azt mondjuk, hogy a v vektor el áll az a1, a2,..., a k vektorok lineáris kombinációjaként, ha vannak olyan c1, c2,..., c k valós számok, hogy v = c1a1 +... + c k a k. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 8 / 75

Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorok lineáris függetlensége, lineáris összefügg sége Deníció (Vektorok függetlensége) Azt mondjuk, hogy egy v vektor lineárisan független az a1, a2,... a n (n 1) vektoroktól, ha v nem fejezhet ki e vektorok lineáris kombinációjaként. Azt mondjuk, hogy az a1, a2,... a n (n 2) vektorok lineárisan függetlenek ha e vektorok egyike sem fejezhet ki a többi lineáris kombinációjaként. Ha legalább egyikük kifejezhet a többi lineáris kombinációjaként, azaz legalább egyikük lineárisan függ a többit l, akkor e vektorokat lineárisan összefügg knek nevezzük. Az egyetlen vektorból álló vektorrendszert lineárisan függetlennek tekintjük, ha a vektor nem a zérusvektor. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 9 / 75

Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai v A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 10 / 75

Vektor 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorok koordinátás alakban R n 2 Algebrai struktúrák Test és gy r Vektorok koordinátás alakban 3 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Megoldás kiküszöböléssel 4 Vektortér (light) R n, F n Alterek Egyenletrendszer megoldásai Bázis Dimenzió, rang A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 11 / 75

Vektor Vektorok koordinátás alakban Vektorok koordinátái ( 2, 0) e2 e2 (2, 1) (2, 2) e1 e1 ( 1, 1) A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 12 / 75

Vektor Vektorok koordinátás alakban Pontok koordinátái O e2 e1 ( 2, 0) e2 (2, 1) ( 1, 1) O e1 (2, 2) A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 13 / 75

Vektor 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorok koordinátás alakban R n 2 Algebrai struktúrák Test és gy r 3 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Megoldás kiküszöböléssel 4 Vektortér (light) R n, F n Alterek Egyenletrendszer megoldásai Bázis Dimenzió, rang A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra R n A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 14 / 75

Vektor R n Vektorok összeadása és skalárral szorzása R n -ben Deníció Legyen c R egy tetsz leges valós, u = (u1, u2,..., u n ) és v = (v1, v2,..., v n ) az R n tér két tetsz leges vektora. E két vektor összegét és egyikük c-szeresét a következ képletekkel deniáljuk: u + v = (u1 + v1, u2 + v2,..., u n + v n ) cu = (cu1, cu2,..., cu n ). A vektorok tulajdonságai érvényben maradnak! A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 15 / 75

Vektor R n A négydimenziós kocka ábrázolása a síkban 1D: 2D: 3D: 4D: A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 16 / 75

Vektor R n Lineáris függetlenség Tétel (Lineáris függetlenség) Tetsz leges R n -beli V = { v1, v2,..., v k } vektorrendszerre az alábbi két állítás ekvivalens: 1. V lineárisan független, azaz k > 1 esetén egyik vektora sem fejezhet ki a többi lineáris kombinációjaként, k = 1 esetén pedig a vektor nem a zérusvektor. 2. A zérusvektor csak egyféleképp a triviális módon áll el V lineáris kombinációjaként. Másként fogalmazva, a c1, c2,...,c k skalárokkal vett lineáris kombináció csak akkor lehet a nullvektor, azaz c1v1 + c2v2 +... + c k v k = 0 csak akkor állhat fenn, ha c1 = c2 =... = c k = 0. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 17 / 75

Vektor R n Lineáris függetlenség Bizonyítás Ha a vektorrendszer csak egy vektorból áll, akkor valóban, pontosan akkor lineáris független, azaz pontosan akkor nem a nullvektor, ha a cv = 0 csak c = 0 esetén állhat fenn. ( =) Tfh valamelyik vektor például a v1 kifejezhet a többi lineáris kombinációjaként, azaz v1 = d2v2 +... + d k v k, vagyis átrendezés után ( 1)v1 + d2v2 +... + d k v k = 0. Mivel v1 együtthatója nem 0, így el tudtuk állítani a nullvektort olyan lineáris kombinációként, melyben nem minden együttható 0. (= ) Ha van olyan nem csupa 0 együtthatójú lineáris kombináció, mely a nullvektorral egyenl, azaz c1v1 + c2v2 +... + c k v k = 0, de valamelyik együttható például a c1 nem 0, akkor v1 kifejezhet a többi vektor lineáris kombinációjaként: v1 = c 2 c1 v 2... c k c1 v k. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 18 / 75

