Matematikai módszerek a zikában

Matematikai módszerek a zikában Gyémánt Iván - Varga Zsuzsa 2008.

Tartalomjegyzék 1. Vektoralgebrai bevezetés 5 1.1. Vektorok 3 dimenzióban, m½uveletek vektorokkal..... 5 1.1.1. Összeadás:...................... 5 1.1.2. Kivonás:....................... 7 1.1.3. Vektor szorzása számmal.............. 7 1.1.4. Nulla vektor (nullvektor).............. 7 1.2. Vektorok komponensei................... 7 1.2.1. M½uveletek komponensekkel............. 8 1.3. Skalárszorzat és tulajdonságai............... 9 1.4. Vektori szorzat....................... 11 1.4.1. A vektori szorzat derékszög½u komponensekben.. 11 1.5. Vektorok többszörös szorzatai............... 12 1.6. Vektorok forgatása..................... 14 2. Komplex számok 16 2.1. M½uveletek komplex számokkal............... 16 2.2. A komplex számsík..................... 18 2.3. A komplex számtest (C).................. 19 3. Euklideszi terek 20 3.1. Valós euklideszi terek.................... 20 3.1.1. Bels½o szorzat (skalárszorzat), norma, szög, távolság 20 3.1.2. Gram-Schmidt ortogonalizálás........... 22 3.1.3. Lineáris transzformáció mátrixa.......... 23 3.1.4. Szimmetrikus transzformációk sajátbázisa, diagonalizálás....................... 23 3.1.5. Példák sajátértékproblémára és diagonizálásra.. 24 3.1.6. Szimultán diagonalizálás.............. 25 3.1.7. Feladatok...................... 25 3.2. Komplex euklideszi terek.................. 26 3.2.1. A bels½o szorzat tulajdonságai........... 26 3.2.2. Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz egyenl½otlenség:.. 27 3.2.3. Lineáris transzformáció adjungáltja........ 27 3.2.4. Sajátértékek, sajátvektorok............ 28 1

3.2.5. Felcserélhet½o lineáris transzformációk közös sajátvektora......................... 29 3.2.6. Normális lineáris transzformáció sajátbázisa... 30 3.2.7. Önadjungált és unitér transzformációk...... 30 4. Változó vektorok, vektorok deriváltjai 31 4.1. Id½oderivált.......................... 31 4.2. Skalármez½ok jellemzése. A gradiens-vektor........ 32 4.2.1. Gradiens:...................... 33 4.2.2. A gradiens vektor geometriai jelentése...... 33 4.2.3. Az iránymenti derivált:............... 34 4.3. Vektormez½o divergenciája.................. 35 4.4. Vektormez½o rotációja.................... 37 4.5. A r aritmetikája, többszörös deriváltak.......... 40 4.6. Vektormez½o iránymenti deriváltja, a deriválttenzor.... 42 5. Görbék és felületek 42 5.1. Görbék megadási módjai, az érint½ovektor......... 42 5.1.1. Az érint½ovektor:................... 43 5.2. Az ívhossz:......................... 43 5.2.1. A görbe ívhossz szerinti paraméterezése...... 44 5.3. Kísér½o háromél vagy triéder, görbület, torzió....... 44 5.3.1. Az érint½o egységvektor t(s)............ 44 5.3.2. A f½onormális egységvektor n(s).......... 44 5.3.3. A binormális egységvektor............. 46 5.4. Frenet képletek:....................... 48 5.5. Felületek megadási módjai................. 48 5.6. Felületi görbék, érint½osík, felületi normális........ 49 5.7. Felületek felszíne...................... 50 5.7.1. A felületvektor:................... 51 6. Vektorok integrálása 52 6.1. Görbe menti vagy vonalintegrál.............. 52 6.1.1. Skalárfüggvény vonalintegrálja........... 52 6.1.2. Vektormez½o vonalintegrálja............. 53 6.2. Felületi integrálok...................... 56 6.3. Térfogati integrálok..................... 57 2

6.4. A Stokes-tétel........................ 57 6.4.1. A Stokes tétel szemléletes bizonyítása....... 58 6.4.2. Példák:........................ 59 6.5. A Gauss-tétel........................ 61 6.5.1. A Gauss-tétel szemléletes bizonyítása....... 63 6.6. Green tételei, a Gauss-tétel további megfogalmazásai.. 64 6.7. A grad, div, rot, Laplace-operátor (koordinátáktól független) integrál el½oállítása...................... 66 7. Görbevonalú koordináták 67 7.1. Henger- és gömbi polárkoordinátarendszer........ 69 7.1.1. Hengerkoordinátarendszer............. 69 7.1.2. Gömbi polárkoordináta-rendszer.......... 70 7.2. grad, div, rot, görbevonalú koordinátákban........ 71 7.2.1. Gradiens....................... 71 7.2.2. Divergencia..................... 72 7.2.3. Rotáció....................... 73 7.3. A Laplace-operátor görbevonalú koordinátákban..... 75 8. A potenciálelmélet alapjai 75 8.1. Skalárpotenciál....................... 75 8.2. A vektorpotenciál...................... 77 8.3. Gauss-törvény, Poisson- és Laplace-egyenlet....... 79 8.3.1. Poisson- és Laplace-egyenlet............ 81 8.4. Peremérték problémák: Dirichlet- és Neumann-probléma 81 8.5. Helmholtz tétele....................... 82 9. A tenzoralgebra elemei 84 9.1. Másodrend½u tenzorok.................... 84 9.2. Speciális másodrend½u tenzorok, m½uveletek........ 86 9.3. Másodrend½u tenzor komponensei............. 87 9.3.1. Tenzorm½uveletek komponensekkel:......... 88 9.3.2. Másodrend½u tenzor bázisa............. 88 9.4. Ferdeszög½u koordináták................... 89 9.5. Reciprokbázis........................ 89 9.6. Vektorok kovariáns és kontravariáns komponensei.... 90 9.7. Tenzorok komponensei................... 92 3

9.8. A metrikus tenzor...................... 92 9.9. Bázistranszformációk.................... 93 9.10. n-ed rend½u tenzorok.................... 94 9.11. M½uveletek n-ed rend½u tenzorokkal............. 96 9.12. Ortogonális transzformációk osztályozása......... 97 9.13. Pszeudotenzorok...................... 97 9.13.1. Az " tenzor..................... 98 9.14. Duális tenzorok....................... 98 9.15. Másodrend½u tenzorok sajátértékei és sajátvektorai.... 99 9.15.1. Tenzorfelület.................... 100 9.15.2. Sajátértékek és sajátvekrorok........... 101 9.15.3. A f½otengelyrendszer tulajdonságai......... 102 10.A tenzoranalízis elemei 103 10.1. A gradiens.......................... 103 10.2. Kovariáns derivált, Christo el-szimbólumok....... 104 10.2.1. Kovariáns derivált vagy deriválttenzor...... 105 10.2.2. A Christo el-szimbólum, mint a metrikus tenzor deriváltjai...................... 106 10.3. A divergencia........................ 107 10.4. A Laplace-operátor..................... 108 10.5. A rotáció:.......................... 108 A. A Dirac delta függvény 108 4

1. Vektoralgebrai bevezetés 1.1. Vektorok 3 dimenzióban, m½uveletek vektorokkal A zikában gyakran találkozunk olyan mennyiségekkel, amelyeket csak egy adat (plusz a mértékegység) jellemez: tömeg, id½o, h½omérséklet. Ezeket skalármennyiségeknek hívják. Ezzel ellentétben a zikai mennyiségek egy másik csoportjának leírására nem elég csak a nagysága (plusz mértékegység), hanem az irányát is meg kell adni. Ilyenek pl: elmozdulás, sebesség, gyorsulás, er½o, elektromos és mágneses térer½osség, lendület, perdület, stb.. Ezeket vektormennyiségnek hívják. A 3 dimenziós térben vektornak nevezünk egy nagysággal és iránnyal jellemzett mennyiséget. Jele félkövér bet½u a; F; p. A skalármennyiségeket normál bet½uvel jelöljük: t; x; a; A vektort egy irányított szakasznak képzeljük el, a szakasz hossza arányos a nagyságával, irányát a nyíl jelzi. 1.1.1. Összeadás: c = a + b Vektorok összegét a háromszög-szabály de niálja: b a c Az ábrát paralelogrammává egészítve ki, látszik, hogy az összeadás kommutatív: c = a + b = b + a Három vektor összege d = (a + b) + c Az ábrából látszik, hogy el½obb összeadhatjuk a és b-t: e = a + b, majd ezt a e vektort hozzáadjuk c-hez: 5

b a c a b b a e f c d d = e + c Vagy el½obb összeadjuk b és c-t: f = b + c, és ezt adjuk hozzá az a vektorhoz: d = a + f Összefoglalva: d = (a + b) + c = a + (b + c) Vektorok összeadása asszociatív. Megjegyzés: A zikai mennyiségek különböz½o vektorterekbe tartozó vektorokkal írhatók le. Ezzel itt nem foglalkozunk, de világos, hogy pl. az er½o és elmozdulás vektorát nem lehet összeadni, csak az azonosfajta vektorokat. A zikában különböz½o vektorokat különböztetünk meg, amely összeadási szabálya nem azonos. Vannak szabad vektorok (a térben önmagukkal párhuzamosan tetsz½oleges tologathatók), eltolható vektorok (a hatásvonaluk mentén eltolhatók, mint az er½o vektora), és kötött vektorok (mint a merev test egy pontjának sebessége). 6

1.1.2. Kivonás: a b = a + ( b) azaz de niálunk egy b vektort, amelynek nagysága változatlan, iránya ellentétes. Az el½oz½o ábra szerint: a = e b 1.1.3. Vektor szorzása számmal Az a vektor számszorosa az v vektor, melynek iránya változatlan marad, hossza a szorzó arányában változik. 1.1.4. Nulla vektor (nullvektor) 0 + a = a. a a = 0 0 a = 0 1.2. Vektorok komponensei A de nícióból következik, hogy a vektor, mint geometriai objektum független bármely koordinátarendszert½ol, Vegyünk fel egy derékszög½u koordinátarendszert és rajzoljuk be az a vektort az origóból indulva. A vektor végpontja az (a x ; a y ; a z ) pontba mutat. Az (a x ; a y ; a z ) számhármast tekintjük az a vektor derékszög½u komponenseinek. z a x a z γ α a β (a x, a y, a z ) a y y x 7

Fontos vektor a helyvektor, amely egy test elmozdulását adja meg az origótól az (x; y; z) pontig. A helyvektor jele r. Ha az r vektor hosszát r rel jelöljük, leolvasható az ábráról, hogy x = r cos, y = r cos z = r cos A cos ; cos ; cos mennyiségek neve iránykoszinuszok, pl. a vektor és a pozitív x tengely közti szög, stb. Választhatunk a vektor kétféle reprezentációja közt: a geometriai (irányított szakasz) szemléletes, az algebrai (a számhármas) alkalmas a konkrét számolásra és a vektorfogalom általánosítására. A két reprezentáció izomorf. A zikában a vektormennyiségek rendszerint a hely (és id½o) függvényei. pl. F(r) er½ovektor megfelel 3 db 3 változós függyvénynek: F x (x; y; z); F y (x; y; z); F z (x; y; z). A vektormez½ok deriválása és integrálása ennek a jegyzetnek f½o témája. Vezessük be a koordinátatengelyek egységvektorait: i = e x! (1; 0; 0) j = e y! (0; 1; 0) k = e z! (0; 0; 1) A vektorösszeadás szabálya szerint ekkor az a vektor így írható: a =a x e x + a y e y + a z e z A vektor hossza Pithagorasz tétele alapján: a = (a 2 x + a 2 y + a 2 z) 1=2 De niálhatjuk a nulla-vektort: hossza nulla, iránya tetsz½oleges. a = 0 () a x = a y = a z = 0 Elnevezések: Az e x ; e y ; e z vektorok kifeszítik a 3-dimenziós teret: bármely vektor felírható, mint az e x ; e y ; e z vektorok lineáris kombinációja. Az e x ; e y ; e z vektorok lineárisan függetlenek, azaz a 3-dimenziós tér egy bázisát alkotják. Megjegyezzük, hogy ily módon bármely 3 lineárisan független vektor bázis lehet, azaz kifejthet½o benne a tér bármely vektora. Ezekkel az ún. általános koordinátarendszerekkel a 9. fejezetben foglalkozunk. 1.2.1. M½uveletek komponensekkel összeadás, kivonás: a b () (a x b x ; a y b y ; a z b z ) szorzás számmal: a () (a x ; a y ; a z ) 8

vektorok egyenl½osége: a = b () a x = b x ; a y = b y ; a z = b z További m½uveletek lesznek a skalár vagy bels½o szorzás, a vektori szorzás. Vektorral osztás m½uveletét nem lehet értelmezni. 1.3. Skalárszorzat és tulajdonságai A skalárszorzat de níciója: a b =a b cos = a b b = a b a ahol a és b a vektorok hossza, a köztük lév½o szög, a b az a vetülete b egyenesére, stb. Egyel½ore csak a vektor hosszának kiszámítási módját ismerjük. Ezért a defíníciót olyanra alakítjuk, hogy cos ne szerepeljen benne. θ b a b a Tegyük fel, hogy egyik vektor sem nulla, akkor az ábrán szerepl½o háromszögre felírhatunk egy koszinusz-tételt: jb aj 2 = jaj 2 + jbj 2 2 jaj jbj cos. ebb½ol: a b = jaj jbj cos = 1 2 jaj2 + jbj 2 jb aj 2 A skalárszorzat tulajdonságai: 1. a b = b a (szimmetrikus) 2. ha a b = 0, akkor a b =0: 3. ha a = b, akkor a a = jaj 2 = a 2 > 0, ha a 6= 0 (pozitív) 4. ha a b =0, akkor a és b egymásra mer½oleges. Bizonyítás: 0 = a b =a b cos : Ez a kifejezés akkor nulla, ha a) vagy a b = 0, de ekkor a vagy b nullavektor, aminek iránya tetsz½oleges, vagy b) cos = 0, ekkor = =2. 9

