Newton korai matematikai munkáss ssága Newton-kurzus, 2008. 03. 06.
Az óra szerkezete I. Newton matematikai forrásai II. III. IV. Avagy milyen keretek között k indult a tevékenys kenysége Kvadratúrák, binomiális tételt tel Avagy hozzáá áállás, kiinduló problémák, első sikerek Az analízis alaptétele tele Avagy egy egységes ges módszertan m szület letése A fluxióelm elméletlet Avagy a módszertan m elméleti leti alapvetése és s problémái
I. Newton matematikai forrásai 1661: Cambridge, Trinity College 1664: elkezd matematikával foglalkozni, és s egy ideig gyakorlatilag semmi mással. m Két K év v alatt a semmiből valósz színűleg kora legügyesebb gyesebb matematikusává képzi magát. Forrásai: Descartes: La GéomG ométrie (2.) latin kiadás: Franz van Schooten, 1661 Ebben egyéb b munkák összefoglalói, főként f François Viète John Wallis: Arithmetica Infinitorum,, 1655 (De a matematika nagykönyvét,, Eukleidész Elemekjét ekkor még m g nem ismeri újszerű keretben dolgozik)
I.1. A klasszikus matematika Az antik matematikai tradíci ció = az Elemekben ábrázolt matematika: Kizárólag geometria: minden matematikai probléma geometriai kontextusban lép l p fel Nem numerikus: nem konkrét t mennyiségi viszonyokra kíváncsi, hanem tetszőleges nagyságok összefüggéseire Szigorúan demonstratív: minden állítást bebizonyít Axiomatikus-dedukt deduktív: az állításokat visszavezeti egymásra és s végül v l néhány n ny közös k s alapáll llításra 17. sz.: a csalhatatlan észhasználat és s az általa előáll llított megkérd rdőjelezhetetlen, biztos mintaképe De: semmit sem tudnak hozzátenni, sőt s
I.2. A modern matematika 15-16. 16. sz.: Főként F arab hagyományon alapuló algebrista tradíci ció feléled: led: Mennyiségek közötti k viszonyok kifejezése mennyiségek manipuláci ciójának segíts tségével Gyakorlat által motivált számítások, sok, számmisztika és -szimbolika Barkácsolás :: nincs egységes ges módszertan, m nincsenek bizonyítások, hiányzik az egyetemesen érvényes igazságok kimutatásának igénye 17. sz. (főként eleje): alantas, megbízhatatlan, mesterségbeli ügyeskedés, s, nem tudomány De: rohamosan fejlődik
I.2/a. François Viète (1540-1603) 1603) 16. sz. vége: v minden fennmaradt antik matematikai műm feldolgozásra kerül + az arab matematika is + ezen is túllépnek: harmad- és s negyedfokú egyenletek megoldásai ars analyticae : : betűalgebra magánhangz nhangzókkal az ismeretlent, mássalhangzm ssalhangzóval az ismertet paraméter ter-szerű elgondolás: általános megoldások Trigonometrikus megoldások algebrai egyenletekhez pl. egy 45-öd d fokú egyenlet m.o.-a a ilyen úton: nagy siker Másod- és s harmadfokú egyenletek gyökei és s együtthat tthatói közti összefüggések ( Viete( Viete-formulák ) Egyenletek általános kezelése, szimbolikus, algebrai jellegű matematikai gondolkodás
I.2/b. René Descartes (1596-1650) 1650) La GéomG ométrie: : eredetileg az Értekezés s a módszerrm dszerről függelékének szánja A legforradalmibb műm a korban (v.ö.. pl. Fermat), és s a legnagyobb hatással van a század zad 2. felére Apollóniosz, Papposz stb. belátásainak rendszerezése se és egységes ges keretbe ágyazása: analitikus geometria őse A A geometria bármely b problémája visszavezethető erre a tételre: telre: bizonyos vonalak hosszának ismerete elegendő a megszerkesztéshez. shez. vonalszakaszokat konkrét t mennyiségekkel reprezentál, és s a probléma megoldását t algebrai egyenletekkel végzi v el (ahány ismeretlen vonal, annyi egyenlet) + görbék algebra és s geometria egysége ge
