Átírás

1 Val sz s gsz m t s Ketskem ty L szl Budapest, 998. szeptember 8.

2

3 66 IV. FEJEZET Val sz s gi t rv yek (x) x (x) x (x) x,5 3,, ,6, ,, ,5, ,6, ,, ,, ,6,999857,,6794 3,5, ,63, ,3, ,, ,64, ,4, ,5, ,65, ,5, ,6, ,66, ,6, ,7, ,67, ,7, ,8, ,68, ,8, ,9, ,69, ,9, ,3, ,7,99989,, ,3, ,7, ,, ,3, ,7,999939,, ,33, ,73,999946,3, ,34, ,74, ,4, ,35, ,75,999958,5,9457 3,36, ,76,999954,6, ,37, ,77, ,7, ,38, ,78,999959,8, ,39, ,79, ,9, ,4, ,8, ,, ,4, ,8,999935,5, ,4, ,8, ,, ,43, ,83, ,5, ,44, ,84, ,, ,45, ,85, ,5, ,46, ,86, ,3, ,47, ,87, ,35, ,48, ,88, ,4, ,49, ,89, ,45, ,5, ,9,999959,5, ,5, ,9, ,55, ,5, ,9, ,6, ,53, ,93, ,65, ,54, ,94, ,7,9974 3,55, ,95,999969,75, ,56, ,96, ,8, ,57, ,97, ,85, ,58, ,98, ,9,95, ,59, ,99, Tartalomjegyz k EL SZ 5 AKolmogorov-f le val sz s gi mez 7 I. Aval sz s gsz m t s alapfogalmai s axi maredszere... 7 I.. ld k val sz s gi mez kre... 7 I.. K s rletsorozat, az esem yek relat v gyakoris ga... 8 I.3. A felt teles val sz s g s az esem yek f ggetles ge... 9 I.4. Kidolgozott feladatok s gyakorlatok... 4 I.5. A val sz s gi v ltoz 5 II. A val sz s gi v ltoz fogalma... 5 II.. Az eloszl sf ggv y fogalma II.. Diszkr t val sz s gi v ltoz k II.3. Folytoos val sz s gi v ltoz k II.4. Val sz s gi v ltoz k traszform ci i II.5. A v rhat rt k... 7 II.6. Magasabb mometumok, sz r s gyzet II.7. II.8. Kidolgozott feladatok s gyakorlatok... 8 vektorv ltoz k 93 III.Val sz s gi vektorv ltoz k, egy ttes eloszl sf ggv y III..Val sz s gi val sz s gi v ltoz k egy ttes eloszl sa III..Diszkr t val sz s gi v ltoz k egy ttes eloszl sa III.3.Folytoos vektorv ltoz k traszform ci i III.4.Val sz s gi kovariacia s a korrel ci s egy tthat III.5.A felt teles v rhat rt k III.6.A feladatok s gyakorlatok...5 III.7.Kidolgozott 3

4 p (x) x R ; t 4 TARTALOMJEGYZ K t rv yek 37 IV.Val sz s gi egyel tles gek IV..Nevezetes v ltoz k sorozataiak kovergeci i...38 IV..Val sz s gi agy sz mok t rv yei...4 IV.3.A karakterisztikus f ggv y...4 IV.4.A hat reloszl s t telek...45 IV.5.Cetr lis IV.6.Kidolgozott feladatok s gyakorlatok...47 Jel l sek 59 Aj lott irodalom 63 F GGEL K 65 F GGEL K A stadard orm lis eloszl s eloszl sf ggv y ek t bl zata exp tulajdos g (Eze el g csak a stadard orm lis eloszl s t bl zat t megadi.) miatt Ha N (m d) akkor ( <x) ; x;m d. Ha x>, akkor (;x) ; (x). (Eze tulajdos g miatt va a. csak emegat v x argumetum) t bl zatba Ha ( ), akkor ; ;u" < ;m d <u" (u ") ; ; ", azaz 3. " ". ; u" ; ; " ; (u") 65 dt

5 64 IV. FEJEZET Val sz s gi t rv yek EL SZ jegyzet a BME Villamosm r ki s Iformatikai Kar Iformatikus szak ak A Val sz s gsz m t s c. tat rgy hoz k sz lt seg dayag. jegyzet az elm let szok sos fel p t s t k vetve gy fejezetre tagol dik, A fejezetek szakaszokb l llak. Az els fejezet tartalmazza a val sz s gsz - a axi maredszer t, a val sz s gi m rt k legfotosabb tulajdos gait m t s kisz m t s ak klasszikus m dszereit. A m sodik fejezet a val sz s gi s a harmadik fejezet a val sz s gi vektorv ltoz kkal foglakozik. v ltoz kkal, egyedik fejezetbe kapak helyet a agy sz mok t rv yei s a cetr lis A t telek. A fejezetek v g agy sz m kidolgozott feladat s hat reloszl s megoldad gyakorlat tal lhat. A jegyzet v g a felhasz lt ll a szimb lumok sszefoglal sa, t rgymutat, aj lott irodalmak jegyz ke jel l sek, s f ggel kbe a orm lis eloszl s t bl zata olvashat m g. c. tat rgy el k sz ti a T megkiszolg l s iformatikai AVal sz s gsz m t s redszerekbe s az Iform ci elm let c. tat rgyakat, de olya m s is p teek r, mit pl. a Matematikai statisztika, Sztochasztikus t rgyak V letle sz mok geer l sa s szimul ci k, Megb zhat s gelm - folyamatok, Oper ci kutat s, stb. let, axiomatikus fel p t sbe t rgyaljuk, eleve elfo- Aval sz s gsz m t st alapfogalmakb l s alapt telekb l kiidulva jutuk el az egyszer bb gadott s de ci ko kereszt l az sszetettebb ll t sokhoz s fogalmak- t teleke A t telek agy r sze bizoy t sokkal egy tt szerepel, ami az elm leti hoz. jobb meg rt s t szolg lja. Ugyaezt seg tik a bemutatott p ld k s h tt r feladatok, valamit a mell kelt br k is. Az sszetett, boyolult kidolgozott els olvas skor mell zi lehet, a f bb sszef gg sek a lk l is bizoy t sokat meg rthet k. modok k sz etet Dr. Gy r L szl akad mikusak a k zirat Ez to tez s rt, a jegyzet szerkezeti fel p t s vel kapcsolatos ta csai rt godos rt kes szakmai megjegyz sei rt, kieg sz t sei rt. K sz m it r M rta s 5

6 Ketskem ty L szl Aj lott irodalom 6 TARTALOMJEGYZ K is, hogy k r ltekit e elolvasta a k ziratot, s seg tett a hib k, doktoraduszak potatlas gok kik sz b l s be. K sz ettel tartozom Gy ri S dor iformatikus hallgat ak is, aki sokat dolgozott a sz veg iteret m sod ves h l zatra t tel vel. V gezet l k sz m Salfer G bor ta rseg dek a A TEsz vegszerkeszt vel kapcsolatos ta csait, seg ts g t. L 998. szeptember 5. Budapest, R yi Alfr d Val sz s gsz m t s [] Budapest, 973 Tak yvkiad, r kopa Adr s Val sz s gelm let [] K yvkiad, Budapest, 97 M szaki Vetier Adr s Szeml letes m rt k- s val sz s gelm let [3] Budapest, 99 Tak yvkiad, W.Feller Bevezet s a val sz s gsz m t sba s alkalmaz saiba [4] K yvkiad, Budapest, 978 M szaki A.N. Kolmogorov A val sz s gsz m t s alapfogalmai [5] Budapest, 98 Godolat, aul R. Halmos M rt kelm let [6] Budapest, 984 Godolat, Bog r Mogyor dir kopar yisz sz [7] feladatgy jtem y Val sz s gsz m t s Budapest, 98 Tak yvkiad, Solt Gy rgy Val sz s gsz m t s (p ldat r) [8] K yvkiad, Budapest, 973 M szaki Dekiger G za Val sz s gsz m t si gyakorlatok [9] Budapest, 977 Tak yvkiad, B.A SzevasztyaovV.. CsisztyakovA.M. Zubkov [] feladatok Val sz s gsz m t si Budapest, 987 Tak yvkiad, 63

7 az param ter orm lis eloszl s eloszl sf ggv ye (x) az param ter orm lis eloszl s s r s gf ggv ye ' (x) v! az val sz s gi v ltoz sorozat val sz s ggel koverg l - e! az val sz s giv ltoz -sorozat eloszl sba koverg l -hez 6 IV. FEJEZET Val sz s gi t rv yek N( ) az val sz s gi v ltoz stadard orm lis eloszl s ;( ) az val sz s gi v ltoz, param ter gamma-eloszl s Np( ) az val sz s gi vektorv ltoz p-dimezi s orm lis vektor, v rhat rt k-vektorral s kovariaciam trixszal a stadard orm lis eloszl s eloszl sf ggv ye (x) stadard orm lis eloszl s s r s gf ggv ye '(x) hez Lr az val sz s giv ltoz -sorozat r-edik mometumba koverg l! -hez st! az val sz s giv ltoz -sorozat sztochasztikusa koverg l - hez I. fejezet Kolmogorov-f le val sz s gi A mez Aval sz s gsz m t s alapfogalmai s axi- I.. maredszere alapfogalmak szeml letb l ered, mag t l rtet d fogalmakat jeleteek, Az egyszer bb fogalmak seg ts g vel em lehet dei li, haem csu- amelyeket k r l ri lehet ket, illet leg p ld kat lehet mutati r juk. p az axi m k bizoy t s lk l elfogadott ll t sok, amelyek Hasol a, ayira yilv val ak, hogy csup a szeml letb l vezetj k le ket. Alapfogalom V letle k s rlete (K) olya folyamatot, jeles get I... rt k, amelyek kimeetele el re bizoyosa meg em modhat, csup hogy elvileg milye k s rletkimeetelek lehetek. Av letle k s rletet az, meg lehet gyeli, vagy v gre lehet hajtai azoos felt telek ak rh yszor mellett. I... lda Egy szab lyos j t kkock val dobuk. Nem tudjuk el re megmodai az a.) de azt ll thatjuk, hogy az,,3,4,5,6 rt k k z l valamelyiket eredm yt, kapjuk. Egy teljes, j l megkevert csomag magyark rty b l v letleszer e kih zuk lapot. A v letlet l f gg, hogy melyik lesz az a lap, de azt 7

8 IV.6 Kidolgozott feladatok sgyakorlatok 6 az folytoos val sz s gi v ltoz s r s gf ggv ye f(x) (x jy ) az val sz s gi v ltoz ak az Y -ra voatkoztatott felt teles fjy 8 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz s gi mez hogy a 3 lap sszes ism tl s lk li kombi ci ja k z l lehet tudjuk, valamelyik. csak Egy telefok sz l ket gyelve m rj k a k t h v s k z tt eltelt id t. A c.) kimeetelek a[ ) itervallum potjai. lehets ges Alapfogalom A K v letle k s rlet lehets ges kimeeteleitelemi I... evezz k. Av letle k s rlet v grehajt sa sor az elemi es- esem yek halmaz b l midig csak egy fog realiz l di. Az elemi esem yek em yek az!, esetleg!i szimb lumokat fogjuk hasz li. jel l s re De ci A K v letle k s rlettel kapcsolatos sszes elemi esem y I... halmaz t esem yt rek evezz k s -val jel lj k. I... lda A kockadob s k s rlet vel kapcsolatos elemi esem yek az a.) f g. rt kek, A k rtyah z s k s rlethez tartoz elemi esem yek a 3-es csomag sszes lapos r szhalmazai, a lapok sorredj t em gyelembev ve, f!! a 3 k rtyacsomag egy elemsz m kombi ci jag. A telefoh v sok k z tti id tartamra voatkoz k s rlethez tartoz elemi c.) az[ ) itervallum potjai. esem yek De ci Az elemi esem yek halmazait, az esem yt r r szhalmazait I... esem yekek evezz k, s a lati abc bet ivel jel lj k A B C. Megjegyz s Az esem yek dei l s t gyakra logikai ll t sok megfogalmaz s val a.) Ilyekor az esem yek megfelel halmaz azokb l az elemi es- tessz k. em yekb l ll, amelyek realiz l d sa eset a logikai ll t s rt ke igaz. Az egyetle elemi esem yb l ll esem yeket az egyszer s g kedv rt szit elemi esem yekek fogjuk evezi, holott ma- atov bbiakba az elem s az elemb l ll egyelem halmaz fogalma em tematikailag A legal bb k telem esem yeket sszetett esem yek is e- ugyaaz! vezz k. az A esem y val sz s ge (A) jb) az A esem yek a B esem yre voatkoztatott felt teles val sz - (A s ge Y Z i Yi Zi! R val sz s gi v ltoz k a val sz s gi v ltoz eloszl sf ggv ye, F(x) $ ( <x) F(x) $ ( xi) az diszkr t val sz s gi v ltoz eloszl sa pi s r s gf ggv ye $ Ee it az val sz s gi v ltoz karakterisztikus f ggv ye '(t) az val sz s gi v ltoz v rhat rt ke E V a val sz s gi v ltoz sz r s gyzete vagy variaci ja $ +p az val sz s gi v ltoz sz r sa Y ) az s Y val sz s gi v ltoz k korrel ci s egy tthat ja R( Y ) az s Y val sz s gi v ltoz k kovariacia cov( F p (x x xp) F(x) az ( p) T val sz s gi eloszl sf ggv ye, illetve akompoesek egy ttes eloszl sf ggv ye vektorv ltoz f p (x x xp) f(x) az ( p) T val sz s gi s r s gf ggv ye, illetve akompoesek egy ttes s r s gf g- vektorv ltoz gv ye $ (E E Ep) T az val sz s gi vektorv ltoz v rhat rt k- E vektora (cov(i j)) p i j p az val sz s gi vektorv ltoz kovariaciam trixa I(A) vagy I(p) az val sz s gi v ltoz az A esem y idik tora, (A) p B( p) az val sz s gi v ltoz p param ter biomi lis eloszl s o() az val sz s gi v ltoz param ter oisso-eloszl s G(p) a val sz s gi v ltoz p param ter geometriai eloszl s ol( p p pr) az val sz s gi vektorv ltoz egy ttes eloszl sa poliomi lis U(a b) az val sz s gi v ltoz egyeletes eloszl s az (a b) itervallumo E() az val sz s gi v ltoz param ter expoeci lis eloszl s N( ) az val sz s gi v ltoz param ter orm lis eloszl s

9 xi $ x + x + + x -tag sszeg Y xi $ x x x t yez s szorzat ;! $ alatt a k biomi lis egy tthat ; k k!(;k)! x(x)(x;)(x;k+) x $ k k! x R k N az ltal os tott biomi lis egy tt- p aval s sz m p-esek vektortere R m aval s kompoes m-es m trixok halmaza R ; adj A T A aii az A R m trix yoma I. Aval sz s gsz m t s alapfogalmai s axi maredszere 9 db. elemi esem yb l ; 3 ; 8 8 tartozik. ; 6 IV. FEJEZET Val sz s gi t rv yek xc x azo x vektorok sszege, amelyek a C halmazhoz tartozak hat aval s sz mok teste R akomplex sz mok teste C C az imagi rius egys g i R p p-dimezi s oszlopvektor x R m m-es m trix A T (x x xp) p-dimezi s sorvektor, T a traszpo l s jele x T az A m trix traszpo ltja A az A R m trix iverze A A az A R m trix determi sa det adja az A R m trix adjug lt m trixa, A $ (a a a) T az A m trix diago lis ba l v elemekb l ll diag oszlopvektor egy olya -es diago lis m trix, melyek diago lis ba diag(a a a) ll a a a trace A $ E E az -es egys gm trix v letle k s rlet K a K-val kapcsolatos elemi esem yek halmaza, a biztos esem y, illetve esem yt r lehetetle esem y elemi esem y!!i B Ai Bi esem yek A A az A esem y elletett esem ye K-val kapcsolatos esem yek halmaza, az esem yalgebra![ ] val sz s g, A det De ci Az A esem y bek vetkezik, haak s rletv grehajt sa I..3. olya elemi esem y realiz l dott, ami az A eleme. ut lda a.) A kockadob s k s rlet vel kapcsolatos esem yaf 4 6g I..3. esem y-halmaz, melyet a p rosat dobuklogikai ll t ssal is dei- elemi lhatuk. A k rtyah z s k s rlethez tartoz esem y pl. a. va sz a kih zott k z tt ll t shoz tartoz k rtya-kombi ci k halmaza, amelyhez az lapok alkot ; 3 - t 8 A telefoh v sok k z tti id tartamra voatkoz k s rlethez tartoz c.) pl. az t perce bel l fog cs gei, ami ppe a [ 5) itervallum esem y potjait dei lja. De ci Az A esem y maga ut voja a B esem yt, ha az I..4. esem y r szhalmaza a B esem yek. Jel l s A B. A A K v letle k s rlet! elemi esem yeit jellemzi az, hogy Megjegyz s olya B 6 esem y, amely!-t maga ut vo. ics lda a.) Kockadob s l a hatost dobukesem y maga ut I..4. a p rosat dobukesem yt. voja K rtyah z s l a mid a gy szt kih ztukesem y maga ut a va piros sz lapakih zottak k z ttesem yt. voja Telefoh v s l az t perce bel l cs r gi fogmaga ut voja a c.) perce bel l cs r gi fogesem yt, hisze [ 5) [ ). t z De ci Az A s B esem yek ekvivalesek, haa B s B A I..5. egyszerre. Ekvivales esem yek k z tt em tesz k k l bs get. teljes l Jel l s A B. De ci Lehetetle esem yek evezz k azt a -vel jel lt esem yt, I..6. amely a K b rmely v grehajt sa sor soha em fog bek vetkezi, az res halmaz. megfelel a kostas hamis ll t sak, olya esem y, azaz elvileg soha em k vetkezhet be. ami De ci Biztos esem yek evezz k azt az esem yt, amelyik I..7. K b rmely v grehajt sa sor midig bek vetkezik. Ez az esem y em a m s, mit az esem yt r. megfelel a kotas igaz ll t sak. 8

10 kis f(t)marad ktag, (t)) o(f o(f(t)) f (t) lim ord t! agy f(t)marad ktag, (t)) O(f O(f(t)) f (t) < lim ord t! f T a Hesse m I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz s gi mez I..5. lda A kockadob s l a - l kisebb rt ket dobukesem y az-val, a a.) rt ket dobukesem y pedig -vel ekvivales. egat v K rtyah z s l va a lapok k z tt hetest l k l b z -val, m g a lap rt ke legal bb t z -vel ekvivales. mide Telefoh v s l valamikor cs r gi fog -val, soha em fog cs r gi c.) -vel ekvivales. pedig De ci Egy A esem y elletett esem ye azaz A -val jel lt I..8. ami potosa akkor k vetkezik be, amikor A em k vetkezikbe. A esem y, az A-ak az -ra voatkoztatott komplemeter halmaza, azaz A A. De ci Az A s B esem yek sszeg azt az A + B-vel jel lt I..9. rtj k, amely potosa akkor k vetkezik be, ha A s B k z l lega- esem yt l bb az egyik bek vetkezik. (A + B az A s B esem yek ui ja). De ci Az A s B esem yek szorzat azt az AB vagy ABvel I... jel lt esem yt rtj k, amely potosa akkor k vetkezik be,amikor A is s B is egyidej leg bek vetkezik. (AB az A s B esem yek metszete). De ci Az A s B esem yek k l bs g azt az A B - I... jel lt esem yt rtj k, ami potosa akkor k vetkezik be, amikor A vel bek vetkezik, de B em. ( A B A B). T tel Tetsz leges A B s C esem yekre igazak az al bbiak I... A + B B + A a.) (A + B) +C A +(B + C) A + A A c.) AB BA d.) (AB)C A(BC) e.) AA A f.) A(B + C) (AB)+(AC) g.) A +(BC)(A + B)(A + C) h.) A A i.) A + B A B j.) A B A + B k.) Jel l sek a l tezikkvator 9 a mide egyeskvator 8 akkor, illetve k vetkezik ) akkor s csak akkor, illetve az ekvivalecia rel ci, ) em k vetkezik 6 de ci szerit $ azoosa egyel em egyel 6 A! B az A halmazt a B-be lek pez f ggv y f y z g az x y z elemekb l ll halmaz fx lim x!a+ lim x!a; f(x) f(a +)az f f ggv y jobboldali hat r rt ke aza potba f(x) f(a ; ) az f f ggv y baloldali hat r rt ke aza potba $ e x az expoeci lis f ggv y exp(x) x a term szetes alap logaritmus f ggv y l ;(x) $ R! mi f(x) 8x! mi fi(x) 8i mi fi(x) 8j probl ma az iidex l veszi fel a e ;t t x dt a gammaf ggv y az f(x) f ggv y miimaliz l sa adott x- l az iidexbe miimaliz l s az fi(x)! mi fj(x) 8i grad(f(x)) az f gradies vektora 59

11 58 IV. FEJEZET Val sz s gi t rv yek I. Aval sz s gsz m t s alapfogalmai s axi maredszere A A l.) A + A m.) A A.) A + o.) A p.) A + A r.) Mivel az esem yek k z tti m veletek a halmazok k z tti s metszet illetve akomplemeter seg ts g vel voltak rtelmezve, s ott ui igazak a Boole algebra sszef gg sei, itt is rv yesek leszek. De ci Az A s B esem yek egym st kiz r ak, haab, I... szorzatuk a lehetetle esem y. Egym st kiz r esem yek egyidej leg azaz em k vetkezhetek be. De ci Az A A A esem yek (em felt tle l v ges I..3. elemsz m ) redszereteljes esem yredszert alkot, ha i j -re Ai Aj (p rok t egym st kiz rj k) s 8i Ai teljes l. Megjegyz s A K v letle k s rlet egy v grehajt sa sor a teljes esem yredszer a.) k z l csak egyik k fog biztosa bek vetkezi. esem yei Az A s A k telem teljes esem yredszer. lda A fracia k rty b l val h z s l az A k rt h zok, A I..6. h zok, A3 pikket h zok s A4 treet h zokesem yek teljes k r t esem yredszert alkotak. Axi m k A K v letle k s rlettel kapcsolatos sszes esem yek I... redszere (az.. esem yalgebra) -algebra, azaz kiel g ti az al bbi tulajdos gokat o o Ha A ) A is. o Ha A A A ) 3 Ai is. 8i Megjegyz s

