A nagyvázsonyi kolostortemplom boltozatának vizsgálata TDK dolgozat Konzulensek: Dr. Armuth Miklós Dr. Sajtos István Dr. Strommer László Budapesti Mûszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Építészmérnöki Kar, Szilárdságtani és Tartószerkezeti tanszék 2009. november 4.
Tartalomjegyzék Bevezetés... 2 A nagyvázsonyi pálos kolostortemplom... 2 A gótika kõszerkezeteirõl általában... 4 A gótikus bordás boltozatok számítási nehézségei... 7 A dolgozat célja... 8 A boltozatok geometriája... 9 A boltozat modellezésének szerkesztési módszere... 9 A három különbözõ boltozat... 13 A bordás boltozatok számítása... 16 A számítás módszere: nyomásvonal a bordákban... 16 A geometriai biztonság... 18 Az öt perc elmélet... 19 A boltozatok végeselemes modellezése... 20 Az adatok értékelése... 21 A geometriai biztonság... 25 Összefoglalás... 29 A dolgozat eredményeinek összefoglalása... 29 A lehetséges továbblépési irányok... 29 Ábrajegyzék... 32 Felhasznált irodalom... 33-1 -
Bevezetés A nagyvázsonyi pálos kolostortemplom A vázsonyi pálos kolostort 1483-ban alapította Kinizsi Pál és apósa egyúttal hadvezértársa Magyar Balázs. A késõgótikus egyházi építészet romjaiban is nagyszerû, hajdanán több száz hívõt is befogadó kolostorát Mihály arkangyal a katonák patrónusa tiszteletére szentelték. A templom a korabeli szokás szerint az alapító és családja temetkezõhelyéül is szolgált. Vázsonyban csak Kinizsi Pált, majd özvegye második férjét, Horváth Márkot temették ide. Sírjaik fölött faragványokkal díszített kõkoporsók álltak. 1. ábra A templombelsõ elméleti rekonstrukciós rajza (Sedlmayr János) és számítógépes modellje () A kolostor alig 70 esztendeig állt fenn. A török hódítók 1543-ban elfoglalták Székesfehérvárt, ekkor a szerzetesek elmenekültek, s Vázsonykõ vára végvárrá lett. 1552-ben elesett Veszprém vára is. A környékbeli földesurak, akik váraik kapitányai is voltak, elõvigyázatosságból három, erõdítménnyé átalakítható kolostort felrobbantottak...félvén attól, hogy a török beléjek száll. Tálod és Városlõd kolostorai mellett erre a sorsra jutott a vázsonyi kolostor is. A nem teljesen sikeres robbantás után a romhalmazból a 16-17. századokban köveket, faragványokat szállítottak Vázsonykõ vára megerõsítéséhez. Késõbb a falu újjáépítésekor a lakosok - 2 -
is használták kõbányaként a kolostor területét. Csak Rómer Flóris a magyar régészet atyja erélyes fellépése akadályozta meg 1860 körül a további pusztulást. 2. ábra A kolostortemplom mai állapota A maradványok feltárására és megóvására 1959-ben került sor. Sikerült az addigi omladék alatt rejtõzõ falmaradványok kiásása után a kolostorépület teljes alaprajzát rekonstruálni. Megtalálták és bemutatták Kinizsi Pál és Horváth Márk sírhelyét is. A kolostor hajdan egyhajós, egy nyolcszög három oldalával záródó apszisú templomából csak az északi falszakasz maradt meg olyan állapotban, hogy abból a templom boltozati rendszerére következtetni lehessen. Guzsik Tamás azt valószínûsítette [1], hogy a templomot hajdan a 3. ábra szerinti alaprajzú hálóboltozat fedte. - 3 -
3. ábra A Guzsik Tamás szerinti boltozati alaprajz A gótika kõszerkezeteirõl általában [2] A gótika szabályai olyan összetettek és bonyolultak voltak, hogy senki, aki nem szolgált hosszú évekig a mesterek mellett tanoncként, képtelen lett volna alkalmazni azokat. Vitruvius szabályait viszont olyan egyszerû volt felfogni, hogy akár egy püspök, vagy egy herceg is bátran kipróbálhatta magát a tervezésben. (Harvey, 1958) Köztudott, hogy történelmi görög, római, bizánci, román és gótikus épületek közül sok még mindig áll. Ennek a megfigyelésnek azonban komoly mondanivalója van, ha szerkezeti kontextusba helyezzük. Egy kõszerkezet sok különféle szempontból vizsgálható: liturgikus, kulturális történelmi, vagy esztétikai szempontból. Mindemellett az is vitathatatlan, hogy egy óriási kõépítmény a szerkezeti építészet csúcsa. Már a történelmi kõépületek puszta fennmaradása is bizonyítja ezen szerkezetek hihetetlen állékonyságát. Tervezési és kivitelezési hibák természetesen akkor is voltak, amelyek aztán néhány esetben nagyobb katasztrófákhoz is vezettek. Tény azonban, hogy két komolyabb földrengés is csak kisebb károsodást okozott a Hagia Sophia épületében valamint a II. világháború bombázásai után gyakran csak a középkori katedrális - 4 -
