Feladatok 2 zh-ra 205 április 3 Eseményalgebra Feladat Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 7, P (B) = 0, 4 és P (A B) = 0, 5 Határozza meg az A B esemény valószín ségét! P (A B) = 0, 2 2 Feladat Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 8, P (B) = 0, 5 és P (A B) = 0, 4 Határozza meg az A B esemény valószín ségét! P (A B) = 0, 3 Feladat Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 5 és P (A B) = 0, 3 Határozza meg az A + B esemény valószín ségét! P (A + B) = 0, 2 4 Feladat Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 7, P (B) = 0, 6 és P (A B) = 0, 5 Határozza meg az A + B esemény valószín ségét! P (A + B) = 0, 9 5 Feladat Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 2, P (B) = 0, 5 és P (A B) = 0, 4 Határozza meg az A B esemény valószín ségét! P (A B) = 0, 6 Feladat Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 7 és P (A B) = 0, 4 Határozza meg az A B esemény valószín ségét! P (A B) = 0, 4
7 Feladat Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy A maga után vonja B-t és P (A) = 0, 2, P (B) = 0, 6 Határozza meg az A + B esemény valószín ségét! P (A + B) = 0, 6 8 Feladat Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy A maga után vonja B-t és P (A) = 0, 2, P (B) = 0, 6 Határozza meg az A B esemény valószín ségét! P (A B) = 0, 2 9 Feladat Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy B maga után vonja A-t és P (A) = 0, 8, P (B) = 0, 4 Határozza meg az A B esemény valószín ségét! P (A B) = 0, 2 0 Feladat Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy B maga után vonja A-t és P (A) = 0,, P (B) = 0, 6 Határozza meg az B A esemény valószín ségét! P (B A) = 0 2 Klasszikus valószín ségi mez Feladat Gondoltam egy négyjegy számra Mi a valószín sége, hogy az els és az utolsó számjegy is négyes? P (els és az utolsó számjegy is négyes) = 02 9 0 3 = 90 2 Feladat Gondoltam egy hatjegy számra Mi a valószín sége, hogy a szám osztható lesz öttel? P (az utolsó számjegy 0 vagy 5) = 9 04 2 9 0 5 = 5 3 Feladat Egy dobókockát egymás után kétszer feldobunk Mi a valószín sége, hogy a dobott számok összege 0? P (dobott szám összege 0) = 3 36 = 2 4 Feladat Egy dobókockát egymás után kétszer feldobunk Mi a valószín sége, hogy a dobott számok összege legalább 0? P (dobott szám összege legalább 0) = 6 36 = 6 2
5 Feladat Egy 32 lapos magyar kártyából húzok egy lapot Mi a valószín sége, hogy a kihúzott lap piros vagy hetes? P (húzott lap piros vagy hetes) = 32 6 Feladat Egy 32 lapos magyar kártyából húzok egy lapot Mi a valószín sége, hogy a kihúzott lap ász vagy király? P (húzott lap ász vagy király) = 8 32 = 4 7 Feladat 32 lapos magyar kártyából visszatevéssel húzunk 3 lapot Mi a valószín sége, hogy az összes kihúzott lap zöld? P (mind zöld) = 83 = 32 3 64 8 Feladat 32 lapos magyar kártyából visszatevéssel húzunk 4 lapot Mi a valószín sége, hogy a kihúzott lapok között pontosan zöld van? P ( db zöld) = ( 4 ) 8 24 3 32 4 = 3 64 9 Feladat 32 lapos magyar kártyából visszatevéssel húzunk 5 lapot Mi a valószín sége, hogy az els két kihúzott lap piros? P (els két lap piros) = 82 24 3 32 5 = 3 256 20 Feladat 32 lapos magyar kártyából hat lapot osztanak Mi a valószín sége, hogy a kiosztottak között van mind a négy ász? P (négy ász) = (28 2 ) ( 32 6 ) 2 Feladat Egy 32 lapos magyar kártyából 5 lapot osztanak Mi a valószín sége, hogy pontosan 4 piros lapunk legyen? P (4 lap piros) = (8 4) ( 24 ) ( 32 5 ) 22 Feladat Egy 32 lapos magyar kártyából 4 lapot osztanak Mi a valószín sége, hogy nem lesz piros a kiosztott lapok között? P (nincs piros) = (24 4 ) ( 32 4 ) = 23 Feladat Egy dobozban 50 ég van Ezek közül 4 db selejtes Kiválasztunk visszatevés nélkül egyszerre 3 db ég t Mi a valószín sége, hogy a kiválasztottak között 2 selejtes ég van? P (2 selejt) = (46 ) ( 4 2) ( 50 3 ) 24 Feladat Egy dobozban 50 ég van Ezek közül 4 db selejtes Kiválasztunk visszatevés nélkül egyszerre 5 db ég t Mi a valószín sége, hogy a kiválasztottak között nincs selejtes ég? P (nincs selejt) = (46 5 ) ( 50 5 ) 3
25 Feladat Egy kockával hatszor dobunk egymás után Mi a valószín sége, hogy nem dobunk négyest? P (nincs négyes) = 56 6 6 26 Feladat Egy kockával négyszer dobunk egymás után Mi a valószín - sége, hogy pontosan 3 db négyest dobunk? P (pontosan 3 db négyes) = 5 324 27 Feladat Egy kockával négyszer dobunk egymás után Mi a valószín - sége, hogy minden dobás különböz? P (mind különböz ) = 6 5 4 3 6 4 = 5 8 28 Feladat Egy kockával háromszor dobunk egymás után Mi a valószín sége, hogy dobunk négyest? P (van négyes) = 53 6 3 29 Feladat: Egy pénzérmét feldobunk hétszer Mi a valószín sége, hogy pontosan 5 fejet dobunk? P (5 db fej) = ( ) 7 5 = 2 2 7 64 30 Feladat: Egy pénzérmét feldobunk hétszer Mi a valószín sége, hogy legalább 6 fej van? P (legalább 6 fej) = ( ) 7 6 + ( ) 7 = 3 2 7 2 7 256 7 3 Feltételes valószín ségszámítás 3 Feladat: Egy pénzérmét feldobunk háromszor Feltéve, hogy az els dobás írás, mi a valószín sége, hogy legfeljebb két írást dobunk? P (legfeljebb két írás els írás) = 3 4 32 Feladat: Egy pénzérmét feldobunk háromszor Feltéve, hogy az els dobás írás, mi a valószín sége, hogy nem dobunk több írást? P (legfeljebb két írás els írás) = 4 33 Feladat: Egy 32 lapos magyar kártyából húzok egy lapot Feltéve, hogy zöldet húzok, mi a valószín sége, hogy királyt húzok? P (király zöld) = 8 34 Feladat: Egy dobókockát feldobok egyszer Feltéve, hogy páratlant dobok, mi a valószín sége, hogy az eredmény legfeljebb 4? P (legfeljebb 4 páratlan) = 2 3 4
35 Feladat: Egy dobókockát feldobok kétszer Feltéve, hogy az összeg 7, mi a valószín sége, hogy legfeljebb 4-t dobok? P (legfeljebb 4-t dobok összeg 7) = 2 6 = 3 36 Feladat: Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 5, P (B) = 0, 3 és P (A B) = 0, 2 Határozza meg az P (A B) valószín ségét! P (A B) = 3 7 37 Feladat: Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 7, P (B) = 0, 4 és P (A B) = 0, 3 Határozza meg az P (B A) valószín ségét! P (B A) = 2 3 4 Független események 38 Feladat: Az A és B független eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 5 és P (B) = 0, 3 Határozza meg az P (A B) valószín ségét! P (A B) = 0, 35 39 Feladat: Az A és B független eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 7 és P (B) = 0, 4 Határozza meg az P (A B) valószín ségét! P (A B) = 0, 8 40 Feladat:Az A és B független eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 5 és P (B) = 0, 3 Határozza meg az P (A B) valószín ségét! P (A B) = 0, 5 4 Feladat:Az A és B független eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 5 és P (B) = 0, 3 Határozza meg az P (A + B) valószín ségét! P (A + B) = 0, 85 42 Feladat:Az A és B független eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 7 és P (B) = 0, 4 Határozza meg az P (A + B) valószín ségét! P (A + B) = 0, 88 43 Feladat:Az A és B független eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 2 és P (B) = 0, 4 Határozza meg az P (A + B) valószín ségét! P (A + B) = 0, 08 5
5 Teljes valószín ség tétele, Bayes tétel 44 Feladat: Egy évfolyamon a közgazdász hallgatók 65% lány A lányoknak a 8%-a, a úknak pedig a 5%-a kapott jelest a matematika vizsgán Véletlenszer en kiválasztunk egy hallgatót Mi a valószín sége, hogy jelese van matematikából? P (jelese van matematikából) = 0, 0695 45 Feladat:Egy évfolyamon a közgazdász hallgatók 65% lány A lányoknak a 8%-a, a úknak pedig a 5%-a kapott jelest a matematika vizsgán Véletlenszer en kiválasztunk egy hallgatót Feltéve, hogy olyan hallgatót választottunk, akinek jelese van matematikából, mi a valószín sége, hogy az illet ú? P (ú jelese van matematikából) = 0, 252 46 Feladat: Egy üzemben 3 gép van, az els adja a termelés 40%-át, a második az 35%-át, a harmadik pedig a 25%-át Az els és a harmadik gép 5% selejtet termel, a második 8%-ot Mi a valószín sége, hogy az üzem termékei közül egyet kiválasztva az selejtes lesz? P (selejt) = 0, 0605 47 Feladat: Egy üzemben 3 gép van, az els adja a termelés 40%-át, a második az 35%-át, a harmadik pedig a 25%-át Az els és a harmadik gép 5% selejtet termel, a második 8%-ot Mennyi a valószín sége, hogy ha találunk egy selejtes terméket, azt az els gép gyártotta? P (els gép gyártotta selejt) = 0, 3306 48 Feladat: Egy zöldséges kétfajta almát árusít Árujának 75%-a Idared, 25%-a Jonagold Az Idared 80%-a I osztályú, a jonagold 70%-a I osztályú Egy almát véletlenszer en kiválasztva, mennyi a valószín sége, hogy az els osztályú lesz? P (I osztályú) = 0, 775 49 Feladat: Egy zöldséges kétfajta almát árusít Árujának 75%-a Idared, 25%-a Jonagold Az Idared 80%-a I osztályú, a Jonagold 70%-a I osztályú Egy almát véletlenszer en kiválasztunk Feltéve, hogy a kiválasztott termék els osztályú, mi a valószín sége, hogy Idaredet választottunk? P (Idared I osztályú) = 0, 774 50 Feladat: Egy üzemben feleannyi n dolgozik, mint fér A n k 2%-a, a férak 5%-a balkezes 6
