KOMBINATORIKA FELADATSOR 1 1. Hányféleképpen rendezhető egy sorba egy óvodás csoport ha 9 lány és 6 fiú van és a lányokat mindig előre akarjuk állítani? 2. Hány 6-jegyű telefonszám van ahol mind 35-tel kezdődik? 3. A magyar kártyából visszatevés nélkül kihúzunk három lapot. Hány különböző megoldás lehet úgy hogy mindhárom piros legyen? Oldja meg visszatevéses esetre is a problémát!. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg? 5. Ha egymás után feldobunk dobókockát és lejegyezzük a dobott pontszámokat az egyes dobások után akkor hányféle dobássorozat lehetséges? FELADATSOR 2 6. Négy színből hányféle kétszínű vízszintes csíkozású zászló készíthető? Ugyanezekkel a színekkel mennyivel több zászló készíthető ha megengedett az egyszínű zászló is? 7. Egy pénzérmét 12.szer feldobunk 10-szer fej és 2-szer írás adódik. Hányféleképpen lehetséges ez? Hányféleképpen valósulhat ez meg ha az első és utolsó dobás fej? Hány olyan dobássorozat létezik ahol a két középső dobás fej? 8. Hány legfeljebb 5 elemű jel állítható össze a MORSE-ABC-ben? (A jelek pontokból és vonalakból állnak.) 9. Hány új rendszámtábla készíthető 25 betű és 10 számjegy felhasználásával ha a rendszám 3 betűből majd azt követően 3 számjegyből áll? Mekkora lenne ez a szám ha a rendszám 2 betűből majd 3 számjegyből állna? 10. A buszjegy kezelő automata a jegyet 9 pontban lyukaszthatja ki. Hányféle érvényesítés lehetséges ha legalább 3 és legfeljebb 5 helyen lyukaszt? FELADATSOR 3 1. A binomiális tétel alapján fejtsük ki az alábbi hatványokat! x y 8 2 2x 6 2. Egyszerűsítse a következő kifejezést! n 3! n 1! n 2! ( n 1)! x 3y 2 5 1 3x 1 3x 1
3. Egy 35 fős csoportban 7 különböző könyvet sorsolnak ki. Hányféleképpen történhet a könyvek szétosztása ha egy tanuló csak egy könyvet kaphat? egy tanuló több könyvet is kaphat?. Hány 5-tel osztható négyjegyű szám képezhető a 0 1 3 5 számjegyek felhasználásával ha minden számjegy csak egyszer szerepelhet? 5. A lottón az 1 2 3... 90 számok közül kihúznak ötöt. A kihúzás sorrendje nem számít. Tekintsük a lehetséges számötösöket. Hány számötösben fordul elő a 7-es és 13-as? VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS FELADATSOR 1. 20 db-ból álló borsómintából melyek között 3 hibás van kiveszünk -et visszatevéses mintavétellel. Mi a valószínűsége annak hogy a kivett szem között 0123 hibás van? 2. 100 munkadarabból melyek közül 10 selejtes egymás után kiveszünk kettőt visszatevés nélkül. Mi a valószínűsége annak hogy elsőre selejteset másodikra meg jót veszünk ki. Oldja meg a feladatot azzal a feltétellel is hogy a húzás visszatevéssel történik. 3. Dobjunk fel három szabályos kockát egymástól függetlenül. Mi a valószínűsége annak hogy az így kapott pontok összege 10?. Öt cédulára rendre felírjuk a 0 2 6 8 számjegyeket majd egy urnába téve hármat kihúzunk közülük és ezeket a kihúzás sorrendjében egymás mellé tesszük. Mi a valószínűsége annak hogy a kapott szám a) osztható 9-cel? b) osztható 18-cal? 5. Dobjunk fel két szabályos dobókockát egymástól függetlenül. Mi annak a valószínűsége hogy az így kapott számok összege 9-nél kisebb lesz? FELADATSOR 5 1. Dobjunk fel három szabályos dobókockát egymástól függetlenül. Mi a valószínűsége annak hogy a dobott számok mindegyike prímszám lesz? 2. 15 fiút és 15 lányt sorshúzás útján azonos létszámú csoportba osztunk. Mi a valószínűsége annak hogy az egyik csoportba 5 fiú és 10 lány kerül? 2
