A SPECIÁLIS RELATIVITÁSELMÉLET Szerző: Szabó Gábor egyetemi tanár (SZTE Optikai és Kantumelektronikai Tanszék) 1. Beezetés A speiális relatiitáselmélet megszületése magán iselte a fizika nagy forradalmainak összes lényeges ismérét. Az ismert elméletek nem oltak képesek megmagyarázni lényeges kísérleti eredményeket sőt néhol maguk az elméletek egymással is ellentmondásba kerültek, részproblémákra már születtek megoldások, de ezek nem kapsolódtak egymással, azaz szükség olt egy géniuszra, aki képes megalkotni a nagy fizikai elméletektől elárt rendszert. Ez a géniusz Albert Einstein személyében nagyjából időben meg is érkezett és a rend legalábbis addig, amíg a kantummehanika ismét mindent fel nem borított helyreállt. A helyzet annyiban is hasonlított a mehanika XVII. században lezajlott forradalmához, hogy a rendszer, illete a rendszert megalkotó géniusz ott Newton megjelenése máig is nehezen átlátható árnyékot etett az elődökre. Az utókor mind a mai napig gyakran megfeledkezik azokról, akik Newtont észázadokkal megelőze mint a Merton College kutatói, Buridan, Oresme, Stein, agy aki kortársként talán a legtöbb méltánytalanságot elszenede mint Hooke, alamilyen formában lényegesen hozzájárultak a newtoni mehanika megalkotásához. Einstein nee is oly mértékben összeforrt a speiális relatiitáselmélettel, hogy Voigt, Poinaré, Fitzgerald és Lorentz az utódoktól gyakran nem a alódi szerepüknek megfelelő megbesülést kapták meg. Az emberiség kollektí memóriájának az a szokása, hogy hajlamos egy-egy nagy eredményt egy néel összekötni, általában kiáltja az ellenreakiót is, azaz megjelennek tudománytörténészek, akik megpróbálják a nagyokat deheroizálni. Galileihez agy Newtonhoz hasonlóan nem kerülte el ezt a sorsot Einstein sem. Edmund Whittaker Einsteinnek az 1905- ös történelmi jelentőségű dolgozatáról az 50-es éekben a köetkezőket írja Einstein egy ikket publikált, amelyben Poinaré és Lorentz relatiitáselméletét fejti ki némi kiegészítéssel. Ahelyett, hogy az ilyen a tudomány lényegét nem érintő, bár kétségkíül érdekes itákban megpróbálnánk igazságot tenni, szögezzük le, hogy a természettudományok fejlődésében a kétféle kutatónak, aki részletkérdések tudományos igényű tisztázásáal lényeges elméleteket támaszt alá, agy ingat meg, és aki a tudományosan meglapozott részleteket rendszerbe képes foglalni, egyaránt döntő szerepe an. A speiális relatiitáselmélet megalapozásához számos úton el lehet jutni. Mi ebben a fejezetben átláthatósága miatt jórészt azt az utat köetjük, amelyet Einstein ír le [1] tanulmányában. Egy dolgot azonban már a kezdeteknél is hangsúlyoznunk kell. A speiális relatiitáselmélet egy különlegesen szép példája a fizika nagy elméleteinek. Különlegessége főként abban rejlik, hogy a többi nagy elmélethez hasonlóan a szemléletünket megrázó eredményekhez jut. Mindezt azonban úgy teszi, hogy két posztulátuma semmiel sem bonyolultabb a klasszikus mehanika axiómáinál, a legfontosabb eredmények bemutatásához szükséges matematikai eszközök pedig nem haladják meg a középiskolás tananyag szintjét. Ahhoz, hogy egy probléma megoldását igazán értékelni tudjuk, először is az szükséges, hogy magát a problémát alaposan megértsük. Ez a relatiitáselmélet esetében is természetesen így an, ezért először is megizsgáljuk, hogy mik oltak a múlt század égi fizikában azok a főbb ellentmondások, amelyek égül is az elmélet megalkotását kikényszerítették. 1
