Valószínűségszámítás I.

Valószínűségszámítás I. DEFINÍCIÓ: (Véletlen jelenség) Véletlen jelenség alatt olyan jelenséget értünk, amely lefolyását a körülmények (figyelembe vehető okok) nem határoznak meg egyértelműen. DEFINÍCIÓ: (Véletlen tömegjelenség) Véletlen tömegjelenség alatt olyan véletlen jelenséget értünk, amely meghatározott (azonos) körülmények között nagyszámban megismételhető. DEFINÍCIÓ: (Kísérlet) Kísérletnek nevezünk minden olyan vizsgálatot, amely egy véletlen jelenségre vonatkozik. DEFINÍCIÓ: (Valószínűségi kísérlet) Valószínűségi kísérletnek nevezzük a kísérletet, ha teljesíti a következő tulajdonságokat: A valószínűségi kísérlet lefolyása (eredménye) véletlenszerű, nem megjósolható. A valószínűségi kísérlet azonos körülmények között akárhányszor megismételhető. Minden valószínűségszámítási probléma egy kísérlethez kapcsolódik, amely során egy véletlen jelenséget megfigyelünk. DEFINÍCIÓ: (Elemei esemény) A kísérlet egy lehetséges kimenetelét elemi eseménynek nevezzük. Az elemi eseményeknek rendelkezniük kell a következő tulajdonságokkal: minden elemi eseményről egyértelműen el kell tudnunk döntenünk, hogy bekövetkezett - e, vagy sem egyszerre két elemi esemény nem következhet be valamelyik elemi eseménynek be kell következnie. 1

DEFINÍCIÓ: (Eseménytér) Minden kísérlethez hozzárendelünk egy nem üres halmazt, melynek egyelemű részhalmazai az elemi események. Ezt az összes elemi eseményekből álló halmazt eseménytérnek nevezzük. Jele: H. Ha az eseménytér halmaza megszámlálható, akkor diszkrét valószínűségről, amennyiben pedig nem megszámlálható, akkor folytonos valószínűségről beszélünk. DEFINÍCIÓ: (Esemény) Az elemi események egy halmazát, vagyis az eseménytér egy részhalmazát eseménynek nevezzük. Jele: A, B,. Az esemény akkor következik be, ha valamelyik hozzá tartozó elemi esemény megvalósul, vagyis egy esemény többféleképpen is bekövetkezhet. DEFINÍCIÓ: (Összetett esemény) Összetett eseménynek nevezzük azokat az eseményeket, amelyek több elemi esemény megvalósulása esetén következnek be. Példa: A = {2 est dobunk dobókockával}; B = {prímszámot dobunk}, ekkor az A esemény egy elemi esemény, a B esemény pedig összetett esemény. DEFINÍCIÓ: (Biztos esemény) Biztos esemény alatt olyan eseményt értünk, amely mindig bekövetkezik. Jele: I. A biztos esemény valószínűsége: P (I) = 1. DEFINÍCIÓ: (Lehetetlen esemény) Lehetetlen esemény alatt olyan eseményt értünk, amely sosem következik be. Jele:. A lehetetlen esemény valószínűsége: P ( ) = 0. 2

Műveletek eseményekkel: DEFINÍCIÓ: (Egyenlő események) Két esemény egyenlő, ha a kísérlet bármely kimenetele esetén mindkettő bekövetkezik, vagy egyik sem teljesül. Jele: A = B. DEFINÍCIÓ: (Ellentett esemény) Az A esemény ellentettje (komplementere) az az esemény, amely akkor következik be, amikor az A esemény nem valósul meg. Jele: A. Ha az A esemény ellentettje a B esemény, akkor a B esemény ellentettje az A esemény. DEFINÍCIÓ: (Események összege) Az A és B esemény összege (egyesítése) az az esemény, amely akkor következik be, ha az A és B esemény közül legalább az egyik bekövetkezik. Jele: A + B; A B. DEFINÍCIÓ: (Események szorzata) Az A és B esemény szorzata (közös része) az az esemény, amely akkor következik be, ha mindkét esemény egyszerre bekövetkezik. Jele: A B; A B. DEFINÍCIÓ: (Események különbsége) Az A és B esemény különbsége az az esemény, amely akkor következik be, ha az A esemény megvalósul, de a B nem. Jele: A B; A \ B. Két esemény különbsége megegyezik az egyik esemény és a másik ellentettjének közös részével. Jelöléssel: A B = A B. DEFINÍCIÓ: (Kizáró események) Az A és B egymást kizáró (diszjunkt) események, ha egyszerre nem következhetnek be. Ha az A és B esemény egymást kizáró események, akkor A B =. 3

