64 Hsonlóság Háromszögek hsonlóságávl megoldhtó feldtok 0 0 Húzzuk meg négyszög AC átlóját! Alklmzzuk párhuzmos szelôk tételének megfordítását z ABC AC és A B szelôire: AC ; A B Alklmzzuk párhuzmos szelôszkszok tételét z ABC AC és A B párhuzmos szelôire: AC : A B :& A B AC Hsonlón eláthtó, hogy AC ; C D és C D AC A fentiekôl következik, hogy A B ; C D és A B C D & A B C D prlelogrmm 0 Az 0 ár jelöléseit hsználjuk Alklmzzuk párhuzmos szelôk tételének megfordítását z ABC AC és A B szelôire: AC ; A B Alklmzzuk párhuzmos szelôk tételének megfordítását z ADC AC és C D szelôire: AC ; C D A fentiekôl következik, hogy C D ; A B Hsonlón eláthtó, hogy A D ; B C Az új négyszög szemközti oldlegyenesei párhuzmosk, tehát prlelogrmm 0 Az 0 ár jelöléseit hsználjuk Alklmzzuk párhuzmos szelôk tételének megfordítását z ADC AC és C D szelôire: AC ; C D Hsonlón eláthtó, hogy AC ; A B & & C D ; A B & A B C D trpéz Alklmzzuk párhuzmos szelôszkszok tételét z ADC AC és C D párhuzmos szelôire: D C : AC : Hsonlón eláthtó, hogy A B : AC :& D C : A B : 04 Az 0 ár jelöléseit hsználjuk Legyen D B és A C szkszok metszéspontj M Alklmzzuk párhuzmos szelôk tételének megfordítását z ADC AC és C D szelôire, vlmint z ABC AC és A B szelôire: AC ; C D és AC ; A B & C D ; A B A párhuzmos szelôszkszok tételét lklmzv ugynezekre szögekre és szelôkre: D C : AC : és A B : AC : A párhuzmosság mitt D MC + B MA, mert szögeik páronként egyenlôk A hsonlóság rány: m AB AC AM A másik két oldlpár rány: DC MC AC B M A szkszok : rányn osztják egymást MD 05 eset: H két háromszög ugynn félsíkn vn és egyenlô mgs, kkor E; F; G; H ugynn félsíkn ugynolyn messze vn AB egyenesétôl & egy egyenesen vnnk eset: Egyéként: Alklmzzuk párhuzmos szelôk tételének megfordítását z AC B, illetve 05/ 05/
Háromszögek hsonlóságávl megoldhtó feldtok 65 AC B szögek GF és AB, illetve HE és AB szelôire: GF ; AB és HE ; AB & GF ; HE Alklmzzuk párhuzmos szelôszkszok tételét fenti szögekre és szelôkre: GF : AB : és HE : AB :, ezért GF HE Az láhúzottkól következik, hogy EFGH prlelogrmm 06 Alklmzzuk párhuzmos szelôk tételét DBA DA és MP párhuzmos szelôire: DM : MB AP : PB Alklmzzuk párhuzmos szelôk tételét DBC DC és MQ párhuzmos szelôire: DM : MB CQ: QB Az láhúzottkól AP : PB CQ : QB A párhuzmos szelôk tételének megfordítását lklmzzuk z ABC AC és PQ szelôire: AC ; PQ 07 Az átlók : rányn osztják egymást 08 Legyen F BC oldl, F z AC oldl felezéspontj Legyen F A + F B S súlypont F F háromszög középvonl, tehát F F ; AB és F F AB : ABS + F F S, mert szögeik AB AS BS páronként egyenlôk A hsonlóság rány m & Az állítás ár- FF SF SF mely két súlyvonlr hsonlón eláthtó 09 Legyen T z átfogóhoz trtozó mgsság tlppontj ATC + CTB, mert szögeik páronként egyenlôk A hsonlóság rány: m & A megfelelô oldlk: CT AT és TB CT & & TB $ AT 4AT & AT : TB :4 0 DE 4 cm A AT + CAT, mert szögeik páronként egyenlôk m & A T mc B BT + CBT, mert szögeik páronként egyenlôk m & B T mc A fentiekôl következik, hogy B T A T Az állítás derékszögû háromszögre is érvényes, ott zonn nem létezik z A AT A T AC és B T AC & B T A T ) Legyen AC + H F 4 M AF 4 M + CH M, mert szögeik páronként egyenlôk & & m :& H M : MF 4 :, tehát z AC átló : rányn osztj H F 4 szkszt ) Legyen AC + H F 5 M CH M + AF 5 M, mert szögeik páronként egyenlôk & m :& & H M : MF 5, tehát z AC átló : rányn osztj H F 5 szkszt AB BM ABM + FDM, mert szögeik páronként egyenlôk & m & DF MD AM DN AN : Hsonlón eláthtó, hogy : MF NB NG 4 Húzzunk párhuzmost E-n át AB-vel " G és H GE tégllp középvonl & GH z AFD középvonl & H felezi AF-et & GH $ & HE HEM + FDM, 4 4 4
66 Hsonlóság 7 HE mert szögeik páronként egyenlôk 4 m & FD & HM : MF : és EM : MD : & HM x, MF x és H felezi AF-et, ezért AH HF 5x & AM 8x és MF x & AM : MF 4: 5 Legyenek A, A, ill B, B szárk hrmdolópontji z lptól szárk metszéspont- j felé hldv ABC + A B C, mert szögeik páronként egyenlôk & A B Legyen e(a ; B ) + e(a; B) M BMB, B A B, mert B B BB, BB M B B A (csúcsszögek), B BM B B A (váltószögek) & A B MB & MB Megjegyzés: z állítás Menelosz tételének megfordításávl is izonyíthtó AP 6 Legyen BP + AC M AMP + CMB, mert szögeik páronként egyenlôk m CB AP AM PM & & MC n $ AM DA n MC MB n AM AC AM + MC AM + n $ AM (n + ) $ AM & AC n + 7 Legyen AF + CB P! APB + AFE, mert szögeik páronként egyenlôk m AB AE PB AB ; m & PB $ Legyen DE + CB Q! EQB + EDA, FE AB + BE + + BE BQ BE mert szögeik páronként egyenlôk m ; m & QB $ AE AD AB + BE + + A fentiekôl: PB QB, ezért P / Q, tehát AF és DE CB szkszon metszik egymást 8 PAF + PCG, mert mindkettô derékszögû, és FAP GCP, mivel kören BP PF PA íven nyugvó kerületi szögek & PHA + PEC, mert mindkettô derékszögû és PG PC DAPC húrnégyszög mitt z A-nál lévô { szög egyenlô C- 8 PH PA nél lévô külsô szöggel & Az láhúzott egyenlôségekôl: & PF $ PE PG $ PH H P vlme- PG PE PE PC PF PH lyik csúccsl zonos, kkor z csúcs futó oldlktól vló távolság 0, tehát mindkét szorzt 0, z állítás igz 9 Legyen mgsságpont M, z A-ól induló mgsság tlppontj A, B-ôl indulóé B AMB + BMA, mert mindkettô derékszögû és M-nél lévô szögeik csúcsszögek m & AM $ MA AM BM BM AM BM $ MB
Háromszögek hsonlóságávl megoldhtó feldtok 67 0 ABCD tégllp & AC kör átmérôje & Thlész tétele mitt APC 90 ; PAE CPF, mert merôleges szárú hegyesszögek (PC AP, PF AE) & AEP + PFC, mert szögeik páronként egyenlôk & AEPG tégllp hsonló z FCHP tégllphoz BA 5, cm és A C 5,75 cm Legyen derékszögû csúcs C, szárkon lévô osztópontok A, A, ill B, B, négyzet AB-n levô csúcsi P és Q, AB felezôpontj F A B C + ABC, mert két-két oldluk 0 AC rány és z áltluk ezárt szög egyenlô m & AC & AB AB APA + AFC, mert szögeik páronként AA egyenlôk m & A P CF CF AB mitt A P $ AB AB Hsonlón megmutthtó, hogy BQ AC AB & A B A P B Q és A PQ PQB 90 & & A B QP négyzet Húzzuk meg C-ôl induló súlyvonlt: CC Felhsználjuk, hogy egyenlô szárú derékszögû háromszög átfogóhoz trtozó súlyvonl merôleges z átfogór és fele olyn hosszú CC + AD S z ABC súlypontj ABD + ASC, mert mindkettô derékszögû és z A csúcsnál lévô szögük közös & DB CS AD AC AC AC CC AC DE 4 DCE + BFC, mert szögeik páronként egyállású szögek, tehát egyenlôk m BC DC q, zz & pq& pq BF p 5 Állítás: h rm AOF + BAC, mert mindkettô derékszögû, és OAB ABC, h AO AF r hiszen váltószögek m, zz & h rm& h rm AB BC h m 4 5