5. A skalárszorzat értéke független a koordinátarendszert½ol. Biz.: de níció szerint csak a vektorok hossza szerepl benne, ami független a vonatkoztatási rendszert½ol. 6. A skalárszorzat komponensekben: legyen a~(a x ; a y ; a z ) és b~(b x ; b y ; b z ) a b = 1 2 jaj2 + jbj 2 jb aj 2 = 1 2 [a2 x + a 2 y + a 2 z + b 2 x + b 2 y + b 2 z (b x a x ) 2 (b y a y ) 2 (b z a z ) 2 ], azaz a b =a x b x + a y b y + a z b z 7. A skalárszorzat disztributív: a (b + c) = a b + a c, bármely a; b; c vektorra. b a b c a+b a (a+b) a c a Bizonyítás: az ábrából leolvasható, vagy komponensekkel kiszámíthatjuk. 8. Asszociatív tulajdonság: (a b) =(ab) =(a b) Az 1., a 3., a 7. és a 8. tulajdonság alapján használatos az a beszédmód, hogy a skalárszorzat pozitív, szimmetrikus, homogén, bilineáris függvény. Példák: 1. A munka a zikában az er½o és az elmozdulás skalárszorzata. 2. A bázisvektorok skalárszorzatai: e 1 e 1 = e 2 e 2 = e 3 e 3 = 1, e 1 e 2 = e 2 e 3 = e 3 e 1 = 0 Ez egy ortonormált bázis. A kapott eredményt összefoglalva: 1; ha i = j e i e j =, i; j = 1; 2; 3 0; ha i 6= j A Kronecker-delta Sokszor használjuk a következ½o, Kronecker-delta néven ismert szimbólumot: 1; ha i = j ij =, i; j = 1; 2; 3 0; ha i 6= j 10

Így a bázis ortonormált voltát röviden így írhatjuk: e i e j = ij ; (i; j = 1; 2; 3): 1.4. Vektori szorzat Az a és b vektorok c = a b vektori szorzata az a c vektor, melynek nagysága c = ja bj = ab sin, a kifeszített paralelogramma területe, iránya mer½oleges az a és b vektorok síkjára, és a, b; c ebben a sorrendben jobbrendszert alkot. c=a b b θ a Példák: A zikában vektori szorzat pl. a forgatónyomaték, a perdület, a mozgó töltésre ható er½o. Tulajdonságok: 1. A de nícióból következik, hogy a b = b a (antiszimmetrikus) 2. a a = 0 3. Ha a b = 0, akkor a két vektor párhuzamos. 4. Disztributív: a (b + c) = a b + a c Bizonyítás: ide kell egy bizonyítás!!!! 5. Asszociatív: a (b) =a b =(a b) 1.4.1. A vektori szorzat derékszög½u komponensekben Határozzuk meg el½obb a bázisvektorok "szorzótábláját". Mivel e 1 ; e 2 ; e 3 ebben a sorrendben jobbrendszert alkot és páronként mer½oleges egységvektorok, kapjuk: e 1 e 1 = e 2 e 2 = e 3 e 3 = 0 e 1 e 2 = e 3 ; e 2 e 3 = e 1 ; e 3 e 1 = e 2 11

Az eredmény egy sorban is összefoglalható, ha használjuk az ún. Lévi- Civita-szimbólumot, 8 melynek de níciója: < 1, ha i; j; k az 1; 2; 3 számok ciklikus permutációja " ijk = 1; ha i; j; k az 1; 2; 3 számok páratlan permutációja : 0; egyébként P e i e j = 3 " ijk e k k=1 A komponensek kiszámításához felhasználjuk a szorzótáblát és a vektori szorzás disztributív tulajdonságát. a b =(a x e x +a y e y +a z e z )(b x e x +b y e y +b z e z ) = c x e x +c y e y +c z e z ) = c Az eredmény nem lesz egyszer½u: c x = a y b z a z b y ; c y = a z b x a x b z ; c z = a x b y a y b x vagy röviden: c i = a j b k a k b j ; ahol i; j; k az 1; 2; 3 ciklikus permutációja. Fölírhatjuk a Lévi-Civita szimbólummal is: c i = 3 P j;k=1 " ijk a j b k A vektori szorzat memorizálása legkényelmesebb, ha determináns alakban írjuk föl: e 1 e 2 e 3 c = a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 1.5. Vektorok többszörös szorzatai Vegyes szorzat: c (a b), az a; b; c vektorok által kifeszített paralelepipedon (el½ojeles) térfogata. Az ábra szerint az alaplap (pontozott) területe T = ja bj ; a magasság m = jcj cos : Az ábrából leolvasható a vektori szorzat fontos tulajdonsága: c (a b) = b (c a) = a (b c) A vegyes szorzat a ciklikus permutációra invariáns. Ugyanez a tulajdonság leolvasható a vegyes szorzat kifejtéséb½ol is. A skalár és vektori szorzat komponens el½oállítását fölhasználva: 12

m c b a a 1 a 2 a 3 a (b c) = b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 A determináns sorait ciklikusan felcserélve, annak értéke nem változik. Példa. Ha a (b c) =0, akkor a 3 vektor egy síkban van. Tehát a vegyes szorzat segítségével eldönthet½o, hogy 3 vektor lineárisan független-e, és ha igen, akkor jobb- vagy balsodrású-e. Kett½os vektori szorzat Igazoljuk, a következ½o azonosságot (a kett½os vektori szorzat kifejtési tétele) komponens használata nélkül: a (b c) = b (a c) c (a b) Bizonyítás. A b c vektori szorzat mer½oleges a b és c vektorok síkjára. Ezért az a (b c) vektor, ami mer½oleges a b c vektorra, a b és c vektorok síkjában lesz. Így a (b c) =xb+yc; ahol x és y ismeretlen skalárok. Szorozzuk az egyenetet skalárisan a vektorral. 0 = x(a b)+y(a c) ; mivel a (b c) mer½oleges az a-ra. Ennek megoldása lehet x = z (a c); és y = z (a b); keressük z értékét. Visszaírjuk az eredeti egyenletbe a (b c) =z(a c) b z (a b) c Megmutatjuk, hogy z = 1: Mivel az egyenlet lineáris, az a; b; c vektorok helyett tekinthetünk egységvektorokat. Vezessük be a következ½o jelöléseket: 13

a b = cos; a c = cos; b c = cos ja (b c)j 2 = jaj 2 jb cj 2 sin 2 = jaj 2 jb cj 2 (1 cos 2 ) = jaj 2 jb cj 2 jaj 2 jb cj 2 cos 2 = ja (b c)j 2 = jb cj 2 (a b c) 2 = 1 cos 2 (a b c) 2 Másrészt a jobb oldal: z 2 [(a c) 2 +(a b) 2 2(a c) (a b) (b c)] =z 2 [cos 2 +cos 2 2cos cos cos] Kapjuk, hogy (a b c) 2 = 1 cos 2 z 2 [cos 2 + cos 2 2cos cos cos] Mivel a baloldalon ciklikusan cserélni lehet a vektorokat, következik, hogy a jobb oldalon is ; ; cserél½odik. Ez csak úgy lehet, ha z 2 = 1, azaz z = 1: Nézzünk egy speciális esetet: e 1 (e 1 e 2 ) = e 1 e 3 = e 2 ; másrészt z(e 1 e 2 ) e 1 z (e 1 e 1 ) e 2 = ze 2 =) z = 1 A zikában gyakran használják még a következ½o azonosságot is: (a b) (c d) = (a c)(b d) (a d)(b c) 1.6. Vektorok forgatása Egy természeti törvény nem függhet attól, hogy a leírására milyen koordinátarendszert használunk. A vektorokkal (tenzorokkal) való leírás azért jó, mert ezek a mennyiségek függetlenek a vonatkoztatási rendszert½ol. De ha a komponenseket írjuk föl, akkor már használtunk koordinátarendszert. Kérdés, mi a kapcsolat az egyik és másik koordinátarensdszerben felírt vektorkomponensek között? Olyan vektortranszfomációt keresünk, ami a vektorok hosszát, és a vektorok közti szöget változatlanul hagyja. Ezeknek neve ortogonális transzformáció. Két ilyen transzformáció van, a forgatás, és a tükrözés. Nem a vektort forgatjuk (aktív forgatás), hanem a koordinátarendszert (passzív forgatás). Nézzünk egy 2 dimenziós példát, egy z-tengely körüli ' szög½u (passzív) forgatást: Leolvasható az ábrából, egybevágó háromszögeket használva, hogy az a vektor komponeseire fennáll: a 0 x = a x cos ' + a y sin ' 14

y y a x ϕ x a 0 y = a y sin ' + a y cos ' Vezessük be a következ½o jelöléseket: 11 = cos '; 12 = sin '; 21 = sin '; 22 = cos ': A transzformáció: a 0 1 = 11 a 1 + 12 a 2 a 0 2 = 21 a 1 + 22 a 2 röviden: a 0 i = ij a j Az ij mennyiségek neve iránykoszinuszok, az x 0 i új tengely és az x j régi tengely közti szög koszinusza: ij = cos(x 0 i; x j ) például 12 = cos(x 0 ; y) = cos( 2 21 = cos(y 0 ; x) = cos( 2 + ') = ') = sin ' sin ' Megjegyzés: a forgatást eredetileg az egy darab ' szöggel írtuk le. Helyette 4 db ij iránykoszinuszunk van. Mert a bevezetett ij -k nem függetlenek. Háromdimenzióra kiterjesztve a koordinátarendszer forgatását, azt mondjuk, hogy vektornak nevezzük azt a 3 komponens½u mennyiséget, amelynek a komponensei a forgatásra vi 0 = ij v j módon transzformálódnak, ahol ij a forgatás mátrixa (iránykoszinuszok). Inverz forgatás: 15

Nem nehéz belátni, hogy fordított irányban a vektorkomponensek transzformációjára a v i = ji vj 0 érvényes. Az ij mátrix ún. ortogonális mátrix, azaz amelyre fennállnak az ún. ortogonalitási relációk: ij ik = jk, vagy ji ki = jk, mivel a koordinátarendszert oda, majd vissza forgatva az eredeti vektorkomponest kell visszakapnunk. Mátrixalakban: T = E, vagyis T = 1 Megjegyzés. Az ortogonalitási relációk miatt 2-dimenzóban a forgatás 4 3 = 1 adattal, 3-dimenzióban 9 6 = 3 adattal írható le. Ez a 3 adat rendszerint az ún. Euler -féle szögek. 2. Komplex számok 2.1. M½uveletek komplex számokkal Az x 2 + 1 = 0 egyenletnek nincs valós megoldása. z 2 + 1 = 0 egyenletnek "van-e megoldása?": z nem valós szám z 2 = 1 az ilyen z-t i-vel jelöljük: i 2 = 1 Az i neve képzetes egység. Próbálkozzunk két valós kompones½u mennyiséggel. z! (x; y) z 2 = 1 Mit értünk z 2 -en? z z = x x? y y?x y Értelmezni szükséges a szorzást, az összeadást, stb. Legyen de níció szerint: (a; b) (c; d) = (a c; b d) (a; b) (c; d) = (ac bd; ad + bd) A nulla: (0; 0). Az egység: (1; 0). A valós számokra maradjanak meg az ismert számolási szbályok! Ha z = (x; 0) valós szám (a; 0) (c; 0) = (a c; 0) (a; 0) (c; 0) = (ac; 0) 16

A fenti de níció ezt teljesíti. Mi lesz a reciprok? (a; b) (c; d) = (1; 0) c =? d =? ac bd = 1 ad + bd = 0 megoldva az egyenletrendszert, kapjuk: a (c; d) = a 2 + b ; b ; (a 2 +b 2 6= 0, vagyis ha a komplex szám 2 a 2 + b 2 nem nulla) A reciprok jelölése (a; b) 1 z 2 = (x 2 y 2 ; 2xy) = ( 1; 0) =) x = 0; y = 1 z 2 = 1 () z = (0; 1) A z = (0; 1) komplex számot képzetes egységnek nevezzük, jele i. Valóban, (0; 1) (0; 1) = ( 1; 0), azaz i 2 = 1. Szorzás valós számmal: (a; 0) (c; d) = a(c; d) = (ac; ad) Szorzás képzetes számmal: (0; b) (c; d) = ( bd; bc) z komplex konjugáltja: z = (x; y) (x; y). (Megjegyzés: szokásos a z jelölés is) i = i valós szám komplex konjugáltja: önmaga képzetes szám komplex konjugáltja: önmaga ( i 1 = i; i 2 1 = 1; i = i 1)-szerese Egyszer½ubb írásmód: (x; y) helyett x + iy (x; 0) + (0; y) = x + y(0; 1) (a + ib) (c + id) = ac + iad + ibc + ibid = ac bd + i(ad + bc) (a + ib) = a ib 1 a + ib = (a ib) (a + ib)(a ib) = a ib a 2 + b = z 2 jzj 2 zz = x 2 + y 2 = jzj 2, z 1 = z jzj 2 17

y z arg z x 2.2. A komplex számsík x = Refzg, y = Imfzg jzj = p x 2 + y 2 ( r) argz =arctg Imfzg ( ') Refzg x = r cos ' y = r sin ' z = (x; y) = x+iy = r cos '+ir sin ' = r(cos '+i sin ') trigonometrikus alak (Moivre) z 2 = r 2 (cos 2 ' sin 2 ' + i2 cos ' sin ') = r 2 (cos 2' + i sin 2') z n = r n (cos n' + i sin n') A z n-edik gyöke olyan szám (jele np z), amelynek n-edik hatványa z. Komplex számok esetén n darab ilyen szám van. A z n-edik gyökei: np p z = n r(cos ' n + i sin ' n ) cos ' + 2 n cos ' + 4 n. cos ' + 2(n 1) n + i sin ' + 2 n + i sin ' + 4 n + i sin ' + 2(n 1) n Szorzás: z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos(' 1 + ' 2 ) + i sin(' 1 + ' 2 ) bizonyítás: (cos ' 1 +i sin ' 1 )(cos ' 2 +i sin ' 2 ) = cos ' 1 cos ' 2 sin ' 1 sin ' 2 + i(sin ' 1 cos ' 2 + cos ' 1 sin ' 2 ) Példák: 18

8 3 1. p >< (1; 0) = >: cos 0 3 + i sin 0 3 = 1 cos 2 3 + i sin 2 3 = 1 p 3 2 + i 2 cos 4 3 + i sin 4 3 = 1 p 3 i 2 2 1/2 y 3 2 x 3 1 2 ( 1 + ip 3 = 1 2. p i = 8 ( 1 + 3ip 3 + 3( 1)i 2 + i 3 3) = 1 8 ( 1 + 9) = 1 8 < cos 4 + i sin 8 p >< 2 (1 + i) 4 : cos( 4 + ) + i sin( 4 + ) = 2 p >: 2 (1 + i) 2 r (cos 2 + i sin 2 ) = y x 2.3. A komplex számtest (C) A komplex számok halmazán értelmeztük az összeadást és a szorzást. Mindkét m½uvelet kommutatív és asszociatív, továbbá minden komplex számnak van additív inverze, illetve minden nem-nulla számnak van multiplikatív inverze (reciproka). Nevezetes komplex számok: 0; 1; i. 19

