kápolnai richárd Tézisfüzet

Átírás

1 N É G Y S Z Ö G E L É S E K E L Ő Á L L Í TÁ S A K O R L ÁT O Z O T T C S Ú C S O S Z TÁ S S A L É S PA R A M É T E R E L E M Z É S E K Ü T E M E Z É S E kápolnai richárd Tézisfüzet Témavezető: Dr. Szeberényi Imre október 21. Irányítástechnika és Informatika Tanszék Villamosmérnöki és Informatikai Kar Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem

2 négyszögelések előállítása 1 K Ö S Z Ö N E T N Y I LVÁ N Í TÁ S Külön köszönöm Dr. Domokos Gábornak, mint külső konzulensemnek kutatómunkám támogatását és szakmai segítését. N É G Y S Z Ö G E L É S E K E L Ő Á L L Í TÁ S A célkitűzés Várkonyi és Domokos [6] 2006-ban egy újfajta rendszert vezettek be konvex, homogén testek osztályozására. Minden testnek egy elsődleges egyensúlyi osztályt (röviden elsődleges osztályt) feleltettek meg, amit a test stabil és instabil egyensúlyi pontjainak száma definiál. Mondhatjuk, hogy a test felszínének egy pontja egyensúlyi pont, ha a test e pontján egy vízszintes síkra helyezve nyugalomban marad. Az egyensúlyi pont stabil, ha a test bármilyen irányú kis zavarás ellenére visszaáll helyzetébe, és instabil, ha semmilyen zavarásra sem tér vissza. Például a kockának hat stabil és nyolc instabil pontja van, megfelelően a lapok és csúcsok számának. Az éleken nyeregpontok vannak, amiket most figyelmen kívül hagyunk. Várkonyi és Domokos a fenti rendszer bevezetésén túl [6] megszerkesztették a Gömböc névre keresztelt test geometriáját, melynek mindössze egy stabil és egy instabil pontja van. Emellett megterveztek speciális geometriai transzformációkat is, az ún. Kolumbusz-lépéseket, melyek úgy hoznak létre új egyensúlyi pontot a testen, hogy csak egy meglévő egyensúlyi pont közvetlen környezetét módosítják. Mivel a Gömböcből kiindulva a Kolumbusz-lépések bármely elsődleges osztálybeli testet képesek előállítani, a Gömböcöt az összes elsődleges osztály ősének tekintjük. Az egyensúlyi pontok számán kívül figyelembe vehetjük azok topológiáját is, amit a felszín Morse Smale-komplexe határoz

3 2 négyszögelések előállítása (a) P 2 (b) C 4 (c) Q 3 (d) Q ábra. A négy legkisebb négyszögelés meg. Így az elsődleges osztályokon belül másodlagos osztályokat határozunk meg. Amíg az eredeti Kolumbusz-lépések képesek bármilyen elsődleges osztálybeli testet előállítani, e lépések nemrég általánosított változata már képes minden másodlagos osztálybeli test előállítására (Domokos, Lángi and Szabó [1]) egyetlen ősből, a Gömböcből. Négyszögelésnek (angolul multiquadrangulation vagy röviden quadrangulation) nevezünk egy gömbre lerajzolt síkgráfot, ha minden tartományát egy négy élből álló séta határolja. Az 1.1. ábra mutatja azon négyszögeléseket, melyeknek legfeljebb 4 csúcsa van. Egy másodlagos osztály, vagyis az egyensúlyi pontok topológiája természetes módon ábrázolható egy 2 színnel színezett négyszögeléssel [2, 4]. E modellben a Kolumbusz-lépés egy négyszögeléseken értelmezett gráfművelet, melyet színezett csúcsosztásnak nevezünk. Így lehetővé válik számunkra, hogy a másodlagos osztályok elérhetőségét tisztán kombinatorikai eszközökkel vizsgáljuk. Az 1.2. ábra illusztrálja egy konvex, homogén test felszíni gráfja meghatározásának köztes állomásait. A disszertációban az általánosított lépések egy gondosan kiválasztott megszorítását vizsgáljuk, melyet monoton színezett csúcsosztásnak nevezünk. E megszorítás mind gráfelméleti, mind geometriai jelentőséggel bír. Az első célkitűzés annak meghatározása, hogy mely másodlagos osztályok állíthatók elő másokból monoton színezett csúcsosztással.

