1 Fiók ferde betolása A hűtőszekrényünk ajtajának és kihúzott fiókjának érintkezése ihlette az alábbi feladatot. Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt azt látjuk, hogy egy a x b méretű kis kék téglalapot úgy tolunk be egy c x d méretű nagy téglalapba, hogy eközben ~ a kis téglalap A csúcsa mindvégig érintkezik a nagy téglalap EF oldalával, valamint ~ a kis téglalap CD oldala mindvégi érintkezik a nagy téglalap G csúcsával. A feladat: a geometriai helyzet leírása. A megoldás: I. Először: állapítsuk meg az x A betolási koordináta változását a φ ferdeségi szög függvé - nyében! Az 1. ábra jobb oldali része alapján:
2 ( 1 ) innen: ( 2 ) Ehhez meg kell állapítani a szög - határokat. a.) Az meghatározása: feltétel alapján ( 2 ) - ből: ( 3 ) b.) meghatározása: Ehhez először írjuk fel C pont y C koordinátájának kifejezését! Az 1. ábra szerint: ( 4 ) Majd írjuk fel a D pont x D koordinátájának a kifejezését is! Ugyanonnan, ( 2 ) - vel is: ( 5 ) Az előírt típusú mozgás addig tarthat, amíg A ( 6 / 1 ) feltétel határesetében, ( 4 ) - gyel is: ( 6 ) ( 7 ) A ( 6 / 2 ) feltétel határesetében, ( 5 ) - tel is: ( 8 ) A határszög az lesz, amelyik a ( 7 ) és a ( 8 ) egyenletek megoldásai közül előbb következik be. Minthogy a szög a mozgás során csökken, így a mondott megoldások közül a nagyobb hegyesszög lesz a számunkra megfelelő. Jelölje a ( 7 ) egyenlet megol - dását φ*, a ( 8 ) egyenlet megoldását φ**, így a megoldás a φ 1 = max (φ*, φ**) feltételnek eleget tevő szögérték lesz. A ( 7 ), de különösen a ( 8 ) egyenlet elég bonyolult trigonometriai egyenletek, így ezeket nem általában, hanem a számpélda konkrét adataival numerikusan célszerű megoldani.
3 II. Másodszor: állapítsuk meg a φ ferdeségi szög változását az x A betolási koordináta függvényében! Ehhez induljunk ki ( 1 ) - ből! átalakításokkal: ( 1 ) ( 9 ) Itt kikötjük, hogy ( 10 ) A ( 9 ) egyenlet egy másodfokú egyenlet tgφ - re, amire a megoldó - képlettel: ( 11 ) vegyük azt az 1. ábrán is szemléltetett esetet, amikor ( 12 ) most ( 11 ) és ( 12 ) - vel: ( 13 ) Egyszerűsítve: ( 14 ) Ezután átalakítjuk a gyökjel alatti kifejezést:
4 ( 15 ) most ( 14 ) és ( 15 ) szerint: azaz: ( 16 ) Innen:. ( 17 ) Ellenőrzésképpen ( 16 ) - ból: ( 18 ) Most ( 3 ) - mal is: innen adódik, ( 18 ) - cal egyezően. Most oldjuk fel a ( 10 ) kikötést! Ekkor a ( 9 ) egyenletből, x A = b - vel is: innen pedig: ahol ( 19 ) ( 19 / 1 ) - ből: ( 20 )
5 Most vegyük fel a számpélda adatait, az 1. ábrának megfelelően! Ekkor az adatok: a = 10 cm; b = 3 cm; c = 6 cm; d = 8 cm. ( A1 ) Most írjuk át a ( 17 ) egyenletet a ξ = x A / b jelöléssel! Ekkor: ( 21 ) A Graph szoftverrel ábrázoltuk ( 21 ) - et: 2. ábra. 2. ábra Itt a görbe: a ( 21 ) képlet szerinti, a két vízszintes egyenes pedig a ( 7 ) és a ( 8 ) egyenle - tek egy hegyesszögű megoldásai. Most tekintsük a 3. ábrát is! Itt a kis téglalap kezdő és a végső helyzetét ábrázoltuk, a kezdő és a végső ferdeségi szög - gel együtt. Ezek számított eredményei az alábbiak: φ 0 = 60,00, φ 1 = 21,90 x A1 = 6,88 cm. ( E1 ) A 3. ábráról is leolvasható, hogy a ( 8 ) feltétel alapján kapjuk meg a φ 1 szöget. A szerkesztéssel papírsáv beigazításával kapott eredmények jól egyeznek a számí - tottakkal.
