A kardáncsukló kinematikája I. A szögelfordulások közti kapcsolat skaláris levezetése Bevezetés A Hooke -, vagy Kardán - csukló a gyakorlatban széles körben elterjedt gépelem. Feladata a forgó mozgás átszármaztatása abban az esetben, ha a hajtó tengely és a hajtott tengely középvonala közt szögeltérés van. Amint azt hamarosan beláthatjuk, e kapcsolási mód jellemző sajátossága, hogy a hajtó és a hajtott tengelyek szögsebessége nem egyenlő: az egyik tengely a másikhoz képest váltakozva előresiet, ill. elmarad. A mondott jelenség mind elméletileg, mind gyakorlatilag nagyon fontos következmé - nyekkel jár, így egy bizonyos igényszint fölött az esetleges kísérleti / szemléltető bemutatáson túl az elméleti magyarázat is szükségessé válik. Ennek többféle módja lehetséges; mi most a geometriai szemléletre, ill. az ábrázoló geometriai összefüggésekre alapozott skaláris levezetéseket mutatjuk be. A geometriai szemléletre alapozott levezetés Az itt közöltek az [ ] és [ ] forrásokra támaszkodnak. A geometriai helyzetet az. ábra szemlélteti v.ö.: [ ].. ábra Az. tengely: a hajtótengely; szögelfordulása φ, szögsebessége ω. A. tengely: a hajtott tengely; szögelfordulása φ, szögsebessége ω. A tengelyek α szöget zárnak be egymással. Megjegyezzük, hogy az itt szereplő mennyiségek: skalárok. Az ábra jelöléseivel: a és c a villák, b a kereszt. A kinematikai feladat az alábbiak szerint fogalmazható meg.
Adott: α, φ, ω. Keresett: φ, ω. Megoldás: A kereszten megjelöljük az O metszésponttól egységnyi távolságban lévő B és C pontokat. Az. és. tengelyek forgása során a B és C pontok egy - egy körön mozognak, melyek síkja α szöget zár be egymással. Ezt szemlélteti az a.) ábrarész. A b.) ábrarész bal oldalán az. tengelyre merőleges síkon mint képsíkon megjelenő vetületek láthatók: ~ a B pont köre valódi nagyságban, ~ a C pont körének vetülete ellipszisként. A b.) ábrarész jobb oldalán a mondott körök síkja élből látszik, az általuk bezárt α szöggel. Most adjunk az. tengelynek φ szögelfordulást! Ekkor a B pont a B 0 kezdeti helyzetéből a B véghelyzetbe, a C pont a kezdeti C 0 helyzetéből a C véghelyzetbe kerül. Minthogy a B O és OC szakaszok a forgás során merőlegességüket megtartják, ezért az OC szakasz benne van a B O- ra merőleges síkban. Így az OC szakasz mint a mondott merőleges sík és a C pont ferde pályasíkjának metszésvonala adódik. Arra vagyunk kíváncsiak, hogy mekkora a ferde síkbeli C 0 C szög valódi nagysága. Ezt a C pont pályasíkjának a képsíkba forgatásával határozzuk meg. Ezek szerint a szerkesztés lépései az alábbiak..) A B 0 OC 0 szakasz φ - gyel való elforgatásával B és C előállítása..) A C pont C - be való beforgatása, α szöggel. A C 0 OC szög a keresett φ szög. A φ szög számítása az alábbi. QC' OQ tg ; ( ) QC OQtg ; ( ) QC QC' cos. ( 3 ) Most képezve ( ) és ( ) hányadosát: tg QC' ; ( 4 ) tg QC majd ( 3 ) - ból: QC' ; QC cos végül ( 4 ) és ( 5 ) - ből: tg, tg cos amiből ( 5 ) ( 6 )
3 tg cos tg, illetve tg cos arctg. ( 7 / ) ( 7 / ) A szögsebességek definíció szerint: d ; ( 8 ) dt d. ( 9 ) dt Most differenciáljuk ( 7 / ) bal oldalát: d d tg ; ( 0 ) dt cos dt majd ( 7 / ) jobb oldalát is: d tg d d tg. dt cos ( ) cos dt cos cos dt Ezután ( 0 ) és ( ) egyenlővé tételével, felhasználva ( 8 ) és ( 9 )- et is:, cos cos cos ahonnan cos. cos cos Most ( 3 ) - ból kiküszöböljük - t, a ( 7 / ) képlet segítségével. ( 7 / ) négyzetre emelésével: tg tg ; cos tovább alakítva: sin sin cos cos cos ismert azonossággal: cos sin cos cos cos innen: ; ; ( ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 )
