Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (0. 0. 0.-0.) Várható érték, szórás, módusz. A k 0, (k,,, 4) diszkrét eloszlásnak (itt P(X k)) mennyi a (a) várható értéke, (b) módusza, (c) második momentuma, (d) szórása? A feladat szövegéb l az derül ki, hogy p /0, p 4/0, p 9/0 és p 4 6/0. (a) A várható értéket a 4 k k képlettel számoljuk: E(X) (b) A módusz 4, hiszen ez a legvalószín bb érték. 0 + 4 0 + 9 0 + 4 6 0 0 (c) X várható értéke a 4 k k képlettel számolható. Azaz (d) A szórásnégyzet E(X ) ebból a szórás D(X) Var(X) 0.8. 0 + 4 4 0 + 9 9 6 + 6 0 0 9 Var(X) E(X ) (E(X)) 9 00 9 4,. Tételezzük fel rendre az.70 Ft, 6.00 Ft, 7.000 Ft,.000.000.000 Ft x nyereményeket az ötös lottón,, 4 illetve találat esetére. Ft-os ötös lottó árral számolva, egy szelvénnyel fogadva mennyi a nyereségünk várható értéke? Az, hogy hány találatunk van pontosan az ötös lottón, hipergeometriai eloszlású. Emlékeztet ül például p P(pontosan találatom van) ( )( 8 ) / ( 90 ). Ekkor a nyeremény várható értéke: k 97., k ahol k értéke most a nyeremények értékevel egyezik meg. Tehát mivel a szelvény ára Ft, így a nyereségünk várható értéke 7.88 Ft.. Háromszor olyan valószín, hogy egy évben két ember születik pontban éjfélkor, mint az, hogy öt. (a) Mire tippelne, hány ember fog a jöv év folyamán éjfélkor születni? (b) Mennyi annak a valószín sége, hogy senki sem születik éjfélkor egy év alatt? (c) Átlagosan hány ember születik éjfélkor egy év alatt? Legyen X az a valószín ségi változó, ami megmondja, hogy az adott évben hány ember születik éjfélkor. Ekkor X Poisson eloszlást követ valamilyen ismeretlen λ paraméterrel. A feladat szövegéb l tudjuk, hogy P(X ) P(X ). Felírva az eloszlásokat és megoldva a kapott egyenletet λ.744 adódik. (a) A móduszra érdemes tippelni. A módusz megkereséséhez vizsgáljuk a + / hányadost. + e λ k+ λ (k+)! e λ λ k k! λ k + Ezen tört értéke nagyobb mint, ha k, és kisebb mint, ha k. Tehát a módusz. (b) P(senki nem születik éjfélkor) P(X 0) e λ 0.066 (c) Az átlag nem más, mint a várható érték, azaz λ.744. 4. Egy tankör 0 hallgatójának mindegyike egymástól teljesen függetlenül, /4 valószín séggel jár Valószín ségszámítás órára. (a) Átlagosan hányan vannak jelen? (b) Melyik létszám a legvalószín bb? (c) Mennyi a jelenlev k számának szórása?
