Grid felhasználás: alkalmazott matematika Konvex testek egyensúlyi osztályozása a Saleve keretrendszerrel Kápolnai Richárd 1 Domokos Gábor 2 Szabó Tímea 2 1 BME Irányítástechnika és Informatika Tanszék kapolnai@iit.bme.hu 2 BME Szilárdságtani és Tartószerkezeti Tanszék e-science Cafè, 2011. november 14. Verzió: $Id: scicafe.tex 273 2011-11-14 10:45:12Z richard $
Egyensúlyi pontok Konvex, homogén test felszínén távolság a tkp-tól: R(θ, ϕ) Egyensúlyi pontok az R szélsőértékei (minimum, maximum és nyereg) S R U R H π π/2 0 π/4 π/2 3π/4 θ π -π -π/2 0 ϕ Elforgatott ellipszoid magasságfüggvénye Kápolnai Richárd (BME) Grid felhasználás: alkalmazott matematika e-science Cafè, 2011.11.14. 2 / 17
Ellipszoid magasságfüggvénye és gradiensmezője π 3 2.8 π/2 2.6 2.4 2.2 ϕ 0 2 1.8 -π/2 1.6 1.4 1.2 -π 1 0 π/4 π/2 3π/4 π θ Kápolnai Richárd (BME) Grid felhasználás: alkalmazott matematika e-science Cafè, 2011.11.14. 3 / 17
Egyensúlyi osztályok (S, U): a test egyensúlyi osztálya, pl. a kocka: (6,8) (1,1) U S 1 1 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 (1,2) 5 6 7 8 Domokos Gábor Várkonyi Péter, 2006. Kápolnai Richárd (BME) Grid felhasználás: alkalmazott matematika e-science Cafè, 2011.11.14. 4 / 17
Minden osztályban van valamilyen test U S 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 Kápolnai Richárd (BME) Grid felhasználás: alkalmazott matematika e-science Cafè, 2011.11.14. 5 / 17
Az egyensúlyi gráf Finomabb felosztás: izolált pályák (U H és H S) egy négyszögelt gráfot határoznak meg 4 3 3 2 1 2.8 2.6 2.4 2.2 0 2-1 -2-3 1.8 1.6 1.4 1.2-4 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Az R függvény Morse Smalekomplexének gráfja 1 Kápolnai Richárd (BME) Grid felhasználás: alkalmazott matematika e-science Cafè, 2011.11.14. 6 / 17
Futási eredmények alosztályok felsorolása S + U 10-ig Hányféle topológia lehetséges egy (S, U) egyensúlyi osztályon belül? n = S + U a csúcsok száma: 3 4 5 6 7 8 9 10 U\S 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 2 3 6 12 27 65 2 1 2 5 13 35 104 315 1021 3 1 5 20 83 340 1401 5809 4 2 13 83 504 2843 15578 5 3 35 340 2843 21420 6 6 104 1401 15578 7 12 315 5809 8 27 1021 9 65 Kápolnai Richárd (BME) Grid felhasználás: alkalmazott matematika e-science Cafè, 2011.11.14. 7 / 17
Felsorolás hatékonysága Jelölje S az összes egyensúlyi gráf halmazát n feldolgozási idő vizsgált lehetőségek S 3 0 2 2 4 0 14 4 5 0 291 14 6 0 14 468 52 7 6 sec 1,1 10 6 248 8 10 perc 1,1 10 8 1 416 9 20 óra 1,2 10 10 9 172 10 81 nap 1,4 10 12 66 366 Kápolnai Richárd (BME) Grid felhasználás: alkalmazott matematika e-science Cafè, 2011.11.14. 8 / 17
Gráfok párhuzamos generálása ismétlés nélkül G 0 G 1 G 2 G 3 G 4 G 5 G 6 G 7 G 8 G 9 Csak a fekete élek mentén generálunk (legjobb redukció) Kápolnai Richárd (BME) Grid felhasználás: alkalmazott matematika e-science Cafè, 2011.11.14. 9 / 17
