Hipotézisvizsgálatok (hypothesis testing) A statisztikának egyik célja lehet a populáció tulajdonságainak, ismeretlen paramétereinek a becslése. A másik tipikus cél: valamely elmélet, hipotézis empirikus bizonyítása vagy cáfolata. Nullhipotézisnek (null hypothesis) (H0) nevezzük azt a hipotézist, amelyet pillanatnyilag nincs okunk megkérdőjelezni, amely a tudomány jelenlegi álláspontja szerint elfogadható, amelyet, ha a kísérlet/felmérés semmi újat nem hoz, továbbra is fenntartunk, amely helyett nekünk már jobb elméletünk van, és a kísérletet éppen ennek a bizonyítására (egyben a régi megcáfolására) szánjuk. Ellenhipotézisnek (alternative hypothesis) (H) nevezzük azt a hipotézist, amelynek bizonyítását a kísérlettől várjuk (az új elmélet ).
Megszoktuk, hogy általában valamely különbség, hatás, korreláció meglétét, azaz nemnulla voltát szeretnénk bizonyítani, tehát azt a hipotézist szoktuk H0-nak választani, hogy az illető dolog (különbség, stb.) egyenlő nullával. Teszt-statisztika (test statistic), próbastatisztika, próbafüggvény: az a mintából számított mennyiség, amelynek értéke alapján a döntést hozzuk. A teszt-statisztika mivel a mintából számítjuk véletlen változó. Olyan mennyiségnek kell lennie, amelynek eloszlása lehetőleg minél jobban eltér a H0 és a H fennállása esetén, például kisebb értékekre számíthatunk H0, nagyobbakra H esetén. Elutasítási vagy kritikus tartomány (rejection region): a döntési szabályt meghatározó számhalmaz, ha a teszt-statisztika értéke ide esik, a nullhipotézist elvetjük, ha nem, megtartjuk. A kritikus tartomány kiegészítő halmazát elfogadási tartománynak is nevezik. E két tartományt elválasztó érték(ek) az úgynevezett kritikus érték(ek) (critical value).
Elsőfajú hiba valószínűsége (Type I error rate), α, annak a valószínűsége, hogy H0-t elvetjük, pedig igaz. Az elsőfajú hiba, hogy a teszt-statisztika értéke a kritikus tartományba esik, bár a H0 igaz. α a teszt-statisztika null-eloszlásától * (null distribution) és a kritikus tartomány megválasztásától függ. Szokásosan a kritikus tartományt úgy választjuk, hogy α = 5% (vagy %, esetleg 0.%) legyen. Példa: Ha arra vagyunk kíváncsiak, hogy egy pénzérme szabályos-e, akkor H0: az érme szabályos, azaz P(fej)=P(írás)=0.5 H: az érme nem szabályos Minta: 6 dobás eredménye (csak a példa egyszerűsége kedvéért ilyen kicsi) * a teszt-statisztika eloszlása H0 fennállása esetén
Teszt-statisztika: a fejek száma a 6-ból Null-eloszlás: (a fejek számának eloszlása H0 fennállása, azaz az érme szabályossága esetén): binomiális eloszlás n = 6 és p = 0.5 paraméterrel, azaz érték 0 3 4 5 6 valószínűség 0.056 0.0938 0.344 0.35 0.344 0.0938 0.056 Döntési szabály: 0 vagy 6 fej esetén elvetjük H0-t. Az első fajú hiba valószínűsége: 0.056+0.056=0.03 Mivel a tesztek nevüket általában a null-eloszlás után kapják, ezt binomiális tesztnek nevezik. Másodfajú hiba (Type II error) : ha a H0-t megtartjuk, pedig H igaz. Valószínűségét β-val jelöljük, (-β) a teszt ereje power.
