Áramlástan Minimum Tételek (006/007BSc) Írja fel a folytonosság tétel integrál alakját, és ismertesse, hogy milyen fizikai alapelet fejez ki! Magyarázza el az egyenlet tagjainak jelentését! Hogyan és milyen feltételek mellett alkalmazható ez az alak áramcsőre? A folytonossági tétel integrált alakja: dv = da t V A Azt a fizikai alapelet fejezi ki miszerint a tömeg nem keletkezhet és nem tűnhet el. A bal oldali tag kifejezik, hogy V térfogatban (melyet A felület határol) elhelyezkedő tömeg másodpercenként mennyit áltozik. (kg/s) A jobb oldal adja meg, hogy az A felületen (megy V térfogatot határolja) mennyiel több tömeg áramlik ki, mint be. (kg/s) d A felületi normális kifelé mutat, ezért a hozzá tartozó integrál (jobb o.) pozití értéke azt jelenti, hogy fogy a tömeg a V térfogatban. Így a másik integrálnak negatínak kell lennie. A kontinuitás tétele áramcsőre a köetkezőképpen írható fel: A = A ahol -es és - es indexek a be és kilépő keresztmetszetet jelöli. A kifejezés azonban számos kritérium mellett an csak érényben. Ezek:. A be és kilépő keresztmetszetben a sebesség merőleges A és A felületre, agy csak merőleges komponensekkel számolunk. Azaz belépésnél cosα=-, kilépésnél cosα=.. A és A keresztmetszetekben a sűrűségek állandók. 3a. Stacionárius az áramlás.(bal old. dt miatt 0) 3b. Instacionárius esetben állandó sűrűség (hogy a bal old. 0 legyen) mellett A = A Írja fel a folytonosság tétel differenciálegyenlet alakját, és ismertesse, hogy milyen fizikai alapelet fejez ki! Magyarázza el az egyenlet tagjainak a jelentését! Milyen egyszerűbb alakjait ismeri a tételnek, és azok milyen feltételek mellett alkalmazhatóak? A folytonossági tétel differenciált alakja: + di( ) = 0 t Az alak az integrál alakból jön ki, ugyanis annak jobb oldala a Gauss - Osztrogradszkij tételt alkalmaza: da = di( ) dv alakra hozható. Ezt behelyettesíte és a jobb oldalt átie a A V bal oldalra + di( ) dv = 0 t egyenletet kapjuk, ami csak a zárójel=0 esetén lesz 0. V Azt a fizikai alapelet fejezi ki, miszerint a tömeg nem keletkezhet és nem tűnhet el. Egyszerűbb alakok: Amennyiben az áramlás stacionárius, de a közeg összenyomható, a bal oldali tag zérus lesz, így marad: di ( ) = 0 Gyakran feltételezhetjük közel állandónak a sűrűséget (cseppfolyós közegeknél), de ha gázok nyomása nem áltozik jelentősen, akkor is számolhatunk ezzel a közelítéssel. Ebből az köetkezik, hogy: di () = 0 érényes mind stacionárius és instacionárius áramlásokra. --
3 Hogyan számolható ki egy kör keresztmetszetű csőben áramló közeg térfogatárama a =(r) sebességmegoszlás ismeretében (kialakult csőáramlás)? Az alapképlet q = A. Egy adott A keresztmetszetben egyenletes sebességgel, ezért -t n r egyértelműen meg kell határozni. Ez a fenti cső példa esetében: (r) = max, R n=forg-i paraboloid fokszáma. Egy r sugarú, dr astagságú, rπdr keresztmetszetű körgyűrűn átáramló térfogatáram: dq = rπ( r) dr Ezt a kifejezést a cső esetében az egész kör keresztmetszetre integrála kapjuk a égleges, keresett térfogatáram értékét: R n r q = rπmax dr R 0 n Ha az integrálást elégezzük, a köetkező kifejezés adódik: q = R πmax n + Másodfokú paraboloid esetén n=, azaz az átlagsebesség a maximálisnak a fele. 4 Írja fel a hidrosztatika egyenletét, és ismertesse, hogy milyen fizikai alapelet fejez ki! Magyarázza el az egyenlet tagjainak jelentését! Mutassa meg az egyenlet megoldását összenyomhatatlan közeg esetén! A hidrosztatika alapegyenlete: gradp = g d Az Euler egyenletből = g gradp kapjuk oly módon, hogy miel a hidrosztatikai dt feladatoknál a folyadék nem gyorsul, így a sebességáltozásra onatkozó tag (bal o.) zérus. Hidrosztatikai feladatoknál az Euler egyenlet alóságos (súrlódásos) folyadékok esetén is pontos eredményt ad, hiszen hidrosztatikáról (nyugalomról) léén szó nem lépnek fel csúsztatófeszültségek. Azt a fizikai alapelet fejezi ki, hogy: - a nyomás leggyorsabb áltozásának iránya/irányítása a térerősség irányába mutat / irányításáal egyezik meg. - a nyomás áltozásának rohamossága a térerősség abszolút értékéel és a közeg sűrűségéel arányos. Megoldása: összenyomhatatlan közeg esetén =áll. Egy álasztott útonal mentén integrála p p az egyenletet, a Bernoulli egyenletet kapjuk a sebesség tag nélkül: + U U = + --