DEFINÍCIÓ: (Részhalmaz reláció) Ha az A esemény bekövetkezése esetén a B esemény mindig bekövetkezik, akkor azt mondjuk, hogy az A esemény maga után vonja (megelőzi) a B eseményt. Jele: A B. Ha az A B és B A, akkor A = B. Ha az A B és B C, akkor A C. Műveleti tulajdonságok: Legyenek A, B és C tetszőleges események az T eseménytéren. Ekkor teljesülnek a következők: Idempotencia (azonos hatványúság): A + A = A. Kommutativitás (felcserélhetőség): A B = B A. Asszociativitás (csoportosíthatóság, társíthatóság): (A + B) + C = A + (B + C). Disztributivitás (széttagolhatóság): A (B + C) = A B + A C. Egy esemény komplementerének komplementere önmaga: A = A. A lehetetlen esemény komplementere a biztos esemény (és fordítva). Jelöléssel: = I. Egy esemény és komplementerének összege a biztos esemény. Jelöléssel: A + A = I. Egy esemény és komplementerének szorzata a lehetetlen esemény. Jelöléssel: A A =. De Morgan azonosságok: A + B = A B és A B = A + B. Speciális események esetén: A + I = I; A I = A; A + = A; A =. DEFINÍCIÓ: (Teljes eseményrendszer) Az A 1, A 2,, A n események véges vagy végtelen sorozatát teljes eseményrendszernek nevezzük, ha teljesülnek a következők: A 1 + A 2 + + A n = H, vagyis összegük a biztos esemény, A i A j = (i j), vagyis páronként kizárják egymást, egyik sem a lehetetlen esemény, s pontosan az egyik biztosan bekövetkezik. 4

DEFINÍCIÓ: (Eseményalgebra) Az események összességét (az eseménytér részhalmazainak halmazát) a rajtuk értelmezett műveletekkel együtt eseményalgebrának nevezzük. TÉTEL: (Eseményalgebra alaptétele) Véges eseményalgebrában minden összetett esemény a sorrendtől eltekintve egyértelműen felbontható elemi események összegére. TÉTEL: Véges eseményalgebrában n elemi esemény esetén az összes lehetséges esemény száma 2 n. DEFINÍCIÓ: (Gyakoriság, relatív gyakoriság) Amennyiben egy kísérletet n - szer megismételve egy A esemény k - szor következik be, akkor a k értéket az A esemény gyakoriságának, a k hányadost a relatív gyakoriságának nevezzük. k A lehetetlen esemény relatív gyakorisága 0, a biztos esemény relatív gyakorisága 1. Bármely esemény relatív gyakoriságára igaz a következő: 0 k n 1. DEFINÍCIÓ: (Valószínűség) Minden véletlen A eseményhez hozzárendelhető egy 0 és 1 közé eső szám, amely megmutatja, hogy a kísérletet elég sokszor megismételve, az eseteknek mekkora hányadában következik be az esemény. Ezt az eseményre jellemző számot az esemény valószínűségének nevezzük. Jele: P (A). Az A esemény valószínűsége az az érték, amelyhez a kísérletek számának növelésével egyre közelebb kerül a relatív gyakoriság, vagyis ami körül a relatív gyakoriság ingadozik. Ha a relatív gyakoriság nem mutat stabilitást, akkor az adott esemény valószínűségét nem tudjuk értelmezni. A körülményekkel együtt változhat egy adott esemény valószínűsége is. 5

Valószínűségi axiómák: Minden A eseményhez rendeljünk hozzá egy valós számot, amit az A esemény valószínűségének nevezünk és P (A) val jelölünk, a következő kikötésekkel: 0 P(A) 1 P (I) = 1 és P ( ) = 0 ha az A és B egymást kizáró események, akkor annak a valószínűsége, hogy valamelyik megvalósul: P (A + B) = P (A) + P(B). A valószínűség tulajdonságai: Ha A és B két tetszőleges esemény, akkor P (A B) = P (A) P (A B). Az A és A valószínűségének összege: P (A) + P (A) = 1. Ha A 1 ; A 2 ; ; A n teljes eseményrendszert alkot, akkor P (A 1 ) + P (A 2 ) + + P (A n ) = 1. Ha az A esemény bekövetkezésével a B esemény is bekövetkezik, akkor P (A) P(B). DEFINÍCIÓ: (Klasszikus valószínűségi mező) Ha egy eseménytér nem üres, véges, és elemi eseményeinek bekövetkezése egyenlő valószínűségű, akkor az eseményteret az eseményeivel és a köztük értelmezett műveletekkel (összeadás, szorzás, kivonás, komplementer), klasszikus valószínűségi mezőnek nevezzük. TÉTEL: Ha egy klasszikus valószínűségi mező eseménytere H, továbbá H = n (ahol n pozitív egész szám) és elemi eseményei E 1 ; E 2 ; ; E n, akkor P(E 1 ) = P(E 2 ) = = P(E n ) = 1 n. TÉTEL: (Klasszikus valószínűségszámítás alaptétele) Ha egy klasszikus valószínűségi mező eseménytere H, továbbá H = n és az A eseményre pedig teljesül, hogy A = k (ahol k és n különböző pozitív egész szám), akkor P (A) = k n. Ha az elemi események, vagyis az összes lehetséges esetek száma n és az A esemény k elemi eseményből áll, vagyis a kedvező kimenetelek száma k, akkor az A esemény valószínűsége: P (A) = 1 n + 1 n + + 1 n = k n = kedevező esetek száma. összes lehetséges eset száma 6

