Val sz n s gsz m t s. Ketskem ty L szl

Val sz n s gsz m t s Ketskem ty L szl Budapest, 1998. szeptember 18.

Tartalomjegyz k EL SZ 5 I. AKolmogorov-f le val sz n s gi mez 7 I.1. Aval sz n s gsz m t s alapfogalmai s axi marendszere... 7 I.. P ld k val sz n s gi mez kre... 17 I.3. K s rletsorozat, az esem nyek relat v gyakoris ga... 18 I.4. A felt teles val sz n s g s az esem nyek f ggetlens ge... 19 I.5. Kidolgozott feladatok s gyakorlatok... 4 II. A val sz n s gi v ltoz 51 II.1. A val sz n s gi v ltoz fogalma... 51 II.. Az eloszl sf ggv ny fogalma................... 53 II.3. Diszkr t val sz n s gi v ltoz k.................. 57 II.4. Folytonos val sz n s gi v ltoz k................. 6 II.5. Val sz n s gi v ltoz k transzform ci i... 69 II.6. A v rhat rt k.......................... 7 II.7. Magasabb momentumok, sz r sn gyzet............. 76 II.8. Kidolgozott feladatok s gyakorlatok... 80 III.Val sz n s gi vektorv ltoz k 93 III.1.Val sz n s gi vektorv ltoz k, egy ttes eloszl sf ggv ny... 93 III..Diszkr t val sz n s gi v ltoz k egy ttes eloszl sa... 96 III.3.Folytonos val sz n s gi v ltoz k egy ttes eloszl sa....... 98 III.4.Val sz n s gi vektorv ltoz k transzform ci i.......... 101 III.5.A kovariancia s a korrel ci s egy tthat............ 106 III.6.A felt teles v rhat rt k..................... 111 III.7.Kidolgozott feladatok s gyakorlatok...115 3

4 TATALOMJEGYZ K IV.Val sz n s gi t rv nyek 137 IV.1.Nevezetes egyenl tlens gek.................... 137 IV..Val sz n s gi v ltoz k sorozatainak konvergenci i...138 IV.3.A nagy sz mok t rv nyei...140 IV.4.A karakterisztikus f ggv ny...14 IV.5.Centr lis hat reloszl s t telek...145 IV.6.Kidolgozott feladatok s gyakorlatok...147 Jel l sek 159 Aj nlott irodalom 163 F GGEL K 165

EL SZ A jegyzet a BME Villamosm rn ki s Informatikai Kar Informatikus szak nak Val sz n s gsz m t s c. tant rgy hoz k sz lt seg danyag. A jegyzet az elm let szok sos fel p t s t k vetve n gy fejezetre tagol dik, a fejezetek szakaszokb l llnak. Az els fejezet tartalmazza a val sz n s gsz m t s axi marendszer t, a val sz n s gi m rt k legfontosabb tulajdons gait s kisz m t s nak klasszikus m dszereit. A m sodik fejezet a val sz n s gi v ltoz kkal, a harmadik fejezet a val sz n s gi vektorv ltoz kkal foglakozik. A negyedik fejezetben kapnak helyet a nagy sz mok t rv nyei s a centr lis hat reloszl s t telek. A fejezetek v g n nagy sz m kidolgozott feladat s n ll an megoldand gyakorlat tal lhat. A jegyzet v g n a felhaszn lt jel l sek, szimb lumok sszefoglal sa, t rgymutat, aj nlott irodalmak jegyz ke s f ggel kben a norm lis eloszl s t bl zata olvashat m g. AVal sz n s gsz m t s c. tant rgy el k sz ti a T megkiszolg l s informatikai rendszerekben s az Inform ci elm let c. tant rgyakat, de olyan m s t rgyak is p tenek r, mint pl. a Matematikai statisztika, Sztochasztikus folyamatok, V letlen sz mok gener l sa s szimul ci k, Megb zhat s gelm let, Oper ci kutat s, stb. Aval sz n s gsz m t st axiomatikus fel p t sben t rgyaljuk, eleve elfogadott alapfogalmakb l s alapt telekb l kiindulva jutunk el az egyszer bb t teleken s den ci kon kereszt l az sszetettebb ll t sokhoz s fogalmakhoz. A t telek nagy r sze bizony t sokkal egy tt szerepel, ami az elm leti h tt r jobb meg rt s t szolg lja. Ugyanezt seg tik a bemutatott p ld k s kidolgozott feladatok, valamint a mell kelt br k is. Az sszetett, bonyolult bizony t sokat els olvas skor mell zni lehet, a f bb sszef gg sek an lk l is meg rthet k. Ez ton mondok k sz netet Dr. Gy r L szl akad mikusnak a k zirat gondos tnez s rt, a jegyzet szerkezeti fel p t s vel kapcsolatos tan csai rt s rt kes szakmai megjegyz sei rt, kieg sz t sei rt. K sz n m Pint r M rta 5

6 TATALOMJEGYZ K doktorandusznak is, hogy k r ltekint en elolvasta a k ziratot, s seg tett a hib k, pontatlans gok kik sz b l s ben. K sz nettel tartozom Gy ri S ndor m sod ves informatikus hallgat nak is, aki sokat dolgozott a sz veg internet h l zatra t tel vel. V gezet l k sz n m Salfer G bor tan rseg dnek a L A TEXsz vegszerkeszt vel kapcsolatos tan csait, seg ts g t. Budapest, 1998. szeptember 15. Ketskem ty L szl

