Logika Indukció: A fogalomalkotásnak azt a módját, amikor a konkrét tapasztalatokra támaszkodva jutunk el az általános fogalomhoz, indukciónak nevezzük. Dedukció: A fogalomalkotásnak azt a módját, amikor már meglévő fogalmak segítségével alakítunk ki újabb fogalmakat, dedukciónak nevezzük. Általában induktív úton szerezzük meg a tapasztalatokat a fogalmak megértéséhez, de a fogalmak meghatározását már deduktív úton tesszük. DEFINÍCIÓ: (Kijelentés) Logikai értelemben kijelentésnek (állításnak, ítéletnek) nevezzük azt a kijelentő mondatot, amelyről egyértelműen eldönthető, hogy igaz vagy hamis. A kijelentéseket latin nagybetűkkel jelöljük. Nem minden kijelentő mondat ítélet, de minden ítélet kijelentő mondat. Egy kijelentések logikai értéke:,,igaz, vagy,,hamis. Jelölés: A = I; B = H. A formális logika nem vizsgálja a kijelentések tartalmát, csak a logikai értéküket. Paradoxon: Azt a kijelentő mondatot, melynek logikai értékét vizsgálva mindig ellentmondásra jutunk, paradoxonnak nevezzük. Pl.:,,Ez a mondat hamis. Harmadik kizárásnak elve: Egy adott tárgyalás során egy ítélet vagy igaz, vagy hamis, más logikai értéke nem lehet, vagyis bármely A ítélet esetén: A A = I (egy ítélet és negációja nem lehet egyszerre hamis). Ellentmondás mentesség elve: Egy adott tárgyalás során egy ítélet nem lehet egyszerre igaz és hamis is, vagyis bármely A ítélet esetén: A A = H (egy ítélet és negációja nem lehet egyszerre igaz). 1
Logikai művelet: Logikai műveletnek nevezzük a formális logikában azt a gondolati eljárást (valamely nyelvi forma alkalmazását), amely eredményeként egy vagy több ítéletből újabb ítéletet kapunk, és az új ítélet logikai értékét a felhasznált ítéletek logikai értéke, valamint a végrehajtott művelet egyértelműen meghatározzák. DEFINÍCIÓ: (Elemi ítélet) Elemi ítéletnek nevezzük azt az ítéletet, amelyet nem lehet egyszerűbb ítéletekből logikai műveletek alkalmazásával létrehozni. DEFINÍCIÓ: (Összetett ítélet) Összetett ítéletnek nevezzük az elemi ítéletekből logikai műveletek alkalmazásával képzett ítéletet. DEFINÍCIÓ: (Negáció) Az A ítélet negációján (tagadásán) azt a kijelentést értjük, amely igaz, ha A hamis, és hamis, ha A igaz. Jelölés: A; A. A tagadás nyelvi formái:,,nem,,,nincs,,,nem igaz, stb. Értéktáblázat: A I H A H I Kettős tagadás elve: Egy kijelentés tagadásának tagadása az eredeti kijelentés. Jelöléssel: ( A) = A. DEFINÍCIÓ: (Konjunkció) Az A és B ítélet konjunkcióján azt a kijelentést értjük, amely pontosan akkor igaz, ha a két eredeti ítélet egyidejűleg igaz. Jelölés: A B. A konjukció nyelvi formái:,,és,,,de,,,noha,,,pedig,,,bár,,,mégis,,,továbbá,,,valamint,,,illetve, stb. 2
A kötőszók a logikai művelet szempontjából helyettesíthetőek az,,és kötőszóval, ezért a konjunkciót logikai és műveletnek is szokás nevezni. Értéktáblázat: A B A B I I I I H H H I H H H H DEFINÍCÓ: (Diszjunkció) Az A és B ítélet diszjunkcióján azt a kijelentést értjük, amely pontosan akkor hamis, ha a két eredeti ítélet egyidejűleg hamis. Jelölés: A B. A konjukció nyelvi formája:,,vagy. A,,vagy - ot megengedő értelemben használjuk, vagyis az,,a vagy B jelentése:,,a vagy B vagy mindkettő. A diszjunkciót logikai megengedő vagy műveletnek is szokás nevezni. Értéktáblázat: A B A B I I I I H I H I I H H H DEFINÍCÓ: (Összeférhetetlenségi vagy) Az A és B ítélet összeférhetetlenségi vagy műveletén azt a kijelentést értjük, amely pontosan akkor hamis, ha a két eredeti ítélet egyidejűleg igaz. Jelölés: A B. Az összeférhetetlenségi vagy nyelvi formái:,,legalább az egyik, legfeljebb az egyik. Az összeférhetetlenségi vagy esetén az,,a vagy B jelentése:,,a vagy B vagy egyiksem. 3