5 Mutassa be a folyadékszint kitérés elén működő nyomásmérőt ("U" csöes manométer)! Készítsen róla a bekötéssel együtt egyszerű ázlatrajzot! Sorolja fel és indokolja azokat a módszereket, amelyekkel az ilyen manométereknél a nyomásmérés pontossága nöelhető! Az U csöes mikromanométer csak néhány ezer Pa-nál kisebb nyomások mérésére alkalmas. ny A mikromanométer üegcsöében alamilyen, a nyomást közetítő folyadékkal ( ) égezzük a mérést (nem keeredő mérőfolyadék ). Így a leegő nyomásának mérése esetén a m mérőfolyadék íz agy alkohol, íz nyomásának mérésekor pedig higany. p p = ( ) g h m ny p p = g h ny elhanyagolható ha a mérőfolyadék sűrűsége lényegesen meghaladja a nyomást közetítő folyadékét. Az U csöes manométer legfontosabb előnye a megbízhatóság, és, hogy nem igényel karbantartást. Hátrányai: nagysűrűségű közetítő közeg, és mérőfolyadék esetén (íznyomás különbségét higannyal) kis nyomáskülönbség esetén nagy leolasási hiba. Kétszeres leolasási hiba adódik, abból hogy az U csöet két helyen kell leolasni. A hibákat kiküszöbölhetjük fordított U csöes manométer használatáal. Párhuzamos furatok és körezetékek segítségéel (esetleg még több mérési pont), a mérés előtti helyes mérőfolyadék megálasztásáal. 6.Határozza meg a pálya, az áramonal és a nyomonal fogalmát! Mit jelent, ha egy áramlás stacionárius agy instacionárius? Pálya: kiszemelt pontsz. folyadékrész időben egymás után elfoglalt helyét összekötő görbe. Áramonal: Olyan görbe, amit egy adott pillanatban minden pontjában érint a sebesség ektor. Az áramonal a sebességektorok burkoló görbéje. Nyomonal: A tér adott pontján áthaladó folyadékrészeket adott pillanatban összekötő görbe. Stacionárius áramlásban a jellemzők (, p,, T) nem függenek az időtől, így pl. a sebességteret a = (r) írja le azaz a sebességektorok az áramlási tér egyes pontjaiban az adott koordináta rendszerben időben nem áltoznak. Ilyenkor a pálya, a nyomonal és az áramonal egybe esik. (Pl. csónak mozgása a taon a csónakból figyele.) Instacionárius áramlásoknál a sebességtér az időtől is függ: = ( r, t) (Pl. csónak mozgása a partról figyele.) 7 Ismertesse a sebességi potenciál fogalmát! Milyen sajátosságai annak egy potenciálos áramlásnak? m Sebességi potenciál egy skalártér, amelyet ϕ -al jelölünk és = gradϕ. Ez a fajta s potenciál csak örénymentes áramlásokban létezhet (rot=0). Síkáramlás esetén a ϕ ϕ sebességektorok és komponenseik: = x i + y j = gradϕ = i + j x y A ϕ=áll ekipotenciális onalak és a koncentrikus kör alakú áramonalakat érintő sebességektorok egymásra merőlegesek, ebből az köetkezik, hogy az ekipotenciális felületek sugár irányú az x, y, síkra merőlege síkok. ϕ ϕ ϕ K Sebességtér számítása a sebességi potenciálból: = gradϕ = e z + e r + eϑ = eϑ z r r ϑ r -3-
8 Írja fel és magyarázza a folyadékrészecske teljes gyorsulását Euler-féle írásmódban d A folyadékrész gyorsulása: = + D dt t Értelmezés: A teljes gyorsulás értéke egyenlő a lokális gyorsulás, alamint a konektí gyorsulás összegéel. A jobboldal első tagja a lokális gyorsulás, a második a konektí. Lokális gyorsulás csak instacionárius x x x x y z áramlásban an. D: deriálttenzor: Konektí gyorsulás lehet stac. és instac. y y y D = x y z áramlásban is, miel független az időtől. Akkor an, ha a folyadék sebességének z z z nagysága agy iránya az áramlás irányában x y z áltozik. 9 Írja fel az Euler-egyenletet! Magyarázza el, hogy milyen fizikai alapelet fejez ki az egyenlet és milyen feltételek teljesülése mellett érényes! Magyarázza el az egyenlet tagjainak jelentését! Az Euler-egyenlet: d = g dt grad Fizikai alapel: Newton II axiómája értelmében az egységnyi tömeg mozgásmennyiségének időegységre jutó megáltozása egyenlő az egységnyi tömegre ható erők eredőjéel. Egységnyi tömegű folyadékrész gyorsulása egyenlő ugyanarra a folyadékrészre ható erő, alamint a rá ható nyomásból származó erők összegéel. Feltételek: Az Euler-egyenlet csak súrlódásmentes közegre érényes. Sem a sűrűsége, sem