A komplex számok halmaza a fenti m½uveletekkel ún. test, jele C (az ún. komplex számtest). A valós számok halmaza (R) résztestje C-nek. Érvényes a következ½o tétel (az algebra alaptétele): A komplex számtesben egy n-ed fokú egyenletnek n gyöke van, vagyis egy komplex együtthatós n-ed fokú polinom f n (z) = c(z z 1 )(z z 2 ) (z z n ) els½ofokú gyöktényez½ok szorzatára bontható (c 6= 0). 3. Euklideszi terek 3.1. Valós euklideszi terek Tekintsünk egy V véges dimenziós vektorteret az R valós számtest fölött (pl. a valós számhármasok 3-dimenziós vektorterét)! A V vektorteret (valós) euklideszi térnek nevezzük, ha meg tudunk adni egy ún. bels½o vagy skalárszorzatot. 3.1.1. Bels½o szorzat (skalárszorzat), norma, szög, távolság Valós esetben a bels½o szorzat egy S szimmetrikus bilineáris pozitív de nit függvény (leképezés). (Pl. a valós számhármasok vektortere euklideszi tér a szokásos skalárszorzattal: x = (x 1 ; x 2 ; x 3 ); y = (y 1 ; y 2 ; y 3 ) 3X S(x; y) x i y i 2 R szimmetrikus bilineáris pozitív de nit füg- i=1 gvény) Belátható, hogy a valós szám n-esek tere is valós euklideszi tér az nx S(x; y) x i y i skalárszorzattal. i=1 (Az S jelet gyakran el is hagyják: S(x; y) (x; y)) Egy euklideszi térben a vektorok hossza (normája) mindig de niálható a skalárszorzat segítségével: kxk p (x; x) ( 0). 20

Tétel: euklideszi térben bármely x és y vektorra érvényes az ún. Cauchy- Bunyakovszkij-Schwarz-egyenl½otlenség (CBS): j(x; y)j kxk kyk : (Megjegyzés: az egyenl½oség akkor és csak akkor áll fenn, ha az x és y vektor kolineáris.) Bizonyítás: Ha x = 0, akkor nyilván igaz. Tfh. x 6= 0. Ekkor bármely valós -ra 0 kx yk 2 = (x y; x y) = : : : = 2 kxk 2 2(x; y) + kyk 2, ezért ennek a -ban másodfokú polinomnak nem lehet két különböz½o valós gyöke, vagyis a diszkriminánsa nem lehet pozitív: ( 2(x; y)) 2 4 kxk 2 kyk 2 0. Ebb½ol az állítás már következik. Könny½u belátni, hogy egy euklideszi tér - a fenti hosszúságfogalommal - metrikus tér is, azaz a hosszúságfogalom kielégíti az alábbi követelményeket: a) kxk 0 és kxk = 0 () x = 0 b) kxk = jj kxk c) kx + yk kxk + kyk (háromszög egyenl½otlenség) Az a) és b) nyilvánvaló, c) pedig a CBS egyenl½otlenség következménye: kx + yk 2 = (x + y; x + y) = (x; x) + 2(x; y) + (y; y) kxk 2 + 2 j(x; y)j + kyk 2 (kxk + kyk) 2. A hosszúságfogalom lehet½ové teszi a távolság értelmezését: Az x és y vektorok távolsága d(x; y) kx yk. Egy euklideszi tér ezzel a távolság fogalommal ún. metrikus tér, hiszen kielégíti az alábbi követelmányeket: a) d(x; y) 0; és d(x; y) = 0 () x = y b) d(x; y) = d(y; x) c) d(x; z) d(x; y) + d(y; z) A bizonyítást az olvasóra bízzuk. Valós euklideszi térben értelmezhet½o az x és y (6= 0) vektorok által bezárt szög (): (x; y) cos = kxk kyk, mivel a jobb oldali kifejezés a [ 1; 1] intervallumba esik. 21

De níció: az x és y vektorok ortogonálisak (mer½olegesek), ha (x; y) = 0: (Megjegyzés: a nulla-vektor minden vektorra mer½oleges). Egy x 6= 0 vektort alkalmas számmal megszorozva mindig elérhet½o, hogy a hossza 1 legyen (ún. normálás). 3.1.2. Gram-Schmidt ortogonalizálás Az e 1 ; e 2 ; : : : ; e k vektorrendszert ortonormáltnak nevezzük, ha páronként mer½olegesek, éshosszuk 1: 1; i = j (e i ; e j ) = ij = (i; j = 1; : : : ; k) 0; i 6= j Az A n n-es mátrixot ortogonális mátrix nak nevezzük, ha sorvektorai ortonormált vektorrendszert alkotnak, vagyis ha AA T = E, azaz A T = A 1 Az euklideszi tér tetsz½oleges v 1 ; v 2 ; : : : ; v n bázisából (az ún. Gram- Schmidt-féle ortogonalizálással) el½o tudunk állítani egy e 1 ; e 2 ; : : : ; e n ortogonális bázist, vagyis euklideszi térben van ortonormált bázis. Az ortogonalizálási algoritmus alapötlete a következ½o: Legyen e 1 = v 1 és e 2 = v 2 + 21 e 1 : Válasszuk meg 21 -et úgy, hogy e 2 legyen mer½oleges e 1 -re! (e 2 ; e 1 ) = (v 2 + 21 e 1 ; e 1 ) = (v 2 ; e 1 ) + 21 (e 1 ; e 1 ) = 0, ebb½ol 21 = (v 2; e 1 ) (e 1 ; e 1 ). Legyen e 3 = v 3 + 31 e 1 + 32 e 2, és válasszuk meg 31 -t és 32 t úgy, hogy e 3 legyen mer½oleges e 1 -re és e 2 re! (e 3 ; e 1 ) = (v 3 ; e 1 ) + 31 (e 1 ; e 1 ) + 32 (e 2 ; e 1 ) = 0, stb. {z } 0 Ezekb½ol 31 = (v 3; e 1 ) (e 1 ; e 1 ) ; 32 = (v 3; e 2 ) (e 2 ; e 2 ). (Az eljárás folytatása és az így kapott ortogonális bázis normálása értelmszer½u.) 22

3.1.3. Lineáris transzformáció mátrixa Euklideszi térben az Ax! y lineáris transzformációt szimmetrikusnak nevezzük, ha minden x; y-ra teljesül, hogy (Ax; y) = (x; Ay). Könny½u belátni, hogy ha A szimmetrikus, akkor mátrixa bármely ortonormált bázisban szimmetrikus, és fordítva, ha egy lineáris transzformáció mátrixa valamely ortonormált bázisban szimmetrikus, akkor a lineáris transzformáció szimmetrikus. Legyen ugyanis e 1 ; : : : ; e n ortonormált bázis: (e i ; e j ) = ij. nx Ae i = ki e k, x = P x i e i ; y = P y j e j k=1 (Ae i ; e j ) = (e i ; Ae j ) = nx ki (e k ; e j ) = ji k=1 nx kj (e i ; e k ) = ij k=1 Ha A szimmetrikus, akkor ji = ij ; vagyis az A mátrixa szimmetrikus: [A] =[A] T Fordítva, ha ki = ik ; akkor (Ax; y) = P x i P yj (Ae i ; e j ) = P ji x i y j ; (x; Ay) = P x i P yj (e i ; Ae j ) = P ij x i y j ; vagyis (Ax; y) = (x; Ay) Feladatok: Szimmetrikusak-e az 9.1 pont tenzorai? 3.1.4. Szimmetrikus transzformációk sajátbázisa, diagonalizálás A zikai alkalmazások szempontjából nagyon fontos az alábbi Tétel: Valós euklideszi térben tetsz½oleges A szimmetrikus lineáris transzformáció esetén van az A sajátvektoraiból álló ortonormált bázis. Ebben a bázisban A mátrixa diagonális, a diagonális elemek az A sajátértékei: Ae i = i e i ( i = i ); (e i ; e j ) = ij ; (i; j = 1; : : : ; n) (e i ; Ae j ) = ij = ((e i ; j e j ) = j ij. 23

3.1.5. Példák sajátértékproblémára és diagonizálásra A zikai törvények felállítása során gyakran tapasztalunk lineáris kapcsolatot a zikai mennyiségek között. A tehetetlenségi tenzor A merev testek mechanikájából ismeretes, hogy a pörgésb½ol származó impulzusmomentum homogén lineáris függvénye a szögsebességnek:!! J =! A lineáris transzformáció az ún. tehetlenségi tenzor, amelynek komponensei (mátrixelemei) egy szokásos Descartes-féle derékszög½u koordinátarendszerben: ij = P m a [ra 2 ij x ai x aj ]; (i; j = 1; 2; 3), a ahol az a index befutja a merev test m 1 ; m 2 ; : : : ; m n tömegpontjait, amelyek helyvektorai: r a = x a1 i+x a2 j+x a3 k; (a = 1; : : : ; n) Láthatóan szimmetrikus, ezért van ortonormált sajátbázis (az ún. f½otehetlenségi rendszer), amelyben mátrixa diagonális, a diagonálisban a sajátértékek (ún. f½otehetetlenségi nyomatékok) állnak. Nyúlási tenzor Egy deformálható közegben egy origó körüli kicsiny térfogat r helyén lév½o pont egy kis deformáció hatására történ½o elmozdulása (u(r)) három tagra bontható fel: u(r) = u 0 + 1(rotu) 2 0 r + " 0r, ahol az els½o tag az ún. transzláció, a második a rotáció és az utolsó tag az ún. tiszta dilatáció. Az "-nal jelölt lineáris transzformáció az ún. nyúlási (dilatációs) tenzor, komponensei egy szokásos e 1 = i; e 2 = j; e 3 = k Descartes-féle bázisban (r =x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 ) : " ik = 1 2 ( @u i + @u k ); (i; j = 1; 2; 3) @x k @x i A nyúlási tenzor szimmetrikus, ezért van olyan ortonormált bázis (f½odilatációs tengelyek), amelyben a nyúlási tenzor diagonális. Ha a kis térfogat egy f½otengelyekkel párhuzamos él½u hasáb, akkor a deformáció során a hasáb éleinek hossza megváltozhat (nyúlnak vagy rövidülnek), de párhuzamosak maradnak a f½otengelyekkel. 24

Dielektromos tenzor Elektrosztatikában az elektromos eltolódásvektor homogén lineáris függvénye az elektromos térer½osségnek: D ="E; ahol " a dielektromos tenzor. A dielektromos tenzor szimmetrikus, ezért van olyan koordinátarendszer, amelyben az egyes tengelyek mentén az eltolódási vektor és a térer½osség párhuzamos marad: D = " 1 E vagy D = " 2 E; illetve D = " 3 E, ahol " 1 ; " 2 ; " 3 az " tenzor sajátértékei. 3.1.6. Szimultán diagonalizálás Tfh. [A] szimmetrikus pozitív de nit mátrix, és [B] szimmetrikus mátrix. Ekkor van olyan ortonormált bázis, amelyben mind [A], mind [B] diagonális. Bizonyítás: Legyen [u 1 ]; : : : ; [u n ] az [A] sajátbázisa: [A][u i ] = i [u i ]; i > 0. Az U mátrixot építsük fel az [u i ] oszlopvektorokból: U = ([u 1 ]; : : : ; [u n ]) ; [A] 0 U T [A]U = diag( 1 ; : : : ; n ) 1 1 és legyen M = diag( p ; : : : ; p ). Nyilván 1 n [A] 00 M T U T [A]UM = E (egységmátrix). Egyszer½uen belátható, hogy [B] 0 M T U T [B]UM szimmetrikus mátrix. Legyen S a [B] 0 ortonormált sajátvektoraiból álló transzformáció! Ekkor S T [B] 0 S diagonális mátrix, továbbá [A] 000 S T [A] 00 S = S T S = E, ezért a G UMS transzformáció szimultán diagonalizálja [A]-t és [B]-t. G T [A]G = E és G T [B]G = S T [B] 0 S diagonális mátrix. 3.1.7. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy a szimmetrikus transzformáció sajátértékei valósak! 2. Mutassuk meg, hogy a szimmetrikus transzformáció különböz½o sajátértékeihez tartozó sajátvektorai ortogonálisak! 3. Mutassuk meg, hogy bármely A valós szimmetrikus mátrixhoz megadható olyan P ortogonális mátrix, amelyre P 1 AP diagonális! 25