I. fejezet A Kolmogorov-f le val sz n s gi mez I.1. Aval sz n s gsz m t s alapfogalmai s axi- marendszere Az alapfogalmak szeml letb l ered, mag t l rtet d fogalmakat jelentenek, amelyeket egyszer bb fogalmak seg ts g vel nem lehet deni lni, hanem csup n k r l rni lehet ket, illet leg p ld kat lehet mutatni r juk. Hasonl an, az axi m k bizony t s n lk l elfogadott ll t sok, amelyek annyira nyilv nval ak, hogy csup n a szeml letb l vezetj k le ket. I.1.1. Alapfogalom: V letlen k s rleten (K) olyan folyamatot, jelens get rt nk, amelynek kimenetele el re bizonyosan meg nem mondhat, csup n az, hogy elvileg milyen k s rletkimenetelek lehetnek. Av letlen k s rletet ak rh nyszor meg lehet gyelni, vagy v gre lehet hajtani azonos felt telek mellett. I.1.1. P lda: a.) Egy szab lyos j t kkock val dobunk. Nem tudjuk el re megmondani az eredm nyt, de azt ll thatjuk, hogy az 1,,3,4,5,6 rt k k z l valamelyiket kapjuk. b.) Egy teljes, j l megkevert csomag magyark rty b l v letlenszer en kih zunk 10 lapot. A v letlent l f gg, hogy melyik lesz az a 10 lap, de azt 7

8 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz n s gi mez tudjuk, hogy a 3 lap sszes ism tl s n lk li kombin ci ja k z l lehet csak valamelyik. c.) Egy telefonk sz l ket gyelve m rj k a k t h v s k z tt eltelt id t. A lehets ges kimeneteleka[0 1) intervallum pontjai. I.1.. Alapfogalom: A K v letlen k s rlet lehets ges kimeneteleitelemi esem nynek nevezz k. Av letlen k s rlet v grehajt sa sor n az elemi esem nyek halmaz b l mindig csak egy fog realiz l dni. Az elemi esem nyek jel l s re az!, esetleg! i szimb lumokat fogjuk haszn lni. I.1.1. Den ci : A K v letlen k s rlettel kapcsolatos sszes elemi esem ny halmaz t esem nyt rnek nevezz k s -val jel lj k. I.1.. P lda: a.) A kockadob s k s rlet vel kapcsolatos elemi esem nyek az 1 3 4 5 6 rt kek, =f1 3 4 5 6g. b.) A k rtyah z s k s rlethez tartoz elemi esem nyek a 3-es csomag sszes 10 lapos r szhalmazai, a lapok sorrendj t nem gyelembev ve, =f! :! a 3 k rtyacsomag egy 10 elemsz m kombin ci jag. c.) A telefonh v sok k z tti id tartamra vonatkoz k s rlethez tartoz elemi esem nyekaz=[0 1) intervallum pontjai. I.1.. Den ci : Az elemi esem nyek halmazait, az esem nyt r r szhalmazait esem nyeknek nevezz k, s a latin abc bet ivel jel lj k: A B C :::. Megjegyz s: a.) Az esem nyek deni l s t gyakran logikai ll t sok megfogalmaz s val tessz k. Ilyenkor az esem nynek megfelel halmaz azokb l az elemi esem nyekb l ll, amelyek realiz l d sa eset n a logikai ll t s rt ke igaz. b.) Az egyetlen elemi esem nyb l ll esem nyeket az egyszer s g kedv rt atov bbiakban szint n elemi esem nyeknek fogjuk nevezni, holott matematikailag az elem s az elemb l ll egyelem halmaz fogalma nem ugyanaz! A legal bb k telem esem nyeket sszetett esem nynek is nevezz k.

I.1 Aval sz n s gsz m t s alapfogalmai s axi marendszere 9 I.1.3. Den ci : Az A esem ny bek vetkezik, ha a k s rlet v grehajt sa ut n olyan elemi esem ny realiz l dott, ami az A eleme. I.1.3. P lda: a.) A kockadob s k s rlet vel kapcsolatos esem nyaf 4 6g elemi esem ny-halmaz, melyet a p rosat dobunk logikai ll t ssal is deni- lhatunk. b.) A k rtyah z s k s rlethez tartoz esem ny pl. a. van sz a kih zott lapok k z tt ll t shoz tartoz k rtya-kombin ci k halmaza, amelyhez az - t alkot ; ; 3 8 db. elemi esem nyb l 3 ; 8 ; 8 8 tartozik. c.) A telefonh v sok k z tti id tartamra vonatkoz k s rlethez tartoz esem ny pl. az t percen bel l fog cs ngeni, ami ppen a [0 5) intervallum pontjait deni lja. I.1.4. Den ci : Az A esem ny maga ut n vonja a B esem nyt, ha az A esem ny r szhalmaza a B esem nynek. Jel l s: A B. Megjegyz s: A K v letlen k s rlet! elemi esem nyeit jellemzi az, hogy nincs olyan B 6= esem ny, amely!-t maga ut n vonn. I.1.4. P lda: a.) Kockadob sn l a hatost dobunk esem ny maga ut n vonja a p rosat dobunk esem nyt. b.) K rtyah z sn l a mind a n gy szt kih ztuk esem ny maga ut n vonja a van piros sz n lap a kih zottak k z tt esem nyt. c.) Telefonh v sn l az t percen bel l cs r gni fog maga ut n vonja a t z percen bel l cs r gni fog esem nyt, hiszen [0 5) [0 10). I.1.5. Den ci : Az A s B esem nyek ekvivalensek, haa B s B A teljes l egyszerre. Ekvivalens esem nyek k z tt nem tesz nk k l nbs get. Jel l s: A = B. I.1.6. Den ci : Lehetetlen esem nynek nevezz k azt a -vel jel lt esem nyt, amely a K b rmely v grehajt sa sor n soha nem fog bek vetkezni, azaz az res halmaz. megfelel a konstans hamis ll t snak, olyan esem ny, ami elvileg soha nem k vetkezhet be. I.1.7. Den ci : Biztos esem nynek nevezz k azt az esem nyt, amelyik a K b rmely v grehajt sa sor n mindig bek vetkezik. Ez az esem ny nem m s, mint az esem nyt r. megfelel a kontans igaz ll t snak.