12 d.) Ha A A A ) Y 8i Ai is igaz, azaz meggyelhet IV.6 Kidolgozott feladatok sgyakorlatok 57 ; Y s +Y val sz s gi v ltoz k karakterisztikus f ggv y t f(t)-vel! I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz s gi mez em felt tle l esik egybe sszes r szhalmazaiak halmazredszer vel. a.) -be csak a k s rlettel kapcsolatba hozhat.. meggyelhet Nem z rjuk ki, hogy lehetek -ak olya A r szhalmazai, esem yekvaak. amelyeket em tuduk meggyeli, azaz lehet olya kimeetel, v g em tudjuk megmodai, hogy A bek vetkezett-e vagy sem. ami axi m kkal ppe az ilye A esem yeket akarjuk kiz ri a tov bbi Az vizsg lataikb l. Az axi m k yilv val tulajdos gokat fogalmazak meg. Az o potba azt k vetelj k meg, hogy a biztos esem y meggyelhet legye. A is o -be azt ll tjuk, hogy ha az A esem yt meg tudjuk gyeli, akkor elletettj t is meg tudjuk. A 3 o -ba pedig az az ll t s, hogy ha es- az egy redszer t egyek t meg tudjuk gyeli, akkor azt az em yekek is meg fogjuk tudi gyeli, amely akkor k vetkezik be, ha a esem yt felsorolt esem yek k z l legal bb egy bek vetkezik. I... T tel Az axi m kb l levezethet k -ek tov bbi tulajdos gai a.), azaz a lehetetle esem y ismeggyelhet. Ha A B )A + B is, azaz a 3 o axi ma v ges sok esetre is igaz. Ha A B )AB is, azaz meggyelhet esem yek szorzata is c.) meggyelhet. esem yek egy ttbek vetkez se is meggyelhet. Ha A B )A B s B A, azaz meggyelhet esem yek e.) is meggyelhet ek. k l bs gei a.) Az o s o axi m kb l trivi lisa k vetkezik. Az A A A B A3 A4 v laszt ssal, a 3 o axi m b l k vetkezik. Gyakorlat Egy szerecsej t kos meggyeli, hogy tlagosa 63 IV.6.3. ut yer. H yszor kell k s rletezie, hogy 99 val sz s ggel k s rlet yerje legal bb egyszer? Gyakorlat Egy m r s elv gz s hez egy potatla eszk z k IV.6.4. ahol a m r s hib ja stadard orm lis eloszl s. A m r st -szer va, el, majd tlagoluk. Mekkora legye az, hogy legfeljebb ;4 v gezz k t rje el az tlag a m red rt kt l -del? val sz s ggel Gyakorlat 99%-os val sz s ggel szeret k garat li, hogy IV.6.5. p zfeldob sb l legal bb -szer fejet kapjuk. Hogya v lasszuk meg -et, ha a fejdob s val sz s ge p? Gyakorlat Adottak az U ( ) teljese f ggetle IV.6.6. v letle sz mok. Ezek seg ts g vel geer ljuk N (5 ) orm lis eloszl s v letle sz mot! Gyakorlat Jel lje az val sz s gi v ltoz karakterisztikus IV.6.7. f(t) Fejezz k ki az Y ; val sz s gi v ltoz karakter- f ggv y t isztikus f ggv y t f(t)-vel! Gyakorlat Jel lje az s Y f ggetle, azoos eloszl s val sz s gi IV.6.8. v ltoz k k z s karakterisztikus f ggv y t f(t) Fejezz k ki az IV.6.9. Gyakorlat Legyeek N( ) teljese f ggetleek, s Y i Adjuk meg Y karakterisztikus f ggv y t! Gyakorlat Adja meg a o() diszkr t eloszl s karakterisztikus IV.6.. f ggv y t! Ezt felhasz lva sz molja ki a egyedik mometumot!

13 u )!! ; hisze (u) ()+u ()+ u ()+ ( (u s () () () Ie (u) ; u k vetkezik, ) o ; u k-k k z s karakterisztikus f ggv ye 'k (t) ;+it gy z e ;z e izt dz ()! h z e z(it;) ; (it;) z e z(it;) + ;+() it; s keresett s r s gf ggv y f Y (z) (it;) ()! z e ;z z> I. Aval sz s gsz m t s alapfogalmai s axi maredszere 3 Ai Aj, akkor ( 8i 56 IV. FEJEZET Val sz s gi t rv yek () () f () f (), hisze E Vagyis (u)! Ebb l hogy azaz (t) 4 (t) Teh t (u) k vetkezik, (t) ; (;t), u (u) ( u ) u ami a stadard orm lis eloszl s karakterisztikus Ha Y stadardiz ltjaiak karakterisztikus f ggv ye stadard f ggv ye. azaz f(u) exp orm lis, akkor Y is orm lis! IV.6.6. Feladat Legyeek E () teljese f ggetleek, s Y (t) ('k (t)) ; ;+it 'Y ()! i Adjuk meg Y s r s gf ggv y t! Mivel R ()! R ()! + ez(it;) i (it;) (Megjegyz s Y ;( ), azaz param ter gamma eloszl s.) Feladat Jel lje az val sz s gi v ltoz karakterisztikus IV.6.7. f(t) Fejezz k ki az Y a + b val sz s gi v ltoz karak- f ggv y t terisztikus f ggv y t f(t)-vel! 'Y (t) Ee i(a+b)t e ibt Ee i(at) e ibt f (at) Gyakorlat Egy p rtra a szavaz k p val sz s ggel szavazak, IV.6.. ltal ba ismeretle. Ak zv lem ykutat k a p rtot v laszt k poz- ami v lasz ak s a megk rdezettek sz m ak ar y val becs lik meg p-t. it v legye a megk rdezettek sz m mit ja, ha azt akarj k el ri, Mekkora a kapott relat v gyakoris g p-t l legfeljebb -del t rje el 99 9%-os hogy val sz s ggel? Gyakorlat Legal bb h y meggyel s sz ks ges ahhoz, hogy IV l em agyobb sz r s val sz s gi v ltoz rt keiek tlaga 95%- egy os val sz s ggel a v rhat rt k sugar k ryezet be esse? z e z(it;) dz Ha A B,akkor o miatt A B is igaz, de akkor miatt A + B c.) fe ll, de jra a o axi m ra hivatkozva ekkor A + B AB is fe ll. Az utols l p sbe a I.. t tel j.) s i.) ll t sait hasz ltuk is fel. Az el z h z hasol a, a o s 3 o axi m kb l valamit ade Morga d.) k vetkezik. azooss gokb l o miatt A B is igaz, gy c.) miatt (A B )A B s e.) A )B A is igaz. (B Axi m k Adott egy![ ] halmazf ggv y, melyet val sz s gek I... evez k. A f ggv y kiel g ti az al bbi tulajdos gokat o () o Ha A A A p rok t egym st kiz rj k, azaz 8i 6 j-re Megjegyz s Ai) 8i (Ai) A o axi m ba megfogalmazott tulajdos got a val sz s g -additivit si a.) tulajdos g ak evezz k. A meggyelhet esem yek val sz s geit kisz m that ak t telezz k A (A) rt k az A esem y bek vetkez s ek m rt ke, es lye. A fel. redelkezik azokkal a tulajdos gokkal, amikkel mide halmazf ggv y m rt k is redelkezik (pl. hossz,ter let, t rfogat,t meg st A o m s azt ll tja, hogy egym st kiz r esem yek sszeg ek val sz s ge axi ma az esem yek val sz s geiek sszege, mit ahogy pl. egym st em fed r szekb l ll s kidom ter lete egyel a r szek ter leteiek t Az o axi ma azt posztul lja, hogy legye a biztos esem y sszeg vel., sehhezk pest jellemezz k a t bbi esem y bek vetkez s ek val sz s ge es ly t. A zikai meyis gekhez m r m szerek szerkeszthet k, az adott test egy zikai jellemz j ek elm leti rt k t agy potoss ggal hogy megbecs lhess k. Ilye m szer a hosszm r sre a m terr d, a karosm rleg. Ugya gy, mit m s m rt k l, a val sz s g t megre eset is szerkeszthet m r m szer, amivel az elm leti val sz s g j l becs lhet lesz. Ez a m r m szera k s bb rtelmezed sz m rt ke gyakoris g lesz. (L sd az I.3. szakaszt!) relat v

14 (Aj Aj Aji ) IV.6 Kidolgozott feladatok sgyakorlatok 55 p N ( ) ; u (u). Ebb l m r k vetkezik, hogy ( u ) (t);() lim t! 4 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz s gi mez De ci Az ( ) h rmast a K v letle k s rlethez tartoz I..4. val sz s gi mez ek evezz k. Kolmogorov-f le T tel Aval sz s g axi maredszer b l levezethet ek a val sz s g I..3. al bbi tulajdos gai a.) ( A); (A) ( ) ; () Ha A A A esem yek teljes esem yredszert alkotak, c.) akkor (Ai), 8i d.) Ha A B akkor (A) (B) e.) (AB) (B) ; (AB) a.) A A A+ A s o, o miatt () (A+ A)(A)+( A). miatt az el z ll t sb l trivi lis. c.) Mivel 8i Ai s az A A A esem yek egym st p rok t kiz rj k, az axi m kb l m r k vetkezik az ll t s. B A + A B s A ( A B) gy (B) (A) +( A B). Mivel d.) A B), m rk vetkezik az ll t s. ( B AB + AB s (AB)( AB) miatt (B) (AB)+( AB) e.) B A B A gy az ll t s m r k vetkezik. Mivel I..4. T tel (oicare-t tel) Ha A A A tetsz legesek, akkor ( S i j<j<<ji Ai) () + S i ahol Jel lje am k d g pek sz m t! Nyilv B(3 7). A ; <p+ x p pq ( < x) MoivreLaplace-t telb l Mivel (3) 999, gy ( <34) 999, vagyis az zemel (x). sz ma kevesebb, mit %-kal. g pek Feladat Egy tafolyamra hallgat iratkozik be. M s elfoglalts ga IV.6.3. miatt mide hallgat 6 val sz s ggel megy el az egyes r kra. hogy egym st l f ggetle l l togatj k az r kat. H y f s Felt telezz k, kell ahhoz, hogy az r ra rkez hallgat k 9%-os biztos ggal elf r- terem jeek a terembe? Hallgat k sz ma, B ( 6) ; <6 + p 4x 9 ) x 9 ) 6 + p 4 9 akeresett teremkapacit s. (x) Feladat Adottak az U ( ) teljese f ggetle IV.6.4. v letle sz mok. Ezek seg ts g vel geer ljuk orm lis eloszl s v letle sz mot! Y EY 5 Y i Acetr lis hat reloszl s k vetkezik, hogy Y stadardiz ltja k zel stadard orm lis. Teh t t telb l ;5 Y Feladat Bizoy tsuk be, hogy ha s Y f ggetle, azoos IV.6.5. s v ges sz r s val sz s g v ltoz k, akkor + Y s ; Y eloszl s akkor s csak akkor leszek f ggetleek, ha s Y orm lis eloszl s ak. ( Ha s Y orm lis eloszl s ak, akkor cov ( + Y ; Y ) ( ; Y );E ( + ) E ( ; Y )miatt s Y f ggetleek is, hisze E eloszl s l a korrel latlas g ekvivales a f ggetles ggel. orm lis Tegy k fel, hogy E EY s Y k l be a ) sz mol k tov bb. Jel lje f(t) ak z s karakterisztikus stadardiz ltjaikkal Ekkor '+Y (t) f (t) s ';Y (t) f (t) f (;t) s f ggv y ket. + Y )+( ; Y ) miatt ' (t) '+Y (t) ';Y (t) f 3 (t) f (;t) is. ( (t) lf (t) Ekkor (t) 3 (t) + (;t) Bevezetve a (t) Legye ; jel l st, (t) (t) ; (;t) 3 (t)+ (;t); 3 (;t)+ (t) (;t) (;t) (t) Teh t (u) ; u ; u ; (t) (t) u u t

15 val s sz m eset lim x ( <x) f g, vagyis a! lim ( + + <x) lim +++;m p <x +!! lim! x, ahol m E i i x x;m p 8 < I. Aval sz s gsz m t s alapfogalmai s axi maredszere 5 Ai + A+ gy Ai Ai +(A A) +(A3 (A + A)) + +(A A Ai A3 (A + A) A3 ) (A3 (A + A)) (A3) 54 IV. FEJEZET Val sz s gi t rv yek t bl zat b l olvastuk ki.(ld. A f ggel kbe!) Az el bbi sszeg kisz m t sa m g sz m t g pre rt program Megjegyz s sem trivi lis a biomi lis egy tthat kba szerepl agy fak- seg ts g vel tori lisok miatt. Feladat Egy sz v g p 5 sz llal dolgozik. Aak a val sz s ge, IV.6.. hogy egy sz l id egys g alatt elszakad 8 mide sz lra. Hat roz- meg, hogy 95 val sz s ggel milye hat rok k z tt v rhat a sz lszakad sozuk sz ma egy id egys g alatt? Jel lje a sz lszakad sok sz m t! Ekkor a MoivreLaplacet rv yb l <x ;5 8 p ( < 99 x +4) (x). M s ( 65) 95, azaz x 65- l ( < ) ( <7 8), r szt a sz lszakad sok sz ma 8- l kisebb lesz legal bb 95%-os val sz s ggel. vagyis Feladat Legyeek f ggetle azoos eloszl s IV.6.. val sz s gi v ltoz k v ges sz r ssal. Bizoy tsuk be, hogy tetsz leges hat r rt k csak vagy 5 vagy lehet! Acetr lis hat reloszl s t telt hasz lva lim De! p x;m ha m> ha m ha m< amib l m r k vetkezik az ll t s. Feladat Ha egy gy r egyforma eergiaig y g pei k z l tlagosa IV.6.. 7% m k dik s 3% v r jav t sra, vagy ppe jav tj k, akkor t- g p eergiaig y t kell kiel g tei. Meyi eergi t kell biztos talagosa akkor, ha 99 9%-os biztos ggal szeret k el ri azt, hogy mi- m k d k pes g p val ba m k di tudjo? (Feltessz k, hogy a g pek de egym st l f ggetle.) meghib sod sa -re voatkoz teljes idukci val esetbe + A A +(A A) s A (A A) miatt I..3 t tel e.) ll t s t A (A+A) (A)+(A A) (A)+(A);(AA) felhasz lva fel, hogy az ll t s igaz esetbe. Tegy k +-re az ll t s bizoy t sa + ( Ai + ( Ai) ( Ai) +(A+) ; ( Ai) +(A+) ; (A+ Ai A+) Az idukci s feltev s felhasz l s val ( + Ai) (Ai) ; i<j + (AiAj) i<j<k Ai) (AiAjAk) ; + + ; +() (AiA+)+ (AA A)+(A+) i<j (AA AA+) +() a tagok felcser l s vel az ll t st kapjuk. ahoa (AiAjA+) ; + T tel (Boole-egyel tles g) I..5. ( ) Kolmogorov-f le val sz s gi mez. Akkor mide Legye A A A eset a.) a.) Q ; (Ai) ; A i egy diszjukt felbot s, s Ez A A ) (A A) (A) A. Ai)

16 A Ai (A )+ (A A) + (A3 (A + A)) + Ai A i Ai Ai $ lim Ai A! A A A Y Y $ lim Ai A! IV.6 Kidolgozott feladatok sgyakorlatok 53 8 < A) Ekkor + Y azaz eloszl s- ha x> ha x s + Y I(A) amiek 8 < hogy lim L that, F (x) F (x) 6 G(x), azaz + Y! IV.6.7. Feladat Bizoy tsuk be, hogy ha mide -re, akkor E e! Y, ahol Y E ()! (Y <x) (p <x) x k[ p ] ( ; p) k p ; 5 sszeget! I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz s gi mez Ai A ) A (A ) Ai ;additivit sa miatt Aval sz s g + + A De Morga azooss gb l Q Ai Q A gy az a.) ll t s eredm y t is felhasz lva Q Ai ; (Ai) ; Ai I..6. T tel (A val sz s g folytooss gi tulajdos ga) Ha olya hogy a.) A A A,... esem yek, A A A akkor ( lim Ai) (A )! Ha A A A.olya esem yek, hogy akkor ( lim Ai) (A )! ; Ai A t tel elevez se az rt jogos, mert folytoos f ggv yek l Megjegyz s a f( lim fe ll x ) lim! f(x ) tulajdos g.! Legye A s Ci Ai Ai (i ) a.) Ci Cj ha i 6 j mert Ekkor Ai) (Aj Aj) Ai(Aj Ai) Aj ha i 6 j. (Ai Tov bb Ai Ci F (x) ( <x) (Y <x) tov bb I(A) s Y I( Legye f ggv ye G(x) ( + Y < x) eloszl sf ggv ye F(x) ( + Y <x) _ ha x ha <x ha x> ha x> ha <x ha x Lr is fe ll!! e! + Y 6 st s (j j <K)! E j ; j r K r (j ; j >")+" tetsz leges "> amib l m r k vetkezik az ll t s. eset, Feladat Legye p ( ) tetsz leges ullsorozat, s IV.6.8. G (p) Mutassuk meg, hogy Y ( p) [ x p ]! ;x! ; e ; ; IV.6.9. Feladat K zel t leg hat rozzuk meg az A 6 k Legye B(5 5)! Ekkor a kisz m tad A sszeget fel rhatjuk A ( k) alakba. A MoivreLaplace-t tel szerit k;5 p y <x 5 k ( k) (x) ; (y). Most gy kell x-et s y-t meg- hogy 5 + p 5y s p 5x legye. Teh t v lasztai, ; s x , amivel ;5 A 838, azaz y A e+5. Af ggv y rt keit a stadard orm lis eloszl s k

17 A agy sz mok er s t tel b l k vetkezik, hogy Y maxf g Igazoljuk, hogy Y FZ (x) (Z <x)(f (x)) 8 < e b! (x) (Y <x); ( ; F (x)) FY ) Z 8 < ; b;x b;a ha x (a b) ; e! a s Z 8 < e! b! ; x;a ha x (a b) b;a ha x<a ha x a ) Y e! a IV.6.5. Feladat Bizoy tsuk be, hogy ha e! c, akkor ha x<c ha x c "> tetsz leges. lim Legye (j ; cj ")! lim ; (c ; " c + ") ; lim! (F (c + ") ; F! ; F (c + ") +F (c ; ") ) e! s Y e! Y,de + Y Legye A olya esem y, hogy (A) Legye I(A) vagyis az A esem y idik tor v ltoz i. K z s eloszl sf gg- Y I. ld k val sz s gi mez kre 7 Ai Ci Y A i, ez rt Y ka ahol k A az A esem y sz moss ga. Vagyis az esem yek val sz s ge 5 IV. FEJEZET Val sz s gi t rv yek v m! mifs s sg p ss s maxfs s sg gy ha M sr szt! a, akkor a lim if s p ss s p ss s lim sup s a s p ss s! a Ebb l m r k vetkezik az ll t s. azaz Feladat Legyeek f ggetle, azoos U (a b) IV.6.4. val sz s g v ltoz k. Legye Y mif g s Z eloszl s Az U (a b) eloszl sf ggv ye F (x) ha x a ha x b! ha x a ha x b ha x a x;a b;a ha x (a b) ha x a! ha x<b ha x b st c is!! A c kostas, mit val sz s gi v ltoz eloszl sf ggv ye F (x) (c <x) st c! (c ; ")) IV.6.6. Feladat Mutassuk p ld t olya Y sorozatokra, hogy v y k e! + Y! 6 gy lim! (Ci) lim! (Ci) (Ai) ; (Ai)) lim ( ( (A ) ; (A)) lim! (A )! Legye Ai, akkor B B B Bi Mivel eredm y t ( ( Bi Bi Bi Ai, teh t alkalmazva aza.) lim Bi) (B ) lim! ( ; (A )) ; lim! (A )! Ai) ; ( lim Bi) (A )! I.. ld k val sz s gi mez kre I... lda A klasszikus val sz s gi mez, a diszkr t egyeletes eloszl s az esem yt r v ges elemsz m elemi esem y halmaza Ekkor az esem yalgebra sszes r szhalmazaiak redszere, f!!!g, s midegyik elemi esem y bek vetkez s ek egyforma a val sz s ge (f!g) (f!g) (f!g). Mivel az sszes elemi esem yek redszere teljes esem yredszert alkot, ez rt () ( (f!g) ) pi (f!ig) 8 i -re. haa tetsz leges esem y, akkor (A) gy, (f!g)!a f!ig)!a gy sz m that, hogy az esem ybek vetkez se szempotj b l kedvez ilyekor elemi esem yek sz m t osztjuk a k s rlettel kapcsolatos sszes elemi sz m val. esem yek val sz s gi mez vel modellezhet a kockadob s, a p zfel- Klasszikus dob s, a rulettez s, a k rtyah z s, a lott h z s, a tot tippel s stb. lda Geometriai val sz s gi mez I... a K v letle k s rlet elemi esem yeiek halmaza egy v ges m rt k Alkosso

18 De ci Ha egy -szeres k s rletsorozatba az A esem y ka I.3.. k vetkezett be, akkor ka az A esem y gyakoris ga, r(a) k A -szor pedig IV.6 Kidolgozott feladatok sgyakorlatok 5! M sr szt, ha y> tetsz leges, 3 jjjy ; Y j > " 3 jy ; Y j > " ; IV.6.. Feladat Igazolja, hogy ha akkor a is! $ Q A >! j (!) > a s legye "> tetsz leges! A ; o a >" (A fj ; aj > jaj "g) ; > a "! (!) Mivel j ; a >" aj j ; aj > a >" " ; + A A ; > a " + gy lim sup j ; a >", smivel tet- aj i i i i i Igazoljuk, hogy Z 8 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz s gi mez alakzatot. Ilyekor az esem yredszer a geometriai alakzat m rhet geometriai r szhalmazait jeleti, s az A esem y val sz s g t a (A) (A) sz m tjuk, ahol a geometriai t r m rt k t jel li. Ha pl. itervallum, m do akkor hosszm rt k, ha s kidom, akkor ter letm rt k, ha test, akkor stb. t rfogatm rt k ha x s y k t v letle l v lasztott s k z es sz m, akkor ld ul, aak a val sz s ge, hogy x + y< s xy < 6 lesz? meyi most az egys g gyzet lesz, az k rd ses esem y pedig az al bbi br besat rozott ter letek felel meg A besat rozott ter let agys ga R 8 6 x dx + 4 K s rletsorozat, az esem yek relat v gyakoris ga I.3. De ci Tekits k egy K v letle k s rletet, s jel lje K azt I.3.. k s rletet, amely a K -szeres azoos k r lm yek k z tti ism telt v gre- a hajt s b l ll. K-t egy -szereskis rletsorozatak evezz k. lda Amikor t zszer dobuk egy szab lyos j t kkock val, a kockadob shoz I.3.. tartoz t zszeres kis rletsorozatr l va sz. A lott h z sok soro- t bb mit harmic ve t tart kis rletsorozatk t is felfoghat, gy az zata k s rletsz mra igaz az >5 Ultiz s l mide j t k el tt az oszt s l az I../ p ld ba eml tett K k s rletet, azaz itt is kis rletsorozatr l v grehajtjuk va sz. a relat v gyakoris ga. () jj j Legye "> tetsz leges! (jy ; Y j >") jy ; ; ; jjy ; Y j > " ; 3 + jjjy ; Y j > " ; 3 + jy jj ; j > " 3 j j ; jjy ; Y j > " ; 3 j ; j > p " 3 + Tov bb ; jy ; Y j > p " ; + (jj >y)! ha y! 3y m r k vetkezik, hogy (jy ; Y j >")! Ebb l st! st a valamely a> sz mra,! j aj a ; a > ; < 8 >-hoz 9 > ; ; < ; j ; aj < a ; a < < ; eset ; a >" ; A + a sz leges volt, m r k vetkezik az ll t s. IV.6.. Feladat Legyeek f ggetle, azoos eloszl s val sz s g v ltoz k, Ei m i d Igazolja, hogy A agy sz mok t tel b l k vetkezik, hogy st m!! +d m st m s! st + d Felhasz lva azel z k t feladat eredm y t, m r m! k vetkezik az ll t s. Feladat Legyeek f ggetle, azoos eloszl s IV.6.3. v ltoz k, Ei m> Tekits k a Z p YY Y val - val sz s g sz s gi v ltoz t, ahol Yk k k v m!!