4. Mutassuk meg, hogy bármely szimmetrikus bilineáris függvénynek létezik olyan diagonális mátrixa, amelyben a f½oátló elemi 1; 1 vagy 0! A f½oátlóban a +1; 1 és a 0 elemek száma egyértelm½uen meghatáeozott. 5. Mutassuk meg, hogy euklideszi térben bármely kvadratikus alakhoz megadható olyan ortonormált bázis, amelyben a kvadratikus alak kanonikus alakú! 6. Oldjuk meg a következ½o csatolt di erenciálegyenletrendszert mu 1 + 2ku 1 ku 2 = 0; mu 2 + 2ku 2 ku 2 = 0 a következ½o kezdeti feltételek mellett: u 1 (0) = u 2 (0) = 0; _u 1 (0) = v; _u 2 (0) = 0: Állítsuk el½o a megoldást normál módusok szuperpozíciójaként! 7. Adott az 2x 2 + 4xy + 5y 2 = 1 ellipszis az xy síkon. Mutassuk meg, hogy a koordinátatengelyek alkalmas forgatásával az egyenletet a következ½o "diagonális alakok bármelyikére lehet hozni: a) 2 + 6 2 = 1 b) 6 2 + 2 = 1 Keressük meg a forgatás mátrixát a két esetben! 3.2. Komplex euklideszi terek Tekintsünk egy V véges dimenziós vektorteret a C komplex számtest fölött (pl. a komplex számhármasok C 3 3-dimenziós tere). A V vektorteret (komplex) euklideszi térnek nevezzük, ha meg tudunk adni egy pozitív de nit ermitikus bilineáris függvényt, az ún. bels½o (vagy skalár) szorzatot. Pl. a komplex számhármasok tere (C 3 ) euklideszi tér a szokásos skalárszorzattal: 0 1 0 1 1 1 x = @ 2 A ; y = @ 2 A 2 C 3 3 3 P S(x; y) 3 i i 2 C i=1 pozitív de nit, ermitikus bilineáris függvény (a felülhúzás jelöli a komplex konjugálást) Az S bet½ut nem szokás kiírni. 3.2.1. A bels½o szorzat tulajdonságai a) (y; x) = (x; y) (hermitikus szimmetria) 26

b) (x + x 0 ; y) = (x; y) + (x 0 ; y) c) (x; y) = (x; y); (x; y) = (x; y) d) (x; x) 0 és (x; x) = 0 () x = 0 A skalárszorzat normált és metrikus térré teszi a vektorteret. A hosszúság (norma): kxk p (x; x) 0. A távolság: d(x; y) kx yk 0. A szöget általában nem lehet értelmezni, de a mer½olegességet igen. Az x és y vektorok ortogonálisak, ha (x; y) = 0. Ha z minden vektorra mer½oleges, akkor z a nulla vektor. 3.2.2. Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz egyenl½otlenség: Fennáll a Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz egyenl½otlenség: j(x; y)j kxk kyk (CBS) Bizonyítás: 0 (x y; x y) = kxk 2 (y; x) (x; y) kyk 2 Legyen = (y; x), ahol 2 R tetsz½oleges, ekkor kxk 2 2 j(x; y)j 2 + 2 j(x; y)j 2 kyk 2 0, vagyis a diszkrimináns nem lehet pozitív: (2 j(x; y)j 2 ) 2 4 j(x; y)j 2 kyk 2 kxk 2 0,, stb. A norma segítségével egyértelm½uen felírható a skalárszorzat: a) valós euklideszi térben (cos-tétel): (x; y) = 1 2 (kx + yk2 kxk 2 kyk 2 ). b) komplex euklideszi térben: (x; y) = 1 4 (kx + yk2 kx yk 2 ) + 1 4i (kx + iyk2 kx iyk 2 ). A Gram-Schmidt algoritmussal az euklideszi térben mindig el½o tudunk állítani ortonormált bázist: (e i ; e j ) = ij (i; j = 1; : : : ; n) 3.2.3. Lineáris transzformáció adjungáltja Ortonormált bázisban a vektorok és a lineáris trabszformációk komponenseinek el½oállítása egyértelm½u: 27

x = 0 1 nx 1 B C i e i! [x] = @. A ; és i = (e i ; x). i=1 Az x! Ax lineáris transzformáció mátrixát az e j! Ae j kifejtéssel de niáljuk, és ortonormált bázis esetén az A mátrixa: [A] = ( ij = (e i ; Ae j )). Könnyen belátható, hogy a) (x; y) = P i=1 i i = [x] T [y], 3 nx ij e i b) [Ax] = [A] [x]. Euklideszi térben minden A lineáris transzformációhoz létezik pontosan egy olyan A + lineáris transzformáció, amelyre minden x; y vektorra (Ax; y) = (x; A + y). Az így értelmezett A + lineáris transzformáció az A adjungáltja. Ortonormált bázisban A adjungáltjának mátrixa megegyezik az A mátrixának adjungáltjával (transzponált komplex konjugáltjával): [A + ] = [A] +. Megjegyzés: Más skalárszorzatot választva más lesz az adjungált transzformáció is. Egyszer½uen belátható, hogy (A + ) + = A. 3.2.4. Sajátértékek, sajátvektorok Komplex euklideszi térben egy A lineáris transzformációnak mindig van sajátvektora, azaz van olyan x 6= 0, hogy x! Ax = x ( 2 C). Írjuk fel ugyanis az A sajátértékproblémáját az [A] mátrixra: ([A] [E])[x] = 0. Ennek a homogén lineáris egyenletrendszernek akkor és csak akkor van triviálistól eltér½o ([x] 6= 0) megoldása, ha det j[a] [E]j = 0. Ennek az n-edfokú egyenletnek C-ben n gyöke van: 1 ; : : : ; n (lehetnek köztük egyenl½ok is). Pl. a 1 -hez tartozó egyik [x 1 ] 6= 0 megoldáshoz tartozó x 1 vektor a 1 hez tartozó sajátvektor lesz. i=i 28

Egy sajátértékhez tartozó összes sajátvektor által generált alteret az A transzformáció sajátalterének nevezzük: U. Könny½u megmutatni, hogy 1) A és A + egy-egy sajátvektora mer½oleges egymásra, vagy a sajátértékek egymás komplex konjugáltjai: Ax = x és A + y = y =) (x; y) = 0 vagy =. 2) U az A invariáns altere akkor és csak akkor, ha U? (azaz az U mer½oleges kiegészítése) invariáns altere A + -nak. 3.2.5. Felcserélhet½o lineáris transzformációk közös sajátvektora Az euklideszi tér lineáris transzformációinak összegét, számszorosát, továbbá két transzformáció szorzatát a szokásos módon értelmezzük: (A + B)x = Ax + Bx; (A)x = (Ax); (AB)x = A(Bx). Ezek szintén lineáris transzformációk, és bármely bázisban érvényes, hogy [A + B] =[A] + [B]; [A] =[A]; [AB]=[A][B]. P Pl. [AB] ij = (e i ; (AB)e j ) = (e i ; A n P kj e k ) = n (e i ; Ae k ) k=1 k=1 {z } kj = ik ([A][B]) ij. Általában AB 6= BA (nem kommutatív). Ha azonban A és B felcserélhet½ok (AB = BA), akkor van közös sajátvektoruk. (Legyen ugyanis U az A sajátértékéhez tartozó sajátaltere! Ha x 2 U, akkor Ax = x, és A(Bx) = BAx = Bx = (Bx); vagyis Bx 2 U : U a B invariáns altere. Ezért U -ban B-nek is van sajátvektora, amely így közös sajátvektor.) Megmutatható, hogy (A + B) + = A + + B +, (A) + = A + ; (AB) + = B + A +. 29

Hajtsunk végre egy olyan bázistranszformációt, amely az ortonormált e 1 ; e 2 ; : : : ; e n bázistt átviszi a szintén ortonormált e 0 1; e 0 2; : : : ; e 0 n bázisba: e 0 i = Se i. Mivel (e 0 i; e 0 j) = (Se i ; Se j ) = (e i ; S + Se j ) = ij ; ezért S + S = E, vagyis S + = S 1. Ilyen bázistranszformáció esetén a vektorok, illetve a lineáris transzformációk komponensei a következ½ok szerint transzformálódnak: [x] 0 = [S 1 ] [x]; illetve [A] 0 = [S 1 ] [A] [S]. 3.2.6. Normális lineáris transzformáció sajátbázisa Az A transzformációt normálisnak nevezzük, ha felcserélhet½o az adjungáltjával: AA + = A + A. Tétel: Egy véges dimenziós komplex euklideszi térben akkor és csak akkor létezik az A sajátvektoraiból álló ortonormált bázis, ha A normális. A bizonyítás alapgondolata a következ½o: A és A + felcseerélhet½o, ezért van közös sajátvektoruk (e 1 ). Legyen U n 1 az e 1 -re mer½oleges kiegészít½o tér. U n 1 invariáns altere A és A + -nak is, továbbá A az U n 1 -ben is normális, így van közös e 2 sajátvektoruk. Ezt az eljárást addig ismételjük, amíg n "elfogy". 3.2.7. Önadjungált és unitér transzformációk Önadjungált transzformációk Az A transzformációt önadjungáltnak nevezzük, ha A = A +. Mivel egy önadjungált transzformáció egyúttal normális transzformáció, ezért: Ha A önadjungált, akkor létezik az A sajátvektoraiból álló ortonormált bázis (ún. sajátbázis), és sajátértékei valósak. Sajátbázisban az A mátrixa diagonális, a diagonálisban az A (valós) sajátértékei állnak. Unitér transzformációk 30

Az A transzformációt unitérnek nevezzük, ha A + = A 1. Mivel egy unitér transzformáció egyúttal normális, ezért létezik ortonormált sajátbázisa, továbbá sajátértékeinek abszolut értéke 1. (Legyen ugyanis x a sajátértékhez tartozó normált sajátvektor: (Ax; Ax)= =(x; A + Ax) = (x; A 1 Ax) = 1) Könnyen belátható, hogy a következ½o négy állítás ekvivalens: 1) Az A unitér (A + = A 1 ), 2) Az A skalárszorzattartó ((Ax; Ay) = (x; y)), 3) Az A hossztartó (normatartó) (kaxk = kxk), 4) Az A távolságtartó (d(ax; Ay) = d(x; y)). Bizonyítás: 1) =) 2): (Ax; Ay) = (x; A + Ay) = (x; y) 2) =) 1): (x; y) = (Ax; Ay) = (x; A + Ay) =) A + A =E 2) =) 3): kxk 2 = (x; x) = (Ax; Ax) = kaxk 2 3) =) 2): A skalárszorzat kifejezhet½o a norma segítségével, ezért a normatartásból következik a skalárszorzattartás: 4(x; y) = kx + yk 2 kx yk 2 i kx + iyk 2 kx iyk 2. 3) és 4) ekvivalenciája azért nyilvánvaló, mert a távolságot a hosszúság segítségével de niáltuk. 4. Változó vektorok, vektorok deriváltjai 4.1. Id½oderivált A legegyszer½ubb esetben a vektorfüggvény di erenciálása egyszer½u kiterjesztése a skalár függvények di erenciálásának. Legyen például a vektorfüggvény egy részecske pályája r(t) ahol t az id½o, azaz egy paraméter. Ebben az esetben a t szerinti derivált de níció szerint a test sebessége: v(t) = dr dt = lim r(t + t) r(t) t!0 t 31

Gra kusan az r = r(t) pálya egy térgörbe (ld. 5.fejezet) és a dr dt derivált a pálya érint½oje. Ha az r(t) függvény helyett a komponenseket használjuk, akkor fennáll, hogy v(t) komponensei rendre a helyvektor komponenseinek deriváltjai: v i (t) = dx i : Kicsit bonyolultabb lehet a helyzet, ha a koordinátarendszer görbevonalú, azaz a bázisvektorok is változnak helyr½ol helyre. dt A zikai mennyiségek általában az id½o mellett a hely függvényei. Meg kell ismerkedni azokkal a mennyiségekkel, amelyekkel a helyt½ol való függés változásainak leírására alkalmasak. A zika törvényei rendszerint olyan di erenciálegyenletek, amelyek a zikai mennyiségek hely és id½ofüggését fejezik ki. Szerencsére a hely szerinti deriváltak is olyan szemléletes jelentéssel bírnak többnyire, mint a pálya-sebesség kapcsolat. Példák a zikai mennyiségek helyfüggésére: 1. példa: potenciális energia V (r) = V (x; y; z) Minden r ponthoz rendel egy V 2 R számot. Ez egy skalármez½o vagy skalár-vektor függvény. 2. példa: E(r); B(r); F(r) vektormez½o, vagy vektor-vektor függyvény. Megfelel 3 db skalár-vektor függvénynek. A tér r helyvektorú pontjaihoz egy vektort rendelünk. Tipikus példa erre az a Coulomb-féle elektrosztatikus mez½o: E(r) = k Q r 2 r r egy ponttöltést½ol származó térer½osség. 4.2. Skalármez½ok jellemzése. A gradiens-vektor Legyen (r) = (x; y; z) skalármez½o. Szintfelületek: (r) = C = all:, ez egy felület egyenlete F (x; y; z) = 0 implicit alakban megadva (ld. 5. fejezet). Példa. = r = p x 2 + y 2 + z 2 szintfelületei gömbfelületek: x 2 + y 2 + z 2 = C 2. A zikai alkalmazásokban általában feltesszük (ha pl. a skalárpotenciál), hogy a tér minden pontján egy és csak egy szintfelület halad keresztül, a szintfelületek nem metszhetik egymást. A skalármez½o térbeli változásának leírására szolgál a gradiens. 32

4.2.1. Gradiens: A gradiens vektor de níciója: grad = i @ @x + j@ @y + k@ @z e @ i @x i Megmutatható, hogy a @ parciális deriváltak vektorkomponensként @x i transzformálódnak. Bizonyítás: = 0, mert skalár. @ 0 @x 0 i = @ @x j @x j @x 0 i = @ @x j ij Az ún. nabla-vektor (r) de níciója: r = i @ @x + j @ @y + k @ @z = e @ i @x i (szimbolikus vektor (di erenciálvektor)). A gradiens a nabla-vektorral így írható: grad = r 1.Példa: (r) = r = p x 2 + y 2 + z 2 rr = i @r @x + j@r @y + k@r @z @r @x = @xp @ x2 + y 2 + z 2 = 1 2x p 2 x2 + y 2 + z = x 2 r r = i @r @x + j@r @y + k@r @z = 1 r (ix + jy + kz) = r r e r; az r irányú egységvektor. 2.Példa: = f(r); r = (x 2 + y 2 + z 2 ) 1=2 (r) x = @f @x = df @r dr @x = df x =) rf(r) = f 0 r dr r r 4.2.2. A gradiens vektor geometriai jelentése dr = idx + jdy + kdz r dr = @ @ @ dx + dy + dz = d, a függvény teljes di erenciálja @x @y @z (megváltozásának lineáris része). Legyen P és Q a szintfelület két közeli pontja. Mivel = C, d = 0 = r dr =) r? dr. A gradiens vektor mer½oleges a szintfelületre. 33

P dr Q φ φ=c 4.2.3. Az iránymenti derivált: Legyen (r) skalármez½o, k tetsz½oleges egységvektor. Az r helyvektorú M ponton keresztül húzzunk egy k irányú egyenest: r 0 = r+"k Képezzük a következ½o határértéket, ha ez létezik, ez lesz a skalármez½o k irány menti deriváltja az r pontban: d dk = lim "!0 (r+"k) " (r) Az el½oállítás szerint ez egy skalár. Az iránymenti derivált és a gradiensvektor kapcsolata: Ha " kicsi, (r+"k) = (x; y; z) + @ @x "k x + @ @y "k y + @ @z "k z + : : :, tehát Tehát d dk = @ @x k x + @ @y k y + @ @z k z = r k A gradiens vektor a leggyorsabb változás irányába mutat: d = r k = jrj cos, mivel jkj = 1: dk Ebb½ol leolvasható, hogy az iránymenti derivált akkor a legnagyobb, ha cos = 1, azaz = 0: Példák: A zikában ha U(x; y; z) = U(r) a potenciális energia, az er½o F = grad U: a) Homogén gravitációs er½otér: U = mgz; F = (0; 0; mg) A szintfelületek z = all: vízszintes síkok, az er½ovonalak függ½oleges, az U leggyorsabb csökkenésének irányába mutató egyenesek (ld. ábra) b) Ponttöltés térer½ossége - Coulomb-tér: 34