3. Egy csomag magyar kártyából kihúzunk egymás után öt lapot úgy hogy a lapokat a húzások után tesszük vissza. Mi a valószínűsége annak hogy a kihúzott öt lap közül három piros?. Visszatevés nélkül kihúzunk a 32 lapos magyar kártyacsomagból visszatevés nélkül véletlenszerűen 3-at. Mi annak a valószínűsége hogy a) nem lesz köztük király b) király ász király sorrendben húzzuk ki őket? 5. Egy raktárban 12 láda áruból 10 ládában első- a többiben II. osztályú termék van. ládát véletlenszerűen kiválasztva (visszatevés nélkül) mi a valószínűsége annak hogy a) nincs köztük másodosztályú terméket tartalmazó láda b) van köztük II. osztályú terméket tartalmazó láda? VEGYES FELADATOK FELADATSOR 6 1. Négy dobozba kilenc golyót helyezünk el. Hányféleképpen történhet ez ha a golyók között nem teszünk különbséget? 2. Egy kör alakú asztal mellett tízen vacsoráznak. Mennyi annak a valószínűsége hogy két nő nem kerül egymás mellé ha az asztalnál 5 férfi és 5 nő van? 3. Legyen P( A) 1 P A B 1 2 P B A 1. Számítsa ki a P A B -t!. Két tétel árunk van az első tételben 1 darab termék a másodikban 15. Mindkét tételben 1-1 hibás darab van. Véletlenszerűen átrakunk egy darab az első tételből a másodikba majd a másodikból kiveszünk véletlenszerűen egyet. Mi a valószínűsége annak hogy ez utóbbi hibás termék volt? 5. Három sportlövész célba lő az elsőnél a telitalálat valószínűsége 001; a másodiknál 03 a harmadiknál 02. Mennyi annak a valószínűsége hogy legalább az egyik nem ér el telitalálatot? FELADATSOR 7 1. Ötféle fagylaltból hányféle háromgombócos adagot lehet készíteni ha az adagolás sorrendjére nem vagyunk tekintettel és két gombóc azonos is lehet? 2. Egy csomag magyar kártyából kiveszünk 5 lapot mi a valószínűsége annak hogy éppen kettő piros lesz közte? 3. Binomiális tétel segítségével hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 5. 2 2x. Az agrármérnök hallgatók 200 hallgatója közül 120 nő és 80 férfi. A női hallgatók 60%-a barna hajú a férfi hallgatók 50%-a barna hajú. Mi a valószínűsége hogy egy hallgatót véletlenszerűen kiválasztva az barna hajú lesz? 3
5. Egy üzletbe 3 cég szállít kenyeret. Az első a teljes mennyiség 5%-át a második a 30%-át a harmadik a 25%-át végzi a beszállításnak. Ezeknek rendre 5%-a 6%-a és 2%-a súlyhibás. Ha egy vásárolt kenyér súlyhibás akkor mi a valószínűsége annak hogy az első üzemben készült? FELADATSOR 8 1. Hány hatjegyű telefonszám készíthető ahol mind 35-tel kezdődik? 2. 