Algebrai struktúrák 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorok koordinátás alakban R n 2 Algebrai struktúrák Test és gy r 3 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Megoldás kiküszöböléssel 4 Vektortér (light) R n, F n Alterek Egyenletrendszer megoldásai Bázis Dimenzió, rang A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 19 / 75

Algebrai struktúrák 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorok koordinátás alakban R n 2 Algebrai struktúrák Test és gy r Test és gy r 3 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Megoldás kiküszöböléssel 4 Vektortér (light) R n, F n Alterek Egyenletrendszer megoldásai Bázis Dimenzió, rang A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 20 / 75

Algebrai struktúrák Test és gy r Test számolunk, mint a valós számokkal D Egy legalább kételem F halmazt testnek (algebrai testnek) nevezünk, ha 1. értelmezve van F elempárjain egy összeadás és egy szorzás nev bináris m velet, 2. az összeadás kommutatív, asszociatív, létezik nullelem és minden elemnek létezik ellentettje (additív inverze), 3. a szorzás kommutatív, asszociatív, létezik egységelem és a nullelemen kívül minden elemnek létezik multiplikatív inverze (reciproka), 4. az összeadás a szorzásra nézve disztributív. Á a nullelem és az egységelem szükségképpen különböz. Á 0a = a0 = 0. P R, Q, C, Z p (prím modulusú maradékosztályok, más jelölések: F p, GF(p)). A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 21 / 75

Algebrai struktúrák Test és gy r Gy r számolunk, mint az egészekkel D Ha a testnél deniált szorzás csak asszociatív, gy r r l, D ha kommutatív is, kommutatív gy r r l, D ha az asszociativitás mellett van egységeleme is, egységelemes gy r r l beszélünk. P Minden test gy r. P Z egységelemes kommutatív gy r, N nem gy r. P A páros számok kommutatív gy r t alkotnak, de ez nem egységelemes. P A Z m egységelemes kommutatív gy r, és pontosan akkor test, ha m prím. P A valós együtthatós polinomok egységelemes kommutatív gy r t alkotnak. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 22 / 75

Lineáris egyenletrendszerek 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorok koordinátás alakban R n 2 Algebrai struktúrák Test és gy r 3 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Megoldás kiküszöböléssel 4 Vektortér (light) R n, F n Alterek Egyenletrendszer megoldásai Bázis Dimenzió, rang A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 23 / 75

Lineáris egyenletrendszerek 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorok koordinátás alakban R n 2 Algebrai struktúrák Test és gy r Sor- és oszlopmodell 3 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Megoldás kiküszöböléssel 4 Vektortér (light) R n, F n Alterek Egyenletrendszer megoldásai Bázis Dimenzió, rang A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 24 / 75

Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Sormodell x + y = 3 x + 2y = 3 x + 2y = 3 x + 2y = 4 az 2x + 4y = 7 és az 2x + 4y = 6 A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 25 / 75

Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Sormodell 3D-ben A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 26 / 75

Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Oszlopmodell x + y = 3 x + 2y = 4 x + 2y = 3 x + 2y = 3 2x + 4y = 7 és 2x + 4y = 6 [ ] 1 x + 1 [ ] 1 y = 2 [ 3 4 ] [ ] 1 2 x + [ ] 2 y = 4 [ 3 7 ] [ ] 1 2 x + [ ] 2 y = 4 [ ] 3. 6 A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 27 / 75

Lineáris egyenletrendszerek 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorok koordinátás alakban R n 2 Algebrai struktúrák Test és gy r 3 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Megoldás kiküszöböléssel 4 Vektortér (light) R n, F n Alterek Egyenletrendszer megoldásai Bázis Dimenzió, rang A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 28 / 75

Lineáris egyenletrendszerek Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Alakzat implicit egyenletrendszere Deníció Egy geometriai alakzat egy adott koordinátarendszerre vonatkozó (implicit) egyenletrendszer: a térnek az alakzathoz tartozó pontjai egyszerre minden egyenletét kielégítik, de más pontok nem. Vektoregyenlet: nem a pontok koordinátái, hanem a pontokba mutató vektorok szerepelnek. Álatalános alak: F1(x1, x2,..., x n ) = 0 F1(x) = 0 F2(x1, x2,..., x n ) = 0 F2(x) = 0 illetve.. F m (x1, x2,..., x n ) = 0 F m (x) = 0 ahol (x1, x2,..., x n ) R n a tér egy pontja, és x az oda mutató vektor. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 29 / 75