La GéomG ométrie
I.2/c. John Wallis (1616-1703) 1703) Arithmetica Infinitorum: : görbg rbék k alatti területek és görbékhez húzott h érintők végtelen kis részekre való osztás s révén r n (Cavalieri módszere m algebrásítva) Végtelen sorokkal operál Megmutatja pl.: az x n görbe alatti terület x n+1 /n+1 egész kitevőkre kre (az első 9 esetre megnézni, majd általánosít) Fő problémája: a kör k r területe Newton pontosan ezekből l a problémákb kból l indul ki
Wallis levél
II. Kvadratúrák, binomiális tételt tel Eleinte: Kúpszeletek K szerkesztése se és s sokféle algebrai kifejezése Descartes alapján 6 hónap h után: görbg rbék k vizsgálat latára általános algebrai módszereket dolgoz ki Haveing y e nature of a crooked line expressed in Algebr: termes to find its axes, to determin it & describe it geometrically &c. Görbület vizsgálata közelk zelítő (simuló) ) körökkel: k kkel: Descartes + érintő szerkesztése se egy adott pontban Kvadratúrák: görbg rbék négyszögesítései,, vagyis a görbe g alatti terület kiszámítása sa egyenlő terület letű téglalap szerkesztésével (Wallis) Nem a klasszikus geometria felől l közelk zelít t (alig ismeri)
II.1. A kör k négyszögesítése A negyedkört kifejező egyenlet: y = (1 - x 2 ) ½ Wallis problémája: Tudjuk, hogy (1 - x 2 ) 0 alatti terület x (1 - x 2 ) 1 alatti terület x - x 3 /3 (1 - x 2 ) 2 alatti terület x - 2x 3 /3 + x 5 /5 (1 - x 2 ) 3 alatti terület x - 3x 3 /3 + 3x 5 /5 - x 7 /7 stb. Hogyan lehet ebből l (1 - x 2 ) ½ esetére interpolálni? lni? Wallis adott egy megoldást. Newton egy általánosabbat, amiből l elég g messzire tudott továbbl bblépni
II.1/a. Az együtthat tthatók k táblt blázata [0] [1] [2] [3] [4] [5] x 1 1 1 1 1 1 - x 3 /3 0 1 2 3 4 5 x 5 /5 0 0 1 3 6 10 - x 7 /7 0 0 0 1 4 10.... 0 1 5..... 0 1...... 0 Milyen szabályosságot látunk? (Pl. az oszlopok 11 hatványai )
II.1/b. A keresett összefüggés Newton nem a Pascal-háromsz romszögre mozdul rár Az első tag együtthat tthatója mindig 1, a másodikm sodiké mindig n Összefüggés: (n - 0)/1 (n - 1)/2 (n - 2)/3 ez alapján n jönnek j ki az együtthat tthatók Pl. n = 4 esetén - harmadik együtthat ttható: : (4-0)/1 (4-1)/2 = 4 3/2 = 6 - negyedik együtthat ttható: : 6 (4-2)/3 = 6 2/3 = 4 - ötödik együtthat ttható: : 4 (4-3)/4 = 4 1/4 = 1 - hatodik együtthat ttható: : 1 (4-4)/5 = 4 0 = 0 és s innentől l 0. Honnan tudjuk? Ránézett, R és s bejött tt
II.1/c. Interpoláci ció a körrek Ez már m nyilván érvényes törtkitevt rtkitevőkre kre is, pl. ½-re. Így a (1 - x 2 ) ½ alatti terület: x - (1/2)x 3 /3 - (1/8)x 5 /5 - (1/16)x 7 /7 - (5/128)x 9 /9 -... Míg g az egész kitevők k esetén n a sor mindig véges, v törtkitevőknél l végtelen v sorokat kapunk végtelen sorral közelíthetjük itt π értékét De Newton egyáltal ltalán n nem számolta ki: tökéletesen t megbízott módszerm dszerében a jól j l ismert érték k kiszámítása sa nem lenne kihívás
II.2. A logaritmus kvadratúrája Ugyanígy támadjuk t meg a hiperbolát: ez eddig senkinek sem sikerült Az y = 1/x görbg rbét t nem érdemes: az x 0, x 1, x 2 alatti terület x 1 /1, x 2 /2, x 3 /3,, de ebből l nem látszik, l mi lenne a x -1 alatti terület: x 0 /0??? Ehelyett toljuk el egy kicsit: y = 1/(1 + x) Ehhez: (1 + x) 0 kvadratúrája x (1 + x) 1 kvadratúrája x + x 2 /2 (1 + x) 2 kvadratúrája x + 2 x 2 /2 + x 3 /3 (1 + x) 3 kvadratúrája x + 3 x 2 /2 + 3 x 3 /3 + x 4 /4 stb.