Egy- és kétoldali ellenhipotézis A céljainktól függően a legtöbb tesztben két fajta ellenhipotézissel dolgozhatunk. Az első esetben az elfogadási tartomány mindkét oldalán van elutasítási tartomány. Az eredmény értékelésekor a feltételezett értéktől való mindkét irányú eltérés érdekes. Ez a kétoldali ellenhipotézis. H0: p=p 0 H: p p 0 Időnként az egyik irányú eltérés érdektelen a kísérlet szempontjából, például ha egy új eljárást vizsgálunk a vércukorszint csökkentésére, akkor érdektelen az, hogy az érték nő vagy változatlan marad, csak a csökkenést van értelme kimutatni. Ez az egyoldali ellenhipotézis. H0: p p 0 H: p>p 0, vagy H0: p p 0 H: p<p 0 Figyeljük meg, hogy a nullhipotézisben mindig van egyenlőség. Az, hogy számunkra a nullhipotézis elutasítása vagy megtartása a kedvező, mindig a kísérleti elrendezéstől függ.
Normális eloszlású változó várható értékére vonatkozó próbák egy minta esetén z-próba vagy u-próba (u-test) Tartható-e az az álláspont, hogy a vizsgált változó populációátlaga egy feltételezett µ érték? 0 Feltétel: normális eloszlású változó, valamint (ismert σ szórás, vagy 30-nál nagyobb elemszám). Próba-statisztika: x µ z= u= 0, ahol Z ~ N( 0,) σ n
Nullhipotézis: H : µ = µ 0 0 Ellenhipotézis: H : µ µ 0 Nullhipotézis: H : µ µ 0 0 Ellenhipotézis: H : µ > µ 0 0,45 0,4 0,35 0,3 0,5 0,45 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0, 0,5 0, a/ a/ 0,5 0, a 0,05 0,05 0 -zkrit 4 7 0 3 6 9 5 8 3 34 37 40 43 46 49 5 55 58 6 0 zkrit 0 4 7 0 3 6 9 5 8 3 34 37 40 43 46 49 5 55 zkrit 58 6 Kritikus tartomány: K :{ z > } z krit Kritikus tartomány: K :{ z > } z krit
egymintás t-próba (one sample t-test) Feltétel: normális eloszlású változó (robosztus, elég ha szimmetrikus és unimodális) Próba-statisztika: x µ =, s n t 0 mely Student féle t eloszlású változó, n- szabadsági fokkal Minden más megegyezik a z-próbával. Az egyetlen különbség, hogy a szórás ismert, vagy a mintából kell becsülni. A t-próba értelemszerűen kevésbé hatékony, hiszen eggyel több becsült paramétert használ. Ha a mintaelemszám elég nagy (>30), akkor használható a z-próba is. A z-próbát csak a kézzel, táblázatból történő munka esetén preferáljuk. A számítógépes programokkal nyugodtan használhatjuk a t-próbát.
Normális eloszlású változó várható értékére vonatkozó próbák két minta esetén z-próba vagy u-próba Tartható-e az az álláspont, hogy a vizsgált változók átlaga megegyezik a két populációban? Feltétel: független, normális eloszlású változók, valamint (ismert szórások, vagy 30-nál nagyobb elemszámok). Próba-statisztika: Nullhipotézis: H : µ = µ 0 x x z = u =, ahol Z ~ N( 0,) σ σ + n n Minden más ugyanúgy megy, mint az egymintás esetben.
Kétmintás t-próba (two sample t-test) Feltétel: független, normális eloszlású változók ismeretlen, de vélhetően azonos szórással. Próba-statisztika: t =, ahol s x x + n n Szanadsági fokok száma: n + n Nullhipotézis: H : µ = µ 0 s = ( n ) s + ( n ) Ha a két szórás nem egyezik meg, akkor vagy megpróbáljuk transzformálni a mintákat, vagy közelítő próbát alkalmazunk. (Welch-próba) n + n s
Welch-próba (Welch-test) Feltétel: független, normális eloszlású változók. Próba-statisztika: n s n s x x t + = Szabadsági fokok száma: ( )( ) ( ) ( )( ) + = c n c n n n n W, ahol n s n s n s c + =
Nagy mintákra (mindkét elemszám nagyobb, mint 30) a szórások jól becsülhetőek és a z-eloszlás kritikus értékei elég közel vannak a t-eloszlás kritikus értékeihez, ezért a z- próba használható a mintából becsült szórások esetén is. A t-próbát és a Welch-próbát kis mintákra használjuk attól függően, hogy a szórásokat azonosnak gondoljuk-e. Ha nem tudjuk, használhatjuk az F-próbát a szórások tesztelésére. A statisztikusok egy része ezt nem fogadja el, szerintük a két szórás sosem tekinthető azonosnak. A Welch-próba is csak közelítő eredményt ad, de használata széles körben elfogadott. A fenti módszerekkel nem csak az átlagok egyenlősége tesztelhető, hanem a köztük levő eltérés is. A számítógépes programok általában csak a t-próbát ismerik, a Welch-próbát is abba építik be.