19 rt ke E. Ekkor 8" > eset ( > ") E " A olya esem yek, melyek val sz s gei (A) A Legyeek! A Ellep lda arra, hogy E (jm ; j) Em! ) Ellep lda arra, hogy v!, de! A L de! L de amit l ttuk,! Mivel E (j ; j) E! ) v! hogy megmutathat, Y IV.6.9. Feladat Igazolja, hogy ha IV.6.. Feladat Igazolja, hogy ha Y I.4 A felt teles val sz s g s az esem yek f ggetles ge 9 sz s ge, ha tudjuk, hogy a dobott rt k p ratla sz m, s 3 5 IV. FEJEZET Val sz s gi t rv yek ekkor (j ; j >") Ej;j "! (!) tetsz leges, arra, hogy a t tel em megford that Ellep lda sorozat elemeiek de ci ja (!) 3! A Legye "> Megmutatjuk, a sorozat b r sztochasztikusa koverg l az -hoz, de m r els hogy em. mometumba L that, hogy (j ; j >")( >"),ha> 3 p ", azaz st De E (j ; j) E 3! val kovergecia em igaz. IV.6.8. Feladat Bizoy tsa be a IV..5. t telt! itt is j, mert ha m + k!a mometumba v! A IV.. p lda 6 v! 6 L!. Legyeek A-ek olya 6 f ggetle esem yek, ahol (A) Legye a sorozat elemeiek teljese 3! A de ci ja (!) st + Y!! a hat r val sz s gi v ltoz pedig st s Y! L! Viszot 6 st Y,akkor +! (j + Y ; (Y + )j ") (j ; j " + jy ; Y j") (j ; j ") + (jy ; Y j")! st Y!! st s Y! st Y,akkor! jy ; Y j jy ; Y + Y ; Y j ; + jjy ; Y j + jy jj ; j j ; jjy ; Y j + jjjy ; Y j + j Nyilv val, hogy mid a gyakoris g, mid a relat v gyakoris g Megjegyz s kokr t rt ke f ggav letlet l. A relat v gyakoris g redelkezik az al bbi tulajdos gokkal I.3.. T tel Egy adott -szeres k s rletsorozat l a.) r![ ] r() c.) Ha A A A egym st kiz r esem yek, akkor r( Ai) Az el z t tel azt ll tja, hogy a relat v gyakoris g redelkezik Megjegyz s a val sz s g tulajdos gaival. K s bb l ti fogjuk azt is, hogy vekedt vel r(a)! (A) is fe ll. (Nagy sz mok Beroulli-f le t rv ye). Ezt a t rv yszer s get el sz r tapasztalati to fedezt k fel a sz zadba, mikor meggyelt k, hogy a relat v gyakoris g egyre kisebb VII. igadozik egy s k z es sz m k r l. A klasszikus matema- m rt kbe ppe ez alapj dei lt k az esem yek elm leti val sz s g t tikusok az rt k, amely k r l a relat v gyakoris g igadozik. A relat v gyakoris g az alkalmas a val sz s g mit zikai meyis g m r s re. teh t az axi m iba a relat v gyakoris g a.)-c.) tulajdos gait Kolmogorov t a val sz s gre, mithogy a hat r tmeet ezeket a tulajdos gokat r k tette megtartja. A felt teles val sz s g s az esem yek I.4. f ggetles ge K v letle k s rlet elemi esem yei sz mukra v letleszer e k vetkezek A m gpedig az rt, mert a v geredm yt befoly sol k r lm yek boyolult be, em ismerj k potosa. Viszot ismerj k az egyes esem yek, komplexum t esem yek bek vetkez si es lyeit a val sz s get, vagy legal bbis elemi potoss ggal m rhetj k ket. Ha viszot aza esem y bek vetkez si tetsz leges k r lm yeir l tov bbi iform ci kat szerz k be, vagy bizoyos felt telez ssel l k, megv ltozhat az A bek vetkez si es lye, het potos t de cs kkehet is. l. a kockadob s k s rlet l, a 6-os dob s esem yval - is, hogy a dobott rt k p ros volt., ha tudjuk, r(ai)

20 r(ai jb) r(a ) kab AB k kb jb Az r(ab) r(b) t r s ut, ha! kapjuk, hogy kb jb )! (AB) (B) r(a a (A jb) (AB) (B) sz mot rtj k. val sz s g IV.6 Kidolgozott feladatok sgyakorlatok 49 Legye A tetsz leges (A) ( )( A) q (Y )(A) p ( )(A) q (Y )( A) p F (x) F (x) FY (x) 8 < Mivel F (x) F Y (x) ez rt e! Y,dej ; Y j miatt a m sik h rom "! F(x + ") gy9 lim F(x). F (x) s F (x)! I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz s gi mez v ltozik (v ltoza) az A esem y val sz s ge, ha az A-val Hogya meggyelhet B esem y bek vetkez s t ismerj k (ismer k)? egyidej leg fel, hogy a K k s rlettel v grehajtottuk egy hossz s g kis rletsorozatot. Tegy k Az A esem yt ka -szor, a B esem yt kb -szer, az AB esem yt kab -szer gyelt k meg. Ekkor a B esem y bek vetkez s hez k pest pedig A esem y bek vetkez s ek relat v gyakoris ga yilv r(a jb ) k AB kb az az A esem yek a B esem yre voatkoztatott relat v gyakoris g ak melyet evez k. Ez az ar y aza bek vetkez si es lyeit potosabba t kr zi, a B bek vetkez s r l biztos tudom suk va, mit azr(a) k A ha felt teles relat v gyakoris g tulajdos gai yilv A a.) r(a jb ) r(b jb ) c.) Ha A A A egym st kiz r esem yek, akkor r( Ai jb ) De ci Legyeek A B olya esem yek, hogy A tetsz leges I.4.. s (B) > Akkor az A esem yek a B-re voatkoztatott felt teles T tel Tekits k az ( ) Kolmogorov-f le val sz s gi mez t. I.4.. B (B) > r gz tett. a B(A) $ (A jb) felt teles val sz s gre teljes lek az al bbi Ekkor tulajdos gok a.) B(A) (8 A ) B(B) B( ) c.) 8 A A A Ai Aj (i 6 j) ) B( Ai) B(Ai) IV.6.5. Feladat Bizoy tsuk be a IV... t telt! Egy ellep ld t foguk adi, amely eloszl sba koverg l val sz s giv ltoz -sorozat lesz, de a m sik h rom rtelembe em koverg l. legye I(A) s esem y, I( A) idik tor val sz s gi v ltoz. Az Y azoos eloszl s, hisze Y a sorozatot gy, hogy 8-re. Ekkor yilv Dei ljuk x> <x x rtelembe em koverg lhat az Y -hoz. IV.6.6. Feladat Bizoy tsa be a IV... t telt! Koverg ljo az val sz s giv ltoz -sorozat sztochasztikusa -hez, azaz 8"> eset (f! j(!) ; (!)j >"g)! (!) "> tetsz leges! Legye (x) ( <x)( <x <x+ ") +( <x x + ") F ( <x+ ") +( > + ") ( <x+ ") +(j ; j >") + ")+(j ; j >") M sr szt F(x ( <x;") ( <x <x;")+( x < x;") F(x;") ( <x)+( < ; ") F (x) +(j ; j >"). egyel tles gb l Ak t ; ") ; (j ; j >") F (x) F (x + ") +(j ; j >"). F(x feti egyel tles gbe!hat r tmeetet k pezve A ; ") lim if F (x) lim sup F (x) F (x + ") F(x x folytooss gi poja F(x) -ek, akkor lim Ha F(x ; ") lim "! IV.6.7. Feladat Bizoy tsa be a IV..3. t telt! Ehhez az ll t shoz a Markov-egyel tles get fogjuk felhasz li. Legye olya val sz s gi v ltoz, melyek l tezik a v rhat

21 amib l m r k vetkezik (;3 <<3) ; 3 3 I.4 A felt teles val sz s g s az esem yek f ggetles ge B B B miatt B(B) (B) (B) s B, teh t B( ) ( ) (B) 48 IV. FEJEZET Val sz s gi t rv yek Jel lj k -szel a tal latok sz m t! A l v ssorozat felfoghat hossz s g k s rletsorozatak, ahol a meggyelt esem y a c l- egy eltal l sa. Ez rt biomi lis eloszl s s p 4 param terekkel. pot E p 4 8 pq A Csebisev- gy alkalmazzuk erre az esetre " p v laszt ssal egyel tles get ; j ; Ej > p ; j ; 8j > p 48, ahoa ; j ; 8j p 48 ; 8 ; p p 48 (58 ) 9 ad dik, azaz a l v sek 58 s k z fogak esi legal bb 9%-os val sz s ggel. Feladat Egy automata mi s gvizsg l elem mit t IV.6.. elle riz le egy gy rt soro el ll tott sz m t g pes alkatr szt megb l. A ut milye val sz s ggel ll thatjuk, hogy a mit b l meghat rozott vizsg lat selejtar yak szlet elm leti p selejtval sz s g t l legfeljebb -dal t r el? most a selejtes term kek sz m t jel lje a mit ba! Ekkor selejtar y a mit ba 5 lesz. Nyilv B( p), aholap is- a E p 5 p pq 5 pq. A Csebisev-egyel s get meretle. " -rel alkalmazzuk (j ; 5 pj) most ; 5 5 pq 6 ; 39 4 p ; 975. Alevezet sbe felhasz ltuk, hogy pq p ; p 5. Feladat Egy zembe csavarokat csomagolak. Egy-egy dobozba IV.6.3. tlagosa 5 csavar ker l. A csavarok sz m ak sz r sa a tapasz- szerit darab. Mit modhatuk aak val sz s g r l, hogy egy talat a csavarok sz ma 49 s 5 k z esik, ha az eloszl st em is- dobozba merj k? Jel lje acsavarok sz m t! Ekkor a Csebisev-egyel tles gb l (49 5) (j ; 5j ) ; 4 96 Feladat Legye stadard orm lis eloszl s val sz s gi IV.6.4. A stadard orm lis eloszl s t bl zat ak hasz lata lk l bi- v ltoz! be, hogy ekkor fe ll a (;3 <<3) ; p zoy tsa egyel tles g! 8 A Markov-egyel tles gb l (jj > 3) Ejj 3 p. p, a.) Mivel AB B, ez rt (AB) (B), teh t k vetkezik az ll t s. Mivel az A A A esem yredszer egym st kiz r esem yekb l c.) ll, ez rt A B A B A B is egym st kiz r esem yekb l ll redszer, gy a val sz s g -additivit si tulajdos g b l ( (AiB). Midk t oldalt osztva (B)-vel m r ad dik az ll t s. Megjegyz s (AiB)) Az el z t tel azt ll tja, hogy ha B-t r gz tj k, s B $ fc C A B A g, a.) a (B B B) kiel g ti a Kolmogorov val sz s gi mez axi m it. akkor Vaak A B esem yek, amelyekre (A jb) (A) teljes l, azaz A val sz s ge em v ltozik meg, ha a B esem y bek vetkez s t ismerj k az A val sz s ge f ggetle a B bek vetkez s t l. De ci Legyeek A B tesz leges esem yek. Az A s B I.4.. f ggetleek, ha(ab) (A)(B) fe ll. esem yek Megjegyz s Ha az A B esem yek f ggetleek s (A)(B) >,akkor (A jb ) a.) s (B ja) (B) is fe ll, vagyis az egyik esem y bek vetke- (A) z s ek ismerete, em befoly solja a m sik esem y val sz s g t. Nem szabad sszekeveri az egym st kiz r esem yek s a f ggetle esem yek fogalmait! Ha k t esem y egym st kiz rja, azaz AB, akkor egyik bek vetkez se igecsak meghat rozza a m sik bek vetkez s t az pl. A bek vetkezik, akkor B biztosa em k vetkezik be. F gget- ha esem yek eset, ha az egyik esem ybek vetkez s t ismerj k, em le meg a m sik bek vetkez si val sz s ge. v ltozik Az esem yek f ggetles g ek a fogalma k l b zik a zikai rtelembe c.) f ggetles g fogalm t l is. Azikai f ggetles g azt jeleti, hogy vett okozat em k vetkezm ye az okak, teh t itt a f ggetles g em az szimmetrikus.

22 (AiAi Aik )(A i )(A i ) (A ik ). IV.6 Kidolgozott feladatok sgyakorlatok 47 p (i )( A)q p (i )(A) p Ei p e N( ), hogy Z! Z, vagyis olya Z (Z <x)! (x) (!) 8x R (x) FZ k< p pqx+p; k ; k p k q ;k ; k ;k q (x) p xr p k I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz s gi mez I.4.. T tel Ha az A B esem yek f ggetleek, akkor a.) A s B A s B c.) A s B is f ggetleek. (A B)+(AB) (A) ) (A B)(A) ; (AB) a.) ; (A)(B) (A)( ; (B)) (A)( B) (A) ) A B f ggetleek. ( AB) +(AB) (B) ) ( AB) (B) ; (AB) ; (A)(B) (B)( ; (A)) (B)( A) (B) ) B A f ggetleek. ( A B)+(A B)( B) ) ( A B)( B) ; (A B) c.) B) ; (A)( B)( B)( ; (A)) ( B)( A) ( ) B A f ggetleek. T tel Az s esem yek midea esem yt l f ggetleek. I.4.3. ( A) ( ) (A) ( )(A) ) s A f ggetleek. (A) (A) (A) ()(A) ) s A f ggetleek. De ci Az A A A esem yek p rok t f ggetleek, I.4.3. ha(ai Aj) (Ai) (Aj) (8 i 6 j) De ci Az A A A esem yek teljese f ggetleek, I k f 3 g s 8 i <i < <ik idexkombi ci ra ha T tel Ha az A A A esem yek teljese f ggetleek, I.4.4. p rok t is f ggetleek. Ford tva ltal ba em igaz. akkor eloszt k zpotba is orm lis eloszl s ak tekithet a lakoss gi fogyaszt s, romos hisze agyo sok kisfogyaszt ered jek t ll el. Lehet, hogy egyes fogyaszt k k l -k l em a orm lis eloszl s szerit fogyasztaak, az de az tlagos fogyaszt st a agy sz mok t rv ye rtelm be biztosa tekithetj k orm lisak modelljeikbe. T tel (A MoivreLaplace-t tel, 733.) IV.5.. ( ) Kolmogorov-f le val sz s gi mez, A egy pozit v Legye esem y p (A) > Hajtsuk v gre egy v gtele k s rletsorozatot, val sz s g vagyis gyelj k meg az A bek vetkez seit az -edik k s rlet l! Legye i A!! A vagyis az i-edik v grehajt skor az idik tor val sz s gi v ltoz ja. Az i-k teljese f ggetleek s esem y eloszl s ak azoos i pq a Z +++;p p Ekkor val sz s giv ltoz -sorozathoz l tezik p(;p) A IV.5. t tel speci lis esete, amikor az i I(A) azaz eloszl s ak. R ad sul idik tor (x) (Z <x)( S < p p q x + p) mivel FZ S +++ a relat v gyakoris g s S B( p), gy r(a) ; k k ;k p q, amib l az eloszl sf ggv yre ( S k) < p pqx + p) S ( lim! Teh t a t tel azt ll tja, hogy p k;p <x pq ;k k p q <x k;p p pq e ; t dt (8x R) IV.6. Kidolgozott feladatok s gyakorlatok Feladat Egy c lpotra l v st adak le. A tal lat val sz s ge IV.6.. mide l v s l 4. Milye hat rok k z fog esi 9%-os val sz s ggel a tal latok sz ma?

23 olya Z N( ), hogyz e! Z vagyis F Z (x) (Z <x) 'Z (t) ' + ++; p gy (t) i h t p + ie(i;)! t + (i) E(i;) (t) + o t (t) h ; ( t + o()) i! e ; t 'Z hogy t + o()! t Felhasz ltuk, y y y! e,hay! y (!). ; Vagyis 'Z (t)! e; t egyeletese, azaz FZ I.4 A felt teles val sz s g s az esem yek f ggetles ge 3 azaz A f ggetle a AiAi3 Aik Y Y Ai A Ai A Ai A Ai Y Y Ai Ai Ai Ai Ai 46 IV. FEJEZET Val sz s gi t rv yek azoos eloszl s ak (azoos eloszl sf ggv yel redelkez k) az ( ) s val sz s gi mez. L tezz k a k z s Ei v rhat Kolmogorov-f le s a k z s i sz r s gyzet k. rt k k a Z +++; p Ekkor val sz s giv ltoz -sorozathoz l tezik ( +++; p <x)! (x) (!) 8x R A Helly-t tel alapj (ld. IV.4. t telt) azt fogjuk bizoy tai, hogy Z 'Z karakterisztikus f ggv yeiek sorozata egyeletese ko- (t) e ; t -h z, a stadard orm lis eloszl s karakterisztikus f ggv y hezverg l i-k azoos eloszl s ak, gy k z s karakterisztikus f ggv y k va, Mivel jel lj k 'i (t) g(t) -vel. Ekkor az i ; val sz s gi v ltoz k melyet karakterisztikus f ggv ye k z s $ 'j;(t) e ;it 'j (t) e;it g(t) (t) A f ggetles g miatt 'i+++;(t) [ (t)] E(i;) s E (i ; ) i a (t) els k t deriv ltja Mivel s a IV.4. t tel miatt m sodik tagig k r l Taylor-sorba fejthet l tezik, 'Z i h p t gy (t) o t + o(t ); t! t ; t v ltoz r gz t se ut A o() vagyis t ; o (!) + o(t ) (!) s, hogy (x)! (x) (!) 8x R Az el z t tel r mutat a orm lis eloszl sak az elm letbe Megjegyz s j tszott fotos szerep ek ok ra tetsz leges eloszl s val sz s gi v l- tlaga orm lis eloszl st k vet. Teh t, ha egy v letle jeles get sok toz k em jelet s, f ggetle hat s sszegek t kapuk, akkor az j l egyek t a orm lis eloszl ssal. Tipikusa ilyeek a m r sekb l sz rmaz k zel thet a Dua k zepes v z ll sa, a api k z ph m rs klet stb. Az elekt- adatok I.4.4 de ci ba, amikor k, ppe az I.4.3 de ci t kapjuk. Az megford t sra ellep lda A Dobjuk egy szab lyos kock val egym s ut k tszer. K els re p ratlat dobuk B m sodikra p ratlat dobuk A ak t dobott sz m sszege p ratla. C (A) (B) (C), (AB) (AC) (BC) 4 f ggetleek. p rok t (ABC) 6 (A)(B)(C) 8 De! A B s C. ) A B C azaz teljese em f ggetleek T tel Ha az A A A esem yek teljese f ggetleek, I.4.5. k z l k b rmelyiket azelletett esem y re felcser lve, jra teljese akkor f ggetle redszert kapuk. fel pl. A-et A-gyel. Ekkor a teljese f ggetles g felt telredsze- Cser lj k csak azokat az sszef gg seket kell elle rizi, amelyekbe A szerepeltr be Legye egy ilye pl. ( A Ai Aik ) ahol <i < <ik hogy az eredeti redszer teljese f ggetle volt Kihasz lva, Aik )(A )(Ai ) (A ik )(A ) (AiAi3 Aik ) (AAi szorzatesem yt l, gy a I.4. t tel miatt A is az. De ekkor AAi Aik )( A) (AiAi3 Aik )( A)(Ai ) (A ik ) ( azaz teljes l A -re is a teljese f ggetles ghez sz ks ges felboml s. T tel (Szorz si szab ly) I.4.6. az A A A tetsz leges esem yek gy, hogy Legyeek ( Ai) > Ekkor! Y A! A C A ; Y ; Y!! (A ja ) (A) Y Y ;!!

