Esettanulmányok és modellek 3 Pénzügyek Idegenforgalom Készítette: Dr. Ábrahám István 1
Pénzügyi feladatok 1. (Kocsis Péter: Opt. döntések lin.pr. (3. oldal) nyomán): Adott négy részvény jelenlegi árfolyama és a tőzsde hónappal későbbi árfolyamelvárásai: jelenlegi árfolyam árfolyamelvárás (Ft/db) Összesen legfeljebb 4 millió forintot akarunk befektetni. A 13 800 16 600 B 14 600 15 500 C 800 3 100 D 3 800 4 00 Milyen portfolió esetén lenne az elvárt hozam maximális? Mindegyik részvényből legalább fél millió Ft értékben vásárolunk. Az A részvényből legfeljebb 100 darabot vennénk. A C részvényből legalább kétszer annyit veszünk, mint a D -ből. Megoldás: A döntési változó az egyes részvények darabszáma: x i. x i N + Az egyes részvényekből legalább 500000 37, 13800 ill. 35, 179, 13 darabot veszünk. Így: x 1 37 x 35 x 3 179 x 4 13 A célfüggvény a hozamokra: Továbbá: x 1 100 és: x 3 -x 4 0 z=800x 1 +900x +300x 3 +400x 4 max. Valamint: 138x 1 +146x +8x 3 +38x 4 40000
. 10 millió forintot elhelyezünk 3 alapba: 5 milliót részvénybe, 3 milliót államkötvénybe, milliót lekötött betétbe fektetünk. I II III Négy társaságnál fektetjük be a tőkét: 4, 3, és 1 millió forintot egyenként. A társaságok az adott időszakra megadták a százalékos hozamokat : A 19 9,4 7,8 4 B 17 9,8 8 3 C 0 8,9 7, D 16 9, 6,6 1 5 3 Az A és C társaságnál legalább 3 millióért veszünk részvényt összesen. Lekötött betét csak a B -nél lesz. Milyen bontásban helyezzük el a pénzünket, ha a maximális hozam elérése a célunk? Megoldás: A döntési változó x ij jelentse az egyes alapokba valamelyik társaságnál elhelyezett tőkét. Az induló feltétel: x ij 0, ahol 1 i 3 és 1 j 4. A feltételi relációk: x 11 +x 1 +x 13 +x 14 =5 x 1 +x +x 3 +x 4 =3 x 31 +x 3 +x 33 +x 34 = A célfüggvény: x 11 +x 1 +x 31 =4 x 1 +x +x 3 =3 x 13 +x 3 +x 33 = x 14 +x 4 +x 34 =1 Továbbá: x 11 +x 13 3 x 3 = z=0,19x 11 +0,17x 1 + +0,066x 34 max. Az x 3 = helyett lehetne: x 31 =x 33 =x 34 =0 is. Ekkor a nulla értékű változókat a célfüggvényből kihagyjuk. 3
3. Bérköltség optimalizálás (Sz. Zs. főiskolai hallgató esettanulmánya nyomán) Szobafestő kisvállalkozásnak jelenleg 3 megrendelése van. Az adatok: munkaigény hengerezés terület (m (nap) (nap) határidő (nap) ) I 7 6 8 100 II 13 5 600 III 56 15 0 400 A munkák a II. megrendeléssel kezdődnek hétfőn, utána szerdán az I. indul, a III. a következő hétfőn. Így összesen 7 nap alatt végezni kell a munkákkal. Folyamatos munka esetén az I-be nap, a III-ba 5 nap hétvége esik. A cég 4 alkalmazottjának napidíjai: A: 500 Ft, B: 6000 Ft, C és D: 700 Ft. A hétvégi pótdíj egységesen 100 Ft naponta. Hengerezni a dolgozók közül csak D tud, de ő hétvégén nem dolgozik. Az A előkészítő, neki minden munkahelyen legalább 1 napot dolgoznia kell. A csapat bármilyen összetételben dolgozhat együtt. A dolgozóknak fejenként minimum 3 szabadnap jár, ebből legalább 1 hétvégén. Cél: melyik munkásnak melyik megrendelésen hány napot kell dolgoznia ahhoz, hogy a feltételek teljesülésével a bérköltség minimális legyen? Megoldás: A döntési változónál figyelembe kell venni az egyes munkásoknak az az adott munkahelyeken eltöltött idejét és azt is, hogy az hétköznap, 4 vagy hétvégi nap volt.