Lineáris egyenletrendszerek Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Alakzat explicit egyenletrendszere Deníció Egy geometriai alakzat egy adott koordinátarendszerre vonatkozó (explicit) egyenletrendszere: az egyenletek bal oldalán a pontok koordinátáit megadó változók, jobb oldalán adott paraméterek függvényei szerepelnek. Általános alakja x1= f1(t1, t2,..., t k ) x2= f2(t1, t2,..., t k ). x n = f n (t1, t2,..., t k ) vagy vektoregyenlet alakban x = f(t1, t2,..., t k ), ahol t i I i R, és f : R k R n függvény. (paraméteres egyenletrendszer) A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 30 / 75

Lineáris egyenletrendszerek Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Explicit Implicit vektoregyenlet egyenlet(rendszer) Síkban egyenes r = r 0 + tv Ax + By = C pont r = r 0 A 1 x + B 1 y = C 1 A 2 x + B 2 y = C 2 sík r = r 0 + su + tv Ax + By + Cz = D Térben egyenes r = r 0 + tv A 1 x + B 1 y + C 1 z = D 1 A 2 x + B 2 y + C 2 z = D 2 pont r = r 0 A 1 x + B 1 y + C 1 z = D 1 A 2 x + B 2 y + C 2 z = D 2 A 3 x + B 3 y + C 3 z = D 3 hipersík??? a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b R n -ben sík r = r 0 + su + tv??? egyenes r = r 0 + tv??? pont r = r 0??? A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 31 / 75

Lineáris egyenletrendszerek 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorok koordinátás alakban R n 2 Algebrai struktúrák Test és gy r 3 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Megoldás kiküszöböléssel 4 Vektortér (light) R n, F n Alterek Egyenletrendszer megoldásai Bázis Dimenzió, rang A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra Lineáris egyenletrendszer és megoldásai A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 32 / 75

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Lineáris egyenletrendszer D Lineáris egyenletrendszer általános alakja a11x1 + a12x2 +... + a1nx n = b1.... a m1x1 + a m2x2 +... + a mn x n = b m, (*) ahol x1, x2,... x n az ismeretlenek, a ij együttható, b i konstans tag. Ha mindegyik egyenlet konstans tagja 0, a lineáris egyenletrendszer homogén, ha csak egy is különbözik 0-tól, inhomogén. Lineáris az x és y változókban: ax + y = 2a x 1 a y = 0 3x y = 0 x + 2y = 0 0 = 0 x + y = 1 0 = 2 x + y = 1 A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 33 / 75

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Megoldás D Lineáris egyenletrendszer megoldása a rendezett (u1, u2,..., u n ) szám-n-es megoldásvektor D megoldáshalmaz (az összes megoldás halmaza) D konzisztensnek (megoldható), inkonzisztens (nem megoldható). m Ha egy egyenletrendszer több egyenletb l áll, mint ahány ismeretlene van, túlhatározottnak nevezzük, míg ha kevesebb egyenletb l áll, alulhatározottnak. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 34 / 75

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Ekvivalens lineáris egyenletrendszerek D Azonos ismeretlenekkel felírt két egyenletrendszert ekvivalensnek nevezünk, ha megoldásaik halmaza azonos. T Egyenletrendszert ekvivalens egyenletrendszerbe visznek át: 1 két egyenlet felcserélése; 2 egy egyenlet nem nulla számmal való szorzása; 3 egy egyenlet konstansszorosának egy másikhoz adása. 4 egy 0 = 0 alakú egyenlet elhagyása (csökkenti az egyenletek számát!) A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 35 / 75

Lineáris egyenletrendszerek 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorok koordinátás alakban R n 2 Algebrai struktúrák Test és gy r Megoldás kiküszöböléssel 3 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Megoldás kiküszöböléssel 4 Vektortér (light) R n, F n Alterek Egyenletrendszer megoldásai Bázis Dimenzió, rang A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 36 / 75