68 Hsonlóság 6 Legyen CD húrr merôleges átmérô AB! Thlész tétele mitt ACB C-en derékszögû, CT z átfogóhoz trtozó mgsság A mgsságtételt lklmzv z ACB-re: h m$ _ r- mi& h m_ r-mi 7 Állítás: r xy AOTD és BOTC négyszögek deltoidok, mert két-két szomszédos oldluk egyenlô DO felezi z AOT -et és CO felezi BOT -et AOT és BOT mellékszögek, tehát szögfelezôik merôlegesek egymásr & DOC 90 7 OTCD, mert z érintô merôleges z érintési pont húzott sugárr Alklmzzuk mgsságtételt z ODC derékszögû háromszögre: OT DT $ TC DT DA x és TC CB y, mert z érintôszkszok hossz egyenlô & r OT xy 8 Állítás: AB AD $ AC ABC + ADB, mert z A csúcsnál lévô szögük közös, B-nél, AB AC illetve D-nél lévô szögük pedig A hsonlóság rány: m & AB AD $ AC & AD AB & AB AD $ AC 9 Legyenek z ABCD trpéz eírt körének érintési pontji AB-n E, BC-n G, CD-n F és DA-n H A trpéz egy száron lévô szögeinek összege 80, tehát EBC + BCF + 80 A eírt kör középpontj szögfelezôk metszéspontj A húrtrpéz lpon fekvô szögei egyenlôk EBO + FOD, mert mindkettô derékszögû, és + 80 & + 90, tehát szö- geik egymás pótszögei & AEOH + BEOG + OGCF + OFDH 0 0 Állítás: x pq APS + RQB, mert mindkettô derékszögû, és z egyformán jelölt szögek merôleges szárú hegyesszögek m, zz & x pq& x pq QB RQ q x PS AP x p Állítás: AB BC $ BP Kössük össze P-t A-vl! ABP egyenlô szárú, mert FP merôlegesen felezi z AB szkszt ABC + + PAB, mert mindkettô egyenlô szárú és B-nél lévô szögük közös m & AB BC $ BP, tehát AB BC $ BP AB BC BP AB Állítás: AB AC$ BD APB derékszögû Thlész tétele mitt DBA CAB 90, mert z érintô merôleges z érintési pont húzott sugárr APB hegyesszögei: és & AC AB & ACB és ADB & ACB + BAD m & AB BD & AB AC $ BD, tehát AB AC $ BD BAM ABM APB c, mert ugynzon íven nyugvó kerületi szögek E és T pontól z AP szksz 90 ltt látszik, ezért E és T rjt vnnk z AP szksz Thlész körén, k -en & 7 EAP ETP, mert ugynzon íven nyugvó kerületi szögek k -en Jelöljük z ABP PAB -ét -vl, PBA -ét -vl! ABP elsô szögeinek összege c + + 80 Az A csúcsnál z érintô
Szelôdrok szorzt 69 két félegyenese egyenesszöget lkot: c + + EAP 80 Az láhúzottkól EAP, 7-ól ETP EATP húrnégyszögen EAT + & EPT c Hsonlón megmutthtó, hogy F és T rjt vnnk PB Thlész körén, k -n, TBFP húrnégyszögen TBF +, TPF c és TFP, mert k kör ugynzon ívén nyugvó kerületi szögek ETP + TFP, mert szögeik páronként egyenlôk (P csúcsnál c; T, ill F csúcsnál ) EP PT m & PT EP $ PF & PT PT PF EP $ PF, és ezt krtuk elátni 4 Legyen T C-ôl induló mgsság tlppontj Állítás: CT TA TB $ CAB + 90 & CAT 90 - & & ACT & ACT + CBT, mert mindkettô derékszö- AT TC gû és egyik hegyesszögük & m & TC TC TB AT $ TB & TC TA $ TB 5 Állítás: T BDC TABCTDEC Legyen z ABC C-ôl induló mgsság m c, DEC C-ôl DE $ m DE $ _ mc- mi DE $ mc induló mgsság m! T BDC T DEC + T DEB + T ABC AB $ m c és T DEC DE $ m AB$ DE $ mc $ m & 7 T ABC $ T DEC, ABC + DEC, mert egy szögük közös, 4 DE m másik két szögpárjuk egyállású & m & AB $ m DE $ m AB m c Ezt 7 összefüggése c helyettesítve T ABC $ T DEC DE m J $ N c K _ TBDC & O i T BDC T $ T L P ABC DEC 6 Állítás: T DPE TAPD $ TPBE APD + PBE, mert DA m p szögeik páronként egyállású szögek m & EP m & 7 DA $ m EP $ m p T DAP DA $ m p és T EPB EP $ m & DA $ mp EP $ m & T DAP $ T EPB $ A 7 összefüggést felhsználv T DAP $ T EPB EP m J $ N p K _ TEPD & O i T DPE TAPD $ TPBE L P Szelôdrok szorzt 6 7 Legyen z érintési pont E, szelônek körrel vló metszéspontji pedig A (P-hez közelei) és B EPB + APE, mert P-nél lévô szögük közös, és AEP ABE, mivel k kör EP BP AE ívén nyugvó kerületi szögek m & EP AP $ BP & EP AP $ BP AP EP
70 Hsonlóság 4 8 Legyenek szelôkön P-hez közelei metszéspontok A, ill A, távolik B, ill B PB A + PB A, mert P-nél lévô szögük közös, PB A és PB A pedig k kör ugynzon ívén nyugvó kerületi szögek, tehát egyenlôk m & PA PA PB PA PB $ PB PA $ PB 9 Legyenek z egyik szelô végpontji A és B, z átmérôre merôleges másik szelôé C és D PBC + PDA, mert P-nél lévô szögeik csúcsszögek, CBP és CDA pedig k kör ugynzon ívéhez trtozó kerületi szögek, tehát BP CP egyenlôk m, miôl CP PD h h h h -t felhsználv: BP $ PA & & PD PA 4 4 h & BP $ PA 40 Legyenek z egyik szelô végpontji A, B, másik szelôé A, B PA A + PB B, mert P-nél lévô szögeik csúcsszögek, PB B és PA A pedig k kör ugynzon ívéhez trtozó kerületi szögek, tehát egyenlôk m & PA PB PB PA PA $ PB PA $ PB 4 A DC húrr rjzolt négyzet területe h Az AF és BF oldlú tégllp területe AF $ BF Alklmzzuk szelôdrok szorztáról szóló tételt z F ponton átmenô DC és AB szelôkre! FA $ FB FD $ FC, zz FA $ FB h $ h & 4 $ FA $ FB h, mi izonyítndó állítás 4 46 4 Tekintsük z ABAl körülírt körének PAl-vel vló X metszéspontját A szelôdrok szorztár vontkozó tételt P-ôl induló szelôkre lklmzv: PA $ PB PAl $ PX, zz $ l $ x A feltétel szerint $ l $ l, ezért l x & Bl / X, tehát Bl; A; B; Al egy körön vnnk 4 Tekintsük z ABAl körülírt körének PAl-vel vló X metszéspontját A szelôdrok szorztár vontkozó tételt P-ôl induló szelôkre lklmzv: PA $ PB PAl $ PX, zz $ l $ x A feltétel szerint $ l $ l, ezért l x & Bl / X, tehát Bl; A; B; Al egy körön vnnk 44 HA, illetve HAl H ponton át k-hoz húzott két szelô A szelôdrok szorztár vontkozó tétel mitt HA $ HB HAl $ HBl 45 Legyen E körök érintési pontj, P közös érintô tetszôleges pontj, A és B k kör és z egyik szelô, A és B k kör és másik szelô közös pontj P-ôl k körhöz húzott szelôre szelôdrokr vontkozó összefüggés: PA $ PB PE P-ôl k -höz húzott szelôre: PA $ PB PE A két egyenlôségôl PA $ PB PA $ PB A B PB szárin lévô PA, PB, illetve PA, PB szkszokr teljesül z 4 feldt feltétele E feldt állítás szerint A, A, B, B egy körön vnnk A izonyítás során nem hsználtuk ki, hogy két kör kívülrôl érinti egymást 46 Legyen AB + e H! A k körre szelôdrokr vontkozó összefüggés: HA $ HB HE Húzzunk H-ól Al-n át szelôt kl-höz! Legyen második metszéspont Bll