Mivel a tört értékeit általában kombinatorikus módszerekkel számíthatjuk ki, így ezt kombinatorikus valószínűségnek is szokás nevezni. DEFINÍCIÓ: (Független események) Két eseményt függetlennek tekintünk, ha az egyik esemény bekövetkezésének semmilyen hatása nincs a másik esemény bekövetkezésére, vagyis P (A B) = P (A) P (B). TÉTEL: Tetszőleges A eseményre teljesül a következő: P (A) = 1 P (A). TÉTEL: Ha A B, akkor P (B A) = P(B) P(A). TÉTEL: A lehetetlen esemény valószínűsége P ( ) = 0. Az állítás megfordítása csak véges eseményalgebrában igaz. Amennyiben az elemi események száma végtelen, akkor a képlet nevezőjében végtelen áll, s ha a számláló véges, akkor az eredmény 0 lesz, vagyis nem csak lehetetlen eseménynek lehet 0 a valószínűsége (példa: geometriai valószínűség esetén egy pont kiterjedése, hossza 0). TÉTEL: Tetszőleges A és B eseményre teljesül a következő: P (A + B) = P (A) + P (B) P (A B). P (A + B + C) = P (A) + P (B) + P (C) P (A B) P (B C) P (A C) + P (A B C) Ha az A és B független események, akkor P (A + B) = P (A) + P (B). 7

Visszatevéses mintavétel: Legyen adott N elem, amelyek közül K számú elem rendelkezik valamilyen tulajdonsággal, a többi elem nem. Ha visszatevéssel kiválasztunk n számú elemet, akkor annak a valószínűsége, hogy közöttük pontosan k számú elem rendelkezik a kérdéses tulajdonsággal: P (A k ) = ( n k ) (K N )k N K ( N )n k = ( n k ) pk q n k. Amennyiben p jelöli a kérdéses tulajdonságú elem húzásának valószínűségét, q pedig az ellentett tulajdonságú elem húzásánák valószínűségét, akkor a következő képlet adódik: P (A k ) = ( n k ) pk q n k. Visszatevés nélküli mintavétel: Legyen adott N elem, amelyek közül K számú elem rendelkezik valamilyen tulajdonsággal, a többi elem nem. Ha visszatevés nélkül kiválasztunk n számú elemet, akkor annak a valószínűsége, hogy közöttük pontosan k számú elem rendelkezik a kérdéses tulajdonsággal: P (A k ) = (K K k ) (N n k ). ( N n ) Amennyiben az n és N értékek elég nagyok, illetve ha az n értéke sokkal kisebb az N; K értékeknél, akkor a két mintavétel esetén közel azonos értéket kapunk eredményül. 8

Gyakorló feladatok K: középszintű feladat E: emelt szintű feladat 1. (K) Az alábbi kísérletek közül melyek tekinthetőek valószínűségi kísérleteknek? A: Feldobunk egy érmét. B: Leejtünk egy i. e. 6. századi kínai vázát. C: Eldobunk egy hatoldalú dobókockát. D: Kihúzunk egy lapot a pakli kártyából. E: Világbajnokként dobunk egy darts táblára. F: Tekegolyót gurítunk a bábuk felé, de előtte még soha nem játszottunk ilyet. G: Egy gyufásdobozban megszámoljuk, mennyi szál gyufa van benne. 2. (K) Határozd meg, hogy az alábbi valószínűségi kísérleteknek milyen elemi eseményei lehetnek, illetve milyen eseménytér tartozik hozzájuk! A: Feldobunk két érmét. B: Eldobunk egy hatoldalú dobókockát. C: Dobunk egy beosztás nélküli táblára, feltételezve, hogy a táblát eltaláljuk. 3. (K) Tekintsd azt a kísérletet, amikor kockával dobunk egy számot. Ehhez kapcsolódóan adj példát a következő fogalmakra: eseménytér, elemi esemény, összetett esemény, biztos esemény, lehetetlen esemény, egymást kizáró események, egymást maga után vonó események, egyenlő események! 4. (K) Feldobunk egy érmét, illetve egy dobókockát. Adjuk meg az összes elemi eseményt, ha a kísérlet kimenetelének a) a kockával dobott szám 5 tel vett osztási maradékát tekintjük b) fej dobás esetén a dobott számot, írás esetén a dobott szám ellentettjét tekintjük! 9