Jelölje X a Valószín ségszámítás órán részt vev k számát. Ekkor X BIN(n 0, p /4) eloszlást követ. (a) Az átlagosan jelen lév k számát a várható érték adja: EX np.. (b) A legvalószín bb létszám a módusz. Ennek megkereséséhez vizsgáljuk a + / hányadost. + ( 0 ) n k ( k+ ( k+) 4) 4 ( 0 ) ( k ( ) n k k 4) 4 (0 k) k + Ezen tört értéke nagyobb mint, ha k, és kisebb mint, ha k. Tehát a módusz. (c) D(X) np( p) 0 0.7 0..77.. Legyen X egy dobókockával dobott szám. Mennyi lesz X várható értéke és szórása? A feladat szövegéb l az derül ki, hogy p p p p 4 p p 6 /6. A várható értéket a 6 k k képlettel számoljuk: E(X) 6 + 6 + 6 + 4 6 + 6 + 6 6.. A szórás kiszámításához szükségünk van a második momentumra, ami a 6 k k képlettel kapható: E(X ) 6 + 4 6 + 9 6 + 6 6 + 6 + 6 6 9 Azaz D(X) E(X ) (E(X)).70 a kockadobás szórása. 6. András és Béla a következ t játsszák. Mindketten feldobnak egy dobókockát, majd András annyi forintot kap Bélától, amennyi a két kockán lév pontok különbségének a négyzete. Béla pedig annyit kap Andrástól, amennyi a két kockán lév pontok összege. Melyiküknek kedvez a játék? Legyen X a két kockán lev pontok különbségének négyzete. Ekkor p 0 6/6, p 0/6, p 4 8/6, p 9 6/6, p 6 4/6, p /6, így a várható érték: E(X) 0 6 + 0 6 + 4 8 6 + 9 6 6 + 6 4 6 + 6 Hasonlóan legyen Y a két kockán lév pontok összege.ekkor p p /6, p p /6, p 4 p 0 /6, p p 9 4/6, p 6 p 8 /6, p 7 6/6, így a várható érték: Tehát hosszú távon Béla jobban jár. E(X) 6 + 6 + + 6 4 7. Egy dobozból, amiben 4 piros és 6 fehér golyó van, visszatevés nélkül kihúzunk golyót. Jelölje X a kihúzott piros golyók számát. Határozzuk meg X (a) eloszlását, (b) várható értékét, (c) móduszát, (d) szórását! (a) X eloszlása: p 0 p 0 ) ) 6, p ( 0 ( 0 ) ) 0, p ( ) 0 ) ( 0) 0 ) 0 (b) A fentiek alapján a várható érték: (c) A módusz értéke. E(X) 0 6 + + 0 + 0 6 (d) A szórás kiszámolásához szükségünk van a második momentumra: E(X ) 0 6 + + 4 0 + 9 0 Azaz D(X) E(X ) (E(X)) 0.74 a szórás.
8. Két kockával dobva mennyi lesz a dobott számok (a) nagyobbikának illetve (b) kisebbikének várható értéke? (a) Legyen X a dobott számok maximuma. Ekkor p /6, p /6, p /6, p 4 7/6, p 9/6, p 6 /6, így a várható érték: E(X) 6 + 6 + 6 + 4 7 6 + 9 6 + 6 6 6 (b) Legyen X a dobott számok minimuma. Ekkor p 6 /6, p /6, p 4 /6, p 7/6, p 9/6, p /6, így a várható érték: E(X) 6 + 9 6 + 7 6 + 4 6 + 6 + 6 6 9 9. Anna és Cili két kockával játszanak. Anna akkor zet Cilinek, ha mindkét feldobott kockán páratlan szám szerepel. Cili akkor zet Annának, ha pontosan egy kockával dobnak páros számot. Ha más eset fordul el, egyikük sem zet. Milyen pénzösszegben állapodjanak meg, hogy a játék igazságos legyen? Anna 4 eséllyel zet Cilinek, míg Cili + eséllyel zet Annának. A játék tehát akkor lesz igazságos, ha Anna kétszer annyit zet, mint Cili.(például Anna petákot, Cili pedig petákot.) 0. 0 ember között sorsolnak ki 9 külföldi nyaralást. A 0 személy között családos. (a) Mennyi annak a valószín sége, hogy a 9 nyertes között 7 családos? (b) Mi a kisorsolt családosok számának legvalószín bb értéke? Legyen X a nyertes családosok száma. Ekkor X hipergeometriai eloszlást követ. (a) P(7 nyertes családos van) P(X 7) ( 7 )( 8 ) ( 0 9 ) (b) A legvalószín bb létszám a módusz. Ennek megkereséséhez vizsgáljuk a + / hányadost. + ( k+)( 8 9 k ) ( 0 9 ) ( 8 )( 9 k) 8 ( 0 9 ) ( k)(9 k) k(k + ) Ezen tört értéke nagyobb mint, ha k 4, és kisebb mint, ha k. Tehát a módusz.. Egy cukorkaboltban 0 perc alatt átlagosan 4 ember vásárol. (a) Várhatóan hányan vásárolnak egy óra alatt? (b) Mennyi annak a valószín sége, hogy fél óra alatt legalább ketten vásárolnak? (a) Ha 0 perc alatt átlagosan 4 ember vásárol, akkor 60 perc alatt átlagosan 6 4 4 ember vásárol. A vásárlók átlagos száma, pedig nem más, mint a vásárlók várható száma. (b) A fél óra alatt vásárlók X száma Poisson eloszlást követ λ 4 paraméterrel. Tehát a keresett valószín ség: P(X ) P(X 0) P(X ) e e.. Két kockát n-szer dobunk fel. Tudjuk, hogy a dupla hatos dobások számának legvalószín bb értéke (ez az érték egyértelm ). Mit állíthatunk n értékér l? A dupla hatosok X száma binomiális eloszlást követ n és p /6 paraméterekkel. Binomiális eloszlás esetén a módusz nem más, mint [(n + )p]. Így (n + ) 6 <, tehát 7 n < 07. Hogyha n 7, akkor a módusz nem egyértelm, két módusz van, az és a ugyanolyan valószín.. Egy iskolai kirándulás során négy busz szállítja a diákokat. A négy buszban 40,, illetve 0 diák utazik. Véletlenszer en kiválasztunk egy diákot, és legyen X az buszában utazó összes tanuló száma. A négy buszsof r közül egyet szintén véletlenszer en kiválasztunk, és legyen Y az buszán utazó tanulók száma. (a) Mit gondolunk, E(X) vagy E(Y ) lesz nagyobb? Miért?