4 1.2 vizsgálati módszer 3 R π π/2 0 π/4 π/2 3π/4 θ π -π -π/2 0 ϕ (a) Heteroklinikus pályák (b) R magasságfüggvény (c) Morse Smale-gráf (d) Egy. háromszögelés (e) Kvázi-duális 1.2. ábra. Ellipszoid másodlagos osztálya (e). Piros: stabil, kék: instabil. Az 1.2a ábrát Szabó Tímea készítette [A2]. 1.2 vizsgálati módszer A monoton csúcsosztás összes esetét az 1.3. ábrán figyelhetjük meg, ahol a csúcsosztás foka hozzávetőlegesen a hozzáadott csúcs fokszámát jelenti. A monoton színezett csúcsosztás két lépcsőből tevődik össze: egy monoton csúcsosztásból és a hozzáadott csúcs színezéséből. Ennek megfelelően minden négyszögelésre és monoton csúcsosztásra tett kijelentésnek geometriai folyománya van a konvex, homogén testek egyensúlyi pontjaira vonatkozóan. Egy másodlagos osztályt irreducibilis ősnek nevezünk, ha nem hozható létre másikból monoton színezett csúcsosztással. Bár a monoton színezett csúcsosztás (vagy akár az eredeti Kolumbuszlépés) az összes elsődleges osztályt előállítja egyetlen ősből, a másodlagos osztályoknak csak egy részét képes előállítani ugyanabból az ősből. Így a másodlagos osztályok körében a

5 4 négyszögelések előállítása (a) 2-fokú egyszerű csúcsosztás (b) 2-fokú csúcsosztás párhuzamos (c) 1-fokú csúcsosztás 1.3. ábra. Monoton csúcsosztás esetei (a) Tetraéder (b) Négyzetes gúla 1.4. ábra. Két minimálpoliéder másodlagos osztálya és váza Gömböc mellett további ősök jelennek meg, egy összetett előállíthatósági hierarchiát eredményezve. E hierarchiában az ún. minimálpoliéderek kulcsszerephez jutnak. Egy poliéder minimálpoliéder, ha minden lapja tartalmaz egy stabil pontot, és minden csúcsa egy instabil pont. A két legkisebb minimálpoliédert az 1.4. ábra mutatja. Könnyen belátható, hogy e minimálpoliéderekhez tartozó másodlagos osztályok irreducibilisek, hiszen a gráfok minimális fokszáma 3, és a monoton csúcsosztások létrehoznak egy első- vagy másodfokú pontot.

6 1.3 eredmények 5 M + M I I + F G ábra. Másodlagos osztályok hierarchiája. I + : összes másodlagos osztály, G + : Gömböcből előállíthatók, F: 8-nál kisebb pontú másodlagos osztályok, I: irreducibilis ősök, M: minimálpoliéderek, M + : minimalpoliéderekből előállíthatók. 1.3 eredmények A másodlagos osztályok felfedezett hierarchiáját az 1.5. ábra szemlélteti. Redukciósorozat alatt a monoton színezett csúcsosztás inverzének sorozatát értjük. 1. tézis (publikációk: [A2] [C4, C5]) Megmutattam, hogy a másodlagos osztályok körében a monoton színezett csúcsosztás a Gömböc mellett további irreducibilis ősökhöz vezet. Megmutattam azt is, hogy az ősök természetes módon particionálják a másodlagos osztályok halmazát. a) Legfeljebb 10 csúcsszámig mindössze 3 ős található: a Gömböc, a tetraéder és a szabályos négyzetes gúla másodlagos osztálya. Következésképpen a Gömböc az őse minden másodlagos osztálynak, melynek kevesebb mint 8 csúcsa van. b) Minden minimálpoliéder másodlagos osztálya irreducibilis. c) Tetszőleges másodlagos osztály őse egyedi, és az ős előáll bármely redukciósorozat alkalmazásával.