5. (K) Egy csomag francia kártyából addig húzunk visszatevés nélkül, míg a húzott lap király nem lesz. Az esemény kimenetelének azt a sorszámot tekintjük, ahanyadikra a királyt kihúzzuk. Sorold fel a következő események elemi eseményeit! A = {legfeljebb harmadikra húzunk királyt} B = {legalább 40. re húzunk királyt} 6. (K) Add meg a következő kísérletek eseményterét! a) Egy urnában 3 kék, 4 piros és 8 zöld golyó van. Visszatevés nélkül kétszer egymás után húzunk egy egy golyót. b) Egy dobókockával négyszer dobunk, s a kísérlet kimenetele a számok összege. 7. (K) Jelentse A azt az eseményt, hogy egy kockával prímszámot dobunk, a B pedig azt, hogy 3 nál nem dobunk nagyobbat. Mit jelentenek a következő műveletek: A + B; A B; A B; B A? 8. (K) A lottón az 1, 2,, 89, 90 számok közül ötöt húznak ki. A számok kihúzásának sorrendje nem számít. Jelentse A azt az eseményt, hogy a kihúzott számok között szerepel a 7, 49. A B azt, hogy a kihúzott számok között van az 1, 11. A C pedig azt, hogy a következő öt számot húzták ki: 1, 7, 11, 49, 64. Mit jelent az (A + B) C és az (A + B) C esemény? 9. (K) A 0, 1,, 8, 9 számjegyek közül válasszunk ki négy számjegyet úgy, hogy egy egy számjegy ismétlődhet is. Jelöljük A val azt az eseményt, hogy a kiválasztott számjegyek között nem szerepel a 0; B pedig azt, hogy pontosan egy 1 es van köztük. Mit jelent az A B esemény? 10. (E) Egy pizzériában 3 asztalhoz lehet leülni. Legyen az A esemény az, hogy az elsőtől; a B esemény az, hogy a másodiktól; a C esemény pedig az, hogy a harmadiktól fut be rendelés. Milyen eseményeket jelentenek a következő formulák? a) A B C b) A B C c) A B C + A B C + A B C + A B C 10

11. (K) Egy számegyenesen véletlenszerűen felvillannak a [ 3; 13] intervallumban egyes pontok. Jelentse A azt az eseményt, hogy a felvillanó pont a [ 1; 6] intervallumba esik, a B esemény pedig azt, hogy a ]2; 9[ intervallumba. Mit jelentenek a következő események: A B; A + B; A B; B A; B; A + B? 12. (E) Egy számítógép monitorján egy koordináta rendszer részlete látható: azon pontok, amelyek mindkét koordinátájára igaz, hogy a [ 5; 5] intervallumba esnek. Véletlenszerűen felvillannak a monitoron egyes pontok. Jelentse A, B és C a következő eseményeket a felvillanó pont koordinátáitól függően: A: x 2 + (y 1) 2 9; B: x > 2 és C: y > x + 1. Ábrázold koordináta rendszerben a következő eseményeket: C; A B; A + C; B C? 13. (E) Tekintsük a következő eseményeket: A jelenti azt, hogy Anna megbukott; B azt, hogy Balázs átment; C pedig azt, hogy Csongor megbukott matematikából. Írd fel eseményalgebrai kifejezéssel a következőket: D: Csak egyikük bukott meg év végén, E: Mindhárman átmentek év végén! 14. (E) Legyenek A és B nem lehetetlen események. Adottak az A B; A B és A + B események. Milyen negyedik eseményt kell felvennünk, hogy a 4 esemény teljes eseményrendszert alkosson? 15. (K) A magyar kártyából húzunk egy lapot, s tekintsük a következő eseményeket: A = {pirosat húzunk}; B = {ászt húzunk}; C = {zöld figurás lapot húzunk}. Fogalmazd meg a következő eseményeket szövegesen, majd számítsd ki a valószínűségüket: A + B; C B; A B; C; A + (B C)! 16. (K) Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor mekkora a valószínűsége, hogy zöld golyót húzunk? 17. (K) Egy urnában 4 fekete és 3 piros golyó van. Kihúzunk kettőt visszatevés nélkül. Mennyi a valószínűsége, hogy a két golyó ugyanolyan színű lesz? 18. (K) A magyar kártyából kihúzunk 3 lapot. Mi a valószínűsége, hogy mind piros lesz? 11

19. (K) Egy francia kártyából kihúzunk két lapot: a pakli tetejéről és a pakli aljáról. Az egyiket a mellény zsebébe a másikat a kabát zsebébe tesszük. Másnap megtaláljuk őket és látjuk, hogy azonos színűek. Ezek információk birtokában mennyi a valószínűsége, hogy mind a kettő számozott? 20. (K) A magyar kártyából kihúzunk 4 lapot. Mennyi a valószínűsége, hogy pontosan 3 zöld lesz köztük? 21. (K) A magyar kártyából kihúzunk 4 lapot. Mi a valószínűsége, hogy mind különböző színű lesz? 22. (K) A francia kártyából kiválasztunk 3 lapot. Mi a valószínűsége, hogy mind különböző színű lesz? 23. (K) Egy csomag magyar kártyából kétszer húzunk, úgy, hogy az elsőnek húzott lapot visszatesszük. Mi a valószínűség, hogy mindkétszer ugyanazt húzzuk? 24. (K) Egy magyarkártya paklit megkeverünk. Mekkora a valószínűsége, hogy az első két helyre nem kerül piros lap? 25. (K) Magyar kártyából Kriszta és Vera is kap 8 8 lapot. Vera arra fogad, hogy 2 - nél több pirosa van, Kriszti pedig legfeljebb 2 - re. Kinek nagyobb az esélye? 26. (K) Egy dobókockával kétszer dobunk. Mi a valószínűsége, hogy mindkét szám prím lesz? 27. (K) Egy kockával hatszor dobunk. Mennyi a valószínűsége, hogy az utolsó helyen a többitől különböző szám áll? 28. (K) Melyiknek nagyobb az esélye: Egy kockával elsőre 6 ost dobni, vagy egy kockával harmadjára 1 est dobni? 12