Így a döntési változó háromindexes. x ijk jelentése: az i-edik munkás a j-edik munkahelyen hány napot dolgozott. A k értéke legyen 1, ha ez a nap munkanap volt és, ha hétvégi nap. Induló feltétel: x ijk N. Az A munkás legalább 1 napot minden munkahelyen dolgozik: x 111 1 x 11 1 x 131 1 Az I. munka teljes munkaigénye 7 nap, ez kevesebb, mint 4*8= 3 nap: x 111 +x 11 8 x 11 +x 1 8 x 311 +x 31 8 x 411 +x 41 8 A II. munka teljes munkaigénye 13 nap, ez kevesebb, mint 4*5 nap: x 11 +x 1 5 x 1 +x 5 x 31 +x 3 5 x 41 +x 4 5 A III. munka teljes munkaigénye 56 nap, de 1 héttel később kezdtek, így: x 131 +x 13 0 x 31 +x 3 0 x 331 +x 33 0 x 431 +x 43 0 A 4. munkás ( D ) a hétvégeken nem vállal munkát: x 411 +x 41 6 x 41 +x 4 x 431 +x 43 15 x 41 +x 4 + x 43 =0 A munkaigény feltételei: x 111 +x 11 + x 11 +x 1 + x 311 +x 31 + x 411 +x 41 =7 x 11 +x 1 + x 1 +x + x 31 +x 3 + x 41 +x 4 =13 x 131 +x 13 + x 31 +x 3 + x 331 +x 33 + x 431 +x 43 =56 5
A három munka összmunkaideje 7+13+56=96, azaz munkásonként 4 nap: x 111 +x 11 + x 11 +x 1 + x 131 +x 13 4 x 11 +x 1 + x 1 +x + x 31 +x 3 4 x 311 +x 31 + x 31 +x 3 + x 331 +x 33 4 x 411 +x 41 + x 41 +x 4 + x 431 +x 43 4 Hétvégeken egyik munkásnak sem kell 5 napnál többet dolgoznia és legalább egy nap hétvégén legyen szabad: x 11 +x 1 + x 13 5 x 1 +x + x 3 5 x 31 +x 3 + x 33 5 x 11 +x 1 + x 13 1 x 1 +x + x 3 1 x 31 +x 3 + x 33 1 A célfüggvény a napi bérekből (százas mértékegységben): z= 5x 111 +64x 11 + 5x 11 +64x 1 + 5x 131 +64x 13 +60x 11 +7x 1 +60x 1 +7x + +60x 31 +7x 3 +7x 311 +84x 31 + 7x 31 +84x 3 + 7x 331 +84x 33 +7x 411 +84x 41 + +7x 41 +84x 4 +7x 431 +84x 43 min. Az eredményt géppel számolva az adatbevitel igényel figyelmet, türelmet. 6
Idegenforgalom 1. (R. E. főiskolai hallgató esettanulmánya nyomán): Egy utazási iroda repülős és buszos utazásokat szervez, 4 úticéllal. Adatok: Tunézia Ibiza Hawai Malaga Repülő (eft) 100 10 00 10 Busz 50 A költségek és az árak értelemszerűen 1 főre, illetve 1 hétre vonatkoznak. A preferáltsági mutatókat nyereségarányosan állapították meg. A repülési árak akkor érvényesek, ha a repülési költség legalább 50 millió Ft. A buszos árak akkor érvényesek, ha a busz költség legalább 3 millió Ft. A szállás összköltség az előzetes foglalás miatt maximum 100 millió Ft lehet. Tunéziában összesen 00 férőhely van, ebből 1-t már lefoglaltak. Malagán 66, Hawaiban 1, Ibizán 80 férőhely van maximum. Hawaira 4, Ibizára 0 férőhelyet legalább el kell adni a túra indításához. Az iroda szeretné, hogy a preferáltsági mutatók átlaga legalább 4 legyen. Cél a lehető legnagyobb árbevétel. 0 0 0 (eft) Szállás 50 100 00 80 (eft) Utazási ár 30 80 500 50 (eft) Preferáltság 6 1 3 7
