ÚJ RUGALMAS FENOMENOLÓGIAI ANYAGTÖRVÉNY MÛSZAKI TEXTÍLIÁKHOZ

Építés Építészettudomány 37 (1 ) 95 106 DOI: 10.1566/ÉpTud.37.009.1.4 ÚJ RUGALMAS FENOMENOLÓGIAI ANYAGTÖRVÉNY MÛSZAKI TEXTÍLIÁKHOZ HEGYI DEZSÕ* SAJTOS ISTVÁN** * PhD, adjunktus. BME Szilárdságtani és Tartószerkezeti Tanszék. 1111 Budapest, Mûegyetem rkp. 5. K. 4. E-mail: dizso@silver.szt.bme.hu ** PhD, egyetemi docens. BME Szilárdságtani és Tartószerkezeti Tanszék. E-mail: sajtos@silver.szt.bme.hu Új anyagtörvény kerül bemutatásra, mely enomenológiai módon írja le mûszaki textíliák eszültség-megnyúlás viselkedését. Az anyagmodell igyelembe veszi a mûszaki textíliák két szálirányának kölcsönhatását. Hagyományosan lineáris rugalmas anyagtörvényt használunk a mûszaki textíliából készített szerkezetek analíziséhez. A régebbi számítási módszerek és a számítógépek kapacitása nem tették lehetõvé bonyolultabb modellek használatát. Az elmúlt két évtizedben azonban ugrásszerûen megnõtt a számítógépek teljesítménye, és így lehetõség nyílt a valóságot jobban leíró számítási módszerek ejlesztésére. Ennek eredménye lehet az, hogy az elmúlt idõszakban egyre több kutatóhelyen oglalkoznak a mûszaki textíliák nemlineáris viselkedésének vizsgálatával, leírásával. A mûszaki textíliák (ponyvaanyag) eszültség-megnyúlás kapcsolata erõsen nemlineáris már a használati állapot szintjén is. Ennek oka az, hogy az anyagot elépítõ szálak és a szálakat bevonó mátrix elépítése (szövet szerkezet) geometriai nemlinearitáshoz vezet, és az elemi részek viselkedése is nemlineáris. A nemlineáris anyagtörvény kezelésének egyik õ vonulata a mikromodellek alkalmazása. Ebben az esetben a szövet belsõ szerkezetét építik el: az egymáshoz kapcsolódó szálak és az azokat körülvevõ mátrix szerepel az ilyen modellekben. Egyszerûbb esetben szövetszerûen összekapcsolódó rudakból rakják össze a hálózatot, bonyolultabb modelleknél a szálak hajlítási merevségét is igyelembe veszik. A mikro modellel az anyagon belüli geometriai nemlinearitást veszik igyelembe elsõsorban, de lehetõség nyílik arra, hogy az elemi építõelemekhez tartozó nemlineáris anyagtörvényt is igyelembe vegyék. Egy ilyen anyagmodell alkalmazása rendkívül számításigényes, és sok bemenõ adatra van szükség. A ponyvaanyag viselkedésének leírásának másik vonulata a enomenológiai anyagtörvény alkalmazása. Ekkor egy üggvény segítségével kapcsolják össze a eszültségeket a megnyúlásokkal. Ez a üggvény pedig rejtve hagyja a nemlineáris viselkedés valódi okait. Több ilyen eljárást kidolgoztak már, de vagy nem veszik igyelembe a két szálirány kölcsönhatását, vagy nem alkalmasak a mérési eredményen túli extrapolációra. A cikkben bemutatott eljárás exponenciális üggvények segítségével határozza meg az anyagtörvényt, igyelembe veszi a különbözõ irányokba történõ megnyúlások egymásra hatását, és alkalmas a mért tartományon túli megnyúlásokból származó eszültségek becslésére. Itt nem az a legontosabb, hogy reális eszültségértéket kapjunk, hiszen a mérések (szakítóvizsgálatok) rendszerint leedik a használati állapothoz tartozó tartományt. Az a ontos, hogy ezen a tartományon túl is monoton emelkedõ legyen üggvényünk, és így az erõsen nemlineáris analízis iterációs lépései közben elõorduló nagyon nagy megnyúlások se tegyék instabillá a számítást. A üggvények alkalmazása nem különösebben számításigényes, ezért hatékonyan alkalmazható a szerkezetanalízisben. Kulcsszavak: ponyvaszerkezetek, mûszaki textília, nemlineáris anyagtörvény 009 Akadémiai Kiadó, Budapest