Szelôdrok szorzt 7 47 48 A kl körre vontkozón: HAl $ HBll HE A két egyenlôségôl: HA $ HB HAl $ HBll A BHBll szárir teljesül z 4 feldt feltétele, így feldt állítás szerint A, Al, Bll és B egy körön vnnk A, Al és B köre kll kör, tehát Bll! kll A kl és kll körök közös pontji Al, Bll és Bl, mi Bll / Bl-t kell jelentse & e(al; Bl) + e H 47 eset: H AB ; e, kkor f AB + e E z érintési pont Egyértelmû megoldás eset: AB nem párhuzmos e-vel A szerkesztés: Vegyünk fel egy A-n, B-n átmenô tetszôleges kl kört! AB + e H H-ól érintô kl-höz " E 4 H középpontú, HE sugrú k H kör 5 k H + e E i 6 ABE i körülírt köre: k ndoklás: k és kl közös húrjár és H-ól húzott érintôire HE HA $ HB HE & HE HE megoldás vn 48 Adott: A; B; kl eset: Ol!Y f AB A szerkesztés: Vegyünk fel egy A-n, B-n átmenô tetszôleges kll kört, mi metszi kl-t! kl + kll {P; Q} e(p; Q) + e(a; B) H 4 H-ól érintôt szerkesztünk kl-höz " E ; E 5 ABE körülírt köre: k ABE körülírt köre: k ndoklás: A k, illetve k kör érinti kl kört A kll kör metszi k -et és kl-t, illetve k -t és kl-t Az 46 feldt feltételei teljesülnek fenti körökre, így AB + PQ H független kll segédkörtôl, HE HE -t egyértelmûen meghtározz eset: Ol! f AB Ekkor PQ ; AB & f AB + kl lesz z érintési pont megoldás lehet 49 Tudjuk, hogy mgsságpont oldlegyenesekre vontkozó tükörképe körülírt körön vn Alklmzzuk szelôdrok szorztár vontkozó tételt z M ponton átmenô szelôkre! MC $ MM c MB $ MM MA $ MM & MC $ MC MB $ MB MA $ MA & MC $ MC MB $ MB MA $ MA 49/ 49/ 49/
7 Hsonlóság 50 50 Állítás: f c $ c $ c Legyen CP szögfelezônek körülírt körrel vló metszéspontj D A P-n átmenô AB és CD szelôkre lklmzzuk szelôdrok szorztár vontkozó tételt: f c $ x c $ c Az ADC és z ABC ugynzon íven nyugvó kerületi szögek, tehát egyenlôk ADC + PBC, mert szögeik páronként egyenlôk & A megfelelô oldlk rány egyenlô, zz : f c ( f c + x): & f c $ ( f c + x) f c + + c $ c & f c $ - c $ c 5 Az 50 feldtn láttuk, hogy f c $ - c $ c & & f c < & f c < Hsonlóságon lpuló szerkesztések Az 5 55 feldt megoldását z olvsór ízzuk 56 Legyen szög csúcs M A szerkesztés: Vegyünk fel z e és f szárkon MAl és MBl MBl szkszokt úgy, hogy Húzzunk párhuzmost AlBl-vel P-n át " A; B AMB + MAl BM MBl + AlMBl, mert szögeik páronként egyenlôk Egyértelmû megoldás AM MA l AT 57 Adott: c; m c ; rány, hol T z mc mgsság tlppontj A szerkesztés: AlTl és TB TlBl szksz felvétele egy egyenesen úgy, hogy AlTl : TlBl AT : TB legyen Tl-en merôleges AlBl-re : ml AlBl c szögû látószögköríve: k c 4 k c + m C & C T m c 5 Alklmzzunk A B C -re rányú hsonlóságot " ABC Megjegyzés: h AT : TB < 0, kkor Al m c ml c elválsztj Tl-t és Bl-t Két egyevágó megoldás vn 58 Adott: + - c; ; A szerkesztés: Szerkesszünk AlBlCl-et és szögekkel! + -c Adjuk meg z (l + l - cl) szkszt! Alklmzzunk AlBlCl-re rányú hsonlóságot " ABC Egyértelmû megoldás l+ l- c l 59 Felhsználjuk: Az O középpontú hsonlóság z e-vel párhuzmos, szögszárkt összekötô AlCl-t vele párhuzmos szksz viszi, tehát teljesül z elsô feltétel A fenti hsonlóság Cl-t OCl egyenesére, tehát d szög egyik szárár, Al-t d szög másik szárár viszi, tehát teljesül második feltétel m mitt Bl képe B A szerkesztés: Szerkesszünk AlBlCl-et OB OBl d szög szári közé úgy, hogy AlCl;e, Bl! OB és ClAl ClBl legyen! Alklmzzunk O középpontú hsonlóságot z AlBlCl-re úgy, hogy Bl képe B legyen! " ABC H z AlBlCl segédháromszöget úgy vesszük fel, hogy ClAl;e és ClAl AlBl legyen, kkor új két megoldást kphtunk ; vgy 4 megoldás lehet 60 Adott: A; ; d; e Felhsználjuk: Az O középpontú hsonlóság BlCl-t vele párhuzmos szksz viszi, tehát teljesül BC ; e feltétel A fenti hsonlóság Cl-t OCl egyenesére, tehát OA d szög egyik szárár, Bl-t másik szárár viszi, tehát teljesül C! c és B! feltétel m OAl
Hsonlóságon lpuló szerkesztések 7 mitt Al képe A A szerkesztés: A szerkesztendôvel hsonló AlBlCl-et szerkesztünk: ) e-vel párhuzmos ClBl szksz d szári között ) ClDl szögû látószögköríve: k c) k + AO A AlBlCl-et O középpontú hsonlóságnk vetjük lá úgy, hogy Al képe A legyen " ABC vgy megoldás lehet 6 Adott: c; - c d Felhsználjuk: H c <60, kkor > c & d - c H c 60, kkor c & d 0 kell legyen, csk ekkor szerkeszthetô háromszög H c >60, kkor c>& d c - A szerkesztés: c szárszögû AlBlCl-et szerkesztünk, lpj cl, szár l dl l-cl szksz felvétele d Alklmzzunk rányú hsonlóságot AlBlCl- dl re " ABC 0; vgy végtelen sok megoldás lehet 6 A szerkesztés: ABC-höz hsonló AlBlCl-et szerkesztünk: ) C csúcsú felvétele ) egyik szárár tetszôleges CBl szksz c) felezô félegyenese d) szögfelezôre CBl-vel egyenlô szksz felvétele " Pl e) BlPl egyenesének és másik száránk metszéspontj Al & BlAl cl Alklmzzunk rányú C középpontú hsonlóságot z AlBlCl-re " c c " ABC Egyértelmû megoldás l 6 A szerkesztés: ABC-höz hsonló AlBlCl-et szerkesztünk: ) C csúcsú c szög felvétele " e; f ) e félegyenesre tetszôleges CAl szksz c) c szögfelezôjére CAl-vel egyenlô szksz felvétele " Pl d) AlPl + f Bl & AlBl cl c Alklmzzunk C középpontú rányú hsonló- c l ságot AlBlCl-re " ABC c $ 0 esetén nincs megoldás, c < 0 esetén egyértelmû megoldás 64 A szerkesztés: Szerkesszünk z A csúcshoz egy, feltételnek eleget tevô toldássl hsonló ADlElBl trpézt, melyre ADl DlEl ElBl Alklmzzunk olyn A középpontú hsonlóságot, melynek során El képe CB egyenesen vn " D; E H c $ 60, kkor nincs megoldás 65 Legyen AC BC és BC oldl felezôpontj F A szerkesztés: ABC-höz hsonló AlBlCl-et szerkesztünk: ) F csúcsú { szög felvétele " s; ) F-ôl tetszôleges egyenlô szkszok felvétele -r " Bl; Cl c) Cl középpontú, ClBl sugrú kör: k s d) k + s Al & AlF s l F középpontú rányú középpontos hsonlóság AlBlCl-et ABC-e sl viszi Egyértelmû megoldás 66 eset: H s c >m c, kkor szerkesztés: CTF szerkesztése m c és s c felhsználásávl A szerkesztendôhöz hsonló AlBlCl szerkesztése úgy, hogy F z AlBl felezéspontj legyen: ) F-ôl tetszôleges egyenlô szkszok felmérése FT egyenesre " Al; Bl ) AlBl c szögû látószögköríve: k c 60 64 66
74 Hsonlóság 67 m c c) k c + e(f; C) C F középpontú rányú hsonlóság AlBlCl-et ml c ABC-e viszi eset: H s c m c, kkor háromszög egyenlô szárú 0 vgy megoldás lehet 67 A szerkesztés: ATF szerkesztése m, és s felhsználásávl A szerkesztendôhöz hsonló AlBlCl szerkesztése úgy, hogy F legyen BlCl szár felezéspontj: ) F-ôl tetszôleges szkszok felvétele FT egyenesére " Bl; Cl ) Cl középpontú, ClBl sugrú kör: k c) k + AF s Al & AlF s l F középpontú rányú hsonlóság z AlBlCl-et sl z ABC-e viszi H s < m, kkor nincs megoldás H s m, kkor háromszög szályos H s > m, kkor háromszög egyenlô szárú, de nem szályos 68 Az ); ); c); d); e) és f) feldtrészeken egy tetszôleges szög szárit párhuzmos egyenesek metszik Alklmzzuk rájuk párhuzmos szelôk tételét! ) x & x ) x & c) x &, egyik szögszáron és, másikon " x x x c d) x&, egyik szögszáron és, másikon " x e) x &, egyik x c x szögszáron c és, másikon " x f) x &, egyik szögszáron és, másikon " x x g) Alklmzzuk mgsságtételt z + átfogójú derékszögû -re h) Alklmzzuk mgsságtételt z + átfogójú derékszögû -re $ m T 69 Írjuk fel háromszög területét háromféleképpen! T & m, hsonlón $ m T c$ mc T T T T T & m és T & mc m c : m : m c : : : : c c 70 Felhsználjuk z 69 feldt állítását: m : m : m c : : A szerkesztés: c ABC-höz hsonló AlBlCl szerkesztése: ) Tetszôleges AlBl cl szksz felvétele ) : cl l mc m mc m m c l : m l m c : m & " l szksz c) : ml l cl cl l c : m l m c : m & " l cl " l szksz d) AlBlCl megszerkesztése l, l, cl szkszokól " m l, m l, m c l Alklmz- szk- m c zunk rányú hsonlóságot AlBlCl-re " ABC Nincs megoldás, h,, ml c m m m szokr nem teljesül háromszög-egyenlôtlenség c 68/ 68/