Lineáris egyenletrendszerek Megoldás kiküszöböléssel Elemi sorm veletek Egy mátrix sorain végzett alábbi m veleteket elemi sorm veleteknek nevezzük: Sorcsere: két sor cseréje (S i S j : az i-edik és a j-edik sorok cseréje.) Beszorzás: egy sor beszorzása egy nemnulla számmal (cs i : az i-edik sor beszorzása c-vel) Hozzáadás: egy sorhoz egy másik sor konstansszorosának hozzáadása (S i + cs j : a j-edik sor c-szeresének az i-edik sorhoz adása). Hasonlóan deniálhatók az elemi oszlopm veletek (O i O j, co i, O i + co j ). A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 37 / 75

Lineáris egyenletrendszerek Megoldás kiküszöböléssel Lépcs s alak Deníció Egy mátrix (sor)lépcs s alakú, ha kielégíti a következ két feltételt: a csupa 0-ból álló sorok (ha egyáltalán vannak) a mátrix utolsó sorai; bármely két egymás után következ nem-0 sorban az alsó sor elején (legalább eggyel) több 0 van, mint a fölötte lév sor elején. A nemnulla sorok els zérustól különböz elemét f elemnek, vezérelemnek vagy pivotelemnek hívjuk. Egy f elem oszlopának f oszlop vagy bázisoszlop a neve. A következ mátrixok lépcs s alakúak: [ ] 3 2, 0 4 [ ] 1 0, 0 1 1 2 3 4 0 0 5 6, 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1. 0 0 0 0 0 0 A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 38 / 75

Lineáris egyenletrendszerek Megoldás kiküszöböléssel Gauss-módszer m A Gauss-módszer, -kiküszöbölés vagy -elimináció: lineáris egyenletrendszer megoldása lépcs s alakra hozással (oszloponként haladva). T Bármely test feletti mátrix elemi sorm veletekkel lépcs s alakra hozható. B 1 nulloszlop letakarása 2 sorcsere után a 11 0 3 S i a i1 a11 S 1 után a 11 alatt minden elem 0. 4 takarjuk le az els oszlopot és az els sort, és ha nincs több sor, VÉGE, ha van, menjünk a 1 pontra. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 39 / 75

Lineáris egyenletrendszerek Megoldás kiküszöböléssel Redukált lépcs s alak (rref) D Egy mátrix redukált lépcs s, ha 1 lépcs s alakú; 2 minden f elem egyenl 1-gyel; 3 a f elemek oszlopaiban a f elemeken kívül minden elem 0; Vezéregyes A következ mátrixok redukált lépcs s alakúak: [ ] [ ] 0 1 0 0 0 1 1 2 0 4 1 0 0 1,, 0 0 1 6, 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Algoritmus: oszloponként haladva el ször a vezérelemek alatt, majd csak utána az utolsó oszloptól kezdve fölöttük eliminálunk! A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 40 / 75

Lineáris egyenletrendszerek Megoldás kiküszöböléssel Redukált lépcs s alakra hozás P Hozzuk redukált lépcs s alakra az M1 M2 1 3 0 1 1 2 2 2 4 1 3 0 1 1 2 2 2 4 S2 S1 S3 2S1 S1 S2 1 3 0 0 2 2 0 4 4 1 1 2 1 3 0 2 2 4 1 2 S2 S2 S1 S3 2S1 1 3 0 1 1 2 mátrixot! 2 2 4 1 3 0 0 1 1 0 4 4 1 1 2 0 2 2 0 0 0 1 2 S2 S1 S2 S3+4S2 S1 3S2 1 0 3 0 1 1 0 0 0 1 0 3 0 1 1 0 0 0 T A redukált lépcs s alak egyértelm Egy test elemeib l képzett minden mátrix redukált lépcs s alakra hozható. Ez az alak egyértelm... A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 41 / 75

Lineáris egyenletrendszerek Megoldás kiküszöböléssel GaussJordan-módszer 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1/2S2 2 2 3 2 1 3 3 4... 0 2 1 4 S3 0 0 1 2 0 1 1 2 2 0 0 1 2 1 2 1 5 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 4 1 0 0 1 x = 1 0 1 0 3 0 0 1 2 S 1 S2 0 1 0 3 0 0 1 2 y = 3 0 0 0 0 0 0 0 0 z = 2 S2 1 2 S 3 S1 2S3 Tehát az egyenletrendszer egyetlen megoldása (x, y, z) = (1, 3, 2). A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 42 / 75