10 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz n s gi mez I.1.5. P lda: a.) A kockadob sn l a 10-n l kisebb rt ket dobunk esem ny az-val, a negat v rt ket dobunk esem ny pedig -vel ekvivalens. b.) K rtyah z sn l van a lapok k z tt hetest l k l nb z -val, m g a minden lap rt ke legal bb t z -vel ekvivalens. c.) Telefonh v sn l valamikor cs r gni fog -val, soha nem fog cs r gni pedig -vel ekvivalens. I.1.8. Den ci : Egy A esem ny ellentett esem nye azaz A -val jel lt esem ny, ami pontosan akkor k vetkezik be, amikor A nem k vetkezikbe. A az A-nak az -ra vonatkoztatott komplementer halmaza, azaz A =n A. I.1.9. Den ci : Az A s B esem nyek sszeg n azt az A + B-vel jel lt esem nyt rtj k, amely pontosan akkor k vetkezik be, ha A s B k z l legal bb az egyik bek vetkezik. (A + B az A s B esem nyek uni ja). I.1.10. Den ci : Az A s B esem nyek szorzat n azt az AB vagy ABvel jel lt esem nyt rtj k, amely pontosan akkor k vetkezik be, amikor A is s B is egyidej leg bek vetkezik. (AB az A s B esem nyek metszete). I.1.11. Den ci : Az A s B esem nyek k l nbs g n azt az A n B - vel jel lt esem nyt rtj k, ami pontosan akkor k vetkezik be, amikor A bek vetkezik, de B nem. ( A n B = A B). I.1.1. T tel: Tetsz leges A B s C esem nyekre igazak az al bbiak: a.) A + B = B + A b.) (A + B) +C = A +(B + C) c.) A + A = A d.) AB = BA e.) (AB)C = A(BC) f.) AA = A g.) A(B + C) =(AB)+(AC) h.) A +(BC)=(A + B)(A + C) i.) A = A j.) A + B = A B k.) A B = A + B

I.1 Aval sz n s gsz m t s alapfogalmai s axi marendszere 11 l.) A A = m.) A + A = n.) A =A o.) A += p.) A = r.) A + = A: Bizony t s: Mivel az esem nyek k z tti m veletek a halmazok k z tti uni s metszet illetveakomplementer seg ts g vel voltak rtelmezve, s ott igazak a Boole algebra sszef gg sei, itt is rv nyesek lesznek. I.1.1. Den ci : Az A s B esem nyek egym st kiz r ak, haab =, azaz szorzatuk a lehetetlen esem ny. Egym st kiz r esem nyek egyidej leg nem k vetkezhetnek be. I.1.13. Den ci : Az A 1 A ::: A n :::esem nyek (nem felt tlen l v ges elemsz m ) rendszereteljes esem nyrendszert alkot, ha i j -re A i A j = (p ronk nt egym st kiz rj k) s P 8i A i =teljes l. Megjegyz s: a.) A K v letlen k s rlet egy v grehajt sa sor n a teljes esem nyrendszer esem nyei k z l csak egyik k fog biztosan bek vetkezni. b.) Az A s A k telem teljes esem nyrendszer. I.1.6. P lda: A francia k rty b l val h z sn l az A 1 =k rt h zok, A =k r t h zok, A 3 =pikket h zok s A 4 =treet h zok esem nyek teljes esem nyrendszert alkotnak. I.1.1. Axi m k: A K v letlen k s rlettel kapcsolatos sszes esem nyek = rendszere (az.n. esem nyalgebra) -algebra, azaz kiel g ti az al bbi tulajdons gokat: 1 o = o Ha A =) A =is. 3 o Ha A 1 A ::: A n :::=) P 8i A i =is. Megjegyz s:

1 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz n s gi mez a.) = nem felt tlen l esik egybe sszes r szhalmazainak halmazrendszer vel. =-ben csak a k s rlettel kapcsolatba hozhat.n. meggyelhet esem nyekvannak. Nem z rjuk ki, hogy lehetnek -nak olyan A r szhalmazai, amelyeket nem tudunk meggyelni, azaz lehet olyan kimenetel, ami v g n nem tudjuk megmondani, hogy A bek vetkezett-e vagy sem. Az axi m kkal ppen az ilyen A esem nyeket akarjuk kiz rni a tov bbi vizsg latainkb l. b.) Az axi m k nyilv nval tulajdons gokat fogalmaznak meg. Az 1 o pontban azt k vetelj k meg, hogy a biztos esem ny meggyelhet legyen. A o -ben azt ll tjuk, hogy ha az A esem nyt meg tudjuk gyelni, akkor az ellentettj t is meg tudjuk. A 3 o -ban pedig az az ll t s, hogy ha esem nyeknek egy rendszer t egyenk nt meg tudjuk gyelni, akkor azt az esem nyt is meg fogjuk tudni gyelni, amely akkor k vetkezik be, ha a felsorolt esem nyek k z l legal bb egy bek vetkezik. is: I.1.. T tel: Az axi m kb l levezethet k =-nek tov bbi tulajdons gai a.) =, azaz a lehetetlen esem ny is meggyelhet. b.) Ha A B =)A + B =is, azaz a 3 o axi ma v ges sok esetre is igaz. c.) Ha A B =)AB =is, azaz meggyelhet esem nyek szorzata is meggyelhet. Y d.) Ha A 1 A ::: A n ::: = ) A i =is igaz, azaz meggyelhet 8i esem nyek egy ttbek vetkez se is meggyelhet. e.) Ha A B =)A n B = s B n A =, azaz meggyelhet esem nyek k l nbs gei is meggyelhet ek. Bizony t s: a.) Az 1 o s o axi m kb l trivi lisan k vetkezik. b.) Az A 1 = A A = B A 3 = A 4 = = v laszt ssal, a 3 o axi m b l k vetkezik.

I.1 Aval sz n s gsz m t s alapfogalmai s axi marendszere 13 c.) Ha A B =, akkor o miatt A B =is igaz, de akkor b.) miatt A + B =is fenn ll, de jra a o axi m ra hivatkozva ekkor A + B = AB = is fenn ll. Az utols l p sben a I.1.1 t tel j.) s i.) ll t sait haszn ltuk fel. d.) Az el z h z hasonl an, a o s 3 o axi m kb l valamint ade Morgan azonoss gokb l k vetkezik. e.) o miatt A B =is igaz, gy c.) miatt (A n B =)A B = s (B n A =)B A =is igaz. I.1.. Axi m k: Adott egy P : =![0 1] halmazf ggv ny, melyet val sz n s gnek nevez nk. A P f ggv ny kiel g ti az al bbi tulajdons gokat: 1 o P() = 1 o Ha A 1 A ::: A n :::=p ronk nt egym st kiz rj k, azaz 8i 6= j-re A i A j =, akkor P P P( A i )= P(A i ): 8i 8i Megjegyz s: a.) A o axi m ban megfogalmazott tulajdons got a val sz n s g -additivit si tulajdons g nak nevezz k. b.) A meggyelhet esem nyek val sz n s geit kisz m that nak t telezz k fel. A P(A) rt k az A esem ny bek vetkez s nek m rt ke, es lye. A P halmazf ggv ny rendelkezik azokkal a tulajdons gokkal, amikkel minden m s m rt k is rendelkezik (pl. hossz,ter let, t rfogat,t meg stb.) A o axi ma azt ll tja, hogy egym st kiz r esem nyek sszeg nek val sz n s ge az esem nyek val sz n s geinek sszege, mint ahogy pl. egym st t nem fed r szekb l ll s kidom ter lete egyenl a r szek ter leteinek sszeg vel. Az 1 o axi ma azt posztul lja, hogy legyen a biztos esem ny val sz n s ge 1, s ehhez k pest jellemezz k a t bbi esem nybek vetkez s nek es ly t. A zikai mennyis gekhez m r m szerek szerkeszthet k, hogy az adott test egy zikai jellemz j nek elm leti rt k t nagy pontoss ggal megbecs lhess k. Ilyen m szer a hosszm r sre a m terr d, t megre a karosm rleg. Ugyan gy, mint m s m rt kn l, a val sz n s g eset n is szerkeszthet m r m szer, amivel az elm leti val sz n s g sz m rt ke j l becs lhet lesz. Ez a m r m szer a k s bb rtelmezend relat v gyakoris g lesz. (L sd az I.3. szakaszt!)

14 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz n s gi mez I.1.14. Den ci : Az ( = P) h rmast a K v letlen k s rlethez tartoz Kolmogorov-f le val sz n s gi mez nek nevezz k. I.1.3. T tel: Aval sz n s g axi marendszer b l levezethet ek a val sz n s g al bbi tulajdons gai: a.) P( A)=1; P(A) b.) P( ) =1; P()=0 c.) Ha A 1 A ::: A n ::: =esem nyek teljes esem nyrendszert alkotnak, akkor P 8i P(A i )=1, d.) Ha A B akkor P(A) P(B) e.) P(AnB) =P(B) ; P(AB): Bizony t s: a.) A A = A+ A = s 1 o, o miatt 1=P() = P(A+ A)=P(A)+P( A). b.) = miatt az el z ll t sb l trivi lis. c.) Mivel P 8i A i = s az A 1 A ::: A n ::: esem nyek egym st p ronk nt kiz rj k, az axi m kb l m r k vetkezik az ll t s. d.) B = A + A B s A ( A B) = gy P(B) =P(A) +P( A B). Mivel P( A B) 0, m r k vetkezik az ll t s. e.) B = AB + AB s (AB)( AB) = miatt P(B) =P(AB)+P( AB): Mivel B n A= B A gy az ll t s m r k vetkezik. I.1.4. T tel: (Poincare-t tel) Ha A 1 A ::: A n =tetsz legesek, akkor P( P Si n = P(A j1 A j A ji ): 1j 1 <j <<j i n np A i )= np () n+1 S n i ahol