7 6 négyszögelések felsorolása N É G Y S Z Ö G E L É S E K F E L S O R O L Á S A célkitűzés Az elsődleges osztályok finomítása magától értetődően felveti azt a kérdést, hogy hány másodlagos osztályra bomlanak az egyes elsődleges osztályok? És mik a konkrét másodlagos osztályok? Mivel a másodlagos osztály definíciója a négyszögelésre épül, ide vonatkozó kérdés, hogy hány különböző négyszögelés lehetséges adott méret esetén? Az irodalom csak részleges választ kínál e kérdésekre. A 2 színnel színezett négyszögelések(nek egyértelműen megfeleltethető összefüggő síkgráfok) családját egy polinomiális algoritmussal meg lehet határozni (Wormald [9]). Walsh [7, 8] pedig algoritmust adott azok kimerítő felsorolására adott méretig úgy, hogy nem szükséges eltárolni a már felsoroltakat. Legjobb tudásom szerint a színezés nélküli négyszögeléseket viszont még senki sem számlálta meg, vagy sorolta fel. A kimerítő felsoroláshoz egy másik megközelítést kínál a Plantri szoftvercsomag, amely számos gráfcsaládot képes felsorolni, szintén eltárolás nélkül. A működés lényege az, hogy egy gráfcsalád elemeit egy kiindulási halmazból úgy állítja elő, hogy szisztematikusan alkalmazza az összes megadott expanziós szabályt (ami hozzávetőlegesen gráf bővítésre szolgáló transzformáció). Az ismétlést úgy kerüli el, hogy minden gráfot csak egy egyedi expanziósorozattal enged előállítani. A Plantri képes az egyszerű négyszögeléseket (párhuzamos él nélkül) felsorolni, de ezek csak kis részét képezik az általános négyszögeléseknek (melyeknél megengedünk párhuzamos éleket is). A második célkitűzés olyan algoritmusok kidolgozása, melyekkel felsorolhatók az általános négyszögelések is (párhuza-

8 2.2 vizsgálati módszer 7 (a) Egyszerű (b) Párhuzamos 2.1. ábra. Harmadfokú csúcsosztás esetei mos élek megengedésével), továbbá a lehetséges négyszögelések számának meghatározása adott méretre. 2.2 vizsgálati módszer A fentiekre alapozva három algoritmust adtam adott méretű négyszögelések felsorolására. Az első a Plantrival egy tágabb halmazt soroltat fel, melynek egy részhalmaza megfelel a négyszögeléseknek. A tágabb halmaz a háromszögelések halmaza, és a részhalmaz azon háromszögelések halmaza, melyek kiszínezhetők egyensúlyi háromszögnek (1.2d. ábra, a másodlagos osztály meghatározásának köztes állomása). Tehát a Plantri kimenetét, vagyis a háromszögeléseket meg kell szűrni, és csak a részhalmazba tartozókat szabad meghagyni. A második módszer a Plantri kiterjesztése úgy, hogy az a négyszögeléseket közvetlenül fel tudja sorolni expanziós szabályokkal. Ehhez definiálni kell az expanziókat, a kiindulási halmazt, és minden négyszögeléshez egy egyedi expanziósorozatot kell rendelni. A szükséges expanziók az első-, másod- és harmadfokú csúcsosztások, melyeket együtt S 1,3 -mal jelölünk. Az első kettőt az 1.3. ábra mutatja, a harmadfokú csúcsosztást pedig a 2.1. ábra. A harmadik módszer Walsh [8] felsorolásának megszűrésén alapul. A színezés nélküli négyszögelések felsorolásához egyszerűen el kell távolítani a színezést. Azonban egy négyszögelésen többféle nem-izomorf színezés is elképzelhető, viszont az ismét-

9 8 négyszögelések felsorolása Q(n) e SD (n) s e(s, n s) I(n) n = n = n = n = n = n = n = n = táblázat. Négyszögelések (Q), önduális négyszögelések (e SD ), másodlagos osztályok ( e) és irreducibilis ősök (I) számossága lést el kell kerülni. Ha egy négyszögelés összes 2-színezése izomorf, akkor önduálisnak nevezzük. 2.3 eredmények Az alábbi elméleti eredményeket számítási eredmények követik, melyeket a kidolgozott módszer implementálásával és végrehajtásával nyertem. A keresett számosságokat a 2.1. táblázat mutatja. 2. tézis (publikációk: [A2] [C4, C5]) Az általam kidolgozott és implementált párhuzamos algoritmus felsorolja a négyszögeléseket és a másodlagos osztályokat is. Ezt párhuzamos infrastruktúrán futtatva számossági adatokat adtam meg. Emellett hatékonyabb szekvenciális és párhuzamos algoritmusokat is kidolgoztam. a) Az első algoritmus a Plantri által felsorolt háromszögeléseket megszűrve felsorolja a négyszögeléseket. A Saleve/EGI rendszerben futtatva meghatároztam a legfeljebb 10 csúcsú