Hsonlóságon lpuló szerkesztések 75 7 Az 69 feldtól tudjuk, hogy m : m : m c : : & : : c : : c m m mc A szerkesztés: Tetszôleges Kl szkszt osszunk fel : : rányn " l, l, cl szksz Szerkesszünk háromszöget l, l, cl oldlkkl " AlBlCl Adjuk meg AlBlCl e- m m mc r0 írt körének sugrát: r 0 l 4 Alklmzzunk rányú hsonlóságot z AlBlCl-re " ABC r l0 Nincs megoldás, h,, szkszokr nem teljesül háromszög-egyenlôtlenség m m mc 7 Az 69 feldtól tudjuk, hogy m : m : & : : A szerkesztés: m m Osszuk fel z ( + ) szkszt : rányn ", szksz O középpontú, R su- m m grú kör: k k-n közös C kezdôpontú és hosszúságú húrok felvétele " A és B 0; vgy - egyevágó megoldás lehet 7 A szerkesztés: O középpontú, R sugrú kör: k Tetszôleges C pontól húzzunk átmérôt és mérjük rá z egyenesére (c + m c ) szkszt " C* C*FB derékszögû háromszögen C*F : FB c : c :, ezért C*F*B* derékszögû háromszög szerkesztése C*F*:F*B* : rányú efogókkl 4 C* középpontú hsonlóságot lklmzunk C*F*B*-re úgy, hogy B* képe k körön legyen " B ; B 5 B -et, B -t tükrözzük CC*-r " A ; A megoldás vn, h C* kör külsô vgy elsô pontj megoldás vn, h C* kör pontj 74 Felhsználjuk: Az AE + AE O, mert mindkettô derékszögû és A-nál lévô szögeik csúcsszögek AE s - ; AE s - c, hol s ( + + c) : Ezt hsonlóságnál felhsználv AE EO c s- rc s- r s- rc m, zz Hsonlón eláthtó, hogy és AE EO s- c r s - r s - c r r sl A szerkesztés: Felveszünk egy tetszôleges (sl - l) szkszt - l rányt felhsználv negyedik rányos szerkesztésével (sl - l) megszerkesztése sl - l + sl - l cl r sl - l oldl 7 74
76 Hsonlóság 76 77 78 fenti két szksz összege 4 Hsonlón juthtunk z l és l szkszokhoz is 5 l; l; cl " r " c AlBlCl 6 AlBlCl hsonló szerkesztendôhöz, pl rányú középpontos hsonlósággl ABC-höz jutunk 0 vgy megoldás lehet r c l 75 Legyen z átlók metszéspontj M, z dott szögek MCB { és MBC f A szerkesztés: Szerkesszünk egy MlBlCl-et f; { szögekkel ABM + CDM, mert szögeik páronként egyenlôk m & DM $ BM és AM $ CM Alklmz- BM AM c c DM CM c J c N zunk Bl-re Ml középpontú - K O rányú hsonlóságot " Dl 4 Alklmzzunk Cl-re Ml középpontú - K c O L P J N rányú hsonlóságot " Al 5 AlBlClDl trpéz hsonló szerkesztendô trpézhoz, mert részháromszögeik hsonlók 6 Alklmzzunk AlBlClDl trpézr rányú h- c l L P c sonlóságot " ABCD trpéz Egyértelmû megoldás 76 A szerkesztés: ) PM MMl & PM PMl Alklmzzunk P középpontú m rányú hsonlóságot -r " l l + Ml, M P keresett egyenes ) PN NNl & PNl PN Alklmzzunk P középpontú m rányú hsonlóságot -r " ll ll + Nl, N P keresett egyenes Egyértelmû megoldás 77 A szerkesztés: ) PM MMl & PM PMl Alklmzzunk k körre P középpontú m rányú hsonlóságot " kl kl + k Ml, M P egyenes keresett szelô 0; vgy megoldás lehet ) PN NNl & PNl PN Alklmzzunk k körre P középpontú m rányú hsonlóságot " kll kll + k Nl, N P egyenes keresett szelô 0; vgy megoldás lehet 78 eset: egységnyi húr k kören, egységnyi húr k -en, A elválsztj M-et és N-et MA : AN :& AM AN A szerkesztés: Alklmzzunk A középpontú m - rányú hsonlóságot k körre " kl kl + k M MA egyenes metszi ki körökôl keresett húrokt eset: egységnyi húr k kören, egységnyi húr k -en, A elválsztj M-et és N-et MA : AN :& AM AN & m -
Hsonlóságon lpuló szerkesztések 77 eset: egységnyi húr k kören, egységnyi húr k -en, A nem válsztj el M-et és N-et MA : AN :& AM AN & m 4 eset: egységnyi húr k kören, egységnyi húr k -en, A nem válsztj el M-et és N-et MA : AN :& AM AN & m 4 megoldás vn 79 Adott: k; OA; OB A szerkesztés: Osszuk fel z AB szkszt három egyenlô részre " H ; H Alklmzzunk O középpontú hsonlóságot z AB húrr úgy, hogy H és H képe körvonlon legyen AlA BlB-vel kell meghosszítni z r és r sugrkt Megjegyzés: h AB átmérô, kkor mindkét irányn sját hosszávl kell meghosszítni, hogy feltételnek eleget tevô szelôhöz jussunk Egyértelmû megoldás 80 Adott: k; OA; OB A szerkesztés: Hosszítsuk meg z AB húrt sját hosszávl OCl mindkét irányn " C és D OC + k Cl és OD + k Dl O középpontú rányú OC hsonlóság DC-t vele párhuzmos DlCl-e viszi, és középpontos hsonlóság ránytrtás mitt DlAl AlBl BlCl H AB átmérô, kkor nincs megoldás, egyéként egyértelmû ClDl húr 8 Felhsználjuk: BOA AOP & OA szögfelezô BOP-en A szögfelezôtétel BP BA+ AP BA r r p mitt BA : AP OB : OP, zz BA : AP r : p & + + + AP AP AP p p r+ p A szerkesztés: Alklmzzunk P középpontú rányú hsonlóságot k körre " kl p kl + k B BP keresett szelô megoldás vn 8 Felhsználjuk: l i kör E i középpontú hsonlósággl k köre vihetô Ekkor L i képe O ; P képe A i és L i P ; O A i, vlmint O ; P és L i egy egyenesen vnnk A szerkesztés: O -en át párhuzmos O P-vel " g g + k { A ; A } A i P + k E i 4 E i O + O P L i 5 L i középpontú, L i P sugrú kör " l i Két megoldás vn 8 Adott: A; c; s; C (A! c és A! s) Felhsználjuk: CF FB & CB CF A szerkesztés: Alklmzzunk C középpontú m rányú hsonlóságot s-re " sl sl + c B Egyértelmû megoldás 84 Adott: A; B; s; c (A! s) Felhsználjuk: BF FC & BC BF A szerkesztés: AB c szögû látószögköríve: k B középpontú m rányú hsonlóság s egyenesre " s s + k C 0; vgy megoldás lehet 85 Az ABC S súlypontj C pont F középpontú m rányú kicsinyített képe, hol F z AB felezôpontj Az AB fölé rjzolt háromszögek súlypontji k kör F középpontú m 8 8