4 sin cos cos cos ebből: ; sin cos cos sin ; cos cos cos cos cos véve ennek reciprokát: cos cos cos ; cos cos sin majd ebből: cos cos cos cos cos cos sin Most ( 3 ) és ( 0 ) képletekkel: cos. cos cos sin (,, ) Tehát adott mennyiségekkel: sin cos cos. ( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) ( 0 ) ( ) cos. ( ) A szakirodalomban más képletalakok is előfordulnak. ( ) - ből: cos cos sin cos cos cos cos cos végül: cos cos ( 3 ) ; cos cos cos sin sin cos cos. ( 4 ) A ( 4 ) képlet szerint α = állandó esetén is a tengelyek szögsebességének aránya változó érték: a φ szögelfordulás függvénye. E viszonyszám legnagyobb értéke a nevező legkisebb értékénél van, azaz cos esetén, amikor is 0,,,stb. Ekkor:
5 cos. sin cos max ( 5 ) E viszonyszám legkisebb értéke a nevező legnagyobb értékénél van, azaz cos 0, 3 esetén, amikor is,,stb. Ekkor: cos. ( 6 ) min A ( 5 ) és ( 6 ) képletek szerint a hajtott és a hajtó tengely szögsebességének aránya, vagyis az áttétel a cos és az értékek között ingadozik. cos Megjegyezzük, hogy a kardáncsuklóval összekötött gépészeti egységek egymáshoz képesti elmozdulása miatt a csukló működése közben az α szög is megváltozhat. Ilyen helyzet gyakran áll elő egy teherautó hátsó tengelyénél, amely mozgása közben az alvázhoz viszonyított helyzetét megváltoztatja. Az ábrázoló geometriai összefüggésekre alapozott levezetés Az alábbiak a [ 3 ] forrásra támaszkodnak. Tekintsük az innen vett. ábrát!. ábra
6 A. ábra I. részén a csukló általános elrendezése, a II. részén a vetületi összefüggések tanulmányozhatók. A csuklós kereszt kiinduló helyzete legyen ABCD. Most AB - t a t tengely körül φ szöggel elforgatjuk, akkor az az A B helyzetbe kerül. Ez a felülnézeti képen szemlélhető. Ugyanakkor CD - nek ~ egyfelől: egy az A B - re merőleges síkban kell feküdnie, melynek P C nyomvonala merőleges A B - re; ~ másfelől: egy a t tengelyre merőleges síkban is, melynek. nyomvonala S O. A CD egyenes valamely tetszőleges P pontja P és P képei által van megadva, és ha ezt CD körül a vízszintesbe beforgatjuk, P 0 - ba kerül, és az O P 0 egyenes szöge O D - vel megadja a t tengely ψ elfordulásának valódi nagyságát. A felülnézeti képről: P 'D O 'D tg ; ( a ) P0D O'D tg, ( b ) tehát ( a ) és ( b ) - vel: tg P0 D. ( c ) tg P'D Az elölnézeti képpel is: P 'D P ''O '' cos ; ( d ) de P''O'' P0 D, így P0 D ; P 'D cos végül ( c ) és ( e ) - vel: tg tg. cos és megfeleltetésekkel a ( 7 / ) és ( f ) képletek egyezése adódik. A Eszerint mindkét megoldás ugyanarra az eredményre vezetett. ( e ) ( f ) Hasznos gépészeti / mechanikai tudnivalók [ 4 ], [ ] ~ A kardáncsuklók úgynevezett szögkiegyenlítő kapcsolók, melyek nagy α szögtarto - mányban képesek a forgómozgás átszármaztatására, a hajtó és a hajtott tengely között. Jellegzetes alkalmazási területe a gépkocsiipar ld. 3. ábra. A 3. ábrán megfigyelhető, hogy az α szög nem kicsi, és menet közben változhat is; a gyakorlati alkalmazásokban sokszor nem egy, hanem két kardáncsuklót építenek be, egymás után, meghatározott módon.