. Előzmények: ellentmondások a XIX sz. égének fizikájában..1. Relatiitás ele agy fénysebesség állandósága? Amint azt korábban láttuk a klasszikus mehanika egy általános ele a Galilei-féle relatiitási el. Ennek egyik szemléletes megfogalmazása az, hogy a mehanika számára az összes ineriarendszerek egyenértékűek, azaz semmilyen mehanikai kísérlettel nem lehet a különböző ineriarendszerek mozgásállapotára onatkozóan informáiót nyerni. Galilei maga arra mutatott rá, hogy a sima tengeren haladó hajó belsejében égzett kísérletekből nem lehet megmondani, hogy a hajó halad-e, agy áll. Ez a probléma számára elsősorban azért olt fontos, mert ezzel áfolta a Föld tengely körüli forgásáal szemben az ő korában hangoztatott bizonyítékot : a Föld már sak azért sem foroghat a tengelye körül, mert ekkor egy toronyból leejtett kő nem a torony töében érne földet. Galilei ezzel szemben azt állította, hogy ilyenkor a kő sakúgy mint a hajó esetében együtt mozog a toronnyal. Mi már tudjuk, hogy Galilei gondolatmenete a toronyra onatkozóan nem egészen helyes, hiszen forgó rendszerben az ineria erőket is figyelembe kell enni, amelyek alóban kismértékben eltérítik pályájukon az eső testeket. A hajó esetében iszont teljes mértékben igaza olt. A relatiitási el fenti megfogalmazásában nem életlenül hangsúlyoztuk a mehanika szót. A klasszikus mehanikára onatkozóan ugyanis bizonyítható, tehát ha a klasszikus mehanika helyes, akkor a Galilei-féle relatiitási elnek igaznak kell lennie. A klasszikus mehanika megalapozása és a 19. század ége között eltelt mintegy 00 é alatt sok tapasztalat gyűlt össze arra néze, hogy zárt rendszerben a rendszer mozgására onatkozóan nemsak mehanikai, hanem másfajta kísérletekkel sem nyerhetünk informáiót. Ílymódon kialakult egy újabb megfogalmazás, amelyet a Galilei-féle relatiitási eltől aló megkülönböztetésül általános relatiitási elnek neezünk, mely szerint az ineriarendszerek a fizika számára egyenértékűek. Az általános relatiitási elnek, amennyiben igaz, an egy fontos köetkezménye: nem létezik abszolút nyugó onatkoztatási rendszer, azaz abszolút tér. Az abszolút tér fogalma az emberi szemlélet számára kényelmes kategória, amelynek feladása nem könnyű. Ez magánál Newtonnál is érdekes kettősségre ezetett. Ő alószínűleg főként filozófiai okokból posztulálta az abszolút tér létezését, de fizikusi zsenialitása megakadályozta abban, hogy ezt alójában ki is használja. Így eredményei helyesek annak ellenére, hogy felteései között hibás is olt. A múlt század égén tehát úgy tűnt, hogy az általános relatiitási el egyike a fizika fontos eleinek, amikor egy komoly ellentmondás kezdett köronalazódni. A 19. századi fizika egyik legnagyobb eredményét jelentik, az elektromágnesség jelenségkörének leírására felállított Maxwell egyenletek. Ezeknek egyik fontos köetkezménye az, hogy az elektromágneses sugárzás (ákuumban) mindig fénysebességgel terjed függetlenül a forrás agy a detektor sebességétől. Ez ugyan még önmagában nem mondana ellent az általános relatiitási elnek, a magyarázat azonban, amellyel ezt a kétségkíül zaarba ejtő tényt magyarázni próbálták, annál inkább. A magyarázat ugyanis az olt, hogy a fényhullámokat egy speiális közeg, az ún. éter toábbítja, így a terjedés sebessége a hanghullámokhoz hasonlóan a közeghez képest állandó. Az ellentmondás tehát az, hogy ha a ilágmindenséget kitöltő éter létezik, akkor két ineriarendszer között különbséget tehetünk az éterhez iszonyított sebességük alapján, agy ha akarjuk az éter az abszolút iszonyítási rendszer. Az éter fogalma a fizika egyik ma már elfeledett itája során keletkezett. A ita eredete Newtonig nyúlik issza, aki a fény terjedését speiális tulajdonságokkal felruházott részeskékhez kötötte. Elméletének kifinomult, az interferenia értelmezését is lehetőé teő részletei a köetők értelmezésében lekoptak, és az, hogy a fény terjedése részeskék áramlása, dogmáá mereedett kiszoríta Huygens hullámszerű elméletét. (Huygens elmélete még nem olt a mai értelemben ett hullámelmélet, miután az a mozgásállapot terjedéséről szól, hiányzik belőle a periodiitás, és emiatt természetesen az interferenia.) Ennek köetkeztében az 1700-as éekben az optikában jó száz éig nem