Értéktáblázat: A B A B I I H I H I H I I H H I DEFINÍCÓ: (Kizáró vagy) Az A és B ítélet kizáró vagy műveletén (antivalenciáján) azt a kijelentést értjük, amely pontosan akkor hamis, ha a két eredeti ítélet egyidejűleg igaz, illetve hamis. Jelölés: A B; A B. A kizáró vagy nyelvi formái:,,pontosan az egyik ;,,vagy, vagy. A kizáró vagy esetén az,,a vagy B jelentése:,,a vagy B közül pontosan az egyik. Értéktáblázat: A B A B I I H I H I H I I H H H TÉTEL: Bármely A, B és C ítélet esetén teljesülnek a következő azonosságok: Idempotencia (azonos hatványúság): Pl.: A A = A Kommutativitás (felcserélhetőség): Pl.: A B = B A Asszociativitás (csoportosíthatóság, társíthatóság): Pl.: (A B) C = A (B C) Adjunktivitás (elnyelési tulajdonság, abszorpció): Pl.: A (A B) = A Disztributivitás (széttagolhatóság): Pl.: A (B C) = (A B) (A C) De Morgan képletek: (A B) = A B és (A B) = A B 4
DEFINÍCIÓ: (Implikáció) Az A előtag és a B utótag implikációján azt az ítéletet értjük, amely pontosan akkor hamis, ha az előtag igaz, de az utótag hamis. Jelölés: A B; A B; A B. Hamis állításból bármi következhet. Az előtagot feltételnek (premisszának), az utótagot következménynek (konklúziónak) nevezzük. Az implikáció nyelvi formája:,,ha, akkor. Értéktáblázat: A B A B I I I I H H H I I H H I DEFINÍCIÓ: (Ekvivalencia) Az A és B ítéletek ekvivalenciáján azt az ítéletet értjük, amely pontosan akkor igaz, ha a két komponens logikai értéke megegyezik. Jelölés: A B; A B; A = B. Az ekvivalencia azt jelenti, hogy a két kijelentést egyenértékűnek tekintjük. Az implikáció nyelvi formái:,,akkor és csak akkor, ha ; pontosan akkor, ha ; ekvivalens azzal. A tételek általában implikációk, vagy ekvivalenciák. Értéktáblázat: A B A B I I I I H H H I H H H I 5
TÉTEL: Bármely A és B ítélet esetén teljesülnek a következő azonosságok: A B = A B A B = (A B) (B A). Állítások tagadása: Két,,és sel összekötött állítás esetén: az állításokat tagadjuk és azokat,,vagy gyal kötjük össze. Jelöléssel: (A B) = A B. Két,,vagy gyal összekötött állítás esetén: az állításokat tagadjuk és azokat,,és sel kötjük össze. Jelöléssel: (A B) = A B. Két,,kizáró vagy gyal összekötött állítás esetén: az állításokat (vagy azok tagadásait),,akkor és csak akkor ral kötjük össze. Jelöléssel: (A B) = A B = A B. Két,,akkor és csak akkor ral összekötött állítás esetén: az állításokat (vagy azok tagadásait),,kizáró vagy gyal kötjük össze. Jelöléssel: (A B) = A B = A B. Két,,ha akkor ral összekötött állítás esetén: az első állítást és a második állítás tagadását,,és - sel kötjük össze. Jelöléssel: (A B) = A B. A,,ha akkor helyett szokás a,,minden t használni, amit tagadáskor a,,van olyan - ra cserélünk (és fordítva). Elviekben a,,nem igaz, hogy kifejezéssel bármi tagadható, de egyes esetekben nehéz értelmezni, ezért ezt a formát kerülni szoktuk. Univerzális kvantor: A,,bármely,,,minden, stb. kifejezést univerzális kvantornak nevezzük. Jelölés:. Egzisztenciális kvantor: A,,van olyan,,,létezik, stb. kifejezést egzisztenciális kvantornak nevezzük. Jelölés:. Kvantorok tagadása: Ha A(x) jelöli az x tulajdonságát, akkor a x A(x) tagadása: x A(x) a x A(x) tagadása: x A(x). 6