II.2/a. Az együtthat tthatók k táblt blázata [0] [1] [2] [3] [4] [5] x 1 1 1 1 1 1 x 2 /2 0 1 2 3 4 5 x 3 /3 0 0 1 3 6 10 x 4 /4 0 0 0 1 4 10.... 0 1 5..... 0 1...... 0
II.2/b. Extrapoláci ció Itt most nem kettő közé kell interpolálni, lni, hanem hátrafelé extrapolálni lni egyet ez könnyebbk Ha az első sorban 1 lesz (mind mindenütt), akkor a második sorban -11 kell: feltesszük, folytatódik erre a Pascal-háromszög (vagyis egy szám és s a fölötte f lévől összeadva a számt mtól l jobbra lévőt l t adja ki) Ezért a 3. sorban 1 kell, a 4.-ben -1, stb. Tehát (1 + x) -1 alatti terület: x - x 2 /2 + x 3 /3 - x 4 /4 + Ismét t végtelen v sort kaptunk! Itt már m érdemes számításokat sokat végezni: v 55 jegy pontosságra logaritmus-sz számítások sok könnyedk nnyedén Megj.: egy éve foglalkozik matekkal, teljesen önállóan, nincs még m g BA-je sem
II.2/c. Logaritmusszámítások sok
II.3. Az általános módszer m Tudjuk, hogy x n alatti terület x n+1 /n+1 (negatív v kitevőkre kre is) Tudjuk, hogy ha a görbe g polinomiális, lis, akkor a kvadratúra egyenlő a tagok alatti területek összegével Ha x az első hatványon van a nevezőben, vagy törtkitevt rtkitevős s a kifejezés, akkor végtelen v sor, és s tagonként nt kell számolni (b + x) m/n együtthat tthatóit eszerint keressük: k: 1 m (m - n) (m - 2n) (m - 3n) 1 n 2n 3n 4n Később: tovább általánosodik (pl. ha x és s y ugyanabban a tagban megjelenik, és s nem fejezhetők k ki egymás s explicit függvényeként )
II.3/a. A binomiális tétel t tel szerepe Lényeg: görbg rbék k kifejezhetők k végtelen v sorokkal újabb algebrai reprezentáci ció a geometriai vonalakra A végtelen v sorok ugyanolyan törvt rvényeknek engedelmeskednek, mint a véges v mennyiségek az algebrában ban ( ( műveletek, egyenletek, stb.) nem pusztán közelítések A binomiális tétel t tel [(b[ + x) m polinom alakjában az együtthat tthatók k meghatároz rozása] általánosítása sa a dolog motorja Elősz ször r Leibniz-cel közli k egy 1676-os levélben lben Elősz ször r Wallis Algebra-jában ban jelenik meg (1685) V.ö.:.: Newton keveset és s vonakodva publikál
II.3/b. Végtelen sorok Amit a szokásos sos Analízis képes k egyenletek által elvégezni véges számú tagokkal (már r amennyiben ez lehetséges), ugyanazt elvégezhetj gezhetjük k végtelen v egyenletek által is, ezért nem tettem kérdk rdésessé,, hogy ezt is Analízisnek kell nevezni. Ugyanis ezek a gondolatmenetek nem kevésb sbé bizonyosak, mint a másikak, m sem az egyenletek nem kevésb sbé pontosak, bár r mi, halandók, kiknek gondolkodása szűk k keretek közék szorult, sem kifejezni, sem pedig felfogni nem tudjuk ezen egyenletek minden tagját (De De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas)
III. Az analízis alaptétele tele Cavalieri, Wallis, stb.: a görbg rbék k alatti területet sok, oszthatatlanul kis terület összegeként képzeltk pzelték k el ( infinitezimálisok ) Newton: hasonló módon, de nála n nem statikus kis területek vannak, hanem mozgás által meghatározott dinamikus összegzések sek egyre erősödő mechanikai motiváci ció A végtelenül l kis szakaszok helyett pillanatnyi sebességekkel dolgozik ezzel persze nem kerülte ki az infinitezimálisokat: a pillanatnyi sebesség g az infinitezimálisan kis idő alatt megtett út az idő a matematikában is alapvetővé válik Semmi ilyesmi nincs: tart a nullához hoz, határérték,, stb.: ezek későbbi k fogalmak
III.1. Az érintő meghatároz rozása Tfh. (1) y = a x m Ekkor kis o növekmény: (2) y + o q/p = a (x a + o) m Tudjuk, hogy (2) jobb oldala: a x m + a a m o x m-1 + blabla o 2 x m-2 + blablabla o 3 x m-3 + (2) (1): o q/p = a a m o x m-1 + blabla o 2 x m-2 + blablabla o 3 x m-3 /o : q/p = a m x m-1 + blabla o x m-2 + blablabla o 2 x m-3 Mivel o végtelen kicsi, ezért a meredekség: q/p = a m x m-1