az erőtérre nem kell kikötést tennünk. d : a gyorsulásektor, az egységnyi tömegű test mozgásmennyiségének áltozása dt g : a térerősség ektor, az erőtérből az egységnyi tömegre ható erő gradp : a nyomás gradiens és a sűrűség hányadosa, a nyomásból származó erő a felületre 0 Írja fel az Euler-egyenletet természetes koordináta-rendszerben stacionárius áramlás esetén! Milyen köetkeztetések onhatók le a komponens egyenletekből? Alkalmazási példákon keresztül mutassa meg a természetes koordináta-rendszer használatának előnyeit. Az Euler-egyenlet e (érintő) irányában: Az Euler-egyenlet n (normális) irányában: = g e e = g R p e n p n p Az Euler-egyenlet b (binormális) irányban: 0 = gb b A normális irányú komponensegyenletből a köetkező köetkeztetések onhatók le: -4-
Párhuzamos áramlásra merőlegesen a nyomás nem áltozik, mert: R = p = 0 n Áramonalra merőlegesen a görbületi középponttól kifelé a nyomás nő: R p = + n Alkalmazása előnyös: - személyautók körüli áramlás esetén jól modellezhető, az autó karosszéria elemei és körülöttük léő áramlás (domború túlnyomás, homorú depresszió). - leegősugáron lebegő labda meggörbíti az áramonalakat Conada-eff. és depresszióba kerül - esőcsepp ejtőernyő alakja (esés közben alul túlnyomás, oldalt depresszió) A binormális egyenlet a nyomásból és térerősségből származó erők egyensúlyát fejezi ki. Σ: ha a két erő kiegyenlíti egymást akkor nem gyorsul, ha nem a nagysága / iránya áltozik Írja fel a Bernoulli-egyenlet általános alakját! Elemezze az egyes tagok jelentését, és mutassa meg elhagyásuk és átalakításuk feltételeit! A Bernoulli-egyenlet általános alakja: d s + grad d s rotd s gd s gradpd s t = I. II. III. IV. V. Az egyszerűsítés lehetőségeit tagonként izsgáljuk: I. 0, ha az áramlás stacionárius. II. Minden toábbi feltétel nélkül: III. A 0, ha köetkező feltételek alamelyike teljesül: A sebesség zérus rot =0, azaz az áramlás potenciálos a d s a és a rot által kifeszített síkba esik ds II, azaz áramonal mentén integrálunk (II = párhuzamos) ds II rot, azaz örényonalon integrálunk rot II, ún Beltrami áramlás. IV. Ha potenciálos az erőtér, g = gradu helyettesítéssel: U ) V. Ha =áll: p p p ha =(p): dp ( p) p Tehát amennyiben: Az áramlás stacionárius, Az áramlás potenciálos agy áramonalak mentén integrálunk, Az erőtér potenciálos, és =áll p p Bernoulli egyenlet: + + U = + + U ( U -5-
Írja fel a Bernoulli-egyenlet forgó koordináta-rendszerben érényes alakját! Elemezze az egyes tagok jelentését, és mutassa meg elhagyásuk és átalakításuk feltételeit! w w Bernoulli-egyenlet forgó ben: ds + grad ds w rotwds gds gradpds t = I. integrál zérus, mert w relatí sebességtér (forgó lapátok) w w II. átalakítható: III. integrál zérus, - ha áramonalon integrálunk, - agy ha nem áramonalon integrálunk, de az abszolút áramlás örénymentes áramlási térből ered (mert ilyenkor Coriolis erő integráljáal egyező integrállá alakíthatjuk és kiesik) r ω r ω IV. integrál: gds = + w ωds alakra hozható, ugyanis a fellépő g erőtér a centrifugális erőtér potenciálos, de fellép a Coriolis erő g cor = w ω is, mert forgó rendszerben a tömeg elmozdul. Azonban a Coriolis erőt tartalmazó tag a III. tagnál felsorolt minkét esetben szintén kiesik. p p V. integrál =áll köetkeztében=> Σ :Ha a fogó koordináta rendszerben a relatí sebesség nem zérus, akkor a centrifugális erőtér mellett a Coriolis erős is figyelembe eendő. Ha áramonalon integrálunk, akkor a Coriolis erő onalintegrálja zérus. Ha nem tudunk áramonalon integrálni, de az abszolút áramlás örénymentes áramlási térből ered, akkor a Coriolis tag a Bernoulli egyenlet III integráljáal együtt kiesik. 3 Ismertesse a statikus-, dinamikus- és össznyomás fogalmát és mérésük módját! Statikus nyomás P a zaartalan áramlásban uralkodó nyomás. Barométerrel mérhető. Össznyomásnak neezzük a tolrlóponti nyomást p + = pt = pö Pitot agy Prandtl csőel mérhető. Dinamikus nyomás az össznyomás és a statikus nyomás különbsége. pd = Prandtl csőel mérhető. 4 Mondja el a Pitot- és Prandtl-csöes sebességmérés módját, magyarázatát illusztrálja ázlatrajzzal! Pitot-cső Az össznyomás mérésére használjuk. A Pitot-cső egy, az áramlással szembefordított cső, amelynek a másik égét egy nyomásmérő műszerhez (pl. U-csőhöz) csatlakoztatjuk. Mérhetünk ele dinamikus nyomást is, ha az U-cső másik szárához csatlakoztatunk egy olyan csöet, amely az áramlási térből a -6-