24 (A ja ) (A A) (A) IV.5 Cetr lis hat reloszl s t telek 45 'j (t) py i jt ; j t j ; t (it;)x e it; dx b;a [eitx ] b a eitb ;e ita (b;a)it b;a si(bt) b f le val sz s gi mez. Ekkor e! () ' (t)! ' (t) egye- j 4 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz s gi mez L that, hogy sszeszorz s s egyszer s t s ut az ll t st kapjuk. T tel (A teljes val sz s g t tele) I.4.7. A A A teljes esem yredszert, vagyis Alkosso ( i 6 j ) s Ai Aj Ai. Tegy k fel tov bb, hogy (Ai) > mide i-re. Ekkor tetsz leges B esem yre (B) Mivel B B Ai B s Ai (AiB) (B jai)(ai) valamit (AiB) (AjB) aval sz s g -additivit si tulajdos g b l k vetkezik, hogy (B) ( AiB) (AiB) T tel (Bayes t tele) I.4.8. A A A teljes esm yredszert, vagyis Alkosso ( i 6 j ) s Ai Aj (B jai)(ai) Ai Tegy k fel tov bb, hogy (Ai) > i-re. Ekkor tetsz leges B esem yre, ahol (B) > mide jb) (BjAi)(Ai) (Ai j (BjAj )(Aj) felt teles val sz s g de ci j b l (Ai jb ) (AiB) A Asz ml l hely be (B) (B jai) (Ai) -t rva, a evez hely be pedig a teljes val sz s g t tel b l kapott formul t helyettes tve azoal ad dik az ll t s. I.5. Kidolgozott feladatok s gyakorlatok Feladat A pr bagy rt s sor k t szempotb l vizsg lj k a k szterm keket. I.5.. Az A esem y azt jeleti, hogy egy v letleszer e kiv lasztott ayaghib s, a B pedig az az esem y, hogy a kiv lasztott gy rtm y mitadarab m rethib s. Tudjuk, hogy (A) 5 (B) 3 s (AB) 8. Meyi aak a val sz s ge, hogy valamelyik term k hib tla? IV.4.. lda (A karakterisztikus f ggv y ltal os orm lis esetbe) most N( ). Ekkor a stadardiz ltra ~ ; N( ) Legye hisze ( ~ <x) ( < x + ) ( x + ) (x) (ld. a igaz, II.5.6 t telt.) gy '(t) E ; e it E e i(+)t e it E e i(t) e it; t, felhasz lva a IV.4. p lda eredm y t. lda (A kovol ci sz m t sa orm lis esetbe) IV.4.3. p teljese f ggetle, orm lis eloszl s val sz s gi v l- Ha i N(i i), akkor a IV.4. t tel e.) potja szerit toz k, (t) py '+++p j j exp p exp it j teljese f ggetle orm lis eloszl sok kovol ci ja is orm lis Azaz p j j N( p j j s p j j ). lda (Az expoeci lis eloszl s karakterisztikus f ggv ye) IV.4.4. most E(). Legye '(t) R e itx e ;x dx R (it;)x dx it; e IV.4.5. lda (Az egyeletes eloszl s karakterisztikus f ggv ye) Ha U([a b]), akkor '(t) b R a e itx speci lisa a ;b '(t) eitb ;e ;itb bit Ha T tel (Helly-t tel) IV.4.. s val sz s gi v ltoz az ( ) Kolmogorov- Legye letese. A t tel bizoy t sa megtal lhat R yi [] 7. oldal. IV.5. Cetr lis hat reloszl s t telek T tel (A cetr lis hat reloszl s t tel) IV.5.. az val sz s gi v ltoz k p rok t f ggetleek Legyeek p j!

25 py py py py i py 'j (t) e i kt ixt f(x)dx ' + (t) R e (k) + (t) R ' + R ik () (k) () ' k(it) k + R + i '(x)dx cos(xt) + (t) R ' h p si(xt) e ; x i + + t R ; I.5 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 5 ; A j B (A B) B) (A);(AB) ;(B) ( Ai Ai. + y + z + v ) (x + 5) +(y + 5) +(z + 5) +(v + 5) x + y + z + v + x+y+z+v x 44 IV. FEJEZET Val sz s gi t rv yek e.) Felhasz ljuk, hogy ha p teljese f ggetleek, akkor E! Ei. '+++p (t) E; e i(+++p)t E k f.) ' (t) ' (k) gy E ; e i kt R + j (ix) k e ixt f(x)dx. x k f(x)dx i k k ATaylor-formul b l a t helye '(t) k k! + o(t ). g.) Az ll t st em bizoy tjuk. k! ixe ixt f(x)dx k k! t k +o (t ) IV.4.. lda (A stadard orm lis eloszl s karakterisztikus f ggv ye) N( ), akkor f(x) '(x) p Ha e ; x, s gyafourier-traszform ltra '(t) R + si(xt) '(x)dx R + cos(xt) '(x)dx m sodik itegr l az rt, mert az itegradus p ratla f ggv y. t- A deriv lva midk t oldalt szerit ;x si(xt) '(x)dx R + (;x) p si(xt) e ; x dx p cos(xt) e ; x dx ; t '(t) mivel a t tel a.) potja szerit '(), akarakterisztikusf ggv y kiel g ti IV.. y ;t y y()kezdeti rt k-feladatot! az diereci legyelet megold s b l a stadard orm lis eloszl s karakterisztikus A f ggv y re '(t) e ; t (t R) ; A B ; (A + B) ; (A); (B)+ (AB) 63 Feladat Meyi ; A j B ha (A) 6 (B) 5 s (A+ I.5.. 8? B) (A+B);(B) ;(B) 6 Feladat Egy fekete s feh r goly kat tartalmaz ur b l kih zuk I.5.3. db goly t. Aijeletse azt az esem yt, hogy az i-edikek kih zott feh r. ( i ). Fejezz k ki az Ai esem yek seg ts g vel az al bbi goly esem yeket Midegyik goly feh r, A Legal bb egy goly feh r, B otosa egy goly feh r, C Midegyik goly ugyaolya sz. D AA A A B A + A + + A C D Q Q i6j Ai + Aj Q Feladat be, tetsz leges A B esem yekre I.5.4. Bizoy tsa hogy ; ; A B + ; ; AB + ; ; A B 5! + (AB)) ( ; B + ; ; AB + A B Legye (AB) (AB)+ A ; A B y + 5 ; AB z + 5 ; A B v + 5 Mivel + 5 x Feladat Kette sakkozak. Az A esem y akkor k vetkezik be, I.5.5. a vil gossal j tsz yer, a B esem y akkor, ha a s t ttel j tsz m sik, ha pedig a C esem y k vetkezik be. Fogalmazzuk meg szavakba, mit remi l az al bbi esem yek jeleteek a. AB + A B

26 I.5.7. Feladat Tegy k fel, hogy A B (A + B) (AB) 3 (B) 3 IV.4 A karakterisztikus f ggv y 43 e.) Ha p teljese f ggetleek, akkor '+++p (t) py 'j (t) k(it) k o(t ) valamit k E k '(k) () k i + akkor f(x) + R folytoos, Ha + R tetsz leges. Mivel "> Legye f(x)dx< " 4 + R R +A" ;A" +A" R ;A" ixt ; e ixt jf(x)dx+ R je jxj>a" jt ; tj < " A" ha 6 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz s gi mez b. A B c. A + C? a. s b. a C esem yt jeleti, c. B azaz em a s t ttel j tsz yer. j t kos Feladat Egy c lt bla t z kocetrikus k rb l ll, s a sugarakra I.5.6. az R <R < <R rel ci. Ak azt az esem yt jeleti, hogy egy fe ll az Rk sugar k rbe esik. Fogalmazzuk meg szavakba, mit jeleteek l v s al bbi esem yek B A+A3+A6 C AA4A6A8 D (A + A3) A6! az B A6 C A D A3 val sz s g esem yek. Mutassuk meg, hogy ekkor (AB) ; AB! A B A + B ) (A + B) (A)+ (B) ; (AB) ; (AB) (A + B) ; ; A + B ; ; A B ) ll t s. Feladat be, hogy ; AB + A B (A) + (B) ; I.5.8. Bizoy tsa (AB)! ; AB + A B ; AB + ; A B (A) ; (AB) + (B) ; (AB). Feladat Ha az A s B esem yekk z l az egyik felt tle l bek vetkezik, I.5.9. (A j B) 3 (B j A) 3, meyi a (A) s (B) val sz s g? gy (A), (A)+(B);(AB) (A)+ 5(A); 3 (A) 7 6 (A), (A+B) azaz (A) 6 7 s (B) 3 7 Feladat Legye (A) 3 (A j B) 3 (B j A) 3 Hat rozza I.5.. meg a (A + B) s ( A j B) val sz s geket! (AB) (A)(BjA) 9 (B) (AB)(AjB) gy(a + B) 3 +3 ; ( A j B)( A B)( B) 3, ( ; (A + B)) ( ; (B)) 3 f.) Ha els mometuma l tezik, akkor ' -szer diereci lhat s '(t) k k! g.) Mide eloszl st egy rtelm e meghat roz a karakterisztikus f ggv ye. '(t) e ;itx dx (x R) (Iverzi s formula). j a.) j'(t)j E( e it )E() ' () E(e ) E () c.) R jxj>a" Fel fogjuk hasz li, hogy f(x)dx ) 9A" je ixt ; e ixt j < jx t ; x tj s je ixt ; e ixt j < j'(t) ; '(t)j R jxj>a" k l + R je ixt ; e ixt jf(x)dx je ixt ; e ixt jf(x)dx '(tk ; tl)zk zl E (e ixt ; e ixt ) f(x)dx k je ixt ; e ixt jf(x)dx+ f(x)dx A"jt ; tj+ " 4 <", e it k z k! '(;t) E ; e i(;t) E (cos(;t)) + i E (si(;t)) d.) E (cos(t)) ; i E (si(t)) '(t).

27 a Z +++ val sz s giv ltoz -sorozatra Z Ekkor d < Az ll t s viszot a IV..4 t tel szerit i Diszkr t esetbe '(t) 8j cos(xjt)( xj)+i 8j + R + i f(x)dx cos(xt) '(tk ; tl) zk zl I.5 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok L that, hogy az A esem yval sz s ge pedig + m Akeresett val sz s g p +m 4 IV. FEJEZET Val sz s gi t rv yek lim ( Z )! v vagyis! A felt telredszerbe er sebb f ggetles get t telezt k fel, Megjegyz s az azoos eloszl st em tett k fel, csup aak egy sz ks ges felt tel t, de hisze i i er sebb, mit a IV.3. t tel volt. L sd R yi [] oldal. IV.4. Akarakterisztikus f ggv y De ci A Z +iy komplex rt k val sz s gi v ltoz IV.4.. rt k az EZ E + i EY komplex sz mot rtj k. v rhat De ci Az val sz s gi v ltoz karakterisztikus f ggv y IV.4.. a '(t) Ee it (t R) f ggv yt rtj k. Mivel e it cos(t)+i si(t) ) Megjegyz s E cos(t)+i E si(t) '(t) folytoos esetbe '(t) R + si(xjt)( xj) si(xt) f(x)dx. hogy a karakterisztikus f ggv y a s r s gf ggv y Fourier-traszform ltja. L that, IV.4.. T tel (A karakterisztikus f ggv y tulajdos gai) a.) j'(t)j s '() ' egyeletese folytoos R-e. ' szemideit azaz 8 8t t t R s c.) pozit v f ggv y, sz mokra komplex 8z z z d.) '(;t) '(t) k l Feladat (De M r lovag feladv ya) I.5.. esem yek agyobb a val sz s ge hogy egy kock val gyszer Melyik legal bb egyszer hatost dobuk(a), vagy aak, hogy k t kock val dobva dobva legal bb egyszer k t hatosuk lesz(b)? huszo gyszer K t k l b z val sz s gi mez r l va sz. Az els be szab lyos kock val gyszer dobuk. Az sszes elemi esem yek sz ma egy 6 4 vizsg lt A esem y elletettje az az esem y, hogy egyszer sem dobuk A Ilye sszese 4 vagyisazelletett val sz s ge hatost. eset ; 5 ; lehet, esem y 5 4 ; gy az A esem y val sz s ge ; A m sodik vizsg lt esem y egy eg sze m s k s rlethez s esem yt rhez A Most a v letle k s rlet az, hogy k t szab lyos kock val dobuk 4- tartozik. Az sszes elemi esem y most sokkal t bb A m sodik esem y szer. most az, hogy a dob ssorozatba egyszer sem dobuk dupl elletettje Eek val sz s ge ; A m sodik esem yval sz s ge gy hatost. a ; 35 ; (B) agyobb. a A feladatot De M r lovag adta fel Blaise ascal fracia Megjegyz s aki eze feladat kapcs elkezdett vizsg l d sai yom matematikusak, el a val sz s gsz m t s els komoly eredm yeihez. A feladatba jutott els pillat sra az t ik fel, hogy midk t esem y eset be a egy bk t sz m ak s a lehets ges kimeetelek sz m ak ar ya azoos A- dob sok l 46,aB- l Feladat Egy ur b l, ahol feh r s fekete goly k vaak, v letleszer e I.5.. kivesz k visszatev ssel k t goly t. Bizoy tsuk be, hogy aak a val sz s ge, hogy a goly k ugyaolya sz ek, em lehet kisebb mit 5. Legye a feh r goly k sz ma, afeket k m ( m ). Ekkor k s rlet elemi esem yeiek sz ma ( + m) akedvez esetek av letle +m +m + m ) p 5. (+m).mivel ( ; m) ) Feladat ( lya-f le uramodell) I.5.3. ura r darab fekete s s darab feh r goly t tartalmaz. V letleszer e Egy egy goly t. Akih zott goly t s m g plusz c darab ugyaolya kih zuk goly t visszatesz k az ur ba. Meyi a val sz s ge aak, hogy sz

28 ; a gy a keresett val sz s g ; sz ma r(r+c)(r+c)(r+3c)(r+(a)c)s(s+c)(s+c)(s+(b)c) a (r+s)(r+s+c)(r+s+c)(r+s+3c)(r+s+()c). f; ; IV.3 Aagy sz mok t rv yei 4 a Z +++ val sz s giv ltoz -sorozatra Z Ekkor Ei. i i d d d "! (!), ami m r igazolja az ll t st. azoos eloszl s ak p (i )( A)q p (i ) s p Ei p i pq Legye Z +++ (A) 8 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz s gi mez -edik h z s ut a-szor h ztukkiafekete, s b-szer a feh r goly t? az + b ). (a l. aak az esem yek a val sz s ge, hogy az els a midig fekete s az utols b h z skor pedig csupa feh r goly t fo- h z skor guk h zi r(r+c)(r+c)(r+3c)(r+(a)c)s(s+c)(s+c)(s+(b)c). (r+s)(r+s+c)(r+s+c)(r+s+3c)(r+s+()c) mide m s olya h z ssorozatak, ahol a-szor h ztuk ki a fekete, s De a feh r goly t is ugyaekkora a val sz s ge. A k l b z kimeetelek b-szer Feladat Ha egy szab lyos p z rm t -szer feldobuk, meyi I.5.4. hogy k-val t bbsz r foguk fejet kapi, mit r st? aval sz s ge, ( k ). Ha a fejdob sok sz m t f, az r sok t i jel li, fe kell llia, f +i s f ;i k. Ie k vetkezik, hogy f +k s i ;k, hogy s k parit s ak meg kell egyezie. Aak val sz s ge, hogy egy vagyis hossz s g dob ssorozatba ppe f fejet dobuk ; ; +k mide hossz s g sorozat egyform ; val sz s g, s ezek Ugyais, ; k z tt olya k l b z dob ssorozat lehet, ahol a fejek sz ma ppe f f esetek). (kedvez Feladat Egy mide oldal befestett fakock t a lapokkal p rhuzamos I.5.5. s kokba azoos m ret kis kock ra f r szelek sz t. A kapott kock kb l v letleszer e kiv lasztuk egyet. Meyi a val sz s ge, kis a kock ak ppe k oldala festett? ( k 3). hogy sszes eset. Kedvez esetek k - l 8 3 (abels 8 8 kis gyzetbe l v midegyik r szkocka j ), k - l 6 64 (midegyik 8 a bels 8 8-as gyzethez tartoz a), k - l 8 (mide le lapo 8 ilye kocka) s v g l k 3- l 8 (a cs csok l lehet ilye eset). va Feladat Egy kalapba az agol ABC 6 bet je va. Visszatev ssel I szer h zva, a kih zott bet ket sorba egy pap rra fel rva, meyi hogy a kapott sz b l legfeljebb k t bet t felcser lve ppe a aval sz s ge, sz j ki? STATISZTIKA 8"> eset (jz ; j ")! (!) E ; +++ EZ A p rok ti f ggetles g miatt Z st,vagyis! teh t, hogy Z mide idexre teljes ti a Csebisev-egyel tles g L that gy (jz ; EZj ") (jz ; j ") Z " felt tel t, T tel (A agy sz mok t tel ek Beroulli-f le gyege alakja) IV.3.. ( ) Kolmogorov-f le val sz s gi mez, A egy pozit v Legye esem y p (A) > Hajtsuk v gre egy v gtele k s rletsorozatot, val sz s g vagyis gyelj k meg az A bek vetkez seit az -edik Legye i I (A) vagyis az i-edik v grehajt skor a meggyelt v grehajt skor! A esem y idik tor val sz s gi v ltoz ja. i-k teljese f ggetleek gyakoris g. Ekkor r(a) st! p azaz 8"> eset relat v ; pj ")! (!) (jr(a) A t tel speci lis esete a IV.3. t telek. a Csebisev-egyel tles gek a Ekkor ; EZj ") (jr(a) ; pj ") Z " pq " (jz 4"! (!) felel meg, mert p q 4 midig teljes l. r(a) a A t tel azt modja ki, hogy a relat v gyakoris g j l k zel ti Megjegyz s esem y elm leti val sz s g t, ahogya azt m r a I.. axi m k ut az tett megjegyz s kbe el re jelezt k. T tel (A agy sz mok t tel ek Kolmogorov-f le er s alakja) IV.3.3. az val sz s gi v ltoz k teljese f ggetleek az Legyeek Kolmogorov-f le mez. L tezz k a k z s Ei ( ) val sz s gi a sz r s gyzet kre teljes lj k a s rt k k v rhat i i < felt tel.