magasodott továbbra is egy romokba dõlt modern város közepén. Úgy tûnik tehát, hogy az épületek a századok során sem vesztettek sokat állékonyságukból. Egy kõépület statikai szempontból száraz kövek halmazának is tekinthetõ. A kövek melyek némelyike szépen faragott és illesztett, némelyike pedig megmunkálatlan egymásra rakva teherbíró szerkezetet alkotnak. Ugyan a szerkezet habarcsot is tartalmaz a hézagok kitöltéseként, de ez igen gyenge minõségû, illetve az idõk során kis is pereghetett a kõelemek közül. Jelenléte az egyes kõelemek egymáson való elcsúszásánál jelenthet kedvezõ hatást, a szerkezet teherbírását nem növeli. A stabilitást az elemek önsúlyából adódó egymáshoz nyomódás adja, viszont ez a nyomás meglehetõsen kis feszültségek kialakulását eredményezi a szerkezetben. Egy szemléletes számítással vizsgáljuk meg egy olyan képzetes kõoszlop magasságát, melynek legalsó részen a kõ az önsúly hatására tönkremegy. Egy átlagos homokkõ testsûrûsége 20 kn/m 3, nyomószilárdsága pedig 40 N/mm 2. Ebbõl megkapjuk, hogy a magától összeomló oszlopunk megközelítõleg 2 km magas lehet. (A számítás során az oszlopot oldalirányban kellõen megtámasztottnak tekintettük, azaz a kihajlás jelenségétõl eltekintettünk.) Yvon Villarceau ezt a paramétert használta igen alapos írásában a korszerû kõmûves szerkezetekrõl, és javasolja egy 1/10-es biztonsági szorzó alkalmazását oszlop magasságánál, amivel javaslata szerint a tényleges feszültségek a törési feszültség tizede alatt maradhatnak a szerkezet elemeiben. Ilyen módon homokkõbõl a megépíthetõ legmagasabb épület legfeljebb 200 m magas lehet. Alkalmazzuk ezt az ötletet egy magas gótikus katedrálisnál, például Beauvais katedrálisánál melynek magassága megközelítõleg 48 m. A fõhajó pilléreire jut a boltozat terhe, a fa fedélszék terhe, valamint a hó és a szél esetlegesen a földrengés szintén terhelhetik a szerkezetet. Az oszlopkötegek kell, hogy hordják sokszor a torony súlyát is mégis, a bouville-i katedrális vizsgálatai során, 1891-ben Benouville azt tapasztalta, hogy sehol nem talál a szerkezetben 1,3 N/mm 2 -es feszültségnél nagyobb értéket. Ez pedig az említett 40 N/mm 2 -es törõszilárdsághoz képest harmincszoros biztonságot jelent. - 5 -
Összefoglalva tehát azt lehet mondani, hogy a legjobban terhelt szerkezeti elemben sem jelentkezhet a törési szilárdságnak tizede. A teherbírás szempontjából legfontosabb teherátadó szerkezeteknél, a támíveknél és a boltozatok bordáinál pedig ez az arány az 1/100-od sem nagyon haladja meg. 4. ábra A Beauvais katedrális metszete A teherbíró képesség érdekében igen lényeges, hogy a szerkezeti elemeink ha csak egy kicsit is, de nyomottak legyenek. Az építészeti formálás során kialakított szerkezetalak csak akkor maradhat fenn, ha a kövek egymáson nem csúszhatnak el. A kövek egymásba ülhetnek, felületük kialakítása lehet durvább, vagy simább, de a legfontosabb erõtani szempont, hogy minden esetben nyomott szerkezetek alakuljanak ki. Ilyen módon a kõszerkezetek viselkedését három közelítés segítségével vizsgáljuk. Ezek közül egyikre sem mondhatjuk ki konkrétan, hogy minden - 6 -
körülmények között igaznak tekinthetõ, de jó kapaszkodót nyújt a szerkezetek megértéséhez. i. a kõ szerkezeteknek nincs húzási szilárdsága ii. iii. a nyomási feszültségek olyan alacsonyak, hogy esetünkben végtelen szilárdságúnak tekinthetõek az elemek a kõelemek elcsúszása nem fordul elõ A kõelemeknek önmagukban elég nagy a húzószilárdsága, azonban a kõszerkezetek egyes elemei közötti rések, még, ha habarcsot is tartalmaznak, meglehetõsen gyengének tekintendõk. Így, húzással könnyen tönkretehetõ az egész szerkezet. A végtelen szilárdság feltételezése átlagos feszültségek esetén igaznak mondható. Lényegében azt jelenti, hogy a felületek nyomásra való tönkremenetele igen valószínûtlen. A feszültségcsúcsok létrejötte töréshez vezethet, amely azonban lokális veszélyt jelent, és nem feltétlenül okozza a teljes szerkezet tönkremenetelét. Annak ellenére, hogy látható olyan szerkezet, amibõl kicsúszott egy-két kõelem, a szerkezetek többségükben megõrzik eredeti formájukat, így általában nem kell az egyes kõelemek elcsúszásának veszélyével számolnunk. Ez a három feltételezés szükséges ahhoz, hogy a kõ szerkezeteknél a képlékenységtan statikai tétele alkalmazható legyen. A gótikus bordás boltozatok számítási nehézségei A kései gótikában a kõfaragóknak az a törekvése, hogy kõfaragó tudásukat bonyolult geometriai szerkesztések felhasználásával készített építészeti elemek kivitelezésével is bizonyítsák, különösen a bordás boltozatok változatos kialakításában jelentkezett. A gótikát megelõzõ korok boltozataival ellentétben ekkor nem egy adott boltozati felület alakja határozza meg az ívformát, hanem a boltozat felületét idomítják a bordaívek elõre megszerkesztett vázához. Ez a teoretikus sorrendiség a feltételezések szerint egyben az építés sorrendiségét is adta: az - 7 -