Várható értékre vonatkozó próba két összefüggő minta esetén Páros t-próba (paired t-test) Ha a két minta összefügg (például ugyanazon egyedeken végeztük a mérést a kezelés előtt és a kezelés után, vagy ikerpárokon mérünk, ), akkor a kétmintás t-próbánál jóval erősebb a páros t-próba (paired t-test). Technikailag egy mintát képzünk, kiszámolva mindenütt a két változó értékének különbségét, és arra egymintás t-próbát alkalmazunk. Megjegyzések: A páros t-próba azért erősebb, mert információt hordoz, hogy melyik mérés melyikkel áll párban. A kapott különbségek szórása jóval kisebb lehet, mint a kétmintás próbában előálló szórás. Ha kezelés előtti és utáni eredményeink vannak, akkor a különbséget célszerű úgy képezni, hogy a későbbi mérés eredményéből vonjuk ki a korábbiét, ez esetben ugyanis a pozitív eredmény jelenti a növekedést.
Feltétel: a mérések ugyanazon az egyedeken, vagy más módon párosítható mintákon történtek (a minták nem függetlenek), valamint a két változó különbsége normális eloszlású (a változók nem kell, hogy azok legyenek). Nullhipotézis: H 0 : µ d = µ 0 Próba-statisztika: d µ t= 0 s d n
Varianciaanalízis (ANOVA) Kettőnél több minta esetén annak a nullhipotézisnek a tesztelésére szolgál, hogy valamennyi részpopulációban, amelyekből a minták származnak, ugyanaz a várható érték. Az ellenhipotézis, hogy van olyan (egy vagy több) részpopuláció, melyben a várható érték eltér. A próba feltétele a változók normalitása és a szórásuk azonossága, valamint az adatok függetlensége. Számtalan módon előfordulhat az, hogy a nullhipotézis nem teljesül!
Populációban egy tulajdonság arányára vonatkozó próba z-próba Tartható-e az az álláspont, hogy a vizsgált tulajdonság előfordulási valószínűsége a populációban a feltételezett p 0 érték? Feltétel: mivel a próba a binomiális eloszlás közelítésén alapul, hagyományosan akkor tekintik elfogadhatónak, ha 5 nˆ p n 5, ahol pˆ a mintabeli relatív gyakoriság. Nullhipotézis: H 0 : p= p0 Próba-statisztika: z = p pˆ 0 ( p ) n p 0 0 Ha a feltételek nem teljesülnek, akkor egzakt binomiális próbát kell csinálni. (Lásd konfidencia-intervallum meghatározás )
Két valószínűség összehasonlítása Származhat-e a két független minta adott tulajdonságra vonatkozóan azonos előfordulási valószínűségű populációból? Nullhipotézis: H 0 : p = p Próbastatisztika: z pˆ pˆ =, ahol p ( p ) + p p n n p f+ f = p n + n Két valószínűség összehasonlítása homogenitás vizsgálatként, történhet. χ -próbával is
χ -próba Egy változó varianciájára vonatkozó próba Tartható-e az az álláspont, hogy a vizsgált változó populációbeli varianciája egy feltételezett σ érték? 0 Feltétel: a vizsgált változó normális eloszlású. Nullhipotézis: Próba-statisztika: 0 :σ = σ 0 H vagy χ Szabadsági fok: n- ( n ) = σ s 0 :σ σ 0 H vagy
Kritikus tartomány: :σ σ 0 H esetén :σ < σ 0 H esetén χ : χ χ : χ χ + p vagy χ χ p χ + p