29 f k(u) ahol m + k Ekkor m e! I.5 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 9 ; 3 Az eset 6 kedvez esetek sz ma k + ; ; ; sszes ; 3 5(az azoos bet k egym s k zti cser it le kell voi). ; ;,d ; ; ;, ; p ratla s b, ha ; ;. ;, ha p ros, c 4 IV. FEJEZET Val sz s gi t rv yek IV... lda (Gyeg ige, er se em koverges val sz s giv ltoz -sorozat) Legye U U( ) s f k(x) k k ha x ahol N tetsz leges, k Aval sz s giv ltoz -sorozat de ci ja m ha x k k ) eset (jm ; j >") ; U< ( " st, ahol, hisze tetsz leges! Az egy val sz s ggel kovergecia viszot em teljes l, mert az m! egyetle U ( ) val sem igaz! Ugyais tetsz leges x ( ) eset s mide N- realiz ci ra re l tezik k, hogy f k(x) legye.) T tel Az egy val sz s ggel val kovergecia s az Lr-beli IV..5. k z l egyik sem k vetkezik a m sikb l ltal os esetbe. kovergecia L sd a IV.6.8. feladatot! sszegezve a fejezetbe kimodott t teleket, a kovergeci k Megjegyz s er sorred k z tti v! Lr! ) st )! IV.3. A agy sz mok t rv yei agy sz mok t rv yei azt a meggyel st t masztj k al elm letileg is, A egy val sz s gi v ltoz t sokszor meggyelve, az tlag rt k midig hogy va az elm leti v rhat rt khez. Az is igaz, hogy a meggyel sek k zel az elt r s cs kke, azaz az tlag rt kek koverg lak is a v rha- vekedt vel rt khez. A k l b z agy sz mok t telei a meggyel s-sorozat k r lm yeibet s a kovergecia tipus ba t rek el egym st l. Ha a kovergecia gyege t rv yr l, ha egy val sz s g, akkor er s alakr l sztochasztikus, besz l k. T tel (A agy sz mok t tel ek Csebisev-f le gyege alakja) IV.3.. az val sz s gi v ltoz k p rok t f ggetleek Legyeek azoos eloszl s ak (azoos eloszl sf ggv yel redelkez k) az ( ) s val sz s gi mez. L tezz k a k z s Ei v rhat Kolmogorov-f le rt k k s a k z s d i sz r s gyzet k. Feladat Egy szab lyos rm vel -szer dobva, meyi a val sz s ge, I.5.7. hogy a fejdob sok sz ma p ratla lesz? Aval sz s g ppe 5. Ugyais, ha tekit k egy olya amelybe a fejek sz ma p ratla, akkor ha az els dob st kicse- sorozatot, az ellekez j re, olya sorozatot kapuk, melybe a fejek sz ma m r r l k lesz. Azaz a p ros s a p ratla fejdob sos sorozatok k z tt k lcs se p ros lek pez s hozhat l tre, vagyis midegyik k ugyaolya val sz. egy-egy rtelm Feladat Egy szab lyos rm vel -szer dobva, meyi a val sz s ge, I.5.8. hogy a. el sz r az -edikre j fej? b. ugyaayi fejet dobuk, mit r st? c. potosa k t fejet dobuk? d. legal bb k t fejet dobuk? a Feladat Egy kalapba h rom c dula va, amelyekre az 3 I.5.9. vaak fel rva. V letleszer e egyes vel kih zzuk a c dul kat. sz mjegyek a val sz s ge aak, hogy a h z skor lesz olya c dula, amelyikre Meyi az a sz m va fel rva, ah yadikk t kih ztuk azt? ppe Az sszes eset 3!6. Ezek k z tt a em kedvez eset kett va 3 s 3. Akeresett val sz s g 3. csak Feladat Feldobuk h rom szab lyos p z rm t. Meyi a val sz s ge I.5.. az A B C esem yekek, ahol A legal bb k t rm vel fejet B potosa k t rm vel fejet dobuk, C legfeljebb k t rm vel dobuk, dobuk? fejet

30 3 ; ; (B) 3 3 (C) (em h rom fejet dobuk) ; (h rom fejet dobuk) ; ; + ; 3 3; k 3- l ; 5 ; 85, 3 85, ; 3; 85, ; 85 K N K N IV. Val sz s gi v ltoz k sorozataiak kovergeci i 39 Jel l s e! IV... T tel Ha e! is, azaz a sztochasztikus IV..3. T tel Ha L akkor! IV..4. T tel Ha 3 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz s gi mez (vagy kett, vagy h rom fejet dobuk) ;; 3 (A) 8 Feladat A 95 lott h z s el tt meyi a val sz s ge, hogy I tal latuk lesz? k Az lehets ge sz ma ; , 5 sszes lott h z sok sz ma esetek akedvez tal lat l 5 85 ; 4, k ; ; 5 - l k 4- l ; 5 4 k v g l k 5- l ; 5 5 s Feladat Egy ur ba feh r s fekete goly k vaak, melyeket I.5.. ut visszatev s lk l kih zuk. Az A vagy a B esem yek agyobb-e egym s aval sz s ge, ahol A az els goly feh r, s B az utols goly feh r? Ha N agoly k sz ma, ebb l K a feh rek, akkor (A) K(N)(N;) N! esem y ugyaolya val sz s g. (N)(N;)K (B) N! s, azaz a k t Feladat Ha egyforma l d ba elhelyez k egyforma goly t I.5.3. hogy b rmely l d ba ugyaolya val sz s ggel tessz k b rmelyik go- gy, ly t, meyi a val sz s ge aak, hogy midegyik l d ba lesz goly? sszes eset,akedvez esetek sz ma pedig!. Feladat Egy csomag 5 lapos fracia k rty b l 3 lapot tal lomra I.5.4. visszatev s lk l kih zuk. Meyi a val sz s ge aak, hogy a. a tre kir ly a kih zott lapok k z tt lesz? b. potosa k t tre lesz a leosztott lapok k zt? c. a tre kir ly s a tre sz a kih zott lapok k zt va? d. va tre a leosztott lapok k z tt? Az val sz s giv ltoz -sorozat Lr-be (vagy r-edik tart -hez, ha E (j ; j r )! (!) mometumba) Lr! Az val sz s giv ltoz -sorozat sztochasztikusa koverg l c.) -hez, ha 8"> eset (f! j(!) ; (!)j >"g)! (! ) Jel l s st! Az val sz s giv ltoz -sorozat eloszl sba koverg l d.) ha lim -hez, F (x) F (x) mide olya x R -be, ahol F(x)! folytoos. Jel l s T tel Az eloszl sba val kovergeci b l em k vetkezik sem IV... egy val sz s ggel val, sem az Lr-be val, sem a sztochasztikus ko- az vergecia. L sd a IV.6.5. feladatot! st akkor! kovergeci b l k vetkezik az eloszl sba val kovergecia. L sd a IV.6.6. feladatot! st is, azaz az L -beli kover-! k vetkezik a sztochasztikus kovergecia, gy az eloszl sba val geci b l is. Az ll t s megford t sa ltal ba em igaz! kovergecia L sd a IV.6.7. feladatot! st is, de a megford t s l-! tal ba em igaz. v, akkor! L sd R yi [] 37. oldal!

31 <. Ekkor mide "> eset (j ; Ej ") ". ; Ej ") (( ; E) " ) E(;E) " " (j ha az A! lim koverg l (!) (!) -hez,! o esem y egy val - I.5 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 3 (5 ) 5 a ( 3) b ( 5 3) ( (5 ) c 5 ( 3) d ; ( 5 3) ( (em dobuk fejet) ; 9 ) 4 38 IV. FEJEZET Val sz s gi t rv yek A Markov-egyel tles get a k vetkez m do fogalmazhatjuk t, ha a E helyettes t st 8 > eset (Y > EY ) v grehajtjuk Ie viszot azolvashat le, hogy Y kicsi val sz s ggel vehet csak a saj t v rhat rt k l sokkal agyobb rt keket, vagyis Y haj- fel v rhat rt ke k zel be felvei rt k t. l. aak val sz s gelamosa hogy egy emegat v val sz s gi v ltoz a v rhat rt k ek tsz r s l agyobb rt ket felvegye,,- l kisebb. T tel (A Csebisev-egyel tles g) IV... olya val sz s gi v ltoz, amelyek v ges a sz r s gyzete Legye Alkalmazzuk a Markov-egyel tles get Y ( ; E) " helyettes t ssel Megjegyz s "-r l ugyaaz elmodhat, mit a Markov-egyel tles g eset -r l a.) esetbe lesz csak em-trivi lis az egyel tles g. " A Csebisev-egyel tles g is tfogalmazhat, ha " > eset (j ; Ej ).Vagyis a val sz s gi Mide a v rhat rt ke k r l igadozik, s a l kisebb m rt kbe, v ltoz kisebb a sz r sa. l. egy val sz s gi v ltoz em t rhet el jobba mi l rt k t l, mit a sz r sa h romszorosa, csak legfeljebb 9 av rhat val sz s ggel. Val sz s gi v ltoz k sorozataiak kovergeci i IV.. De ci Legyeek s val sz s gi v ltoz k IV... az ( ) Kolmogorov-f le val sz s gi mez. Azt modjuk, hogy a.) Az val sz s gi v ltoz -sorozat egy val sz s ggel (A) sz s g. v! Jel l s 3 )( 39 ) Feladat Legal bb h y szab lyos p zdarabot kell feldobi ahhoz, I.5.5. hogy 9%- l agyobb legye a val sz s ge aak, hogy va k z tt k fej? Feladat Egy sz rakozott polg r elfelejtette bakk rty j ak szem lyi I.5.6. azoos t (IN) k dj t, csak abba biztos, hogy a gy sz mjegy k z tt potosa k t h rmas, s az els jegy biztosa em a ulla volt. Ha t z volt be t egy lehets ges vari ci t, akkor meyi az es lye a- m sodpercek t ak, hogy egy r bel l eltal lja a helyes azoos t sz mot? Az sszes lehets ges vari ci k sz ma Eek sz ks ges id 459 m sodperc. Egy r ba 36 m sodperc va, be t s hez a val sz s g p gy 7 Feladat Egy rm t -szer feldobuk, a fejval sz s ge p. I.5.7. p-el aak val sz s g t, hogy az dob s sor p ros sz m Jel lj k fejet dobtuk. Meyi p? (; p) p + p ( ; p) p p ( p) +p p; ( ; p) + p ( ; p) +p p p ; p ( ; p) + p i Ha az rme szab lyos, p ) ( ; p) i ( + ( ; p) ) Feladat Ha az egys g gyzetbe v letleszer e kiv lasztuk I.5.8. (x y) potot, akkor meyi a val sz s ge, hogy az a t glalap, melyek egy orig s az ellet tes cs csai olya lesz, hogy a ker lete kisebb - l, a az pedig ugyaakkor kisebb lesz 6- l? ter lete most az egys g gyzet lesz, az k rd ses esem y pedigaz besat rozott ter letek felel meg br

32 . Ekkor 8 > eset (Y > ) EY EY EY 8i x fy (x)dx R x fy (x)dx R 3 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz s gi mez A besat rozott ter let agys ga R 8 6 x dx + 4 Feladat (A Buo-t probl ma, 777.) I.5.9. szob ba egym st l d t vols gba p rhuzamosa padl r sek futak. Egy egys<dhossz s g t t, mekkora a val sz s ge, hogy a t ppe Leejtve padl r st fog metszei? egy A t helyzet t egy rtelm e a felez potj ak a fels padl r st l vett y t vols g val s a padl r sek ir y val bez rt sz g vel jellemezz k. a k r lm yekkel, hogy melyik k t r s ltal meghat rozott s vba Azokkal a k z ppot, s hogy a p rhuzamosokra mer leges falt l milye messze esik a k z ppot em foglalkozuk, mert a t metszi a padl r stesem y va ezek icseek hat ssal. bek vetkez s re y d s. A t leejt se ut y s egy rtelm e Nyilv vagyis a v letle k s rlet elemi esem yei azo (y ) pot- meghat rozhat, melyek elemei a [ d] s [ ] itervallumok ltal meghat rozott t glalapakp rok, (Ez a t glalap az esem yt r). Metsz s egyszerre csak egy padl r s l k vetkezhet be, mert s<d. A metsz s csak akkor k vetkezhet IV. fejezet Val sz s gi t rv yek IV.. Nevezetes egyel tles gek T tel (A Markov-egyel tles g) IV... Y olya val sz s gi v ltoz, melyek l tezik a v rhat rt ke Legye val sz s gi v ltoz eset be Diszkr t yi) yi(y yi> yi) yi(y yi> (Y > ) ) ll t s. val sz s gi v ltoz eset be Folytoos EY R (Y > ) ) ll t s. Megjegyz s (Y yi) fy (x)dx ( ; FY ()) Az egyel tles gbe most akkor kapuk em semmitmod ll t st, ha a.) EY. K l be a Markov-egyel tles g csak ayit jeletee, hogy val sz s g em agyobb, mit egy - l agyobb sz m... Teh t egy > em azt sugallja mit ltal ba a matematikai t telekbe most hogy tetsz legese kicsi pozit v sz m, haem ppe ellekez leg,, agy. most 37

33 be, ha y s si, vagy ha (d ; y) s d. 36 III. FEJEZET Val sz s gi vektorv ltoz k I.5 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 33 teljes l. A felt telekek si (y ) potp rok tartom y t az al bbi br besat roztuk megfelel A s t t tett ter let agys ga T R s si d s [; cos ] s a ter lete pedig d. t glalap a keresett val sz s g (a t metszi a padl r st) s gy Mivel a val sz s g kapcsolatos -vel, lehet s g va statisztikus Megjegyz s eszk z kkel a becsl s re. Ha agyo sokszor v grehajtjuk a v - k s rletet, s sz moljuk a metsz sek bek vetkez s t, azaz a vizsg lt letle akkor ezt a k s rletek sz m val elosztva (relat v gyako- esem ygyakoris g t, a feti val sz s get j l lehet k zel tei. Ebb l -t kifejezvekapjuk a ris g) 885-be Stepha Smith agol matematikus 3-szer v grehajtva k zel t st. a k s rletet, -re t kapott. Feladat V lasszuk ki egy potot v letleszer e az egys g gyzetbe, I.5.3. melyek koordi t it jel lje (a b). Tekitveap(x) ax ;bx+ mekkora a val sz s ge aak, hogy a p(x) egyeletek va poliomot, gy ke? val s Egy poliomak akkor va val s gy ke, ha a diszkrimi sa azaz D 4b ; 4a Ie k vetkezik, hogyav letleszer - pozit v, kiv lasztott pot koordi t i k z tt fe kell llia a b a rel ci ak. e megfelel tartom yt az egys g gyzetbe bes t t tett k Eek

34 (a pot k zelebb va az oldalhoz) T 4 m III.7 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 35 d exp +y x x y R Hat rozza meg Z max fjj jy jg ; sd III.7.6. Gyakorlat Legye ( Y ) T N kovariaciam t- 34 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz s gi mez bes t t tett tartom y ter lete megegyezik a keresett val sz s ggel, A az egys g gyzet ter lete. mivel gy (va val s gy k) R x dx 3 Feladat V lasszuk ki egy potot v letleszer e az egys g gyzetbe, I.5.3. melyek koordi t it jel lje (a b). Mekkora a val sz s ge aak, hogy a pot k zelebb va a gyzet egy oldal hoz, mit egy tl j hoz? Egym st metsz egyeesekt l egyel t vols gra fekv potok helye az egyeesek sz g ek felez egyeese. Az oldalegyeesek s m rtai tl egyeeseiek sz gfelez i az oldalegyeesekkel 5 -os sz get z rak az A vizsg lt esem ypotjai ez rt az oldalak s a sz gfelez k ltal hat rolt be. tartom yba esek br jel lt magass gvoal m tg 5 A bes t t tett ter let most Az a keresett val sz s ggel egyezik meg is tg 5 p ; Feladat Az egys gitervallumba v letleszer e kijel lve k t I.5.3. mekkora a val sz s ge, hogy a keletkez h rom szakaszb l h rom- potot, sz g szerkeszthet? Gyakorlat Bizoy tsa be, hogy ha E E 3,akkor III Y korrel latlaok! s Gyakorlat Az s Y egy ttes s r s gf ggv ye III (x y) x y y x Hat rozza meg adott x felt tel f Y eset az Y felt teles s r s gf ggv y t! Gyakorlat Legye az s Y val sz s gi v ltoz k egy ttes III f Y (x y) 5 (x ; xy + y ) ha x y s r s gf ggv ye f Y (x y) Sz molja ki az fjy (x j y) felt teles s r s gf ggv yt! egy bk t Sz molja ki a kovariaciam trixot! Sz molja ki az E ( j Y y) regresszi s f ggv yt! Gyakorlat Egy k tdimezi s val sz s gi v ltoz els koordi t j ak III s r s gf ggv ye f(x) x ( <x<) Ha az els ko- x, akkor ilye felt tel mellett a m sodik koordi ta (Y ) +x ordi ta expoeci lis eloszl st k vet. Hat rozza meg aak a val sz - param ter s g t, hogy a k t koordi ta sszege kisebb mit! Gyakorlat Dobjuk -szer egy szab lyos dob kock val. Jel lje III a hatosok sz m t, Y pedig a p ros dob sok sz m t! Sz molja ki az E (Y j ) regresszi t! Gyakorlat Legye az Y egy ttes s r s gf ggv ye III.7.6. (x y) f Y s r s gf ggv y t! Gyakorlat Legyeek Y N( ) f ggetle val sz s gi III.7.6. egy s kbeli vektor kompoesei V ( Y ) T Adja meg a vektor v ltoz k hossz ak az eloszl sf ggv y t! 5 5 meg azt a lie ris traszform ci t, melyek eredm yek pp a kompoesek Adja f ggetle stadard orm lis eloszl s ak leszek! Gyakorlat s egy ttes k tdimezi s III T Y eloszl sa orm lis, s v rhat rt k-vektorral ( ) Fejezze ki az E (Y j ) regresszi t kompoesei s seg ts g velrixszal.

35 i meyis geket! I.5 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok III. FEJEZET Val sz s gi vektorv ltoz k Gyakorlat Legyeek s Y f ggetle val sz s gi v ltoz k. III be, hogy (Y ) Y +(E) Y +(EY ) Bizoy tsa Gyakorlat Legyeek U ( ) teljese f ggetleek. III Ezek kijel lek +db r szitervallumot ( ) ;e. Jel lje Yk k-adik r szitervallum hossz t (k +) Mutassa meg, hogy a +! EYk Gyakorlat Fodr sz l sorukra v ruk. Mekkoraaval sz s ge, III hogy az tlagos l tov bb v rakozuk, ha a v rakoz si id E ()? Gyakorlat Legyeek f ggetle, azoos eloszl s III val sz s gi v ltoz k, melyekek l tezik a v rhat rt k k s sz r suk i d Fejezze ki s d f ggv y be a Ei cov i i i i s Gyakorlat H rom szab lyos kock val dobuk. Jel lje Y a III rt kek sszeg t. Adja meg EY -t s Y -t! dobott III Gyakorlat Legye N( ). Sz molja ki R ( 3 )-t! Gyakorlat Egy kalapba egy-egy c dul ra fel vaak rva az III sz mjegyek. Egym s ut, visszatev s lk l kivesz k k t c dul t. az els, Y a m sodik h z s eredm ye. Adja meg R ( Y )-t! F ggetle-e s Y? Gyakorlat Bizoy tsa be, hogy ha s Y azoos sz r s III.7.5. v ltoz k, akkor + Y s ; Y korrel latlaok! val sz s gi Gyakorlat Legyeek Y N ( ) f ggetleek! V +Y III.7.5. W ; Y +.Adja meg a (V W) T vektor kovariaciam trix t! s Gyakorlat Legyeek Y f ggetle val sz s gi v ltoz k, III E 4 EY Y Hat rozza meg az al bbi meyi- ahol s geket E (5 ; 6Y ) EY (5 ; 6Y +8) cov (5 6Y )! Gyakorlat Ultiz s l a 3 lapos magyar k rty b l kett t taloba III osztaak. Jel lje a taloba ker lt piros sz lapok, Y pedig az szok sz m t! Sz molja ki s Y kovariaci j t! Jel lj k a k t potak a -t l vett t vols gait redre x-el s Az (x y) p r ilyekor egy potot hat roz meg az egys g gyzetbe, y-al. teh t most is a v letle k s rlethez tartoz esem yt r. A h romsz g ami a keletkez h rom szakasz a b c hosszaiak ki kell el g teie szerkeszt s hez az a + b c, a + c b s b + c a egyel tles geket. Az egyidej leg a h rom szakasz az a x b y ; x s c ; y. gy a x<yesetbe szerkeszthet s ge az al bbi egyel tles gek egyidej fe ll s t h romsz g meg x y-t l k veteli x +(y ; x) ; y () y 5 x +( ; y) y ; x () y x + 5 (y ; x) +(; y) x () x 5 y x esetbe a feti egyel tles gekek a x 5 x; 5 y s y Az redszer fog megfeleli. A k t krit riumredszerhez tartoz tartom yt 5 bes t t tett k az egys g gyzetbe gyakeresett val sz s g 5 lesz. Feladat Egy szob ba egym st l d t vols gba p rhuzamosa I futak. Leejtve egys<d tm r j p zdarabot, meyi a va- padl r sek hogy a p z ppe egy padl deszka belsej be esik, azaz em l sz s ge, a padl r st? metszi

36 p 5 ( ; p) 5 s si R III.7 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok k +++ E hogy k! -t! i val sz s gi v ltoz v rhat rt k t s sz r s t! 36 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz s gi mez Ap zk z ppotj ak s- l agyobb t vols gra kell leie padl r st l, gy a val sz s g p ; sd. midk t Feladat Egy d cm oldalhossz s g gyzetr csos padl zatra I leejt k egy s 3cm tm r j p zdarabot. Meyi a val sz s ge, hogy a p z teljes terjedelm vel egy gyzet belsej be a. fog esi? Meyi a val sz s ge, hogy h sszor v grehajtva a k s rletet, az esem y b. tsz r k vetkezik be? ppe a. Ahhoz, hogy a p zdarab bee legye a gyzetbe, a bels 7 cm oldalhossz s g gyzetbe kell esie, ap zk z ppotj ak p 49. b. Az el z p val sz s ggel ; 5 gyaval sz s g k plettel sz molhatjuk ki. Feladat Egy d cm oldalhossz s g gyzetr csos padl zatra I leejt k egy s 3cm hossz t t. Meyi a val sz s ge, hogy a t teljes eg sz be egy gyzet belsej be ker l? Akeresett val sz s g p ; 4sd;s d Ha A aztazesem yt hogy a t a v zszites oldalt metszi, B pedig azt, hogy a t f gg leges jeleti, keresztez, akkor meghat rozad a (A + B) val sz s g. oicare oldalt (A + B) (A) +(B) ; (AB). A Buo-t probl m l t tel b l hogy (A) (B) s d l ttuk, (AB) 4 d R s jcos j R s d dxdyd Az AB szorzatesem y val sz s ge Ak pletbe x s y at k z p- koordi t i, pedig a t egyees ek a v zszitessel bez rt sz ge. potj ak (AB) val sz s g a k t oldalt egyszerre metsz t elhelyezked sekhez A (x y ) potok alkotta t rr sz t rfogat ak s a d d has b tartoz ar ya. t rfogat ak Gyakorlat Egy beredez s ideig m k dik hibametese, III Y id kell a jav t s hoz, ahol E () s Y E () egym st l f gget- s Meyi aak a val sz s ge, hogy a g pet a T> id tartam alatt leek. k tszer kellett jav tai? legal bb Gyakorlat Legyeek N (5 ) s Y N (4 3) f ggetleek. III Adja meg a ( <Y) val sz s get! Gyakorlat Az emberek tests ly t N (75 ) eloszl ssal modellezz k. III Ha egy gyszem lyes lift 3 (kg)-os sszteherb r s, akkor meyyi a val sz s ge, hogy egy gy f s csoport t ls lyos lesz? Gyakorlat Egy zembe k t g p zemel egym st l f ggetle III s ideig, ahol, E ( ) A folyamatos gy rt shoz az egyik zemeltet se is eleged, a m sik g p tartal k. Ha az ppe m szakba g p g p meghib sodik, azoal a tartal kot ll tj k zembe. Melegtartal k ll a tartal k g p is llad a be va kapcsolva, azaz ilyekor a folyamatos eset id maxf g A hidegtartal kol s eset a tartal k g pet csak m k d si zembe ll t s pillaat ba kapcsolj k be. Teh t ilyekor a folyamatos az id + lesz. Hat rozza meg a folyamatos zemeltet s zemeltet si idej ek v rhat rt k t meleg- s hidegtartal kol s eset! Gyakorlat Legye E (). Hat rozza meg a cov ( ) III.7.4. sz mot! Gyakorlat Legyeek f ggetle, azoos eloszl s III.7.4. val sz s gi v ltoz k. Tegy k fel, hogy (i > ) Bizoy tsa be, Gyakorlat Legye az val sz s gi v ltoz olya, hogy III.7.4. ( >) ( <) E a E jj b Sz molja ki a jj cov Gyakorlat Legyeek f ggetle, azoos eloszl s III val sz s gi v ltoz k. (i ) (i ) 4 ( i ) az Y (i ) Sz m tsa ki