önmagukban állékony bordaháló elkészülte után kezdték kitölteni a háló lyukait boltozati felületekkel. Természetesen az alkalmazott szerkesztési eljárások az egyes mûhelyek eltérõ tapasztalatai miatt komoly eltéréseket mutathatnak, hiszen minden egyes döntésnek komoly hatása volt a bordák kialakítására. Ilyen módon a bordavállak azonos szintrõl, vagy eltérõ szintrõl való indítása; az alkalmazott borda görbületi sugarának változtatása, a záradékmagasság felvétele, számos különbözõ megoldáshoz vezethet, még azonos bordaalaprajzzal meghatározott épületeknél is. Ahhoz, hogy ezeket a szerkezeteket számítani lehessen, szükséges ismerni a vizsgálandó szerkezet egzakt térbeli geometriáját. A dolgozat elsõ feladata tehát a bordarendszer és a boltozati felületek térbeli alakjának modellezése volt. A dolgozat célja A dolgozat célja, hogy hitelesen rekonstruálja a nagyvázsonyi kolostor boltozatának legvalószínûbb változatát annak érdekében, hogy a feltételezett geometria ismeretében a szerkezet egzakt módon számítható legyen. Ehhez egyrészt meg kell határozni a bordarendszer geometriáját, mint az elsõdleges teherhordó szerkezeti hálóját, másrészt a boltozati felületeket, hogy az azokból származó önsúly terheket is korrektül lehessen meghatározni. A történeti kutatás által legvalószínûbbnek tartott szerkezeti kialakítás mellett vizsgáltam egy, az adott boltozatnál egyszerûbb és egy bonyolultabb bordarajzolatú szerkezetet is, hogy a kapott eredmények összehasonlításával következtetéseket lehessen levonni azzal kapcsolatban, hogy a gótikus kõszerkezetek egyre bonyolultabb formái pusztán a kreatív elme nyughatatlanságát mutatják, vagy egyúttal a szerkezet állékonyságának növelését is célozzák. - 8 -
A boltozatok geometriája A boltozat modellezésének szerkesztési módszere [3] Valószínûsíthetõ, hogy a késõgótikus bordás boltozatok tervezésénél és az egyes bordaszakaszok íveinek a kifejtésénél az ún. vezérgörbe szerkesztést elõszeretettel alkalmazták. A vezérgörbe felhasználásával történõ szerkesztés azt jelenti, hogy egy boltozat esetében - bármilyen komplikált bordarajzú is legyen az, - a fõbb bordákat egyugyanazon körívvel kell megrajzolni. Ez az eljárás nagyban megkönnyítette a boltozatok kivitelezését, ugyanis valamennyi bordaelem kifaragásához elegendõ a kõfaragó számára ismerni a vezérgörbe sugarát és ebbõl következõen mint alkalmazható modult az egységnyi hosszúságú bordához tartozó ívhúr magasságát. A nagyvázsonyi kolostortemplom esetében az elvi rekonstrukciók a 3. ábra szerinti bordarajzolatot mutatják. A templom északi falának meglévõ jellegzetességeibõl a boltozat egyes további tulajdonságai is meghatározhatók. Lemérhetõ a boltvállak magassága, látható, hogy az egyes boltívek ugyanarról a magasságról indulnak, valamint a födémgerendák falfészkeinek helyébõl a hajdani záradékmagasságra is lehet következtetni. Ezek az adatok már elegendõek ahhoz, hogy egy elvi rekonstrukciót fel lehessen szerkeszteni a vezérgörbe szerkesztés segítségével. - 9 -
A nagyvázsonyi kolostortemplom boltozatának vizsgálata TDK dolgozat 2009. november 4. 5. ábra A kolostorrom magassági viszonyai A záradék magasságával változtatni lehet a bordák összemetszõdésének hegyességét. Amennyiben nem csúcsíves záródást akarunk szerkeszteni, a záradékmagasság meg kell egyezzen a bordáknak a váll és a boltmezõ középpontja közti útvonalának vízszintes vetületével. Ennél kisebbre nem vehetõ fel, hiszen akkor a zárókõ nem az alkalmazott ív legmagasabb pontjánál lenne. - 10 -
6. ábra A vezérgörbe szerkesztés alkalmazása csillaghálós boltozatnál: abcd = dz A helyszíni fotókon látható, hogy az ívek a bordák indulási pontja felett metszõdnek össze. Ez geometriailag igen izgalmas helyzetet eredményez, valamint lehetõvé tette a mesterek számára, hogy egy kõbõl faragják ki a bordáknak azt a szakaszát, ahol azok a legmeredekebbek. Látványban is kedvezõnek mondható ez a megoldás, hiszen különben a bordák az indításnál 1 m magasságon mindössze 10 cm kiugrással jelennének meg, ami szükségtelenül megnövelné a boltozat vizuális magasságát. Arról nem is beszélve, hogy ezzel a rajzolattal egyértelmûen megmutatható, hogy az egyes bordaelemek azonos vállmagasságról indulnak, hiszen az összes borda ugyanabban a pontban metszõdik. - 11 -
A nagyvázsonyi kolostortemplom boltozatának vizsgálata TDK dolgozat 2009. november 4. 7. ábra A boltvállak összemetszõdõ indítása és az összemetszõdés számítógépes modellezése A bordaháló szerkesztésekor a bordák alsó síkjának középvonalai adják a szerkesztési íveket. A bordák súlyvonalai ezen ívekkel koncentrikusan helyezkednek el. A bordák összemetszõdésénél a bordaprofilok íveiben a bordatengelyek függõleges síkjától vett távolságuk, illetve lokális meredekségük függvényében kisebb-nagyobb szakadások jelentkeznek. A bordák keretezte boltozati felületeket a modellben olyan kétszer görbült felületekként közelítettem, amelyeket a peremek mentén található vezérívek határoznak meg. - 12 -