statikus nyomást ezeti ki. (ld. ábra) A sebesség a köetkező képlettel határozható meg: = ( p össz p stat ) Prandtl-cső A Pitot-csőhöz hasonló eszköz, ugyanúgy az áramlással fordítjuk szembe, de megbízhatóbb eredményt szolgáltat, mert a statikus nyomást és az össznyomást közel azonos helyen méri. Két, koncentrikusan elhelyezett csőből áll. A cső orrán a belső cső szabad ége található. Ebben a pontban méri az össznyomást. A cső égétől szabányos táolságban, ahol az áramonalak közel párhuzamosak, az oldalon furatok mérik a statikus nyomást. A kettő különbsége adja a dinamikus nyomást, amiből a sebességet a fent leírt módon számíthatjuk. A Prandtl-cső iszonylag irány érzéketlen, 0 -ig elhanyagolható a hiba mértéke. 5 Ismertesse a sebességmérésen alapuló térfogatáram mérési módszert kör és téglalap keresztmetszetű csöek esetén! A téglalap keresztmetszetet felosztjuk n = k k számú, egyenlő nagyságú (az eredeti keresztmetszethez hasonló) részterületekre, és alamennyi részterület súlypontjában mérjük az adott részterületre onatkozó átlagsebességeknek tekintett sebességet. Így a térfogat áram jó közelítéssel q n i= mi A = A n i= n mi Kör keresztmetszet esetén r j sugarú körökkel 5 egyenlő nagyságú körgyűrűre bontjuk a keresztmetszetet, és a körgyűrűket területileg felező körök és két átmérő metszéspontjában esszük fel a mérési pontokat 6 Ismertesse a mérőperemes és Venturi-csöes térfogatáram mérési módszereket! Magyarázatában részletesen térjen ki az átfolyási szám (α) megálasztásának módjára! A enturi cső egy szabányos, térfogatáram mérésére szolgáló eszköz. Működésének alapja a kontinuitás, alamint az a tény, hogy gyorsabb áramlású közegben a nyomás alacsonyabb. A térfogatáram a kitérés gyökéel lesz arányos. A enturicsöet cseppfolyós folyadékok térfogatáram mérésére használják, geometriai adatai szabányban rögzítettek. Hátránya, hogy bizonyos folyadékok esetén, és bizonyos üzemidő elteltéel a szűk keresztmetszet felülete kopik, érdes lesz, ez pedig meghamisítja a mérést. Ilyenkor az eszközt cserélni kell. q Mérőperemes: = D π ( ) Hg D d 4 4 gh -7-
Ez esetben a szűkítő elem egy, a cső tengelyéel koncentrikus, kör alakú nyílás. Sokkal olcsóbb, mint a Venturicső, miel könnyebb az elkészítése. Akkor használható, ha hosszú, egyenes csőszakasz előzi meg, és röidebb köeti azt. Hátránya, hogy (egyaránt a Venturicsõ, de a mérőperem különösképp) jelentős áramlási eszteségeket okoz, ami kihatással an a mért berendezés üzemállapotára. A mérőperem által mért térfogatáram a köetkező képlet segítségéel számítható: d mp π Pmp q = εα 4 α átfolyási szám megálasztása: α = α( β, Re D ) MSZ 709 Szabány szerint kell megálasztani.(β=d/d átmérő iszony, Re Reynolds szám) 7 Hasonlítsa össze előnyös és hátrányos tulajdonságaik alapján a sebességmérésen alapuló és a mérőperemes térfogatáram mérési módszereket! Sebességmérésen alapuló mérőberendezés előnye a szűkítő elemmel szemben, hogy a sebességmérő eszköz gyakorlatilag nem áltoztatja meg a mért berendezés üzemállapotát a mérés egyszerű (elég a csőben egy furatot készíteni). Hátránya iszont hogy a mérési hiba általában meghaladja a szűkítő elemes módszer hibáját, különösen akkor ha a mérési pontban az áramlásban alamilyen zaar, rendezetlenség lép fel (Prandtl-csöes mérés esetén általában nagyobb értéket kapunk). Mérőperemes: Ez esetben a szűkítőelem egy, a cső tengelyéel koncentrikus, kör alakú nyílás. Sokkal olcsóbb, mint a Venturi-cső, miel könnyebb az elkészítése. Akkor használható, ha hosszú, egyenes csőszakasz előzi meg, és röidebb köeti azt. Hátránya, hogy (egyaránt a Venturi-cső, de a mérőperem különösképp) jelentős áramlási eszteségeket okoz, ami kihatással an a mért berendezés üzemállapotára. A mérő- perem d mpπ Pmp által mért térfogatáram a köetkező képlet segítségéel számítható: q = ε α 4 8 Írja fel