Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu
Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés képernyő előtti tanuláshoz van optimalizálva. Ez elsősorban azt jelenti, hogy az olvasás során nem kell görgetni; ha a megjelenítéskor a teljes oldal opciót választjuk, akkor kényelmesen olvasható szöveget kapunk még viszonylag kis monitoron is. A szöveg belső linkeket tartalmaz. A lapok alján elhelyezett navigációs panel lehetőségeit Acrobat Reader-rel tudjuk teljes mértékben kihasználni. Ha egy link elvezet egy másik oldalra, az eredeti oldalhoz a Back gombbal tudunk visszajutni. Fontos megjegyezni, hogy R n -et gyakran beazonosítjuk R n 1 -el, azaz a pontokat, vektorokat oszlopmátrixként is felfoghatjuk, erre külön utalás általában nem történik! 2
1. gyakorlat 3 Egybevágósági transzformációk a síkban
AZ ALÁBBI TÍPUSFELADATOKAT KELL KÉSZSÉG SZINTEN ISMERNIE: 4 pont tükrözése origóra illeszkedő egyenesre, ha az egyenes irányszögével vagy iránytangensével van adva pont tükrözése egyenesre, ha az egyenes (normálvektoros) egyenletével van adva pont elforgatása origó ill. tetszőleges pont körül
5 FELHASZNÁLT ISMERETEK tükrözés origóra illeszkedő tengelyre (mátrix alak): (1) ρ l : R 2 R 2, X ref(α)x, ahol α a tengely irányszöge és ( cos 2α ) sin 2α (2) ref(α) = sin 2α cos 2α a TTT szabály: (3) ρ l : R 2 R 2, X ref(α)(x P) + P
1. Mintafeladat. Tükrözzük az X = ( 1, 2) pontot az origóra illeszkedő α = π/6 irányszögű egyenesre! 6 Megoldás. Mivel a tengely illeszkedik az origóra, az (1) összefüggést alkalmazhatjuk. Az α = π/6 szöghöz tartozó tükrözési mátrix (2) alapján: ( ) cos π sin π 3 3 sin π 3 cos π 3 cos π = 1/2, sin π = 3/2, így 3 3 ( X = Azaz a képpont X = 1 3 2 2 3 1 2 2 1 2 ( 1+2 3, 3 2 2 2 ) = 1+2 3 2 3 2 2. ).
2. Mintafeladat. Tükrözzük az X = (4, 5) pontot az y = 3 4 x egyenletű egyenesre! 7 Bizonyítás. Az egyenes iránytangense m = 3/4. Innen az α irányszög kétszeresének szögfüggvényei (egyszerű trigonometrikus összefüggések alapján): cos 2α = 1 m2 1 + m = 7 2m, sin 2α = 2 25 1 + m = 24 2 25. Az (1) összefüggést használva: ( 7 ) ( ) ( ) 24 X 25 25 4 92 25 = =. 24 7 5 131 25 25 25 Az eredmény X = ( 92, ) 131 25 25.
3. Mintafeladat. Tükrözzük az X = (4, 5) pontot a 3x + 4y = 5 egyenletű l egyenesre! 8 Bizonyítás. A feladatot most (3) alapján (TTT szabály) oldjuk meg. A tengely iránytangense ugyanaz, mint az előző feladatban, így a ref(α) mátrixot ismerjük. A tengely egy pontja úgy kapjuk, hogy az egyenes egyenletébe x vagy y helyébe tetszőleges számot írunk, és a másik változót kifejezzük. Pl. x = 1 esetén y = 2, így P = (1, 2). A TTT formula szerint: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 7 24 3 1 122 = y 25 25 24 7 + = 25 7 2 171. 25 25 25
9 FELHASZNÁLT ISMERETEK elforgatás az origó körül (mátrix alak): (4) σ α : R 2 R 2, X rot(α)x, ahol α a forgatás szöge és ( cos α rot(α) = sin α ) sin α cos α a TFT szabály: (5) σ (C,α) : R 2 R 2, X rot(α)(x C) + C, ahol C a forgatás középpontja és α a forgatás szöge
4. Mintafeladat. Forgassuk el az X = ( 2, 1) pontot az origó körül α = π/3 szöggel! 10 Bizonyítás. Mivel a forgatás középpontja az origó, elegendő a (4) képletbe behelyettesíteni: x = cos π 3 ( 2) sin π 3 1 = 2 3 2 y = sin π 3 ( 2) + cos π 3 1 = 1 2 3. 2
5. Mintafeladat. Forgassuk el az X = ( 2, 1) pontot a C = (1, 1) pont körül α = π/3 szöggel! 11 Megoldás. Az (5) TFT szabályt alkalmazzuk. ( ) ( ) ( ) x cos π sin π 3 = y 3 3 sin π cos π 0 3 3 ( ) 1 +, 1 x = 1 3 2 ( 3) 2 0 + 1 = 1 2 3 y = 2 ( 3) + 1 2 0 = 2 3 3. 2
2. gyakorlat 12 Affin transzformációk a síkban
alaptétel: Háromszög és képe az affin transzformációt egyértelműen meghatározza. Back Doc Doc 13 FELHASZNÁLT ISMERETEK affin transzformáció mátrix alakja: A GL(2) (a transzformáció lineáris része), b R 2 (az eltoló vektor), F : R 2 R 2, X AX + b Az (A, b) R 2 3 mátrix az affin transzformáció mátrixa. speciális affin ( transzformációk: ) A O(2): izometria a ±b A =, (det A 0): hasonlóság b a szorzat: Az F 1 (X) = A 1 X + b 1 és az F 2 (X) = A 2 X + b 2 affin transzformációk F 2 F 1 szorzatának mátrixa (6) (A 2 A 1, A 2 b 1 + b 2 ) az affin transzformáció inverze: Az (A, b) affin transztformáció inverze (7) (A 1, A 1 b)
AZ ALÁBBI TÍPUSFELADATOKAT KELL KÉSZSÉG SZINTEN ISMERNIE: 14 izometria, hasonlóság felismerése affin transzformáció mátrix alakjából pont képének meghatározása a transzformáció inverzének meghatározása transzformációk szorzatának meghatározása affin transzformáció analitikus felírása, ha ismert egy háromszög és a képe (csak a szorgalmi feladat megoldásához kell)
Az affin transzformáció algebrai megadására többféle, egymással ekvivalens formát alkalmazhatunk: 1. megadjuk transzformáció lineáris részét és eltoló vektorát: ( ) a b GL(2), (e, f ) R 2 ; c d 2. megadjuk a transzformáció analitikus szabályát: x = ax + by + e, y = cx + dy + f ; 3. megadjuk a transzformáció mátrixát: ( ) a b e R 2 3. c d f 15
6. Mintafeladat. Legyen F : R 2 R 2, X F(X), ( ) ( ) 4 1 2 F(X) = X +. 2 1 1 1. F affin transzformáció-e? 2. F izometria-e? 3. Határozzuk meg az (4, 2) pont képét! 16 Megoldás. 1. A transzformáció lineáris része ( ) 4 1 A =. 2 1 det A = 2 0, tehát az F leképezés affin leképezés. 2. A nem ortogonális mátrix, tehát F nem izometria. (Miért? Ha önállóan nem tudja a választ, akkor a következő oldalon találja az útmutatást.) 3. ( ) ( ) ( ) ( ) 4 1 4 2 20 + =. 2 1 2 1 9
Útmutatás. Egy ortogonális mátrix determinánsa szükségképpen ±1. Így azt, hogy A nem ortogonális mátrix, már onnan is látjuk, hogy determinánsa 2. Az előbbi állítás visszafele nem igaz, egy ±1 determinánsú mátrix nem feltétlenül ortogonális mátrix. Másik megoldásként kiszámíthatjuk A inverzét, A 1 = 1 2 ( 1 1 2 4 ) A t. Innen ismét látjuk, hogy A nem ortogonális mátrix. 17
7. Mintafeladat. Legyen F : R 2 R 2, X F(X), ( ) ( ) 4 1 2 F(x) = X +. 2 1 1 Határozzuk meg a transzformáció inverzét! 18 Megoldás. A (7) képletbe helyettesítünk be: ( ) ( A 1 1/2 1/2 =, A 1 1/2 1/2 b = 1 2 1 2 Tehát az inverz transzformáció: ( ) ( x 1/2 1/2 y 1 2 ) ( ) x y ) ( ) 2 1 ( ) 3/2 =. 4 ( ) 3/2 +. 4
19 ( ) 2 1 8. Mintafeladat. Az F transzformáció lineáris része, eltoló vektora (2, 1), míg a G transzformáció lineáris része, eltoló vektora 1 2 ( ) 1 2 2 1 (0, 1). Határozzuk meg az G F szorzat transzformációt. Határozzuk meg a P = (1, 2) képét a G F transzformációnál. Megoldás. (6) szerint járunk el. A szorzat transzformáció lineáris része ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 4 3 = 2 1 1 2 3 4 A szorzat transzformáció eltoló vektora ( ) ( ) ( ) 1 2 2 0 + 2 1 1 1 ( ) 4 =. 4 Az (1, 2) pont képe: ( ) ( ) 4 3 1 3 4 2 ( ) ( 4 + = 4 2 15 ).
9. Mintafeladat. Írjuk föl azt az affin transzformációt, amely az O = (0, 0), E 1 = (1, 0), E 2 = (0, 1) pontokat rendre a P, Q, R pontokba viszi, ahol (P, Q, R) nem kollineárisak! Legyen P = (3, 2), Q = (5, 8), R = (7, 3). ( a Megoldás. Legyen a keresett F transzformáció lineáris része A = c az eltoló vektor (e, f ). A feltétel szerint: P = F(0, 0) = (e, f ) = (e, f ) = P, Q = F(1, 0) = (a, c) + (e, f ) = (a, c) = Q P, R = F(0, 1) = (b, d) + (e, f ) = (b, d) = R P. A konkrét adatokkal: (e, f ) = (3, 2), (a, c) = (5, 8) (3, 2) = (2, 6), (b, d) = (7, 3) (3, 2) = (4, 1). 20 ) b, d Így a transzformáció: x = 2x + 4y + 3, y = 6x + y + 2. (A feladatba való visszahelyettesítéssel ellenőrizzünk!) Back Doc Doc
10. Mintafeladat. Írjuk föl azt az affin transzformációt, amely a P, Q, R pontokat rendre a P, Q, R pontokba viszi! 21 Megoldás. A megoldás algoritmusa: 1. F 1 : (O, E 1, E 2 ) (P, Q, R) az előző mintafeladat alapján 2. F 2 : (O, E 1, E 2 ) (P, Q, R ) az előző mintafeladat alapján 3. F 1 1 a 7. mintafeladat alapján 4. F 2 F 1 1 adja a keresett transzformációt. Back Doc Doc
11. Mintafeladat. Írjuk föl azt az affin transzformációt, amely a (2, 3), (1, 6), (3, 1) pontokat rendre a (1, 2), (2, 1), ( 3, 5) pontokba viszi! Megoldás. A 10. mintafeladat algoritmusát követjük. Az algoritmus első három lépése korábban már előfordult feladatokban, itt csak végeredményt adunk meg. 1. 2. 3. 4. F 1 (X) = ( ) ( ) 1 1 2 X + 3 4 3 ( ) ( ) 1 4 1 F 2 (X) = X + 3 7 2 ( 1 (X) = 4 3 F 1 ) ( ) 1 11 X + 1 9 ( ) ( ) F 2 F 1 1 (X) = 8 3 24 X + 33 10 94 Back Doc Doc 22
3. gyakorlat 23 Vetítések
AZ ALÁBBI TÍPUSFELADATOKAT KELL KÉSZSÉG SZINTEN ISMERNIE: 24 ferde axonometria mátrixának felírása, a kanonikus bázis képe alapján pont vetületének kiszámítása (az xy síkra) (a) párhuzamos vetítésnél, ha ismert a vetítés iránya (b) centrális vetítésnél, ha ismert a centrum ortogonális axonometria mátrixának felismerése ortogonális axonometria mátrixának felírása két oszlop alapján
12. Mintafeladat. Írjuk fel annak a ferde axonometriának a mátrixát, mely a kanonikus bázist az alábbi ábra szerint képezi le! Határozzuk meg a P = (4, 2, 1) pont képét! Állapítsuk meg, hogy ortogonális axonometriáról van-e szó? 25 Megoldás. A bázisvektorok vetületeinek koordinátapárjai alkotják a vetítési mátrix oszlopait: ( ) 4 1 1 V =. 1 2 4 VP = (17, 12).
Az ortogonális axonometria mátrixát egymásra merőleges, azonos hosszúságú sorok alkotják. V sorai nem azonos hosszúságúak (és nem is merőlegesek) így V nem ortogonális axonometria mátrixa. 26
13. Mintafeladat. Vetítsük a P( 1, 2, 3) pontot az xy síkra a v = (1, 2, 1) irányból. 27 Megoldás. A vetítés mátrixa ( ) ( ) 1 0 v 1 /v 3 1 0 1 P = =. 0 1 v 2 /v 3 0 1 2 VP = ( 4, 4).
14. Mintafeladat. Vetítsük a P = (1, 2, 2) pontot a C = (0, 0, 4) pontból centrálisan az xy síkra! 28 Megoldás. Ha a z tengely 1/r pontjából vetítünk, akkor a vetítés mátrixa 1 0 0 0 0 1 0 0. 0 0 r 1 A feladatban r = 1/4, a vetület homogén koordinátái pedig 1 1 0 0 0 2 1 0 1 0 0 2 = 2. 0 0 1/4 1 1/2 1 A vetület Descartes-koordinátái: x = 1 1/2 = 2, y = 2 1/2 = 4.
15. Mintafeladat. Keressük meg α és β értékét úgy, hogy az alábbi mátrix ortogonális axonometria mátrixa legyen! ( ) 2 2 α 1 1 β 29 Megoldás. Az ortogonális axonometria mátrixát egymásra merőleges, azonos hosszúságú sorok alkotják. Ennek alapján α 2 β 2 = 6 αβ = 0. Az egyenletrendszer megoldása α = 0, β = ± 6.