37 I.5 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 37 A tal lkoz shoz fe kell llia a jx ; yj < 3 3 III. FEJEZET Val sz s gi vektorv ltoz k Gyakorlat Legye U ( ) seg ts gvel geer ljo III.7.7. orig k z ppot egys gk r ker let egyeletes eloszl s k tdimezi s az v letle potot! (Seg ts g Z cos Y si ). Gyakorlat Egy m szerbe egy bizoyos f egys g tlagos lettartama III.7.8. v, a be p tett elle rz redszer pedig 3 v. A hasz lat sor sem regszik s egyik k t kremeetele sem f gg a m sikt l. Meyi egyik hogy az elle rz redszer el bb romlik el, mit a f egys g? aval sz s ge, E ; a f egys g, Y E 3 az elle rz egys g lettartama, (Seg ts g ; < )?) (Y Meyi f ggetleek. Gyakorlat Legyeek o( 5) s Y o( ) f ggetleek! III.7.9. Meyi ( + Y )? Gyakorlat Legyeek G ( 5) s Y G ( 5) f ggetleek! III.7.3. Meyi ( + Y k) (k 3 4 )? Gyakorlat Sz molja ki az f(x) x [ ] s az fy (y) III.7.3. y y [ 3] s r s gf ggv yek kovol ci s s r s gf ggv y t, f +Y (t)-t! 5 Gyakorlat Legyeek Y U ( ) f ggetleek, III.7.3. ; Y. Sz molja ki Z s r s gf ggv y t! Z Gyakorlat Legyeek Y U ( ) f ggetleek, Z ;Y. III ki Z eloszl sf ggv y t! Sz molja Gyakorlat Bi ris, rt k egyform val sz szimb lumot III k ld k t zajos csator, ahol a szimb lumhoz t le f ggetle 5(; 5 jxj) x (; ) s r s gf ggv y zaj ad dik. Ha a f(x) kimeete pozit v, akkor mellett, egy bk t - mellett d t k. csatora Meyi a hib s d t s val sz s ge? Gyakorlat Egy fogorvosi redel be rkezve, kette vaak III az egyikek ppe most kezdt k el a kezel s t. A fogorvos egy el tt k,,5 param ter expoeci lis id alatt v gez. Meyi aak a p ciessel hogy egys gyi id bel l sorra ker l k? Oldjuk meg a fela- val sz s ge, datot akkor is, ha p rhuzamosa k t orvos fogad egyszerre! Feladat Egy a b oldalhossz s g t glalapo kiv lasztuk I egy potot. Meyi a val sz s ge, hogy a pot k zelebb va egy cs cshoz, mit ak z ppothoz? K t pot k z tt egyel t vols gra l v potok m rtai helye sszek t szakasz felez mer legese. gy a keresett esem yek apotokat megfelel tartom yt az al bbi br bes t t t ssel szeml ltethetj k (feh r) alakzat k t szimmetrikus trap zb l ll. Mivel a trap zok Ak z ps k z pvoalai az tl k meghat rozta h romsz g k z pvoal val egyezek a hosszuk. A trap z magass g 5. gy a feh r alakzat ter lete ppe meg, lesz. Ez rt a bes t t tett alakzat ter lete is, gyakeresett val sz s g 5. Feladat Kette megbesz lik, hogy s ra k z tt egy meghat rozott I helye tal lkozak. Meg llapod s szerit, aki kor bba rkezik percet v r a m sikra, s csak azut t vozik. Meyi a tal lkoz s val sz s ge, ha midkette v letleszer e rkezek? Jel lje x az egyik, y a m sik ember v letle meg rkez s ek Az (x y) p r egy v letle potot hat roz meg az egys g gyzetbe. idej t. potok bes t t tve l that k az al bbi br rel ci ak, melyet kiel g t Az br r l k zvetle l leolvashat, hogy a keresett val sz s g ;

38 6+34m. gy a keresett val sz s g p III.7 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 3 38 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz s gi mez Feladat Egy egys gyi hossz s g szakaszo tal lomra v lasztuk I k t potot. Meyi a val sz s ge aak, hogy ezek k zelebb vaak egym shoz, mit b rmelyik v gpothoz? A vizsg lt esem yhez tartoz potok (x y) koordi t ira x<yesetbe, hogy y ; x< ; y s y ; x<x.(azy<xesetbe fe ll a krit riumok x ; y< ; x s x ; y<yle ek.) Az egys g gyzete ezek a rel ci kak eleget tev potok alkotta tartom yt bejel lve Ezek alapj a keresett val sz s g 3 Feladat Egy temeletes h zba az emeletek k z tt 6 mt vols g I va, a f ldszit s az els emelet k z tt 8 m. Ha a liftajt m, meyi a aak, hogy a lift megakad sakor az ajt t teljes eg sz be fal val sz s ge takarja? A lift teljese a fal m g tti takar sba va a f ldszite 4 kereszt l, az 3. s 4. emelete - m-e t. A lift ssz tja m-e Feladat Az ABCD egys g gyzete v letleszer e kiv lasztva I.5.4. potot, meyi a val sz s ge, hogy a pot k zelebb lesz a gyzet egy k z ppotj hoz, mit az AB oldalhoz? Egy pott l s egy egyeest l azoos t vols gba fekv potok helye a s kba a parabola. gy a gyzet potjai k z l azok leszek m rtai k zelebb, mit az alapo fekv AB oldalhoz, amelyek felette ak z ppothoz azo parabola voal ak, melyek a k z ppot a f kusza, s az AB vaak voala a direktrisze. Ha AB az x tegelyre esik, s az A pot ppeaz Gyakorlat Az [ ] [ ] gyzete egym s ut sorsoluk III.7.7. ki v letle potokat. Akkor lluk meg, amikor a kisorsolt pot el sz r esik bele az orig k z ppot egys gk rbe. Mi a potok sz m ak eloszl sa? Gyakorlat Ha a v ( Y ) T vektor egyeletes eloszl s az III.7.8. k z ppot, egys gyi sugar k rlemeze, mi a s r s gf ggv ye a orig vektor hossz ak, kvk p + Y ;ek? Gyakorlat Ha Y U ( ), akkor mi az ( + Y ; Y ) T III.7.9. val sz s gi v ltoz v rhat rt k-vektora s kovariaciam trixa? k tdimezi s Gyakorlat Legye az s Y egy ttes eloszl sf ggv ye III.7.. (x y) x 3 y x y Meyi a F Y ( Y 5) val sz s g? Gyakorlat Hat rozza meg az orig k z ppot sugar k rlapo III.7.. vett egyeletes eloszl s kovariaciam trix t! Gyakorlat Legye az ( Y ) T val sz s gi vektorv ltoz s r s gf ggv ye III.7.. f(x y) 7 [6x y ; xy +6y +8x ; 36x + 8] x [ ] y [ ] F ggetleek a kompoesek? Gyakorlat K t ember midegyike addig dob fel egy-egy szab lyos III.7.3. p z rm t, am g az els fej ki em j. Meyi a val sz s ge, hogy ehhez midkett ek ugyaayi dob sra va sz ks ge? Gyakorlat Egy j l megkevert csomag 3 lapos magyar k rty b l III.7.4. leosztuk 8-at. Legye, ha a leosztott lapok k z tt va piros,, ha ics. Legye tov bb Y,hava a yolc lap k z tt sz, s s k l be. Adja meg s Y egy ttes eloszl s t! Y Gyakorlat K t busz egym st l f ggetle l, illetve Y id III.7.5. ri el a meg ll t, ahol v rakozom. B rmelyik busszal tudom az alatt folytati. Meyi a val sz s ge, hogy x > id bel l befut utamat ha Y E () f ggetleek? valamelyik, Gyakorlat Legyeek Y U ( ) f ggetleek, Z +Y. III.7.6. ki Z s r s gf ggv y t! Sz molja

39 I.5 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 39 ; + 5 dx (x 5) ; 3 a szerkeszthet s g felt tele ; x y x x ; teljes l, 3 III. FEJEZET Val sz s gi vektorv ltoz k Gyakorlat ic kbe db p rhuzamosa kapcsolt izz vil g t. III.7.8. Az izz k lettartamai egym st l f ggetle, k l -k l expoeci lis val sz s gi v ltoz k, melyek v rhat rt ke 6 h ap. Csak akkor eloszl s izz t cser li, ha m r midkett ki gett. Vezesse le az izz cser k szoktam k zti id tartam eloszl sf ggv y t! Gyakorlat Legyeek Y N ( ) f ggetleek, s III.7.9. j + Y j Hat rozza meg Z s r s gf ggv y t! Z Gyakorlat Legyeek Y E () f ggetleek, s III.7.. j ; Y j Hat rozza meg Z s r s gf ggv y t! Z Gyakorlat Legyeek Y E () f ggetleek, s III Y Hat rozza meg Z s r s gf ggv y t! Meyi a Z v rhat Z rt ke s sz r sa? Gyakorlat Egy csomag 3 lapos magyar k rty b l kih zuk III.7.. lk l lapot. Legye p z t m redre a kih zott piros, visszatev s t k s makk sz lapok sz ma! Adja meg (p z t m) T eloszl s t! z ld, a (p <z) val sz s g? Meyi Gyakorlat Legyeek E () teljese f ggetleek. III.7.3. Hat rozza meg a pk ( k < k + k+) val sz s get! ( k ; ) III.7.4. Gyakorlat Az s Y egy ttes s r s gf ggv ye f Y (x y) + xy + y ) ha <x y< a (x egy bk t Meyi az a rt ke? F ggetle-e s Y? Gyakorlat H romszor dobuk egy szab lyos dob kock val. III.7.5. akapott hatosok sz ma, Y akapott p ros rt kek sz ma. Adja meg s Y egy ttes eloszl s t, kovariacia m trixukat. F ggetle-e s Y? Gyakorlat rja fel k t f ggetle val sz s gi v ltoz egy ttes III.7.6. s r s gf ggv y t, ha az els stadard orm lis, a m sodik pedig param ter expoeci lis eloszl s! orig, akkor a parabola egyelete y (x ; 5) + 5 Akeresett ter let ; R Feladat Egy egys gyi hossz szakaszt elt r k, majd a hosszabbik I.5.4. r szt jb l elt rj k. Meyi a val sz s ge, hogy a keletkez h rom szakaszb l lehet h romsz get szerkesztei? Jel lje az els t r s ut keletkezett hosszabbik szakasz hossz t ( 5 x ) A m sodik t r s l ezt az x hossz s g szakaszt t rj k x xy s ( ; y) x hossz szakaszok keletkezek, ahol y A h rom kett most a xy b (; y) x s ; x H romsz g akkor szerkesz- szakaszhossz ha xy +(; y) x ; x () x 5 xy+; x ( ; y) x () ; thet, y Miut az els felt tel trivi lisa y ( ; y) x +; x xy () x x y ( ) felt telekek megfelel tartom y s t t tett az al bbi br A

40 ; x ; dx vagy vagy ) (A dob sok eredm ye (6 4),(4 6),(5 5) sszeg (5 6) (6 5) vagy (6 6)) 6. (A) 33 vagy eredm ye (6 4) (4 6) vagy (6 6)) A harmadikak h zott lap hetes. A kere- ) 3 3. gyakeresett val sz s g III.7 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 9 Y ; ; ; T ; E Mivel Y Y E N ; ez rt T ; ; ; <" E ; <" ; e " ; ; ; 4 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz s gi mez A besat rozott ter let agys ga T R 5 ; ; ; ; x x R dx ; a biztos esem yek megfelel t glalap ter lete 5 gyakeresett l p (l ; 5) l 4 e val sz s g Feladat Sz moljuk ki aak felt teles val sz s g t, hogy k t I.5.4. dobva midk t rt k p ros felt ve, hogy sszeg k legal bb t z! kock val Legye A K t szab lyos kock val dobva midk t rt k p ros B A dobott rt kek sszege em kisebb mit. (B) (Az lesz s (AB) (A dob sok A de ci t hasz lva (A j. (AB) (B). L thatjuk, hogy a felt teles val sz s g most agyobb, B) a felt tel lk li. mit Feladat A 3 lapos magyar k rty b l h rom lapot h zuk egym s I ut visszatev s lk l. Meyi a val sz s ge aak, hogy az els kih zott lap hetes, a m sodik kileces, a harmadik ism t hetes? Legyeek A () 7 Az els ek h zott lap hetes, A() 9 A m sodikak kih zott lap 9-es, A (3) val sz s get a a szorz si szab lyb l sz molhatjuk (A () 7 A () 9 A (3) 7 ) sett () (A ) (A() 9 ja () 7 ) (A(3) 7 ja () 7 A () 9 7 ). Az egyes t yez ket egyszer e (A () 7 ) (A() 9 ja () 7 ) 4 3 meghat rozhatjuk (3) 7 ja () 7 A () (A Feladat Egy rekeszbe 5 teiszlabda va, melyek k z l 9 m g I Az els j t khoz kivesz k tal lomra h rom labd t, majd a hasz latla. ut visszarakjuk azokat a rekeszbe. (Nyilv, ha volt k z tt k hasz latla, j t k az a j t k sor elveszti ezt a tulajdos g t.) A m sodik j t khoz tal lomra vesz k ki h rom labd t. Meyi a val sz s ge aak, ism t az ut bb kivett labd k mid m g hasz latlaok leszek? hogy Vezess k be az al bbi esem yeket Az els j t khoz ppe i db hasz latla labd t vett k ki, i Ai 3. A m sodik j tszm hoz h rom hasz latlat vett k ki. B Gyakorlat Legyeek Y G (p) f ggetleek. Adja meg a III.7.. ( Y ) val sz s get! Gyakorlat Egy aut szerel m helybe rkezvek t aut va el tt k, III.7.. az egyiket ppe szerelik. Felt telezve, hogy a szerel si id k egym st l E () eloszl s val sz s gi v ltoz k, meyi a val sz s ge, hogy f ggetle ( r ) bel l megjav tj k? aut kat Gyakorlat Legyeek Y E () f ggetleek. Bizoy tsa be, III.7.3. mif Y ge () s, hogy maxf Y g eloszl sa megegyezik + Y hogy eloszl s val! Gyakorlat Akar csoyf ko 5 db egym ssal sorosa szszekapcsolt III.7.4. sz es g vil g t. Az izz k lettartamai egym st l f ggetle, expoeci lis eloszl s val sz s gi v ltoz k, melyek v rhat k l -k l 3 ra. Amikor elalszik a f y, azoal kicser lem a ki gett izz t. rt ke Adja meg az izz cser k k z tti id tartam eloszl s t! Gyakorlat Akar csoyf ko 5 db egym ssal sorosa szszekapcsolt III.7.5. sz es g vil g t. Az izz k lettartamai egym st l f ggetle, expoeci lis eloszl s val sz s gi v ltoz k. Milye kellee, k l -k l legye az izz k lettartam ak v rhat rt ke ahhoz, hogy r s hogy zemel s alatt 95%-os val sz s ggel e kellje izz t cser lem? Gyakorlat K t kiv l Forma -es verseyz k rideje az id m r III.7.6. edz se egyar t egyeletes eloszl s az id itervallumba. ra ezredm sodperc potoss ggal tud m ri.) Meyi a val sz s ge, (Az azoos id t fogak mei egy adott k rbe? Kisebb vagy agyobb hogy a val sz s ge, hogy ha midegyik kek k t k s rlete va, akkor a aak eredm y miimuma azoos? k t-k t Gyakorlat Tegy k fel, hogy mide h te t zmilli szelv yel III.7.7. Meyi aak a val sz s ge, hogy t z h te kereszt l em lesz fogadak. t s tal lat?

41 ; t p +Y traszform ci t v gre- exp (x +y ) ; f Y y) ft Z(p x + y y arctg x ) p hajtva (x +y x + m p d %d + ; % d Y + m N m m %dd d! Legyeek V m + d,w m + %d +p ; % d Y m m m %d III Feladat Ha N N A ; m A A T, ; akkor sz moljuk ki a ; ; T ; ; <" val sz s get, ahol "> tetsz leges! I.5 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 4 (9;i Ai) 3 ) j (B 5 3 ) ( j B) (BjA6)(A6) 6 (A (C)(D) III. FEJEZET Val sz s gi vektorv ltoz k El sz r hogy U ;lv E ; s felhasz ljuk, U ( ) f ggetleek Ez rt fu Z(u z) exp; ; u W Z u> z ( ) V grehajtva at p U Z Z traszform ci t ft Z(t z) fu Z (t z)t exp Most az T cos Z Y T si Z T p + Y Z arctg Y J( Y ) ) ami m r igazolja az ll t st. akkor III Feladat Mutassuk meg, hogy ha Y N( ) f ggetleek, d %dd Eze az eredm ye alapulva lehet el rt v rhat rt k-vektor, (Megjegyz s kovariaciam trix s kbeli orm lis v letle vektorokat geer li.) s A d p ; % d V Ekkor W orm lis eloszl s traszform ci s t rv y b l ami m r igazolja az elj r st. V W A + m Y A keresett meyis g azt adja meg, hogy mekkora a val sz s ge (Megjegyz s aak, hogy az k tdimezi s orm lis vektor rt kei az ; T ; x ; " egyelet ellipszis belsej be esseek. Az.. x ; v rhat rt k-vektor, tegelyei pedig a a cetrumpotja sz r sellipszis saj tvektoraiak ir y ba mutatak. A szimmetriategelyek kovariaciam trix hosszaiak ar ya a saj t rt keiek ar y t adja, m g a tegelyek hosszai f ggek "-t l.) Legye tetsz leges! ; "> Ekkor T ; ; <" () Y T Y <" ahol ; hogy az Ai esem yek teljes esem yredszert alkotak. L that, B esem yek az Ai esem yekre voatkoz felt teles val sz s gei A ( 5 3 ) (i 3) az esem yek val sz s gei m g Ai (9 i)( 6 3;i) (Ai) (i 3) A teljes val sz s g t tel t alkalmazva (B) 3 i (B j Ai) (Ai) 45 Feladat Hat doboz midegyik be hat-hat darab goly va, I redre darab feh r sz tal lhat (a t bbi fekete). melyekk z tt dobozt v letleszer e kiv lasztuk, majd abb l visszatev ssel h rom Egy kih zuk. Ha azt tapasztaljuk, hogy midh rom goly feh r sz, goly t aak a val sz s ge, hogy a csupa feh r goly t tartalmaz dobozt meyi ki? v lasztottuk Legyeek Ai-k a k vetkez esem yek Azt a dobozt v lasztottuk, amelyikbe i db feh r goly va, i Nyilv val, ezek az esem yek teljes esem yredszert alkotak, s midegyik k hogy egyform 6 val sz s g. Legye tov bb B az az esem y, bek vetkez se Visszatev ssel midegyik goly sz e feh r. (BjAi) ; i 3 6 hogy h zva ABayes-t telt alkalmazva i (BjAi)(Ai) Feladat Bizoy tsuk be, hogy ha (A) 8 (b) 8,akkor I ! (AB) 8+ 8;(AB) (A+B) (A)+(B);(AB) ). 6 (AB) Feladat Dobjuk k t kock val! Modjuk olya esem yeket I a k s rlettel kapcsolatba, amelyek f ggetleek, s olyaokat, amelyek ezzel em f ggetleek egym st l! l. A Az egyik kock kettest dobuk, B A m sik h rmast dobuk, C Va hatos a k t dobott rt k k z tt, D A kock rt kek em egyel ek. Az A s B f ggetleek, C s D em, hisze dobott (CD) 36