történt semmi, miután a hullámelmélet beezetéséel próbálkozók Newton tekintélyéel, agy inkább árnyékáal találták szemben magukat. Az 1800-as éek fordulóján Young kísérletei fontos bizonyítékot szolgáltattak a hullámtermészetre, amelyet Fresnel elegáns, matematikailag is teljes elmélettel értelmezett. Fresnel megfontolásaiban egyértelműen az éter fogalmára támaszkodott, ezért az éter szorosan összekapsolódott a fényterjedés hullámmodelljéel. Így a hullámmodell térnyeréséel az éter fogalom is egyre jobban beépült a fizikába. Azt, hogy az éter fogalom a század égére mennyire elfogadottá ált, jól mutatja, hogy Kelin, kora egyik kiemelkedő fizikusa 1891-ben a köetkezőket írja: Az elektromágneses éter a dinamikában az egyetlen szubsztania amelyben bizonyosak lehetünk.az elektromágneses éter tudományos alóságnak tekinthető. Az éter hipotézis első látásra teljesen rendben leőnek tűnik, és igen szemléletesen megmagyaráz egy egyébként a szemlélet számára idegen tényt. Kissé közelebbről szemléle a dolgot, egyre több zaaró tényezőt találunk. Amennyiben ez a ilágmindenséget kitöltő anyag létezik, akkor olyannak kell lennie, hogy a benne mozgó tárgyak mozgását nem akadályozhatja. Másrészt, miel a fény transzerzális hullám ezért alamilyen szerkezetének kell lennie, hiszen a transzerzális hullámok terjedéséhez olyan rendszerekre an szükség, amelyek alami módon alakjuk isszaállítására törekszenek. Ezt természetesen a múlt század fizikusai is jól látták, ennek ellenére az éter fogalom makasul tartotta magát. Ez minden bizonnyal arra ezethető issza, hogy e nélkül a fénysebesség állandóságának ele ellent mond a józan észnek. Einsteint is saját elmondása szerint már egyetemi hallgató korában igen erősen foglalkoztatta a fénysebesség állandóságának ele, agy méginkább annak érthetetlensége. Ez később feltehetően a speiális relatiitás elmélet megalkotásában is nagy szerepet játszott. A dilemma tehát az, hogy álasztanunk kell két el között: agy a nagyszámú kísérleti tapasztalattal alátámasztott általános relatiitás elét tartjuk meg, agy az éter hipotézist, ami szükséges egy ugyansak kísérleti tapasztalatokon, sőt egy sokféle módon bizonyított nagyszabású elméleten alapuló elnek, a fénysebesség állandósága elének az értelmezéséhez.. Galilei agy Lorentz transzformáió? Tekintsünk egy K ineriarendszert, és egy K, a K-hoz képest sebességgel mozgó iszonyítási rendszert. (Viszonyítási rendszereinket mostantól kezde mindig úgy esszük fel, hogy az x és x tengelyek egybeesnek, az y,y és a z,z tengelyek párhuzamosak, alamint a közös x,x tengelyek irányába mutat. Ez az egyszerűsítés a fizikai tartalmat nem torzítja el, ugyanakkor a számolásokat jóal egyszerűbbé teszi.) A kérdés az, hogy milyen műeletet kell égeznünk az {x,y,z,t} koordinátákkal ahhoz, hogy megkapjuk azokat az {x,y,z,t } koordinátákat, amelyekkel egyenleteink a K rendszerben is helyesek maradnak. Másképpen fogalmaza: milyen alakú az a (koordináta)transzformáió, amely az {x,y,z,t} koordinátákat a helyes {x,y,z,t } koordinátákba iszi át? Ha a kérdést a klasszikus mehanika körében etjük fel, a álaszt könnyen megadhatjuk. A keresett transzformáió nyilán a köetkező: x = x t (1a) y = y (1b) z = z (1) t = t (1d) Az (1a-d) egyenleteket Galilei transzformáiónak neezzük, és fentieket úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a mehanika Galilei transzformáióra néze inariáns. A Maxwell elmélet megalkotása után hamarosan nyilánalóá ált, hogy a Maxwell egyenletek a Galilei transzformáióra néze nem inariánsak. Többen is foglalkoztak azzal a kérdéssel, hogy milyen lehet az a transzformáió, amely a Maxwell egyenleteket inariánsan hagyja. Nyilánaló, hogy a kérdésre adott álasz a fizika egészét illetően is lényeges 3