Két változó varianciájának összehasonlítása F-próba (F-test) Tartható-e az az álláspont, hogy a vizsgált változók varianciája megegyezik a két populációban? Feltétel: normális eloszlású(!) független változók, Nullhipotézis: Próba-statisztika: 0 :σ = σ H vagy F = s s 0 :σ σ s s (sorszámozás kérdése ) H (harmadik nem lehet Szabadsági fok: n - a számlálóban, n - a nevezőben Kritikus tartomány: { F : F } illetve { F : F F p} F p A normalitás nagy mintaelemszám esetén is kell. s s miatt)
Nemparaméteres próbák Ha az eddig megismert paraméteres próbák nem alkalmazhatóak, mert nem teljesülnek a feltételeik, akkor nemparaméteres próbákat kell alkalmazni. Ezek általában sokkal egyszerűbbek, mint a paraméteres próbák, sokkal megengedőbbek (feltételek), viszont jóval kisebb az erejük. A paraméteres és a nemparaméteres próbák összehasonlítása Nemparaméteres próbák Nagyjából függetlenek a változó eloszlásától. DE: azért nem minden eloszlásra, csak egy tágabb körre. Feltételeket ellenőrizni kell. Mediánok összehasonlítása. Gyakoriságok elemzésére alkalmas. Származtatott adatok elemzésére is jó, pl. arányok. Paraméteres próbák Feltételezik, hogy ismert a változó eloszlása: (leggyakrabban) normális, exponenciális, binomiális, stb. Átlagok és varianciák összehasonlítása. A gyakoriságokat általában transzformálni kell előtte. Származtatott adatokat először transzformálni kell.
Előjelpróba (sign test) Tartható-e az az álláspont, hogy a vizsgált változó mediánja egy feltételezett med 0 érték? Feltétel: a vizsgált változó eloszlása folytonos. 6< n < 30 Nullhipotézis: H 0 : med = med0 Próba-statisztika: a med hipot -nál nagyobb mintaelemek száma., ha xi > med0 δ i =, B= n δ i 0, ha xi < med0 i= Vigyázat! n-be azokat nem számoljuk bele, ahol x i = med0! Kritikus tartomány: a null-eloszlás binomiális, n=mintaelemszám, p=0.5. A kritikus tartomány H -től függően egy- vagy kétoldali.
Megjegyzések: A próbát azért hívják előjelpróbának, mert eredetileg a medián(x) = 0 hipotézis tesztelésére találták ki, és ekkor a próbához a mintabeli értékeknek csupán az előjelét használjuk. Két párosított minta esetén a különbségekre alkalmazható. Feltételként az eloszlás folytonossága helyett elegendő annyi is, hogy P(med 0 ) = 0. Nagy mintára a binomiális eloszlást a szokásos módon közelíthetjük Poissonnal vagy normálissal. Ugyanígy megy medián helyett tetszőleges kvantilisre.
Wilcoxon-féle előjeles rang-próba (Wilcoxon signed rank test) Tartható-e az az álláspont, hogy a vizsgált változó mediánja egy feltételezett med 0 érték? Feltétel: a vizsgált változó eloszlása folytonos és szimmetrikus Szimmetrikus eloszlás esetén a medián és az átlag egybeesik, ezért mindegy, melyikkel fogalmazzuk meg a hipotéziseket. Csak hagyomány-tiszteletből írjuk fel mediánnal. Nullhipotézis: H 0: med = med 0 Próba-statisztika: a megfigyelt értékek med 0 -tól való eltéréseit abszolút értékük nagysága szerint sorba rendezzük, és rangszámokat rendelünk hozzájuk. A statisztika a pozitív eltérésekhez tartozó rangok összege. Párosított minták esetén a különbségre alkalmazható.