7 3. ábra A két kardáncsukló beépítésének az az oka, hogy így bizonyos feltételek betartása esetén kiküszöbölhető a hajtott tengely egyenlőtlen forgása. Ennek belátásához tekintsük a 4. ábrát is ld.: [ ]! 3 3 4. ábra A 4. ábra azt az esetet szemlélteti, amikor az. tengelytől a 3. tengelyre a mozgást a. tengely közvetíti. Látjuk, hogy a villáik tengelyei egy síkban helyezkednek el. A ( 7 / ) képletet átírjuk: tg tg cos. ( 7 / a ) Ennek értelemszerű alkalmazásával: tg tg cos, ( g ) tg tg cos. ( h ) Utóbbiakból: tg cos tg cos 3 3. Innen leolvasható, hogy ha, 3 akkor cos 3 cos, és ( i ) szerint tg tg, amiből, 3 3 ebből következően 3. Ezek szerint a 3. és 4. ábrán bemutatott ún. Z - elrendezéssel a hajtott tengely szögsebesség - ingadozása elkerülhető. ( i )
8 Összefoglalva: két kardáncsukló egymás után való beépítésénél a következő feltételeket kell betartani ld. [ 4 ]! :. a közbenső tengelyen ( a kardántengelyen ) a két végén lévő villák egy síkba essenek;. mindhárom tengely ( a hajtó, a kardán, a hajtott ) egy síkban legyen; 3. a közbenső kardántengelynek a hajtó és a hajtott tengellyel alkotott szöge: 3 legyen. Megjegyzések: M. Ha az. feltételt nem tartjuk be, és a kardántengelyen a villák síkjait derékszögben helyezzük el, úgy a hajtott tengely forgásának egyenetlensége az egyszerű kardáncsuk - lóénál is nagyobb lehet. Szerelésnél nagyon figyelni kell erre! M. A kardánhajtás szögsebesség - ingadozása gépészeti szempontból azért káros, mert ez szöggyorsulást, ezzel pedig többlet tehetetlenségi erőket / nyomatékokat okoz. Ezek a tengelyeket, a csapokat többlet erőkkel terhelik, az egyenletes forgás esetéhez képest. További kedvezőtlen hatás, hogy gyorsan forgó tengelyek estén a periodikus gerjesztés rezonancia okozója is lehet. Összegzés Dolgozatunk I. részében összefoglaltuk a kardánhajtással kapcsolatos legfontosabb tudnivalókat, melynek során az alapvető összefüggéseket geometriai alapon állítottuk elő. A téma bőséges hazai és külföldi szakirodalmában azonban gyakran találkozhatunk az alapvető geometriai összefüggések vektorszámítást alkalmazó levezetésével is. Dolgozatunk II. részében ezzel foglalkozunk. Irodalomjegyzék [ ] Sz. N. Kozsevnyikov: A mechanizmusok és gépek elmélete I. rész Tankönyvkiadó, Budapest, 95. [ ] I. I. Artobolevszkij: Teorija mehanizmov i masin Izd. 4., Moszkva, Nauka, 988. [ 3 ] Herrmann Miksa: Gépelemek Németh József Könyvkiadó, Budapest, 93. [ 4 ] Zsáry Árpád: Gépelemek I. Tankönyvkiadó, Budapest, 989. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 008. 09. 9.