96 Hegyi Dezsõ Sajtos István 1. BEVEZETÉS A mûszaki textíliák (ponyvaanyag) rugalmas eszültség-megnyúlás összeüggése nemlineáris már a használati állapothoz tartozó teherszinten is [13]. Két oka van ennek: az anyagot elépítõ szálak és bevonat nemlineárisan rugalmasan viselkedik, másrészt a szövés miatt geometriai nemlinearitás alakul ki az anyagot elépítõ elemek között. Napjainkban a legelterjedtebb módszer a ponyvaanyagok nemlineáris viselkedésének jellemzésére a mikromodellek [, 3, 4]. Ezek a modellek a textíliát a tényleges alkotóelemeibõl próbálják elépíteni: szálakból és az azokat körülvevõ bevonatból (mátrixból). A belsõ geometria és az alkotóelemek anyagtörvényének ismeretében igyekeznek a textília viselkedését leíró anyagtörvényt elõállítani. Ezek a jellemzõk azonban ritkán állnak rendelkezésre és önmagukban is nemlineárisak. A szakirodalomban találhatunk olyan anyagtörvényeket is, amelyek nemlineáris üggvények segítségével írják le a eszültség-megnyúlás kapcsolatot. A dense net módszer [1, 6] elhanyagolja a két szálirány közötti kölcsönhatást. A splinemódszer [5, 7] a kétirányú megnyúlás üggvényében írja le a eszültséget. A spline-módszer hátránya, hogy csak a mért tartományon belüli interpolálásra alkalmas. Viszont a ponyvaszerkezetek analízisére jellemzõ nemlineáris analízist instabillá teszi az, hogy a mért tartományon túl teljesen esetleges a számított eszültség érték. A nemlineáris analízis iterációja során pedig gyakran extrém nagy megnyúlások is kialakulnak lokálisan. A bemutatásra kerülõ módszer a dense net és a splin-módszerhez hasonlóan enomenológiai módon írja le az anyag viselkedését. Ez azt jelenti, hogy nem oglalkozunk azzal, hogy milyen izikai jelenség beolyásolja a eszültségek alakulását. A cél az, hogy olyan üggvényt találjunk, ami jól leírja a eszültségek és a megnyúlások közötti kapcsolatot. Az új módszer exponenciális üggvényeket használ a eszültségüggvény elõállítására és igyelembe veszi a két szálirány kölcsönhatását. Két alapvetõ problémát kell megoldani ahhoz, hogy jól leírhassuk a eszültségek és a megnyúlások közötti kapcsolatot. Az egyik az, hogy a valódi eszültségmegnyúlás görbéhez jól illeszkedõ üggvényt találjunk. A másik pedig az, hogy a két szálirány kölcsönhatását is helyesen kezeljük, úgy, hogy közben biztosítjuk az energia megmaradás törvényének teljesülését. Az elsõ probléma könnyen kezelhetõ magasabb okú polinom alkalmazásával. Azonban a polinomok elsõsorban a mérési adatok közötti interpolációra alkalmasok, az extrapolációra nem. Ez a spline-módszernél említett numerikus instabilitáshoz vezethet (és vezet is a numerikus kísérleteink alapján). Olyan üggvényt