42 9 7 b+r+c, ( Bj A) b b+c b+r+c.. gy(ajb) (B) , gy, III.7 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 7 k!(l;k)!(;l)!( 6) k ( 3) l;k ( ) ;l ; k ; l l;k 3 3 k; ) l)( ( ; k ; l 3 3 k; k l;k l azaz E ( j Y )Y 3 3 ; r Hat rozzuk meg a r p ;r exp y exp ; x;ry az egy ttes s r s gf ggv y. p ;r p ;r exp y exp ; x;ry dxdy p ;r p ; r R p ;rv ;r exp u +v ; dudv ; R R 4 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz s gi mez Feladat Ha (AjB) 7, (BjA) 6 (A j B) 3, I meyi (A)? akkor (AB) 7(B) 6(A) ) (B) 67(A) M sr szt (AB)+(A B) 6(A)+ 3( B) 6(A)+ 3; 3(B) (A) 47(A) + 3, ahoa (A) 46 Feladat H rom szab lyos kock val dobuk. Meyi a val sz s ge I aak, hogy va hatos rt k k, ha tudjuk, hogy midegyik dob s p ros lett? Ha B Midegyik dob s p ros, A Va hatos dob s , (AB) (B) ; ( AB) 8 ; (B) (AB) (B) 6 gy (A j B) Feladat Egy ur ba b darab fekete s r darab feh r goly va. I.5.5. kih zak egy goly t. A kih zott goly t s m g ugyaolya v letleszer e c darabot visszateszek az ur ba. A k s rlet eredm y t em ismerve, sz b l m sodszorra mi h zuk az ur b l. Felt ve, hogy a m sodik h z skor goly t h zuk, meyi a val sz s ge aak, hogy az els h z skor fekete fekete volt az eredm y? is A Az els h z s fekete volt, B A m sodik goly fekete. alkalmazva (BjA)(A) (AjB) t telt ABayes b+c (BjA)(A)+(Bj A)( A), (A) b b+r s ( A) r b+r b+r+c, ahol (BjA) Feladat H rom szab lyos kock val dobuk. Meyi a val sz s ge I.5.5. aak, hogy a dob sok k z tt va hatos, ha midegyik kock k l b z rt k va? Ha B Midh rom kock m s-m s eredm y va, A Az kock hatos va, akkor (AB) egyik (AjB) 5. Feladat Egy l d ba darab dob kockava, melyek k z l 99 I.5.5. szab lyos, egy pedig hamis olya rtelembe, hogy vele midig hatos teljese csak. Ha v letleszer e kivesz k egy kock t a l d b l s azzal dobhat dobva midig hatost kapuk, meyi a val sz s ge, hogy ppe a t zszer hamis kock t vett k ki el z leg? 36 Feladat Dobjuk -szer egy szab lyos dob kock val. Jel lje III.7.3. a hatosok sz m t, Y pedig a p ros dob sok sz m t! Sz moljuk ki az E ( j Y ) regresszi t! Ha k l akkor ( k j Y l)! gy E ( j Y l) l k Feladat ; ;; N Y Legye III ( Y ) val sz s get! (x y) f Y ( Y ) R R ;r exp p (x ; rxy + y ) ; ) (;r R R f Y (x y)dxdy az x;ry p v grehajtva u y v ) J (u v) ;r v ltoz cser t pol rkoordi t kra tt rve u R cos v R si J(R ) hogy kapjuk, R R R ; arcsir R exp ;R si cos R cos si l) (k Y l) (Y p ; r r ddr + 4 arcsi r Feladat Legyeek V W U ( ) f ggetleek. Ha III p ;lv cos W s Y p ;lv si W akkor bizoy tsuk be, hogy Y N( ) f ggetleek! Eze az eredm ye alapszik a stadard orm lis eloszl s (Megjegyz s sz mok geer l s ak Box-M ller m dszere.) v letle

43 q; p ; p q l;j e; e; l! e;(+) l (l;j)! l! j l;j (+)l j!(l;j)! ;k e; e; (;k)! ;(+)! k!(;k)! e k ;k + a B + eloszl s! pedig ez! e; p E p (p) ( k)p k (;p) ( m k )p k (;p) m;k m m! e; k e ;(;p) (; p) + k k ((;p)) ;k I.5 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 43 (Bj A) 6 Behelyettes tve (AjB) (BjA) mod) 3 ; B 6 III. FEJEZET Val sz s gi vektorv ltoz k Feladat Legyeek Y G (p) f ggetleek. Bizoy tsa be, III.7.8. ( k j + Y ) hogy ( k j + Y ) qk pq ;k p q i pq ;i p (k ; ) ) (k +Y ) (+Y ;k) (k)(y ) (+Y Feladat Legyeek o() s Y o() f ggetleek. III.7.9. meg, hogy -ek az + Y felt telre voatkoz felt teles Mutassuk eloszl sa biomi lis! ( + Y l) l j l l! l j j ( j) (Y l ; j) Azaz + Y o( + ) ( k j + Y ) ;k) (k Y ) (+Y k k! (+)! + l! e ;(+) ;k) (k +Y ) (+Y Feladat Egy ty k o() toj st tojik. Mide toj sb l III.7.3. f ggetle l p val sz s ggel kel ki kiscsirke. Meyi a kiscsirk k egym st l sz m ak v rhat rt ke? Jel lje akikelt sz m t! Y kiscsirk k k j ) ; k k ;k p ( ; p) ) E (Y j ) (Y p () E (Y j ) p) gy EY Feladat Az el z feladat jel l seivel adjuk meg E ( j Y k) III.7.3. sorozatot, illetve aze ( j Y ) regresszi t! regresszi s Legye k. ( j Y k) ((;p));k (;k)! ((;p));k (;k)! kj)() (Y k) (Y mk ;k e;! e ;(;p) gy E ( j Y k) k ( j Y k) (;k)! e ;(;p) (; p) + k Ebb l m r l that, hogy E ( j Y )Y +(; p) Legye A A hamis kock t v lasztottuk ki, B T zszer dobva hatost kapuk. A Bayes t telt alkalmazva midig (AjB) (BjA)(A) A)( A), ahol (A), ( A) 99 (BjA)(A)+(Bj Feladat K t b z, x s y egym st l f ggetle l hazudak, I modaak igazat 3 illetve 3 val sz s ggel. Felt ve, hogy x azt illetve ll tja, hogy y hazudik, meyi a val sz s ge, hogy y igazat mod? A x azt ll tja, hogy y hazudik, B y igazat mod. (x hazudik) 3 (B) 3 (Aj B) (x igazat (AjB) (BjA) 3 ABayes-t telt alkalmazva (AjB)(B) B)( B) (AjB)(B)+(Aj Feladat K t ura k z l az egyikbe fekete s m feh r, a I N fekete s M feh r goly va. Az els b l tal lomra trakuk m sikba a m sodikba, majd oa tal lomra visszavesz k egyet. Megit az egyet h zva, meyi a val sz s ge a feh rek? els b l Az els ur b l feh ret rakuk a m sodikba, a m sodikb l feh ret A vissza, rakuk Az els ur b l feh ret rakuk a m sodikba, a m sodikb l feket t A vissza, rakuk Az els ur b l feket t rakuk a m sodikba, a m sodikb l feh ret A3 vissza, rakuk Az els ur b l feket t rakuk a m sodikba, a m sodikb l feket t A4 vissza, rakuk Harmadszorra az els r b l feh ret h zuk. B A A A3 A4 teljes esem yredszer. A teljes val sz s g t tel b l (B) 4 (BjAi)(Ai). Feladat K t j t kos felv ltva h z egy-egy goly t visszatev s I egy ur b l, amibe egy feh r s h rom fekete goly va. Az a j t kos lk l amelyik el sz r h z feh ret. Meyi a val sz s ge, hogy az els ek yer, j t kos fog yeri? h z

44 kalmazva (A sah feh ret h z) ; Mide m s sz - + III.7 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 5 e;4y dydx e;4 56 A km-t +Y id alatt teljes tik. A kovol ci s s r s gf gg- dt 4 h ( ; e; 8 )+ (e; 84 ; )i (t) f+y 44 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz s gi mez A Az els h z s ut yer a kezd j t kos, B A harmadik h z s ut yer a kezd j t kos, C Nyer a kezd j t kos. Nyilv (C) (A) +(B) Feladat Egy kalapba t z c dula va, melyekre a I sz mjegyek vaak fel rva. Visszatev ssel kivesz k k t c dul t. 6 Y a sz mjegyek sszeg t, pedig a sz mjegyek szorzat t. Adjuk Jel lje a meg (Y i j )val sz s geket! (i 8). ( ) 9 (Y ij ) (Y ij ),hai>9., 9.,hai s i-t h ztuk+i-t s - t h ztuk) (- t () 9 Feladat Egy perzsa sah egyszer egy el t ltek azt modta, hogy I szerit elhelyezhet 5 feh r s 5 fekete goly t k t egyforma v z ba. tetsz s egyikb l majd a sah kih z egy goly t, s ha az feh r, megkegyelmez. Az viszot akih zott goly fekete, vagy kider l, hogy em midegyik goly Ha a v z kba berakva, esetleg a kiv lasztott v z ba em volt semmilye volt az t let hal l. Hogya kell sz tosztaia az el t ltek a goly kat, hogy goly, amegkegyelmez s val sz s ge maxim lis legye? Az optim lis strat gia az, ha az egyik v z ba egy feh r goly t a m sikba az sszes t bbit. Ekkor a teljes val sz s g t tel t al- tesz k, toszt s l cs kke ez a val sz s g. Feladat A bi ris szimmetrikus csatora egy olya bi ris bemeet I s bi ris kimeet csatora, melyek mide bemeete p az ellekez j re v lt a kimeetkor (q ;p). A forr sbitet val sz s ggel az forr sbitet -gyel k ldj k t. Adek dol t bbs gi d t st -val, Ha a s forr sbitek el fordul s ak egyar t 5 aval sz s ge, hoz. adja meg a dek dol s hibaval sz s g t! akkor (-est vesz k j - st adak) 3p q + p 3 (- st vesz k j -est adak) 3p q + p 3. (Hib zuk) (3p q + p 3 +3p q + p 3 ) 98 ;4 Gyakorlat Legye A B. Adja meg az sszes olya I.5.. melyre A A B teljes l! esem yt, az els illetve m sodik defektig megtett t, Y a defektek sz ma. (Y ) ( ) e (Y ) ( < + ) ( < ) ; ( + < ) e mert a + ko- vol ci s r s gf ggv ye ( + <x) (Y )+ (Y ) e xr xr e ;t e ;(x;t) dt xe ;x ) te ;t dt ; e ;x [+x] Akeresett val sz s g Feladat Az ( Y ) T val sz s gi v ltoz p r egy ttes s r s gf ggv ye III.7.6. f(x y) e;4y ha <x<9 s y> (egy bk t f(x y) ). a.) F ggetle-e s Y? E ( + Y )? ( + Y )? c.) ( <7 Y )? f(x) 8 x [ 9] f Y (y) 4e ;4y y > a.) F ggetleek! E + EY Y c.) ( <7 Y ) 7 R R Feladat K t biatlo verseyz, illetve Y ra alatt futja a III.7.7. km-es t vot, ahol s Y f ggetle expoeci lis eloszl s val sz s gi, illetve param terekkel. Ha a k t verseyz b l v ltoz k szervez k akik 5 km- l v ltj k egym st, meyi a val sz s ge, csapatot hogy perc alatt teljes tik a km-es t vot? v y f+y (x) ; +Y < 5 xr 4 R e ;t e ;(x;t) dt 4 (e ;x ; e ; x ) )

45 dy jzj z x + e; p i z z x + e; p I.5 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 45 4 III. FEJEZET Val sz s gi vektorv ltoz k fz(x) R jyj ' (xy) ' (y) dy V grehajtva azy p x +z v ltoz cser t fz(x) +) (x R h ; z ;e p dz + x +) (x R R jyj y (x +) ; exp p dz + x Z eloszl s t Cauchy- vagy t ( szabads gfok Studet) eloszl sak Megjegyz s evezz k. Feladat Tekits k a T [; ] [ ] t glalapo v letleszer e III.7.3. kiv lasztott potot! Igaz-e, hogy pol rkoordi t i f ggetleek leszek? Jel lje R s a pol r, Y pedig a descartes-i koordi t kat. R + Y s arctg Y R s egy ttes eloszl sf ggv ye Ekkor (R <t <u) ( + Y <t Y <tg u) Az orig tme tg u egyees midig felezi az orig k z ppot, t sugar k r te- meredeks g gy (R <t <u) (R <t ) ( <u) (R <t ) ) r let t, f ggetleek. Feladat A f rak testmagass g t N (75 ) a k t III.7.4. N (65 8) val sz s gi v ltoz kkal modellezve, mekkora aak a val - Y hogy egy tetsz legese kiv lasztott f r (cm)-rel alacsoyabb, sz s ge, egy tetsz legese kiv lasztott? mit Feladat Egy aut (km)-t tud defekt lk l megtei, ahol III.7.5. E (), azaz ( <x); e ;x x > Egy (km) hossz s g meyi aak a val sz s ge, hogy az aut legfeljebb egy defektet kap? to ;4 ). ( Gyakorlat Legye A B. Adja meg az A B-t tartalmaz I.5.. ;algebr t! legsz kebb Gyakorlat Legye A A A. Bizoy tsa be, hogy I.5.3. (A A A) (A) + (A) ++ (A) ; ( ; ). Gyakorlat Bizoy tsa be, hogy mide A B eset I.5.4. (AB) ; (AC)j (B M C) B M C $ B C + C B! j Gyakorlat Bizoy tsa be, hogy mide A B eset I (AB) ; (A) (B) 4! ; Gyakorlat Bizoy tsa be, hogy mide A B eset I.5.6. (AB) ; A B 4! Gyakorlat Bizoy tsa be, hogy mide A B eset I.5.7. (A M B) (A) + (B) ; (AB)! Gyakorlat Bizoy tsa be, hogy mide A B C eset I.5.8. (AB)+ (AC) ; (BC) (A)! Gyakorlat Bizoy tsa be, hogy mide A B C eset I.5.9. (A + B + C) ; (ABC) (B M C)! Gyakorlat Bizoy tsa be, hogy mide A B C eset I.5.. (A M B) (A M C) + (B M C)! Gyakorlat Bizoy tsa be, hogyha (A) 9 s (B) 8, I.5.. (AB) 7! akkor Gyakorlat A K k s rlet abba ll, hogy v letleszer e kiv lasztuk I.5.. egy elem permut ci t. Jeletse Aij azt az esem yt, amikor a permut ci ba az i-edik elem a j-edik helye ll. Fejezze ki Aijk kiv lasztott seg ts g vel az al bbi esem yeket az els elem a m sodikt l balra ll, A az els elem sorsz ma legfeljebb j. B I.5.3. Gyakorlat Legye A A A s A el A-t egym st kiz r esem yek sszegek t! Ai. ll tsuk

46 III.7 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 3 ; y t v ltoz traszform ci val kapjuk (y y ) y dy k pletet. Ha s Y f ggetleek, akkor y f Y f Y (x y) f(x) fy (y) gy fy ( x t ) t dt f(t) x t ) f Y (t) t dt f( fy ( t x ) jtj x dt f(t) (t t x ) jtj x dt. f Y x y u(x x) x y y u (y y) x ) u y (y y) x ) det(j(y y)) jy j f Y (y y y) jyj dy. (y y y ) jyj y f Y ( t ) t x + R dt x fy f(t) dy k pletet. Ha s Y f ggetle- 46 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz s gi mez Gyakorlat Egy egyetemi vfolyamo a l yok k z l 6-ak a I.5.4. bara, 4-ek a haja s a szeme is bara, l yak a haja s a szeme haja k z l legal bb az egyik bara. H y baraszem l yva az vfolyamo? Gyakorlat Egy k v automata Ft-os rm kkel m k dik. Egy I.5.5. Ft-os rm t.98 val sz s ggel fogad el. Az automata ki- tetsz leges mutatja, hogy m g 4 adag k v va bee. N gye llak az automatjelz je el tt - Ft-os rm vel a kez kbe, amikor oda rkezem. Mekkora hogy jut ekem a k v b l? Mekkoraaakaval sz s ge, aval sz s ge, iszom a 4 adag k z l az els t? hogy Gyakorlat Melyik lott sz m lesz a legagyobb val sz s ggel I.5.6. m sodik legagyobb kih zott sz m? a Gyakorlat Meyi a val sz s ge aak, hogy a k vetkez I.5.7. lott sz mok legagyobbika kisebb lesz, mit ar k vetkez h t kih zott heti sz maiak legkisebbike? Gyakorlat Meyi a val sz s ge aak, hogy a lott a kih zott I.5.8. t sz m k z l agys g szerit ak z ps 5- l kisebb? Gyakorlat Egy sakkt bl tal lomra elhelyez k 8 b sty t. Meyyi I.5.9. a val sz s ge aak, hogy a b sty k em tik egym st? Gyakorlat Egy kalapba az agol ABC 6 bet je va. Visszatev ssel I szor kih zuk egy bet t s le rjuk azt. Meyi a val sz s ge hogy legfeljebb k t bet csere ut a le rt sz b l megkapjuk a DEB- aak, sz t? RECEN Gyakorlat Egyszerre szab lyos dob kock val dobuk. Meyyi I.5.. a val sz s ge aak, hogy a. az sszes kock val ugyaazt az rt ket kapjuk? b. legal bb egy hatost dobuk? c. potosa egy hatost dobuk? Gyakorlat Egy ur ba a darab feh r s b darab fekete goly I.5.. (a b ). Visszatev s lk l kivesz k k t goly t az ur b l. Meyi va. aval sz s ge aak, hogy ut bbi itegr lba az y y Az az fz(y) fz(x) R + R + t dy dt R + Feladat (K t val sz s gi v ltoz h yados ak eloszl sa) III.7.. s Y val sz s gi v ltoz az ( ) Kolmogorov-f le val sz - Legye mez. Jel lje f Y (x y) az egy ttes s r s gf ggv y ket. Bizoy tsuk s gi hogy a Z Y val sz s gi v ltoz s r s gf ggv ye be, fz(x) R + f Y (x t t) jtj dt Ha s Y f ggetleek is, akkor fz(x) R + Legye most u(x x) x y j x 6 g H R D f(x x) y y J(y y) R + R + A traszform ci s t telt alkalmazva, a Z Y f(x t) fy (t) jtj dt Y egy ttes s r s gf ggv ye s fz Y (y y) f Y (y y y) jyj Ie Z s r s gf ggv y t kiitegr l ssal sz molhatjuk fz(y) R + fz Y (y y)dy R + Az ut bbi itegr lba az y y t kapjuk az fz(y) R + ek, akkor f Y (x y) f(x) fy (y) gy fz(x) R + dy dt y v ltoz traszform ci val f(x t) fy (t) jtj dt Feladat Legyeek Y N( ) f ggetleek. Hat rozzuk III.7.. a Z Y s r s gf ggv y t! meg

47 fy (x) ( ; ) (F (x)) ; f(x) (a III.7.6. feladat megold s t -re ltal o- < ) (Y ; < ) FY ; () R (Y akovol ci s k pletb l sz molhat (t) ; (t) R fy h (F (z)) i f Y (t x t ) f(t) fy ( x t ) ( x t t) t dt f Y x t ) f Y (t) t dt f( y u(x x) x y y u (y y) x ) u (y y) x y J(y y) y y y ; Ie Z s r s gf ggv y t y ( y y y ) f Y dy. y I.5 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 47 III. FEJEZET Val sz s gi vektorv ltoz k Jel lje f(x) F(x) ak z s s r s gf ggv yt, illetve eloszl sf ggv yt, s legye Y maxf g! Ekkor s tva s deriv lva) fy ; FY ; () R gy R f(z) R fy (t + z)f(z)dz R R fy ; (t)dt ahol ( ; ) (F (t + z)) ; f(t + z)f(z)dz ( ; ) (F (t + z)) ; f(t + z)f(z)dzdt ( ; ) (F (t + z)) ; f(t + z)dtdz R f(z)(f (z)) dz Feladat (K t val sz s gi v ltoz szorzat ak eloszl sa) III.7.. s Y val sz s gi v ltoz az ( ) Kolmogorov-f le val sz - Legye mez. Jel lje f Y (x y) az egy ttes s r s gf ggv y ket. Bizoy tsuk s gi hogy a Z Y val sz s gi v ltoz s r s gf ggv ye be, fz(x) R + t + R dt Ha s Y f ggetleek is, akkor fz(x) R + Legye most u(x x) x x y D R H f(y y) j y 6 g t + R dt. det(j(y y)) y ) a traszform ci s t telt, a Z Y s Y egy ttes s r s gf ggv ye Alkalmazva fz Y (y y) f Y ( y y y ) kiitegr l ssal sz molhatjuk fz(y) R + fz Y (y y)dy R + a. a k t goly azoos sz? b. a k t goly k l b z sz? Gyakorlat Harmic sz mozott goly t rakuk sz t yolc k l b z I.5.3. l d ba. Az elhelyez skor b rmelyik goly t ugyaakkora val sz s ggel b rmelyik l d ba. Keress k meg aak az elhelyez sek a val sz s g t, tehet k amely l h rom l da res, kett be h rom goly va, kett be hat s egybe db goly ker l! Gyakorlat Tekits k az sszes olya hossz s g sorozatot, I.5.4. a sz mokb l llak. Hat rozzuk meg aak a val sz s g t, amelyek hogy egy v letle l v lasztott ilye sorozat a. -val kezd dik potosa m + db - t tartalmaz, melyek k z l kett a sorozat v g b. va c. potosa m db -est tartalmaz d. potosa m db - t, m db -est s m db -est tartalmaz. Gyakorlat Kette p zfeldob ssal j tszaak. Adr s yer, ha I.5.5. szab lyos rme dob si sorozat ba h rom fej hamarabb k vetkezik, mit egy fej- r s-fej sorozat. Viszot B laayer, ha midez ford tva t rt ik, azaz a fej- r s-fej sorozat el bb j, mit a fej-fej-fej. Egyel ek a j t k yer si a Milye legye a fej dob s ak p val sz s ge, hogy a j t k fair es lyei? legye? Gyakorlat Legye A az az esem y, hogy lott h z s l egyik I.5.6. sz m sem agyobb mit 5, sb pedig az az esem y, hogy mi- kih zott kih zott sz m p ros. Sz moljuk ki a (A) (B) (AB) (A + B) degyik val sz s geket! Gyakorlat Meyi a val sz s ge aak, hogy a lott h z s l I.5.7. legagyobb s legkisebb sz m k l bs ge ppe k? (4 k 89) kih zott Gyakorlat Egy res t glalap alak szob ba, melyek falai I m ter hossz ak, leejt k egy goly t. Meyi a val sz s ge, hogy s goly egy olya potba fog meg lli, amely k zelebb va a szoba egy a mit a szoba k z ppotj hoz? sark hoz,

48 III.7 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok k k 5 h F (z) i Mivel ; s Y ; Y 48 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz s gi mez Gyakorlat Egy cm oldalhossz s g gyzetr csos h l zatra I.5.9. egy 3cm tm r j k ralak p zdarabot. Meyi a val sz s ge, leejt k hogy a p zdarab lefedi egy gyzet cs cs t? Gyakorlat Egy cm oldalhossz s g gyzetr csos padl zatra I.5.3. ledobuk egy cm lhossz s g j t kkock t. Meyi a val sz s ge, hogy a kocka teljes terjedelm vel a padl zat egy gyzet be lesz? Gyakorlat Meyi a val sz s ge, hogy egy egys gyi szakaszt I.5.3. h rom r szre t r k, a keletkez szakaszokb l hegyessz g v letleszer e h romsz g szerkeszthet? Gyakorlat Az ABCD gyzetbe tal lomra v lasztuk egy I.5.3. Meyi a val sz s ge, hogy k zelebb lesz az AB oldalhoz, mit potot. a gyzet k z ppotj hoz? Gyakorlat Egy d sz less g l cekb l ll padl zatra ledobuk I s d hossz s g t t. Meyi a val sz s ge, hogy a t k t padl r st egy fog egyszerre metszei? Gyakorlat Az egys gk r ker let v letleszer e kiv lasztuk I potot A B s C-t. Meyi a val sz s ge, hogy a BAC sz g h rom agyobb lesz 6 - l? Gyakorlat Legye (a b) az egys g gyzet egy v letle l I potja s p(x) 3 x3 ;a x+b egy harmadfok poliom. Meyi kiv lasztott hogy p(x)-ek potosa egy, illetve potosa h rom val s aval sz s ge, va? gy ke Gyakorlat Tal lomra kiv lasztuk egy potot az egys gk r I majd egy Q potot a k rlapo. Meyi a val sz s ge, hogy a ker let, Q szakasz hossza agyobb mit? Gyakorlat A ( ) s ( 3) szakaszoko v lasztuk tal lomra I potot, legyeek ezek x s y. Meyi a val sz s ge, hogy az x y egy-egy s hossz s g szakaszokb l szerkeszthet h romsz g? Gyakorlat A [ ] itervallumo tal lomra kiv lasztuk k t sz mot. I Meyi a val sz s ge, hogy az egyik sz m t bb, mit k tszerese lesz a m sikak? Z EZ ) R 5 5 x dx 5 E(YZ) cos R 5 si x dx ) Feladat Egy szab lyos p z rm t addig dob lok, am g m sodszorra III.7.6. em kapok fejet. Jel lje a sz ks ges dob sok sz m t. Adja meg v rhat rt k t s sz r s t! Y+Y Y Y G ( 5) f ggetleek ) E EY+EY +4 ( k) (Y + Y k) l (k ; ) 5 k k l (Y l) (Y k ; l) Feladat Legyeek s Y f ggetle, azoos f(x) s r s gf ggv y III.7.7. val sz s gi v ltoz k. Sz moljuk ki a ( <Y) val sz s get! ( <Y) ( ; Y < ) F;Y () Mivel f;y (x) f(;x) gy a kovol ci s k pletb l f;y (x) gy F;Y () R R f (z) R R f (z) F (z) dz f;y (x)dx f (z + x) dx Teh t ( <Y) R R dz R f (z) R f (t) f (x + t) dtdx R z f (t) f (x + t) dt ad dik. f (y) dy dz Feladat E () f ggetleek. Meyi a III.7.8. ; Legyeek Y <Y ; val sz s g? Y ; azoos eloszl s ak s f ggetleek, szit el z feladat eredm y t felhasz lva, a keresett val sz s g az Feladat Legyeek f ggetle, azoos eloszl s, III.7.9. val sz s g v ltoz k. Meyi a (max f g <) va- folytoos l sz s g?