Állítás megfordítása: Az,,A ból következik a B kijelentés megfordítása:,,b ből következik az A. Az A B megfordítása B A. Ha az állítás és megfordítása is igaz, akkor a kijelentést megfordíthatónak nevezzük. Ellenkező esetben nem fordítható meg. A megfordítható állítás nyelvi formái:,,akkor és csak akkor, ha ;,,pontosan akkor, ha ;,, ekvivalens azzal ;,, szükséges és elegendő. Szükséges feltétel: Ha egy A állítás csak akkor lehet igaz, ha egy B állítás igaz, azaz A igazságához szükséges B igazsága, akkor a B állítás az A állítás szükséges feltétele. Ha B hamis, akkor A is biztosan hamis, de B igazsága esetén A lehet igaz és hamis is, vagyis A igazságához szükséges B igazsága, de nem feltétlenül elegendő. Elégséges feltétel: Ha egy B állításból biztosan (minden esetben) következik egy A állítás, akkor a B állítást az A állítás elégséges feltételének nevezzük. Ha B igaz, akkor A is biztosan igaz, de B hamissága esetén A lehet igaz és hamis is, vagyis A igazságához elegendő B igazsága, de nem feltétlenül szükséges. Ha B elégséges feltétele A nak, akkor A szükséges feltétele B nek. Szükséges és elégséges feltétel: Ha a B álításból következik az A állítás, és ugyanakkor az is igaz, hogy ha B nem teljesül, akkor A sem teljesül, akkor a B állítást az A állítás szükséges és elégséges feltételének nevezzük. A szükséges és elégséges feltétel kölcsönösen egyértelmű kapcsolatot jelent: ha B szükséges és elégséges feltétele A nak, akkor A is szükséges és elégséges feltétele B nek. 7
1. Melyik mondat állítás a következőek közül? A: Szép idő van ma? B: A 100 szép szám. C: Minden prímszám páratlan. D: Bárcsak újra nyár lenne! Az állítás olyan kijelentő mondat, melyről egyértelműen el tudjuk dönteni, hogy igaz, vagy sem. Ezek alapján a megoldás: C. 2. Írd le a következő kijelentéseket logikai műveletek segítségével! a) Ha 2 nagyobb, mint 0, akkor a 2 nem negatív. b) Minden hétvégén focizok, vagy moziba megyek. c) Van olyan sportoló, aki nem tud vezetni, de szeret repülni. d) Bármely két különböző szám között van egy harmadik. a) Tekintsük a következő jelöléseket: A = { 2 nagyobb, mint 0} B = { 2 negatív} Ezek alapján a kijelentést leírhatjuk a következőképpen: A B. b) Tekintsük a következő jelöléseket: A = {hétvége van} B = {focizok} C = {moziba megyek} Ezek alapján a kijelentést leírhatjuk a következőképpen: A (B C). c) Tekintsük a következő jelöléseket: A = {sportoló} B = {tud vezetni} C = {szeret repülni} Ezek alapján a kijelentést leírhatjuk a következőképpen: A ( B C). d) Az állítást leírhatjuk a következőképpen: x, y R x < y ( z R x < z < y). 8
3. Legyen P = {péntek van} és F = {fáradt vagyok}. Írd le logikai műveletek segítségével a következő kijelentéseket! A = {Ma péntek van, vagy fáradt vagyok. } B = {Ma péntek van, de nem vagyok fáradt. } C = {Ha ma nincs péntek, akkor nem vagyok fáradt. } D = {Akkor és csak akkor vagyok fáradt, ha péntek van. } Az állítások logikai műveletekkel leírva a következők: A = P F B = P F C = P F D = F P 4. Legyen A = {A 19 összetett szám. } és B = {A 19 kisebb 20 nál. }. Fogalmazd meg a következő logikai szimbólumokkal leírt állításokat! C = (A B) D = A B E = B A F = A B Az állítások megfogalmazása a következők: C = {Nem igaz, hogy a 19 összetett szám és 20 nál kisebb. } D = {A 19 nem összetett szám, vagy 20 nál kisebb. } E = {Ha a 19 kisebb 20 nál, akkor össztett szám. } F = {A 19 akkor és csak akkor összetett szám, ha nem kisebb 20 nál. } 5. A következő kijelentésekben mely logikai műveletet fejezheti ki a,,vagy kötőszó? A: Az adott valós szám pozitív, vagy negatív. B: Az adott egész szám vagy páros, vagy páratlan. C: Az adott négyszögnek van beírt köre, vagy köré írt köre. A,,vagy kötőszó jelentésétől függően a következőképpen kategorizálhatjuk a mondatokat: A:,,összeférhetetlenségi vagy B:,,kizáró vagy C:,,megengedő vagy. 9