Gráfok párhuzamos generálása ismétlés nélkül G 0 G 1 G 2 G 3 G 4 G 5 G 6 G 7 G 8 G 9 Csak a fekete élek mentén generálunk (legjobb redukció) Itt 6 független job indítható Kápolnai Richárd (BME) Grid felhasználás: alkalmazott matematika e-science Cafè, 2011.11.14. 9 / 17
Gráfok párhuzamos generálása ismétlés nélkül G 0 G 1 G 2 G 3 G 4 G 5 G 6 G 7 G 8 G 9 Csak a fekete élek mentén generálunk (legjobb redukció) Itt 6 független job indítható Függetlenül generálják a megoldásokat (Brinkmann McKay, 2007) Kápolnai Richárd (BME) Grid felhasználás: alkalmazott matematika e-science Cafè, 2011.11.14. 9 / 17
Egyenletes feldarabolás a Saleve alkalmazáshoz G 0 G 1 G 2 G 3 G 4 G 5 G 6 G 7 G 8 G 9 G G Nem tudjuk előre az egyes darabok számításigényét Kápolnai Richárd (BME) Grid felhasználás: alkalmazott matematika e-science Cafè, 2011.11.14. 10 / 17
Egyenletes feldarabolás a Saleve alkalmazáshoz G 0 G 1 G 2 G 3 G 4 G 5 G 6 G 7 G 8 G 9 G G Nem tudjuk előre az egyes darabok számításigényét Iteratív darabolás: bizonyos részeket manuálisan továbbdarabolunk Kápolnai Richárd (BME) Grid felhasználás: alkalmazott matematika e-science Cafè, 2011.11.14. 10 / 17
Egyenletes feldarabolás a Saleve alkalmazáshoz G 0 G 1 G 2 G 3 G 4 G 5 G 6 G 7 G 8 G 9 G G Nem tudjuk előre az egyes darabok számításigényét Iteratív darabolás: bizonyos részeket manuálisan továbbdarabolunk Kápolnai Richárd (BME) Grid felhasználás: alkalmazott matematika e-science Cafè, 2011.11.14. 10 / 17
Gridalkalmazás fejlesztése a Saleve keretrendszerben Példa: függvény integrálása [0, 1]-en: kis módosítás a forráskódon Eredeti forráskód int main(int ac, char *av[]) { double result = integrate("0.0", "1.0"); printf("%lf\n", result); } Saleve kliens: majdnem ugyanaz, int saleve_main(int argc, char *argv[]) { double subresult = integrate(argv[1], argv[2]); printf("%lf", subresult); } Az alkalmazás lényegi részén (integrate) nem kell változtatni kiegészítve a paramétertér felosztásával, összegzésével: void saleve_span() { saleve_addinstance("0.0 0.1"); saleve_addinstance("0.1 0.2");... Automatikus: (többdimenziós) paramétertartomány feldarabolása, grides job futtatása minden darabhoz C/C++ támogatás, becsomagolható bármilyen konzolos alkalmazás (Java, Matlab, Python, Fortran,... ) Kápolnai Richárd (BME) Grid felhasználás: alkalmazott matematika e-science Cafè, 2011.11.14. 11 / 17
tux@linux# tux@linux# tux@linux# Saleve: transzparens működés 1 A kliens elküldi önmagát és a feladatot: 2 A szerver jobokat küld a gridbe 4 A kliens összegzi a részeredményeket 5 9 = 25 7 4 3 A visszatérő részeredményeket a szerver továbbítja a kliensnek 5 9 7 4 Kápolnai Richárd (BME) Grid felhasználás: alkalmazott matematika e-science Cafè, 2011.11.14. 12 / 17
Saleve gridalkalmazás hatékonysága Feldolgozási idők: Sorbanállás + feldolgozás: n = 10 pontszámra 1076 job, összesen 1923 cpu óra (80 nap) A kezdeti paramétertartomány az n = 8 méretű T -gráfok 1. iteráció: 1000 job, 2. iteráció: 4 job továbbdarabolva Ideális párhuzamosításban minden job kb. 2 órás lenne Volt 11 órás job is, így kb. 6-szoros futási idő (vö. 80 nappal) Hosszú várakozási sorok automatikus kezelése Kápolnai Richárd (BME) Grid felhasználás: alkalmazott matematika e-science Cafè, 2011.11.14. 13 / 17