köetkezményekkel járhat. Ha ugyanis a keresett transzformáió a Galilei transzformáióal teljesen összeegyeztethetetlen, akkor a fizika két részre esik szét. A Galilei transzformáió ugyanis a klasszikus mehanikából köetkezik. A klasszikus mehanika iszont a kísérletek szerint a makroszkopikus testek ilágában helyesen írja le a megfigyelhető eseményeket. (Ez a századforduló környékén mindenképpen így olt. Az első olyan kísérleti eredmény, amely makroszkopikus testek esetében közetlenül mérhető eltérést mutat, sak az 1970-es éekben született.) A belőle köetkező el teljesen hibás tehát nem lehet. Ha tehát a Maxwell egyenletek egy ezzel ellentmondó transzformáióhoz ezetnek, akkor a fizika egysége súlyosan sérül, mert a mehanikai és elektromosságtani jelenségek leírása nem egységesíthető. A helyes megoldáshoz már nagyon közel jutott Voigt 1887-ben, amikor megadott egy olyan transzformáiót, amely az elektromágneses hullámok terjedését leíró hullámegyenletre néze helyes olt. Gondolatmenetének igazán forradalmi eleme az olt, hogy t = t helyettesítést elete az időt is transzformálta. Ez azt jelenti, hogy eletette az abszolút idő létezésének fogalmát. Az abszolút idő fogalma legalább olyan mélyen beleiódott szemléletünkbe, mint az abszolút tér. Ezért nyugodtan forradalminak neezhető annak már a puszta feletése is, hogy az idő múlása függ a iszonyítási rendszertől. Ebből a szempontból igen érdekes Ernst Mah munkássága, aki egy filozófiai értekezésében az abszolút tér és abszolút idő fogalmát egyaránt eleti, mint olyan metafizikai konstrukiókat, amelyek semmilyen fizikai kísérletben nem jelennek meg, így a fizika számára értelmetlenek. Bizonyára nem életlen, hogy Einstein gondolkodására amint azt önéletrajzi jegyzeteiben ő maga is kihangsúlyozza, igen nagy hatással olt Mah A mehanika története. műének elolasása. A megoldást égül is H. A. Lorentz találta meg, aki 1899-ben eljutott a térkoordináták helyes transzformáiójához, majd 1904-ben megadta a teljes megoldást amelyet Lorentz transzformáiónak neezünk. A Lorentz transzformáió a köetkező alakú: x t x' = (a) y ' = y (b) z ' = z () t' = x t (d) A Lorentz transzformáió részletes elemzésére később még isszatérünk, azonban két fontos megjegyzést már itt meg kell tennünk. Az első: megnyugással esszük észre, hogy a Lorentz transzformáió nem mond ellent a Galilei transzformáiónak, ugyanis ha a iszonyítási rendszerek egymáshoz képesti sebessége nem összemérhető a fénysebességgel ez a makroszkopikus testek esetében gyakorlatilag mindig teljesül, akkor a Lorentz transzformáió a Galilei transzformáióba megy át. A második megjegyzés: a Lorentz transzformáió szerint az idő a iszonyítási rendszertől függ, ami az abszolút időre onatkozó elképzeléseink felülizsgálatára kell, hogy késztessen bennünket. 4
.3. Mihelson és Morley kísérlete: álasz, agy újabb kérdőjelek? Amint az eddigi megfontolásainkból is kiderült, az alapető konfliktus a mehanikai, illete az elektromágneses jelenségek, agy méginkább az ezeket leíró elméletek, azaz a newtoni mehanika és a Maxwell egyenletek között látszik köronalazódni. A múlt század égén természetszerűen etődött fel az a gondolat, hogy a kérdést legélszerűbben alamilyen elektromágneses kísérlettel lehetne tisztázni. Az elektromágneses jelenségek közül a fény az, amit könnyű előállítani és detektálni, ezért igen alkalmasnak tűnik alamilyen, a fény terjedésére onatkozó mérés. A gyakorlati előnyök mellett problémát jelent a fény igen nagy terjedési sebessége. Egy, a gyakorlatban megalósítható kísérleti eszköz méretei nem nagyon haladhatják meg a 10 m-t. Ekkora táolság megtételéhez a fénynek 3,3 10 7 másodperre an szüksége. Ilyen kisiny időtartamok kellő pontosságú közetlen mérésére abban az időben nem olt esély. 