I.1 Aval sz n s gsz m t s alapfogalmai s axi marendszere 15 Bizony t s: n-re vonatkoz teljes indukci val: n =esetben: A 1 + A = A 1 +(A A 1 ) s A 1 (A A 1 )= miatt I.1.3 t tel e.) ll t s t felhaszn lva: P(A 1 +A )=P(A 1 )+P(A A 1 )=P(A 1 )+P(A );P(A 1 A ): Tegy k fel, hogy az ll t s igaz n esetben. n +1-re az ll t s bizony t sa: n+1 P A i = n+1 P( P = P( np A i )=P( np A i + A n+1 gy np A i )+P(A n+1 ) ; P( A i )+P(A n+1 ) ; P(A n+1 np A i A n+1 ): Az indukci s feltev s felhaszn l s val: P( n+1 P A i )= np P(A i A j )+ P P P(A i ) ; i<j i<j<k P +() n P(A 1 A A n )+P(A n+1 ) ; n np +() n P(A 1 A A n A n+1 ) ahonnan a tagok felcser l s vel az ll t st kapjuk. A i )= P(A i A j A k ) ; + + P P(A i A n+1 )+ P(A i A j A n+1 ) ; + i<j I.1.5. T tel: (Boole-egyenl tlens g) Legyen ( = P) Kolmogorov-f le val sz n s gi mez. Akkor minden A 1 A ::: A n =eset n a.) P b.) P a.) np A i nq A i Bizony t s: np P n P (A i ) 1 ; n P P ; A i : P A i = A 1 +(A n A 1 )+(A 3 n (A 1 + A )) + +(A n n n Ez egy diszjunkt felbont s, s A n A 1 A ) P (A n A 1 ) P (A ) A 3 n (A 1 + A ) A 3 ) P (A 3 n (A 1 + A )) P (A 3 ). A i ):

16 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz n s gi mez P A n n n A i A n ) P P A n n n Aval sz n s g ;additivit sa miatt: P np A i b.) A De Morgan azonoss gb l: np A i = nq A i P (A n ) : = P (A 1 )+P (A n A 1 )+P (A 3 n (A 1 + A )) + P P + + P A n n n A i n P (A i ) : A i = nq A i: gy az a.) ll t s eredm ny t is felhaszn lva: P nq A i = P np A i =1; P np P A i 1 ; n ; P A i : I.1.6. T tel: (A val sz n s g folytonoss gi tulajdons ga) a.) Ha A 1 A ::: A n,... olyan esem nyek, hogy P A 1 A A n 1 A i $ lim A n n!1 akkor P( 1P A i ) = lim n!1 P(A n ): b.) Ha A 1 A ::: A n :::. olyan esem nyek, hogy A 1 A A n akkor P( 1Y 1Y A i ) = lim n!1 P(A n ): A i $ lim n!1 A n Megjegyz s: A t tel elnevez se az rt jogos, mert folytonos f ggv nyekn l fenn ll a f( limx n ) = lim f(x n ) tulajdons g. n!1 n!1 Bizony t s: a.) Legyen A 0 = s C i = A i n A i (i =1 :::): Ekkor C i C j = ha i 6= j mert (A i n A i ) (A j n A j )=A i (A j A i ) A j = ha i 6= j. P 1P Tov bb 1 A i = C i :

I. P ld k val sz n s gi mez kre 17 gy P = lim n!1 1P A i np = P 1P C i = 1P P (C i ) = lim n!1 np P (C i )= (P (A i ) ; P (A i )) = lim n!1 (P (A n ) ; P (A 0 )) = lim n!1 P (A n ) : P b.) Legyen B i = A i,akkor B 1 B B n 1 B i : Mivel 1P eredm ny t P( P( 1P 1Y B i = 1P A i, ez rt 1P B i = 1Y A i, teh t alkalmazva aza.) B i )= limp(b n ) = lim (1 ; P(A n ))=1; lim P(A n ) n!1 n!1 n!1 A i )=1; P( 1P B i ) = lim n!1 P(A n ): I.. P ld k val sz n s gi mez kre I..1. P lda: A klasszikus val sz n s gi mez, a diszkr t egyenletes eloszl s Ekkor az esem nyt r v ges elemsz m elemi esem ny halmaza: =f! 1! :::! n g,az= esem nyalgebra sszes r szhalmazainak rendszere, s mindegyik elemi esem ny bek vetkez s nek egyforma a val sz n s ge: P(f! 1 g)=p(f! g)= = P(f! n g). Mivel az sszes elemi esem nyek rendszere teljes esem nyrendszert alkot, ez rt 1 = P() = P( n P(f! 1 g) ) p i = P(f! i g)= 1 n 8 i -re. gy, haa tetsz leges esem ny, akkor P(A) = P!A P(f!g) = 1 n np f! i g) = P!A 1 = k An ahol k A az A esem ny sz moss ga. Vagyis az esem nyek val sz n s ge ilyenkor gy sz m that, hogy az esem nybek vetkez se szempontj b l kedvez elemi esem nyek sz m t osztjuk a k s rlettel kapcsolatos sszes elemi esem nyek sz m val. Klasszikus val sz n s gi mez vel modellezhet a kockadob s, a p nzfeldob s, a rulettez s, a k rtyah z s, a lott h z s, a tot tippel s stb. I... P lda: Geometriai val sz n s gi mez Alkosson a K v letlen k s rlet elemi esem nyeinek halmaza egy v ges m rt k