8. ábra A boltozati felületek hálója A három különbözõ boltozat Három különbözõ boltozatot vizsgáltam, amelyek i. Egyszerû keresztboltozat, melynél adottnak véve a váll- és záradékmagasságot, valamint a vezérívek azonos sugarát, a bordaháló egyértelmûen megszerkeszthetõ. (9. ábra) - 13 -
9. ábra A keresztboltozat számítógépes modellje ii. A Guzsik Tamás által javasolt egyszerûbb csillaghálós boltozati alaprajzon vezérgörbe szerkesztés alapján adódó boltozat. (10. ábra) 10. ábra Az egyszerûbb csillaghálós boltozat modellje - 14 -
iii. Az elõbbinél bonyolultabb szerkesztésû csillaghálós boltozat, amely az elõbbi bordaháló továbbosztásával áll elõ. A bonyolultabb bordaalaprajz (azaz a vetületek hosszabb útvonala) miatt itt némileg nagyobb bordasugár és ebbõl következõen magasabb záradékmagasság adódik. (11. ábra) 11. ábra A bonyolultabb csillaghálós boltozat számítógépes modellje (A három különbözõ boltozatot bemutató animáció ezen a címen található: http://www.youtube.com/watch?v=mzfq_s93wek) - 15 -
A bordás boltozatok számítása A számítás módszere: nyomásvonal a bordákban [4] Ut Pendet Continuum Flexile, Sic Stabit Contiguum Rigidum Inversum (Hooke) Ami annyit tesz, hogy: ahogyan függ egy hajlékony vonal, úgy csak fordítva áll meg a boltív. Hooke nem tudta megfejteni állításának matematikai hátterét, de õrá hivatkozva tervezi meg Poleni a Szent Péter bazilika kupoláját. 12. ábra A Szent Péter bazilika kötélmodelljének rajza (Poleni) A Hooke által megfogalmazott, csak saját súlyával terhelt láncgörbe valóban megadja azt az ideális formát, amilyen formájú boltív csak nyomásként veszi fel a terheket. Általánosabban fogalmazva: egy adott teherre a boltív ideális alakját a nyomásvonal geometriája adja. Kõszerkezeteknél a szerkezet állékonyságának elengedhetetlen feltétele, hogy a nyomásvonal mindenhol a szerkezet keresztmetszetén belül maradjon. Amennyiben egy adott boltívben egy adott teher hatására kialakuló nyomásvonal a keresztmetszet magidomján belül halad, minden egyes keresztmetszetében pusztán nyomóerõ lép fel, amit a szerkezet a már tárgyaltak - 16 -
szerint nagy biztonsággal képes hordani. Számításánál a rugalmasságtan tételei alkalmazható, a szerkezet nem nyílik meg, és nem reped. Amennyiben a geometria, vagy a teher nem ideális, azaz a szerkezetet nem ívmentén megoszló teher terheli, esetleg koncentrált erõ is fellép, alkalmasint a habarcs száradása és zsugorodása, vagy a támaszok süllyedése miatt elmozdulás is bekövetkezik, akkor a nyomásvonal megváltozik. Az ilyen mozgások hatására repedések következhetnek be a szerkezetben, amelyek esetenként nemcsak az elemek közötti rések megnyílásával, hanem egyes kõelemek elhasadásával is járhatnak. Ezek a repedések természetesnek mondhatók, és nem feltétlenül okozzák a szerkezet tönkremenetelét. Ebben az esetben a képlékenységtan statikai tétele használható. A 13. ábra azt mutatja, hogy a támaszok elmozdulásával (ami például a falak elbillenése miatt következhet be) a nyomásvonal megváltozik, és a szerkezet nyomással már nem képes felvenni a fellépõ igénybevételeket. Ahol a nyomásvonal érinti a keresztmetszetet, a szerkezet eltörik, statikai értelemben csukló alakul ki. Kedvezõbb esetnek mondható, ha a támaszok távolodnak egymástól, mert így a statikailag még határozott háromcsuklós tartóhoz hasonló statikai modellel közelíthetõ a szerkezet. Azonban a támaszok további mozgásával, újabb csuklók létrejöttével a szerkezet túlhatározottá válik. Amennyiben a támaszok közelednek egymáshoz, egy idõ után a nyomásvonal négy helyen érinti a keresztmetszetet, így az elmozdulás a túlhatározott szerkezet tönkremenetelét okozza. A károsodás észlelése és a károk megelõzése szempontjából különösen veszélyes, hogy ebben az esetben az így kialakuló repedések a boltozat belsõ felületén nem jelennek meg (14. ábra). - 17 -
13. ábra Félköríves boltív nyomásvonala minimális oldalnyomásra 14. ábra Félköríves boltív nyomásvonala maximális oldalnyomásra A geometriai biztonság [2] Ha a szerkezet keresztmetszete elég vastag, képes felvenni sokféle teherbõl és mozgásból származó igénybevételt anélkül, hogy a nyomásvonal kilépne a keresztmetszetbõl. A keresztmetszet ilyenfajta fölösleges vastagságát nevezi Heymann geometriai biztonságnak. Félköríves boltozatnál a minimális vastagság az ív sugarának 1/10 része. Amennyiben ennél vékonyabb a szerkezet, akkor már az önsúly hatására kialakuló nyomásvonal is kilép a keresztmetszetbõl és a kialakuló csuklók tönkremenetelhez vezetnek. A geometriai biztonság tényezõje a minimális vastagságú keresztmetszet és az adott keresztmetszet aránya. - 18 -