29. (K) Három dobókockával dobva, mennyi a valószínűsége, hogy a dobott szánok összege legalább 16 lesz? 30. (K) Kétszer dobunk egy kockával és leírjuk egymás mellé a számokat. Mennyi a valószínűsége, hogy a) az így kapott kétjegyű szám négyzetszám lesz? b) a második szám lesz a nagyobb? c) így egy kétjegyű páros számot kapunk? d) a számok szorzata páros lesz? 31. (E) Egy dobókockával addig dobunk, míg 5 ös nem lesz a dobott szám. Határozd meg annak a valószínűségét, hogy egy dobássorozat legfeljebb 4 dobásból fog állni! 32. (K) Egy dobókockával, ha párosat dobunk 0 - t írunk le, ha páratlant, akkor 1 - est. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 6 dobás után egy 6 - tal osztható számot kapunk? 33. (K) Egy dobókockával ötször dobva mi a valószínűsége, hogy minden dobás páros lesz? 34. (K) Négyszer dobunk egy dobókockával. Mennyi a valószínűsége, hogy a) egyszer dobunk 3 - ast? b) legalább egyszer dobunk 6 - ost? 35. (K) Egy 125 darab egybevágó kis kockából épített nagyobb kocka lapjait kékre festjük. Ezután szétszedjük a kockát és a darabjait összekeverjük. Mennyi a valószínűsége, hogy egyet kiválasztva a) pontosan 1 kék lapja van? b) nincs kék lapja? c) legalább 2 kék lapja van? 13

36. (K) Ötször dobunk egy érmével. Mekkora a valószínűsége, hogy a) több írást dobunk, mint fejet? b) mindegyik ugyanaz az oldal lesz? 37. (K) A 0, 1, 1, 1, 2, 2 számjegyekből hatjegyű számokat képzünk. Az így kapott számok közül kiválasztva egyet, mennyi a valószínűsége, hogy 4 - gyel osztható lesz? 38. (K) Egy osztálynak szerdán 5 órája van: Matematika, Biológia, Rajz, Testnevelés, Angol. Mennyi a valószínűsége, hogy az Angolt Biológia követi és Testnevelés az utolsó? 39. (K) Moziba megy 3 fiú és 3 lány. Mi a valószínűsége, hogy lányok és fiúk felváltva ülnek le egymás mellé? 40. (K) A hét napjait összekeverve, mennyi a valószínűsége, hogy Kedd és Szerda egymás mellé kerül? 41. (K) Kiválasztunk egy x49y alakú számot. Mennyi a valószínűsége, hogy a szám néggyel osztható lesz? 42. (K) Ha 5 házaspárból kiválasztunk 3 embert, mennyi a valószínűsége, hogy lesz egy pár közöttük? 43. (K) Egy osztályba 25 - en járnak, s az egyik napon 7 - en hiányoznak. Kiválasztva 5 felelőt, mennyi a valószínűsége, hogy csak 3 - an felelnek? 44. (K) Egy osztályba jár 20 tanuló, s két azonos létszámú csoportba osztjuk őket. Mi a valószínűsége, hogy Hanna és János ugyanabba a csoportba kerülnek? 45. (K) Egy nyelvi csoportba 7 fiú és 8 lány jár. A tanár kihív 3 felelőt. Mekkora a valószínsűége, hogy fiú és lány is lesz a felelők között? 14

46. (K) Egy villamosjegyen az 5 - ös és 6 - os ki van lyukasztva. Mennyi a valószínűsége, hogy elfogadják utazáskor, ha a gép legalább 2 - t, de legfeljebb 4 - et lyukaszt ki? 47. (K) Sorshúzás útján 15 fiút és 15 lányt azonos létszámú csoportokba osztunk. Mennyi a valószínűsége, hogy egyikben 5 fiú és 10 lány lesz? 48. (K) Egy urnában 3 kék, 2 zöld és 1 fekete golyó van, s kihúzunk 2 - t visszatevéssel. Mennyi a valószínűsége, hogy azonos színűek lesznek? 49. (K) Egy csoportban van 14 lány: 3 szőke, 4 fekete, 6 barna, 1 vörös. Mennyi a valószínűsége, hogy 2 lányt kiválasztva, a hajuk színe különböző lesz? 50. (K) Egy dobozban 2 kék, 3 zöld, 3 piros és 1 sárga golyó van. Háromszor húzunk visszatevéssel, mennyi a valószínűsége, hogy mind különböző színű lesz? 51. (K) Az iskolában 9. évfolyamra 126 tanuló jár. Közöttük kétszer annyian sportolnak, mint amennyien nem. Az iskolaújságot a sportolók harmada, a nem sportolók fele olvassa. Két diákot kiválasztva mi a valószínűsége, hogy mindkettő olvassa az újságot, de csak az egyik sportol? 52. (K) Egy osztályba 30 tanuló jár. A történelmet 20 - an, a matematikát csak 13 - an, s mindkettőt összesen 5 en szeretik. Kiválasztva 2 diákot, mi a valószínűsége, hogy egyik csak a matematikát, másik csak a történelmet szereti? 53. (K) Az egyik 20 fős osztályba 16 angolos és 4 németes jár. Az osztályba járó mindhárom lány angolos. Ha ebből az osztályból kisorsolnánk 4 fiút és 1 lányt, akkor mekkora lenne a valószínűsége annak, hogy a kisorsoltak közül pontosan 2 németes? 54. (K) Zoli és Gyuri játszik. Gyuri dob egyszer, Zoli kétszer. Zoli 1 pontot kap, ha 3 - mal osztható az összeg, Gyuri ha párosat dobott. Kinek nagyobb az esélye a nyerésre? 15