10 ismeretlen méretű jobok ütemezése 9 négyszögelések számosságát. A futtatás során nyert adatok alátámasztják az 1.a) altézist. b) Megmutattam, hogy a négyszögelések előállíthatók az S 1,3 korlátozott csúcsosztással. Így egy párhuzamos algoritmus adódik a Plantri módszerére, a canonical construction path módszerre építve, mely felsorolja a színezés nélküli négyszögeléseket és a 2 színnel színezett négyszögeléseket is. c) A harmadik, szekvenciális algoritmus Walsh algoritmusára épül, amely eredetileg a 2 színnel színezett négyszögeléseket sorolja fel. A harmadik algoritmus ennek kimenetét szűri meg oly módon, hogy garantáltan minden négyszögelést csak egyféleképpen színez ki. I S M E R E T L E N M É R E T Ű J O B O K Ü T E M E Z É S E célkitűzés Mivel a Plantri támogatja a feladat feldarabolását független részekre, könnyen lehetett párhuzamosan futtatni egy grid infrastruktúrában a Saleve [5] segítségével. Bár az előző szakaszban bemutatott eredmények rendkívül számításigényesek, kiderült, hogy nem könnyű jó párhuzamos hatékonyságot elérni lényegében kétféle nehézség miatt. Egyrészt egy számítási feladat hasonló feldolgozási idejű egységekre történő optimális feldarabolása NP-nehéz. Emiatt csak a legegyszerűbb, legkisebb esetek oldhatók meg optimálisan ésszerű időkeret között. Másrészt nem rendelkezünk a priori információval az egyes részek (jobok) feldolgozási idejét illetően, így ezen komplex feladat megoldását bizonytalanság is nehezíti. Fontos megjegyezni, hogy e nehézségek nemcsak a gráfok felsorolásánál fordulnak elő, hanem a pár-

11 10 ismeretlen méretű jobok ütemezése huzamos számítások egy fontos kategóriáját jellemezhetik, többek között a paraméterelemzés (PSA, Parameter Sweep Application) gyűjtőnéven ismert alkalmazásokat, melyekre a disszertáció koncentrál. Foglalkozunk az ún. kötegelt PSA alkalmazásokkal (batches of PSAs) is, ahol a jobokat csoportokba osztjuk, és egy gép egy csoport jobját csak akkor kezdheti el, ha előkészítették rá egy speciális, ún. setup jobbal. A harmadik célkitűzés egy olyan keretrendszer kidolgozása, mely megbirkózik az ütemezési feladat fent ismertetett bizonytalanságával és komplexitásával. Szintén cél az elméleti eredmények gyakorlatba történő átültetése mind tesztelés, mind felhasználhatóság szempontjából. 3.2 vizsgálati módszer A számítási komplexitást úgy kezeljük, hogy megalkuszunk az optimálist csak közelítő, polinomidejű megoldással, egy 2- approximációval, melynek költsége garantáltan legfeljebb az optimális költség kétszerese. Esetünkben a költség a makespan (legnagyobb befejezési idő, azaz a feladat elkészülése és elindítása között eltelt idő), tehát a gyorsan (polinomidőben) előálló megoldás makespanje legfeljebb kétszer lesz nagyobb, mint az optimális makespan. A bizonytalansággal történő megbirkózáshoz felhasználjuk Downey és Feitelson [3] megfigyelését: egy PSAt fejlesztő felhasználó tipikusan többször is lefuttatja ugyanazt az alkalmazást. Ennek több oka is lehet, például tesztelés, hibajavítás, továbbfejlesztés stb. Így lehetőségünk nyílik arra, hogy az egyes gépek lemért befejezési idejéből adatbázist építsünk, így fokozatosan feltérképezve az ismeretlen karakterisztikájú feladatot. Az implementálhatóság érdekében ezt az adatbázist, valamint az egyes gépekhez rendelt feladatok leírásának méretét korlátozni kell.