Ha a keresztmetszet geometriai biztonsága 3, akkor ez azt jelenti, hogy a nyomásvonal minden ponton a keresztmetszet középsõ egyharmadában található, vagyis téglalap keresztmetszetnél a magidomon belül futó nyomásvonal hármas geometriai biztonsággal rendelkezik. Ha a keresztmetszet biztonsága 2, akkor a középsõ részben fut a nyomásvonal. Heymann azt javasolja, hogy ívek esetében törekedjünk a 2-nél nagyobb biztonságra, mert ezzel már kellõ biztonságot érünk el az építési pontatlanságból és a kisebb mozgásokból adódó nyomásvonal változásával szemben. Ilyen adottságokkal ugyanis a téglalap keresztmetszetû borda még képlékeny alapon számolható. A szerkezetek erõjátékának elemzése azt mutatja, hogy egy adott fesztáv ívekkel esetünkben kõbõl készült boltívekkel való lefedésénél az alkalmazott anyag teherbírásánál is fontosabb szempont, hogy a keresztmetszet a szükséges méretet meghaladja és az ív geometriája is képes legyen magába foglalni a nyomásvonal ívét. Az öt perc elmélet Az öt perc elmélet -et kõszerkezeteknél alkalmazhatjuk, akár a vizsgált boltozat bordáira. Ez egészen egyszerûen azt mondja ki, hogy ha a szerkezet a zsaluzat eltávolítása után 5 percig nem dõl össze, akkor 500 évig nem dõl össze. Ez alatt az öt perc alatt kiderül ugyanis, hogy az adott forma megfelelõ-e. Az 500 év leginkább már csak a felhasznált anyag élettartamára vonatkozik. Ez az egyszerû és naivnak tûnõ szabály azt jelzi, hogy a bordák esetén, ha azok megkapták a boltozati felületekbõl rájuk származó terheket, akkor az önsúlyukkal együtt olyan módon alakul-e ki a nyomásvonal, hogy az a megépített geometriának megfelelõen évszázadokig hordani tudja azokat. Természetesen ez egy lokális, csak az adott szerkezeti elemre vonatkozó megállapítás, ami nem tudja figyelembe venni sem a támaszok késõbbi elmozdulását, sem az alapok alatti talaj konszolidációját, ami nem öt perc, hanem kb. egy generációnyi idõtartam. Ilyen értelemben a szerkezet egészére vonatkozóan csak egy teljes generáció után tehetõ - 19 -
olyan merész állítás, amilyet az öt perc elmélet egy támív, vagy borda esetén már a hatodik percben megfogalmaz. A boltozatok végeselemes modellezése A geometria meghatározása után a térben megszerkesztett modellt az AxisVM9 végeselemes programba helyeztem át. A szerkezet számításához meg kell adni a bordák tengelyvonalának térbeli helyét valamint a bordákra terhelõ boltozati felületek geometriáját. A számítás célja az egyes bordaívekben a teher hatására kialakult nyomásvonal meghatározása. A biztonság javára elhanyagoltam a bordák és a boltozati felületek együttdolgozását, valamint a boltozatok esetleges közvetlen teherátadását a boltvállakra és a falakra. Ugyanakkor ahhoz, hogy a boltozati felületek súlyából származó terhek a lehetõ legpontosabban terheljék a bordákat, a modellben a boltozatoknak is szerepelniük kell. 15. ábra A bonyolultabb csillaghálós boltozat végeselemes modellje A több kõdarabból álló boltíveket vasalatlan betonkeresztmetszettel közelítettem. Így a modell ugyan nem képes számolni a repedésekbõl, - 20 -
megnyílásokból származó feszültségcsúcsokkal, illetve elmozdulásokkal, viszont helyes eredményt ad az adott teherbõl a bordákra jutó igénybevételekrõl. Ilyen módon az egyes bordaelemek között kapott igénybevételekbõl kiszámítható a teher hatására kialakuló nyomásvonal alakja. A felületek bordákhoz való kapcsolatát egy nagy sûrûségû anyagként definiált vékony héjként modelleztem. Ez lehetõvé teszi a terhek helyes átadását, viszont elhanyagolja, hogy a boltozatok az ívek puszta oldalirányú megtámasztásán kívül komoly szerepet vállalnának a teherhordásban is. A kapott számítási eredmények kiértékelésénél a szerkezet alakváltozásával kapcsolatban nem kapunk érdemi eredményt, hiszen a valóságtól eltérõen definiált anyag miatt eltérések adódnak. Ugyanakkor az egyes bordadarabokra igénybevételekrõl, és a támaszerõkrõl jó közelítéssel helyes eredményt kapunk. ható Az adatok értékelése A leginkább terhelt bordák igénybevételeinek ismeretében egészen egyszerû számítással megkaphatjuk az egyes keresztmetszetekben adódó igénybevételek eredõjét, annak a keresztmetszet normálisával bezárt szögét és döféspontját. 16. ábra A keresztmetszet igénybevételei - 21 -