(b) Számoljuk ki E(X) és E(Y ) értékét! (c) Számoljuk ki X és Y szórását! (a) Nagyobb eséllyel választunk egy diákot egy tömöttebb buszról, míg a sof r választásakot minden busz egyenló valószín. Ezért X várhatóan nagyobb lesz Y -nál (b) A feladat szövege alapján a következ várható értékeket kapjuk: E(X) 40 40 48 + 48 + 48 + 0 0 48 9.8, E(Y ) 40 4 + 4 + 4 + 0 4 7. (c) A szóráshoz meg kell határoznunk a második momentumokat: Ezalapján a szórások: E(X ) 40 40 48 + 48 + 48 + 0 0 48 6.4, E(Y ) 40 4 + 4 + 4 + 0 4 4.. D(X) E(X ) (E(X)) 9.06, D(Y ) E(Y ) (E(Y )) 9.9. 4. Egy forgalmas útszakaszon, ahol egyébként is szoktak radarozni, fogyelik, hogy perc alatt hány autó lépi át a megengedett sebességhatárt. Tudjuk, valószín bb az, hogy lesz ilyen autó, mint az, hogy nem lesz. Adjon minél élesebb alsó becslést annak a valószín ségére, hogy pontosan autó lépi át a megengedett sebességhatárt! A sebességkorlátozást megszeg k X száma, a nagy forgalom és a gyakori radarozás miatt Poisson-eloszlást követ. Tudjuk, hogy P(X 0) < P(X > 0). Falírva a fenti eloszlásokat kapjuk, hogy e λ < e λ, azaz ln < λ. Így λ λ (ln ) P(X ) e > 0.0.!!. Statisztikák alapján sok évre visszamen leg vizsgálták, hogy július hónapban mi volt a balatoni vitorlásbalesetek leggyakoribb száma. Ilyen számnak a adódott. Becsülje meg, hogy legalább hány év statisztikáját kellene végigböngészni ahhoz, hogy a statisztikában találjunk olyan júliust, amikor egyáltalán nem volt a Balatonon vitorlásbaleset. A júliusi vitorlásbalesetek száma λ paraméter Poisson eloszlást követ. A módusz -nak vehet, így [λ], tehát λ 4. Annak a valószín sége, hogy júliusban nem történik vitorlásbaleset: P(X 0) e λ. Az e λ valószín ség esemény átlagosan e λ független meggyelés alatt következik be. Mivel λ, így e e λ, tehát az átnézend évek száma átlagosan [ e ] 0. 6. Egy kisvállalkozó autót tart fenn bérbeadásra. Minden egyes autóra a napi kiadása 600 tallér, függetlenül attól, hogy az autót bérbe veszik-e avagy sem. Egy-egy autó napi bérleti díja 7000 tallér. Nagy a kereslet az autóbérlésre, és ez a vállakozás szinte még ismeretlen. Ha naponta átlagosan ketten kívánnak autót bérelni, akkor mennyi az üzlet átlagos napi nyeresége? A kereslet Poisson eloszlásúnek tekinthet, mivel nagy a kereslet és a vállalkozás még kevéssé ismert. Ha X jelenti a napi nyereséget, akkor E(X) p(000 800) + p (4000 800) + p (7000 800) + p 0 ( 800) 067, 88, ahol p p 0 p p és e k k!, k 0,,. 7. Határozza meg az ötös lottón kihúzott számok nagyság szerinti második legnagyobbikának móduszát! Jelölje X a kihúzott második legnagyobb számot. Ekkor X eloszlása a következ : P(X k) (90 k)( ) k ( 90 ), k 4,,..., 89 Szokás szerint a módusz meghatározásához a + / hányadost kell vizsgálnunk. + (90 k )( k ) ( 90 ) (90 k)( k ) ( 90 ) (90 k )k (90 k)(k ) Ezen tört értéke nagyobb mint, ha k 67, és kisebb mint, ha k 68. Tehát a módusz 68.