12 3.3 eredmények 11 Az implementációhoz használt Saleve eszköz [5] egyszerűbb PSA alkalmazások fejlesztéséhez és futtatásához nyújt segítséget. Az így fejlesztett PSA futtatható személyi számítógépen és elosztott, párhuzamos környezetben is. A Saleve eszközt 2005 óta fejleszti egy kis csoport a BME-n, melynek tagja a szerző is [C1, C2, A1, C3]. 3.3 eredmények A keretrendszer működését illusztrálja az alábbi példa, amely a négyszögelések felsorolásából származik. Példa. 12 gépre kívánunk ütemezni jobot, melyeknek az előre ismeretlen feldolgozási idejét a 3.1. ábra legfelső része mutatja. A teljes folyamatot szemlélteti a 3.1. ábra. A vízszintes tengely a job j indexének, a függőleges a feldolgozási vagy befejezési időnek felel meg. Az első (legfelső) diagram a feldolgozási időket mutatja. A gépekhez rendelt munka minden esetben egy ún. lánc, amely a jobok [ ] intervallumának egy részintervalluma. A második diagram a kezdeti ütemezést és az egyes gépek befejezési idejét mutatja. A kezdeti ütemezés egyenlő méretű (darabszámú) láncot rendel mind a 12 géphez. A különböző gépekhez rendelt láncok függőleges vonallal vannak elválasztva, és a gépek indexei is láthatók. Az i. géphez tartozó i. téglalap szélessége az i. géphez rendelt jobok számát jelzi, magassága pedig az i. géphez rendelt összes feldolgozási időt (az i. befejezési időt). A makespan nyilván a legmagasabb téglalap magassága, vagyis Az első iterációban a keretrendszer az első két láncot ( téglalapot ) kettévágja, mivel ezek voltak a leghosszabbak. Megbecsüli méretüket, majd kiszámítja és futtatja az új ütemezést, aminek mért befejezési időit a harmadik diagram mutatja. Meg-

13 12 ismeretlen méretű jobok ütemezése 8000 p j C f0 (j)( f 0 ) C f1 (j)( f 1 ) C f2 (j)( f 2 ) ábra. p j feldolgozási idők és a gépek befejezési idői (C f (j) ( f )).

14 3.3 eredmények 13 jegyezzük, hogy a kettévágás mellett a rövid befejezési idejű láncokat ( alacsony téglalapok ) összevonta a keretrendszer. A makespan most , tehát jönnie kell a következő iterációnak. A harmadik iterációban (negyedik diagram) már elérjük a 2-approximációt, hiszen a makespan , így nincs szükség az ütemezés újraszámítására. 3. tézis (publikációk: [A1, A3, A4] [C1 C3, C6, C7]) Feltéve, hogy az ismeretlen hosszú jobokból álló PSA feldolgozási idői a futtatások között változatlanok, és a párhuzamos gépek egyformák, megmutattam, hogy az általam kidolgozott keretrendszer közelítő megoldáshoz konvergál. a) A kidolgozott keretrendszer a múltban mért befejezési időket tároló adatbázis alapján olyan ütemezéshez iterál véges számú lépésben, melynek makespanje az optimális makespannél legfeljebb kétszer nagyobb, bármely PSA esetén. b) A Saleve eszköz kiegészült a befejezési idők mérésével, tárolásával, és a következő futtatáskor a terhelés újraelosztásával. Így a felhasználó egyre gyorsabb makespant észlel, és a paramétertér feldarabolása automatikusan, a felhasználó bevonása nélkül történik. A fenti keretrendszer formálisan bizonyított tulajdonságait mérések is alátámasztják. c) A keretrendszert elméletben kiterjesztettem ismert beállítási idejű kötegelt PSA ütemezésére, amely az optimálisnál legfeljebb háromszor nagyobb makespant eredményez.

15 14 publikációk P U B L I K Á C I Ó K 4 folyóiratcikkek [A1] [A2] [A3] [A4] P. Dóbé, R. Kápolnai and I. Szeberényi. Saleve: toolkit for developing parallel grid applications. In: Híradástechnika LXIII.1 (2008), pp R. Kápolnai, G. Domokos and T. Szabó. Generating spherical multiquadrangulations by restricted vertex splittings and the reducibility of equilibrium classes. In: Periodica Polytechnica Electrical Engineering and Computer Science 56.1 (2012), pp doi: /PPee R. Kápolnai and I. Szeberényi. Scheduling jobs and batches based on historical data. In: International Journal of Computers and Communications 7.3 (2013), pp T. Kis and R. Kápolnai. Approximations and auctions for scheduling batches on related machines. In: Operation Research Letters 35.1 (2007), pp doi: /j.orl konferenciakiadványok [C1] [C2] [C3] P. Dóbé, R. Kápolnai, A. Sipos and I. Szeberényi. Applying the improved Saleve framework for modeling abrasion of pebbles. In: Large-Scale Scientific Computing. Vol Lecture Notes in Computer Science. Sozopol, Bulgaria: Springer, 2010, pp doi: / _55. P. Dóbé, R. Kápolnai and I. Szeberényi. Saleve: supporting the deployment of parameter study tasks in the grid. In: Cracow Grid Workshop. Krakow, Poland, 2007, pp P. Dóbé, R. Kápolnai and I. Szeberényi. Simple grid access for parameter study applications. In: Large-Scale Scientific Computing. Vol Lecture Notes in Computer Science. Sozopol, Bul-