78 Hsonlóság 86 87 rányú kl kicsinyített képén vnnk rjt A kl kör Al-tôl és Bl-tôl különözô minden S pontj megfelel egy k körülírt körû ABC-nek, hiszen F középpontú ml rányú hsonlósággl S pont képe k-r kerül A keresett ponthlmz tehát kl kör z AB húrr esô Al és Bl pontok kivételével 86 Felhsználjuk: A szögfelezôtétel szerint PA : PB : & PB $ PA A szerkesztés: CP f c szksz felvétele C középpontú, sugrú kör: k B C középpontú, sugrú kör: k A Alklmzzunk P középpontú m - rányú hsonlóságot k A körre Ennél hsonlóságnál A képe B, így A! k A -ól B! k A l következik 4 k A l + k B B 5 BP + k A A 0; vgy megoldás lehet 87 nduljunk ki kész áráól! Jelölje P! AB z elsô, Q! AC második elágzást! A feltétel szerint BP PQ QC nduljunk ki szerkesztendôhöz hsonló BPlQlCl töröttvonlól! Húzzunk párhuzmost Pl-n át QlCl-vel, zz AC-vel és vegyünk fel rjt PlRl QlCl( PlQl PlB) szkszt Ekkor PlRlClQl romuszhoz jutunk A BPlRlCl töröttvonl megszerkeszthetô: Pl-n át párhuzmost húzunk AC-vel " p Pl középpontú, PlB sugrú kör: k Pl k Pl + p Rl 4 Rl középpontú, PlB sugrú kör: k Rl 5 k Rl + BC Cl 6 Pl-n át párhuzmos RlCl-vel, mjd ennek k Pl -vel vló metszete Ql 7 B középpontú hsonlóságot lklmzunk BPlQlCl töröttvonlr úgy, hogy Ql képe AC-n legyen B helyzete mitt Pl képe PAB-n lesz, QlCl;AC mitt Cl képe C lesz, és hsonlóság ránytrtás mitt BP PQ QC Egyértelmû megoldás 88 ) Felhsználjuk: F felezi BC-t, ezért B középpontú m rányú hsonlóságnál F képe C A szerkesztés: AB c szksz felvétele AB c szögû látószögköríve: k c A középpontú, s sugrú kör: k A 4 k A kör B középpontú m rányú hsonló képe: k Ȧ 5 k Ȧ + k c C 0 vgy egyevágó megoldás lehet ) Felhsználjuk: F felezi BC-t, ezért B középpontú m rányú hsonlóságnál C képe F A szerkesztés: AB c szksz felvétele A-n szög felvétele AB-re " e B középpontú m rányú hsonlóságnál e képe el 4 A középpontú, s sugrú kör: k A 5 k A + el F 6 B-t tükrözzük F-re: C Egyértelmû megoldás, h s > c/ 0; vgy megoldást kphtunk, h s < c/ Nincs megoldás, h s c/ c) Felhsználjuk: B pontól z AB szksz 90 ltt látszik, tehát B rjt vn z AB Thlész körén F felezi BC-t, ezért B középpontú m rányú hsonlóságnál C képe F A szerkesztés:
Hsonlóságon lpuló szerkesztések 79 89/ 89/ AB c szksz felvétele AB Thlész köre: k T B középpontú, m sugrú kör: k B 4 k T + k B B, AB egyenese f 5 B középpontú m rányú hsonlóságnál f képe f l 6 A középpontú, s sugrú kör: k A 7 k A + f l F 8 e(b; F) + f C 0; vgy megoldás lehet 89 Felhsználjuk: S CF c szksz C-tôl távoli hrmdolópontj ST S F c + CT c F c, mert szögeik páronként egyenlôk m hsonlósági rány & ST S mc z ABS AB-hez trtozó mgsság A szerkesztés: ; ; s s m c" ABS AS-re S-ôl A-vl ellentétes oldlr s " F B-t tükrözzük F -r " C Nincs megoldás, h s# mc vgy h s# mc Egy megoldás vn, h s s> mc Két meg- oldás vn, h s> mc vgy s > m c és s Y s 90 90 nduljunk ki kész áráól! Az E O O E töröttvonl szkszi E O r, O O r, O E r hosszúk, rányuk : : Húzzunk párhuzmost O -n át O E -gyel, és vegyünk fel rá r szkszt " P O PE O prlelogrmm, tehát PE r Az E O PE töröttvonl szkszi E O r és E O, O P r és O P ; O E, PE r Ehhez töröttvonlhoz hsonlót szerkeszthetünk z E pontól kiindulv: 9 E -en -r állított merôlegesen tetszôleges O l pont O l-ôl merôleges -re, mjd erre E O l hoszszú szksz felvétele " Pl Pl középpontú E O l sugrú kör: k Pl 4 k Pl + E E E l 5 E középpontú hsonlóságot lklmzunk z E O lple l töröttvonlr úgy, hogy E l képe E legyen " E O PE 6 E -en merôleges -re és O -en párhuzmos PE -gyel, ezek metszéspontj O Egyértelmû megoldás 9 eset: O, E, O, E nincsenek egy egyenesen nduljunk ki kész áráól! k E -en érinti k l-t, h E -en közös z érintôjük: e Hsonlón k és k l
80 Hsonlóság köröknek E -en közös z érintôje: e Olyn köröket keresünk, melyek z e egyenest z E pontn, z e egyenest z E pontn érintik, és sugruk egyenlô Ennek prolémánk megoldás z 90 feldtn megtlálhtó eset: O, E, O, E egy egyenesen vnnk E E szksz E -hez, illetve E -höz közelei negyedelôpontji dják keresett körök középpontját Egyértelmû megoldás Euler-egyenes, Feuerch-kör, Simson-egyenes, Apollonius-kör 9 Legyen F BC, F z AC és F c z AB oldl felezéspontj ABC + F F F c, mert oldlik páronként párhuzmosk, szögeik váltószögek, m CF c, AF, BF háromszög súlyvonli, melyek z S súlypontn metszik egymást Az S középpontú m - rányú hsonlóság C-t F c - e, B-t F -e, A-t F - viszi, mivel súlypont súlyvonl csúcstól távoli hrmdolópontj Tehát hsonlóság középpontj súlypont 9 Tekintsük z S középpontú, m - rányú középpontos hsonlóságot! Mivel súlypont súlyvonl csúcs- 9/ tól távoli hrmdolópontj, fenti hsonlóságnál: F c képe C; F c -n átmenô, AB-re merôleges f AB képe C-n átmenô, vele párhuzmos, tehát AB-re merôleges egyenes: CC F képe A; F -n átmenô, CB-re merôleges f CB képe A-n átmenô, vele párhuzmos, tehát CB-re merôleges egyenes: AA A fentiekôl következik, hogy f AB + f CB O; z O képe e(c; C ) + e(a; A ) M H z S középpontú m - rányú hsonlóság O-t M-e viszi, kkor S! OM és OS OM 94 Tekintsük z S középpontú, m - rányú középpontos hsonlóságot! Mivel súlypont súlyvonl csúcs- 9/ tól távoli hrmdolópontj, fenti hsonlóságnál C képe F c ; C-n átmenô CC szögfelezô képe z F c -n átmenô, CC -gyel párhuzmos egyenes Hsonlón megmutthtó, hogy BB képe z F -n átmenô, BB -gyel párhuzmos egyenes, AA képe z F -n átmenô, AA -gyel párhuzmos egyenes Az egy ponton átmenô egyenesek képei is egy ponton mennek át, így z egymást O 0 -n metszô AA, BB és CC egyenesek képei is, mi izonyítndó állítás volt 9/ 94
Euler-egyenes, Feuerch-kör, Simson-egyenes, Apollonius-kör 8 96/ 96/ 95 Felhsználjuk: A súlypont súlyvonl csúcstól 96/ távoli hrmdolópontj A súlypont z MO szksz O-hoz közelei hrmdolópontj (M mgsságpont, O körülírt kör középpontj) " lásd z 9 feldtot z Euler-egyenesrôl A szerkesztés: Alklmzzuk z S középpontú, m - rányú középpontos hsonlóságot! M képe O; A képe F AM egyenes z A-ól induló mgsságvonl F -ól merôlegest állítunk AM egyenesre: oldl egyenese, f 4 O középpontú, OA sugrú kör háromszög körülírt köre: k 5 k + f { C; B } 0 vgy megoldás vn 96 Felhsználjuk: A mgsságpont oldlegyenesekre vontkozó tükörképe háromszög körülírt körén vn A mgsságpont oldlfelezéspontokr vontkozó tükörképe háromszög körülírt körén vn Alklmzzunk M középpontú, m rányú középpontos hsonlóságot! C felezi M c M-et, tehát M c képe C A felezi M M-et, tehát M képe A B felezi M M-et, tehát M képe B F felezi M M-et, tehát M képe F F c felezi M M-et, tehát M képe F c F felezi M M-et, tehát M képe F C, A, B, F, F c, F rjt vnnk k körülírt kör kl képén, melynek sugr R, középpontj pedig z MO szksz felezéspontj Ugynezen körön vnnk feles kicsinyítés mitt CM szksz C, z AM szksz A és BM szksz B felezéspontji is Megjegyzés: Feuerch-kör középpontj MO felezéspontj, ezért rjt vn háromszög Euleregyenesén 97 A szón forgó négy háromszög: ABM, BCM, CAM, ABC A négy háromszög mgsságtlppontji megegyeznek: A ; B ; C Három nem egy egyenesen lévô pont egyértelmûen meghtározz sját körét, így fenti tlppontok is háromszögek Feuerch körét (lásd z 96 feldtot) Tehát z állítás igz 98 A Feuerch-kör középpontj rjt vn háromszög Euler egyenesén (MO felezéspontj), és négy háromszög Feuerch köre megegyezik & A négy háromszög Euler egyenesei egy ponton mennek át, közös Feuerch-kör középpontján
