196 Pitagorasz tételének alkalmazása

Átírás

1 96 Pitgorsz tételének lklmzás AE EB m; EC 0,8 m A Thlész-tétel szerint CBD derékszögû & lklmzhtó mgsságtétel: BE CE $ ED Az dtokt behelyettesítve: 0,8(r + r ) & r 5 - r A Pitgorsz-tétel z OEB derékszögû háromszögben: + r r A két összefüggésbôl: r, m és r 9, m 09 O TO derékszögû háromszögben: O T cm; O T 8 - r; O O r A Pitgorsztétel: + (8 - r) (r) & r 8, cm 0 Felhsználjuk: Érintô körök középpontji és érintési pontj egy egyenesen vnnk Egyenest érintô kör érintési pontb húzott sugr merôleges z egyenesre OTB derékszögû háromszögben: OT r; OB 60 - r; TB 0 Pitgorsz-tétel z OTB-ben: 0 + r (60 - r) & & r, 5 cm Felhsználjuk: Érintô körök érintési pontj és középpontjik egy egyenesen vnnk Az érintési pontb húzott sugár merôleges z érintô egyenesre O TO derékszögû háromszögben: O T dm; O T dm-r; O O dm+ r APitgorsz-tétel: + ( - r) ( + r) & r dm, dm Felhsználjuk: Érintô körök érintési pontj és középpontjik egy egyenesen vnnk Az érintési pontb húzott sugár merôleges z érintô egyenesre AO T derékszögû háromszögben: AO R - r; AT R A Pitgorsz-tétel: O T + R J N K O (R - r) O O T derékszögû háromszögben: O O r + R ; O T R A Pitgorsz-tétel: O T + R J N J K O r R N + K O J R N J R N J R N A két összefüggésbôl: ( R-r) - K r + - O K O K O A megfelelô lgebri átlkítások után: r R 0

2 Pitgorsz tételének lklmzás 97 Felhsználjuk: Érintô körök érintési pontj és középpontjik egy egyenesen vnnk Az érintési pontb húzott sugár merôleges z érintô egyenesre Legyen O T merôleges O E -re O E O derékszögû háromszögben: O E r; O O 6 - r A Pitgorsz-tétel: O E + r (6 - r) O TO derékszögû háromszögben: O T O E ; O T - r; O O + r APitgorsz-tétel: O T + ( - r) ( + r) & O E + ( - r) ( + r) A két összefüggésbôl: (6 - r) - r ( + r) - ( - r) A megfelelô lgebri átlkítások után: r 5, cm Felhsználjuk: Érintô körök érintési pontj és középpontjik egy egyenesen vnnk Az érintési pontb húzott sugár merôleges z érintô egyenesre O TO derékszögû háromszögben: O O 9 - r; O T + r A Pitgorsz-tétel: O T + ( + r) (9 - r) O TO derékszögû háromszögben: O O + r; O T - r A Pitgorsz-tétel: O T + ( - r) ( + r) A két összefüggésbôl: (9 - r) - ( + r) ( + r) - ( - r) A megfelelô lgebri átlkítások után: r cm Két ilyen kör vn m $ bm $ b 5 A háromszög területe: T Az dtokt terület összefüggésben felhsználv: b Pitgorsz-tétel z AFC derékszögû háromszögben: + J N K O b Az láhúzott összefüggést felhsználv: + J N J N K O K O A megfelelô lgebri átlkítások után: 8, 8 5, 7 cm z lp b 8, 8, 0 cm szár 6 A Pitgorsz-tétel z AFC derékszögû háromszögben: m + J N K O b Az dtokt behelyettesítve: b 5 cm A háromszög területe: T m $ bm $ b Az dtokkl: 0 $ 0 5$ mb & mb cm szárhoz trtozó mgsság 7 7 A Thlész-tételt felhsználv: A CA 90 Mgsságtétel z A CA -re: CF A F $ FA Számdtokkl: (5 + x)(5 - x) & x cm Két háromszög felel meg feltételeknek: A BC-ben A F R + x 8 cm A Pitgorsz-tétel z A FC derékszögû háromszögre: A C 8 + & A C 80 8, 9 cm A BC-ben A F R - x cm A Pitgorsztétel z A FC derékszögû háromszögre: A C + & A C 0, 7 cm

3 98 Pitgorsz tételének lklmzás 8 8 Állítás: + b + c + d állndó Bizonyítás: d(o; AB) d(o; T) x és d(o; CD) d(o; U) y Pitgorsz tétele z AOT-re: r AT +TO és AT + b ; TO x& ( ) b r + + x 7 Pitgorsz tétele z OUD-re: r OU + UD és UD d + c ; ( d c) OU y& r + ( b) ( c d) + y : r x + + y 8r + b + c + d + ( b+ dc) + x + y A szelôdr- & bok szorztár tnult tétel szerint cd b (r - OP)(r + PO) r - OP Ezt felhsználv: 8r + b + c + d + $ $ (r - OP ) + x + y + b + c + + d + r - OP + OP & r + b + c + d, tehát + b + c + d állndó 9 BC AF & BAC hegyesszög & O z ABC belsô pontj OFC derékszögû háromszögben: OF 6 - r; FC ; OC r A Pitgorsz-tétel: (6 - r) + r A megfelelô lgebri átlkítások után: r 75, cm 0 Felhsználjuk: T r o s, hol s félkerület Külsô pontból körhöz húzott érintô szkszok egyenlôk: CF CT 5 cm & AT AC - CT 9-5 cm A Pitgorsz-tétel z AFC derékszögû háromszögre: AF & AF 6 cm A háromszög területe: 0 $ $ 9 T r0& r0 0 cm Az 0 ábr jelöléseit hsználjuk Külsô pontból körhöz húzott érintô szkszok: CF CT 0 cm AO > OF & AO : OF 7 : 5 & AO 7x; OF OT r 0 5x OT OA 5x 7x OTA + CFA, mert szögeik páronként egyenlôk & m & & AC FC AC 0 AC cm & AT cm A Pitgorsz-tétel z OTA derékszögû háromszögre: (7x) (5x) + & & x 0,5 cm r 0 5x 7, 5cm beírt kör sugr A Pitgorsz-tétel BFC derékszögû háromszögben: BC & BC 6 m & GU CF & CG GB 0,5 6 m BFC + BGU, mert egy szögük közös, egy szögük 90 0 : & GB BF 5 6 & GU 5, m 0

4 Pitgorsz tételének lklmzás 99 Legyen DU párhuzmos AB-vel DUC derékszögû háromszögben: DU 8 m; UC BC - AD 5,5 m A Pitgorsz-tétel DUC-ben: 8 + 5,5 DC & DC á 9,7 m & DG GC,86 m A Pitgorsz-tétel TBC-ben: x + 6 TC A Pitgorsz-tétel TAD-ben: (8 - x) + 0,5 TD TC A két összefüggésbôl: x á,77 m & TC 9, A Pitgorsz-tétel CGT derékszögû háromszögben: GC + GT CT A fent kiszámolt dtokt felhsználv: GT 9, m ATC derékszögû háromszögben: AT l - cm; TC 0 cm; AC l Pitgorsz-tétel: (l - ) + 0 l & l 0 cm 5 Mivel AB > AC, BC, z m c mgsság tlppontj z AB szksz belsô pontj A Pitgorsz-tétel z ATC derékszögû háromszögre: x + m c 5 A Pitgorsz-tétel BTC derékszögû háromszögre: (6 - x) + m c 5 A két összefüggésbôl: 5 - x 5 - (6 - x) & x 5 cm & mc 0 cm 6 A leghosszbb oldlhoz trtozó mgsság tlppontj z oldl belsô pontj A Pitgorsz-tétel z ATB és z ATC derékszögû háromszögekre: x + m c, illetve ( - x) + m c - b + J c - b + N b & x és m c -K O K O A háromszög területe: T m $ L P b$ mb c$ mc & mb $ m b és mc $ m c Az dtok behelyettesítése után: m cm; m b, 6 cm; m c 9, 8 cm 7 Legyen trpéz hosszbb lpj AB, rövidebb lpj DC, D-bôl induló mgsság tlppontj T Legyen DBl párhuzmos BC szárrl & ABl 0 cm A Pitgorsz-tétel z ATD és BlTD derékszögû háromszögekre: x + m 9, illetve (0 + x) + m 7 & x 5, cm és m 7, cm 8 Pitgorsz tételének többszöri lklmzásávl: BP - x ; CP - x ; b CP - y ; b AP - y ; c AP - z ; c BP - z A fentiekbôl következik, hogy + b + c AP + BP + CP - (x + y + z ) + b + c 9 A derékszögû háromszög oldlir Pitgorsz tételét felírv: + b c A derékszögû háromszög területét kétféleképpen felírv: b cmc & b cm c 8

5 00 Pitgorsz tételének lklmzás 0 A fentiekbôl következik, hogy + b + b + m c c + cm c ++m c & ( + b) + m c (c + m c ), zz + b; m c és c + m c szkszok derékszögû háromszöget lkotnk, Pitgorsz tételének megfordítás mitt 0 f + { 90 AUC, CTB, mert szögeik f, {, 90 és átfogójuk & CT y és CU x Pitgorsz tételét lklmzv z egybevágó derékszögû háromszögekre: x + y, tehát x + y csk -tól függ Legyen T! BC mgsság tlppontj ABT derékszögû háromszögben m + c és ACT derékszögû háromszögben b m + d & + b m + c + (m + d ) m + d + c, tehát igz z állítás CDO derékszögû háromszögben hegyesszögek 0 és 60, ezért CD r & BD BC - CD r - r Pitgorsz tétele z ADB derékszögû háromszögre: J N r ( r) + K r - O AB 0-6 & AB $ r,5r k K O félkör Legyen O kör középpontj, A z egyik külsô négyzet csúcs, T z O-ból négyzet oldlegyenesére bocsátott merôleges tlppontj OTA derékszögû háromszögben: OT ; J N J N 0 AT ; OA r A Pitgorsz-tétel: + r & K O K O 5 r L P L Felhsználjuk: Érintô körök érintési pontj és középpontjik egy egyenesen vnnk & O O r - rl A 0 -os forgásszimmetri mitt O O O szbályos, középpontj O, mi súlypont is & O E,5O O,5(r - rl) A Pitgorsz-tétel z O E O derékszögû háromszögben: (rl) + (,5(r - rl)) (rl) & rl b - l r P 5 ABC szbályos háromszögben CF A szögszárkkl vló érintkezés mitt BO 5 szögfelezô & TBO 0 O TB + BFC, mert szögeik páronként egyenlôk & r - r b & r - l 6 Legyenek szbályos nyolcszög szomszédos csúcsi A, A, A ; A A 9 A O és A A + A O F & A OA 90 A A r & A F A F OF r A FA derékszögû

6 Pitgorsz tételének lklmzás 0 háromszögben A F r - r és A F r J N r A Pitgorsz-tétel: A A K O r - K O + J N K r O + & K O A A r - szbályos nyolcszög oldl 7 Legyenek szbályos tizenkétszög szomszédos csúcsi A, A, A ; A A 9 OA és A A + OA F & A OA 60 A A r & OF r A FA derékszögû háromszögben A F r - r és A F r J N A Pitgorsz-tétel: A A r J K O r N r - + K O K O & A A r - szbályos tizenkétszög oldl 8 Szbályos htszögben AOB szbályos Legyen F BO szksz felezôpontj & AF AB 5, $ ; AF xl 5, $, cm& x xl + $ 0, 05, cm 9 Legyen négyzet középpontj K, P-bôl z AC átlór bocsátott merôleges tlppontj T, BD-re bocsátott merôleges tlppontj U ABCD négyzetben BK APT ABK, mert szögeik páronként egyenlôk & PT b BUP BKA, mert szögeik páronként egyenlôk & & PU - b 0 ABD egyenlô szárú derékszögû & AD Az 7 feldtbn láttuk: z r sugrú körbe írt szbályos tizenkétszög oldl r - CD egy sugrú körbe írt szbályos tizenkétszög oldl, mert CB DB és CDB 0 & CD - ) A belsô EFGH négyszögben z átlók merôlegesen felezik egymást és egyenlô hosszúk, tehát z EFGH négyszög négyzet b) Legyen EH x! Az átló z oldl -szerese: EG - b - l $ b- l $ x& & x $ b -l eset: metszéspont belsô pont ABE szbályos, zz EB AE EB BC és EBC 0 & EC egy sugrú körbe írt szbályos tizenkétszög oldl Az 7 feldt lpján EC DE -

7 0 Pitgorsz tételének lklmzás eset: metszéspont külsô pont ABEl szbályos, zz ElB AEl CFEl derékszögû háromszögben CF és FEl + A Pitgorsz-tétel: ElC J N J N K O K + + & O K O L P & ElC DEl + A 90 -os forgásszimmetri mitt SP PQ QR SR & PQRS négyszög négyzet ABR oldlú szbályos háromszög & ABR 60 & RBC 0 SBC oldlú szbályos háromszög & SBC 60 & ABS 0 & SBR 0 SR egy sugrú körbe írt szbályos tizenkétszög oldl Az 7 feldt szerint SR - A 90 -os forgásszimmetri mitt SP PQ QR SR & PQRS négyszög négyzet ABP szbályos & PF & KP + KPQ egyenlô szárú derékszögû & PQ J KP $ N K O + $ + K O L P 5 A megdott dtokkl m c mgsság T tlppontj z AB szksz belsô pontj Legyen F z AB szksz felezéspontj CTF derékszögû háromszögre Pitgorsz tétele: TF + & & TF 5 cm & AT AF - TF 5 cm és BT BF + TF 5 cm ATC derékszögû háromszögre Pitgorsz tétele: 5 + b & b 769 7, 7 cm BTC derékszögû háromszögre Pitgorsz tétele: 5 + c & c 7 cm 6 Legyenek F! BC, G! AC és H! AB z oldlfelezô pontok Az ABC derékszögû háromszögben + b c és CH súlyvonlr s c c Thlész tétele szerint A CGB derékszögû háromszögre Pitgorsz tétele: s b b J N K O + Az AFC derékszögû háromszögre Pitgorsz tétele: s J N K O + b s + s b + s c J N J b N J c N 5 c 5 + b K + b + c + O K O K ` O j c + c bármely c átfogójú derékszögû háromszögben

8 Pitgorsz tételének lklmzás 0 7 Pitgorsz tételét lklmzv derékszögû háromszögekre: AMB-ben x + z ; BMC-ben b z + y ; CMD-ben c y + v ; DMA-ben d v + x A fentiekbôl következik, hogy + c x + y + v + z b + d, tehát igz z állítás 8 eset: négyszög nem tégllp Legyen DT és CU z AB egyenesre merôleges DT CU; AT BU; AU AB + BU; BT qab - ATu A Pitgorsz-tétel z ATD derékszögû háromszögre: AT + DT AD () A Pitgorsz-tétel z AUC derékszögû háromszögre: AU + CU AC, mi feltételek felhsználásávl: (AB + AT) + + DT AC () A Pitgorsz-tétel BTD derékszögû háromszögre: qab - ATu + DT BD () + & AC + BD (AB + AT + DT ) (AB + AD ), mi zt jelenti, hogy e + f ( + b ) eset: négyszög tégllp Közvetlenül dódik, hogy e f + b & e + f ( + b ) 9 Felhsználjuk, hogy prlelogrmm átlóink négyzetösszege egyenlô z oldlk négyzetösszegével, zz e + f ( + b ) ) e + 7 (6 + 0 ) & e, 9 cm b) + 8 ( + 9 ) & 5, 7 cm c) ( + 5 ) & 97 Legyen DT 9 AB Pitgorsz tétele z ATD és BTD derékszögû háromszögekre: AT + m b 97 és (5 - AT) + m b 0 & AT 9 & mb cm 50 Legyenek EG és HF középvonlk Felhsználjuk, hogy négyszög oldlfelezô pontji olyn prlelogrmmát htároznk meg, minek átlói négyszög középvonli, oldli pedig négyszög átlóink felével egyenlôk A prlelogrmm átlóink négyzetösszege egyenlô J BD N J AC N BD z oldlk négyzetösszegével, zz EG + HF HE + EF + K + O K O AC + & BD + AC `EG + HF j Megjegyzés: z állítás konkáv négyszögre is igz 5 Legyen AB felezéspontj F, C középpontos tükörképe F-re Cl Az AClBC prlelogrmm átlóink négyzetösszege egyenlô z oldlk négyzetösszegével, zz + b - c b + c - + c -b c + (s c ) ( + b ) & sc ) s ; sb ; + b - c sc b) 7 cm; b cm; sc 6 cm c + (s c ) ( + b ) & & c + b - s cm c 7 5 Legyen AB felezéspontj F, C középpontos tükörképe F-re Cl Az AClBC prlelogrmm átlóink négyzetösszege egyenlô z oldlk négyzetösszegével, zz c + (s c ) + b - c + c -b ( + b ) & sc Hsonlón kphtjuk, hogy s b és b + c - s s + s b + s c b + c - + c - b + b - c + + ` + b + c j

9 0 Területszámítás, területátlkítás és lklmzási 5 5/ 5/ 5 Felhsználjuk, hogy z, b, c oldlú háromszögben c + (s c ) ( + b ) KL súlyvonl z ALC-ben és BDK-ben, ezért (KD + KB ) BD + (KL) és (LA + LC ) AC + (KL) & (KD + KB + LA + LC ) BD + AC + 8KL DK súlyvonl z ACD- ben, BK z ABC-ben, CL BCD-ben, AL pedig z ABD-ben & (c + d ) AC + (KD) ; ( + b ) AC + (KB) ; (b + c ) BD + (CL) ; ( + d ) BD + (AL) & & ( + b + c + d ) (AC + BD ) + (KD + KB + AL + CL ) (AC + BD ) + + (AC + BD ) + 6KL & + b + c + d AC + BD + KL 5 A tégllp átlói felezik egymást, ezért PK súlyvonl z ACP-nek és BPD-nek is Ezért z 5 feldtbn bizonyított összefüggés szerint ( + c ) AC + (PK), illetve (b + d ) BD + (PK) AC BD, mert z ABCD tégllp átlói, így + c b + d 55 Az 5 feldtbn láttuk, hogy (PA + PB ) AB + (PK), h K z AB felezôpont- d - AB d - AB j PA + PB d & AB + (PK) d & PK & d( P; K) állndó megdhtó A keresett pontok rjt vnnk K középpontú, sugrú k d - AB körön A k kör minden pontj megoldás A keresett ponthlmz k kör, h d > AB ; z AB sz- ksz felezôpontj, h d AB és nincs megoldás, h d < AB Területszámítás, területátlkítás és lklmzási 56 t 60 m 57 cm 58 Kilencszeresére nô terület 59 Tizenötszörösére nôtt terület 60 5 m 6 t 5, km 6 m b 75, cm 6 K prlelogrmm ( + b) 8 cm, m : m b 5:7, T prlelogrmm $ m b $ m b & b , m b m & $ m 5 ( - ) $ m & cm és b 0 cm 5 6 0,5t t t p & 0,5b m & 0,5b m & A mgsság áltl levágott derékszögû háromszögben z átfogó kétszerese z -vl szemközti befogónk, tehát 0 és b 50 prlelogrmm szögei 65 t 8 cm b) t 8 cm c) t 8 cm

10 Területszámítás, területátlkítás és lklmzási H 0 < <90, kkor m < b mgsság áltl levágott derékszögû háromszögben & t m < b H 90, kkor m b & t b Tehát tégllp területe legngyobb 67 A rombuszt e és f átlói négy egybevágó derékszögû háromszögre bontják, ezért e f t t $ $ $ ef 68 t 0 cm 69 m 9,6 cm 70 t 7, 5 $ cm 7 t cm m 7 t 7 egység 7 t 75 c t 76 ) t 6 57 cm b) t 6 5 cm c) t 55 cm 77 c 0 & b m; b 5 & z A-ból induló mgsság tlppontj ( - m) és m szkszokr bontj -t Pitgorsz tétele: b m + ( - m), zz m m + ( - m) & m + -! m - 0 & m ; & m és m, melyek - közül m < 0, ezért nem megoldás t m J N K O 78 A kpott terület megegyezik z oldlú szbályos háromszög területével, t K O, L P mi átdrbolássl is megmutthtó 79 t t + t + t, hol t t és t ; t t + t + b + l 80 c 60 & m b; t m $ b b 8 c 0 & cl 60 & m b; t $ m $ b b m $ bm $ b 5 8 T háromszög & mb $ m m cm b & b m $ bm $ b 8 T háromszög mb 8 cm ; m + m b cm & 6 $ m $ ( - m ) & m 6 cm 8 H l 80 -, kkor két háromszög z A csúcsávl egymás mellé tehetô úgy, hogy AB oldluk közös, C A, ill C A oldluk pedig A-bn egymáshoz cstlkozik tcab b$ m b t CAB H l, kkor két háromszög egybevágó, tehát egyenlô területû 85 t 80 cm 86 t 6 6 cm és 79

11 06 Területszámítás, területátlkítás és lklmzási 87 c - c 87 cm & AFD, DHE, CHE,, BGC & EH DF m Pitgorsz tétele: b m + c J - N K O & m cm; t DEC c $ m cm 88 5, ezért AB m + DC & m AB - DC ( AB + CD) m 6 cm; t 88 cm 89 Legyen x - c, hosszbbik lp mgsság áltl levágott szelete Pitgorsz tétele & e - ( - x) b - x, zz 9 - ( - x) 7 - x & ( c) m & x 8m és c 8 m; t + 50 m 90 ACDl egyenlô szárú derékszögû háromszög & CT mgsság felezi ADl-t és ACDl -et ( c) m m$ m is & AT CT TDl; t m + 9 A rövidebb lp egyik csúcsából induló mgsság tlppontj - c J c és - - N K O L P szkszokr bontj hosszbb lpot Az átló és szár merôlegessége mitt mgsságtétel & & m - c J c $ - - N K O ( c) m & cm m cm; t + 6 cm L P 9 HE középvonl z ABD-ben & t A tadb és FG középvonl DCB-ben & & t C tdcb & t A + t C $ (tadb + & t DCB ) t Hsonlón beláthtó, hogy tb + t D (tdac + t ABC ) t & t EFGH t - (t A + t B + t C + t D ) t - t t 90 9

12 Területszámítás, területátlkítás és lklmzási / 500/ 500/ 9 Vegyünk fel z ABCD négyszög csúcsin át z átlókkl párhuzmos egyeneseket Ezek metszéspontjit jelöljük rendre K-, L-, M- és N-nel MN i AC i KL és NK i DB i ML & KLMN; PDNA; PDMC; PCLB; PBKA prlelogrmmák & & t ADP t ADN ; t PDC t DMC ; t PCB t CBL ; t PAB t ABK & t ABCD tklmn és prlelogrmm terü- lete csk oldlitól (z eredeti négyszög átlóitól) és ezek szögétôl függ 9 A négyszög csúcsin át z átlókkl húzott párhuzmosok egy tégllpot htároznk meg t ttégllp ef 8 cm 95 Az ABCD négyszög csúcsin át z átlókkl húzott párhuzmosok KLMN négyszöget htározzák meg t ABCD tklmn, hol KLMN z AC i MN i KL és BD i NK i ML és AC 9 BD mitt tégllp & t ABCD $ KL $ LM AC $ BD 96 t 8 cm 97 t 7 m 98 ) t 8 cm ; b) t 0 cm ; c) t 6 cm 99 t, m t J t N 500 ) t r + br + cr r( + b + c) & r + b + c K s O b) BQA + BCAl, BAl BA R c mert szögeik egyenlôk kerületi szögek tétele mitt, zz és BC BQ mb t R cb bc t bmb & m b & & R c) t t b t t AKS + t AKT - t KBC r (c + ) + t + r (b + ) - $ r r (c + b - ) & r c + b - 50 KB 9 KlB, mert B-nél lévô belsô és külsô 50 szög szögfelezôi Emitt: KBE + KlBEl 90 és KBE + BKE 90 & KlBEl BKE KlEl 9 ElB és KE 9 BE, mert érintési pontb húzott sugrk Az láhúzottkból következik, hogy KlElB szögei megegyeznek KEB szögeivel, zz KlElB + KEB

13 08 Területszámítás, területátlkítás és lklmzási 50 Az 50 ábr jelöléseit hsználjuk Az 50 feldtból tudjuk, hogy KlElB + KEB, ezért r : BE & ElB : r, vgyis r$ r EB$ EB l ElB EllB és EllC CGl & ElA + GlA AB + + BC + CA s& ElA s& EB l s-c BE BF és FC CG és GA AE& BE + CG + GA t t s & BE s - b Az láhúzottkból és z 500 feldtból következik, hogy $ s s- (s - b)(s - c), mibôl t s( s-)( s-b)( s- c) 50 s ( + b + c): és t s( s-)( s-b)( s- c) ) t 0 $ 5 $ $ 0 cm ; b) t 0 $ $ 5 $ 60 cm ; c) t 5 $ 7 $ 8 $ 9 86 cm 50 t ss ( -)( s-b)( s- c) 5$ 0 $ 6 $ 9 60 cm t m $ b $ m b c $ m c & A leghosszbb oldlhoz trtozik legrövidebb mgsság, így m c legkisebb: t m c 0 cm c 505 t prlelogrmm t háromszög ss ( -)( s-b)( s- c) $ $ 5 $ 7 55 cm 506 A négyszög területét két háromszög területének összegeként kphtjuk meg t $ $ 7 $ + 0 $ $ 5 $ cm 507 tk K B s( s-)( s-b)( s- c) 50 $ $ $ 6 0 cm Szimmetri mitt K K tk K B felezi AB-t; tk K B KK$ AB& AB 0 cm KK 508 A prlelogrmmát z átlói négy egyenlô területû háromszögre bontják t ABCD t ABM J e NJ f N ss ( -) s- K s - OK O, hol s J e f N + + K O 5 & t ABCD 5 $ $ $ 7 L P L P cm 509 Alklmzzuk Heron-képletet z átló áltl létrehozott két háromszögre! t ABCD t ABC + + t ACD $ 6 $ $ + 5 $ 7 $ 8 $ 0 56 cm 50 Jelöljük x-szel hosszbb lpnk zt szeletét, mit d szár végpontjából induló mgsság levág belôle Így b szár végpontjából induló mgsság áltl levágott szelet ( c x) Pitgorsz tételébôl következik, hogy d - x m b - ( - c - x), zz 69 - x (0 - x) & x 5 & m d - x & m cm; t ( + c) m 80 cm 5 9 cm, b cm, c 7 cm és + c b + d & d cm; t r ( + b + c + d) & t & r cm + b + c + d 5 t AF $ m és t BF $ m ; AF BF, mert CF súlyvonl és m m d(c; e(a; B)), ezért t t

14 Területszámítás, területátlkítás és lklmzási AEK, CFK és ADK, CBK és DFK, BEK, mert oldlik és szögeik páronként egyenlôk (váltószögek, illetve csúcsszögek) & t AEK t CFK és t ADK t CBK és t DFK t BEK & t AEFD t CBEF 5 Húzzunk z átlók metszéspontján át párhuzmost EF-fel, nyerjük z El és Fl pontokt t AEFD t CBEF, míg z 5 feldtból tudjuk, hogy t AElFlD t ElBCFl ; t AEFD t AElFlD - t EElFlF és t EBCF t ElBCFl + t EElFlF t AElFlD + t EElFlF & t EElFlF 0 & EF / ElFl & EF átmegy K-n 55 r egység 56 ) r á 08, cm; b) r á cm; c) r á, dm 57 t á 5, cm 58 k 5, 08 cm 59 d á cm 50 C átmérôje 6 cm & r 8 cm és C átmérôje cm & r 6 cm t t + t r r + + r r (r + r ) r & r r (r + r ) r & r r + r & r 0 cm & C átmérôje 0 cm 5 A négyzet oldl egyenlô kör átmérôjével t kör +, t négyzet & r r +, (r) & & r á 5 & t kör á 5 r á 5, 7 cm 5 Legyen külsô kör sugr r, belsô köré r, középköré r K m és K r r & & r,9 m; r (r + r ): & r + r,8 m és r - r m& r,9 m és r 0,9 m t r r - r r ( r - r ) r á cm 5 AB és AF FB; t r r - r r (r - r ) r J N K r O & t r 5 ) t 0, 875r r; b) t 0, 0 75r r J N r K r O 55 ) t r r- r ( r -); b) t r r - r r - 6 K 6 O 56 ) r $ & r & t r r - r $ $ r - $ $ br - l b) r & r 6 & t r r- r $ $ r - $ $ ( r -) 8 c) t r- $ br- l 6 5

15 0 Területszámítás, területátlkítás és lklmzási t ADC 57 A körívszkszokból álló rész egy körgyûrû része, mit közös kezdôpontból induló sugrk vágnk ki Területe egyenesen rányos középponti szöggel t r! r r r ` - j! -! _ r- ri_ r+ ri _ r+ ri! _ r -r i $ d$ r $!, hol r $! középkör ívének hossz & Az úttest területe 0 m $ 0 m 00 m DC $ d` A; e_ D; Cij DC $ d`b; e_ D; Cij t BDC ; t ADC t AMD + t DMC és t BDC t BMC + t DMC & t AMD t BMC & t t 59 DF ; t ADF $ DF $ m $ $ m m tabcd 50 t ABP $ AB $ d(p; e(a;b)) $ tabcd 5 AE EB AB és AE idf és DF FC DC és EB icf & AEFD és EBCF egybevágó prlelogrmmák & t AEFD t EBCF tabcd Az 50 feldtból tudjuk, hogy t EPF taefd és t EQF tebcf & t EQFP t EPF + t EQF taefd + tebcf tabcd 5 CF FB és f iad Húzzunk C-n át párhuzmost f-fel! Ez két merôlegest Hl és Gl; AB-t Cl pontbn metszi tagl H ld tacl CD, mert mindkettô prlelogrmm, megegyezik egy-egy oldluk és hozzájuk trtozó mgsság (AD, illetve DHl) t GlGHHl GlHl $ HlH AD $ HlH és t CClB $ CCl $ mc $ AD $ mc Mivel f iad iccl és F felezi CB-t, z FFl középvonl CClB- ben, ezért f felezi m c -t: m c HHl & t CCl B $ AD $ HHl $ tg lghhl Az láhúzottkból: t ADHG t ABCD 5 Legyen E BC szár felezôpontj AF FD és BE EC & FE trpéz középvonl, m ezért felezi trpéz mgsságát, illetve FECD és ABEF is trpéz t FBC t FBE + t FCE $ FE $ + m AB + CD 5 + $ FE $ $ FE $ m $ m tabcd 5 Legyen M z átlók metszéspontj AM MC & t ADM t CDM, illetve t ABM t CBM, mert egy-egy oldluk és z hhoz trtozó mgsságuk egyenlô & t ABD t ADM + t ABM t CDM + t CBM t DBC 55 AF FB; CF súlyvonl & t AFC t BFC & d(a; e(c; F)) d(b; e(c; F)) & t APC t BPC

16 Területszámítás, területátlkítás és lklmzási Bontsuk fel z ABC-et PC egyenessel két háromszögre! m z APC AC-hez, m b$ mb b$ m b$ m BPC BC-hez trtozó mgsság T ABC + & m b m + m 57 Bontsuk fel szbályos háromszöget PA, PB, PC szkszokkl három drb háromszögre! TABC TAPB+ TBPC+ TAPC & $ $ + $ + $ & m m m m m m + m + m A három távolság összege háromszög mgsságávl egyenlô, mi P-tôl függetlenül állndó 58 GH ica ief és EH idb igf & DMCG; CMBF; HAMD és AEBM prlelogrmm & & t MCD tdmcg ; t CMB tmbfc ; t MDA thamd ; t ABM taebm & t ABCD tefgh 59 t + t $ m + $ m $ (m + m ) $ m t 50 t ACDE t ACJK, illetve t CBFG t CBHJ, mert közös egy-egy oldluk és hozzá trtozó mgsságuk Az 59 feldtbn láttuk, hogy t ACJK + t CBHJ t ABML A fenti egyenlôségeket felhsználv: t ACDE + t CBFG t ABLM 5 m + m m + m & t + t m + m (m + m ) (m + m ) m + m t + t

17 Területszámítás, területátlkítás és lklmzási 5 t b t Forgssuk el BQR-et B körül kl " BQlRl & t BQlRl t ABC t, mert egy-egy oldluk egyenlô és hozzá trtozó mgsságuk közös Hsonlón láthtjuk be negyedik háromszög területének z eredetivel vló egyenlôségét 5 PKA BKQ, mert i-hez trtozó középponti szögek és PKA KAD, mert váltószögek & KAD BKQ, vlmint KA KB & AKD, BKC (derékszögben is megegyeznek) & t AKD t BKC ; t AKM t AKD - t KMD t BKC - t KDM t MDCB & t t AKM + t t MDCB + t t 5 Az AB húr és z AB ív htárol egy körszeletet, mi egybevágó, tehát egyenlô területû z AlBl húr és z AlBl ív áltl htárolt körszelettel & Az AAlBlB tégllp területe egyenlô z AB ív áltl súrolt területtel 55 RS AC PQ, mert RS és PQ középvonl trdsm + t QMPB t RDS + t RSM + t MQP + t QPB $ RS $ m + $ RS $ m + $ QP $ m + $ QP $ m $ $ AC $ (m + m + m + m ) tabcd ; m + m m + m mitt t RDSM t QMPB tabcd Hsonlón beláthtó, hogy t CRMQ t ASMP tabcd / 55/

18 Területszámítás, területátlkítás és lklmzási 56 AB súlyvonl AlBC-ben & t AlAB t ABC és AlB súlyvonl AlBlA-ben & t AlBlB t AlBA AC súlyvonl ABCl-ben & t ABC t ACCl és ACl súlyvonl AlCCl-ben & t AlACl t ACCl BC súlyvonl ABlC-ben & t ABC t BlBC és BlC súlyvonl BlBCl-ben & t BlBC t BlCCl A fenti egyenlôségekbôl következik, hogy t ABC t AAlB t AlBlB t BBlC t BlCCl t ACCl t AlACl & t AlBlCl t 7 ABC 57 AB súlyvonl DBAl-ben és AlB súlyvonl AAlBl-ben & t ADB t AAlB t AlBBl CB súlyvonl ACBl- ben és CBl súlyvonl BBlCl-ben & t ABC t BBlC t CClBl DC súlyvonl BClD-ben és DCl súlyvonl CClDl- ben & t BDC t DCCl t DDlCl AD súlyvonl ADlC-ben és ADl súlyvonl AlDlD-ben & t ADC t ADDl t AAlDl A fenti egyenlôségekbôl következik, hogy t AlBlClDl t ABCD + t AAlBl + t BBlCl + t CClDl + t DDlAl t ABCD + t ADB + + t ABC + t BDC + t ADC t ABCD + t ABCD + t ABCD t 5 ABCD 58 PQ QR RC AQ súlyvonl APR-ben és AR súlyvonl AQC-ben & t APQ t AQR t ARC BQ súlyvonl BPR-ben és BR súlyvonl BQC-ben & t BPQ t BQR t BRC A fenti egyenlôségekbôl következik, hogy t ABQ t APQ + t PBQ tapc + tbpc t ABC 59 Legyen M z átlók metszéspontj t t & AM MC, mert ABM AM-hez trtozó mgsság egyenlô CBM CM-hez trtozó mgsságávl Hsonlón beláthtó, hogy t t & BM MD H egy négyszög átlói felezik egymást, kkor négyszög prlelogrmm & 550 A négyzet tengelyesen szimmetrikus AC-re, így tetszôleges P! AC esetén PD PB t PDC t BPC ; t ABPD t APB szintén szimmetri mitt A szerkesztendô P pontr: t APB t PBC & & AP PC, mert mgsság egyenlô & P z AC átló A-hoz közelebbi hrmdolópontj 55 AE C-nek, E E C-nek és E BC-nek közös C-bôl induló mgsság és egyenlô C-vel szemközti oldl, ezért területük is egyenlô & tae C t ABC E F súlyvonl z AE C- ben & tae F tae C $ $ tabc t ABC Tükrözzük F i -t E i -re & F i l K középpont körüli 90 -os forgásszimmetri mitt F F F F négyzet, és egybevágó többi kis négyzettel & t ABCD taflf BFlF CFlF DFl F 5t FF FF & t t F F F F ABCD 5 55 Felhsználjuk, hogy z ABC derékszögû háromszögben Pitgorsz tétele szerint + b - c 0 J N J bn J c N t+ t $ r+ $ r+ b - $ r K O K O K O $ r $ ` + b - c j+ b b t ABC 56 57

19 Területszámítás, területátlkítás és lklmzási Thlész tétele szerint ACB 90 Az ABC derékszögû háromszögben mgsságtétel mitt: (r ) r $ r & r r $ r & & t (r + r ) $ r - r r - r r r $ r r r $ r t 555 Az, b, c oldlk fölé írt hsonló sokszögek területe t ; t b ; t c + b A derékszögû háromszögben Pitgorsz tétele szerint: c b + b A hsonlóság mitt: t : t b :t c : b : c & t tc$ és t t b c$ & t + t b t c c c c 556 Az 555 feldtból tudjuk, hogy h két dott szbályos háromszög oldl egy derékszögû háromszög két befogój, kkor z átfogór emelt szbályos háromszög területe egyenlô lesz két dott háromszög területének összegével 557 Jelöljük hrmdik oldlhoz trtozó mgsságot m-mel A keletkezett derékszögû háromszögekre z 555 feldtból következik: t t + m és t t + m & t - t m t - t H háromszög derékszögû, kkor t vgy t 0 is lehet, z állítás ekkor is igz 558 A szögek egyenlôsége mitt AT c C + BT b A & AC:AT c BA : AT b & b : c c : b & & bb cc & A színezett tégllpok területe egyenlô 559 Legyen négyzet oldl, ekkor területe A t területet sugrú negyedkör és z sugrú félkör területével fejezzük ki: t $ () r - $ színezett síkidomok egybevágók & t tnégyzet r + t t Az ábrán 560 Legyen z AB oldlll párhuzmos e egyenesre AC + e A és BC + e B AB ie & & CA B ~ CAB & t m $ t t CAB ABC ABC & m & CA CA és CB CB (CA egy olyn derékszögû háromszög befogój, minek átfogój CA) 56 Pitgorsz tétele lpján z dott négyzetek oldliból derékszögû háromszöget szerkesztünk, melynek átfogój ngyobb négyzet oldl, egyik befogój kisebb négyzet oldl A keresett négyzet oldl derékszögû háromszög másik befogój 56 A szerkesztendô négyzet oldl b; t és t b $ $ A mgsságtétel J N lpján b szksz hossz megszerkeszthetô egy + K O átfogójú derékszögû háromszög átfogóhoz trtozó mgsságként

20 Területszámítás, területátlkítás és lklmzási 5 56 Az dott négyzet oldl ; területe t ; t + t t & (b - x) + x & Pitgorsz tétele lpján derékszögû háromszöget keresünk, minek átfogój, befogóink összege pedig b Forgssuk le szerkesztendô ABC AC x befogóját z AB befogó egyenesére & D pont, és DB DA + AB x + b - x b AC AD & ADC 5 ; b > A szerkesztés: DB b D-ben 5 DB-re B középpontú, sugrú kör A kör és szög száránk metszéspontj C 5 C merôleges vetülete DB-re A 0; vgy megoldás lehet tl rl 56 Bármely két kör hsonló, ezért m mitt m & rl r lpján rl t r szerkeszthetô tl 565 H körgyûrû területe egyenlô belsô kör területével, kkor A körök hsonlóság mitt m & m & rl lpján rl szerkeszthetô t rl r r 566 Az dott csúccsl szemközti oldlt n drb egyenlô hosszúságú szkszr osztjuk, és z osztópontokt összekötjük C-vel Az így kpott kis háromszögek egy-egy oldl és z ehhez trtozó mgsság egyenlô, így területük is egyenlô 567 AC átló felezi z ABCD prlelogrmm területét Osszuk n drb egyenlô hosszúságú szkszr BC-t és DC-t, z osztópontokt kössük össze A-vl (C-t is) Így n drb egyenlô területû kis háromszöget kpunk B-bôl indulv minden második osztópontot trtsunk meg, így n drb egyenlô területû síkidomot kpunk (H n páros, kkor háromszögek, h n pártln, kkor (n - ) drb háromszög és egy négyszög) 568 CF súlyvonl, ezért t AFC t BFC Osszuk AC-t, illetve BC-t három-három egyenlô hosszú szkszr! FP ; FP ; FC; FQ ; FQ z ABC-et ht egyenlô területû háromszögre bontj & & tafp tp FQ C t Q FB 569 AE súlyvonl felezi z ABC területét AE E-hez közelebbi P hrmdolópontját B-vel, illetve C-vel összekötô szkszok z ABE, illetve z AEC területét : ránybn osztják & & t APC t ABP $ tabc tabc& tpbc tabc A megoldás háromszög súlypontj 570 Legyen háromszög átfogój b, befogój Pitgorsz tételét lklmzv: b ; t b r + t - r b r + t - $ b r t 57 A szerkesztés: AB-vel párhuzmos C-n át: e AB-re A-bn dott l szög " bl bl + e Cl t ABCl t ABC, mert AB és hozzá trtozó mgsság közös 57 Legyen DB prlelogrmm és rombusz egyenlô átlój Legyen c ie(d; B) Tetszôleges Cl! c esetén t DBC t DBCl & t ABCD t AlBClD A szerkesztés: DB felezômerôlegese: f DB-vel párhuzmos C-n át: c DB-vel párhuzmos A-n át: f + c Cl és f + Al " " AlBClD rombusz 5 H z - lépéseket AC átlóból kiindulv végrehjtjuk, ABlCDl rombuszhoz jutunk vgy megoldás lehet 57 H két prlelogrmm egyik oldl és z hhoz trtozó mgsság egyenlô, kkor területük egyenlô A szerkesztés: A középpontú, AB sugrú kör: k k + e(d; C) Dl A-t tükrözzük BDl felezôpontjár: Cl " ABClDl rombusz A középpontú, AD sugrú kör: l 5 l + e(b; C) Bll 6 A-t tükrözzük BllD felezôpontjár: Cll " ABCllDll rombusz, vgy megoldás lehet

21 6 Területszámítás, területátlkítás és lklmzási Felhsználjuk, hogy BCClD trpézbn t BDC t BDCl A szerkesztés: BD-vel párhuzmos C-n át: e e + e(a; D) Cl " ABCl (t ABCl t ABCD ) Cl-n át párhuzmos AB-vel: c Bármely Cll! c esetén ABCll is megoldás A négyszög bármely oldlából indulunk ki, végtelen sok megoldás vn 575 Felhsználjuk, hogy PRST trpézbn PQR területe egyenlô PRS területével & t A nem változik, h PQR helyett PRS trtozik z A síkidomhoz Hsonlón: t TSP t TPQ + t QPS t TPQ + t QRS & t B nem változik, h TPQ és QRS helyett TSP trtozik B síkidomhoz A szerkesztés: Q ponton át párhuzmos PR egyenessel: t t + e T és t + f S PS vgy RT egyenese jelöli 577 ki z új htárvonlt megoldás vn 576 Az ABCD négyszög DB átlójánk F felezôpontját A-vl és C-vel összekötô szkszok súlyvonlk & t ADF t ABF és t CDF t CBF & t ADCF t AFCB Legyen FE iac! t AFC t AEC & t ADCF t ADCE & AE két egyenlô területû drbr vágj z ABCD-t H F! AC, kkor ABCD deltoid, ezért z AC átló lehet megoldás 577 eset: AB > CD Felhsználjuk: H CE iad, illetve CG GE, kkor AECD prlelogrmm és z FG 578 középvonl felezi prlelogrmm területét, illetve GB súlyvonl és felezi z EBC területét & t AFGB t FDCBG H GH ifb, kkor t FBG t FBH & t FG t GH & t FABH t FHCD & FH keresett egyenes A szerkesztés: C-n át párhuzmos DA-vl " E! AB CE felezôpontj: G G-n át párhuzmos FB-vel: e e + BC H " FH megoldás eset: H AB CD, kkor ABCD trpéz prlelogrmm & A középvonl egyenese megoldás 578 AE EC & FE 9 AC & FE felezi z ACF körszelet területét BE súlyvonl, ezért felezi z ABC terü- 579 letét Legyen FB ieg!&t FEB t FGB, vlmint t FEH t HBG & & FG keresett egyenes A szerkesztés: AC húr felezôpontj: E AC ív felezôpontj: F E-n át párhuzmos BF-fel: e e + e(a; B) G " FG megoldás 579 A szerkesztés: ABl cl CBl-vel párhuzmos B-n át: l l + e(a; C) Cl A szerkesztésbôl dódik, hogy BlBClC négyszög trpéz & t BlClC t BlBC (BlC oldluk és z ehhez trtozó mgsságuk közös) & & t ABlCl t ABlC + t BlClC t ABlC + t BlBC t ABC Egyértelmû megoldás

22 Területszámítás, területátlkítás és lklmzási Az 579 feldtbn láttuk, hogy h BCl iblc, kkor t ABlCl t ABC Tetszôleges P! e esetén t APBl t AClBl A szerkesztés: e(a; B)-re dott cl lp: ABl BlC-vel párhuzmos B ponton át: l l + e(a; C) Cl Cl-n át párhuzmos AB-vel: e 5 ABl felezômerôlegese: f 6 f + e C o & ABlC o megoldás Egyértelmû megoldás 58 Szerkesszük meg z, b oldlú szögû ABCD prlelogrmmához z, d oldlú szögû ABEDl prlelogrmmát e(a;e) + e(c;d) El Az El ponton át AD-vel húzott párhuzmos: f f + e(a;b) Bl és f + e(dl;e) Cl A szerkesztésbôl dódik, hogy ABlElD; BlBCEl; ElCECl; DElClDl négyszögek prlelogrmmák Felhsználv, hogy prlelogrmm átlój felezi területet: t BlBCEl t ABE - t ABlEl - t ElCE t ADlE - t ADEl - t ElClE t DElClDl Afenti egyenlôséget felhsználv: t ABlClDl t ABlElD + t DElClDl t ABlElD + t BlBCEl t ABCD Tehát z ABlClDl prlelogrmm megoldás A b, d oldlú szögû prlelogrmmából kiindulv ABlClDl-vel egybevágó megoldáshoz jutunk 58 A szerkesztés: AB-re A-bn szög" szár e e + DC Dl " ABClDl prlelogrmm (t ABCD t ABClDl ) dott szögû és oldlú ABClDl-vel egyenlô területû prlelogrmm: ABllCllDll (lásd z 58 feldt megoldásábn látott eljárást) 58 A szerkesztés: ABC AB-vel párhuzmos középvonlánk egyenese: k A-bn merôleges AB-re: B-ben merôleges AB-re: b + k Q és b + k P & ABPQ tégllp (t ABPQ t ABC ) 5 dott oldlú ABPQ-vl egyenlô területû tégllp " ABlPlQl (lásd z 58 feldt megoldásábn látott eljárást) 58 Felhsználjuk: Bármely két szbályos háromszög, illetve bármely két négyzet hsonló nduljunk ki egy tetszôleges (bl oldlú) szbályos háromszögbôl és szerkesszünk egy vele egyenlô területû (l oldlú) négyzetet A szerkesztés: A PQR-gel egyenlô területû PQST tégllp szerkesztése: ) PQR PQ-vl párhuzmos középvonlánk egyenese " e(f; G) b) P-ben, illetve Q-bn PQ-r állított merôlegesek kimetszik e(f; G)-bôl T és S pontokt (t PQR / $ bl $ cl bl $ cl t PQST ) A PQST tégllppl egyenlô területû négyzet szerkesztése: ) t PQST bl $ cl (l) t négyzet & l szksz bl és cl szkszok mértni közepe b) l mgsságtétel segítségével szerkeszthetô (lásd z ábrát) Amilyen rányú hsonlóság viszi z l oldlú négyzetet z dott négyzetbe, olyn rányú hsonlóságot lklmzunk bl oldlú szbályos háromszögre, és így keresett háromszöget kpjuk 58 58