16 publikációk 15 [C4] [C5] [C6] [C7] garia: Springer, 2008, pp doi: / _53. R. Kápolnai and G. Domokos. Inductive generation of convex bodies. In: The 7th Hungarian-Japanese Symposium on Discrete Mathematics and Its Applications. Kyoto, Japan, 2011, pp R. Kápolnai, G. Domokos and T. Szabó. Másodlagos egyensúlyi osztályok gráfelméleti származtatása. In: XI. Magyar Mechanikai Konferencia. In Hungarian R. Kápolnai, I. Szeberényi and B. Goldschmidt. Approximation of repeated scheduling chains of independent jobs of unknown length based on historical data. In: Recent Advances in Computer Science. Rhodes, Greece: WSEAS Press, 2013, pp T. Kis and R. Kápolnai. A 2-approximation algorithm and a truthful mechanism for scheduling batches on machines running at different speeds. In: 7th Workshop on Models and Algorithms for Planning and Scheduling Problems. Siena, Italy, 2005, pp egyéb [O1] [O2] [O3] [O4] P. Dóbé, R. Kápolnai and I. Szeberényi. Saleve: párhuzamos grid-alkalmazások fejlesztőeszköze. In: Híradástechnika LXII.12 (2007). In Hungarian, pp R. Kápolnai and G. Domokos. Morphology classes of convex bodies based on static equilibria. (Konvex testek egyensúlyi morfológiaosztályainak feltérképezése). In: Networkshop. In Hungarian Konvex testek származtatása gráfok induktív generálásával. Seminar Talk. In Hungarian. BME Dept. of Computer Science and Information Theory Konvex testek származtatása gráfok induktív generálásával. Seminar Talk. In Hungarian. BME Dept. of Control Engineering and Information Technology

17 16 publikációk [O5] [O6] [O7] Konvex testek származtatása gráfok induktív generálásával. Seminar Talk. In Hungarian. BME Dept. of Mechanics, Materials & Structures Négyszögelések előállíthatósága monoton csúcsosztással. Seminar Talk. In Hungarian. ELTE Egerváry Research Group on Combinatorial Optimization D. Németh, R. Kápolnai and I. Szeberényi. Grid az oktatásban. In: Networkshop. In Hungarian hivatkozások [1] G. Domokos, Zs. Lángi and T. Szabó. The genealogy of convex solids. Manuscript, arxiv. org/ abs/ , last access: [2] S. Dong, P.-T. Bremer, M. Garland, V. Pascucci and J. C. Hart. Spectral surface quadrangulation. In: ACM Transactions on Graphics 25 (3 2006), pp doi: / [3] A. B. Downey and D. G. Feitelson. The elusive goal of workload characterization. In: SIGMETRICS Performance Evaluation Review 26.4 (1999), pp issn: doi: / [4] H. Edelsbrunner, J. Harer and A. Zomorodian. Hierarchical Morse complexes for piecewise linear 2-manifolds. In: Proceedings of the Seventeenth Annual Symposium on Computational Geometry. SCG 01. ACM, 2001, pp doi: / [5] Zs. Molnár and I. Szeberényi. Saleve: simple web-services based environment for parameter study applications. In: Proceedings of the 6th IEEE/ACM International Workshop on Grid Computing. 2005, pp doi: /GRID [6] P. Várkonyi and G. Domokos. Static equilibria of rigid bodies: dice, pebbles and the Poincaré Hopf theorem. In: Journal of Nonlinear Science 16 (2006), pp doi: /s

18 Hivatkozások 17 [7] T. R. Walsh. Generating nonisomorphic maps and hypermaps without storing them. In: GASCom [8] T. R. Walsh. Generating nonisomorphic maps without storing them. In: SIAM Journal on Algebraic and Discrete Methods 4.2 (1983), pp doi: / [9] N. C. Wormald. Counting unrooted planar maps. In: Discrete Mathematics 36.2 (1981), pp doi: /S X(81)