8 Hsonlóság 99 99 Az 9 feldtn láttuk, hogy z S súlypont z MO szksznk : rányú osztópontj & & SO MO Az 96 feldtn láttuk, hogy Feuerch-kör K F középpontj felezi z MO szkszt & & KF O MO Az láhúzottkól következik, hogy K F S K F O - SO MO - MO MO, vgyis S 6 K F O szksz : rányú osztópontj Alklmzzunk S középpontú, m - rányú középpontos hsonlóságot! Ennek során O képe K F 00, k képe k F, C képe F c, e c képe e Fc H e c érinti k-t C-en, kkor e Fc érinti k F -et F c -en A középpontos hsonlóságnál középponton át nem menô egyenes és képe párhuzmosk, tehát e c ; e Fc 00 Felhsználjuk: A hozzáírt kör középpontj két külsô és egy elsô szögfelezô metszéspontj A háromszög ugynzon csúcshoz trtozó külsô és elsô szögfelezôje merôleges egymásr Az ABC elsô szögfelezôi z O O mgsságvonli; A, B és C mgsságtlppontok Az 96 feldt szerint mgsságtlppontok z ún Feuerch-körön vnnk, mi háromszög körülírt körének feles kicsinyítése Az ABC körülírt köre z 0 O O Feuerch köre, tehát vlón igz, hogy O O körülírt körének sugr kétszerese z ABC köré írt kör sugránk 0 Az 00 feldtn láttuk, hogy z O O Feuerch köre z ABC körülírt köre A, B, C pontok Feuerch-kör 9 pontj közül mgsságtlppontok Rjtuk kívül rjt vnnk z O O oldlfelezéspontji is, tehát igz, hogy z ABC körülírt köre felezi z O O oldlit (átmegy nnk felezéspontjin) A eírt kör középpontját ármelyik hozzáírt kör középpontjávl összekötô szksz felezôpontj is körülírt körön vn Így z O O Feuerch-körének mind kilenc kitüntetett pontját megkptuk 0 Az 00 feldtn láttuk, hogy z O O Feuerch köre z ABC körülírt köre Az ABC elsô szögfelezôi z O O mgsságvonli Az O O -en tehát K körülírt kör középpontj, O Feuerch-kör középpontj, O 0 mgsságpontj Az 96 feldtn láttuk, hogy Feuerch-kör középpontj felezi mgsságpont és körülírt kör középpontj közti szkszt, zz O felezi KO 0 -t, tehát K, O 0 és O egy egyenesen vnnk Megjegyzés: ez z egyenes z O O Euler egyenese 0 Felhsználjuk: Az O O mgsságvonli z ABC elsô szögfelezôi; A, B és C mgsságtlppontok O 0 z O O mgsságpontj A szerkesztés: Az O, O,, O 0 pontok áltl meghtározott háromszögek közül ármelyiknek kimrdó negyedik csúcs mgsságpontj Eszerint ármely három ismeretéen negyedik megdhtó O O mgsságtlppontji A, B, és C 0 vgy megoldás lehet
Euler-egyenes, Feuerch-kör, Simson-egyenes, Apollonius-kör 8 04 ) Felhsználjuk: Az ABC körülírt köre z O O Feuerch köre, ezért átmegy z O O oldlfelezéspontjin és mgsságtlppontjin Az ABC elsô szögfelezôi z O O mgsságvonli, A, B és C mgsságtlppontok A szerkesztés: O szksz felezéspontj: F O középpontú, OF sugrú kör: k (ABC körülírt köre vgy z O O Feuerch köre) k + e(o ; ) B (mgsságtlppont e(o ; )-n) 4 O Thlész köre: k T 5 k T + k { A; C } (mgsságtlppontok e(o ; )-n, ill e(o ; O )-n) 0 vgy megoldás lehet ) Felhsználjuk: Az ABC körülírt köre z O O Feuerch köre Az ABC elsô szögfelezôi z O O mgsságvonli, A, B és C mgsságtlppontok A mgsságpont és egy csúcs közti szksz felezéspontj rjt vn Feuerch-körön A szerkesztés: O 0 szksz felezéspontj: F O középpontú, OF sugrú kör: k O 0 Thlész köre: k T 4 k T + k { A; B } 5 k + e(o 0 ; ) C 0 vgy megoldás lehet 05 Legyen r 0 z ABC eírt körének, r F Feuerch körének, R körülírt körének sugr! Ngyítsuk fel úgy z ABC-et, hogy oldli érintsék z ABC Feuerch körét " AlBlCl Ngyításról lévén szó r 0 # r 0 l, r F # # r F l és R # Rl Az ABC Feuerch köre z AlBlCl eírt köre, és z 96 feldtn láttuk, hogy r F R, ezért r 0 # r 0 l 05 06 07 r F R & r 0 # R 06 Felhsználjuk: A mgsságpont oldlegyenesekre vontkozó tükörképe háromszög körülírt körén vn Elég elátni, hogy ármely két tükörkép metszéspontj körülírt körön vn, hiszen tükörkép egyenesnek körrel vló egyik metszéspontj mgsságpont megfelelô tükörképe, másik metszéspont pedig csk egy vn, így nem lehet z egyik tükörképpel kör egyik, másik tükörképpel kör másik pontj Legyen e + e(c; B) P és e + e(c; A) Q, z e tükörképei e és e A tükrözés mitt M MP MM P f QMA és M MP csúcsszögek, így QMA f A tükrözés mitt QMA QM A f Legyen e + e R! AM R AM R f, mi zt jelenti, hogy AR z M és M pontokól egyenlô szögek ltt látszik & M és M rjt vnnk AR látószögkörívén Mivel A, M és M meghtározzák körüket, z ABC körülírt körét, így R is ezen körön vn & e és e körülírt körön metszik egymást Megjegyzés: áltlán igz, hogy A, M, R és M egy körön vnnk, mert vgy AM R AM R, vgy AM R + AM R 80 07 M mgsságpont tükörképei z oldlegyenesekre M ; M ; M c, melyek z ABC körülírt körén tlálhtók P tükörképei z oldlegyenesekre P ; P ; P c PM egyenesnek z AC egyenesre vontkozó tükörképe P M, ezért e két egyenes z AC egyenesen metszi egymást &
84 Hsonlóság 08 09 & PM + AC Q e két egyenesnek tükörtengelyen levô metszéspontj & P! e(m; Q ) Hsonlón megmutthtó, hogy P c! e(m; Q c ) A tengelyes szimmetri mitt Q M A Q MA {, vlmint Q c M c A Q c MA f PM AM c húrnégyszög, ezért { + f 80 & Q c ; M; Q egy egyenesen vnnk & P c ; M; P egy egyenesen vnnk Hsonlón igzolhtó, hogy PM és BC egyenesek Q metszéspontj és egyúttl P tükörkép is z M ponton átmenô P c MP egyenesre illeszkedik 08 Az 07 feldtn láttuk, hogy P pontnk, és c oldlegyenesekre vontkozó P, P, P c tükörképei mgsságponton átmenô egyenesen vnnk A tükrözésnél tükörtengely merôlegesen felezi pontot képével összekötô szkszt, így PP PT ; PP PT és PP c PT c mitt P középpontú m rányú középpontos hsonlóság P -t T -, P -t T -e és P c -t T c -e viszi Mivel P, P és P c egy egyenesen voltk, így képek is egy egyenesen lesznek, méghozzá z M-en átmenô egyenes P középpontú feles kicsinyített képén 09 Felhsználjuk: A mgsságponton átmenô egyenes oldlegyenesekre vontkozó tükörképei körülírt kör egy pontján metszik egymást A körülírt kör P pontjáól z oldlegyenesekre állított merôlegesek tlppontji egy egyenesen vnnk, mi párhuzmos P-hez trtozó M-en átmenô egyenessel A szerkesztés: M-en át párhuzmos z dott iránnyl: e e-t tükrözzük c oldlegyenesre: e c e c + k P 4 P-ôl merôlegest állítunk CB-re " T 5 T -n át párhuzmos e-vel: s A fentiek mitt s z ABC dott irányú Simson egyenese 0 Tegyük fel, hogy P pont megfelel feltételeknek: PA : PB, mi egy -tôl különözô állndó A elsô szögfelezôre vontkozó tétel mitt AE : EB :, külsô szögfelezôre vontkozó tétel mitt AD : DB : Az egy csúcsól induló elsô és külsô szögfelezô merôleges egymásr, tehát EPD 90 & P rjt vn z ED szksz Thlész körén Az ED átmérôjû kör minden pontj megfelelô Legyen Q Thlész-kör egy tetszôleges pontj Szerkesszük meg z XY $ AQ szkszt H AB, AQ és XY szkszokól lehet háromszöget szerkeszteni, 0/ 0/