U = k q r ; r = p x 2 + y 2 + z 2 ; E = grad U @ 1 @x r = @ 1 p @x x2 + y 2 + z = 1 2x = x 2 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 r ; 3 E = k qr r 3 Mikor adható meg egy vektortér gradu alakban? Erre kérdésre a potenciálelmélet keretében adunk majd választ. 4.3. Vektormez½o divergenciája Legyen a(r) tetsz½oleges (x; y; z szerint di erenciálható) vektor-vektor függvény vagy vektormez½o. Derékszög½u koordinátákban: a(r) =a x (x; y; z)i+a y (x; y; z)j+a z (x; y; z)k. Az a(r) vektormez½o divergenciáj ának de níciója: div a = @a x @x + @a y @y + @a z @z A vektormez½o 3 db skalár-vektorfüggvénnyel - a komponens mez½okkel - adható meg: a = e 1 a 1 (r) + e 2 a 2 (r) + e 3 a 3 (r) A vektormez½ot az er½ovonalakkal szokás szemlélteni: az er½ovonalak olyan görbék, melynek érint½oi adják a vektormez½o értékét az adott pontban. Mivel r vektor, képezhetünk vele skalárszorzatot! A r a = f(r) skalármez½o derékszög½u koordinátákban: @ r a = e i e k a k = @a i = @a 1 + @a 2 + @a 3 = div a @x i @x i @x 1 @x 2 @x 3 Példa: 1. Coulomb-törvény (ponttöltés elektromos mez½oje): E =k Q r 2 r r r r. 3 r r r r = div = @ x + @ y + @ 3 r 3 @x r 3 @y r 3 @z Pl. az x szerinti deriváltat számolva: z r 3 : 35

@ x = 1 @x @x r 3 r 3 @x + x @ 1 @x (x 2 + y 2 + z 2 ) = 1 3x 2 3=2 r 3 r. 5 Hasonlóan számolhatunk y és z-re, így (r 6= 0 esetén) r 3 r 3 r r = 1 3x 2 + 1 3y 2 3 r 3 r 5 r 3 r + 1 3z 2 = 3 3 x2 + y 2 + z 2 = 5 r 3 r 5 r 3 r 5 3 r2 r = 0: 5 A divergencia jelentése A divergencia szó latin eredet½u, jelentése szétáramlás, szétfolyás. Fizikai jelentése a mez½o forrásaival van kapcsolatban, (az ún. lokális forráser½osség). Ezt a tulajdonságot szemlélteti a következ½o egyszer½u számolás. Tekintsük egy (r) s½ur½uség½u, v(r) sebességter½u folyadék kicsiny dv = dxdydz térfogatú hasábját. Számítsuk ki a térfogatból id½oegység alatt kiáramlott folyadékmennyiséget! z dz dx 0 dy y x Az x tengellyel párhuzamos normálisú lapokon kiáramlott folyadékmennyiség dydz (v x )j x=0 + dydz (v x )j x=dx = dydzf(v x )j x=dx (v x )j x=0 g = = (v x)j x=dx (v x )j x=0 dxdydz. dx Ha a térfogatot összehúzzuk egy pontra, a hányados a @(v x) parciális @x derivált. Hasonlóan számolhatunk az y és z tengellyel párhuzamos normálisú lapokra. Így 36

kiáramlott tömeg = @(v x) + @(v y) + @(v z) = div(v) id½o térfogat @x @y @z A bal oldali mennyiség neve lokális forráss½ur½uség. A kontinuitási egyenlet Ha a fenti példában a folyadék tömege állandó, akkor a folyadék kiáramlása miatt a térrészben a folyadék tömege csökken, azaz dm dt = @ @t dv. Így a tömegmegmaradást kifejez½o ún. kontinuitási egyenlet lokális alakját kaptuk: @ = div(v), vagy @ @t + r (v) = 0 @t Példák. re =0, azt jelenti, hogy az origóba helyezett ponttöltés mez½oje forrásmentes, ahol r 6= 0, r = 0-ban a töltéss½ur½uség szinguláris! r B =0 azt fejezi ki, hogy a mágneses mez½o mindig forrásmentes. 4.4. Vektormez½o rotációja A ra = A(r) vektormez½o neve rotáció. Másik jelölése rot a. Kiszámítási szabálya e 1 e 2 e 3 ra = @ @ @ @x @y @z = e 1 ( @a 3 @a 2 @y @z )+e 2( @a 1 @a 3 @z @x )+e 3( @a 2 @a 1 @x @y ) a 1 a 2 a 3 @ @a k r a = e i e k a k = " ijk @x i @x j 1. példa. a = r; r r = e 1 ( @z @y @y @z ) + : : : = 0 2. példa. a =f(r)r r (fr) = rf r+fr r = f 0 r r r = 0 3. példa.legyen a vektormez½o a = v(r)f(r) alakú. A rotáció számolásához @a k ilyen parciális deriváltakat kell számolni: = @(fv k) = @f v k + @x j @x j @x j f @v k @x j = (rf v) i + f(r v) i : Azt kapjuk tehát, hogy 37

r fv =rf v+fr v Speciális esetként legyen a = rf(r), centrális er½otér (ld. 2. példa). Számítsuk ki a rotációját! Az el½oz½o azonosságot használva r fr =rf r+fr r, r r = e 1 ( @z @y @f Másrészt rf = e i @y @z ) + e 2( @x @z df = e i dx i dr @z @x ) + e 3( @y df @x r @x @y ) 0: @r df =, így az els½o tag @x i dr r Tehát a szigorúan centrális er½otér rotációja mindig nulla. 1 dr r r r =0: A rotáció jelentése A rotáció forgást jelent. Megmutatjuk, hogy a rotáció zikai jelentése a vektormez½o forgásával, örvényeivel van kaocsolatban. Számítsuk ki egy v(r) sebesség½u folyadékban felvett kicsiny hurokra az ún. örvényer½osséget, azaz a v(r) vektormez½o cirkulációját! z dz 0 dy y x Cirkuláció=v y (0; y; 0)dy +v z (0; dy; z)dz v y (0; y; dz)dy v z (0; 0; z)dz = vz (0; dy; z) v z (0; 0; z)dz v y (0; y; dz) v y (0; y; 0) =dydz dy dz A zárójelben fölismerhetjük parciális deriváltak közelít½o hányadosát. A lapocska terlülete dydz. Határesetben (az origóra húzva a téglalapot) kapjuk, hogy lokális örvényer½osség=lim cirkuláció = @v z @v y terület @y @z = (rot v) x 38

Ha a mez½o rotációja nem nulla, akkor a mez½o örvényes, (pl. az er½ovonalai zárt görbék). Ha a vektortér rotációja nulla, a mez½o örvénymentes. Ilyen pl. a centrális er½otér. Példa: Faraday-féle indukciós törvény. rot E+ @B @t = 0. Példák: 1. F(r) = (0; 0; mg); r F = 0. 2. E = k qr r 3 ; r E =? (rot E) 1 = @E 3 @E 2 @x 2 @x 3 @ x 3 3 x 3 2x 2 @x 2 (x 2 1 + x 2 2 + x 2 3) 3 = 2 2 (x 2 1 + x 2 2 + x 2 3) 5 2 + = 0. @ x 2 3 x 2 2x 3 @x 3 (x 2 1 + x 2 2 + x 2 3) 3 = 2 2 (x 2 1 + x 2 2 + x 2 3) 5 2 Kérdés: van kapcsolat F = grad U és rot F = 0 között? A válasz igen, mert fennáll a következ½o tétel F = grad U =) rot F = 0 Bizonyítás: (rot grad U) x = @ @U @ @U = 0, mivel a di erenciálások sorrendje @y @z @z @y (nagyon általános feltételek mellett) általában felcserélhet½o. Egyszeresen összefügg½o tartomány esetén rot F =) F = gradu is érvényes. 3. Egy! szögsebességgel forgó merev test egy pontjának sebessége v =! r. r v =? rot v = r v = r (! r) (r v) 1 = @ @ (!r) @x 3 (!r) 2 @x 2 = @ @ (! 1 x 2! 2 x 1 ) (! 3 x 1 3 @x 2 @x 3! 1 x 3 ) =! 1 +! 1 = 2! 1. Tehát rot v =2!; vagyis rot (! r) =2! 39

4.5. A r aritmetikája, többszörös deriváltak 1) A gradiens, divergencia, rotáció de nícióját gyelembevéve, és a vektorazonosságok közül leggyakrabban a kett½os vektori szorzat felbontását használva, számos azonosságot lehet gyártani. Ezek többségét legkönnyebb bizonyítani, ha derékszög½u komponensben kiírjuk mindkét oldalt. Az azonosság-gyártás f½o szabálya, hogy a r vektoroperátor kett½os természet½u, így kétféle szabálynak tesz eleget: a) a vektorszámítás azonosságai, b) a di erenciálás szabályai, különös tekintettel a szorzat deriválására és a láncszabályra. Az azonosságokhoz a skalár illetve vektormez½ok szorzatait használjuk, ahol és skalármez½ok, A és B pedig vektormez½ok. Összetett skalármez½ok: ; A B: Skalármez½onek gradiense lehet, tehát készíthetünk azonosságot r( ), és r(a B) kiszámítására. Összetett vektormez½ok: A; A B. Vektormez½ore lehet divergenciát és rotációt számolni, tehát azonosságokat lehet gyártani a következ½ok kiszámítására: r (A), r (A B); r A; r (A B): Példa: Adjunk meg kifejezést r(a B) kiszámítására. El½oször is vegyük észre, hogy a r(a B) -szer½u kifejezés a kett½os vektori szorzat kifejtésében szerepel: a (b c) = b(a c) c(a b): Például így A (r B) =r(a B) (A r)b (a B vektort csak a végére írhatjuk, és most B-t di erenciáljuk, nem A-t). A szorzatdi erenciálás szabályai szerint a fordított alak is kell, azaz amikor A-ra vonatkozik a di erenciálás: B (r A) =r(a B) (B r)a Így kapjuk (egyben bizonyítottuk is), hogy r(a B) = (B r)a + (A r)b + B (r A) + A (r B) 2) Alkalmazzuk a r vektort a gradiens, divergencia, rotáció kifejezéseire: r vektor, itt lehet divergenciát és rotációt számolni: a) r r b) r r r a skalár, gradiensét lehet venni: c) r(r a) r a vektor, itt lehet divergenciát és rotációt számolni: d) r r a e) r (r a) 40

Mind az öt kifejezés másodrend½u parciális deriváltakat tartalmaz, és több helyen találkozunk velük, f½oleg az elektrodinamikában. a) rr = div(grad ) = @ @ @x @x + @ @ @y @y + @ @ @z @z = @2 @x + @2 2 @y + @2 2 @z = 2 (r r) Ennek a fontos operátornak külön neve van: Laplace-operátor. Jele vagy r 2 A = 0 egyenlet neve Laplace-egyenlet. b) Fontos azonosság: r r 0; azaz skalármez½o gradiensének rotációja mindig nulla. A skalárpotenciál létezésénél lesz szerepe. Bizonyítás: Írjuk ki pl. az els½o komponenst: (r r) 1 = @ @ @ @ = 0, ha a parciális deriválások sorrendje @y @z @z @y felcserélhet½o. Vagy az i-dik komponest felírva: @ @ (r r) i = " ijk = 0, ha @ @ = @ @ @x j @x k @x j @x k @x k @x j c) r(r a) = grad(div a) A Laplace operátor vektorokra érvényes alakjában fordul el½o, lásd az e) pontot. d) Fontos azonosság: r r a 0, azaz vektormez½o rotációjának divergenciája mindig nulla. A vektorpotenciál bevezetésénél lesz szerepe. Bizonyítás: r r a = @ @x (@a 3 @a 2 @y @z ) + @ @y (@a 1 @z @a 1 ) = 0; amennyiben a deriválások sorrendje felcserélhet½o. @y vagy rövidített jelölést használva: r r a = @ @a k @ 2 a k " ijk = " ijk = 0, ha @2 a k = @x i @x j @x i @x j @x i @x j @a 3 @x ) + @ @z (@a 2 @x @2 a k @x j @x i. e) r (r a) =r(r a) (r r)a Az azonosság a kett½os vektori szorzat kifejtéséb½ol rögtön látható, vagy mindkét oldalt komponensekben fölírva is bizonyítható. Ez az azonosság a Laplace operátor vektormez½okre kiterjesztett de nícióját tartalmazza: a = (r r)a =r(r a) r (r a) Megjegyzés: könnyen igazolható, hogy a jobboldal kifejtése derékszög½u koordinátákban a 41

a =a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 = a i e i összefüggésre vezet, ahol = @ 2 @x + @2 2 @y + @2 2 @z. 2 A görbevonalú rendszerekben azonban a a fenti e) azonossággal számolandó. 4.6. Vektormez½o iránymenti deriváltja, a deriválttenzor Legyen k egységvektor. Vizsgáljuk az a(r) vektormez½o változási ütemét a tér r helyén, ha a k irányban elmozdulunk. Ezt nevezzük az a vektormez½o k irány menti deriváltjának: @a @k = lim 1 1 [a(r+"k) a(r)] lim "!0 " "!0 " e @a j @a j j "k i = e j k i = (k r)a. @x i @x i A deriválttenzor Az a(r) vektormez½o deriválttenzora @a, melynek komponensei (mátrixa) @r Descartes-derékszög½u koordinátákban: @a = @a i. @r @x j ij 5. Görbék és felületek Általában 3-dimenziós euklideszi teret tételezünk föl. Ha mást nem mondunk Descartes derékszög½u koordinátákat használunk. Egy pont koordinátáit x; y; z-vel, a bázisvektorokat pedig i; j; k-val jelöljük, a pont helyvektora r = xi+yj+zk = (x; y; z). 5.1. Görbék megadási módjai, az érint½ovektor 1. Implicit alak: pl. ax + by d = 0 (egyenes), ax 2 + by 2 + 2cxy d = 0 (kúpszelet). 2. Explicit alak: y = f(x), pl. y = cos x, y = chx, y = ln x; y = exp(x) (síkgörbék). 3. Paraméteres alak: A t 2 [a; b] paramétertartomány pontjaihoz a tér r(t) helyvektorú pontját rendeli: r = r(t) = (x(t); y(t); z(t)); t 2 [a; b]. 42