A számításhoz használt Axis programból táblázatosan kigyûjthetõk a borda adott csomópontjához tartozó koordinátái, valamint az itt ébredõ erõk: a nyomóerõ, a nyomaték és a nyírási igénybevételek. Ezekbõl az igénybevételekbõl egy táblázat segítségével könnyen számolható a nyomóerõ és a nyíróerõ eredõjeként a keresztmetszetben fellépõ eredõ erõ nagysága és iránya, ami a nyomásvonal adott pontban érvényes érintõjének nagyságát és meredekségét adja; valamint az eredõerõ és a nyomaték hányadosából számítható az eredõ erõ excentricitása. Az eredõ erõnek ez a külpontossága adja meg a keresztmetszeten azt a döféspontot, amely az adott keresztmetszethez tartozó nyomásvonal pontjának koordinátája. cs.p. Nx [kn] Vz [kn] /bemeneti adatok/ My [knm] F [kn] alfa [o] e [m] alfa' x' y' /kimeneti adatok/ 1-195 -7,76-2,18 0,29 8,06-15,69 0,0360-0,13 1,6487 5,8037 2-201 -7,39 2,12-0,13 7,69 16,01-0,0169 33,59 1,8009 5,7299 3-42 -8,12-0,26-0,5 8,12-1,83-0,0615 17,77 1,9610 5,6484 4-44 -8,41-0,51-0,53 8,43-3,47-0,0629 18,12 2,1555 5,5729 5-46 -8,99-0,64-0,61 9,01-4,07-0,0677 19,49 2,3440 5,4889 6-48 -9,67-0,38-0,68 9,68-2,25-0,0703 23,30 2,5316 5,3987 7-50 -10,35 0,02-0,69 10,35 0,11-0,0667 27,64 2,7219 5,3052 8-52 -11 0,07-0,66 11,00 0,36-0,0600 29,87 2,9118 5,2074 9-54 -12,53 0,23-0,85 12,53 1,05-0,0678 32,54 3,0852 5,0956 10-125 -17,11-0,51-0,06 17,12-1,71-0,0035 36,15 3,6902 4,7488 11-118 -22,79 0,26 0,69 22,79 0,65 0,0303 44,88 4,2187 4,3331 12-111 -26,71 0,49 1,23 26,71 1,05 0,0460 51,64 4,6782 3,8556 13-104 -27,48 1,97 1,38 27,55 4,10 0,0501 61,06 5,0713 3,3230 14-97 -22,35-2,33 0,59 22,47-5,95 0,0263 57,38 5,3888 2,7245 15-203 -18,89-1,66-0,04 18,96-5,02-0,0021 61,49 5,5092 2,3931 Nyomásvonal: érintõ nagysága lokális irány excentricitás érintõ szöge helye: x 17. ábra A csillaghálós boltozat fõbordájának igénybevételei és a belõlük számolt külpontosság helye: y Az ezekkel az adatokkal adott függvény a borda nyomásvonala. Ha ezt a függvényt rárajzoljuk a borda nézetére, akkor láthatóvá válik, hogy a nyomásvonal a szerkezeten belül marad-e, vagyis megfelel-e a teher hatásának. - 22 -
18. ábra A nyomásvonal helyzete a súlyvonalhoz képest a keresztboltozat átlós irányú bordájában A kapott függvényeket a háromféle boltozat legjobban igénybevett bordáira rajzolva azt látjuk, hogy a nyomásvonal egyik változatnál sem lép ki a keresztmetszetbõl, de még nem is érinti a keresztmetszet kontúrját. Ebbõl egyértelmûen következik, hogy mind a három bordás boltozat megfelel az adott önsúly teherre. Ez azt a következtetést teszi lehetõvé, hogy az alaprajzával adott kolostortemplom boltozata a fentiekben ismertetett háromféle boltozati rendszer közül bármelyik lehetett volna. Vagyis sem a kívánt záradékmagasság, sem az adott fesztáv nem kötötte meg olyan értelemben a hajdani mesterek kezét, hogy azoknak ismeretében ne alkalmazhatták volna szabadon a tárgyalt boltozatok bármelyikét. - 23 -
19. ábra A keresztboltozat mértékadó bordája 20. ábra Az egyszerûbb csillaghálós boltozat mértékadó bordája - 24 -
21. ábra A bonyolultabb csillaghálós boltozat mértékadó bordája Kérdés azonban, hogy erõtanilag melyik megoldás bizonyul a legkedvezõbbnek, figyelembe véve, hogy valamennyi állékonynak és tartósnak nevezhetõ. A geometriai biztonság A kapott függvények birtokában meg szeretnénk határozni az egyes elemek geometriai biztonságát, vagyis a borda terhelt állapotában kialakult nyomásvonalhoz tartozó minimális keresztmetszet és az alkalmazott keresztmetszet arányát. Ehhez az 22. ábrán látható módon a keresztmetszet súlyvonalával párhuzamos ív-sereg közül választjuk ki azt a kettõt, amelyen belül található a szerkezet nyomásvonala. Ezzel a módszerrel egyértelmûen megadható a borda biztonsági szintje. - 25 -
22. ábra A keresztboltozat harántirányú bordájának geometriai biztonsága A jelen bordaszakasznál a súlyponttól 1 cm-ként húzott párhuzamos ívek közül választottam ki a nyomásvonalat burkoló göbéket. Ez a két ív egymástól 8 cmre van, így azt mondhatjuk, hogy az adott, 30 cm magas bordánk geometriai biztonsága 3,75. A grafikus megadásnál pontosabb értéket kapunk, ha az egyes keresztmetszetekben számolt döféspont külpontosságai közül választjuk ki a szélsõértékeket, és a kettõ különbségébõl megkapjuk a minimális bordakeresztmetszetet. - 26 -