Euler-egyenes, Feuerch-kör, Simson-egyenes, Apollonius-kör 85 kkor készen vgyunk, mert vgy z AQB-rôl, vgy ennek AB-re vontkozó tengelyes tükörképérôl vn szó Meg kell tehát muttni, hogy $ AQ + AQ > AB és $ AQ - AQ < AB Az A középpontú, AE sugrú kör E-en érinti Thlész-kört, ezért Thlész-kör minden pontj külsô pont z A középpontú, AE sugrú kören Tehát AQ > AE és XY > $ AE BE Így AQ + XY>AE+ EB AB Az A középpontú, AD sugrú kört Thlész-kör elülrôl érinti Így AQ < AD és XY < $ AD BD, ezért XY - AQ < BD - AD AB Az E és D pontok meg- szerkeszthetôk AB és ismeretéen: AA BB (párhuzmos szelôszkszok tétele z AD A DA -re) & " D AA DB - BB (párhuzmos szelôszkszok tétele z A EA -re) AE & " E EB Legyen két dott szksz hossz és eset: Y Felhsználjuk: A keresett pon- tok z AB szksz rányú Apollonius körén vnnk, melynek átmérôje DE szksz (D z AB szksz : rányú külsô osztópontj, E z AB szksz : rányú elsô osztópontj) (lásd 0 feldt) Szerkesszünk háromszöget AB, n $, n $ szkszokól, hol n olyn lklms pozitív vlós szám, hogy három szkszr teljesül háromszög-egyenlôtlenség " ABP ABP P-hez trtozó elsô és külsô szögfelezôje A két szögfelezô és z AB egyenes metszéspontj: D és E 4 DE átmérôjû kör: k Bármely P! k esetén PA : PB : eset: H, kkor z AB szksz felezômerôlegese megoldás Tegyük fel, hogy z e egyenes elválsztj C-t és B-t! AP : BQ : kell legyen feltétel szerint eset: e(c; P ) + e(a; B) R AR P + BR Q, mert szögeik csúcsszögek, illetve AP AR váltószögek m & R z AB szksz : rányú osztópontj és CR QB RB szerkesztendô egyenes eset: e(c; P ) + e(a; B) R AR P + BR Q, mert egy szögük közös, másik egyállású AP AR m & R z AB szksz : rányú külsô osztópontj és CR Q B R B szerkesztendô egyenes A szerkesztés: A-n át AA B-n át párhuzmos AA -gyel és ezen ellentétes irányn BB, BB e(a ; B ) + e(a; B) R és e(a ; B ) + e(a; B) R e(c; R i ) + e P i és e(c; R i ) + f Q i 0; vgy megoldás lehet
86 Hsonlóság Adottk z x; y szeletek, melyeket szögfelezôje vág ki z AC efogóól A szerkesztés: AC x + y hosszú szksz E osztóponttl, AC szksz x : y rányú Apollonius köre: k (lásd z árán, illetve z feldtnál) C-en merôleges AC-re: + k B H x Y y, kkor két, z AC egyenesre tengelyesen szimmetrikus megoldás vn H x y, kkor nincs megoldás 4 A szerkesztés: eset: x Y y AB c szögû látószögköríve: k c AB szksz x : y rányú Apollonius köre: k (lásd z árán, illetve z feldtnál) k c + k C eset: x y AB c szögû látószögköríve: k c AB szksz felezômerôlegese: f AB k c + f AB C Két, z AB egyenesre tengelyesen szimmetrikus megoldás vn 5 Felhsználjuk: S súlyvonl csúcstól távoli hrmdolópontj CS szögfelezô z AF C-en, ezért C rjt vn z AF szksz : rányú Apollonius körén A szerkesztés: AF s hosszú szksz felvétele AF szksz : rányú Apollonius köre: k AF szksz c szögû látószögköríve: k c 4 k c + k C 5 C-t tükrözzük F -r: B Két, z AF egyenesre tengelyesen szimmetrikus megoldás vn 4 6 A szerkesztés: AB c hosszú szksz H Y, kkor AB szksz : rányú Apollonius köre: k (lásd z feldtnál) H, kkor AB felezômerôlegese: f AB Párhuzmos AB-vel m c távolságr: e e + k C, illetve f AB + e C 0; vgy megoldás lehet 7 Adott: BD; AD; c A szerkesztés: AD és BD szkszok felvétele úgy, hogy AD trtlmzz BD-t AB szksz AD : BD rányú Apollonius köre: k AB szksz c szögû látószögköríve: k c 4 k c + k C Két, z AB egyenesre tengelyesen szimmetrikus megoldás vn 5 8 ) Adott: f c ; m c ; A szerkesztés: CC m c hosszú szksz felvétele C -en merôleges CC -re: e C középpontú, f c sugrú kör: k C 4 k C + e E ( elsô szögfelezônek szemközti oldlll vló metszéspontj) 5 C-en merôleges f c -r, ennek e-vel vló metszéspontj D ( külsô szögfelezônek szemközti oldlegyenessel vló metszéspontj) 6 Szögfelezôtételek mitt AE : EB : és AD : DB : Legyen AE x, EB x, AD y, BD y AD AB + BD-t felhsználv y x + x + y & y + + EB - - $ x & BD x & - - BD + + - 7 ED szksz rányú felosztás " B 8 B tükrözése f c egyenesére: B* 9 CB* + e + A 0 vgy megoldás lehet
Euler-egyenes, Feuerch-kör, Simson-egyenes, Apollonius-kör 87 ) Adott: f cl ; m c ; A szerkesztés: CC m c hosszú szksz felvétele C 9 -en merôleges CC -re: e C középpontú, f cl sugrú kör: k C 4 k C + e D ( külsô szögfelezônek szemközti oldlegyenessel vló metszéspontj) 5 C- en merôleges CD-re, ennek e-vel vló metszéspontj E ( elsô szögfelezônek szemközti oldlll vló metszéspontj) A feldt megoldás 6 ponttól kezdve megegyezik z ) rész megoldásávl 0 vgy megoldás lehet 9 H P eleget tesz feltételnek, kkor E PE D PD & E PO D PO O E P + O D P, mert mindkettô derékszögû, és P-nél lévô hegyesszögük z láhúzott állítás EO OP r OP mitt egyenlô m & H r DO O P r O P Y r, kkor P pont rjt vn z O O szksz r : r rányú Apollonius körén Az Apollonius-kör O O egyenesére esô átmérôjének két végpontj k és k kör elsô és külsô hsonlósági pontj H k + k 0Y, kkor z Apollonius-kör minden pontj megfelelô tuljdonságú H k és k metszik egymást, kkor z Apollonius-körnek csk k -en és k -n kívüli pontjiól húzhtók érintôk k -hez és k -höz H r r, kkor P pont rjt vn O O szksz felezômerôlegesén H k + k 0Y, kkor felezômerôleges minden pontj megfelelô tuljdonságú H k és k metszik egymást, kkor felezômerôlegesnek csk k -en és k -n kívüli pontjiól húzhtók érintôk k -hez és k -höz 0 A szerkesztés: Vegyünk fel z dott iránnyl párhuzmos egyenest " Al; Cl H c Y, kkor djuk meg AlCl szksz c : rányú Apollonius körét: k H c, kkor djuk meg AlCl szksz felezômerôlegesét: f AlCl k + OB Bl, illetve f AlCl + OB Bl 4 O középpontú középpontos hsonlóságot lklmzunk z AlBlCl-re úgy, hogy Bl képe B legyen 0; vgy megoldás lehet ndoklás: A szerkesztett háromszög megfelel z elvárásoknk, mert középpontos hsonlóságnál középponton át nem menô egyenes képe vele párhuzmos egyenes, tehát AlCl;AC AB AB l l c A középpontos hsonlóság ránytrtó, tehát Cl! e és O! e & C! e, vlmint Al! f és O! f & A! f CB CB l l Adott: AC; BD; ; Felhsználjuk: Az átlók metszéspontját kiegészítô háromszög csúcsávl összekötô egyenes z ABE súlyvonl (lásd z 97 feldtot) A DB és AC egyenesek áltl meghtározott csúcsszögek AB és DC párhuzmos szelôire lklmzv párhuzmos szelôk tételét: AC AM BD BM eset: AC Y BD A szerkesztés: ; " AlBlEl AlBl szksz AC : BD rányú Apollonius köre: kl AlBlEl El-ôl induló súlyvonl: sl 4 sl + kl Ml 5 e(al; Ml) + e(bl; El) AC Cl és e(bl; Ml) + e(al; El) Dl 6 Alklmzzunk rányú hsonlóságot z AlBlClDl AC l l trpézr " ABCD trpéz eset: AC BD Y esetén nincs megoldás, esetén végtelen sok megoldás vn 0