Példa: 0 elemű minta:.4 3.3 5.0 5.0 6. 7.5 0. 0.5 3.0 8. med 0 = 9 Eltérések: -7.6-5.7-4.0-4.0 -.8 -.5..5 4.0 9. Rangszámok: 9 8 6* 6* 4.5.5 6* 0 * Egyenlő abszolút eltérést adó értékek (ties) esetén mindegyikük az összesen rájuk jutó rangok átlagát kapja (kapcsolt rangok, tied ranks). A pozitív eltérések rangösszege: T + = 9.5 Kritikus tartomány: K { T } T krit : +. A null-eloszlást kis mintaelemszámokra kiszámolták, a kritikus értékeket táblázatba foglalták. (Csak akkor érvényes, ha nincsenek kapcsolt rangok!) Nagyobb mintákra a null-eloszlás a = n ( n+) µ, normálissal közelíthető, a kritikus értékek ebből számolhatók. 4 = n( n+ )( n+ ) 4 σ paraméterű
Mann-Whitney-féle U-teszt (vagy: Wilcoxon-féle rangösszeg-teszt) Tartható-e az az álláspont, hogy a vizsgált X és Y változókra igaz a P(X<Y)=P(X>Y) egyenlőség (azaz ha mindkét változót megfigyeljük, azonos esély van arra, hogy az egyik, illetve a másik lesz nagyobb)? Feltétel: a változók eloszlása folytonos, sűrűségfüggvényeik azonos alakúak (eltolással egymásba átvihetők, varianciák megegyeznek); a két változóra két független mintánk van. Nullhipotézis: H 0: a változók eloszlása megegyezik, azaz az eltolás 0. Ellenhipotézis: H : az eltolás 0 (ez kétoldali ellenhipotézis, de megfogalmazható egyoldali is)
Ellenhipotézis: H : F( X ) / F(Y) Kolmogorov-Smirnov próba Tartható-e az az álláspont, hogy a vizsgált X és Y változók eloszlása azonos? A kétmintás t-próba megfelelője nem egyező varianciák esetére. Feltételek: Ordinális vagy folytonos változók, független minták, azonos alakú eloszlások. Nullhipotézis: H : F( X ) F( ) 0 Y Próbastatisztika: A két eloszlásfüggvény közötti maximális differencia. Nagyon kevéssé hatékony teszt.
Medián (Mood) próba Tartható-e az az álláspont, hogy a két minta ugyanakkora mediánú populációból származik? Nullhipotézis: H 0 : med= med Számítás menete: Kiszámítjuk az összes adat közös mediánját. Készítünk belőle egy -es kontingencia táblázatot, és abból kiszámítjuk az alábbi χ értéket: Próba-statisztika:. minta. minta > Közös medián f f Közös medián f f χ = ( f + f )( f + f )( f + f )( f + f ) f f f f n
Kritikus tartomány: H : med med esetén { χ : χ χ α / vagy χ χ α / }, H : med < med esetén { χ : χ χ α }, H : med > med esetén { χ : χ χ α }, ahol α az elsőfajú hiba megengedett szintje, χ α, χ α / és χ α / pedig az n- szabadsági fokú χ -eloszlás megfelelő kritikus értékei. Megjegyzés: Sokkal gyengébb teszt, mint a kétmintás t-próba, illetve a M-W teszt, ha azok is alkalmazhatók. Ha néhány gyakoriság nagyon kicsi, akkor a Fischer-féle egzakt teszt alkalmazandó.
Példa: X-re 8 elemű minta:, 3, 7, 8, 9, 5, 6, 7 Y-re 0 elemű minta: 5, 6, 8, 0,, 5, 8,, 3, 5 Összevont minta:, 3, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 0,, 5, 5, 6, 7, 8,, 3, 5 Közös medián = χ = =. minta. minta > Közös medián f =3 f =6 Közös medián f =5 f =4 ( f + f )( f + f )( f + f )( f + f ) n 8 8 3 4 6 5 ( 3+ 5)( 6+ 5)( 3+ 6)( 5+ 4) f f f f n 8 9 = = 0, 045< χ 0, 05 = 3, 84 8 9 9 H 0 -t nem vetjük el
Kruskal-Wallis-féle H teszt (Kruskal-Wallis H-test) Több mint két minta esetén használjuk, hasonlóan az ANOVA-hoz. Feltétel: a változók eloszlása folytonos, sűrűségfüggvényeik azonos alakúak (eltolással egymásba átvihetők); k változóra k független mintánk van. Nullhipotézis: H 0: mind a k változó eloszlása megegyezik Ellenhipotézis: H : nem mind azonos eloszlásúak Próba-statisztika: bonyolult (lásd lejjebb) Kritikus tartomány: a null-eloszlás aszimptotikusan χ ebből kaphatjuk a kritikus értékeket (k szabadsági fokkal),
Példa: Egy biológus 4 mezőn (A, B, C, D) 5-5 véletlenszerűen kiválasztott kvadrátban számolja az orchideákat. Van-e különbség bármelyik két mező között az orchideák számát tekintve? megf/mező A B C D 7 () 48 (6) (6) 44 (5) 4 (7) 8 (9,5) 0 () 7 (9) 3 8 (4,5) 3 (3) 3 () 8 (0) 4 8 (9,5) 5 (7) 5 (8) 55 (8) 5 7 (3) () 8 (4,5) 39 (4) A Kruskal-Wallis próba menete: Készítsük el a fenti táblázatot. Oszloponként vannak a minták, zárójelben a megfigyelések rangja (összes mintaelemre együtt kiszámítva). Számítsuk ki mintánként a darabszámokat (n i ) és adjuk össze: N. Számítsuk ki mintánként a rangösszeget: R i. Emeljük négyzetre: R i.
Ri Osszuk el a mintaelemszámmal és adjuk össze:. n A próbastatisztika ( χ eloszlású): K Hasonlítsuk össze K-t a megfelelő χ krit (4-=3).χ krit = 7. 8. K krit Ri = 3 N ni N( N+ ) i ( + ) értékkel. A szabadsági fok: a minták száma- >χ elutasítjuk a H 0 -t. Ezek szerint az orchideák számát tekintve a mezők nem tekinthetők egyformáknak. Csak azt tudjuk, hogy valamelyik kettő között biztos van különbség. Biztos, hogy a Ri legnagyobb és a legkisebb átlagos rangszámú különbözik, jelen példában a C és ni D mezők.
Megjegyzések: Két minta esetén ugyanaz mint a Mann-Whitney próba. Szignifikancia esetén nem tudjuk megmondani, hogy ténylegesen melyikek különböznek (legkisebb-legnagyobb biztos). Ha a H 0 : med = med =... = medk hipotézis szeretnénk tesztelni, a medián próba kiterjeszthető több minta esetére. Nem független minták esetén a Friedman teszt használható.
Gyakoriságok elemzése Leszámolásos mintákra alkalmazható próbák. Klasszikus módszer: χ próba. Alkalmazzák homogenitás, véletlenszerűség, függetlenség és illeszkedésvizsgálatra. Alapelv: megfigyelt gyakoriságokat összehasonlítása nullhipotézis alapján várt gyakoriságokkal. Ha az eltérés egy bizonyos kritikus értéknél nagyobb, akkor elutasítjuk a nullhipotézist. Lényeg: hogyan számítsuk ki a várt gyakoriságokat?