100 alma közül 1 férges. Kiveszünk az almák közül válogatás és visszatevés nélkül 5 darab almát. Mi a valószínűsége annak hogy az 1 férges közte lesz? 3. A meteorológusok szerint holnap 06 valószínűséggel lesz eső és 08 valószínűséggel lesz szél. Ha lesz eső akkor 0 valószínűséggel szél is lesz. Mi a valószínűsége annak hogy ha szél lesz eső is lesz?. 1 tanuló vizsgázik. Közülük az anyag 10%-át 7 az 50%-át a többi a 90%-át sajátította el. Mekkora valószínűséggel megy át a vizsgán egy véletlenszerűen kiválasztott hallgató (feltéve persze hogy valaki a -át tanulta meg az anyagnak akkor p valószínűséggel megy át a vizsgán). 100 p% 5. Három fűnyíró egymástól függetlenül 02; 03 és 0 valószínűséggel romlik el. Mi annak a valószínűsége hogy legalább az egyik jó a három fűnyíró közül? FELADATSOR 9 1. Egy áruházba 5 láda eper érkezik amelyek első- másod- és harmadosztályúnak minősülhetnek. Hányféle minőség szerinti osztályozás lehetséges? 2. Egy urnában 100 golyó van: 0 piros és 60 fekete. Véletlenszerűen kiválasztunk 35 darabot visszatevés nélkül. Mi a valószínűsége annak hogy lesz közte piros? 3. A meteorológusok szerint holnap 06 valószínűséggel lesz eső és 08 valószínűséggel lesz szél. Ha lesz eső akkor 0 valószínűséggel szél is lesz. Mi a valószínűsége annak hogy ha szél lesz eső is lesz?. Egy törzs minden tagja az év egy napján leopárdvadászatra megy. A vadászaton egy vadászt 027 valószínűséggel támad meg egy leopárd és ekkor 036 valószínűséggel meg is öli a leopárd a vadászt. Egyéb veszélyek miatt 008 valószínűséggel halhat meg a vadász a vadászaton. Ha egy vadász meghalt a vadászaton akkor mi a valószínűsége annak hogy egy leopárd ölte meg? 5. Három lift egymástól függetlenül 03; 02 és 05 valószínűséggel romlik el. Mi annak a valószínűsége hogy legalább az egyik jó a három fűnyíró közül?
FELADATSOR 10 1. Egy társaságban mindenki mindenkivel kezet fogott pontosan egyszer. Összesen 105 kézfogás volt. Hányan voltak a csoportban? 2. Egy dobozban 25 izzó van mely közül 5 szálhibás. Véletlenszerűen kiveszünk ötöt egymás után visszatevéssel. Mennyi annak a valószínűsége hogy éppen kettő szálhibás lesz közte? 3. Egy üzemben egy terméket három gép gyárt. Az A gép a termékek 50%-át a B a 20%-át a C a 30%-át. A selejtarány száma 2% 3% 5%. Egy véletlenszerűen kiválasztott termék selejtes. Mi a valószínűsége annak hogy az A gép gyártotta?. Ha 10 A B 7 P 2PB A 1 17 5P A B akkor? P B 5. Három kockát feldobunk egymás után. Mi a valószínűsége annak hogy legalább egy hatost dobunk? FELADATSOR 11 1. Egy polcon 15 üveg bor van amelyből 10 fehér a többi vörös. Kiválasztunk 6 palackot. Mi a valószínűsége annak hogy éppen 3 fehér lesz közte? 2. Az 12367 számokból véletlenszerűen felírunk egy négyjegyű számot. Hány olyan négyjegyű szám van amelyben legalább egyszer szerepel az egyes? 3. Három légkondicionáló berendezés egymástól függetlenül 01; 03 és 05 valószínűséggel romlik el. Mi annak a valószínűsége hogy mindhárom jó?. Hozza egyszerűbb alakra a következő hatványt a binomiális tétel segítségével: 2x y! 5. Egy csoportban 15 fiú és 5 lány van. A fiúk 5%-a szemüveges a lányok 35%-a visel szemüveget. a) Mi a valószínűsége annak hogy tetszőlegesen kiválasztva egy személyt a csoportból az szemüveges lesz? b) Ha tudjuk ha a kiválasztott személy szemüveget visel akkor mi a valószínűsége hogy az illető férfi? 5