Új rugalmas enomenológiai anyagtörvény 97 lenne jó választani, ami aszimptotikus, és így a mérési tartományon túl monoton emelkedik, így biztosítva a numerikus analízis stabilitását. A második probléma megoldásához olyan üggvényre van szükségünk, amelyben mindkét szálirány szerepel változóként, és szimmetrikus az ortogonális deriváltak tekintetében. Másként megogalmazva ugyanabból az alakváltozási energia üggvénybõl származtatható az egyes irányokhoz tartozó eszültség-megnyúlás üggvény.. EGYIRÁNYÚ TERHELÉS Az 1. ábrán a ponyvaanyaghoz tartozó tipikus erõ-megnyúlás diagramm látható. A diagram használati állapothoz tartozó szakaszán jól elkülöníthetõ két különbözõ meredekségû szakasz. 1. ábra. Jellegzetes eszültség-megnyúlás diagramm [1] Két aszimptotikus exponenciális üggvény kombinációjából elõállítható egy olyan üggvény, amely jól illeszkedik ehhez: e e 1 s a e e ( 1 ) a e, has 0, (1) ahol s a láncirányhoz (angolul et) tartozó eszültség, e a láncirányhoz tartozó megnyúlás, a 1 és a paraméterek, és s a vetülékirányhoz (angolul ill) tartozó eszültségek. Ahogy az a. ábrán látható, az így elõállított üggvény jól illeszthetõ a valódi erõ-megnyúlás diagrammok sajátosságaihoz. (A. ábrán a 1 = 0,8 és a = 1,5.) A vetülékirányhoz tartozó összeüggés az (1) üggvénnyel, csak abban a vetülék irányhoz tartozó megnyúlás szerepel.

98 Hegyi Dezsõ Sajtos István. ábra. Feszültség-megnyúlás diagramm exponenciális üggvények segítségével elõállítva 3. A KÉT SZÁLIRÁNY KÖLCSÖNHATÁSA A bevezetésben elmondottak szerint az energiamegmaradás törvényének kielégítése az egyik kulcskérdés a két szálirány kölcsönhatását leíró összeüggés kiválasztásánál. Két oldalról közelíthetjük meg a dolgot: vagy azt próbáljuk biztosítani, hogy a eszültség üggvények ortogonális irányok szerinti deriváltjai legyenek azonosak: s e s () e vagy olyan alakváltozási energia üggvényt keresünk, amelybõl a származtatott eszültség üggvény jól leírja az anyag valódi viselkedését. és W e W e s (3) s, (4) ahol W az alakváltozási energia üggvény. A cikkben az elsõ megközelítést alkalmaztuk. Olyan üggvényt kerestünk, amelynél teljesül a () egyenletben elõírt szimmetria. A szálak szövetként építik el a textíliát, ami azt jelenti, hogy egymást görbítve utnak el egymás mellett. Ha megeszítjük az egyik irányt, akkor az ki akar egyenesedni, miközben nagyobb görbeséget kényszerít a másik irányra. Ha csak

Új rugalmas enomenológiai anyagtörvény 99 egy irányú terhelést alkalmazunk, akkor kis megnyúlások esetén a meghúzott szálirány erõsen görbíti a rá merõleges irányt, azaz a merõleges szálirány harántkontrakcióját leíró görbe meredek. Miután már kiegyenesedett a terhelt irány, a görbe meredeksége már csak kis meredekséggel emelkedik. A kétirányú megnyúláshoz tartozó eszültség üggvény vízszintes metszete 0 eszültség mellett a 3. ábra szerint kell kinézzen. Ez a metszet jól elõállítható a következõ összeüggésbõl: s 0c1 e ( 1tanh( e e)), (5) ahol e a vetülék irányhoz tartozó megnyúlás, c 1 pedig paraméter. 3. ábra. A eszültség-megnyúlás diagramm e = 0 értékhez elõállított metszete 4. ábra. A teljes eszültség-megnyúlás üggvény láncirányban (s )

100 Hegyi Dezsõ Sajtos István 4. A FESZÜLTSÉG-MEGNYÚLÁS FÜGGVÉNY A entebbi két üggvény, (1) és (5) összegzésével kaphatjuk meg a eszültségmegnyúlás üggvényeket: a láncirányhoz és e e 1 1 s a e e ( 1 ) a e c e ( 1tanh( e e )) (6) e e 1 1 s b e e ( 1 ) b e c e ( 1tanh( e e )) (7) a vetülékirányhoz. Ezek az üggvények 100%-os megnyúlás esetén rajzolják ki a kívánt jellegzetességû görbét, miközben a használati állapotban 1 3% közötti megnyúlásokra számíthatunk. A görbék skálázására további paraméterek (a 3, a 4, b 3, b 4, c, c 3 ) bevezetése szükséges: és ( ae ) ( ae ) 1 1 3 4 s a e ( 1e ) a e c e ( 1tanh( c e ( be ) ( be ) 1 1 3 4 s b e ( 1e ) b e c e ( 1tanh( c e e e c 3 )) (8) c 3 )). (9) A enti egyenletek kielégítik az energiamegmaradás törvényét, teljesül a () szerinti eltétel: s e s ee c1 1 tanh( ce e c e cosh( cee c. (10) 3 3 ) 5. PARAMÉTEREK MEGHATÁROZÁSA A mérési adatokból kell meghatározni a (8) és (9) egyenletek paramétereit. Ehhez a legkisebb négyzetek módszerét alkalmaztuk. A két szálirányhoz tartozó üggvény paramétereit együtt kell optimalizálni, mivel a (10) eltétel szerint a két irányhoz tartozó üggvények egymással összeüggnek:

Új rugalmas enomenológiai anyagtörvény 101 n [( Q s ) ( Q s ) ] min, (11) i 0 i ( e, ) i i ei ( ei, ei ) ahol W a minimalizálandó üggvény, a mért és a számított eszültségek közötti különbség négyzetének összege, Q i és Q i a mért eszültség értékek, s ei e és (, i ) s a számított eszültség értékek az adott megnyúlások e ( e i, e i és e i ) i mellett. W minimumának meghatározása egyszerû, ha a 3, a 4, b 3, b 4, c és c 3 értéke meghatározott. Ebben az esetben lineáris egyenletrendszert kell megoldani. A entiek szerint a 3, a 4, b 3, b 4 értékei 100 körül érdemes elvenni (1%-hoz tartozó megnyúlások), míg c 10 000 (két 1%-os megnyúlás szorzatát skálázzuk) és c 3 0 (egy konstans, mellyel eltolhatnánk a üggvényünket). Az összes paraméter együttes optimalizálása például genetikus algoritmussal lenne megoldható. 6. AZ ANYAGTÖRVÉNY HASZNÁLATA Ha ismerjük a megnyúlásokat, akkor a (8) és (9) üggvények segítségével számítható a eszültség. Ha az anyagmodell nemlineáris, akkor a szerkezet analízis is nemlineáris lesz. (A geometriai nemlinearitás miatt a ponyvaszerkezetek analízise mindenképpen nemlineáris.) Kétajta megoldást szokás alkalmazni ilyen eladatok megoldására. Az egyik a teljes Lagrange-módszer, a másik a módosított Lagrange-leírásmód. Ha a teljes Lagrange-leírásmódot használjuk, akkor a eszültséget a deormációmentes ás a deormált alak között számítjuk. Ekkor a merevség kiejezéséhez a 0 megnyúlás és a deormált alakhoz tartozó eszültség közé húzott húr használható: sj 0 0 ej sh D 0 0, (1) e h 0 0 G ahol D az anyagtörvény, és benne G a nyírási modulus. A módosított Lagrangeleírásmód úgy keresi az egyensúlyi alakot, hogy az egyes iterációs lépések között mindig az elõzõ lépés geometriáját használja alapul. Ekkor az anyagtörvényt a eszültségüggvény megelelõ deriváltjaiból lehet meghatározni:

10 Hegyi Dezsõ Sajtos István s j s ej e s h s D e e j 0 0 j h h h 0 0 G (13) Vannak eladatok, ahol ontos lehet a deormációs energia kiejezése. A (8) és (9) üggvények integráljainak összegzésével ejezhetjük ki a deormációs energiát: W 1 1 a a e ae a a e a b ( 1 3 ) ( 3e ) 1 be 1 e 1 e 3 4 b e ( 3 ) 3 b b e ( b4 e ) c c c 1ee {ln[tanh( e e 3) 1] (14) 4 ln[ tanh( c e e c )]} C 1 3 7. MINTAFELADAT Az új anyagtörvény alkalmazhatóságának vizsgálatához mintaszámítás készült. Sajnos a szakirodalomban nem található olyan mérési adatsor, ami használható lenne és saját mérések elvégzésére sem volt alkalom. Ahhoz, hogy mégis ellenõrizni lehessen, hogy az új anyagtörvény valóban használható-e, iktív mérési adatsorra illesztettük a elvett üggvényeket. A iktív adatsort a szakirodalomban található eszültség-megnyúlás görbék szerint vettem el [1, 7, 13]. A mintaeladat egy egyszerû orgáselület: az alsó kör átmérõje 3 m, a elsõ köré 1,5 m (5. ábra). A számítások elvégzéséhez saját készítésû végeselem programot [11] használtunk, mely a dinamikus relaxáció segítségével számítja az egyensúlyi alakot [8] úgy, hogy a valódi sík szabásterv és a térbeli deormált alak között számítja a deormációkat [11, 1]. A számítást kétéle anyagtörvénnyel végeztük el. Ugyanarra a mérési adathalmazra illesztettünk egy lineárisan rugalmas, orthotrop anyagtörvényt és a cikkben bemutatásra kerülõ új exponenciális anyagtörvényt.