6. Tagadd a következő állításokat! A: Holnap délután focizni megyek vagy tanulok. B: Ma este 8 kor vagy alszok, vagy meccset nézek. C: Van olyan fiú, aki nem játszik számítógépen és nem is néz sorozatokat. D: Hull a hó és Micimackó fázik. E: István szereti a zenét és gyakran énekel a fürdőszobában. F: Van olyan kutya, amelyik nyávog. G: Minden nyáron kirándulunk és bulizunk. H: A 9 nek legalább három osztója van. I: A háromszög akkor és csak akkor derékszögű, ha nincs tompaszöge. J: Ha fürdőbe megyek, akkor veszek lángost. Használjuk a tagadásra vonatkozó szabályokat: Az A állítás tagadása: Holnap délután nem megyek focizni és nem tanulok. A B állítás tagadása: Ma este 8 kor akkor és csak akkor nem alszok, ha nem nézek meccset. A C állítás tagadása: Minden fiú játszik számítógépen vagy néz sorozatot. A D állítás tagadása: Nem hull a hó, vagy Micimackó nem fázik. Az E állítás tagadása: István nem szereti a zenét, vagy ritkán énekel a fürdőszobában. Az F állítás tagadása: Egyik kutya sem nyávog. (Minden kutya nem nyávog.) A G állítás tagadása: Van olyan nyár, amikor nem kirándulunk, vagy nem bulizunk. A H állítás tagadása: A 9 nek háromnál kevesebb osztója van. Az I állítás tagadása: A háromszög vagy nem derékszögű, vagy van tompaszöge. A J állítás tagadása: Van olyan, hogy fürdőbe megyek, és nem veszek lángost. 10
7. Fogalmazz meg olyan állításokat, amelyek tagadásai a következő állítások! A: Van olyan bolt, ahol nincs próbafülke. B: Minden lónak pontosan négy lába van. C: Ha macskát látok, az biztosan fekete színű. D: Minden vonat minden kocsijában van ülés és fűtés is. E: Van olyan mozi, ahol van olyan alkalmazott, aki takarít vagy jegyet árul. F: Minden embernek van legfeljebb két háza, vagy legalább egy háziállata. G: Ha sok vizet iszom, akkor nem leszek szomjas. H: Van olyan meccs, amikor végig játszik és gólt is lő. I: Egyik héten sincs olyan nap, hogy két órát sportolnék. J: Akkor és csak akkor veszek sálat, ha esik a hó, vagy fúj a szél. Az eredeti kijelentések a következők lehetnek: A: Minden boltban van próbafülke. B: Van olyan ló, amelynek nem négy lába van. C: Van olyan, hogy macskát látok és nem fekete színű. D: Van olyan vonat, amiben van olyan kocsi, ahol nincs ülés, vagy fűtés. E: Minden mozi minden alkalmazottja nem takarít és nem árul jegyet sem. F: Van olyan ember, akinek kettőnél több háza van és nincs háziállata. G: Van olyan, hogy sok vizet iszom és szomjas leszek. H: Minden meccsen nem játszik végig, vagy nem lő gólt. I: Van olyan hét, amikor van olyan nap, hogy két órát sportolok. J: Vagy veszek sálat, vagy esik a hó, vagy fúj a szél. 11
8. Írd fel a következő állítások megfordítását és add meg a logikai értéküket! A: Ha egy szám osztható 8 - cal, akkor osztható 2 - vel. B: Ha két szám közül legalább az egyik 0, akkor a két szám szorzata 0. C: Ha egy híd kőoroszlánjai észreveszik, hogy esik az eső, akkor bemásznak a híd alá. D: Ha a fű zöld, akkor a Hold sajtból van. Az állítások megfordításánál a tagmondatokat fel kell cserélnünk. Ezek alapján a megoldások: Az A megfordítása: Ha egy szám osztható 2 - vel, akkor osztható 8 - cal. hamis A B megfordítása: Ha két szám szorzata 0, akkor a két szám közül legalább az egyik 0. igaz A C megfordítása: Ha egy híd kőoroszlánjai bemásznak a híd alá, akkor esik az eső. igaz A D megfordítása: Ha a Hold sajtból van, akkor a fű