15 Az utóbbi néhány ében a lézerfizika fejlődésének köetkeztében lehetőé ált 3 4 10 s időtartamú fényimpulzusok előállítása. Ilyen röid impulzusokkal, kellően nagy táolságot álaszta már közetlen méréseket is lehetne égezni. A fény azonban elektromágneses rezgés, amelynek periódusideje pl. a 600 nm 15 hullámhosszú naranssárga fényé 10 s. Ha tehát két fényhullám fázisának összehasonlításáal dolgozunk, azaz kihasználjuk a fényinterfereniát, akkor a periódusidő egytizedének megfelelő terjedési idő különbségek mérése is lehetőé álik. Ennek megfelelően Mihelson egy olyan kísérletet terezett, amelyben a fény futásidejét hasonlította össze egy ún. interferométer két karjában. A kísérlet ázlata az 1. ábrán látható. A fénysugár egy Ny nyalábosztóra esik, ahol a fény 50%-a isszaerődik és az A karba jut, 50%-a áthalad és belép a B karba. A karok égén elhelyezett T a és T b tükrökről a fény isszaerődik, az A karból érkező fény 50%-a a nyalábosztón áthalad, a B karból érkező fény 50%-a a nyalábosztón isszaerődik, azaz a nyalábosztó hátoldalán két párhuzamos fénysugár lép ki, amelyek egymással interferálnak. Amennyiben az A és B kar egyenlő hosszúságúak ezt a toábbiakban mindig feltételezzük és az eszköz nyugalomban an, akkor a fény terjedési ideje a két karban pontosan megegyezik (L/, ahol L a kar hossza, a fénysebesség), tehát a kilépő fényhullámok azonos fázisban találkoznak, azaz az interferenia során erősítik egymást. Vizsgáljuk meg, hogy az eszköz miképpen alkalmas a feltételezett éterhez iszonyított mozgásunk kimutatására. Tételezzük fel, hogy az interferométer az éterhez képest az ábra szerint jobbról balra, azaz a B kar tengelyéel párhuzamosan sebességgel mozog. Számítsuk ki a terjedési időket a két karban. Az A karban a helyzet a nyugó esethez képest annyiban különbözik, hogy amíg a fény a nyalábosztótól a tükörig t idő alatt eljut, azalatt a tükör maga is elmozdul t táolságra, így a fénynek L helyett az L és t befogókból alkotott derékszögű háromszög átfogóját kell befutnia (lásd a a. ábrát). Ennek figyelembeételéel írhatjuk: Ny T a 1. ábra A Mihelson interferométer ázlata T b 5
L+t L L-t t a. ábra Fény terjedése a Mihelson interferométer A karjában b. ábra Fény terjedése a Mihelson interferométer B karjában L + ( t') t' = (3) A (3) egyenletből t -t kifejeze kapjuk: t' = L (4) A T a tükörről aló isszaerődés után a fény nyilán ugyanekkora út megtételéel jut issza a nyalábosztóhoz, azaz a teljes futásidő az A karban t a = t tehát (a fizikai tartalom könnyebben látható, ha neezőben -t kiemele kialakítjuk a nyugó interferométerben észlelhető L/ terjedési időt): t a L 1 = (5) A B karban a fény áthalada a nyalábosztón a T b tükör felé repül. Mielőtt a tükröt elérné az t táolságra elmozdul, így tehát a fény által megtett táolság L helyett L + t (lásd b ábra). A terjedési időre írhatjuk tehát: L + t" t" = (6) A (6) egyenletből kifejeze t -t kapjuk: L t" = (7) A tükörről aló isszaerődés után a fény alamely t idő alatt ér issza a nyalábtágítóhoz úgy, hogy eközben a nyalábtágító a fény felé mozog, tehát a megtett út L t. Azaz: L t"' t"' = (8) 6
t -re kapjuk: L t" '= (9) + A B karban a teljes futásidő t b = t + t, tehát (7) és (9) alapján írhatjuk: t b L 1 = (10) Gondolatmenetünk égeredménye az (5) és (10) egyenletek összehasonlításából adódik: az éterhez képest mozgó interferométer karjaiban a futásidő különbözik egymástól (és a nyugalomban leőtől). A kérdés most már az, hogy ez a különbség mérhető-e. Ennek eldöntéséhez határozzuk meg először is a kérdéses időkülönbséget. L t = t t b a = (11) A (11) kifejezés első látásra kissé bonyolultnak tűnhet, de kihasznála azt, hogy a földi körülmények között megalósítható kísérletek esetében a << mindig fennáll, sokkal egyszerűbb alakra hozható. Ebben az esetben az emeletes tört neezőjében / az 1 mellett elhanyagolható. Használjuk ki toábbá, hogy x<<1 esetén: Ezek után írhatjuk: x x L t (1) A mérés során az első probléma az lehet, hogy a gyakorlatban nem tudjuk biztosítani, hogy amint azt feltételeztük a két karhossz pontosan ugyanakkora legyen. Ennek hatását Mihelson