Új rugalmas enomenológiai anyagtörvény 103 5. ábra. A mintaeladatban vizsgált szerkezet 6. ábra. A lineárisan rugalmas anyagtörvény által leírt eszültségelület a lánc irányban A 6. és 7. ábrán láthatóak a mért eszültségértékekre illesztett eszültségüggvények. A mért értékek a sötét és a világos oszlop találkozásánál láthatóak. A 6. ábrán a lineáris üggvény illeszkedését igyelhetjük meg, míg a 7. ábrán azúj anyagtörvényét. A 7. ábrán látható, hogy az egy irányú mérésbõl származó eredményekre jól illeszkedik a üggvény (e és e tengelyek mellett). A köztes mezõben már rosszabb az illeszkedés, de itt is jobb mint a lineáris üggvény alkalmazása esetén.

104 Hegyi Dezsõ Sajtos István 7. ábra. A nemlineárisan rugalmas anyagtörvény által leírt eszültségelület a lánc irányban A számítások mindkét esetben konvergáltak az egyensúlyi állapothoz. Az 1. táblázat mutatja be a számított minimális és maximális eszültségeket különbözõ szabásminta zsugorítások mellett. zsugorítás 1. táblázat eszültségek anyagtörvény [kn/cm] lánc vetülék nyírás 1% maximum 0,063 0,071 0,06 exponenciális átlag 0,0 0,05 0,001 4% maximum 0,118 0,13 0,036 exponenciális átlag 0,058 0,067 0,004 1% maximum 0,058 0,046 0,01 lineáris átlag 0,06 0,0 0,001 4% maximum 0,090 0,075 0,07 lineáris átlag 0,057 0,049 0,001 Mivel az anyagtörvények iktív mérési adatokra lettek illesztve, a számítás eredményeibõl nem lehet messzemenõ következtetéseket levonni. Annyit azonban megállapíthatunk, hogy a ponyvaanyag számított átlagos igénybevétele közel azonos a lineáris és a nemlineáris anyagtörvény alkalmazása esetén. A maximális eszültségek esetében az eltérések már számottevõek, különösen a vetülék irányban.

Új rugalmas enomenológiai anyagtörvény 105 8. ÖSSZEGZÉS Egy új nemlineáris anyagtörvény került bemutatásra. A kidolgozott enomenológiai anyagtörvény együtt kezeli a mûszaki textílián belüli elemi alkotórészekhez és a belsõ geometriai elépítéshez tartozó nemlinearitást. Az alkalmazott aszimptotikus üggvények nem beolyásolják a szerkezet nemlineáris analízisének stabilitását. A üggvények segítségével kiejezett eszültség használata hatékony, összehasonlítva a mikromodellekkel, ugyanis a mikromodellek alkalmazása esetén az anyagtörvényt is csak egy belsõ iterációval lehet kiejezni. A kidolgozott üggvény paramétereinek meghatározása egyszerû, ha az a 3, a 4, b 3, b 4, c és c 3 paramétereket ismertnek vesszük. Ezek a paraméterek a üggvény léptékét határozzák meg, viszonylag kevés próbálkozással jól meghatározhatóak. Ha a többi paraméterrel együtt szeretnénk õket optimalizálni, akkor sajnos bonyolulttá válik a paraméterek elvétele. A mintaeladat alapján a széles körben alkalmazott lineáris anyagmodell használata esetén az átlagos eszültségek jó egyezést mutatnak a nemlineáris anyagmodellel kapott eredményekkel. A maximális eszültségekben azonban már nagyobbak az eltérések. Ez azt jelenti, hogy az egyensúlyi alak közel azonos a két esetben, viszont a méretezés szempontjából ontos eszültségmaximumok nagyobb bizonytalanságot tartalmaznak. IRODALOM [1] Ambroziak, A. Klososki, P.: Nonlinear elastic and rheological constitutive modeling o PVC-coated polyester abric using dense net model. Structural Membranes 005, Stuttgart, 131 138. [] Ballhause, D. König, M. Kröplin, B.: A microstructure model or abric-reinorces membranesbased on discrate element modelling. Structural Membranes 005, Stuttgart, 55 64. [3] Bodner, S. R. Partom, Y.: Constitutive equations or elastic-viscoplastic strain-hardening materials. Journal o Applied Mechanics, ASME, Vol. 4. 385 389 (1975). [4] Bridgens, B. Gossling, P. D.: A predictive abric model or membrane structure desig. Structural Membranes 005, Stuttgart, 87 96. [5] Bridgens, B. Gossling, P. D.: Direct stress-strain representation or coated oven abrics. Computers and Structures, Vol. 8. 1913 193 (004). [6] Chaboche, J. L.: Constitutive equation or cyclic plasticity and cyclic viscoplasticity. International Journal o Plasticity, Vol. 5. 47 30 (1989). [7] Day, A. S.: Stress-strain equations or nonlinear behavior o coated oven abrics. IASS Symposium proceedings: shells, membranes and space rames, Osaka,. Elsevier, Amsterdam 1986. 17 4. [8] Day, A. S.: An introduction to dynamic relaxation. The Engineer, Vol. 19. 18 1 (1965).

106 Hegyi Dezsõ Sajtos István [9] Durville, D.: Approach o the constitutive material behavior o textile composites through simulation. Structural Membranes 005, Stuttgart, 307 316. [10] Haan, S. I. Charalambidges, P. G. Suri, M.: A specialized inite element or the study o oven composites. Computational Mechanics, Vol. 7. 445 46 (001). [11] Hegyi, D. Sajtos, I. Geiszter, Gy. Hincz, K.: 8-node quadrilateral double-curved surace element or membrane analysis. Computers and Structures, Vol. 84. 151 158 (006). [1] Hincz, K.: Determination o the cutting patterns o prestressed tent structures. Revista Portuguesa de Engenharia de Estruturas, Vol. 47. 45-49 (000). [13] Kollár L.: Ponyvaszerkezetek. Mûszaki Könyvkiadó, Budapest 1987. A NEW PHENOMENOLOGY MATERIAL LAW FOR TECHNICAL TEXTILES Summary Traditionally linear elastic material la is used or textile membrane structures in the analysis. The capacity o the old computers as too small to deal ith the complex material la together ith the highly nonlinear analysis o the structure. In the last decade high number o papers ere published about nonlinear material las according to the elastic and time dependent deormations. It is ell knon, that the characteristic o the material la o a technical textile is highly nonlinear like the analysis o the structure. There are to reasons: the nonlinear material la o the elements (the yarns and the matrix) and the geometric nonlinearity o the yarns. One ay to handle the problem o the nonlinear material la is to use a micro model. In the micro model they build up the internal geometry o the material ith the properties o the elements and the connections. It is very amous today, but it needs too much input data or the practice. The usage o a phenomenology material la can be more suitable than a micro model. In a phenomenology model e ignore hat happens inside the material la. We use a unction to describe the behavior o the material. There are methods ith phenomenology material las, but they neglect the interaction o the to yarn direction or they cannot extrapolate the material la over the measured data. The ne phenomenology material la in this paper uses exponential unctions. These unctions converge to a monotone increasing line. It means that it can approximate a reasonable stress value over the measured data, even i the strain is unrealistic. It is an important eature in a highly nonlinear calculation, here during the iteration e can have extreme deormations. The ne model can represent the interaction o the yarns o the to directions. For the usage o the ne material la e need the stress-strain data o the material. To represent the interaction o the to yarn directions both (parallel and perpendicular) strain values are needed or each load level, and the best is to get bi-directional test data. The exponential unctions o the ne material la are not simple, but in computer sotare it is not a problem. The unctions can give back the stress level or each strain pair (according to the yarn directions) very ast and very eectively. Keyords: membrane structures, nonlinear structural analysis, nonlinear material la, technical textiles