cs.p. Nx [kn] Vz [kn] /bemeneti adatok/ My [knm] F [kn] alfa [o] e [m] alfa' x' y' /kimeneti adatok/ 1-195 -7,76-2,18 0,29 8,06-15,69 0,0360-0,13 1,6487 5,8037 2-201 -7,39 2,12-0,13 7,69 16,01-0,0169 33,59 1,8009 5,7299 3-42 -8,12-0,26-0,5 8,12-1,83-0,0615 17,77 1,9610 5,6484 4-44 -8,41-0,51-0,53 8,43-3,47-0,0629 18,12 2,1555 5,5729 5-46 -8,99-0,64-0,61 9,01-4,07-0,0677 19,49 2,3440 5,4889 6-48 -9,67-0,38-0,68 9,68-2,25-0,0703 23,30 2,5316 5,3987 7-50 -10,35 0,02-0,69 10,35 0,11-0,0667 27,64 2,7219 5,3052 8-52 -11 0,07-0,66 11,00 0,36-0,0600 29,87 2,9118 5,2074 9-54 -12,53 0,23-0,85 12,53 1,05-0,0678 32,54 3,0852 5,0956 10-125 -17,11-0,51-0,06 17,12-1,71-0,0035 36,15 3,6902 4,7488 11-118 -22,79 0,26 0,69 22,79 0,65 0,0303 44,88 4,2187 4,3331 12-111 -26,71 0,49 1,23 26,71 1,05 0,0460 51,64 4,6782 3,8556 13-104 -27,48 1,97 1,38 27,55 4,10 0,0501 61,06 5,0713 3,3230 14-97 -22,35-2,33 0,59 22,47-5,95 0,0263 57,38 5,3888 2,7245 15-203 -18,89-1,66-0,04 18,96-5,02-0,0021 61,49 5,5092 2,3931 Nyomásvonal: érintõ nagysága lokális irány excentricitás érintõ szöge helye: x helye: y 23. ábra A csillaghálós boltozat fõbordájának geometriai biztonsága: a szélsõértékek különbsége adja a minimális bordakeresztmetszet magasságát Ilyen módon összegyûjtve és kiszámítva a vizsgált boltozatok mértékadó bordáiban a nyomásvonal legnagyobb külpontosságát, megkaphatjuk a bordák, és ezzel az egész szerkezet geometriai biztonságát. Ugyanilyen módon kaphatjuk meg a keresztmetszet magidomának méretéhez tartozó geometriai biztonságot. boltozat neve szélsõérték (-) [cm] szélsõérték (+) [cm] minimális méret [cm] geometriai biztonság keresztboltozat -4,41 2,11 6,52 4,60 egyszerûbb csill. b. -9,69 6,11 15,80 1,90 bonyolultabb csill. b. -7,03 5,01 12,04 2,49 magidom -5,84 3,01 8,85 3,30 bordamagasság: 30,00 24. ábra A vizsgált boltozatok geometriai biztonsága és a magidom által adott geometriai biztonság A kiszámított értékekbõl azt a meglepõ eredményt kapjuk, hogy éppen az a boltozat rendelkezik a legkisebb geometriai biztonsággal, amit feltételezhetõen a - 27 -
vázsonyi templomnál alkalmaztak. Szintén meglepõ, hogy a sûrûbb bordahálóval így ugyan relatíve nehezebb, de nagyobb számú elsõdleges teherhordó elemmel rendelkezõ bonyolultabb csillaghálós boltozat kisebb biztonsággal rendelkezik, mint az egyszerûnek mondható keresztboltozat teljes fesztávot átívelõ bordája. 25. ábra Az alkalmazott keresztmetszet jellemzõi és a magidom mérete Továbbá ennél az utóbbi kettõnél azt tapasztaljuk, hogy a nyomásvonal végig közel a keresztmetszet magidomján belül található, tehát ezeknél rugalmas alapon számítható a szerkezet. Nem következik be repedés és megnyílás. Ebbõl következõen, az alkalmazott teher nagyságát egészen a keresztmetszet szilárdsági tönkremeneteléig növelhetjük. Általánosan azt mondhatjuk, hogy az alkalmazott keresztmetszet esetében azok a bordák számíthatók rugalmas alapon, amelyeknek a geometriai biztonsága nem, vagy nem sokkal haladja meg a magidom mérete által meghatározható geometriai biztonságot. - 28 -
Összefoglalás A dolgozat eredményeinek összefoglalása A dolgozatban arra kerestem a választ, hogy az építészettörténet egyik legbámulatosabb korszakában épült épületek boltozatainak megdöbbentõ merészsége mennyire minõsíthetõ vakmerõségnek a mai mérnök szemével. Kíváncsian figyelve a hajdan Nagyvázsony határában álló templom maradványait, szerettem volna megfejteni ennek a merész szerkesztésmódnak az alapját. A dolgozatban ismertetett geometriai szerkesztéssel létrejövõ számítógépes modellek segítségével talán egy értõbb pillantást vethettem a hajdani kõszerkezetek remekeire. A szerkesztés igazolta Guzsik Tamás feltételezését, miszerint a templomot az adott geometria mellett valóban fedhette az általa megrajzolt bordaháló-alaprajz. A boltozatok számítása során ugyanakkor meglepõ tapasztalatként kaptam az eredményt, hogy a legvalószínûbbnek mondható bordaalaprajz bizonyul a legveszélyesebb szerkezetnek, míg a bonyolultabb csillaghálós boltozat ennél majdnem másfélszer nagyobb biztonsággal rendelkezik. Ugyanakkor szintén meglepõ eredmény, hogy a legkevesebb bordából álló, s így a három vizsgált rendszer közül a legnagyobb igénybevételekkel rendelkezõ keresztboltozat geometriai biztonsága messze meghaladja a Heymann által megfelelõnek mondott szintet, hiszen a számítás szerint 4,6-os biztonsággal rendelkezik. Ezek alapján azt lehet mondani, hogy a gótikus építõmesterek a biztonság rovására választottak egyre szebb és bonyolultabb szerkezeteket. Ugyanakkor azonban a boltmezõk kifalazása a bordaháló sûrûbbé válásával számottevõen egyszerûbbé válhatott. A lehetséges továbblépési irányok A dolgozatban alkalmazott szerkesztési elvekkel készült modellek alapján a végeselemes modell tovább finomítható. Egy bonyolultabb, a kõszerkezetek - 29 -