az Euler-féle turbina-egyenletet, és magyarázza el a jelentését! Sorolja fel, hogy milyen feltételek mellett érényes az egyenlet! Az Euler-féle turbina- egyenlet: pöid = ( uu uu) : abszolút sebesség, u a sebesség u irányú etülete. u: kerületi sebesség. Az együttforgó rendszerbeli Bernoulli egyenletből kaptuk, úgy hogy az abban léő w relatí sebességet a cosinus tétel alkalmazásáal w = +u -u alakra írtuk és amit lehetett egyszerűsítettünk. pöid ideális összenyomás-nöekedést jelöl, mert súrlódásmentességet feltételezünk, miel a az egyenlet meghatározásához használt Bernoulli-egyenlet csak ekkor érényes. Az Euler-féle turbinaegyenlet radiális és axiális átömlésű áramlástechnikai gépekre is alkalmazható. Ha a entilátor nyugó térből szí, u = 0, így: pöid = uu -8-
Az Euler-turbina egyenlet elileg a turbina lapát előtti és mögötti nyomáskülönbséget adja meg. Miel azonban a lapát mögött és a nyomócsonk, alamint a lapát előtt és a szíócsonk közt nincs jelentős nyomáskülönbség, ehetjük úgy, hogy a fenti összefüggés a nyomó- illete szíócsonk közti nyomáskülönbséget adja meg. Az egyenlet érényes ha: súrlódásmentes a közeg a sűrűség állandó stacionárius az áramlás a Coriolis tag kiesik a diff.egyenletből (ör.ment.besz., onalm.int.) 9 Írja fel az impulzus-tétel általános alakját, és magyarázza el, hogy milyen fizikai alapelet fejez ki a tétel! Adja meg az egyenlet tagjainak a jelentését! Az impulzus tétel általános alakja: ( )dv + (da) = gdv pda t V A V A Az impulzus-tétel egy mozgásegyenlet, amely a folyadékra ható erők és a folyadék mozgásállapota között teremt kapcsolatot. Az impulzus-tétel alkalmazásánál egy, a koordináta-rendszerhez képest rögzített, zárt A felületet, az ellenőrző felületet kell felenni. (Ez eszi körül V térfogatot.) Így kiszámolhatók az integrálok, melyekből erőektorok adódnak. A tagok jelentése: - A bal oldali térfogati integrál zérus, amennyiben az áramlás stacionárius. dv t ( ) : ektor ami megadja a V térfogatban léő tömegrészek eredő mozgásmennyiség (lokális) megáltozását s alatt (csak instacionárius áramlás esetén) - ( d A) ektor megadja a felületen át egységnyi idő alatt kilépő és belépő tömeg A mozgásmennyiségének (ektoriális) különbségét, azaz a felület által határolt térfogatban léő mozgásmennyiség (konektí) egységnyi időre jutó csökkenését - A jobb oldali térfogati integrál az ellenőrző felületben léő folyadékra ható térerőből származó erőt fejezi ki. - A jobb oldali felületi integrál a felületre ható nyomásból származó erőt fejezi ki. 0 Írja fel a Zsukoszkij-tételt, és magyarázza el a fizikai jelentését! Egyedülálló szárny esetén a szárnyra ható erő merőleges a zaartalan (szárnytól táol érényes) áramlási sebességre ( ) amit megfúási sebességnek is neezünk. A szárny m hosszú szakaszára ható felhajtóerőt az R = Γ [N/m]-összefüggésből számolhatjuk ki.. Rajzolja fel az áramlásba helyezett szárnyon keletkező felhajtóerő és ellenálláserő ektorokat! Ismertesse az áramlásba helyezett test felhajtóerő- és ellenállástényezőjének definícióját! Rajzolja fel jellegre helyesen a felhajtóerő- és ellenállástényező áltozását a megfúási szög függényében! -9-
-0- (ha kijelölöd a képet és felnagyítod 00%-ra akkor már jól kiehető minden az ábrán) Egyébként az egész a tanköny 495-497. oldalán megan szépen is A F C f f = felhajtóerő-tényező A F C e e = ellenállás-tényező
. Ismertesse az Alliei-elmélet segítségéel meghatározott nyomásnöekedési összefüggést! Milyen feltételek teljesülése mellett érényes? Mondjon példát az összefüggés gyakorlati alkalmazására! p = a a nyomáshullám hatására létrejöő nyomásnöekedés Ahol - a közeg sűrűsége - a közeg sebessége - a a hullám terjedési sebessége Ezt az összefüggést neezik Alliei-féle nyomáslökésnek is. Akkor érényes ha << a, mert a teljes képlet p = (a + ) Gyakorlati alkalmazásra csak annyit találtam, hogy a ízezetékekben ezért tapasztalható sokszor erős hangjelenség. Feltételek: annál nagyobb a nyomáshullám terjedési sebessége minél kisebb a sűrűség és minél nagyobb a redukált rugalmassági modulus. Ezért terjed gyorsabban a hullám ízben agy acélban, mint leegőben és ezért csökken le jelentősen a hullám terjedés sebessége, ha a cső fala pl. könnyen táguló gumiból an, agy, ha a ízben jelentős mennyiségű leegőbuborék an. 3. Ismertesse és magyarázza a Newton-féle iszkozitási törényt, és rajzoljon fel jellegzetes reológiai görbéket! dγ dx τ yx = µ = µ Newton-féle iszkozitási törény dt dy dγ Ahol - az s-ra eső szög megáltozását adja meg dt - µ a dinamikai iszkozitás --
- d x az x- irányú sebesség megáltozása táoloda a tapadási ponttól dy (Tapadás-t) Itt: - newtoni folyadékok - pszeudoplasztikus folyadék n y τ = k n < t y - 3 dilatáló közeg τ = k n > t γ - 4 plasztikus folyadékok τ = τ h + µ t τ h határ csúsztatófeszültség n 4. Mit értünk egy áramlás lamináris és turbulens jellegén? Ismertesse a turbulens határréteg leírásánál alkalmazott keeredési úthossz modellt! Lamináris (réteges) áramlás: Amikor az egymás mellett áramló folyadékrétegek anyaga csak a molekuláris diffúzió miatt keeredik egymással. Tetszőleges folyadékelem sebességektorának nagysága és iránya állandó, tehát egyirányú úthossz jellemzi, mindaddig amíg nem bomlik fel a folyadékelem nincsenek leálások Turbulens áramlás: Turbulens áramlásban a sebességektor az átlagérték körül nagyság és irány szerint életlenszerűen ingadozik, örénylő mozgást égez. Az örények a főáramlás sebességére merőlegesen mozdulnak el, tehát fellép a csőfalra merőleges erő is ami segíti a keeredést. Keeredési úthossz (L): egy kis folyadékcsomag (örény), amely a fő áramlási irányra merőlegesen ún. keeredési úthosszt képes megtenni ingadozási sebességgel. Határréteg (δ): azt a felszínre merőleges táolságot, ahol a sebesség eléri a zaartalan áramlás sebességének egy meghatározott részét (pl. 99%-át), a határréteg astagságának neezzük(δ). ' y Látszólagos csúsztatófeszültség: τ lyx = ' x ' y --
5. Írja fel a Naier-Stokes egyenletet! Ismertesse az egyenlet fizikai tartalmát és felírásának feltételeit! Magyarázza el az egyenlet tagjainak jelentését! d dt = + grad rot = g grad p + { { { ν t 443 443 3 4 443 6 Feltétettük: a (µ) iszkozitás és () sűrűség állandóságát. A súrlódásmentességet iszont nem! Az egyenlet jobb oldali utolsó tagjáal különbözik csak a súrlódásmentes közegre leezetett Euler egyenlettől. Felbonta = grad di rot rot és miután a folytonosság tétel értelmében ha =áll. akkor di = 0 : = g gradp ν rot rot ha =0 t 5 : lokális gyorsulás, 0 ha stacionárius az áramlás +3 : konektí gyorsulás ( D ) ; 3-as = 0 - ha potenciálos az áramlás - ha áramonalon integrálunk - ha örényonalon integrálunk - ha rot Beltrami áramlás 4 : graitációs térerősség, 0 ha potenciálos az erőtér 5 : nyomásból származó erő 6 : súrlódási erő, 0 ha rot = 0 ha potenciálos az áramlás. az egyenlet Eulerbe megy át 6. Ismertesse a határréteg fogalmát és a határréteg leálás kialakulásának folyamatát! Milyen módszerekkel befolyásolható a határréteg leálása? Határréteg (δ): Azt a felszínre merőleges táolságot, ahol a sebesség eléri a zaartalan áramlás sebességének egy meghatározott részét (pl. 99%-át), a határréteg astagságának neezzük (δ). A határrétegen kíül a súrlódás elhanyagolható, azon belül számotteő! A leálásnak feltétele an: a fal jelenléte és az áramlás irányába nöekő nyomás. A határrétegen belüli részecskéket nem csak ez a nyomás fékezi, hanem a falon keletkező csúsztatófeszültség is. Ezért a fal közelében áramló részecskék az áramlás irányában rohamosan lassulnak, aminek köetkeztében a sebességmegoszlások teltsége az áramlás irányában rohamosan csökken, a határréteg gyorsan astagszik. Ha a külső áramlás nem képes impulzuscsere réén mozgásban tartani a határrétegben áramló részecskéket akkor azok megállnak. Ekkor a nyomáscsökkenés irányában isszaáramlás indul meg. A fal mellett isszaáramló folyadékrészek a határrétegben áramló közeget elálasztják a faltól határréteg leálik, és az áramlási tér belseje felé áramlik. -3-