55. (K) Egy versmondó versenyen a döntőbe jutott 16 versenyző, s ezek közül a negyedik osztályba a következő diákok járnak: Ágnes, Irén, Rozália, Béla, Sándor. Mi a valószínűsége, hogy Irén nyer és fiú lesz a második? 56. (K) Peti vizsgázik, de a 20 tételből csak 16 ot tudott megtanulni. Ő az első vizsgázó, és három tételt kell húzzon sorban egymás után. A tételek közül legalább kettőt tudnia kell ahhoz, hogy sikerüljön a vizsgája. Számítsd ki, mekkora valószínűséggel sikerült Peti vizsgája? 57. (K) Egy pálcán bolha ugrál úgy, hogy ugrásainak hossza 10 cm. Minden ugrása véletlenszerűen balra, vagy jobbra történik. Határozd meg, hogy 10 ugrás után mekkora valószínűséggel tartózkodik a kiindulási helytől jobbra 40 cm re, illetve balra 50 cm re? 58. (K) Egy 12 fős társaság száll fel egy 3 kocsiból álló metrószerelvényre. A sietség miatt senki nem nézi, hogy a többiek hova szállnak. a) Mekkora a valószínűsége, hogy minden kocsiba a társaságból 4 ember száll fel? b) Mekkora a valószínűsége, hogy van olyan kocsi, amelyikre senki nem szállt fel? 59. (K) A háromjegyű, vagy a négyjegyű számokból választva nagyobb a valószínűsége annak, hogy az adott számban lesz 9 es? 60. (K) Egy 8 fős klub a megalakulásakor sorsolással dönti el, hogy ki milyen pozíciót kapjon a társaságban: 2 elnököt, 2 alelnököt, 1 titkárt és 3 tagot sorsolnak ki úgy, hogy betesznek egy urnába 8 papírt (kettőt elnök, kettőt alelnök, egyet titkár és hármat tag felirattal), majd ezeket sorban kihúzzák. A klub 5 férfiból és 3 nőből áll, akik között 2 házaspár van, a többiek egyedülállók (nőtlenek, illetve hajadonok). a) Dávid és Gábor jó barátok, szeretnének együtt elnökölni. Mi a valószínűsége, hogy ezt megtehetik? b) Mennyi a valószínűsége annak, hogy a tagok mindegyike egyedülálló? c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a két házaspár tölti be az elnöki és az alelnöki posztokat? d) Mennyi a valószínűsége, hogy nő lesz a titkár? 16

61. (K) Négy urna mindegyikben 1 - től 9 - ig találhatóak cédulák. Mindegyikből kiválasztunk 1 - et, s azokat lerakjuk egymás mellé. Mi a valószínűsége, hogy 1 985 - öt kapunk? 62. (K) Kati néni a piacon eladta a zöldségeket, utána a parkolásra véletlenszerűen kivett a pénztárcájából két érmét. Mi a valószínűsége, hogy legalább 100 Ft ot kivett, ha a tárcában 10 db 100 FT os, 4 db 50 Ft os, 7 db 20 Ft os, 6 db 10 Ft os, 4 db 5 Ft os, 24 db 2 Ft os és 17 db 1 Ft os volt? 63. (K) Egy osztálykiránduláson a 20 tanuló ebédre A, B, C menüből választhat. Mennyi a valószínűsége, hogy legalább egy valaki A menüt rendel? 64. (K) Egy karácsonyfán 28 darab zselés szaloncukor található. Mennyi kókuszost tegyünk a fára, hogy a zselés választásának valószínűsége 4 7 legyen? 65. (K) Egy ládában 4 citrom és néhány narancs van. A narancs húzásának valószínűsége 3. Hány narancsot kell még beletenni a ládába, hogy a citrom húzásának 4 valószínűsége 0, 1 nél kisebb legyen? 66. (E) Egy osztályban kiválasztva egy diákot nyelvtudást tekintve a következő események adódhatnak: A = {tud angolul}; B = {tud németül}; C = {tud franciául}. Ismertek a következő valószínűségek: P (A) = 0, 4; P (B) = 0, 35; P (C) = 0, 3; P (AB) = 0, 25; P (A C) = 0, 15; P (B C) = 0, 2; P (A B C) = 0, 1. Határozd meg annak a valószínűségét, hogy egy diákot kiválasztva, az legalább egy idegen nyelven beszél? 67. (K) Egy dobókockával kétszer dobunk. Legyen az A esemény az, hogy az összeg legalább 10, a B esemény pedig az, hogy legalább egyszer 6 ost dobtunk. Határozd meg az A + B esemény valószínűségét! 68. (K) Lilla és Rudi a következő játékot játsszák. Dobnak két kockával és ha a dobott számok szorzata vagy összege 3 - mal osztható, akkor Lilla nyer, más esetben pedig Rudi nyeri a játékot. Kinek van nagyobb esélye a győzelemre? 17

