László István, Fizika A (Budapest, 13) 1 14.A Maxwell-egenletek. Az elektromágneses hullámok Tartalmi kiemelés 1.Maxwell általánosította Ampère törvénét bevezetve az eltolási áramot. szerint ha a térben az áramok mellett változó elektromos tér is jelen van, akkor az Ampère-féle gerjesztési törvén az alábbiak szerint egészül ki: dφ H ds I + ε ahol az utolsó tag Φ da, az elektromos térerősség vektor felületre számított fluxusa. Az előtte álló szummában az uganezen az felületen átmenő áramokat kell előjelhelesen összegezni. A formai hasonlóság miatt az dφ ε e tagot eltolási áramnak nevezzük. A baloldali vonalintegrált az felületnek a határvonalát képező zárt görbére kell elvégezni.. A fén elektromágneses hullám. dφm 3.A Farada-törvén ds és az Ampère-Maxwell- dφ törvén Bds µ ( I + ε ) lehetővé teszi a hullámegenlet levezetését az elektromágneses hullámokra. 4.Az B Ponting-vektor azt mutatja meg, hog az µ elektromágneses energiaáramlás iránára merőleges egségni felületen, egségni idő alatt menni energia áramlik át. - 1 -
László István, Fizika A (Budapest, 13) 5.Az elektromágneses hullámok mozgásmenniséggel is rendelkeznek, melnek következméneként sugárzási nomást fejtenek ki eg adott felületre. - -
László István, Fizika A (Budapest, 13) 3 Bevezetés Az 18-as évek előtti kísérleti és elméleti munkák lehetővé tették annak megállapítását, hog a fén tranzverzális hullám. A hullám pontos természete azonban nem volt ismert. Az egik kísérletében Farada észrevette, hog a mágneses tér hatott az üvegen áthaladó fénre. A XIX. században kétféle mértékegség rendszer létezett az elektromosságban. Az egik a oulomb-törvén által meghatározott erőből indult ki, a másik pedig a mágneses pólusok közötti analóg erőből. z a kétféle rendszer kétféle mértékegséget adott a töltésre. zen kétféle töltésegség aránára pedig 1 ( ) 1 adódott, aminek εµ sebesség a dimenziója. Amikor megmérték a fén terjedési sebességét, arra is ez a számérték adódott. bből már ganították, hog a fén kapcsolatban van az elektromágneses jelenségekkel. A kapcsolatot Maxwell bizonította matematikailag és Hertz kísérletileg. James lerk Maxwell Heinrich Hertz (1831-1879) (1857-1894) - 3 -
László István, Fizika A (Budapest, 13) 4 14.1Az eltolási áram Maxwell észrevette, hog értelmezési problémák merülnek fel, ha az Bd l µ I Ampère-féle gerjesztési törvént olan áramkörre alkalmazzuk, amel kondenzátort is tartalmaz. A kondenzátor lemezei közötti elektromos térerősség változásból ( b ábra ) következtessünk a lemezeken lévő töltésváltozásra, amiből jön a kondenzátor lemezein kívüli (a ábra ) áramerősség, amire viszont igaz az Ampère-féle gerjesztési törvén. A Tehát a síkkondenzátor kapacitása ε. d Ha a kondenzátor pillanatni töltése Q és a lemezei közötti potenciálkülönbség V, akkor Q dq V és I Q Qd d A ε - 4 -
László István, Fizika A (Budapest, 13) 5 Q A ε A Q ε Q Φ ε dφ 1 ε dq I ε ε dφ I dφ Az ε ID menniséget hívjuk eltolási áramnak. zt kell figelembe venni az Ampère-törvénben ott, ahol az elektromos fluxus változik. Tehát vákuumban az Ampère-Maxwell-törvén a következő: B ds µ ( I + ε dφ ) vag az elektromos térerősség segítségével: H ds I + ε ahol az utolsó tag dφ Φ da, az elektromos térerősség vektor felületre számított fluxusa. Az előtte álló szummában az uganezen az felületen átmenő áramokat kell - 5 -
László István, Fizika A (Budapest, 13) 6 előjelhelesen összegezni. A formai hasonlóság miatt az dφ ε e tagot eltolási áramnak nevezzük. A baloldali vonalintegrált az felületnek a határvonalát képező zárt görbére kell elvégezni. 14.A Maxwell-egenletek (a)a Maxwell-egenletek vákuumban 1 da ε Qi Gauss i B da Gauss dφb ds Farada dφ B ds µ ( I + ε ) Ampère-Maxwell - 6 -
László István, Fizika A (Budapest, 13) 7 (b)a Maxwell-egenletek anagban D da Gauss i Q i B da Gauss dφb ds Farada dφd H ds JdA + Ampère-Maxwell hhez járulnak az anagegenletek, melek (i)izotróp lineáris közegben: D ε r ε, B µ r µ H, J σ (ii)általános esetben: D ε + P, B µ H + µ M, J σ P polarizációs vektor és M mágnesezettség. Mindegik esetben a Lorentz erő: F q ( + v B) - 7 -
László István, Fizika A (Budapest, 13) 8 14.3Az elektromágneses hullámok π ω, T k π λ - 8 -
László István, Fizika A (Budapest, 13) 9 1 A hullámegenlet:. v A hullám terjedési sebessége: v sin kx ωt + φ Uganis k sin( kx ωt + φ) A fenti egenlet megoldása ( ) ω sin A 1 v ω hullámegenlet adja: v k ( kx ωt + φ) A hullámegenlet levezetése a Maxwell-egenletekből Abban a tartománban keressük a Maxwell-egenletek megoldását, ahol csak j elektromos tér és B Bzk mágneses indukció található. bben a tartománban a Maxwell-egenletek: - 9 -
László István, Fizika A (Budapest, 13) 1 da Gauss B da Gauss dφb ds Farada dφ B ds µ ε Ampère-Maxwell - 1 -
László István, Fizika A (Budapest, 13) 11 A Farada-törvén íg alakul: dφb ds ( Bz x ) 1 t 1 ( B x) z t x 1 B t z B z - 11 -
László István, Fizika A (Budapest, 13) 1 Az Ampère-Maxwell-törvén pedig íg alakul: dφ B ds µ ε ( B + B ) B z z B x z1 z1 z µ µ ε ε t x z t B z µ ε Tehát ebben az esetben a következő egenleteket kaptuk: B z B z µ ε Az első egenletet deriváljuk x szerint, a másodikat pedig t szerint. kkor kapjuk: - 1 -
László István, Fizika A (Budapest, 13) 13 Bz Bz µ ε ebből jön: µ ε Ha viszont az első egenletet deriváljuk t szerint, a másodikat pedig x szerint. kkor kapjuk: Bz Bz µ ε Összehasonlítva ezen utóbbi két egenletet a 1 v Hullámegenlettel, azt látjuk, hog az elektromos térre és a mágneses indukcióra is olan hullámegenletet kaptunk, amelnél a hullám terjedési sebessége: v 1 µ ε c z a terjedési sebesség éppen megegezik a fénsebességgel. Behelettesítéssel meggőződhetünk, hog ezen hullámegenletek megoldása: sin Bz Bz sin B a cb z ( kx ωt) ( kx ωt) z egenletből kapjuk, hog: - 13 -
László István, Fizika A (Budapest, 13) 14-14 -
László István, Fizika A (Budapest, 13) 15 Az B Ponting-vektor azt mutatja meg, hog az µ elektromágneses energiaáramlás iránára merőleges egségni felületen, egségni idő alatt menni energia áramlik át. - 15 -
László István, Fizika A (Budapest, 13) 16 14.4Az elektromágneses hullámok spektruma kisfrekvenciák Rádióhullámok Hosszúhullám Középhullám Rövidhullám URH Mikrohullám Optikai színkép Infravörös Látható ugarak Ultraibola Röntgen-sugár γ sugárzás kozmikus sugárzás 1 m λ 4 f 1 Hz 3 4 1 m λ 1 m 4 5 1 Hz f 1 Hz 3 1 m λ 1 m 5 6 1 Hz f 1 Hz 1m λ 1 m 6 7 1 Hz f 1 Hz 1m λ 1m 7 8 1 Hz f 1 Hz 1 3 m λ 1m 8 11 1 Hz f 1 Hz 1 m λ 1 m 11 14 1 Hz f 1 Hz 7 7 4 1 m λ 7.8 1 m 14 14 4 1 Hz f 8 1 Hz 1 m λ 1 m 14 15 1 Hz f 1 Hz 1 m λ 1 m 15 17 1 Hz f 1 Hz 1 m λ 1 m 17 19 1 Hz f 1 Hz 1 19 1 m λ 1 m 1 Hz f 1 Hz 13 11-16 -