Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani a valóság megismerését és modellezését szolgáló elméleti modellek megalkotásához. 1
Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A valóság-megismerés minta vételével és a mintából történő következtetéssel történik: SOKASÁG (valóság) Következtetés Mintavétel MINTA (a valóság egy része) Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A mintavétel módszerének jellemzői: Véletlenszerűség, a sokaság minden eleme azonos valószínűséggel kerülhet a mintába Reprezentativitás, a minta jellemzi a sokaságot. A mintavételes valóság-megismerés előnye: kis erőforrásigény (pénz, anyag, energia, munkaerő) hátránya: a statisztikai következtetés bizonytalansága, de a bizonytalanság mértéke számszerűsíthető! 2
Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás menete 1. A valószínűségi változó meghatározása, jellegének (diszkrét vagy folytonos) tisztázása. 2. Mintavétel, mérés. 3. Adatrendezés, tömörítés (osztálybasorolás, csoportosítás). 4. Tapasztalati eloszlások ábrázolása, kvalitatív rendszerkép kialakítása. tapasztalati sűrűségfüggvény relatív gyakorisági eloszlás tapasztalati eloszlásfüggvény kumulált relatív gyakorisági eloszlás Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás menete 5. Matematikai-statisztikai számítások elvégzése: BECSLÉS (pont- és intervallum-) HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT (paraméteres és nemparaméteres) 6. Valószínűségelméleti számítások elvégzése (pld. számolás elméleti eloszlásokkal). 7. Szakmai következtetések. 3
Véletlenszám generálás egyenletes eloszlású véletlenszámok MS Excel függvény: =VÉL() és 1 közé eső véletlenszámot generál. Bármelyik cella módosításakor új értéket ad! a és b közé eső egyenletes eloszlású véletlenszámokat a következő transzformációval nyerhetünk: (b-a)*vél()+a tetszőleges eloszlású véletlenszámok x = F(y) értékek egyenletes eloszlásúak a (,1) intervallumon y = F -1 (x) = F -1 (VÉL()) Véletlenszám generálás normális eloszlású véletlenszámok y = F -1 (x) = INVERZ.STNORM(VÉL()) 4
Véletlenszám generálás Véletlenszám generálás 5
Véletlenszám generálás Véletlenszám generálás 6
Hipotézisvizsgálat vagy statisztikai próbák A matematikai statisztikában célunk a sokaság megismerése (a sokaságot jellemző véletlen változó eloszlásának és az eloszlásfüggvény paramétereinek meghatározása). Ennek során gyakran úgy járunk el, hogy az alapsokaságra vonatkozóan valamilyen feltevéssel élünk és ezt statisztikai próbával ellenőrizzük. A tételből, ill. folyamatból vett minták elemzésével ellenőrizzük, hogy a tétel vagy folyamat olyan eloszlású-e és/vagy olyan paraméterekkel jellemezhető-e, mint azt feltételeztük. Hipotézisvizsgálat u-próba Feltétel: egy normális eloszlású sokaság σ 2 varianciájának számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke egy adott µ számmal egyenlő. Nullhipotézis: H : µ = µ Lehetséges ellenhipotézisek (alternatív hipotézisek): H 1 : µ µ kétoldali ellenhipotézis H 1 : µ < µ, H 1 : µ > µ, H 1 : µ = µ 1 egyoldali ellenhipotézisek 7
Hipotézisvizsgálat u-próba menete x µ Próbastatisztika: u = σ n A próbastatisztika csak akkor N(,1) eloszlású, ha a nullhipotézis igaz: µ = µ. x µ µ µ Egyébként u = + első tagja lesz N(,1) eloszlású. σ n σ n Az u-eloszlás táblázata alapján megállapítjuk, hogy az u próbastatisztika nagy (pl. 1 α =.95) valószínűséggel melyik intervallumba esik. Ha a H igaz ez lesz az elfogadási tartomány. Hipotézisvizsgálat u-próba menete Ehhez rögzíteni kell az ellenhipotézist. Ellenhipotézis: H 1 : µ µ x µ P uα α α σ 2 < u 2 = 1 n Ellenhipotézis: H 1 : µ < µ H 1 : µ > µ x µ P σ n uα = 1 α x µ P uα = α σ 1 n 8
Hipotézisvizsgálat u-próba menete Ha az u számított értékét az (1-α) valószínűséghez tartozó elfogadási tartományon belül találjuk, akkor a H nullhipotézist elfogadjuk, ha a próbastatisztika értéke az intervallumon kívül esik (elutasítási tartomány), akkor elutasítjuk. Ez a döntés. Hipotézisvizsgálat 9
Hipotézisvizsgálat A statisztikai minta és a teszt statisztika alapján a H nullhipotézist elfogadjuk elutasítjuk Valójában H helyes Valójában H nem helyes HELYES DÖNTÉS MÁSODFAJÚ HIBA (elkövetésének valószínűsége β) ELSŐFAJÚ HIBA (elkövetésének valószínűsége α) HELYES DÖNTÉS 1