69. (E) A gimnázium udvarán álló szobor szelleme igazat mond, ha válaszol egy kérdésre, de annak a valószínűsége, hogy válaszol egy adott kérdésre, csupán 1. Egy diák azt 3 tervezi, hogy háromszor megkérdezi a szellemet az érettségije eredményéről. Mi a valószínűsége, hogy a szellem válaszol? 70. (E) Legyen P (A) = 0, 5 annak a valószínűsége, hogy Anna 16 és 17 óra között elmegy sétálni, P (B) = 0, 6 annak, hogy Béla ebben az időben sétál, P (A B) = 0, 4 annak, hogy mindketten sétálnak. a) Független eseményeknek tekinthetjük e Anna, illetve Béla délutáni sétáját? b) Mi a valószínűsége, hogy legalább az egyik fiatal sétál délután 16 és 17 óra között? 71. (E) Egy kockával dobunk. Független - e a következő két esemény egymástól? a) A = {A dobott szám páros.} és B = {A dobott szám 3 - mal osztható.} b) A = {A dobott szám páros.} és B = {A dobott szám 4 - gyel osztható.} 72. (E) Legyen az A esemény az, hogy holnap nyerek a Tipp Mixen, a B pedig az, hogy nem nyerek. Függetlenek e ezek az események? 73. (E) Lehet e két esemény független, ha az események egymást kizárók? 74. (E) Egy vegyes amatőr röplabdacsapatban 2 lány és 4 fiú van. Egy lány valószínűséggel üt védhetetlen nyitást, egy fiú 1 valószínűséggel. Ha kockadobással 5 döntik el, hogy ki legyen az első nyitó, akkor mi a valószínűsége, hogy az első nyitás védhetetlen lesz? 1 18 75. (E) Egy hideg téli napon Pisti sapka nélkül megy iskolába, így 80 % esélye van, hogy megfázik. Ha megfázik, akkor 75 % eséllyel kapja el az influenzát, ha nem fázik meg akkor 25 % eséllyel. Mekkora az esélye, hogy nem lesz influenzás? 18

76. (E) Egy gyártósor két futószalagból és egy gépből áll. Ezek egymástól függetlenül működnek, ha a gép és legalább az egyik futószalag jó, akkor a gyártósor működőképes. Egy bizonyos időtartamban a futószalagok működésének valószínűsége 0, 8; a gép működésének valószínűsége 0, 94. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a gyártósor működik? 77. (E) Azt tapasztaltuk, hogy a dobókockánk nem ugyanakkora eséllyel esik mindegyik lapjára. Megbíztuk Petit, hogy állapítsa meg, mekkora valószínűséggel esik a kocka az egyes lapokra. Peti a következőt válaszolta: Páros számot 13 valószínűséggel lehet dobni, prímszámot pedig 21 40 3 8 valószínűséggel. Összetett számot ugyanakkora, valószínűséggel dobhatunk, mint 3 - mal osztható számot. Ha a dobókockánkkal a 6 os dobásának esélye 2, akkor a többi számot mekkora valószínűséggel dobhatjuk? 5 20 78. (K) A rulettben a kipörgethető 35 szám közül 17 piros és 17 fekete, a 0 zöld színű. Ha 10 szer egymás után pörgetünk, akkor mi a valószínűsége, hogy a) felváltva pörgetünk pirosat és feketét? b) öt pörgetés piros, öt pedig fekete? 79. (K) Egy áruházban 15 eladó van, 3 ért szakszerűen a dolgokhoz. Az egyik napon 8 vevő jött és találomra kértek segítséget 1 1 eladótól. Mi a valószínűsége, hogy a 8 vevő között pontosan 5 volt, aki szakértőtől kért segítséget? 80. (K) Egy 10 gyerekes családban mennyi a valószínűsége, hogy 3 fiú lesz a gyerekek között? 81. (K) Egy dobozban 30 termékből 8 hibás. Egyet kiválasztunk, s megvizsgáljuk selejtes - e, majd visszatesszük. Mekkora a valószínűsége annak, hogy 5 - öt kiválasztva pontosan 2 selejtes lesz közöttük? 82. (K) Egy urnában van 10 golyó, melyből 7 darab kék és 3 darab piros. Mi a valószínűsége, hogy visszatevéssel 4 - szer kihúzva 1 1 golyót, pontosan 3 kék lesz közöttük? 19