Megoldás: A döntési változó az egyes utakat választók száma: x I. x i N Feltételek: 100x 1 +10x +00x 3 +10x 4 50000 Repülő. 50x 4 3000 Busz. 50x 1 +100x +00x 3 +80x 4 100000 6x 1 +x +x 3 +3x 4 4(x 1 +x +x 3 +x 4 ) x 1 1 x 1 00 Tunézia. Szállás. Preferáció miatt. x 3 4 x 3 1 Hawai. x 0 x 80 Ibiza. x 4 66 Malaga. A célfüggvény: 30x 1 +80x +500x 3 +50x 4 max Ha az iroda a készkiadásokon (50+3+100=153 millió) kívül még az egyéb költségeire és a profitjára további legalább 50 milliót szeretne kapni, akkor lesz mégegy feltétel: 30x 1 +80x +500x 3 +50x 4 03000 Az eredeti esettanulmányban további feltételek is szerepeltek. 8
. (Kocsis Péter: Opt. döntések lin.pr. (35. oldal) nyomán): Egy légitársaság egyik járatán 1 jegy 60000 forintba kerül. Ha mind a 100 ülőhelyet kihasználják, akkor a jegyek árának 60%-a a cég haszna. Üzletpolitikai megfontolásból a járatra legfeljebb 0%-kal több jegyet adnak el, mint az ülőhelyek száma, mert a tapasztalatok szerint: - Legfeljebb négyen lekésik a járatot. Ők egy későbbi járattal repülhetnek és a nyereség ott kerül elszámolásra. - Legfeljebb hárman a jegy kiállítása előtt visszamondják az utazást, nekik a pénzt visszaadják. - Az utazás előtt legalább egy héttel legfeljebb hárman mondják le az utazást, nekik a pénz 80%-át visszaadják. - Az utazás előtti egy héten belül legfeljebb ketten mondják le az utazást, így nekik a pénz 50%-át fizetik vissza. Azok számára, akik a túlbúkolás miatt ülőhely hiányában nem tudnak a járattal elutazni, a cég 75000 Ft kárpótlást fizet és a következő járatán biztosítja az utazást. A nyereséget (veszteséget) az eredeti járatnál könyvelik el. Az adott feltételek mellett az utasok milyen megoszlásával lenne a szóban forgó járaton az elkönyvelt nyereség maximális? 9
Megoldás: A döntési változók: x 1 az eladott jegyek száma x a járatot lekésők száma Nyilván: x x 3 a lemondók száma a jegykiállítás előtt i N x 4 a lemondók száma 1 héttel utazás előtt x 5 a lemondók száma 1 héten belül x 6 a helyhiány miatt lemaradók száma A feltételek: x 1 10 x 4 x 3 3 x 4 3 x 5 x +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 0 x 1 - x -x 3 -x 4 -x 5 -x 6 =100 A speciális esetek. A gép tele van. A célfüggvény felírásához: az út önköltsége utasonként 60 0,4=4 ezer Ft. 60% volt a nyereség, így a ráfordítás 40%. A teljes számított árbevételből (60000x 1 ) le kell vonni a visszafizetéseket és a ráfordítást. Így: z=60x 1-60x -60x 3-48x 4-30x 5-99x 6-400 max (ezer forintban) Magyarázat: a 48 a 60-nak 80%-a, a 30 fele a 60-nak. A 99 úgy adódik, hogy 75 a kárpótlás, meg 4 a ráfordítás. A 400 a 100 utas szállításának önköltsége. A fejezet tárgyalását befejeztük 10