egy szellemes megoldással ejtette ki. Két összehasonlító mérést égzett el úgy, hogy közben az egész interferométert 90 o -al elforgatta, ami másképpen azt jelenti, hogy a mozgás irányához képest a két kar szerepet serél. Könnyű belátni, hogy ekkor a karok hosszának esetleges különbsége kiesik, ráadásul a mérendő eltérés kétszeresére nő. A földi körülmények között égzendő mérések számára elérhető legnagyobb sebesség a Föld Nap körüli keringéséből adódó mintegy 30 km/s. (1) alapján nyilánaló, hogy a mérendő mennyiség arányos az L karhosszal, így ezt élszerű minél nagyobbra álasztani. A kor tehnikája által lehetőé tett legnagyobb karhossz, 1 m nagyságrendű olt. Ezeket a paramétereket (1)-be helyettesíte azt kapjuk, hogy a két karból érkező fényhullám között a futásidő különbség 3,3 10 17 s. Figyelembe ée, hogy a méréshez használt 600 nm 15 hullámhosszú fény rezgési periódusideje 10 s, a két karból érkező fényhullámok közötti fáziskülönbség kb. o. A mérés ugyan roppant nehéz, de an esély a jelenség észlelésére. A mérés nehézségéel Mihelson is tisztában olt. Először 1881-ben alósította meg a kísérletet, amelynek eredményét maga sem fogadta el perdöntőnek. 1887-ben Mihelson és Morley lényegesen jobb körülmények között újra elégezték a mérést, aminek eredményeként az adódott, hogy az eltolódás nem lehet nagyobb, mint a árt érték 40-ed része azaz az éterszél nem létezik. 7
A Mihelson kísérlet a kísérleti fizika történetének egyik sústeljesítménye. A kísérletet Mihelson először berlini tanulmányútja során égezte el, de az eredmények megbízhatóságát illetően erős kételyei oltak. (Mai ismereteink alapján biztosan állíthatjuk, hogy az eredmények nem oltak elég megbízhatóak ahhoz, hogy a kísérlet perdöntőnek legyen neezhető.) Az USA-ba isszatére 1887-ben, Morley közreműködéséel ismét elégezték a kísérletet. Az már a korábbi kísérletek során nyilánalóá ált, hogy a kritikus tényező az interferométer mehanikai stabilitása, amit alapetően az határoz meg, hogy mennyire sikerül a környezeti zaaró hatásoktól függetleníteni. (Képzeljük el azt, hogy a készülék egyik tükre rezgésbe jön. Ez nyilán azt jelenti, hogy az interferométer karhossza a rezgésnek megfelelően áltozik. Ha azt a feltételt szabjuk, hogy az ebből adódó zaaró hatás ne haladja meg a árt jelenség egytizedét, a terjedési időkülönbségre onatkozó korábbi megfontolásaink alapján adódik, hogy a rezgés amplitúdója nem lehet nagyobb a fény hullámhosszának kb. 600-ad részénél. Ez 600 nm-es hullámhossz esetén 1 nm, azaz NaCl kristályban az atomok közötti táolság kb. kétszerese!) Mihelson és Morley tudatában oltak ennek. Interferométerüket ezért egy 1,5 m x 1,5 m keresztmetszetű, 30 m astagságú (!) kőlapra építették. A kőlap alatt egy fagyűrű olt, ami egy gyűrű alakú higanykádban úszott, hogy a készüléket el lehessen forgatni anélkül, hogy a környezeti hatások a mérést zaarnák. Minthogy a mérés pontossága a karhosszal arányos, ezért a fényt tükrök segítségéel a kőlap átlója mentén többször odaissza küldték, így elérték azt, hogy a karhossz 11m legyen. Az elégzett mérések azt mutatták, hogy az időkülönbség ha egyáltalán létezik nem lehet nagyobb, mint a (1) alapján árt érték 40-ed része. Ez az eredmény már egyértelműen kizárja az éterszél létét. A kísérlet negatí eredményét nagyon sokféle módon próbálták magyarázni. Az egyik legegyszerűbb magyarázat az lenne, hogy a Föld a mérés során pl. a naprendszer egészének mozgása miatt a méréskor életlenül éppen közel nyugalomban an éterhez képest. Ezt ahogy azt már Mihelson is felismerte, könnyű kizárni azzal, hogy a mérést fél éel később újra elégezzük, amikor a Föld kerületi sebessége éppen ellenkező irányú. Mások feletették azt, hogy esetleg a Föld az őt közetlenül körüleő étert a folyadékban mozgó golyóhoz hasonlóan magáal ragadja, így közetlenül a Föld felszínén relatí mozgás nins. Ez azonban ellentétben állna a sillagászatban nagy pontossággal megfigyelt, ún. aberráió jelenségéel, amely szerint a sillagokat éppen abból az irányból észleljük, ami a Föld mozgásából adódik. A többi ér is rendre ellentmondásba került más tapasztalati tényekkel, így égül is néhány é alatt a kutatók egy jelentős része elfogadta, hogy az éterszél és ezzel együtt az éter sem létezik. Ezzel azonban ahelyett, hogy álaszt kaptunk olna, a kérdőjelek száma nöekedett. 