8. Mosóporvásárlásnál hatféle matricát kell összegy jteni a minden dobozban megtalálható matricákból ahhoz, hogy ingyen kapjunk egy doboz mosóport. Átlagosan hány doboz mosóport kell ehhez vásárolni? Jelölje rendre X, X,..., X 6 azon mosóporvásárlások számait, melyek ahhoz szükségesek, hogy egy-egy matrica megtalálása után újfajta matricát találjunk. X. X geometriai eloszlású paraméterrel, ezért várható értéke 6.X is geometriai eloszlású 4 paraméterrel, ezért várható értéke 6 4. X 4 is geometriai eloszlású 6 paraméterrel, ezért várható értéke 6. X is geometriai eloszlású 6 paraméterrel, ezért várható értéke 6. X 6 geometriai eloszlású 6 paraméterrel, ezért várható értéke 6. Használva a várható érték linearitását kapjuk, hogy E(X + X + + X 6 ) 6 E(X i ) + 6 + 6 4 + 6 + 6 + 6 4, 7. i 9. Egy tanteremben 0 darab kétüléses pad található. 0 út és 0 lányt ültetnek le véletlenszer en. Hány olyan pad lesz átlagosan, amelyben ú és lány is ül? Tekintsünk egy tetsz leges padot. Annak a valószín sége, hogy a padon "vegyes pár" foglal helyet /. Legyen X i (i,,..., 0) annak az eseménynek a Bernoulli változója, hogy az i-dik padnál "vegyes pár" ül. Ekkor E(X i ) + 0. Így használva a várható érték linearitását kapjuk, hogy 0 E(X + X + + X 0 ) E(X i ) 0. 0. (Tétduplázásos rulettstratégia) N zseton t kével kezdjük a játékot és addig játszunk, amíg nem nyerünk vagy el nem fogy a t kénk. El ször felteszünk zsetont a pirosra. Ha nyerünk, akkor abbahagyjuk a játékot, ha veszítünk, akkor tovább játszunk és feteszünk zsetont a pirosra. Ha nyerünk, abbahagyjuk a játékot, ha veszítünk, akkor felteszünk 4 zsetont a pirosra. Ha nyerünk leállunk, ha veszítünk, akkor felteszünk 8 zsetont a pirsora stb. Számolja ki a nyereségünk (veszteségünk) várható értékét! Úgy veszíthetünk, hogy rendre az els N tétet elveszítjük. Ennek valószín sége p N, ahol p 9/7. Ekkor veszteségünk összege + + 4 + + N N. Ha nyerünk, akkor a nettó nyereségünk biztos, hogy zseton. Ez megtörténhet rendre az els, második,..., az N-dik tét után. Tehát a nyerés valószín sége Ezért nyereségünk várható értéke: Ez az érték negatív, hiszen 9 7 >. ( p) + p( p) + p ( p) + + p N ( p) p N. i p N ( N ) + ( p N ) (p) N.. (Minimális kockázat rulettstratégia) A játékhoz összesen zsetonra van szükségünk. Feltesszük például a pirosra az zsetonunkat. Ha veszítünk, akkor abbahagyjuk a játékot, ha nyerünk, akkor felteszünk zsetont. Ha veszítünk, akkor abbahagyjuk a játékot, ha nyerünk, akkor felteszünk a pirosra zsetont stb. Addig játszunk, amíg a fekete vagy a 0 ki nem jön. Írja fel a nyeresés (veszteség) várható értékét szumma alakban! Legyen N az, hogy hányszor nyerünk, miel tt veszítünk. Ekkor a nyereségünk + + + + N (N + ) (N+)(N ). Annak valószín sége, hogy pont N-szer nyerünk, p N ( p), ahol p 8 7. Ezzel tehát a várható nyereségünk (n + )(n ) p n ( p). n0