sajátosságait is figyelembe vevõ modell segítségével ellenõrizni lehetne azokat a feltételezéseket, amelyekkel a dolgozatban alkalmazott és a számítások alapjául szolgáló modellnél éltem. Ilyen módon létre lehet hozni az egyes íveket olyan módon, hogy azoknál a kõelemek mérete, az alkalmazott habarcshézagok mérete, a habarcs és a kõ anyagának szilárdsága, valamint a húzásra való tönkremenetel veszélye is figyelembe legyen véve. Az Axis program segítségével két lehetséges módszert is alkalmazhatunk a húzószilárdsággal nem rendelkezõ szerkezeteknél: i. kontaktelemekbõl és merev testekbõl megépített bordaívek ii. a kapcsolati elemeknél félmerev csuklókkal és a határnyomatékkal definiált bordaívek. Mindkét módszernél további nehézséget jelent a felületekkel való együttdolgozás és így a róluk származó terhek figyelembevétele. Így ezeknek a modelleknek a felépítése a dolgozat keretében már nem történhetett meg. További vizsgálatnak érdemes alávetni a vezérgörbe szerkesztési eljáráson kívüli szerkesztési módszereket, amelyek más geometriát eredményezve egészen eltérõ eredményeket adhatnak. A dolgozatban mind a három boltozati rendszer legjobban igénybevett bordáját vizsgáltam. Azonban közel sem biztos, hogy a legjobban igénybevett bordák a legveszélyesebbek a szerkezetben, hiszen helyenként kis normálerõhöz nagy nyomaték is tartozhat. Így a dolgozatban megállapított geometriai biztonság felülvizsgálandó az egyes kevésbé igénybevett bordák geometriai biztonságának értékével. Hasonló módon érdemes megvizsgálni a bordaelemek egymáson való elcsúszásának veszélyét is. Ugyanígy érdemes a dolgozatban alkalmazott módszerrel megvizsgálni egyéb boltozatokat, hogy az itt levont következtetések helyességét vagy hamisságát igazolni lehessen a gótika egyéb szerkezeteinek vizsgálata alapján. Hiszen a helyenként feltételezésekbõl táplálkozó számítás nem tudta figyelembe venni azt a - 30 -
lehetõséget, hogy míg a keresztboltozatnál a bordaháló a boltozatot 4 boltozati felületre darabolta, addig a csillaghálós boltozatok esetében ez 8 és 16 felületdarabot eredményez. Ebbõl kifolyólag könnyen elképzelhetõ, hogy a felületek kifalazásakor vékonyabb szerkezeteket alkalmaztak a bonyolultabb alaprajzi hálóknál, így csökkentve a szerkezet súlyát, és minden bizonnyal a bordák igénybevételeit is. - 31 -
Ábrajegyzék 1. ábra A templombelsõ elméleti rekonstrukciós rajza (Sedlmayr János)... 2 2. ábra A kolostortemplom mai állapota... 3 3. ábra A Guzsik Tamás szerinti boltozati alaprajz... 4 4. ábra A Beauvais katedrális metszete... 6 5. ábra A kolostorrom magassági viszonyai... 10 6. ábra A vezérgörbe szerkesztés alkalmazása csillaghálós boltozatnál: abcd = dz... 11 7. ábra A boltvállak összemetszõdõ indítása és az összemetszõdés számítógépes modellezése... 12 8. ábra A boltozati felületek hálója... 13 9. ábra A keresztboltozat számítógépes modellje... 14 10. ábra Az egyszerûbb csillaghálós boltozat modellje... 14 11. ábra A bonyolultabb csillaghálós boltozat számítógépes modellje... 15 12. ábra A Szent Péter bazilika kötélmodelljének rajza (Poleni)... 16 13. ábra Félköríves boltív nyomásvonala minimális oldalnyomásra... 18 14. ábra Félköríves boltív nyomásvonala maximális oldalnyomásra... 18 15. ábra A bonyolultabb csillaghálós boltozat végeselemes modellje... 20 16. ábra A keresztmetszet igénybevételei... 21 17. ábra A csillaghálós boltozat fõbordájának igénybevételei és a belõlük számolt külpontosság... 22 18. ábra A nyomásvonal helyzete a súlyvonalhoz képest a keresztboltozat átlós irányú bordájában... 23 19. ábra A keresztboltozat mértékadó bordája... 24 20. ábra Az egyszerûbb csillaghálós boltozat mértékadó bordája... 24 21. ábra A bonyolultabb csillaghálós boltozat mértékadó bordája... 25 22. ábra A keresztboltozat harántirányú bordájának geometriai biztonsága... 26 23. ábra A csillaghálós boltozat fõbordájának geometriai biztonsága: a szélsõértékek különbsége adja a minimális bordakeresztmetszet magasságát... 27 24. ábra A vizsgált boltozatok geometriai biztonsága és a magidom által adott geometriai biztonság... 27 25. ábra Az alkalmazott keresztmetszet jellemzõi és a magidom mérete... 28-32 -
Felhasznált irodalom [1] F. ROMHÁNYI BEATRIX: Kolostorok és társaskáptalanok a középkori Magyarországon, Pytheas, Budapest, 2000. [2] HEYMAN, JACQUES: The stone skeleton. Cambridge University Press, 1995 [3] STROMMER LÁSZLÓ: Történeti boltozati formák geometriai elemzése, és ábrázolása a CAD eszközeivel. PH.D. értekezés, Budapest, 2008. [4] P. BLOCK, M. DE JONG, J.A. OCHSENDORF: As Hangs the Flexible Line: Equilibrium of Masonry Arches, http://www.springerlink.com/content/9355gr18610v3644/fulltext.pdf, 2006. Külön köszönet Deim Tamásnak segítségéért az Axis modell felépítésében és az adatok kiértékelésében! - 33 -