Vannak-e a Gömböc mellett más ősök? n < 8-ig minden gráf előállítható a Gömböcből, ahol n = S + U. A programmal generált gráfokra ellenőrizhető: n mindkettő csak C 1 csak C 2 egyik sem 4 2 1 1-5 6 2 6-6 32 4 16-7 172 10 66-8 9 10 Kápolnai Richárd (BME) Grid felhasználás: alkalmazott matematika e-science Cafè, 2011.11.14. 14 / 17
Vannak-e a Gömböc mellett más ősök? n < 8-ig minden gráf előállítható a Gömböcből, ahol n = S + U. A programmal generált gráfokra ellenőrizhető: n mindkettő csak C 1 csak C 2 egyik sem 4 2 1 1-5 6 2 6-6 32 4 16-7 172 10 66-8 9 10 Léteznek-e egyéb ősök? Létezik-e hozzájuk fizikai test? Hogyan képzeljük el őket? Kápolnai Richárd (BME) Grid felhasználás: alkalmazott matematika e-science Cafè, 2011.11.14. 14 / 17
Vannak-e a Gömböc mellett más ősök? n < 8-ig minden gráf előállítható a Gömböcből, ahol n = S + U. A programmal generált gráfokra ellenőrizhető: n mindkettő csak C 1 csak C 2 egyik sem 4 2 1 1-5 6 2 6-6 32 4 16-7 172 10 66-8 1071 33 311 1 9 7370 114 1688-10 55766 474 10125 1 Léteznek-e egyéb ősök? Létezik-e hozzájuk fizikai test? Hogyan képzeljük el őket? n 8 esetén vannak más ősök! Kápolnai Richárd (BME) Grid felhasználás: alkalmazott matematika e-science Cafè, 2011.11.14. 14 / 17
Minimálpoliéderek Ős: semmiből sem származtatható Kápolnai Richárd (BME) Grid felhasználás: alkalmazott matematika e-science Cafè, 2011.11.14. 15 / 17
Minimálpoliéderek Ős: semmiből sem származtatható Példa: szabályos poliéderek, gúla,... Kápolnai Richárd (BME) Grid felhasználás: alkalmazott matematika e-science Cafè, 2011.11.14. 15 / 17
Minimálpoliéderek Ős: semmiből sem származtatható Példa: szabályos poliéderek, gúla,... Meghatároztunk egy olyan test-kategóriát, mely nem származtatható a Gömböcből. Kápolnai Richárd (BME) Grid felhasználás: alkalmazott matematika e-science Cafè, 2011.11.14. 15 / 17
Ős megállapítása Egy gráfot általában többféleképpen lehet generálni egy ősből, az ős egyértelműen megállapítható Kb. 100 bescannelt kavicsnak megállapítottuk az ősét Scannelt kavics pályái, ábra: GTT és SZT (Sípos András Szabó Tímea) Kápolnai Richárd (BME) Grid felhasználás: alkalmazott matematika e-science Cafè, 2011.11.14. 16 / 17
Köszönöm szépen a figyelmet! Saleve keretrendszer http://cern.ch/saleve/ Hungrid Virtuális Szervezet http://grid.kfki.hu/hungrid/ G. Brinkmann B. D. McKay, Fast generation of planar graphs, MATCH Comm., (2007) 58 G. Domokos P. Várkonyi, Static equilibria of rigid bodies: dice, pebbles and the Poincaré Hopf theorem, J Nonlinear Sci, (2006) 16 P. Dóbé R. Kápolnai A. Sipos I. Szeberényi, Applying the improved Saleve framework for modeling abrasion of pebbles, in LSSC, vol. 5910 of LNCS, 2010 R. Kápolnai G. Domokos, Inductive generation of convex bodies, in The 7th Hungarian-Japanese Symposium on Discrete Mathematics and Its Applications, pp. 170 178, 2011