18 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz n s gi mez geometriai alakzatot. Ilyenkor az esem nyrendszer a geometriai alakzat m rhet r szhalmazait jelenti, s az A esem ny val sz n s g t a P(A) = (A) () m don sz m tjuk, ahol a geometriai t r m rt k t jel li. Ha pl. intervallum, akkor hosszm rt k, ha s kidom, akkor ter letm rt k, ha test, akkor t rfogatm rt k stb. P ld ul, ha x s y k t v letlen l v lasztott 0 s 1 k z es sz m, akkor mennyi annak a val sz n s ge, hogy x + y<1 s xy < 0 16 lesz? most az egys gn gyzet lesz, az k rd ses esem ny pedig az al bbi br n besat rozott ter letnek felel meg: A besat rozott ter let nagys ga: 0 8 0 0 16 x dx +0 =0 4: I.3. K s rletsorozat, az esem nyek relat v gyakoris ga I.3.1. Den ci : Tekints nk egy K v letlen k s rletet, s jel lje K n azt a k s rletet, amely a K n-szeres azonos k r lm nyek k z tti ism telt v grehajt s b l ll. K n -t egy n-szereskis rletsorozatnak nevezz k. I.3.1. P lda: Amikor t zszer dobunk egy szab lyos j t kkock val, a kockadob shoz tartoz t zszeres kis rletsorozatr l van sz. A lott h z sok sorozata t bb mint harminc ven t tart kis rletsorozatk nt is felfoghat, gy az n k s rletsz mra igaz az n>1500: Ultiz sn l minden j t k el tt az oszt sn l v grehajtjuk az I.1.1/b.) p ld ban eml tett K k s rletet, azaz itt is kis rletsorozatr l van sz. I.3.. Den ci : Ha egy n-szeres k s rletsorozatban az A esem ny k A -szor k vetkezett be, akkor k A az A esem ny gyakoris ga, r n (A) = k A n pedig a relat v gyakoris ga.

I.4 A felt teles val sz n s g s az esem nyek f ggetlens ge 19 Megjegyz s: Nyilv nval, hogy mind a gyakoris g, mind a relat v gyakoris g konkr t rt ke f ggav letlent l. A relat v gyakoris g rendelkezik az al bbi tulajdons gokkal: I.3.1. T tel: Egy adott n-szeres k s rletsorozatn l a.) r n : =![0 1] b.) r n ()=1 c.) Ha A 1 A ::: A n :::egym st kiz r esem nyek, akkor r n ( 1P A i )= Megjegyz s: Az el z t tel azt ll tja, hogy a relat v gyakoris g rendelkezik a val sz n s g tulajdons gaival. K s bb l tni fogjuk azt is, hogy n n vekedt vel r n (A)! P(A) is fenn ll. (Nagy sz mok Bernoulli-f le t rv nye). Eztat rv nyszer s get el sz r tapasztalati ton fedezt k fel a XVII. sz zadban, mikor meggyelt k, hogy a relat v gyakoris g egyre kisebb m rt kben ingadozik egy 0 s 1 k z es sz m k r l. A klasszikus matematikusok ppen ez alapj n deni lt k az esem nyek elm leti val sz n s g t: az az rt k, amely k r l a relat v gyakoris g ingadozik. A relat v gyakoris g teh t alkalmas a val sz n s g mint zikai mennyis g m r s re. Kolmogorov az axi m iban a relat v gyakoris g a.)-c.) tulajdons gait r k tette t a val sz n s gre, minthogy a hat r tmenet ezeket a tulajdons gokat megtartja. I.4. A felt teles val sz n s g s az esem nyek f ggetlens ge A K v letlen k s rlet elemi esem nyei sz munkra v letlenszer en k vetkeznek be, m gpedig az rt, mert a v geredm nyt befoly sol k r lm nyek bonyolult komplexum t nem ismerj k pontosan. Viszont ismerj k az egyes esem nyek, elemi esem nyek bek vetkez si es lyeit a val sz n s get, vagy legal bbis tetsz leges pontoss ggal m rhetj k ket. Ha viszont aza esem ny bek vetkez si k r lm nyeir l tov bbi inform ci kat szerz nk be, vagy bizonyos pontos t felt telez ssel l nk, megv ltozhat az A bek vetkez si es lye, n het is, de cs kkenhet is. Pl. a kockadob s k s rletn l, a 6-os dob s esem nyval sz n s ge 0, ha tudjuk, hogy a dobott rt k p ratlan sz m, s 1 3,hatudjuk, hogy a dobott rt k p ros volt. 1P r n (A i ):