zöld. igaz 9. Döntsd el, hogy a 24 - gyel való oszthatóságnak milyen feltételei a következők! (Szükséges és elégséges; Szükséges, de nem elégséges; Elégséges, de nem szükséges; Nem szükséges és nem elégséges) a) A számnak oszthatónak kell lennie 48 - cal. b) A számnak oszthatónak kell lennie 5 - tel. c) A számnak oszthatónak kell lennie 4 - gyel és 6 - tal. d) A számnak oszthatónak kell lennie 3 - mal és 8 - cal. a) Elégséges, de nem szükséges feltétel, mert ha egy szám osztható 48 - cal, akkor biztosan osztható 24 - gyel is, de egy szám nem csak akkor osztható 24 gyel, ha osztható 48 - cal. b) Nem szükséges és nem elégséges feltétel, mert a 24 - gyel való oszthatósághoz nem kell az 5 - tel való oszthatóságnak teljesülnie. c) Szükséges, de nem elégséges feltétel, mert egy szám csak akkor osztható 24 gyel, ha osztható 4 - gyel és 6 tal is, de ha egy szám osztható 4 - gyel és 6 tal, akkor nem biztos, hogy osztható 24 - gyel is. d) Szükséges és elégséges feltétel, mert egy szám csak akkor osztható 24 - gyel, ha osztható 3 - mal és 8 - cal is, illetve ha egy szám osztható 3 - mal és 8 cal, akkor biztosan osztható 24 gyel is. 12
10. A következő állítások esetén az A - nak milyen feltétele a B? a) A: Két szám összege páros. B: Mindkét szám páros. b) A: Két szám különbsége osztható 3-mal. B: Ugyanaz a maradékuk 3 - mal osztva. c) A: Egy négyszög négyzet. B: Egy négyszög minden oldala egyenlő. d) A: Egy négyszög paralelogramma. B: A négyszög átlói merőlegesek egymásra. a) Az A - nak elégséges, de nem szükséges feltétele a B, mert a B állításból biztosan következik az A is, de az A állítás nem csak a B esetén igaz, ugyanis két páratlan szám összege is páros. b) Az A - nak szükséges és elégséges feltétele a B, mert csak akkor igaz az A, ha a B teljesül, illetve ha a B igaz, akkor biztosan teljesül A is. c) Az A - nak szükséges, de nem elégséges feltétele a B, mert A csak akkor igaz, ha a B teljesül, de ha B igaz, akkor nem biztos, hogy A is teljesül, ugyanis a négyzet szögei is egyenlő nagyságúak. d) Az A - nak nem szükséges és nem elégséges feltétele a B, mert nincs összefüggés közöttük. 11. Egy útelágazáshoz érkezve két emberrel találkozunk. Az egyik ember mindig igazat mond, a másik pedig hazudik. Egy kérdést tehetünk fel, amire mindketten válaszolnak, de nem tudjuk, hogy melyik az igazmondó. Milyen kérdést tegyünk fel nekik, hogy megtudjuk, melyik út vezet Kabára? Mivel az igazmondó mindig helyesen felel, ezért olyan kérdést kell feltennünk, amire a hazug is helyesen fog felelni. Ez pedig a kettős tagadás elve alapján akkor lehetséges, ha a kérdésbe belefogalmazunk egy újabb kérdést. Ekkor ugyanis a hazug az első kérdésre hazudna, de mivel a kérdésünkre ismét hazudik, így ő is helyesen fog válaszolni. Legyen a kérdés a következő: Melyik utat mutatnád, ha azt kérdezném, melyik út megy Kabára? Az igazmondó a helyes útra fog mutatni. A hazug arra a kérdésre, hogy melyik út megy Kabára, a rossz irányt mutatná, de mivel most is hazudik, ezért a jó irányba fog mutatni. Ezek alapján, amelyik irányba mutatnak mindketten, arra kell továbbhaladnunk. 13
12. Készítsd el a következő kifejezések logikai értéktáblázatát! a) (A B) (A B) b) (A B) (B C) a) A táblázat a következőképpen készíthető el: A B A B (A B) (A B) B A B I I I I H I I H H I I H H I H I H H H H H I I I b) A táblázat a következőképpen készíthető el: A B C A B (A B) (B C) B C I I I I I I I I H I I I I H I H H I I H H H I H H I I I I I H I H I I I H H I I I I H H H I H H 14