3. A megoldás: a speiális relatiitáselmélet 3.1. A két posztulátum Az előbbi megfontolásaink alapján kiderül, hogy a fénysebesség állandóságának ele az éterfogalommal összekapsola ellentmondani látszik az általános relatiitás elének, miután egy olyan lehetőséget et fel, hogy a iszonyítási rendszerek mozgása az éterhez képest kimutatható. Vegyük azonban észre, hogy a két el önmagában nem zárja ki egymást. Megkísérelhetjük tehát azt, hogy feltételezzük, hogy a fénysebesség állandóságának ele és az általános relatiitás ele egyszerre érényes, és megizsgáljuk, az ebből adódó modell helyesen írja-e le a kísérleti eredményeket. (Azt, hogy érdemes ezen az úton próbálkoznunk nagyban sugallja a Mihelson-kísérlet eredménye is, amit úgy is értelmezhetünk, mint egy, a két el közti ellentmondás kimutatására onatkozó igen alaposan megterezett kísérlet kudarát.) Ennek megfelelően a speiális relatiitáselmélet az alábbi két felteésen (posztulátumon) alapul: 1. A ákuumbeli fénysebesség állandó, függetlenül a fény frekeniájától, a terjedés irányától, a detektor, illete a fényforrás mozgási sebességétől. 8
. Az egymáshoz képest egyenes onalú, egyenletes mozgást égző iszonyítási rendszerek a fizika számára egyenértékűek. Véssük emlékezetünkbe, hogy a speiális relatiitáselmélet supán a fenti két, igen egyszerű, a szemlélet számára könnyen elfogadható felteésen alapul. Ezt azért nagyon fontos hangsúlyoznunk, mert gyakran össze szokták téeszteni az elmélet igen meglepő, a szemlélettel nehezen összeegyeztethető köetkezményeit az elmélet felteéseiel. Nem tételezünk fel semmit pl. az események egyidejűségéről, agy a tömeg sebességfüggéséről, az ezzel kapsolatos meglepő eredmények köetkeznek két felteésünkből. A speiális relatiitáselméletben éppen az a sodálatos, hogy két egyszerű posztulátum alkalmazásáal egy egészen új ilágba jutunk el. A meglepő eredmények illusztrálására égezzünk el egy egyszerű gondolatkísérletet. Készítsünk egy speiális órát amelynek működési ele a köetkező. Egy fényforrásból fényjelet küldünk a szemben L táolságra elhelyezkedő tükör felé, ahol isszaerődik és a fényforrás mellett elhelyezkedő detektorba jut. Az óra egy kettyenését az az idő adja, amelyre a fénynek a L táolság befutására szüksége an, azaz t = L/. Adjuk oda az órát egy nagysebességű űrhajón mozgó űrhajósnak. A sebességgel mozgó fényóra járása megáltozik, miután most a fény hosszabb utat fut be. Az új időegységet nem is kell újra kiszámolnunk, ha felismerjük, hogy a helyzet megegyezik azzal, ami a Mihelson interferométer függőleges karjában an, alkalmazhatjuk tehát (5)-t: t' L = 1 Az óra járása tehát az űrhajóban lelassul. Az természetesen még önmagában nem olna meglepő, hogy egy speiálisan konstruált fényóra a mozgó űrhajón másképpen jár. Ha azonban kihasználjuk második posztulátumunkat, akkor ilágos, hogy az űrhajón leő összes többi órának, agy még általánosabban az összes időben lejátszódó eseménynek hasonlóan le kell lassulnia, mert ha sak egy olyan folyamat is an, amely a mozgás során is áltozatlan marad, akkor ezt a folyamatot a fényóra által mutatott időel összehasonlíta az űrhajós kísérletileg tud köetkezetni rendszere mozgásállapotára, tehát ellentmondásba kerülünk a. posztulátummal. A mozgó űrhajóban tehát az idő másként múlik. 