0 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz n s gi mez Hogyan v ltozik (v ltozna) az A esem ny val sz n s ge, ha az A-val egyidej leg meggyelhet B esem ny bek vetkez s t ismerj k (ismern nk)? Tegy k fel, hogy a K k s rlettel v grehajtottunk egy n hossz s g kis rletsorozatot. Az A esem nyt k A -szor, a B esem nyt k B -szer, az AB esem nyt pedig k AB -szer gyelt k meg. Ekkor a B esem ny bek vetkez s hez k pest az A esem ny bek vetkez s nek relat v gyakoris ga nyilv n r n (A jb )= k AB k B melyet az A esem nynek a B esem nyre vonatkoztatott relat v gyakoris g nak nevez nk. Ez az ar ny aza bek vetkez si es lyeit pontosabban t kr zi, ha a B bek vetkez s r l biztos tudom sunk van, mint azr n (A) = k A n : A felt teles relat v gyakoris g tulajdons gai nyilv n: a.) 0 r n (A jb ) 1 b.) r n (B jb )=1 c.) Ha A 1 A ::: A n :::=egym st kiz r esem nyek,akkor r n ( 1P A i jb )= 1P Az r n (A jb )= k AB k B = r n (A jb )! P(AB) P(B) : r n (A i jb) : k AB n k Bn = rn(ab) r n(b) t r s ut n, ha n!1 kapjuk, hogy I.4.1. Den ci : Legyenek A B =olyan esem nyek, hogya tetsz leges s P(B) > 0: Akkor az A esem nynek a B-re vonatkoztatott felt teles val sz n s g n a P(A jb) = P(AB) sz mot rtj k. P(B) I.4.1. T tel: Tekints k az ( = P) Kolmogorov-f le val sz n s gi mez t. B = P(B) > 0 r gz tett. Ekkor a P B (A) $ P(A jb) felt teles val sz n s gre teljes lnek az al bbi tulajdons gok: a.) 0 P B (A) 1 (8 A =) b.) P B (B) =1 P B ( ) =0 c.) 8 A 1 A ::: A n :::=: A i A j = (i 6= j) ) P B ( 1P A i )= 1P Bizony t s: P B (A i ):

I.4 A felt teles val sz n s g s az esem nyek f ggetlens ge 1 a.) Mivel AB B, ez rt P(AB) P(B), teh t k vetkezik az ll t s. b.) B B = B miatt P B (B) = P(B) P(B) =1 s B =, teh t P B( ) = P( ) P(B) =0: c.) Mivel az A 1 A ::: A n ::: esem nyrendszer egym st kiz r esem nyekb l ll, ez rt A 1 B A B ::: A n B :::is egym st kiz r esem nyekb l 1P ll rendszer, gy a val sz n s g -additivit si tulajdons g b l: P( (A i B)) = 1P P(A i B). Mindk t oldalt osztva P(B)-vel m r ad dik az ll t s. Megjegyz s: a.) Az el z t tel azt ll tja, hogy ha B-t r gz tj k, s = B $ fc C = A B A =g, akkor a (B = B P B ) kiel g ti a Kolmogorovval sz n s gi mez axi m it. b.) Vannak A B esem nyek, amelyekre P(A jb) =P(A) teljes l, azaz A val sz n s ge nem v ltozik meg, ha a B esem ny bek vetkez s t ismerj k az A val sz n s ge f ggetlen a B bek vetkez s t l. I.4.. Den ci : Legyenek A B =tesz leges esem nyek. Az A s B esem nyek f ggetlenek, hap(ab) =P(A)P(B) fenn ll. Megjegyz s: a.) Ha az A B =esem nyekf ggetlenek s P(A)P(B) > 0, akkor P(A jb )= P(A) s P(B ja) =P(B) is fenn ll, vagyis az egyik esem nybek vetkez s nek ismerete, nem befoly solja a m sik esem nyval sz n s g t. b.) Nem szabad sszekeverni az egym st kiz r esem nyek s a f ggetlen esem nyek fogalmait! Ha k t esem ny egym st kiz rja, azaz AB =,akkor az egyik bek vetkez se igencsak meghat rozza a m sik bek vetkez s t: ha pl. A bek vetkezik, akkor B biztosan nem k vetkezik be. F ggetlen esem nyek eset n, ha az egyik esem nybek vetkez s t ismerj k, nem v ltozik meg a m sik bek vetkez si val sz n s ge. c.) Az esem nyek f ggetlens g nek a fogalma k l nb zik a zikai rtelemben vett f ggetlens g fogalm t l is. A zikai f ggetlens g azt jelenti, hogy az okozat nem k vetkezm nye az oknak, teh t itt a f ggetlens g nem szimmetrikus.

I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz n s gi mez I.4.. T tel: Ha az A B =esem nyek f ggetlenek, akkor a.) A s B b.) A s B c.) A s B is f ggetlenek. Bizony t s: a.) P(A B)+P(AB) =P(A) ) P(A B)=P(A) ; P(AB) = P(A) ; P(A)P(B) =P(A)(1 ; P(B)) = P(A)P( B) ) A B f ggetlenek. b.) P( AB) +P(AB) =P(B) ) P( AB) =P(B) ; P(AB) = P(B) ; P(A)P(B) =P(B)(1 ; P(A)) = P(B)P( A) ) B A f ggetlenek. c.) P( A B)+P(A B)=P( B) ) P( A B)=P( B) ; P(A B)= P( B) ; P(A)P( B)=P( B)(1 ; P(A)) = P( B)P( A) ) B A f ggetlenek. I.4.3. T tel: Az s esem nyek minden A =esem nyt l f ggetlenek. Bizony t s: P( A) =P( ) =0=0P(A) =P( )P(A) ) s A f ggetlenek. P(A) =P(A) =1 P(A) =P()P(A) ) s A f ggetlenek. I.4.3. Den ci : Az A 1 A ::: A n =esem nyek p ronk nt f ggetlenek, hap(a i A j )=P(A i ) P(A j ) (8 i 6= j): I.4.4. Den ci : Az A 1 A ::: A n =esem nyek teljesen f ggetlenek, ha 8 k f 3 ::: ng s 8 1 i 1 <i < <i k n indexkombin ci ra P(A i1 A i A ik )=P(A i1 )P(A i ) P(A ik ). I.4.4. T tel: Ha az A 1 A ::: A n =esem nyek teljesen f ggetlenek, akkor p ronk nt is f ggetlenek. Ford tva ltal ban nem igaz.

I.4 A felt teles val sz n s g s az esem nyek f ggetlens ge 3 Bizony t s: Az I.4.4 den ci ban, amikor k =, ppen az I.4.3 den ci t kapjuk. A megford t sra ellenp lda: K : Dobjunk egy szab lyos kock val egym s ut n k tszer. A: els re p ratlant dobunk B: m sodikra p ratlant dobunk C: ak t dobott sz m sszege p ratlan. P(A) =P(B) =P(C) = 1, P(AB) =P(AC) =P(BC) = 1 ) A B C 4 p ronk nt f ggetlenek. De! P(ABC) =06= P(A)P(B)P(C) = 1 azaz teljesen nem f ggetlenek 8 A B s C. I.4.5. T tel: Ha az A 1 A ::: A n =esem nyek teljesen f ggetlenek, akkor k z l k b rmelyiket az ellentett esem ny re felcser lve, jra teljesen f ggetlen rendszert kapunk. Bizony t s: Cser lj k fel pl. A 1 -et A 1 -gyel. Ekkor a teljesen f ggetlens g felt telrendszer ben csak azokat az sszef gg seket kell ellen rizni, amelyekben A 1 szerepelt. Legyen egy ilyen pl. P( A 1 A i A ik ) ahol 1 <i < <i k n: Kihaszn lva, hogy az eredeti rendszer teljesen f ggetlen volt: P(A 1 A i A ik )=P(A 1 )P(A i ) P(A ik )=P(A 1 ) P(A i A i3 A ik ) azaz A 1 f ggetlen a A i A i3 A ik szorzatesem nyt l, gy a I.4. t tel miatt A 1 is az. De ekkor P( A 1 A i A ik )=P( A 1 ) P(A i A i3 A ik )=P( A 1 )P(A i ) P(A ik ) azaz teljes l A 1 -re is a teljesen f ggetlens ghez sz ks ges felboml s. I.4.6. T tel: (Szorz si szab ly) Legyenek az A 1 A ::: A n =tetsz leges esem nyek gy, hogy P( P ny A i ) > 0: Ekkor! A i ny Bizony t s: n Y P A n n Y = P A n A i! = P P 0 @ 0 B @ ny Yn A i! A i 1 A A i 1 C A n; Y P A n n; Y P A n A i! A i! = P (A ja 1 ) P (A 1 ) : P P n Y n; Y A i! A i! :::

4 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz n s gi mez P (A ja 1 )= P(A 1A ) P(A 1 ) : L that, hogy sszeszorz s s egyszer s t s ut n az ll t st kapjuk. I.4.7. T tel: (A teljes val sz n s g t tele) Alkosson A 1 A ::: A n :::=teljes esem nyrendszert, vagyis P A i A j = ( i 6= j ) s 1 A i =. Tegy k fel tov bb, hogy P(A i ) > 0 minden i-re. Ekkor tetsz leges B =esem nyre P(B) = Bizony t s: P Mivel 1 P A i = s B = B =B 1 A i = 1P (A i B) 1P P(B ja i )P(A i ) : valamint (A i B) (A j B)= aval sz n s g -additivit si tulajdons g b l k vetkezik, hogy P(B) =P( 1P A i B)= 1P P(A i B)= 1P P(B ja i )P(A i ) : I.4.8. T tel: (Bayes t tele) Alkosson A 1 A ::: A n :::=teljes esm nyrendszert, vagyis P A i A j = ( i 6= j ) s 1 A i =: Tegy k fel tov bb, hogy P(A i ) > 0 minden i-re. Ekkor tetsz leges B =esem nyre, ahol P(B) > 0 P(A i jb) = P(BjA i)p(a i ) : 1P P(BjA j )P(A j ) j=1 Bizony t s: A felt teles val sz n s g den ci j b l: P(A i jb )= P(A ib) : A sz ml l hely be P(B ja i ) P(A i ) -t rva, a nevez hely be pedig a teljes val sz n s g P(B) t tel b l kapott formul t helyettes tve azonnal ad dik az ll t s. I.5. Kidolgozott feladatok s gyakorlatok I.5.1. Feladat: A pr bagy rt s sor n k t szempontb l vizsg lj k a k szterm keket. Az A esem ny azt jelenti, hogy egy v letlenszer en kiv lasztott mintadarab anyaghib s, a B pedig az az esem ny, hogy a kiv lasztott gy rtm ny m rethib s. Tudjuk, hogy P(A) =0 15 P(B) =0 3 s P(AB) =0 08. Mennyi annak a val sz n s ge, hogy valamelyik term k hib tlan?