Feltesszük, hogy az r(t) függvény folytonos, továbbá néhányszor folytonosan di erenciálható t szerint. Legjobb elképzelés a térgörbére a "meghajlított drótdarab". Egy görbe többféleképpen is paraméterezhet½o, pl. ívhosszparaméter, ld. kés½obb. A zikában görbék pl. a az anyagi pont pályája (itt paraméter az id½o), áramlásoknál az áramvonalak, elekromágneses mez½oben az E- és B-vonalak, stb. Példa: hengeres csavarvonal (helix): x = a cos t ; y = a sin t ; z = bt Feladat: Írja föl a fenti implicit és explicit módon megadott görbék valamilyen paraméteres alakját! 5.1.1. Az érint½ovektor: Az érint½ovektor a szel½ok határesete az alábbi értelemben: r = r(t + t) r(t) r(t + t) r(t) lim = dr = _r, ha létezik. t!0 t dt Például mechanikában a pálya id½oderiváltja a sebességvektor, amely érint½o irányú: v = _r. 5.2. Az ívhossz: A görbére egy beosztást készítünk. Az osztópontokat egyenes szakaszokkal összekötve egy poligont kapunk: s i = P i 1 P i ;a poligon hossza P n i=1 s i : Az ívhossz a poligonok hosszának fels½o határa, amely di erenciálható görbék esetén az alábbi módon írható: P s = lim n si!0 i=1 s i = R b j_r(t)j dt = Rb p _x(t)2 + _y(t) n!1 a 2 + _z(t) 2 dt a 43

A zikában a pálya egy szakaszának ívhossza az út: s = R t 1 t 0 j_r(t)j dt : Feladat: Mutassuk meg, hogy a hengeres csavarvonal ívhossza: s = t p a 2 + b 2 5.2.1. A görbe ívhossz szerinti paraméterezése Tekintsük az ívhosszt, mint a t paraméter függvényét: R t p s(t) = _x(t0 ) 2 + _y(t 0 ) 2 + _z(t 0 ) 2 dt 0 0 Az s(t) függvény szigorúan monoton növ½o, folytonosan di erenciálható, így létezik az inverze: t(s). A görbe t helyett az s ívhosszal is paraméterezhet½o : r(t(s)) = r(s) Az ívhosszparaméter szerinti di erenciálást pont helyett vessz½ovel jelöljük: r 0 = dr ds ; r00 = d2 r ds. 2 Példa: hengeres csavarvonal ívhosszparaméteres alakja: s s x = a cos( p ); y = a sin( p a2 + b2 a2 + b ); z = b s p 2 a2 + b. 2 5.3. Kísér½o háromél vagy triéder, görbület, torzió 5.3.1. Az érint½o egységvektor t(s) dr ds = r0 = dr dt dt ds = dr dt 1 ds dt = : r r :. Tehát az r(s) függvény s szerinti deriváltja egységvektor, és jelentése szerint az érint½o: t(s) = dr : ds = r r :. Feladat: Mutassuk meg, hogy az érint½o (egyenes) egyenlete R = r+_r, ahol R az egyenes futópontja. 5.3.2. A f½onormális egységvektor n(s) De níciója: n(s) = r00 jr 00 j. A f½onormális egységvektor mer½oleges az érint½o egységvektorra. 44

Ennek bizonyítása: r 02 = 1: Deriváljuk mindkét oldalt s szerint: 2r 0 r 00 = 0. Görbület A görbület az érint½o egységvektor elfordulásának üteme, az ívhossz szerinti "szögsebesség": jt(s + s) t(s)j jj G = lim = lim s!0 s s!0 s. Eszerint G = jt 0 j = jr 00 j annak mértéke, hogy a görbe mennyire tér el az egyenest½ol (az egyenes görbülete nulla, a kör görbülete a sugár reciproka, a helix görbülete p, mint látni fogjuk). a a2 + b2 Példák 1. Egyenes, G = 0; mivel: G = jt 0 j = 0, t = r 0 = all = c 1, r = c 1 s + c 2. Az utolsó kifejezés az egyenes egyenlete. 2. Kör x = a cos s a, y = a sin s a x 0 = sin s a ; y0 = cos s a x" = 1 a cos s a, y" = 1 a sin s a G = p (x") 2 + (y") 2 = 1 a Feladat: Mutassuk meg hogy a helix görbülete a p a2 + b 2! Görbületi sugár, görbületi kör Vegyünk föl a görbén egy P pontot, és a közelében a P 1 ; P 2 ; P 3 pontokat. Fektessünk át egy kört a P 1 ; P 2 ; P 3 pontokon. Ha a pontokat a P ponthoz közelítjük, az átfektetett kör határesetben a P ponton átmen½o 45

görbületi kör lesz, amelynek sugara R. Megmutatható, hogy a görbület reciproka a görbületi sugár: R = 1 G. Továbbá az is igaz, hogy az n f½onormális egységvektor egyenese átmegy a görbületi középponton, a görbületi kör pedig a t és n síkjában van. Feladat: Határozzuk meg a helix érint½o egységvektorát és fönormálisát, és a görbületi kör középpontját az s = 0 pontban! 5.3.3. A binormális egységvektor De níció szerint b = t n. Torzió ( vagy T ) A torzió de níciója: = jb 0 j. A torzió a binormális egységvektor változásának ívhossz szerinti szögsebessége. jb(s + s) b(s)j jj jt j = lim = lim s!0 s s!0 s. Síkgörbe esetén b = all:, azaz b 0 = 0. 46

A torzió annak mértéke, hogy a görbe milyen ütemben csavarodik ki a simulósíkjából. A torzió akkor pozitív, ha a t érint½ovektor irányából visszanézve a b vektor pozitív irányban (az óramutató járásával ellenkez½o) irányban forog: Állítás: b 0 = T n. Bizonyítás: b 2 = 1 =) b b 0 = 0; azaz b 0? b: b t =0 =) b 0 t + b t 0 = 0 =) b 0 t =0; mert t 0 k n,ezért b t 0 = 0: Tehát b 0? t. Így csak b 0 k n lehet, ennélfogva b 0 = T n : Ezek szerint T = n (n 0 t) Feladat: Mutassuk meg, hogy a helix torziója T = b a 2 + b 2. A görbe minden pontjához megadható három, páronként mer½oleges egységvektor. t(s); n(s); b(s). Ezt a három vektort kisér½o háromélnek (triédernek) nevezzük. Simulósík (S): t és n síkja (a görbületi kör síkja) Normálsík (N): n és b síkja (adott pontban a görbe ezt a síkot éppen mer½olegesen átdö ) Rekti kálósík (R): b és t síkja 47

Feladatok: Mutassuk meg, hogy 1. a simulósík egyenlete: (R r) (_r r) = 0. 2. a normálsík egyenlete: (R r) _r = 0. 3. a rektirikálósík egyenlete: (R r) (_r (_r r)) = 0. 4. a f½onormális egyenesének egyenlete R = r+_r (_r r). (ez az egyenes megy át a görbületi középponton). 5.4. Frenet képletek: t 0 = Gn n 0 = Gt +T b b 0 = T n A görbét térbeli helyzetét½ol függetlenül egyértelm½uen meghatározza a görbülete és a torziója. Kérdés: Melyek azok a görbék, melyeknek görbülete és torziója állandó? Válasz: (egyenes, kör, helix) Érvényesek az alábbi hasznos formulák: a) G = 1 j_r rj = R j_rj 3 b) T = 1 _r r... r G 2 j_rj 6 Mechanikai alkalmazás: sebesség: v = _r =vt; v = ds dt. gyorsulás: a = _v = r = _vt+v_t = _vt+vt 0 ds dt = a tt+v 2 t 0 = a t t+ v2 R n: 5.5. Felületek megadási módjai A felületeket többféle módon meg lehet adni: 1. implicit: F (x; y; z) = 0. pl. skalármez½o szintfelületei: (r) = (x; y; z) =c; a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2a 12 xy + 2a 13 xz + 2a 23 yz felület), 1 = 0 (másodfokú 48

ax + by + cz d = 0 (sík) 2. explicit: z = f(x; y) pl. z = p x 2 + y 2 r 2 (félgömb) 3. paraméteres: x = x(u; v); y = y(u; v); z = z(u; v) r = r(u; v) pl. gömbfelület: x = a cos ' sin #; y = a sin ' sin #; z = a cos # Általában felületnek nevezzük a kétdimenziós T (u; v) paramétersík leképezését a háromdimenziós térbe. Elvileg a három megadási mód egymással ekvivalens. 5.6. Felületi görbék, érint½osík, felületi normális Legyen a felület r(u; v) módon megadott, és @r @u = r u, @r @v = r v sehol sem nulla és nincsenek csúcsok, élek. Felületi görbe: r(u(t); v(t)) = ~r(t) Speciális felületi görbék u = c; v = t r(u = c; v) v-vonal, u = t; v = c r(u; v = c) u-vonal (vagy u-paramétervonal). Ezek alapján r u = @r @u r v = @r @v az u-vonal érint½oje, a v-vonal érint½oje. 49

Érint½osík: Legyen r(u(t); v(t)) egy adott M pontján átmen½o felületi görbe. Ezen felületi görbe érint½oje az M pontban _r = dr dt = @r @u du dt + @r @v dv dt = r u du dt + r v dv dt. Eszerint az M ponton átmen½o bármely felületi görbe érint½oje benne van az r u és r v vektorok síkjában. Ez a sík a felület érint½osíkja az M pontban. Felületi normális: Az érint½osíkra mer½oleges egységvektor n = r u r v jr u r v j ; n k r u r v 5.7. Felületek felszíne A felület felszínének kiszámításához a felületet lefedjük egy alkalmas beosztással. Ilyen az "érint½o pikkely". Ha a felület r = r(u; v) paraméteres alakban van megadva, a felületelem S i = jr u r v j uv: A felület felszíne S = X S i : A beosztást nomítva az összeg egy i kétváltozós Z integrálra Z vezet: S = ds = jr u r v j dudv. Irányított felületelemet úgy kapunk, hogy a felületelemet az ottani felületi normális egységvektorral megszorozzuk. A felületi normális egységvektor n = r u r v jr u r v j, így a felületelem vektor S i = (r u r v )uv Z Z Ily módon kapjuk, hogy S = nds = (r u r v )dudv. Az S neve felületvektor. A felszín számítása különböz½o felületmegadási módok esetén. 1. A felület paraméteres alakja esetén: jr u r v j = p (r u r v )(r u r v ) = p r 2 u r 2 v (r u r v ) 2 Szokásos jelölések r 2 u = E, r 2 v = G; r u r v = F: S = Z peg F 2 dudv 2. A felület z = f(x; y) explicit módon van megadva. Ez megfelel a x = u, y = v paraméterezésnek. 50

r u = (1; 0; @f @x ), r v = (0; 1; @f A felszín számítása S = 5.7.1. A felületvektor: @f @x ; @f @y ; 1) @y ); r u r v = ( Z r ( @f @x )2 + ( @f @y )2 + 1 dxdy A felület felszíne szorozva a felület normális egységvektorával. Például egy tetraéder oldallapjainak felületvektorai a következ½ok: (a 2 a 1 ) (a 3 a 1 ) = 2S a 2 a 1 = 2S 3 = 2S xy ( e z ) a 3 a 2 = 2S 1 = 2S yz ( e x ) a 1 a 3 = 2S 2 = 2S zx ( e y ) Adjuk össze az oldalak felületvektorait: 2(S + S 1 + S 2 + S 3 ) = : : : = 0 Érvényes tehát, hogy bármely tetraéder felületvektorainak összege nulla. Általánosítva, mivel a bels½o felületek felületvektorai kiejtik egymást, igaz a következ½o tétel: Bármely zárt felület "felületvektora" = 0. Ezek alapján a tetraéder tetsz½oleges lapjának felületvektora (S) kifejezhet½o a többi lap felületvektorával: S =S xy e z + S yz e x + S zx e y ds = ds xy e z + ds yz e x + ds zx e y 51

Példák: 1.A felület F (x; y; z) = 0. A felületi normális, mint láttuk párhuzamos a rf vektorral. 2. gömbfelület: x = a cos ' sin ; y = a sin ' sin ; z = a cos vonalak és '-vonalak a gömbfelületen: 6. Vektorok integrálása 6.1. Görbe menti vagy vonalintegrál 6.1.1. Skalárfüggvény vonalintegrálja Adott (r), és a C : r(t) görbe (a t b). Készítsünk egy beosztást a görbén, az i edik szakasz hossza jr i j, az ide mutató közbüls½o helyvektor r i : P Képezzük a következ½o összeget n (r i ) jr i j i=1 Ezen összegek határértéke, ha a beosztások végtelenül nomodnak, azaz a beosztások száma tart a végtelenbe, és a beosztások hossza tart a nullához, a függvény görbe menti integrálja: P lim n (r i ) jr i j = R R b (r(s))ds = (r(t)) j_r(t)j dt. i=1 C a 52

6.1.2. Vektormez½o vonalintegrálja Adott v(r), és a C : r(t) görbe (a t b). Készítsünk egy beosztást a görbén, az i edik szakasz irányított hossza r i (Fizikában pl. az elmozdulásvektor). Az "ide" mutató helyvektor r i : Képezzük a következ½o összeget: np v(r i ) r i. i=1 Ennek határértéke (ha létezik) a beosztás nomításakor a v vonalintegrálja: np lim v(r i ) r i = R R b v(r) ds = v(r(t)) _r(t) dt. r i!0 i=1 C a Pl. az F(r) er½otérben a munka egy C görbe mentén (A! B): W A!B = R C F s ds = R C Fdr = R b a F(r(t)) _r(t) dt További jelölések: ds = tds = dr ds = dr =drdt = _rdt R ds dt v(r) dr = R v s ds = R (v x dx + v y dy + v z dz) C C C Példák 1. Számítsuk ki a F = iy + jx er½otér rotációját, valamint a munkát az ábrán jelölt kétféle út esetén! Megoldás: i j k r F = @ @ @ @x @y @z = i0 + j0 + k(1 + 1) = 2k y x 0 A munka: F x = y; F y = x 53

R R 1 R 1 R 1 R 1 Fdr = F x (x; y = 0)dx+ F y (x = 1; y)dy = 0dx+ 1dy = [y] 1 0 = 1 G 1 0 0 0 0 R R 1 R 1 R 1 Fdr = F y (x = 0; y)dy + F y (x; y = 1)dx = 0 + ( 1)dx = [ x] 1 0 = G 2 0 0 0 1 Megjegyzés: A munka most függ az úttól. Látni fogjuk, hogy annak szükséges feltétele, hogy a munka független legyen az úttól: r F = 0. 2. Adott a v = (xy; yz; zx) vektormez½o. Számoljuk a R vdr vonalintegrált egy a; b paraméter½u hengeres csavarvonal egy menetére! G Megoldás: G : x = a cos t; y = a sin t; z = bt t = [0; 2] R _r = ( a sin t; a cos t; b) vdr = R v(r(t))_r(t)dt = R 2 [ 0 a2 sin 2 t cos t+a 2 bt sin t cos t+ab 2 t cos t]dt = G a 2 b 2 3. Integráljuk a v = (y 2 ; xy x 2 ; 0) vektort a G : y 2 = 9x síkgörbe mentén a (0; 0) ponttól az (1; 3) pontig! Megoldás: R R 3 vdr = [ 2 9 y3 + ( 1 9 y3 1 81 y4 )]dy = 123 20 G 0 Gyakran használjuk a vonalintegrál alábbi tulajdonságait: 1. a vonalintegrál - hasonlóan az egyváltozós integrálokhoz - additív: BR CR BR vdr = vdr+ vdr A(G) A(G 1 ) C(G 2 ) 54

2. A vonalintegrál - hasonlóan az egyváltozós integrálokhoz - el½ojelet vált, ha megváltoztatjuk a görbe irányítását: G! ( G) BR AR vdr = vdr A(G) B( G) 3. Gyakran használatos jelölés a zárt görbe mentén vett integrálra (ún. körintegrál): H vdr A B 4. A zárt H síkgörbe területét a következ½o formulával számolhatjuk ki: T = 1 2 (xdy ydx). Az additivitás és az el½ojelváltásra vonatkozó tulajdonságok következménye az alábbi nagyon fontos tétel: A vonalintegrál akkor és csak akkor független az úttól, ha bármely zárt görbére az integrál 0. Érvényes a következ½o állítás: BR Az vdr független az úttól (azaz csak az A és B pontoktól függ, A(G) az azokat összeköt½o G görbét½ol nem), ha van olyan U(x; y; z) függvény, hogy v =ru (feltesszük, hogy a tartományunk egyszeresen összefügg½o). Ekkor BR vdr = U(B) U(A). A Ennek szükséges feltétele: r v = 0: Ha a vonalintegrál független az úttól, akkor az U függvény egyszer½uen megadható: 55

PR U(P ) = vdr (tetsz½oleges görbe mentén): A Példa: A konzervatív er½otér. 6.2. Felületi integrálok Legyen adva a (x; y; z) függvény az F felület pontjaiban. Képezzük az F felület egy beosztását (pl. u és v vonalak hálózatával). Az P i-edik beosztás területe legyen f i (= jr u r v j uv). Képezzük a (x i ; y i ; z i )f i i összeget. Ha a beosztást nomítva ez az összeg közelít egy határértékhez, akkor ezt a határértéket a (x; y; z) függvény F felületre vett integráljának nevezzük: R F df. A zikában igen gyakran el½ofordul, hogy egy v vektormez½o uxusát kell kiszámolni egy adott felületre: R F v ndf = R F v ndf = R F vdf, ahol df = ndf az elemi felületvektor. Például, ha a felület u; v paraméterekkel van megadva: df = r u r v dudv. Példa: Legyen F az x + y + z = 1 síknak a három koordinátasík közé es½o darabja! Számoljuk ki az I = R rdf uxust! F Megoldás: rdf = (x; y; z) p 1 3 (1; 1; 1) df = p 1 3 (x + y + z) df = p 1 3 df, mivel a felület mentén x + y + z = 1. I = p 1 R df = p 1 (a háromszög területe) = 1 p 3 p 3 F 3 3 2 = 1 2. Megjegyzés: Az oldallapokra a uxus 0, mivel pl. az x; y síkba es½o oldallapon az r vektor z komponense 0, így ezen a lapon rdf =(x; y; 0)(0; 0; 1)df = 0: Így a tetraéder zárt felületére vett összes uxus: H 1 rdf = 2. 56

6.3. Térfogati integrálok Legyen adva a (x; y; z) függvény az V térrész (térfogat) pontjaiban. Képezzük a V térrész egy beosztását (pl. kicsiny hasábokkal). Az i edik beosztás térfogata legyen V i. Képezzük a P (x i ; y i ; z i )V i összeget. i Ha a beosztást nomítva ez az összeg közelít egy határértékhez, akkor ezt a határértéket a (x; y; z) függvény V térfogatra vett integráljának nevezzük: R dv V A dv térfogatelem derékszög½u koordinátákban dv = dx dy dz : 6.4. A Stokes-tétel Legyen adva egy F felület, amelynek pereme a G zárt görbe. A felületet és a görbét irányítsuk a jobb-csavarnak megfelel½oen. Ha a v vektormez½o folytonosan di erenciálható az F felületen és annak peremén, akkor érvényes az alábbi tétel (Stokes) I Z vdr = rot vdf; G azaz a v vektormez½o örvényer½osségének uxusa az F felületre egyenl½o a peremére számolt cirkulációval. F 57

Miel½ott a Stokes-tétel bizonyítását elvégeznénk, bebizonyítunk egy segédtételt, ami tulajdonképpen a Stokes-tétel két-dimenziós megfelel½oje: Segédtétel (Green-formula): Legyen F az x; y síkban egy kis téglalap, amelynek oldalai x, illetve y. G pedig az F-et határoló zárt görbe. Számoljuk ki a v zárt görbe menti integrálját: y+ y y x x+ x x+x HG vdr = R y+y R = y x v y (x; y 0 )dy 0 = x+x R x y+y R v x (x 0 ; y)dx 0 + @v x @y ( y)dx0 + y+y R y y v y (x+x; y 0 )dy 0 @v y @x xdy0 = x+x R x v x (x 0 ; y+y)dx 0 @vx @y + @v y x y = @x (x;y) (r I v) z x yz v x dx+v y dy = ( @v y @v x G F @x @y )dx dy = R (rot v) F zdf Green-formula A fenti egyszer½u példában kapott ún. Green-formula a Stokes-tétel speciális esete, amelyre az általános Stokes-tétel bizonyítása visszavezethet½o. 6.4.1. A Stokes tétel szemléletes bizonyítása Osszuk fel a felületet kicsiny négyzetek hálózatára. Alkalmazzuk egy ilyen kicsiny, síknak tekinthet½o négyzetre a a Green-formulát: 58

Fennáll H a következ½o közelít½o formula: vdr = X vdr = (r v) df G 4 oldal Összegezzük a felírt közelítést az összes kis négyzetre. Azt kapjuk, hogy a vdr kifejezések a bels½o oldalaknál kiejtik egymást, és csak a határgörbére X vett összegxmarad: vdr = (r v) df perem osszes negyzet Ha a négyzetek oldalhosszát és így felszínét a nullához, számukat a végtelenbe tartatjuk (azaz a beosztást nomítjuk), akkor a fenti összefüggések határértékben a következ½o integrálokat adják I Z vdr = r vdf Ez a Stokes-tétel. 6.4.2. Példák: G 1. Alkalmazzuk a Stokes-tételt v = c alakú vektormez½ore, ahol (r) skalármez½o, c tetsz½oleges, nem nulla, konstans vektor. (r v)df =(r c)df =(r c)df =dfr c c R df r= c H R dr =) df r= H dr F F G G I 2. Bizonyítsuk be, hogy r vdf = 0. F F 59

A zárt felületet egy síkkal daraboljuk két részre, és két (most már nem zárt) felületre alkalmazzuk a Stokes tételt: I Z Z H H r vdf = r vdf+ r vdf = vdr vdr = 0; G G F F 1 F 2 mivel a határgörbék azonosak, csak ellenkez½o körüljárásúak. Következmény: I A r vdf = 0 összefüggésra alkalmazhatjuk a Gauss-tételt (ld. 6.6 F pont): I Z r vdf = r (r v)dv = 0: =) r (r v) = 0: F V A jól ismert vektorazonosság egy koordinátáktól független bizonyítását kaptuk. 3. Mutassuk meg, hogy H rdr = 0 G A Stokes-tétel szerint H Z rdr = r rdf =0, mert r r =0. G F 4. Mutassuk meg, hogy egy síkfelület (amit a G zárt görbe határol) T felületvektora T = 1 H rdr! 2 G a) A helyvektor által súrolt területelem jrdrj = rdr sin = 2dT. Ebb½ol az állítás látszik. b) Alkalmazzuk a Stokes-tételt a v = c r vektormez½ore, ahol c konstans vektor. r v =r (c r) = c(r r) (c r)r =3c c =2c vdr = c rdr Z = c rdr Z Kapjuk, hogy r(c r)df =2c df = c H rdr =) 2T = H rdr G G F F Megjegyzés: A Stokes-tételnek a zikában számos fontos alkalmazása van: konzervatív er½oterek, örvények és cirkuláció a folyadékok áramlási terében, Ampére-törvénye, a Faraday-féle indukciós törvény az elektrodinamikában, stb. 60

6.5. A Gauss-tétel Legyen adva egy F zárt felület, amely egy V térfogatot (térrészt) fog közre. A felület normálisát kifelé irányítjuk. Ha a v vektormez½o folytonosan di erenciálható a tartományban és a határán, akkor érvényes a következ½o tétel: Z I div vdv = vdf V azaz a v vektormez½o forráss½ur½uségének térfogatra vett integrálja (az ½un. forráser½osség) megegyezik a határfelületre vett uxussal. A bizonyításhoz el½obb belátunk egy segédtételt, amelyre a Gauss-tétel visszavezethet½o. Segédtétel: Legyen az F zárt felület egy kicsiny, x; y; z oldalhosszúságú téglatest, melynek élei párhuzamosak az x; y; z koordinátatengelyekkel. Érvényes, hogy a téglatest zárt felületére vett uxus megegyezik a div v térfogati I integráljával: Z vdf = div vdv F V F Bizonyítás: 61

Számítsuk ki a téglatest oldallapjaira a v vektormez½o uxusát. Az integrál a hat lapra vett összegre esik szét, és a lapokon vett integrálás helyett számoljunk középértéktétellel. Például a z tengelyre mer½oleges "fels½o" és "alsó" lapra kapjuk, hogy: v z (x 0 ; y 0 ; z + z)x y v z (x 00 ; y 00 ; z)x y, ahol gyelembe vettük, hogy az alsó lap normálisa k; és hogy a v mez½o értékét a lapok közbüls½o pontjában kell venni. Vegyük észre, hogy a kapott kifejezés a z szerinti parciális di erenciálhányados segítségével így írható: @v z z x y. @z Hasonlóan I eljárva a másik két lap-párra, végül kapjuk, hogy vdf = @v z F @z z x y+@v x @x x z y+@v y y z x = div v x z y = Z @y div vdv; V ahol az utolsó el½otti kifejezésben a divergencia értékét a tartomány közbüls½o pontjában számoljuk ki. A Gauss-tétel a segédtétel felhasználásával könnyen belátható, hiszen egy tetsz½oleges térfogat kis hasábokkal egyre nomabban kitölthet½o, illetve a bels½o felületekre vett uxusok kiejtik egymást. Példa: Legyen F tetraéder az x + y + z = 1 sík, és a három koordinátasík I által határolt zárt felület. Korábban kiszámoltuk, hogy az I = rdf zárt felületre vett uxus értéke 1 : Számítsuk ki a div r tetraéderre vett 2 térfogati Z integrálját Z : div rdv = 3dV = 3 1 3 1 2 1 = 1 2, V V amely eredmény a Gauss-tétel szerint várható is. A kapott eredmény általánosítható: Egy tartomány V térfogata kiszámítható oly módon, hogy vesszük a r helyvektor uxusát a határoló zárt felületre és azzeredményt Z osztjuk 3-mal: 1 V = dv = 3 div r dv = 1 I rdf. 3 V V F 62

6.5.1. A Gauss-tétel szemléletes bizonyítása Osszuk fel a térfogatot tetsz½olegesen nagy számú elemi kis téglatestre. Az el½oz½o pontban bizonyított segédtétel szerint egy ilyen kis tégla egy alkalmas közbüls½o pontjában: r v = 1 I vdf; V F vagyis fennáll a következ½o formula I vdf ==r v V F Adjuk össze az összes kis téglára ezt az összefüggést. Azt kapjuk, hogy a bels½o felületekre a vdf kifejezések páronként kiejtik egymást, így csak a küls½o felületre vett összeg marad meg: X hatarfelulet vdf = X terfogat r v V Ha a téglák száma tart a végtelenbe, miközben oldaléleik hossza, és így térfogatuk a nullához tart, a felírt összegek a következ½o integrálokhoz tartanak: I Z vdf = r vdv: F V Eredményül a Gauss-tételt kaptuk. A Gauss-tételt gyakran használjuk Descartes-féle derékszög½u koordinátákban a következ½o alakban: 63

3X Z k=1 @ @x k ( ) k dv = 3X I k=1 df n k ( ) k. 6.6. Green tételei, a Gauss-tétel további megfogalmazásai A Gauss-tétel gyakran használt egyik következményének külön neve van: Green tételei. 1. Legyen v =r r v =r (r ) = r r + r 2 Green I. tétele: Z I I (r 2 + r r )dv = r df = @ V F F @n df 2. Legyen v =r r A Gauss-tételbe behelyettesítve kapjuk Green II. tételét: Z V r 2 r 2 I dv = = F @ @n @ df @n 2. A Gauss tétel további következményeit kaphatjuk a v vektormez½o további speciális választásaival. a) Legyen v =c, ahol (r) skalármez½o, c tetsz½oleges, nem zérus, állandó vektor. r v =r (c) = c r. Beírva Z a Gauss-tételbe I Z I c rdv = cdf =) c [ rdv df]. V F Mivel c tetsz½oleges, fennáll, hogy Z I rdv = V (a gradiens koordinátáktól független de níciója) b) Legyen v = c u, ahol u(r) vektormez½o, c tetsz½oleges, nem zérus, állandó vektor. r v =r (c u) = c (r u) (c u)df = c (df u) V F df F 64

Beírva Z a Gauss-tételbe I c (r u)dv = c (df u) V Mivel c tetsz½oleges, következik, hogy Z I r udv = F V F df u (a rotáció koordinátáktól független de níciója) c) Z Összefoglalva I a Gauss-tétel ilyen alakban írható: r(:::)dv = df(:::) V F Z V I r(:::)dv = F df(:::) (a r koordinátáktól független de níciója) 3) További I példák: a) df = 0, zárt felület felületvektora mindig nulla. F Bizonyítás: Legyen v I= c állandó vektor. r c =0: =) 0 = df F b) Egy tartomány térfogata kiszámítható a V = 1 I rdf képlettel. 3 F Bizonyítás: Alkalmazzuk a Gauss-tételt a v = r vektorra. r r = @x @x + @y @y + @z = 3. Így Z Z @z I r rdv = 3 dv = 3V = rdf, az állítás leolvasható. V V c) A Laplace-operátor integrál el½oállítása Legyen v =r, ahol (r) skalármez½o r v =r r = r 2 ; rndf = @ @n df A Gauss-tételbe beírva: Z I r 2 @ dv = @n df V F Egy kicsiny térfogatot, és zárt felületet választva a bal oldal (középérték tétellel) így írható: F 65

I r 2 @ dv = F @n df =) r2 = 1 I @ dv F @n df A zárt felületet összehúzva a tartomány egy bels½o pontjára, kapjuk, hogy I r 2 1 @ = lim dv!0 dv @n df (koordinátáktól független de níció) Kérdés: r 2 v-re nincs hasonló de níció? Válasz: r 2 v = grad div v rot rot v. A Gauss-tételnek a zikában számos fontos alkalmazása van: kontinuitási egyenlet a folyadékok áramlási terében, az elektrodinamikában, kvantummechanikában és általában a megmaradási törvényeknél, Gausstörvénye az elektrodinamikában, és általában a potenciálelméletben, stb. 6.7. A grad, div, rot, Laplace-operátor (koordinátáktól független) integrál el½oállítása Összefoglaljuk az el½oz½o fejezetekben kapott hasznos formulákat. A Gauss-tétel alapján a v vektormez½o divergenciája egy tetsz½oleges P pontban meghatározható, mint a v uxusa a P -t körülvev½o F felületre osztva a körbezárt térfogattal, és a felületet egyenletesen összehúzva a P pontra: I 1 div v = lim vdf V!P V F Hasonlóan, a Stokes-tétel alapján a v vektormez½o rotációjának vetülete egy tetsz½oleges n irányra egy tesz½oleges P pontban meghatározható, mint a P pont körüli zárt G görbére számított cirkuláció osztva a görbe által körülzárt területtel, majd a görbét egyenletesen összehúzva a P pontra: 1 n rot v = lim F!P F F I G vdr A fentiek alapján könnyen el½oállíthatjuk a gradiens koordinátamentes alakját. Legyen v ='a, ahol ' skalármez½o, a pedig egy tetsz½oleges konstans vektor. 66

I 1 div v = div('a) = a grad '= lim V!P V ahonnan leolvasható, hogy F 1 grad ' = lim V!P V I 1 ('a)df = a ( lim 'df), V!P V F A divergencia és a gradiens kifejezése alapján vegyük észre, hogy a nabla-vektor el½oállítható a I 1 r(: : :) = lim df (: : :) V!P V alakban. Ezek szerint pl. a rotáció koordinátamentesen de nálható az alábbi módon is: I 1 r v = lim df v V!P V F A Laplace-operátorra 3.c példában kapott el½oállítást is írjuk újra ide: I r 2 1 @ = lim dv!0 dv @n df F I F F 'df 7. Görbevonalú koordináták A Descartes derékszög½u koordinátarendszert az i; j; k ortonormált bázis feszíti ki. Egy tetsz½oleges pont helyvektora ebben a bázisban r =xi+yj+zk ahol x; y; z a pont ún. Descartes-féle derékszög½u koordinátái. Ezek a derékszög½u koordináták kifejezhet½ok 3 másik független adat: u; v; w, ún. általános görbevonalú koordináták segítségével is, vagyis a derékszög½u koordináták az új, görbevonalú koordináták függvényei: x = x(u; v; w); y = y(u; v; w); z = z(u; v; w): A tér adott pontján három, kölcsönösen mer½oleges sík metszi egymást: az x = allando, y = allando és a z = allando sík. Egy pont helyzetét megadhatjuk mint ezen három koordinátasík közös pontját. Ha az u; v; w új koordináták közül pl. w-t rögzítjük, a kapott felület neve u; v-felület. Ha az u; v-felületen pl. v-t rögzítjük, a kapott görbe neve u-vonal. Ha az u; v-felületen u-t rögzítjük, akkor v-vonalat kapunk. Hasonlóan értelmezünk két további koordinátafelületet (v; w felület, u; w 67

felület), valamint a w-vonalat. Ezek felelnek meg a korábbi koordinátasíkoknak és koordináta-tengelyeknek. A könnyebb jelölés kedvéért a Descartes derékszög½u koordinátákat x 1 ; x 2 ; x 3 - mal, a görbevonalú koordinátákat u 1 ; u 2 ; u 3 -mal jelöljük. A derékszög½u koordináták az új, görbevonalú koordináták függvényei: r = r(u 1 ; u 2 ; u 3 ) : x 1 = x 1 (u 1 ; u 2 ; u 3 ); x 2 = x 2 (u 1 ; u 2 ; u 3 ); x 3 = x 3 (u 1 ; u 2 ; u 3 ): Mivel u 1 ; u 2 ; u 3 független koordináták, az inverz függvényeknek is létezniük kell, azaz a görbevonalú koordináták felírhatók a derékszög½u koordinátákkal: u i = u i (x 1 ; x 2 ; x 3 ); i = 1; 2; 3: A koordinátavonalak érint½oi, amelynek irányában a koordináta változik, a koordinátafelületre mer½oleges vektorok, pl az u 3 vonal érint½oje mer½oleges az (u 1 ; u 2 ) felületre: g i = @r @u i A g i vektorok Descartes-féle derékszög½u koordinátái: @x1 g i = ; @x 2 ; @x 3 @u i @u i @u i A tér egy P pontjában meghatározott g 1 ; g 2 ; g 3 vektorok a görbevonalú koordinátarendszer bázisvektorai. Ily módon a tér minden pontjában de niálunk egy koordinátarendszert. Ha a g 1 ; g 2 ; g 3 vektorok páronként mer½olegesek, a koordinátarendszert ortogonális görbevonalú koordinátarendszernek hívjuk. 68

A továbbiakban csak ortogonális koordinátákkal foglalkozunk. A koordinátavonalak minden pontban mer½olegesek egymásra. Az u i koordinátavonal érint½o egységvektora e i = 1 h i g i, az e 1 ; e 2 ; e 3 ortonormált bázis általában helyr½ol-helyre változik (elfordul). Jelöljük a g i bázisvektor hosszát h i -vel, h i = jg i j. A h 1 ; h 2 ; h 3 mennyiségeket Lamé-féle állandóknak, vagy skála-faktoroknak nevezzük. A Lamé-féle állandók segítségével kifejezhet½ok az ívhossz-elem, a felületelem és a térfogatelem. Ívhossz-elem az u 1 -vonal mentén: ds 1 = h 1 du 1 Felületelem az u 1 =áll., vagyis az u 2 ; u 3 koordinátafelületen: df 23 = h 2 h 3 du 2 du 3 Térfogatelem (a koordinátafelületek által körbefogott térrész térfogata): dv = ds 1 ds 2 ds 3 = h 1 h 2 h 3 du 1 du 2 du 3 7.1. Henger- és gömbi polárkoordinátarendszer 7.1.1. Hengerkoordinátarendszer hengerkoordináták: u 1 = ; u 2 = '; u 3 = z z vonal ϕ vonal ρ vonal r = r(; '; z) 69

x = cos ', y = sin '; z = z Koordinátafelületek: = all:felület henger ' = all: felület: félsík z = all: felület sík Koordinátavonalak: ld. ábra Érint½ovektorok és skála-faktorok (Lamé-állandók) g = @r @ = (cos '; sin '; 0), h = 1 g ' = @r @' = ( sin '; cos '; 0), h ' = g = @r @z = (0; 0; 1), h z = 1 Ívelem-négyzet: ds 2 = d 2 + 2 d' 2 + dz 2 Felületelemek: df z = dd'; df ' = ddz; df = d'dz Térfogatelem: dv = dd'dz 7.1.2. Gömbi polárkoordináta-rendszer Gömbi polárkoordináták: u 1 = r; u 2 = #; u 3 = ' z r vonal ϕ vonal ϑ vonal y x r = r(r; #; ') 70

x = r sin # cos ', y = r sin # sin '; z = r cos # Koordinátafelületek: r = all: felület: gömb # = all: felület: kúp ' = all: felület: félsík Koordinátavonalak: ld. ábra Érint½ovektorok és skála-faktorok (Lamé-állandók) g r = @r @r = (sin # cos '; sin # sin '; cos #), h r = 1 g ' = @r @# = (r cos # cos '; r cos # sin '; r sin #), h # = r g ' = @r @' = ( r sin # sin '; r sin # cos '; 0), h z = r sin # Ívelem-négyzet: ds 2 = dr 2 + r 2 d# 2 + r 2 sin 2 #d' 2 Felületelemek: df r = r 2 sin # d#d'; df # = r sin # drd'; df ' = rdrd# Térfogatelem: dv = r 2 sin # drd#d' 7.2. grad, div, rot, görbevonalú koordinátákban 7.2.1. Gradiens 1 H r = lim ndf V!0 V F Számoljuk ki a r vetületét pl. a 3. koordinátavonal irányára! Legyen a térfogat egy kis henger e 3 irányú alkotóval, amelynek hossza ds 3 = h 3 du 3 ; térfogata V = A h 3 du 3. e 3 A ds 3 =h 3 du 3 71

A (u 1 ; u 2 ; u 3 ) függvényt a henger fels½o és alsó lapjára, valamint palástjára kell integrálni, 8de a palást normálisa mer½oleges e 3 -ra: 9 r e 3 = lim A!0; du 3!0 1 >< [(u 3 + du 3 ) (u 3 )]A + Ah 3 du 3 >: r e 3 = 1 h 3 @ @u 3 A többi komponensre hasonlóan számolhatunk, így r = 3X i=1 1 @ e i h i @u i Hengerkoordinátákban: h = 1; h ' = ; h z = 1 Z palast r = @ @ e + 1 @ @' e ' + @ @z e z Gömbi polárkoordinátákban: h r = 1; h = r; h ' = r sin r = @ @r e r + 1 @ r @ e + 1 @ r sin @' e ' >= ndf e 3 = {z } =0 >; Példa: rr n = nr n 1 e r = nr n 2 r 7.2.2. Divergencia 1 H div v = r v = lim v ndf V!0 V F Legyen a térfogat egy kis paralelepipedon a koordinátavonalak mentén (ábra). Az integrált a hat lapra írt összegként kezeljük: Írjuk fel például az e 1 normálisú 1. és a e 1 normálisú 2. lapra vett felületi integrált: v 1 h 2 h 3 du 2 du 3 j 1: lapon v 1 h 2 h 3 du 2 du 3 j 2: lapon Ha ezt osztjuk a V = ds 1 ds 2 ds 3 = h 1 h 2 h 3 du 1 du 2 du 3 térfogattal, kapjuk hogy 72

1 v 1 h 2 h 3 j 1:lapon v 1 h 2 h 3 j 2:lapon 1 @(v 1 h 2 h 3 ) lim = V!0h 1 h 2 h 3 du 1 h 1 h 2 h 3 @u 1 A másik két szemközti lap-párra hasonlóan eljárva, adódik: Hengerkoordinátákban: div v = 1 h 1 h 2 h 3 3X i=1 @ @u i ( v i h i h 1 h 2 h 3 ) div A = 1 @(A 1 ) + 1 @A 2 @ @' + @A 3 @z (Figyelem! A v i komponens a v vektor vetülete a g i irányra: v i = v e i ) Gömbi polárkoordinátában: div A = 1 r 2 @ @r (A 1r 2 ) + 1 r sin @ @ (A 2 sin ) + 1 r sin @ @' (A 3) 7.2.3. Rotáció 1 H rot v = r v = lim n vdf; V!0 V F vagy 1 H k rot v = k r v = lim vds: A!0 A G Az utóbbi alkalmasabb a komponensek meghatározására. Legyen a kis sík felület az el½oz½o ábra k = e 3 normálisú lapja. A = h 1 du 1 h 2 du 2 73

Számoljuk ki a vonalintegrálokat a szemközti oldalpárokra: e 3 rot v = ( rot v) 3 = 1 lim [v 1 h 1 du 1 j A!0h 1 du 2 h 2 du u2 v 1 h 1 du 1 j u2 +du 2 +v 2 h 2 du 2 j u1 +du 1 v 2 h 2 du 2 j u1 ] = 3 1 v2 h 2 j = lim u1 +du 1 v 2 h 2 j u1 v 1 h 1 j u2 +du 2 v 1 h 1 j u2 A!0 h 1 h 2 du 1 du 2 ( rot v) 3 = 1 @ h 1 h 2 @u (v 2h 1 2 ) @ @u (v 1h 2 1 ) Az ered- Az els½o és második komponenst hasonlóan kaphatjuk meg. ményeket egy formulába összefoglalva: rot v = 3X i;j;k=1 h i h 1 h 2 h 3 @v k h k @u j " ijk e i. Praktikusan megjegyezhet½o determináns alakban: e 1 h 1 e 2 h 2 e 3 h 3 1 rot v = @ @ @ h 1 h 2 h 3 @u 1 @u 2 @u. 3 v 1 h 1 v 2 h 2 v 3 h 3 A rotáció hengerkoordinátákban rot v = ( 1 @v 3 @v 2 r @' @z )e 1 + ( @v 1 @z Gömbi polárkoordinátákban: (rot v) 1 = 1 @ r 2 sin @ (v 3r sin ) stb. @v 3 @r )e 2 + ( 1 @(rv 2 ) r @r 1 @v 1 r @' )e 3 @ @' (v 2r) = 1 @ r sin @ (v 3 sin ) 1 @v 2 r sin @' 74