Lineáris egyenletrendszerek Megoldás kiküszöböléssel GaussJordan-módszer végtelen sok megoldás 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 3 3 1 0... 0 0 2 1 0 1 3 6 7 8 3 1 0 0 0 0 0 0 1/2S2 S1 S2 1 2 0 3/2 1 3/2 x1 + 2x2 + 3 0 0 1 1/2 0 1/2 2 x 4 + x5 = 3 2 0 0 0 0 0 0 x3 + 1 2 x 4 = 1 2 (x1, x2, x3, x4, x5) = ( 2 3 2s 3 2 t u, s, 1 2 1 2 t, t, u), 3 x1 2 2s 2 3 t u 3 20 2 3 2 1 x2 s x3 x4 = 1 2 2 1 t t = 1 2 0 + 1 s 0 0 + 0 t 1 2 1 + 0 u 0 0. x5 u 0 0 0 1 A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 43 / 75

Vektortér (light) 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorok koordinátás alakban R n 2 Algebrai struktúrák Test és gy r 3 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Megoldás kiküszöböléssel 4 Vektortér (light) R n, F n Alterek Egyenletrendszer megoldásai Bázis Dimenzió, rang A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 44 / 75

Vektortér (light) 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorok koordinátás alakban R n 2 Algebrai struktúrák Test és gy r R n, F n 3 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Megoldás kiküszöböléssel 4 Vektortér (light) R n, F n Alterek Egyenletrendszer megoldásai Bázis Dimenzió, rang A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 45 / 75

Vektortér (light) R n, F n Valós vektortér Egyel re vektoron R n elemeit értjük. Deníció (Vektortér, altér) Vektortéren vektorok olyan nem üres V halmazát értjük, mely zárt a vektorösszeadás és a skalárral szorzás m veletére. Ha U és V két vektortér és U V, akkor azt mondjuk, hogy az U vektortér a V vektortér altere. Jelölése: U V. Az A vektorhalmaz pontosan akkor vektortér, ha az A-beli vektorokból képzett lineáris kombinációk is mind A-ban vannak. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 46 / 75

Vektortér (light) R n, F n Valós vektortér, test fölötti vektortér Minden pozitív n egész esetén F n vektortér F fölött. R 2 -ben egy origón átmen egyenes vektorai (az egyenes pontjaiba mutató helyvektorok) alteret alkotnak. R 3 -ben bármely origón átmen sík vagy egyenes vektorai alteret alkotnak. Az R 3 imént felsorolt alterei olyanok, mint az R és az R 2. (Ezt precízen a vektortér absztrakt deníciója és a vektorterek izomorzmusának fogalma fogja tisztázni. Akkor fogjuk igazolni, hogy R n alterei valóban mind olyanok, mint R k, ahol k n.) A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 47 / 75

Vektortér (light) 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorok koordinátás alakban R n 2 Algebrai struktúrák Test és gy r Alterek 3 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Megoldás kiküszöböléssel 4 Vektortér (light) R n, F n Alterek Egyenletrendszer megoldásai Bázis Dimenzió, rang A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 48 / 75

Vektortér (light) Alterek Alterek tulajdonságai és szemléltetésük U W V W 0 Z = {0} 0 0 0 Minden altérnek eleme a nullvektor (bármely altérbeli vektor 0-szorosa is benne van). Minden altérbeli x vektorral együtt annak ellentettje ( 1-szerese), a x vektor is eleme az altérnek. Minden vektortér maga is altér (saját maga altere). Z = {0} a zérustér altér. (NEM nulltér!). Altér altere altér, azaz ha U V, és W U, akkor W V. Alterek metszete altér: U V = W. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 49 / 75

Vektortér (light) Alterek Alterek tulajdonságai és szemléltetésük 0 0 Két altér egyesítése csak akkor altér, ha egyik altere a másiknak. Alteret alkotnak-e az alábbi vektorhalmazok R 3 -ben? { (x, y, z) x = y, z = xy }, { (s + 2t, s 1, 2s + t) s, t R }, { (x, y, z) 2x y + z = 0 }, { (x, y, z) x = 2t, y = t, z = t, t R }. Nem. (Pl. (1, 1, 1) benne van, (2, 2, 2) nem.) Nem. Nincs benne a nullvektor. Igen. Az n = (2, 1, 1) normálvektorú sík. (Ha x és y a sík két vektora, azaz n x = 0 és n y = 0, akkor n (x + y) = 0 és n (cx) = 0 is) Igen. A v = (2, 1, 1) vektor skalárszorosai. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 50 / 75

Vektortér (light) Alterek Alterek tulajdonságai és szemléltetésük Állítás (Megoldások altere) Egy n-ismeretlenes homogén lineáris egyenletrendszer megoldáshalmaza alteret alkot R n -ben. Deníció (Nulltér) Az A együtthatómátrixú homogén lineáris egyenletrendszer megoldásainak alterét az A mátrix nullterének nevezzük és N (A)-val jelöljük. Határozzuk meg a x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 1 2 1 2 1 1 2 3 3 1 3 6 7 8 3 2s 3 2 t u = s 1 2 t = s t u 2 1 0 0 0 mátrix nullterét: + t 3 2 0 1 2 1 0 + u 1 A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 51 / 75 0 0 0 1

Vektortér (light) Alterek Kifeszített altér Deníció (Kifeszített altér) V vektortér, a v1, v2,... v k V vektorok c1v1 + c2v2 +... + c k v k alakú lineáris kombinációinak halmazát a v1, v2,..., v k vektorok által kifeszített altérnek nevezzük, és span(v1, v2,..., v k )-val jelöljük. Állítás (A kifeszített altér altér) A v1, v2,..., v k V vektorok által kifeszített span(v1, v2,..., v k ) vektorhalmaz V egy altere. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 52 / 75

Vektortér (light) 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorok koordinátás alakban R n 2 Algebrai struktúrák Test és gy r Egyenletrendszer megoldásai 3 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Megoldás kiküszöböléssel 4 Vektortér (light) R n, F n Alterek Egyenletrendszer megoldásai Bázis Dimenzió, rang A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 53 / 75

Vektortér (light) Egyenletrendszer megoldásai Az inhomogén lineáris egyenletrendszer megoldásai Tétel (Homogén és inhomogén egyenletrendszer megoldásai) Az inhomogén lineáris [A b] mátrixú egyenletrendszerre: inhomogén általános megoldása = inhomogén egy partikuláris megoldása + homogén általános megoldása x x A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 54 / 75

Vektortér (light) Egyenletrendszer megoldásai D Az inhomogén lineáris egyenletrendszer megoldásainak halmaza egy altér eltoltja, melyet geometriai nyelven an altereknek nevezünk. R n x0 + N (A) x0 N (A) x x 0 Az inhomogén egyenletrendszer összes megoldása a homogén összes megoldásának azaz N (A)-nak az inhomogén valamelyik megoldásával való eltoltja. Mindegy melyik megoldást választjuk! A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 55 / 75

Vektortér (light) Egyenletrendszer megoldásai Sortér, oszloptér Deníció (Sortér, oszloptér) Egy mátrix oszlopvektorai által kifeszített alteret oszloptérnek, a sorvektorai által kifeszített alteret sortérnek nevezzük. Az m n-es valós A mátrix sortere R n altere, oszloptere R m altere. Az A sorterét S(A), oszlopterét O(A) jelöli. R n S(A) 0 N (A) R m O(A) 0 R n x 0 y R m 0 b A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 56 / 75

Vektortér (light) Egyenletrendszer megoldásai Egyenletrendszer megoldhatósága Következmény (Inhomogén lineáris egyenletrendszer megoldhatósága) Az [A b] mátrixú egyenletrendszer pontosan akkor oldható meg, ha b el áll az A oszlopainak lineáris kombinációjaként, azaz b benne van az A oszlopterében. A lineáris kombináció együtthatói megegyeznek a megoldásvektor koordinátáival. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 57 / 75

Vektortér (light) Egyenletrendszer megoldásai A megoldhatóság vizsgálata P Határozzuk meg, hogy a v1 = (1, 0, 1, 2), v2 = ( 1, 2, 2, 1) és v3 = (1, 1, 1, 1) vektorok által kifeszített altérnek eleme-e az u = ( 1, 2, 3, 6) vektor! Adjunk meg egy ezt bizonyító lineáris kombinációt! Mutassuk meg, hogy a w = ( 1, 2, 3, 4) vektor nem eleme az altérnek! x1v1 + x2v2 + x3v3 = u ( = w) megoldását keressük. A szimultán egyenletrendszer mátrixa [v1 v2 v3 u w]. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 2 1 2 2 1 2 1 3 3 0 1 0 2 2 0 0 1 2 2 2 1 1 6 4 0 0 0 0 1 amib l (x1, x2, x3) = (3, 2, 2), és w valóban nem áll el lineáris kombinációként, mert a w-t tartalmazó egyenletrendszer ellentmondásos. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 58 / 75