88 Hsonlóság ) H két kör sugr egyenlô, kkor O O ; P P, ezért nincs metszéspontjuk Különözô sugrk esetén O P ; O P, ezért párhuzmos szelôszkszok tétele mitt O P : O P O H k : O H k állndó & H k helye centrálison csk sugrk rányától függ ) eset: A két kör sugr egyenlô O -en és O -en merôlegest állítunk körök centrálisár Ezeknek körökkel vló E, F, ill E, F metszéspontji lesznek z érintési pontok E E egyenese z egyik, F F egyenese másik érintô eset: A két kör sugr különözô Felveszünk mindkét kören egy-egy sugrt, melyek párhuzmosk és egyirányúk " P, P e(o ; O ) + e(p ; P ) H k két kör külsô hsonlósági pontj A H k -ól k -höz húzott érintô két kör közös érintôje, hiszen k -höz húzott érintô képe k -et kell, hogy érintse, ez z egyenes pedig átmegy H k -n, tehát invriáns, képe önmg ) O P ; O P, ezért párhuzmos szelôszkszok tétele mitt O P : O P O H : O H állndó & H helye centrálison csk sugrk rányától függ ) Felveszünk mindkét kören egy-egy sugrt, melyek párhuzmosk és ellentétes irányúk " P, P e(o ; O ) + e(p ; P ) H két kör elsô hsonlósági pontj A H -ól k -höz húzott érintô két kör közös érintôje, hiszen k -höz húzott érintô képe k -et kell, hogy érintse, ez z egyenes pedig átmegy H -n, tehát invriáns, képe önmg Megjegyzés: két körnek kkor létezik közös elsô érintôje, h r + r $ O O Egyenlôség esetén egy közös elsô érintô vn 4 A szerkesztés: Legyen P O ; P O k, illetve k kör egyirányú párhuzmos sugr! P P + O O H k külsô hsonlósági pont Legyen P O ; O Q k, illetve k kör ellentétes irányú párhuzmos sugr! P Q + O O H elsô hsonlósági pont Koncentrikus körök elsô, illetve külsô hsonlósági pontj zonos két kör közös középpontjávl 5 ) A két kör kívülrôl érinti egymást: A külsô hsonlósági pont körökön kívül kise kör oldlán centrálison vn úgy, hogy O z O H k szksz r : r rányú osztópontj (egyenlô sugrú körök esetéen nem létezik) A elsô hsonlósági pont két kör érintési pontj ) A két kör egyike elülrôl érinti másikt: A külsô hsonlósági pont két kör érintési pontj A elsô hsonlósági pont z O O szksz r : r rányú osztópontj A hsonlósági pontok szerkesztésérôl l z 4 feldtot 6 A szerkesztés: P O ; P O k, illetve k kör egyirányú párhuzmos sugr; e(p ; P ) + e(o ; O ) H k külsô hsonlósági pont, mivel P O H k + P O H k és r : r H k O : H k O Egyenlô sugrú köröknek nincs külsô hsonlósági pontj P O ; Q O k, illetve k kör ellentétes irányú párhuzmos sugr; e(p ; Q ) + e(o ; O ) H elsô hsonlósági pont, mivel Q O H + P O H és r : r H O : H O 7 A szerkesztés: Keressük meg k kör és szerkesztendô kör hsonlósági pontját! {Az érintési pont elsô hsonlósági pontj z egymást kívülrôl érintô köröknek, külsô hsonlósági pontj két körnek, h z egyik elülrôl érinti másikt} A P-en e-re állított m me- 4 7
Euler-egyenes, Feuerch-kör, Simson-egyenes, Apollonius-kör 89 rôleges lesz kl kör sugránk egyenese, z O-ól e-re állított merôleges pedig k kör sugránk egyenese " P ; P! k e(p ; P) + k E z egymást kívülrôl érintô körök elsô hsonlósági pontj, tehát z érintési pont EP felezômerôlegesének és m-nek metszéspontj O 4 O középpontú, O P sugrú kör: k l 5 e(p ; P) + k D elülrôl érintô körök külsô hsonlósági pontj, tehát z érintési pont DP felezômerôlegesének és m-nek metszéspontj O 6 O középpontú, O P sugrú kör: k l megoldás vn 8 eset: OE nem merôleges f-re A szerkesztés: A k kört E-en érintô kl körnek és k-nk E-en közös z érintô egyenese, z OE-re E-en állított merôleges: e e + f P A P csúcsú, e és f szárú szög szárit érintô körök középpontji szögfelezôkön vnnk: g ; g 4 g + e(o; E) O l és g + e(o; E) O l 5 O l középpontú, O l E sugrú kör: k l és O l középpontú, O le sugrú kör: k l megoldás vn eset: H OE f, kkor e ; f, tehát nem hsználhtjuk vázolt gondoltmenetet Ekkor kphtunk 0 megoldást, megoldást vgy végtelen sok megoldást 9 A szerkesztendô kl kör elülrôl érinti k kört Az 5 feldtn láttuk, hogy közös érintési pont két kör külsô hsonlósági pontj A kl kör egyik sugáregyenese z e-re E pontn állított m merôleges A k kör vele párhuzmos és egyirányú sugr OP e(e; P) + k D külsô hsonlósági pont, vgyis z érintési pont 4 e(o; D ) + m Ol; Ol középpontú OlD sugrú kör & kl megoldás vn Pitgorsz tételének lklmzás 0 x á,6 m (Még egy tízszintes toronyház is elférne) h á 6, m hosszú rúd BD á 4,97 m Körülelül 0,04 m hosszú 4 l á,5 m z átlóvs hossz 5 x á 0,77 m csúszd hossz 6 P-ôl szárkr állított merôlegesek tlppontji T, U, derékszög csúcs C d(p; T), d(p; U) & CTPU négyszög tégllp & CT Pitgorsz-tétel szerint CTP derékszögû háromszögen + d & d + d_ P; Ci 7 T felezi CB szkszt & ADBT négyszög derékszögû trpéz BU merôleges AD-re & BUD háromszög derékszögû, efogói 4, m és 70,575 m Pitgorsz-tétel BUD derékszögû háromszögen: BD 4, + 70,575 & BD á á,78 m hosszú feszítô kötél 8 AMC derékszögû háromszögen AM + 5 & & AM m BM AM - AB 7,8 m BMC derékszögû háromszögen 7,8 + 5 x & x á 9,6 m rúd hossz 9 m 5 cm mgsság 40 Az egyenlô szárú háromszöget z lphoz trtozó mgsság két egyevágó derékszögû háromszögre ontj, 7 melynek efogói 4x és 5 cm, átfogój 5x hosszú (4x) + 5 (5x) & x 5cm& 48x 40 cm z lp, 5x 5 cm szár 4 Szályos háromszög oldlfelezô merôlegese és mgsság megegyezik Beírt és köré írt körének középpontj súlypont, mi mgsság csúcstól távoli hrmdolópontj AFC derékszögû háromszögen J N CF K + & CF m O mgsság, CS m L P R körülírt kör sugr, SF m r eírt kör sugr 6
90 Pitgorsz tételének lklmzás 4 Szályos háromszög köré írt körének sugr - mgsságánk & R m $ & R R J N 4 Pitgorsz-tétel mgsság áltl lemetszett egyik derékszögû háromszögre: h + K O L P h & h 44 BCE szályos háromszög mgsság BC felezôpontj F & AFE háromszög J N J N derékszögû és efogóink hossz, illetve AE K O + & AE K O K O L P L P ED A két gerend hossz $, 6m 6, 4m 45 A hálózt egyeneseinek távolság 4 mm, illetve 4,5 mm 46 A háromszög egy szályos háromszög fele : + () & 47 A háromszög egy szályos háromszög fele : + () & 48 Szályos háromszögen m A feldt szerint m - d & - d & d & 4+ ld - 49 A efogó á,46 m, z átfogó á 6,9 m 50 ABC szályos háromszög, AlBlC szályos háromszög & ABC + AlBlC; D d mabc ; mal BlC l ; ABBlAl trpéz mgsság h & m AlBlC + h m ABC d D 6, 5 D 5 ) d 6,5 cm, h 7,5 cm, + h + 75, D 6, 5+ & & d D d 0 5, 6 cm ) D 0 cm, h 9,5 cm, + h & + 95, & d 0-9 d D 5-9, 0 cm c) D 5 cm, d cm, + h & + h & h, 6 cm 5 A szárk hossz á,8 cm 5 AC 9 cm 5 eset: AB 5 cm eset: AB cm