III.2. A növekmn vekmények módszerem Észre kell vennünk: nk: Elősz ször, hogy azok a tagok mindig eltűnnek, ahol o nem szerepel, mert ezek megfelelnek az eredeti egyenletnek. Másodszor, M ha a maradék k Egyenletet leosztjuk o-val, akkor azok a tagok szintén n eltűnnek, amelyekben o megmarad, mert ezek végtelenv gtelenül l kicsik. Harmadszor, hogy a végül v l megmaradó tagok olyan formájúak lesznek, amilyeneknek lenniük k kell a kiinduló szabály alapján. n. (1665. november 13: Hogyan találjuk ljuk meg testek sebességét t azon vonal alapján, amelyet leírnak rnak egyike a rendszerező jegyzeteinek)
III.3. A görbe g meghatároz rozása területb letből Legyen a görbe g alatti terület: (1) z = a x m (2) z + o y y = a (x a + o) m Ismét t (2) jobb oldala: a x m + a a m o x m-1 + blabla o 2 x m-2 + blablabla o 3 x m-3 + (2) (1): o y = a a m o x m-1 + blabla o 2 x m-2 + blablabla o 3 x m-3 /o : y = a m x m-1 + blabla o x m-2 + blablabla o 2 x m-3 Mivel o végtelen kicsi, ezért a keresett görbe: g y = a m x m-1
III.4. Egységes ges matematikai terület A fenti példp ldák k megmutatják: a két k t probléma (érint( rintő meghatároz rozása és s terület kiszámítása) sa) egymás inverze a kettő együtt egy egységes ges területet körvonalazk ( analízis alaptétele tele : : differenciálás és s integrálás s kapcsolata) Megjegyzés: bár b r a fenti ismertetés s kicsit csal (III.3( kicsit későbbi (1669), egyszerűbb az 1665-ös s próbálkoz lkozásoknál), hasonló felismeréseket seket tesz a korban elősz ször r konkrét esetekben (parabola, hiperbola, stb.), majd általános megfogalmazásokat dolgoz ki Ezután n 3-43 évig alig nyúl l matematikához (és( s ha igen, akkor annak mechanikai motiváci ciója van), és s jój ideig erre támaszkodik (bár r az alapokat újra és újra próbálja tisztába tenni igen sokáig nem publikálja) lja)
III.5. A géniusz g Newton Nincs oly göbe g vonal, légyen l az bármely b háromtagh romtagú egyenlettel kifejezett, még m g ha benne az ismeretlen mennyiségek hatnak is egymásra [ ],[ melyről l kevesebb mint egy negyedóra fele alatt meg ne tudnám m mondani, hogy négyzetesn gyzetesíthető-e, e, vagy hogy mely legegyszerűbb figurákkal összevethető,, legyenek e figurák k kúpszeletek k vagy bármi b mások. m És s ekkor közvetlen k és s rövid r úton (megkockáztatom, a legrövidebben, melyet a dolgok természete megenged az általános számára) össze is hasonlítom őket (1676, egy Collinsnak írt levél) l) Ez a zsenitudat 1666-ra kifejlődik benne, önálló matematikai sikereinek köszk szönhetően, en, aztán élete végéig v ott is marad
IV. Fluxióelm elméletlet Próbálkoz lkozások az új j matematikai elmélet let letisztázására: 1. De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas (Analízis végtelen v sok tagú egyenletek segíts tségével), 1669 (publikálva: lva: 1711) 2. Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (A fluxiók és a végtelen v sorok módszere), m 1671 (publ.: 1736) 3. Tractatus de Quadratura Curvarum (Értekezés s a görbg rbék kvadratúrájáról), 1676 (publ: 1704, az Opticks függeléke) 4. Wallis Algebra-jában ban (1685) Newton elősz ször r publikálta lta a fluxióelm elméletet letet (második kiadás s latinul: 1693) 5. Principia Mathematica Philosophiae Naturalis,, 1687
IV.1. Fluxiók, fluensek 1671: o már r nem x növekmn vekménye, hanem végtelenül l kis időintervallum intervallum minden változv ltozó időfügg ggő lesz Ha x és y a fluens ( foly( folyó ó ) ) mennyiségek, akkor ezek változásának sebességei, a fluxiók és (és s ezek változv ltozásának sebességei és s, stb.) (Sőt: adott x-et x fluxiónak tekintve a hozzá tartozó fluens, annak a fluense, stb.) y + o = (x + o) m - ebből l itt is kijön: = m xm n-1 A módszer m gyakorlatilag ugyanaz, de a nézet n kicsit eltér: időbeli változv ltozások mennek végbe v egyre inkább a fizikához közelk zelít t az elmélet let Cél: megszabadulni az oszthatatlanoktól, l, de ez sikertelen