Mi a valószín sége, hogy egy véletlenszer en kiválasztott dolgozó nem balkezes? P (balkezes) = 0, 04 5 Feladat: Egy üzemben feleannyi n dolgozik, mint fér A n k 2%-a, a férak 5%-a balkezes Véletlenszer en kiválsztunk egy dolgozót Feltéve, hogy a kiválasztott dolgozó balkezes, mi a valószín sége, hogy n? P (n balkezes) = 0, 667 6 Eloszlás és eloszlásfüggvény 52 Feladat: Határozza meg P (3 < ξ < 5) valószín séget! P (3 < ξ < 5) = 8 27 8 25 53 Feladat: Határozza meg P (ξ > 5) valószín séget! P (ξ > 5) = 27 25 54 Feladat: Határozza meg P (ξ > 5 ξ < 7) valószín séget! P (ξ > 5 ξ < 7) = 27 5 3 27 7 3 27 7 3 55 Feladat: Határozza meg P (ξ 4) valószín séget! P (ξ 4) = 64 56 Feladat: Határozza meg P ( 7 ξ 7) valószín séget! P ( 7 ξ 7) = { 8x 3 ha x > 2 { 27x 3 ha x > 3 { 27x 3 ha x > 3 { x 3 ha x > 0 ha x x 3 26 ha < x 3 ha x > 3 7
57 Feladat: Határozza meg P ( < ξ < 4) valószín séget! P ( < ξ < 4) = 5 26 58 Feladat: Egy ξ valószín ségi változó eloszlása: Írja fel ξ eloszlásfüggvényét! 0 ha x 4 0, 2 ha 4 < x 6 F (x) = 0, 7 ha 6 < x 0 ha x > 0 0 ha x 2 x 2 26 ha 2 < x 6 ha x > 6 { 4 6 0 0, 2 0, 5 0, 3 { 2 0 2 59 Feladat: Egy ξ valószín ségi változó eloszlása: 0, 0, 3 0, 4 0, 2 Írja fel ξ eloszlásfüggvényét! 0 ha x 2 0, ha 2 < x F (x) = 0, 4 ha < x 0 0, 8 ha 0 < x 2 ha x > 2 { 3 60 Feladat: Egy ξ valószín ségi változó eloszlása: 0, 2 0, 5 0, 3 Határozza meg P ( < ξ 3) valószín séget! P ( < ξ 3) = 0, 8 { 2 0 2 6 Feladat: Egy ξ valószín ségi változó eloszlása: 0, 0, 3 0, 4 0, 2 Határozza meg P ( ξ 2) valószín séget! P ( ξ 2) = 0, 9 { 2 0 2 62 Feladat: Egy ξ valószín ségi változó eloszlása: 0, 0, 3 0, 4 0, 2 Határozza meg P ( ξ 2) valószín séget! P (ξ ξ < 2) = 0, 875 { 4 6 0 63 Feladat: Egy ξ valószín ségi változó eloszlása: 0, 2 0, 5 0, 3 Határozza meg P (ξ 5) valószín séget! P (ξ 5) = 08 { 2 3 5 64 Feladat: Egy ξ valószín ségi változó eloszlása: 0, 4 0, 0, 5 8
Határozza meg P (ξ 3) valószín séget! P (ξ 3) = 05 65 Feladat: Egy 32 lapos magyar kártyából visszatevéssel 2 lapot húzok A ξ valószín ségi változó értéke legyen egyenl a húzott hetesek számával Írja fel ξ eloszlását, majd határozza meg annak a valószín ségét, hogy ξ legfeljebb! { 0 2 A ξ valószín ségi változó eloszlása: P (ξ ) = 0, 9844 66 Feladat: Egy 32 lapos magyar kártyából húzok lapot A ξ valószín - ségi változó értéke legyen 2, ha pirosat húzok, -2, ha zöldet, különben 4 Írja fel ξ eloszlását, majd határozza meg annak a valószín ségét, hogy ξ legalább 2! { 2 2 4 