3.. A posztulátumok és a Lorentz transzformáió Az előbbiekben megizsgáltuk azokat a felteéseket, amelyeken a speiális relatiitáselmélet nyugszik. Fontos kérdés az, hogy a posztulátumokból milyen koordináta transzformáió adódik. Eddigi megfontolásaink nem jogosítanak fel annak feletésére, hogy ez éppen a Lorentz transzformáió lenne. Amikor tehát megpróbálkoznunk azzal, hogy a transzformáiót a két posztulátumból leezessük, akkor egy eszélyes kísérletbe kezdünk. Ha ugyanis alami teljesen új transzformáióhoz jutunk, akkor a relatiitáselmélet elálik a fizika többi részétől, ami az egész elmélettel kapsolatban kételyeket et fel. Amennyiben iszont eredményül a Lorentz transzformáió adódna, akkor elméletünk sokkal mélyebb alapokon nyugszik, mint korábban képzeltük. Írjuk fel mindkét koordinátarendszerben az x tengely mentén, pozití irányban terjedő fényjel egyenletét figyelembe ée, hogy a fénysebesség mindkét rendszerben ugyanaz: 9
x = t (13a) x ' = t' (13b) Azok a pontok amelyeken a fény égighalad a K rendszerben, egy fényjel pályáját írják le a K -ben is, azaz (13a) megoldásai egyben (13b)-nek is megoldásai, amelyek egymástól legfeljebb egy konstans szorzóban különbözhetnek. Írjuk ezt fel: x' t' = λ ( x t) (14) Gondolatmenetünket ismételjük meg az x tengely mentén, negatí irányban terjedő fényjelre. Ekkor kapjuk: x ' + t' = µ ( x + t) (15) A (14) és (15) egyenletekből próbáljunk meg kialakítani olyan kifejezéseket, amelyek formájukban hasonlítanak a keresett transzformáióra. (Pl. ha az x koordináta transzformáiójára gondolunk, akkor egy olyan egyenletet árunk, amelynek bal oldalán x áll, jobb oldalán pedig egy x-et és t-t tartalmazó kifejezés.) Összeada (14)-et és (15)-t kapjuk: x ' = ( λ + µ ) x ( λ µ ) t (16) Végezzük el (16)-ban az λ + µ λ µ a =, és b = helyettesítéseket. Ekkor kapjuk: x' = ax bt (17) (14)-ből kiona (15)-t, és elégeze a fenti helyettesítést adódik: t' = at bx (18) (17) és (18) formailag megfelel a keresett transzformáiónak, feladatunkat tehát megoldjuk, ha sikerül az a és b együtthatókat meghatározni. Emlékezzünk arra, hogy eddig sak a fénysebesség állandóságára onatkozó posztulátumot használtuk ki. A keresett állandók meghatározásához még toábbi összefüggéseket nyerhetünk a relatiitási elnek, alamint annak a ténynek a kihasználásáal, hogy K K-hoz képest sebességgel mozog a közös x tengely mentén. Vizsgáljuk meg, hogy mi köetkezik az utóbbiból. Tekintsük K origóját, azaz a x = 0 pontot. Ennek x koordinátájára is nyilán igaz, hogy x=t. Helyettesítsük ezeket be a (17) egyenletbe. (19)-ből az a/b hányadosra adódik: 0 = at bt (19) a = (0) b A relatiitási el kihasználása ennél kissé bonyolultabb. Ehhez képzeljük először el, hogy a K-beli megfigyelő a t = 0 pillanatban egy pillanatfelételt készít a K -beli hosszegységet megtestesítő mérőrúdról ( x = 1), majd a kapott eredményt a saját hosszegységéel összehasonlítja. (17)-ből a t = 0 helyettesítéssel x = ax adódik, tehát a keresett összefüggés a hosszegységek között: 10
x' 1 x = = (1) a a Végeztessük el gondolatban ugyanezt a kísérletet fordíta, tehát a t =0 pillanatban készítsen a K -beli megfigyelő pillanatfelételt a K-beli hosszegységről. Ekkor (18)-ból adódik at = bx. Fejezzük ebből t-t, és helyettesítsük (17)-be. b b x' = x( a ), tehát x' = a () a a A relatiitási elből iszont köetkezik, hogy a két eredménynek meg kell egyeznie, hiszen ha ez nem így an, akkor an egy olyan kísérlet, aminek segítségéel a két iszonyítási rendszer megkülönböztethető. A x = x feltételből adódik: a = 1 b (3) a (3)-ból négyzetgyököt ona, alamint b-t (0) segítségéel eliminála kapjuk: (4)-ből (0) kihasználásáal b-re adódik: 1 a = (4) b = (5) Végül az együtthatókat (17)-be és (18)-ba helyettesíte a keresett transzformáióra kapjuk: x t x' = (6a) x t t' = (6b) Rátekinte (6a-b)-re megállapíthatjuk, hogy a speiális relatiitáselmélet két posztulátumából éppen a Lorentz transzformáió adódik. 11