Vektortér (light) Egyenletrendszer megoldásai Lineáris függetlenség eldöntése K Tekintsük az A = [ a1 a2... ] a k mátrixot! Az alábbi állítások ekvivalensek: az a 1, a 2,..., a k vektorok lineárisan függetlenek; az A együtthatómátrixú homogén lineáris egyenletrendszernek a triviálison kívül nincs más megoldása; az A lépcs s alakjának minden oszlopában van f elem, azaz r(a) = k. P Mutassuk meg, hogy a 4-dimenziós (1, 2, 3, 4), (0, 1, 0, 1) és (1, 1, 1, 0) vektorok lineárisan függetlenek. M A vektorokból képzett mátrix és lépcs s alakja 1 2 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 3 0 1 4 1 0 0 0 2 0 0 0 ami azt mutatja, hogy a homogén lineáris egyenletrendszernek csak egyetlen megoldása van, azaz az oszlopvektorok lineárisan függetlenek., A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 59 / 75

Vektortér (light) 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorok koordinátás alakban R n 2 Algebrai struktúrák Test és gy r Bázis 3 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Megoldás kiküszöböléssel 4 Vektortér (light) R n, F n Alterek Egyenletrendszer megoldásai Bázis Dimenzió, rang A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 60 / 75

Vektortér (light) Bázis Bázis D A V vektortér bázisán olyan vektorrendszert értünk, mely 1. lineárisan független, 2. generátorrendszer (mely kifeszíti V-t). P Az e1 = (1, 0,..., 0), e2 = (0, 1,..., 0),..., e n = (0, 0,..., 0, 1) vektorokból álló halmazt F n standard bázisának nevezzük. Á A zérustérnek nincs bázisa A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 61 / 75

Vektortér (light) Bázis Bázis meghatározása els megoldás Példa (Altér bázisának meghatározása) Határozzuk meg az (1, 1, 0, 2), (2, 3, 3, 2), (1, 2, 3, 0) és (1, 3, 6, 2) vektorok által kifeszített altér egy bázisát! Megoldás Sorvektorokkal: 1 1 0 2 1 1 0 2 1 1 0 2 2 3 3 2 1 2 3 0 0 1 3 2 0 1 3 2 0 1 3 2 0 0 0 0. 1 3 6 2 0 2 6 4 0 0 0 0 A bázis vektorai (1, 1, 0, 2), (0, 1, 3, 2). A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 62 / 75

Vektortér (light) Bázis Bázis meghatározása második megoldás Megoldás oszlopvektorokkal: 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 3 2 3 0 3 3 6 0 1 1 2 0 3 3 6 0 1 1 2 0 0 0 0. 2 2 0 2 0 2 2 4 0 0 0 0 Tehát az adott négy vektor közül az els kett, azaz az (1, 1, 0, 2) és (2, 3, 3, 2) vektorok bázist alkotnak. Ha a megadott vektorokat más sorrendben írjuk a mátrixba, másik bázist kaphatunk. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 63 / 75

Vektortér (light) Bázis Felírás bázisvektorok lineáris kombinációjaként Megoldás a redukált lépcs s alakból: 1 2 1 1 1 2 1 1 1 0 1 3 1 3 2 3 0 3 3 6 0 1 1 2 0 0 0 0 0 1 1 2 0 0 0 0. 2 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 Ennek alapján: 1 1 2 2 3 1 0 3 3 0 2 2 1 1 2 3 6 = 3 1 0 + 2 3 3. 2 2 2 A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 64 / 75

Vektortér (light) Bázis Koordinátás alak e bázisban Példa (Vektor koordinátás alakja a B bázisban) Jelölje B = {(1, 1, 0, 2), (2, 3, 3, 2)} a bázist. A redukált lépcs s alak nemzérus soraiból [ 1 0 1 ] 3 0 1 1 2 kapjuk a négy vektor koordinátás alakjait: [ ] [ ] 1 0 v1 =, v2 =, v3 = 0 1 B B [ ] 1, v4 = 1 B [ ] 3. 2 B A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 65 / 75

Vektortér (light) 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorok koordinátás alakban R n 2 Algebrai struktúrák Test és gy r Dimenzió, rang 3 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Megoldás kiküszöböléssel 4 Vektortér (light) R n, F n Alterek Egyenletrendszer megoldásai Bázis Dimenzió, rang A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 66 / 75

Vektortér (light) Dimenzió, rang Bázis és dimenzió Állítás (Bázis ekvivalens deníciói) Legyen U vektortér, és legyen B = {v1, v2,..., v k } U vektorok egy halmaza. A következ állítások ekvivalensek: B lineárisan független vektorokból áll és kifeszíti az U alteret, B minimális méret halmaz, mely kifeszíti U-t; B maximális méret, független vektorokból álló halmaz U-ban. Tétel (Bázis-tétel) Ha a V vektortérnek van n-elem bázisa, akkor minden bázisa n-elem. Deníció (Dimenzió) A V vektortér n-dimenziós, ha van n-elem bázisa. (véges dimenziós vektortér) A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 67 / 75

Vektortér (light) Dimenzió, rang Mátrix, rang, dimenzió Állítás (Dimenzió = rang) Egy mátrix rangja, sorterének dimenziója és oszlopterének dimenziója megegyezik. (Ebb l következ leg r(a) = r(a T ).) Tétel (Dimenziótétel) Bármely A F m n mátrix esetén a sortér dimenziójának és a nulltér dimenziójának összege n. Képlettel: dim(s(a)) + dim(n (A)) = n. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 68 / 75

Vektortér (light) 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorok koordinátás alakban R n 2 Algebrai struktúrák Test és gy r 3 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Megoldás kiküszöböléssel 4 Vektortér (light) R n, F n Alterek Egyenletrendszer megoldásai Bázis Dimenzió, rang A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 69 / 75

Vektortér (light) A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra Valós mátrixok sor- és nulltere Deníció (Mer leges altér és mer leges kiegészít altér) egy vektortér két altere mer leges, ha bárhogy választva egy vektort az egyik altérb l, és egy másikat a másik altérb l, azok mer legesek egymásra. Egy W altérre mer leges vektorok alterét a W mer leges kiegészít alterének nevezzük és W -pel jelöljük (W perp). Tétel (A lineáris algebra alaptétele) Minden valós mátrix sortere és nulltere mer leges kiegészít alterei egymásnak. K S(A) = N (A), N (A) = S(A). K O(A) = N (A T ). K Minden x vektor egyértelm en el áll egy sortérbe és egy nulltérbe es vektor összegeként. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 70 / 75

Vektortér (light) A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra Kitüntetett alterek N (A) N (A + ) x b ˆx 0 AA + AA + 0 ˆb S(A) O(A) = S(A + ) = S(A T ) A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 71 / 75

Vektortér (light) A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra Valós együtthatós egyenletrendszer megoldásai Tétel (Lineáris egyenletrendszer megoldásai) Minden valós együtthatós megoldható (konzisztens) lineáris egyenletrendszerre igazak a következ állítások: egyetlen megoldása esik az együtthatómátrix sorterébe; a sortérbe es megoldás az összes megoldás közül a legkisebb abszolút érték ; az összes megoldás el áll úgy, hogy a sortérbe es megoldáshoz hozzáadjuk a homogén rész összes megoldását. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 72 / 75

Vektortér (light) A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra A sortérbe es megoldás megkeresése Példa (Lineáris egyenletrendszer sortérbe es megoldása) Határozzuk meg az x + y + z + 3u + 2w = 4 x + 2y + z + 5u + 2w = 5 2x + 3y + z + 8u + 3w = 7 2x + 3y + 2z + 8u + 4w = 9 egyenletrendszer minimális abszolút érték megoldását! A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 73 / 75

Vektortér (light) A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra A redukált lépcs s alak: 1 1 1 3 2 4 1 2 1 5 2 5 1 0 0 1 1 1 2 3 1 8 3 7 = 0 1 0 2 0 1 0 0 1 0 1 2 2 3 2 8 4 9 Így a megoldás: (x, y, z, u, w) = (1, 1, 2, 0, 0) + ( 1, 2, 0, 1, 0)u + ( 1, 0, 1, 0, 1)w. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 74 / 75

Vektortér (light) A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra A redukált lépcs s alak szerinti egyenletrendszerhez ezt kell adni: Így a kiegészített egyenletrendszer: x 2y + u = 0 x z + w = 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 4/17 0 1 0 2 0 1 0 0 1 0 1 2 1 2 0 1 0 0 = 0 1 0 0 0 5/17 0 0 1 0 0 19/17 0 0 0 1 0 6/17, 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 15/17 tehát a keresett megoldás 1/17( 4, 5, 19, 6, 15). A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 75 / 75