Illeszkedés vizsgálat (goodness-of-fit, GOF) Tartható-e az az álláspont, hogy a vizsgált változó populációbeli eloszlása (eloszlásfüggvénye) egy feltételezett F hipot eloszlás (eloszlásfüggvény)? χ -próba Feltételek: a próbához a változó értékkészletét osztályokba kell sorolni és minden osztályra meghatározni az e i ún. várt gyakoriságot (a gyakoriság illeszkedés esetén várható értékét): a mintaelemszámot meg kell szorozni annak az i. osztálynak a feltételezett eloszlás szerinti valószínűségével. Akkora mintával kell dolgozni, vagy az osztályokat úgy megválasztani, hogy az e i -k ne legyenek 3-nál kisebbek, és 5-nél kisebbek is legfeljebb az osztályok 0%-ában. P 0.4 0.3 0. 0. 4 6 0 5 0 5 0 χ H : 0 : F F0 H F F 0
Próba-statisztika: ( e ) χ k i i = f i= gyakoriság, k pedig az osztályok száma. Kritikus tartomány: K: { χ χkrit} megfelelően kell kikeresni. e i, ahol fi a megfigyelt gyakoriság, ei a várt >. A kritikus értéket a szignifikancia szintnek Tiszta illeszkedésvizsgálat: A feltételezett eloszlás típusa és paraméterei is ismertek. Szabadsági fok: k -. Becsléses illeszkedésvizsgálat: Csak az eloszlás típusa ismert, a paramétereit becsüljük. Szabadsági fok: k--(becsült paraméterek száma). Normalitást is ezzel a próbával vizsgálhatunk. df = esetén szokták az ún. Yates korrekciót alkalmazni: χ = k ( fi ei 0.5), i= ei de erről a statisztikusok véleménye különbözik, azt a módszert kell használni, amely a tudományterületen, vagy az adott folyóiratban szokásos.
Példa: Kockadobás. Az az elképzelésünk (modellünk), hogy a kocka szabályos, azaz minden szám egyforma (/6) valószínűséggel fordulhat elő. A modell teszteléséhez dobáljuk a kockát, számoljuk az egyes előfordulások gyakoriságát, majd elvégezzük a χ -próbát. Formálisan felírva a hipotéziseket: H 0 : A kocka szabályos H : Nem szabályos ( e ) χ k i i = f i= e i, ahol fi a megfigyelt gyakoriság, ei a várt gyakoriság, k pedig az osztályok száma. Behelyettesítve a képletbe: ( 8 0) ( 6 0) ( 4 0) 4 χ = + +... + = = 4.. > χ krit =. 07 0 0 0 0 elutasítjuk a nullhipotézist! érték megfigyelt (f i ) várt (e i ) gyakoriság 8 0 6 0 3 6 0 4 7 0 5 9 0 6 4 0
Kolmogorov-Szmirnov próba Az eloszlásfüggvények legnagyobb abszolút eltérését veszi csak figyelembe. Példa: Házi rövidszőrű macskák étkezési preferenciáinak tesztelése. Ugyanaz a táp 5 féle nedvességtartalommal. 35 éhes macskát letettek egyenként az 5 táptól ugyanolyan távolságra. Melyiket választják? H 0 : A macskáknak nincs nedvesség preferenciája H : Legalább egyfélét preferálnak Próba-statisztika: d max =7 Táblázatból: d krit(0.05, 5, 35) =7 K:{d max d krit } H 0 -t elutasítjuk. Nedves száraz táp 3 4 5 f i 8 3 6 6 e i 7 7 7 7 7 kum f i 8 7 33 35 kum e i 7 4 8 35 d i 7 6 5 0
Függetlenségvizsgálat khi-négyzet próba Tartható-e az az álláspont, hogy a két vizsgált változó független egymástól? A próbához mindkét változó értékkészletét osztályokba kell sorolni (nem feltétlenül ugyanannyi osztályba!) és minden osztály-kombinációra (cellára) meghatározni az ún. várt gyakoriságot (e ij ) az alábbi képlettel: e ij = ( I f ij i= I )( J i= j= J j= f ij f ij ), ahol I és J az egyik, illetve másik változó szerinti osztályok száma, f ij pedig az i,j-edik cella mintabeli gyakorisága. 3... J-ik osztály Feltételek: Akkora mintára van szükség, hogy az e ij várt gyakoriságok ne legyenek 3- nál kisebbek, és 5-nél kisebbek is legfeljebb a cellák 0 %-ában.... I-ik oszt. ez a (, 3)-ik
Nullhipotézis: H0: a két vizsgált változó független egymástól Ellenhipotézis: H: nem függetlenek Próba-statisztika: ( ) = I J fij eij χ, ahol f ij a megfigyelt, e ij a várt gyakoriság az e i= j= ij i,j-edik cellában, I és J pedig az egyik, illetve a másik változó szerinti osztályok száma. Elutasítási tartomány: {χ :χ χ α}, ahol χ -eloszlás megfelelő kritikus értéke. χ α az (I )(J ) szabadsági fokú
Ha nem független két változó, akkor hogyan tudjuk mérni a kapcsolat erősségét? kontingencia táblázatok (nominális változók esetén) pl. asszociációs mértékekkel, ordinális skálák esetén pl. rangkorrelációval, intervallum skála esetén pl. a korrelációs együtthatóval.