A ξ valószín ségi változó eloszlása: P (ξ 2) = 0, 75 67 Feladat: Egy dobókockát egyszer feldobok A ξ valószín ségi változó értéke legyen 3, ha páros számot dobok, 0, ha egyet vagy hármat, különben pedig - Írja fel ξ eloszlását, majd határozza meg annak a valószín ségét, hogy ξ nagyobb mint 2! { 0 3 A ξ valószín ségi változó eloszlása: P (ξ > 2) = 0, 5 49 64 4 6 7 32 4 3 64 2 2 7 S r ségfüggvény 68 Feladat: Vizsgáljuk meg, hogy az alábbi f(x) { függvény lehet-e egy valószín ségi változó s r ségfüggvénye: f(x) = x 2 ha x > Igen lehet, mivel f(x) 0 minden x R és f(x)dx = 9
69 Feladat: Vizsgáljuk meg, hogy az alábbi f(x) { függvény lehet-e egy valószín ségi változó s r ségfüggvénye: f(x) = 2 2x ha 0 < x < Igen lehet, mivel f(x) 0 minden x R és f(x)dx = 70 Feladat: Határozza meg ξ s r ségfüggvényét! { 8x 3 ha x > 2 7 Feladat: f(x) = { 24x 4 ha x > 2 Határozza meg ξ s r ségfüggvényét! { 8 f(x) = x 4 ha x > 3 72 Feladat: Határozza meg ξ s r ségfüggvényét! { 0, 05e 0,05x ha x > 0 f(x) = { 27 x 3 ha x > 3 { e 0,05x ha x > 0 73 Feladat: Határozza meg ξ s r ségfüggvényét! 0 ha x x 3 330 ha < x ha x > 74 Feladat: F (x) = { 3x 2 330 ha < x < Határozza meg P (ξ < 5) valószín séget! P (ξ < 5) = 2 25 0 { 8 x 3 ha x > 2
75 Feladat: Határozza meg P (4 < ξ < 0) valószín séget! P (4 < ξ < 0) = 0, 2 { 8 x 3 ha x > 2 76 Feladat: { x 8 ha 0 < x < 4 Határozza meg P (ξ > 2) valószín séget! P (ξ > 2) = 3 4 77 Feladat: Határozza meg P ( < ξ < ) valószín séget! P ( < ξ < ) = 0, 5 { 3x 2 3x2 4 ha 0 < x < 2 78 Vizsgafeladat: Határozza meg a értékét! a = 4 { a x 5 ha x > 79 Vizsgafeladat: Határozza meg a értékét! a = 0, 25 { a x ha 4 < x < 6 80 Vizsgafeladat: Határozza meg a értékét! a = 3 { x 2 + 2x + a ha 0 < x < 8 Várható érték (már nem lesz a zh-ban) { 4 6 0 8 Feladat: Egy ξ valószín ségi változó eloszlása: 0, 2 0, 5 0, 3 Határozza meg ξ várható értékét és szórásnát! M(ξ) = 6, 8, D(ξ) = 4, 96 = 2, 23 { 3 82 Feladat: Egy ξ valószín ségi változó eloszlása: 0, 2 0, 5 0, 3 Határozza meg ξ várható értékét és szórásnát!
M(ξ) =, 2, D(ξ) =, 96 { 2 0 2 83 Feladat: Egy ξ valószín ségi változó eloszlása: 0, 0, 3 0, 4 0, 2 Határozza meg ξ várható értékét és szórásnát! M(ξ) = 0,, D(ξ) =, 49 { 0 84 Feladat: Egy ξ valószín ségi változó eloszlása: 0, 3 0, 7 Határozza meg ξ várható értékét és szórását! M(ξ) = 0, 7, D(ξ) = 0, 2 85 Feladat: Határozza meg ξ várható értékét és szórását! M(ξ) = 4, D(ξ) = nem létezik { 8 x 3 ha x > 2 86 Feladat: Határozza meg ξ várható értékét és szórását! M(ξ) = 3 2, D(ξ) = 3 2 { 3 x 4 ha x > 87 Feladat: { x 8 ha 0 < x < 4 Határozza meg ξ várható értékét és szórását! M(ξ) = 8 3, D(ξ) = 2 2 3 88 Feladat: { 7 ha < x < 6 Határozza meg ξ várható értékét és szórását! M(ξ) = 2, 5, D(ξ) = 7 2 89 Feladat: Határozza meg ξ várható értékét és szórását! M(ξ) =, D(ξ) = 5 { 3x 2 3x2 4 ha 0 < x < 2 2