L Re = Re: Reynolds-szám ν : sebesség L: jellemző méret ν : kinematikai iszkozitás A határréteg leálása függ a hossztól, a közeg sebességétől és a fal érdességétől. Megelőzhető, ha áramonalas testet készítünk és lekerekítésekkel is. 7 Írja fel a súrlódásos taggal bőített Bernoulli-egyenletet, és határozza meg fizikai jelentését! p + + U = p + + U + p' az utolsó, a eszteséges tag Fizikai jelentése, hogy a súrlódás köetkeztében az áramlás irányába lassul a közeg. A súrlódási eszteségek gyakorlati szempontból azért jelentősek mert a közegek szállításához szükséges sziattyúk, agy entillátorok teljesítménye a térfogatáram és az össznyomásnöekedés szorzatáal arányos, az utóbbi túlnyomó részét pedig a súrlódási eszteségek teszik ki. 8. Adja meg az egyenes csőszakasz, a diffúzor, a Borda-Carnot átmenet és egy idomdarab (pl.: tolózár, könyök) nyomáseszteségét meghatározó összefüggést! ζ sz L Egyenes csőszakasz nyomásesztesége: p' = λ(re) d Diffúzor nyomáseszteséges: p' = ( η d ) ( ) Borda-Carnot átmenet nyom. eszt.: p' ( ) BC = Szelepek, tolózárak, csappantyúk ny..: p' sz = ζsz itt A = agy A 9. Határozza meg a csősúrlódási tényezőt, és jellegre helyesen rajzolja fel, hogy miként függ a Re számtól és a csőfal érdességétől! Magyarázza el a hidraulikailag sima és érdes cső fogalmát! -4-
λ lam = 64 Re λ turb = 0,36 4 Re Hidraulikailag sima cső: amelynek az érdessége csökkenéséel nem áltozik a csősúrlódási tényező értéke, miel csak a Re-tól függ. Hidraulikailag érdes cső: amelynél csökkenő érdesség mellett a csősúrlódási tényező értéke csökken. 30. Mondja el, hogy hogyan lehet méréssel meghatározni egy idomdarab (pl.: egy könyök) hidraulikai eszteségtényezőjét! A eszteséges Bernoulli-egyenlet segítségéel, különböző térfogatáramoknál meg kell mérni a nyomásesést és a Bernoulli-egyenletből kiszámolható a eszteségtényező. A eszteségtényező a dinamikus nyomással dimenziótlanított könyök előtti és utáni össznyomás különbség: ahol a sűrűség, a keresztmetszetben az átlagsebesség. Aki mélyebben szeretné megérteni, annak itt egy hasznos link: http://www.ara.bme.hu/oktatas/labor/m7.htm -5-
3 Mondja el, hogyan lehet méréssel meghatározni egy diffúzor hatásfokát! Diffízor: Áramlás irányába nöekő keresztmetszetű csőidom, ami a kontinuitás tételéből köetkezően lassítja az áramlási sebességet, a nyomásnöekedéssel szemben áramlik a közeg. Bernoullit felíra: (p -p ) id = / *( - ) A alóságban azonban a súrlódás miatt a falnál nagyobb lassulás, esetleg leálás történhet ami köetkeztében a folyadék közepén a lassulás mértéke kisebb. (p -p ) alóst tehát méréssel az ideálist számolással határozhatjuk meg. η diff = ( p ) p alós p p ( ) ideális 3. Írja fel az energiaegyenletet, és adja meg, hogy milyen feltételek mellett érényes! Ismertesse, hogy milyen fizikai elet fejez ki az egyenlet! + cpt = állandó Az energiaegyenlet súrlódásmentes, hőszigetelt, stacionárius áramlás esetén igaz és azt fejezi ki, hogy a gáz mozgási energiájának és entalpiájának összege állandó! Azt is kimondja, hogy hőátitel és súrlódás nélkül a gáz csak entalpiája csökkentése árán nöelheti sebességét és a közeg lassulása esetén a hőmérséklete nő. 33. Mit jelent két áramlás hasonlósága, és adja meg összenyomhatatlan közeg esetén két áramlás hasonlóságának feltételeit! Hasonlóság feltételei: Ha két áramlás azonos differenciálegyenletekkel leírható és ugyanazok a kezdeti és peremfeltételek. Azonosak a diff. egyenletek ha bizonyos állandók és együtthatók egyeznek. Nagy kiitel és modell esetén (a Naier-Stokes-ból) a dimenziótlan diffegyenlet: g x * l0 g xm * l0m m * l = és = Ezekből: Fr= Re= 0 0 0 * l0 0m * l0m g *l ν Hasonlóságuk elengedhetetlen a két áramlást leíró dimenziótlanított differenciálegyenletrendszer megegyezéséhez. A Froude szám elhagyható ha az áramló közeg kitölti az áramlási teret, de hajómodelleknél pont ez a szám a fontosabb. f *l Strouhal-szám: Hasonlósága elengedhetetlen ahhoz, hogy a kezdeti- és peremfeltételek megegyezzenek a kisés nagyminta esetén. Ebből a feltételből már meghatározható a modell lengetésének periódusideje. p p0 Eu= * 0 Hasonlósága esetén a nyomás, mint peremfeltétel biztosított. *l0 * Webber-szám= 0 σ Hasonlósága különösen fontos azon modellkísérleteknél, amelyekben a felületi feszültségnek fontos szerepe an. (pl. porlasztás) Kezdeti és peremfeltételek: a modell és a nagy kiitel geometriai hasonlóságáal az áramlás peremén hasonló iszonyok biztosíthatók. -6-
34. Mit jelent két áramlás hasonlósága, és adja meg összenyomható közeg esetén két áramlás hasonlóságának feltételeit! Ugyanaz mint az előbb+ Azoknál az áramlásoknál, ahol a gáz > 0%, összenyomható az Euler szám nem köetkezmény hanem feltétel, és a K és a Mach szám azonosságát is biztosítani kell. 35. Határozza meg a sűrített leegő tartályból történő kiáramlás sebességét egyszerű kiömlőnyílás esetén különböző nyomásiszonyoknál! P a, ha 0,95 0 < akkor ki = *( Pt P e ) P t P b, ha 0,53 0 < 0, 95 P t P c, ha 0 0, 53 P t akkor * = akkor ki = * * T κ * R * Tt κ P0 * Pt * κ R ahol T * =0,833*T t 36. Miért alkalmazunk a kritikus nyomásiszony alatti tartományban Laal-fúókát? Mekkora ilyen esetben az áramlási sebesség a Laal-fúóka legszűkebb és kilépő keresztmetszetében? Mert így toább lehet gyorsítani a gázt, az ellennyomásnak megfelelő és az b, összefüggéssel számolható sebességre. P Akkor alkalmazzuk ha 0 0, 53 Ilyenkor a legszűkebb keresztmetszetben: * =a * = lásd egyel fentebb a c, pontban P t Kilépő km.-ben: ki = lásd egyel fentebb a b, pontban 37. Magyarázza el a hangsebesség fogalmát! Írja fel a hangsebesség képletét differenciális alakban tetszőleges közegre, illete izentropikus áramlás esetén légnemű közegre! Elemezze az összefüggéseket! Hangsebesség: Adott egy cső a bal oldali égén dugattyú, első dt időtartama alatt az ahhoz közelebb léő leegőrészecskék d sebességű mozgásba jönnek és a leegő nyomása, sűrűsége és hőmérséklete elemi mértékben megnő. Ez a áltozás akkor megy égbe egy adott keresztmetszetben, ha a jobbra a[m/s] terjedési sebességgel mozgó hullám az adott keresztmetszetet eléri. A hang eleminek tekinthető nyomás hullámok sorozata, ezért a tárgyalt hullám terjedési sebessége a hang terjedési sebességéel egyezik meg. Másként fogalmaza a hang a sűrűségáltozás köetkeztében terjedő kis nyomásingadozás eredménye. a= dp differenciálegyenlet; izentropikus áramlás esetén, gázokra: a= κ * R * T d Ebből látszik, hogy a hangsebesség egy gázban csak a hőmérséklettől függ. A rendezetlenül mozgó részecskék toábbítják a hullámot. A égzett munka megnöeli a részecskék rendezett és rendezetlen sebességét (hullámot hoz létre) amit egymásnak toábbadnak, egy csak T-től függő sebességgel, a hangsebességgel. κ κ -7-
38. Ismertesse a felületi feszültség fogalmát, és mondjon példát olyan jelenségekre, ahol a felületi feszültség szerepet játszik! A folyadékmolekulák közt a táolság függényében onzó- agy taszítóerő lép fel. A légnemű közegtől eltérően, miel a molekulák közti táolság kisebb a cseppfolyósnál így onzóerő itt szerepet játszik. A belső molekulákra minden irányból hatnak ezek az erők, de a határoló felületen léők esetén a szomszédos molekulák hatása kiegyensúlyozatlan. Az egyik oldalról onzás, de a másik oldalról a leegő nem onzza úgy. A kiegyenlítetlen erők eredményeként felületi feszültség keletkezik, ami össze akarja húzni a felszínt, ami így rugalmas hártya ként iselkedik. Pl.: ízen rohangászó roarok, agy buborékoknál túlnyomás. F= *L*σ ahol L a keret szélessége, F a húzóerő, σ az egységnyi L-re jutó felületi feszültségből származó erő [N/m] 39. Ismertesse a kaitáció fogalmát, és mondjon rá példát a műszaki életből! Hogyan lehet a kaitációt megszüntetni? Áramló folyadékban a sebesség megnő, lecsökken a helyi nyomás, ami ha a telített gőznyomásig csökken, gőzbuborékok keletkeznek, ami nagyobb nyomású helyre kerül és összeroppan kaitációs erózió. Csökkenteni lehet az áramló közegek nyomásának nöeléséel agy sebesség csökkentés agy a berendezés süllyesztéséel. 40. Ismertesse a Thomson illete a Helmholtz I. és II. örénytételeket! Thomson-tétel: d * ds = 0 azt mondja ki, hogy a cirkuláció időben nem áltozik dt Potenciálos erőtérbe igaz ahol a sűrűség állandó agy csak a nyomás függénye. Helmholtz-I: * ds = rotda 0 A folyékony örényonalak ugyanazon folyadékrészekből állnak. = Helmholtz-II: rotda = áll Egy örénycső nem fejeződhet be áramló közegben: agy zárt gyűrűt alkot A agy az áramlási tér határáig ér. -8-