Homogenitásvizsgálat Tartható-e az az álláspont, hogy a vizsgált változó eloszlása (eloszlásfüggvénye) azonos a két populációban? Függetlenségvizsgálat A vizsgálatot visszavezethetjük függetlenségvizsgálatra egy új változó segítségével, amelynek értéke minden mintaelemre annak a populációnak a sorszáma, amelyből a mintaelem származik ( vagy ). Az, hogy a vizsgált változó ugyanolyan eloszlást követ a két populációban, ekvivalens azzal, hogy a vizsgált változó független ettől a sorszám-változótól. A sorszám-változónak természetesen két osztálya van, a vizsgált változó értékeit pedig a függetlenségvizsgálat feltételeinek megfelelően kell osztályokba sorolni. osztály (populáció) 3... J-ik osztály
Feltételek: lásd a függetlenségvizsgálatnál. Nullhipotézis: H0: F =F, ahol F és F az ismeretlen eloszlásfüggvények. Ellenhipotézis: H: F F Próba-statisztika: lásd a függetlenségvizsgálatnál. Elutasítási tartomány: lásd a függetlenségvizsgálatnál. Ezzel a módszerrel kettőnél több populációra is végezhető homogenitásvizsgálat. Ha nem lett volna érthető: mindkét mintát osztályokba soroljuk, azonos határokkal. A táblázat első sorába az első mintából, a második sorába a második mintából írjuk be a megfigyelt gyakoriságokat. Így az első sor az első mintára, a második a második mintára vonatkozik. Ha a két sorban az eloszlás azonos, az ugyanazt jelenti, mintha a két minta független lenne.
Fisher egzakt teszt x-es kontingencia táblázatokra Ha túl kicsik a gyakoriságaink, akkor a χ próba nem ad helyes eredményt (csak közelítés, nagy mintákra működik jól.) A Fisher egzakt teszt azt számítja ki, hogy az adott marginális eloszlások mellett mekkora az adott, illetve annál extrémebb táblázatok valószínűsége, ha feltételezzük a változók függetlenségét. Ha ez a valószínűség kicsi (<5%), akkor nem fogadjuk el a nullhipotézist. Példa: Van 40 betegünk, akik részben pszichotikusok, részben neurotikusok, illetve részben éreznek öngyilkossági hajlamot, részben nem. Öngyilkossági pszichotikus neurotikus Összes hajlam Igen 6 8 Nem 8 4 3 Összes 0 0 40 Egy adott táblázat valószínűségét a hipergeometrikus eloszlás adja meg:
Az adott marginálisok mellett a táblázat valószínűsége: Mit jelent az, hogy extrémebb? Kiválasztjuk azt az átlót, amelyben a gyakoriságok összege nagyobb, és azt még tovább növeljük (az adott irányú összefüggés irányába megyünk tovább.)
Itt úgy tűnik, mintha a neurotikusok kicsit hajlamosabbak lennének az öngyilkosságra, mint a pszichotikusok. Megnézzük, hogy mi a helyzet, ha még jobban eltoljuk ebbe az irányba a táblázatot: Öngyilkossági pszichotikus neurotikus Összes hajlam Igen 7 8 Nem 9 3 3 Összes 0 0 40 Öngyilkossági pszichotikus neurotikus Összes hajlam Igen 0 8 8 Nem 0 3 Összes 0 0 40
A példabeli táblázat valószínűsége, illetve a nála extrémebbeké: Összesen: Következtetés. A két tünet függetlennek tekinthető.