6 3. ábra Látjuk, hogy a számítások elvégzéséhez numerikus segítségre van szükség. Nézzük, hogyan boldogultunk a számpéldával! Először: ( A ) és ( 7 ) szerint jártunk el, grafikusan oldva meg az előálló ( a ) egyenletet 4. ábra. A megoldás: φ 1,1 = 0.32077555 x 180 /π =18,37908519. Ez a 2. ábrán az alsó / kék vízszintes vonal ordinátája. A görbe és ezen egyenes metszéspontja: x A / b = 2.84800129 x A = 3 cm x 2.84800129 = 8,54400387 cm > 8 cm = d, így ez nem lehet megoldás. A hullámvonal és a vízszintes egyenes másik metszéspontjához tartozó szög értéke: 128, 2224261 lenne, ami használhatatlan érték, hiszen a keresett szög csak hegyesszög lehet. Másodszor: ( A ) és ( 8 ) szerint jártunk el, grafikusan oldva meg a ( 8 ) átalakításával előálló ( b ) egyenletet 5. ábra. A megoldás: φ 1,2 = 0.38228973 x 180 /π =21,90358808. Ez a 2. ábrán a felső / lila vízszintes vonal ordinátája. A görbe és ezen egyenes metszés - pontja:
7 4. ábra 5. ábra
8 x A / b = 2.29362076 x A = 3 cm x 2.29362076 = 6,88086228 cm < 8 cm = d, tehát ez a megoldás. Egy másik eset pillanatfelvételei szemlélhetők a 6. ábrán. 6. ábra Látjuk, hogy itt annyi az eltérés az előző esethez képest, hogy az A 1 és az A^ pontok között egy Δ hosszúságú szakasz van, melyen változatlan φ 1 szöggel mozdulhat el a kis téglalap. Ekkor a számítások az alábbiak szerint alakulnak. A kezdőszög ( 3 ) szerint: ( 3 ) A végszög a ( 7 ) egyenlet ( 22 ) megoldásaként adódik [ 1 ] : ( 7 ) ( 22 ) A Δ eltolás számítása a 6. ábra szerint: ahol ( 2 ) szerint ( 23 ) ( 24 )
9 A 6. ábra szerint az új adatok: a = 10 cm; b = 3 cm; c = 8 cm; d = 10 cm. ( A2 ) A kezdőszög ( 3 ) - ból: ( E2 / 1 ) A végszög ( 22 ) szerint: Az x A1 koordináta ( 24 ) szerint: ( E2 / 2 ) ( E2 / 3 ) A Δ eltolás ( 23 ) szerint: 1,643849604 cm ( E2 / 4 ) Az ( E2 ) számított eredmények jól egyeznek a 6. ábráról lemérhető eredményekkel. Ezzel a számpélda megoldását befejeztük. Megjegyzések: M1. A ( b ) egyenlet a következőképpen állt elő: ( 8 ) - cal: átalakítva: végül Az ( A ) és (c ) sorok együttesen ( b ) - re vezetnek. M2. A ( 22 ) egyenlet levezetése az alábbiak szerinti [ 1 ]. Kiindulás a ( 7 ) egyenlet: kiemeljük a bal oldalon a tényezőt: ( c ) ( 7 )
10 mivel ( 25 ) ezért létezik olyan szög, amelyre 7. ábra : ( 26 ) 7. ábra Most ( 25 ) és ( 26 ) szerint: az ismert trigonometriai összefüggéssel ( 27 ) jobb oldala: így ( 27 ) és ( 28 ) szerint: ahol ( 26 ) - ból: Majd ( 29 ) inverz függvényét képezve: végül ( 30 ) és ( 31 ) - gyel: ( 27 ) ( 28 ) ( 29 ) ( 30 ) ( 31 ) ( 22 ) M3. Látjuk, hogy a 6. ábra szerinti fiók - kialakítás valószerűbb, mint a 3. ábra szerinti, hiszen a fiók betolása után az nemigen szokott kilógni, normális működés esetén. M4. Az idők során megjelent már több hasonló típusú dolgozatunk. Érdemes lehet ezeket összevetni. M5. A fiók erőtani működésével egy másik dolgozatban foglalkozunk.
11 Irodalom: [ 1 ] Obádovics J. Gyula: Matematika 15. kiadás, Scolar Kiadó, Budapest, 1998. Sződliget, 2015. 01. 01. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár