Tantárgy neve Halmazok és függvények Tantárgy kódja MTB00 Meghrdetés féléve Kredtpont Összóraszám (elm+gyak + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgy kód - Tantárgyfelelős neve Rozgony Tbor Tantárgyfelelős beosztása docens. A tantárgy általános célja és specfkus célktűzése: A hallgatók smerkedjenek meg a halmazelmélet alapműveletevel és azok tulajdonságaval. Ismerjék meg a függvények globáls tulajdonságat. Szerkesszenek megfelelő smeretet az Analízs I. tárgyhoz.. A tantárgy tartalma: Halmaz, részhalmaz, hatványhalmaz. Egyszerű halmazműveletek és tulajdonságak. Számhalmaz, halmazok számossága. Hatvány, gyök logartmus. Közepek és a köztük fennálló egyenlőtlenségek. Bernoull-egyenlőtlenség. Leképezések és tulajdonságak. Függvények és a megadásukkal kapcsolatos fogalmak. Összetett függvény, nverz függvény. Valós függvény grafkonja. Egyváltozós függvények jellemzésére használt fogalmak. Elem függvények (poztív egész ktevőjű hatványfüggvények és nverzek, eponencáls és logartmus függvények, trgonometrkus függvények és nverzek. Abszolútértékes egyenletek. Eponencáls és logartmusos egyenletek. Egyenlőtlenségek megoldáshalmaza. 3. Évköz ellenőrzés módja: zárhely dolgozat íratása.. A tárgy előírt külső szakma gyakorlata: - 5. A kötelező ll. ajánlott rodalom: Katz Sándor: Függvények korszerű felfogásban, Tankönyvkadó, Budapest, 989. Peller József: Eponencáls és logartmus függvény. Dfferencálszámítás. Tankönyvkadó, Budapest, 987. Rmán János: Matematka analízs I. Líceum, Eger, 00. Rmán János: Matematka analízs feladatgyűjtemény I-II. Líceum, Eger, 00. Szabó Tamás: Kalkulus I. Polygon, Szeged, 003. 6. A tantárgy tárgy szükséglete és ellátása: -
Halmazok és függvények MTB00 hét: ea: Halmaz, részhalmaz, halmazműveletek és tulajdonsága. gy: Halmazelmélet feladatok megoldása Venn-dagrammal és egyéb módon.. hét: ea: Nevezetes egyenlőtlenségek. gy: Feladatok számtan-mértan-harmónkus- és négyzetes közepekre. 3. hét: ea: Descartes-szorzat, leképezések és tulajdonságak. gy: Egyenlőtlenségek megoldása.. hét: ea: A függvény fogalma és tulajdonsága. Összetett függvény, nverz függvény. gy: Feladatok relácókra. 5. hét: ea: Számhalmazok, halmazok számossága. gy: Függvények értelmezés tartománya értékkészlete. 6. hét: ea: A függvények globáls tulajdonsága. gy:összetett függvény, nverz függvény. 7.hét: ea: Egyváltozós elem függvények. gy:. zárthely dolgozat íratása. 8. hét: ea: Tört ktevős függvények. gy: Feladatok elem függvényekre. 9. hét: ea:aeponencáls függvény. gy: Poztív egész és tört ktevőjű hatványfüggvények és nverzek. 0.hét: ea: Logartmus függvény. gy: Eponencáls egyenletek és egyenlőtlenségek..hét: ea: Az abszolútérték függvény és tulajdonsága. gy: Logartmkus egyenletek és egyenlőtlenségek..hét: ea: Trgonometrkus függvények és nverzek. gy: Abszolútértékes feladatok. 3.hét: ea: Bernoull-egyenlőtlenség, Cauchy-Bunyakovszkj-Schwarz féle egyenlőlenség. gy: Trgonometrkus egyenletek..hét: ea: Gyökös egyenlőtlenségek megoldása. gy:. zárthely megíratása. 5.hét: ea: Feladatok a Bernoull és a Cauchy-Bunyakovszkj-Schwarz féle egyenlőtlenségre. gy: A félév zárása. Gyakorlat jegyek megállapítása. A félév gyakorlat jeggyel zárul. A két egyenként 50 pontos zárthely dolgozatból 5 pont megszerzése szükséges az elégségeshez.
Halmazok és függvények MTB00. Zárthely dolgozat (rendelkezésre álló dő 80 perc MINTA. Legyenek A, B, C H tetszőleges halmazok. Bzonyítsa be, hogy a A \ (A\ B = A B b (A\ B C = A C \( B C!. Legyen H R/ = R /, Q/, Q/, O/ Vzsgálja meg, hogy Ω halmazalgebrát alkot-e! 3. Legyenek ( =, Igazolja, hogy = és Ω { } poztv valós számok. = =. A = { 0,, } B = { 3,,5} AB(, y f y = 0 Függvény-e f vagy f? f. 5. Döntse el, hogy N/ halmazon értelmezett osztója relácó rendezés relácó-e? 6. Igazolja, hogy az A és B halmazok számossága megegyezk A = N/ B = n n N/ és n = k, k N/. { } 7. Melyek azok az valós számok, amelyekre a legalább és legfeljebb 3? + 6 + 6 + + 5 kfejezés értéke 8. Legyenek, = y y ( =, n = valós számok. Igazolja, hogy n = y 9. Két valós szám köbének összege. Bzonyítsa be, hogy összegük nem lehet nagyobb kettőnél!
0. Legyen ( g páratlan függvény. Mt mondhatunk az a f ( g( b g ( f ( c f ( f ( d g ( g( függvényekről? f páros ( Halmazok és függvények MTB00. Zárthely dolgozat (Rendelkezésre álló dő 80 perc MINTA. Az alább állítások közül melyk gaz és melyk nem? a A páros függvénynek létezk nverze és az s páros. sn + + f = R/ b Elem függvény- az ( ( ( f = függvény páros. f = 0 függvény nverze önmaga. f = peródkus. c Az ( d Az ( e Az ( { }. Mlyen f és g függvények esetén egyenlő az fog függvény értékkészlete az üres halmazzal? + 3. Legyen f ( = ( 5 g( = e [ R/ g nverzét! 5 két adott függvény. Adja meg f és. Legyen ( = + ( R/ g( = >. f 3 Képezze ha lehet fog összetett függvényt! 5. Vzsgálja és ábrázolja a következő függvényt f 3 ( = +
6. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget log + log 3. 7. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán + + = 8. Mely és y számokra teljesül, hogy sn + sn y = és cos + cos y =. Menny az y lehetséges legksebb értéke? 9. Vzsgálja és ábrázolja a következő függvényt. f ( = sn cos cos + 0. Igazolja, hogy ha 0 és n N/, akkor n + n (