IV.2. Fluxiók és s a mozgás Itt nem úgy kezelem a matematikai mennyiségeket, mint amik nagyon kis részekbr szekből állnak, hanem mint amiket folytonos mozgás s határoz meg. A vonalakat nem a részek r összetétele, tele, hanem pontok mozgása hozza létre, l a felületeket leteket a vonalak mozgása, a testeket a felületek letek mozgása, a szögeket a szárak forgása, az időtartamokat a folyamatos fluxio A fluxiók k nem mások, m tetszőleges közelítéssel, mint a folyó mennyiségek idő szerinti növekményei, olyan kicsik és s olyannyira egyenlők, mint amennyire lehetséges, és, hogy pontosan fogalmazzunk, a szület letőben lévől növekmények első arány nyában állnak, mégis kifejezhetők k bármely b vonallal, amely arányos velük. k. (Tractatus de Quadratura Curvarum)
IV.3. Az alapprobléma Hiába próbál l megszabadulni tőle, t a kis o növekmény ott van, még m g ha növekmn vekmények születőben lévől arány nyáról beszél l is: ez az oszthatatlanok feltételez telezése Márpedig mi az az o,, amit egyszer végesnek v tekintünk nk és leosztunk vele, máskor m meg végtelenv gtelenül l kicsinek és elhanyagoljuk? Bár r az elmélet let sikeres és s rengeteg problémát t jól j l kezel, az alapok továbbra is kérdk rdésesek maradnak (Leibniz felépítésében hasonló módon) Az alapok tisztázására több t mint 150 (!) évet kell várni: v határért rték-fogalom letisztázása, sa, ε-δ nyelv megalkotása, stb. (Cauchy, Weierstrass)
IV.4. Berkeley kritikája Egy alapos, részletekbe r menő filozófiai fiai kritika: Az analizáló,, 1734 Az elme számára nehéz, hogy világos ideákat formáljon az idő legkisebb részecskr szecskéiről, vagy az ezekben létrejl trejövő legkisebb növekményekről; s még m g inkább, hogy felfogja a momentumokat, azaz a fluens mennyiségek növekmn vekményeit in situ nascendi,, tehát t létrejl trejöttük legkezdetén, mielőtt még m g véges v mennyiségekk gekké válnának. nak. Ennél l is nehezebbnek látszik l felfogni az ilyen szület letőben levő,, befejezetlen entitások elvont sebességeit. A sebességek sebességei, a másodm sod-, harmad-,, negyed- és ötödrendű sebességek stb. azonban, ha nem tévedek, teljességgel meghaladják k az emberi felfogóképess pességet. get. De mik ezek a fluxiók? Az eltűnőben levő növekmények sebességei. És s mik ezek az eltűnőben levő növekmények? Se nem véges v mennyiségek, se nem végtelenv gtelenül l kicsinyek, még m g csak nem is semmik. Mi mások m lennének nek tehát, t, mint a kimúlt mennyiségek kísértetei? k rtetei?
IV.5. A későbbi k matematikai stílus 1670-es évek: fokozatosan elhidegül l a szimbolikus analízis zis algebrai stílus lusától, l, és s ezzel az egész modern matektól, miközben beleszeret a görög g g geometriába Világos, hogy a módszerm dszerük k [az ókoriaké] ] sokkal elegánsabb, mint a kartézi ziánus. Ő [Descartes] egy algebrai kalkulus segíts tségével jutott eredményre, melyet ha szavakra írnánk nk át t (követve az ókoriak gyakorlatát), t), akkor oly fárasztf rasztó és s szövev vevényes lenne feladatunk, hogy hányinger h fogna el bennünket nket (1670) A Principia már r geometriai úton fejti ki az elméletet: letet: az analízis csak heurisztika,, felfedezés, de nem biztos tudás Mikor az 1699-ben kezdődő,, Leibniz-cel folytatott prioritási vita hatására publikálni lni kezdi korábbi eredményeit, azokat meghamisítja, geometrizálja, átírja a gyanús s részeketr A fontos eredmények algebrista korszakából l származnak, de befolyásos korában antimodernista, reakciós attitűd
A Principia