83. (K) Egyszerre dobunk fel 5 szabályos dobókockát. Mennyi a valószínűsége, hogy pontosan két darab 3 - mal osztható számot dobunk? 84. (K) Egy osztályba 13 fiú és 17 lány jár. A tanulók 4 tárgyból versenyeznek. Mennyi a valószínűsége, hogy a győztesek között pontosan 3 fiú lesz? 85. (K) Egy kaszinóban magyar kártyával játszanak egy szerencsejátékot. A játékos a 32 lapból véletlenszerűen kiválaszt egyet, annak színét feljegyzik, majd a lapot visszateszik a pakliba, s megkeverik a paklit. Ezután még 4 - szer húz hasonló módon. Ha az 5 feljegyzett szín között legalább kétszer szerepel a zöld, akkor a játékos nyert, ellenkező esetben veszített. Mekkora a nyerés valószínűsége? 86. (K) Mi a valószínűsége, hogy egy 5 gyermekes családban 2 fiú és 3 lány van, ha a fiú gyermekek születésének valószínűsége 0, 523? 87. (K) Közvéleménykutatás szerint az emberek 60 % - a szavazna egy adott pártra. Véletlenszerűen kiválasztva 10 embert, mekkora a valószínűsége, hogy legalább 2, az adott pártra szavazna? 88. (K) Egy dobozba 50 darab cukrot csomagolnak a gyártás során. Minőségellenőrzés során kiderül, hogy 0, 9 valószínűséggel találunk 50 darab cukorkát egy dobozban. Mekkora a valószínűsége, hogy 8 csomagot vásárolva mindegyikben hiánytalanul lesznek a cukorkák? 89. (E) Egy futball bajnokság mérkőzését a Falábúak és a Kurtalábúak csapata játssza. A hosszabbítás után is döntetlen az eredmény, ezért 5 5 tizenegyest rúgnak, hogy eldöntsék, ki lesz a bajnok. Ha a Falábúak 80 %, a Kurtalábúak 85 % eséllyel rúgnak be egy tizenegyest az ellenfél kapusának, akkor mi a valószínűsége, hogy a Falábúak 5 3 ra győznek? (A tizenegyesrúgásokat akkor is folytatják, ha már biztos az egyik csapat győzelme.) 90. (K) Véletlenszerűen felszáll 15 utas 4 vasúti kocsiba, mindegyik 0, 25 valószínűséggel száll fel valamelyik kocsiba. Mi a valószínűsége, hogy a) mindannyian ugyanabba a kocsiba szállnak? b) legfeljebb ketten szállnak az első kocsiba? 20

91. (K) Egy áruházban 10 eladó van, közülök 7 ért egy adott eszközhöz. Egy vásárló 5 eladótól érdeklődik az eszköz iránt. Add meg annak a valószínűségét, hogy pontosan 3 eladó ért az eszközhöz! 92. (K) Egy urnában van 10 golyó, melyből 7 kék és 3 piros. Mi a valószínűsége, hogy ha kiveszünk 5 - öt visszatevés nélkül, akkor pontosan 4 kék lesz közte? 93. (K) Egy farsangon 20 emberből 8 nő. Kisorsolnak tombolán 5 embert úgy, hogy mindenkit csak egyszer húznak ki. Mi a valószínűsége, hogy 3 nőt sorsolnak ki? 94. (K) Egy 25 fős osztályban 8 tanuló jeles matematikából. Kisorsolunk egy felmérésben 5 diákot. Mennyi a valószínűsége, hogy közöttük 2 jeles lesz, ha csak egyszer sorsolhatjuk ki őket? 95. (K) Egy üzemben naponta 100 öltönyt varrnak, melyből 80 fekete és 20 szürke. Minden nap 10 selejtes készül, s egy ellenőrzés során 50 öltönyt vizsgálnak át. Ha az 50 - ből csak 2 selejtes, akkor a teljes árut megveszi az öltönyökkel kereskedő cég, de ha ennél több, akkor nem vásárolja meg a készletet. Mennyi a valószínűsége, hogy egy ilyen vizsgálat után megkötik az üzletet? 96. (K) Egy pénztárcában 10 darab 1 Ft - os és 8 darab 2 Ft - os érme van. a) Kiválasztunk közülük 5 öt visszatevéssel. Mi a valószínűsége, hogy az első két húzáson 1 Ft - ost, a további húzásokon pedig 2 Ft - ost húzunk? b) Kiválasztunk közülük 5 öt úgy, hogy nem tesszük vissza a már kihúzottakat. Mi a valószínűsége, hogy lesz köztük legalább 2 darab 1 Ft - os érme? 21

Felhasznált irodalom (1) Hajdu Sándor; 2004.; Matematika 11.; Műszaki Könyvkiadó; Budapest (2) Urbán János; 2003.; Sokszínű matematika 11; Mozaik Kiadó; Szeged (3) Ábrahám Gábor; 2010.; Matematika 11 12 emelt szint; Maxim Könyvkiadó; Szeged (4) Urbán János; 2012.; Sokszínű matematika feladatgyűjtemény 11; Mozaik Kiadó; Szeged (5) Korányi Erzsébet; 1998.; Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából; Nemzeti Tankönyvkiadó; Budapest (6) Vancsó Ödön; 2005.; Egységes Érettségi Feladatgyűjtemény Matematika II.; Konsept H Könyvkiadó; Piliscsaba (7) Ruff János; 2012.; Érettségi feladatgyűjtemény matematikából 11 12. évfolyam; Maxim Kiadó; Szeged (8) Fröhlich Lajos; 2006.; Alapösszefüggések matematikából emelt szint; Maxim Kiadó; Szeged (9) Dr. Ábrahám István; 2009.; Valószínűségszámítás; Mozaik Kiadó; Szeged (10) Dr. Ábrahám István; 2009.; Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény; Mozaik Kiadó; Szeged (11) https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/list.html (12) Saját anyagok 22