49 ha ha < ha < 3 4 vagy < 4 perem I.5 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 49 III. FEJEZET Val sz s gi vektorv ltoz k a.) Adja meg a perems r s gf ggv yeket! K tdimezi s orm lis eloszl s -e ( Y ) T? a.) f(x) R Y N ( ) '(x)'(y)dy + R xy dy '(x) hasol a f Y (y) '(y) ) e Nem k tdimezi s orm lis eloszl s, mert m s a s r s gf ggv ye. kellee. '(x)'(y) Feladat Legye az U ( ) val sz s gi v ltoz kettes III.7.4. fel rva F ggetleek-e az s dig- sz mredszerbe itek? 3 vagy ha < 4 4 t bl zat tartalmazza Egy ttes eloszl sukat az al bbi perem ahoa m r leolvashat, a f ggetles g t ye Feladat Legye a [ ] itervallumo egyeletes eloszl s III.7.5. v ltoz, Y si () s Z cos() Sz molja ki a (Y Z) T val sz s gi p r kovariaciam trix t! EY Y EY R R x dx EZ si si x dx 5 4 R, cos x dx Gyakorlat V lasszuk ki egy s Y potot az egys gitervallumba! I Tekits k azt a t glalapot, melyek oldalhosszai s Y. Meyi a hogy a keletkez t glalap ker lete agyobb, mit s ter lete val sz s ge, mit 5? kisebb, Gyakorlat Vegy k egy v letle (a b) potot az egys g gyzetb l. I.5.4. Meyi aak a val sz s ge, hogy a p(x) ax ; bx +poliomak ics val s gy ke? Gyakorlat Egy ur ba b darab fekete s r darab feh r goly I.5.4. v letleszer e kih zak egy goly t. A kih zott goly t s m g ugyao- va. sz b l c darabot visszateszek az ur ba. Ezt megteszik egym s ut lya Igazolja, hogy ezek ut, a fekete goly kih z s ak val sz s ge -szer. b! b+r Gyakorlat Magyar k rty val huszoegyez k. A k rtya rt kei I.5.4. fels 3, kir ly4, hetes7, yolcas8, kileces9, tizes, sz. als, a val sz s ge, hogy -et h zuk, ha a 9-et el rt k az t dik h z s Meyi ut? Gyakorlat Egy kalapba t z c dula va, melyekre a 3 4 I sz mjegyek vaak fel rva. Visszatev ssel kivesz k k t c dul t. 5 Y a sz mjegyek sszeg t, pedig a sz mjegyek szorzat t. Adjuk meg Jel lje a (Y i j >) val sz s geket! (i 8). Gyakorlat El sz r feldobuk egy szab lyos rm t. Ha fej, egyszer, I ha r s k tszer dobuk egy szab lyos dob kock val. Meyi a val sz s ge, hogy lesz hatos? Gyakorlat Egy rekeszbe 5 teiszlabda va, melyek k z l 9 I hasz latla. H rom j t khoz kivesz k tal lomra h rom labd t, majd m g j t k ut visszarakjuk azokat a rekeszbe. (Nyilv, ha volt k z tt k a az a j t k sor elveszti ezt a tulajdos g t.) Meyi a val - hasz latla, aak, hogy midh rom kiv telhez j s hasz lt labda ker l sz s ge akez kbe? Gyakorlat Egy sz vegszerkeszt a karaktereket 7 bitbe k dolja, I ezt egy parit sbittel eg sz ti ki gy, hogyaz-esek sz ma p ros legye. s

50 III.7 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 9 e ;x;y dy e ;x R e ;x;y dx e ;y R 4 5 h xy + x y i 3 ) 63 ( Y )(3 )( ) ( (3 Y ) ) 3 ( ) 3 63 ( Y )(7 )( ) ( (3 ( Y ) ) 3 63 ) 3 63 ( (7 Y ) ) 3 ( ) (7 63 ( Y ) ) ( 3 ( ) E e; x +y + xy e; x 5 I. FEJEZET AKolmogorov-f le val sz s gi mez ezt az rt, hogy p ratla parit ssal szleli tudja a hib z st. Tegy k Teszi hogy yolc bitet egy olya csator k ldi t, amely egy bitet fel, rot el. Milye val sz s ggel kapuk a kimeete gy yolc val sz s ggel hogy az hib s, de m gsem tudjuk azt szleli? bitet, Gyakorlat A vizsg z k 75%-a A szakos, 5%-a B szakos s I C szakos. Aak az esem yek a val sz s ge, hogy egy hall- %-a t st kap, az A szakosok eset be 4, ab szakosok l 7 s a C gat 6. Ha egy szem lyr l tudjuk, hogy t sre vizsg zott, akkor szakosok l milye val sz s ggel lehet A B illetve C szakos? Gyakorlat H rom egyforma doboz k z l kett be piros, egybe I piros s feh r goly va. V letleszer e kiv lasztuk egy dobozt, abb l egy goly t. Ha ez piros, meyi a val sz s ge, hogy a dobozba s goly sz e feh r? marad Gyakorlat Egy szab lyos kock val addig dobuk jra s jra, I el sz r hatost em kapuk. Meyi a val sz s ge, hogy ek zbe am g potosa egyest dobuk? Gyakorlat Egyetle szelv yel lott zok. Sz maim k z tt a I.5.5. a k z ps. Az al bbi h rom esem y esetleges bek vetkez se k z l 4-es veli jobba az t s tal latom felt teles val sz s g t? A az els melyik sz m a 4-es, B kih zt k a 4-es sz mot, C a 4-es sz m a kih zott kih zott sz mok k z tt a harmadik. Gyakorlat Egy szab lyos dob kock val addig dobuk, am g t st I.5.5. kapuk. Meyi a val sz s ge, hogy ezalatt em dobuk hatost? em Gyakorlat H rom szab lyos dob kock val dobuk! A az szszeg I , B midegyik p ros, C va k z tt k h rmas. Sz molja ki a (A (B + C)) s a ((A + C) B) val sz s geket! Gyakorlat Bizoy tsa be, hogy a Boole egyel tles g v gtele I esem y eset is fe ll.(a folytooss gi t telt hasz lja!) sok Feladat Legye az s Y egy ttes s r s gf ggv ye III.7.. y) e ;x;y <x y< (egy bk t f(x y) ). Hat rozza meg f(x a perems r s gf ggv yeket! F ggetle-e s Y? R f(x) gy s Y f ggetleek! R e ;y dy e ;x x>fy (y) e ;x dx e ;y y > Mivel f(x y) f(x) fy (y) III.7.. Feladat Legye az s Y egy ttes s r s gf ggv ye f(x y) + y + xy) ha <x< s <y< (x egy bk t Hat rozza meg a perems r s gf ggv yeket! F ggetle-e s Y? f(x) R 8(x + xy + y)dy 8 + y x + fy (y) y + 4 teljese hasol a. L that, hogy em f ggetleek, 4 f Y (x y) 6 f(x)fy (y) mert Feladat Ultiz s l a 3 lapos magyar k rty b l kett t taloba III.7.. osztaak. Jel lje a taloba ker lt piros sz lapok, Y pedig az szok sz m t! Adja meg s Y egy ttes eloszl s t! F ggetle-e s Y? ( Y ) ) ( ( Y ) )+( 3 )( 7 ) 3 ( ) ( ( Y ) ) 4 (E(Y EY ( 3 ) ( 3 ) ) cov ( Y ), de em f ggetleek! ) III.7.3. Feladat Legye a ( Y ) T val sz s gi v ltoz p r egy ttes s r s gf ggv ye f (x y) ( e x y [ ] +y egy bk t

51 ( Y ) 6 stb. (4 ( 4 Y j hatot dobtuk a kock val) )( 8 )( ) p3 3 6 ) ( 8 III. FEJEZET Val sz s gi vektorv ltoz k a t bl zat yolcadik sor ak s m sodik oszlop ak keresztez d s be ld ul az rt ll 36, mert a 36 dob si lehet s gb l csak kett felel meg az Y 8felt telekek a (6 ) s a ( 6). AzY eloszl s t a sorokba val sz s gek sszead s val, az eloszl s t pedig az oszlopokba ll ll sszead s val kapjuk meg. L that az is, hogy em f ggetle val sz s gek Y -t l, hisze pl. ( Y )6 ( ) (Y ) 36 Feladat Az s Y val sz s gi v ltoz k egy ttes eloszl s t III.7.8. az al bbi t bl zat tartalmazza Y p 3p 6p 5p 5p 3p Mekkora a p param ter rt ke? F ggetle-e s Y? Mivel az egy ttes eloszl s elemeiek sszege, gy 6p, p azaz 6 Y f ggetleek, mert mide lehets ges rt kp r l teljes l s a f ggetles g felt tele, pl. ( ) 6 (Y ) s Feladat El sz r egy szab lyos kock val dobuk, majd a dobott III.7.9. megfelel e kih zuk lapokat egy 3 lapos k rtyacsomagb l. Jel lje rt kek akih zott lapok k z tt tal lhat gur s lapok sz m t, Y pedig legye a kir lyok sz ma. Adja meg a ( 4 Y )val sz s get! kih zott Haakock val 3-t dobuk, ( 4 Y )yilv, gy l kevesebb lapb l em lehet gy gur st kih zi. Ha a kock val mert dobuk esem y kir ly s gur s em kir ly. 4-et (4 akkorakeresett ( 4 Y j 4-et dobuk a kock val) )( 8 ) p 3 4 ). Haakock ( kapuk, az esem y kir ly s gur s em kir ly s egy b. t st (4 ( 4 Y j t t dobtuk a kock val) )( 8 )( ) 3 p ) ( 5 V g l, ha a hatos volt, a keresett esem y kir ly, gur s em kir ly s dob s egy b. A teljes val sz s g t tel b l ( 4 Y ) 6 (p + p + p3) II. fejezet A val sz s gi v ltoz II.. Aval sz s gi v ltoz fogalma sz mok r szhalmazai k z l, csak azokkal foguk a tov bbiakba Aval s amelyek itervallumok redszer b l egyes t ssel, metsz ssel s foglalkozi, el ll that k. Ezek az.. Borel-m rhet halmazok, komplemes-k pz ssel fogalm t a II.. de ci ba adjuk meg. A gyakorlatba mide melyek gy a y lt, z rt, f lig y lt, f lig z rt itervallumok, az pesz halmaz, halmazok, a f legyeesek s a y lt s z rt val s r szhalmazok, egyelem az eg sz sz megyees maga is Borel-m rhet ek. A k vetkez t telbe valamit felhasz ljuk a -algebra fogalm t, ami az esem yalgebra axi m i l m r szerepelt. T tel Ha < < <3 a V halmaz r szhalmazaiak -algebr i, II... \ akkor <i szit -algebra. 8i Az rt igaz, mert V midegyik t yez -algebr ba bee va, akkor a a.) r szbe is bee kell, hogy legye. k z s Ha egy A V r szhalmaz bee va a metszetbe, az csak gy lehet, midegyik kompoes -algebr ba is bee va. De mivel a kompo- ha -algebr k, be kakomplemes halmaz is bee va,deakkor esek metszet kbe is bee va a V A. a 5

52 3 o [ [ Bi [ Bi B. ha! A ha! A, akkor () A A. III.7 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 7 5 II. FEJEZET Aval sz s gi v ltoz Ha r szhalmazok egy redszere bee va a metszetbe, akkor mide c.) bee va, de akkor az egyes t s k is bee va mide kompoesbe kompoesbe, gy a metszet kbe is. De ci Az A B C V halmazredszert tartalmaz szszes II... -algebra metszet t ami az el z t tel szerit magais-algebra halmazredszer ltal geer lt -algebr ak evezz k, s (A B C )-val a jel lj k. De ci A balr l z rt, jobbr l y lt val s itervallumok ltal II... -algebr t, Borel-f le -algebr ak evezz k, s B-vel jel lj k geer lt B (f[a b) a b Rg) De ci Legye ( ) Kolmogorov-f le val sz s gi mez. II..3.! R f ggv yt val sz s gi v ltoz ak evezz k, ha mide Az B eset A f! (!) Bg, azaz a Borel-halmazok k pe az B meggyelhet esem y lesz. lek pez s l M rt kelm leti termiol gi val, m rhet f ggv y. L that, Megjegyz s hogy az val sz s gi v ltoz mide! elemi esem yhez egy val s sz mot redel. T tel Az fa A f! (!) Bg B Bg esem yredszer II... melyet az ltal geer lt -algebr ak evez k, s ()-el -algebra, jel l k. o f! (!) Rg, mert R B. o Ha A f! (!) Bg (), akkor A f! (!) R Bg is, hisze B. RB f! (!) Big II... lda (! (!) ) (), hisze a.) Ha az A esem y idik tor f ggv ye, azaz (!) Ha (!) c, azaz a val sz s gi v ltoz kostasf ggv y, akkor f g. () Feladat K t azoos k pess g atl ta verseyt fut. Midkettej k III.7.5. eredm y t m s param ter orm lis eloszl ssal m sodpercekbe. Meyi a val sz s ge, hogy az egyik jellemezhetj k legal bb m sodperccel legy zi a m sikat? verseyz Y N ( ) ) ; Y N ; p (j ; Y j ) ; (j ; Y j < ) ; (; <; Y < ) 3 + p ; p Feladat Ha s Y f ggetle val sz s gi v ltoz k, hat rozzuk III.7.6. meg V mif Y g s W maxf Y g eloszl sf ggv y t! (V < x); (V x) ; ( x Y x) ; ( x) (Y x) ; ( ; F (x)) ( ; FY (x)) (W <x) ( <x Y<x) ( <x) (Y < x)f(x) FY (x) Feladat K t szab lyos kock val dobuk. Jeletse a hatos III.7.7. sz m t, Y pedig a dobott sz mok sszeg t. Adjuk meg s Y dob sok egy ttes eloszl s t! Az al bbi t bl zatba az oszlopok tetej szerepelek az rt kei, a sorok elej pedig az Y rt kk szlet ek megfelel sz - lehets ges llak. Az (i j) koordi t kak megfelel cell ba a ( i Y j) mok tal lhat k. val sz s gek Y Y peremeloszl sa peremeloszl sa

53 ahol (A) (B) (C) 3 8 < esem yredszert, 8 < Ekkor ( ) ( ) ( ) 3 (Y ) (Y ) (Y ) 3 s Z ;Y +Y 8 < Viszot s 3 + ; ; EZ 3 ; 9 6,vagyis E +Y ; E Y Y + ; 9 () II. Az eloszl sf ggv y fogalma 53 [ Q Bi Bi Q (Bi) 6 III. FEJEZET Val sz s gi vektorv ltoz k Feladat Legye s Y k t azoos eloszl s val sz s gi v ltoz. III.7.. Igaz-e, hogy E +Y E Y Y +? ltal ba em. Egy ellep lda alkosso A B C olya teljes s Y azaz s Y azoos eloszl s ak. ha! A ha! C ha! B ha! A 3 ha! B ; ha! C ha! A ha! B ha! C Feladat Egy szab lyos kock val dobuk ism telte. az els III.7.3. Y a m sodik dob s eredm ye. Sz moljuk ki R( + Y )-t! dob s, Egyr szt, a f ggetles g miatt cov( + Y )cov( )+ Y ) m sr szt ( +Y ) + Y gy R( + cov( ) cov( +Y ) (+Y ) Y p p Feladat Legye s Y k t p 5 param ter f ggetle idik tor III.7.4. val sz s g v ltoz. Mutassuk meg, hogy + Y s j ; Y j b r korrel latlaok, de em f ggetleek! ( ) ( ) (Y ) (Y ) 5 + Y )( )(Y ) 5, ( + Y ) ( )(Y )+( )(Y ) 5, ( + Y ) ( )(Y ) 5. (j ; Y j )( )(Y )+ ( )(Y ) 5, (j ; Y j )( )(Y )+ ( )(Y ) 5. E( + Y )E + EY, E (j ; Y j) 5, ( (( + Y )j ; Y j) E (j ; Y j) 5. gy cov( + Y j ; Y j) E ; 5. + Y s j ; Y j em lehetek f ggetleek, mert pl. 5 + Y j ; Y j ) de ( + Y ) (j ; Y j ) ( II.. Az eloszl sf ggv y fogalma De ci Legye ( ) Kolmogorov-f le val sz s gi mez, II... val sz s gi v ltoz. Ekkor a Q B! [ ] halmazf ggv y, de ci ja Q(B) $ (f! (!) Bg) jel ( B) (B B) melyek val sz s gi v ltoz eloszl sa. az II... T tel A Q halmazf ggv y tulajdos gai a.) Q(R) Ha B B B diszjukt Borel-halmazok, akkor Q( Megjegyz s AQ kiel g ti a val sz s g axi m it. a.) Q(R) (f! (!) Rg) () S S! (!) (f! (!) Big) Bi) f! (!) Big Amikor egy K v letle k s rlethez hozz redel k egy val sz s gi Megjegyz s v ltoz t, akkor egy ttal egy lek pez st hajtuk v gre az absztrakt ) s az (R B Q) Kolmogorov-f le val sz s gi mez k k z tt. A ( eheze kezelhet ( ) strukt ra helyett egy jobba ki- matematikailag s kiismert (R B Q) strukt r ra t r k t, ahol az esem yeket dolgozott Borel-halmazok seg ts g vel fogjuk megfogalmazi, az esem yek val sz - a pedig az eloszl ssal kalkul ljuk a tov bbiakba. Aval sz s gi s geit teh t a v letle k s rlet egy matematikai modellje. v ltoz v ltoz k dei l sa az esetek t bbs g be term szetes Aval sz s gi ad dik. Godoljuk csak p ld ul a kockadob s k s rletre, a rulett- m do megforgat s ra, a Dua pillaatyi v zmagass g ra, vagy a legk zelebt rcsa sz leted csecsem tests ly ra stb. Sokszor, b r az elemi esem yek sz mok, de val sz s gi v ltoz val egy-egy rtelm megfeleltet s l tes thet em k zt k s a val s sz mok egy r szhalmaza k z tt, s gy a val sz s gi Q(Bi).

54 F balr l folytoos, azaz lim F (x) F(y) mide y R-re. x!y; lim c.) F (x) s lim x! F (x). x!+ III.7 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 5 ; R( Y ) Y E E EY b pozit v deit, py py A i s (AjAj AjiB). 54 II. FEJEZET Aval sz s gi v ltoz seg ts g vel ugya gy t rgyalhat a jeles g. l. a k rtyah z s l a v ltoz sorsz mozzuk, mide addigi esem y ekvivales m do tfogal- k rty kat mazhat. a val sz s gi v ltoz k az eredeti k s rlet egyszer s t - Felhasz lhat k is. l. k s bb l ti fogjuk, hogy egy -szeres hossz s g k s rletsorozat s re egyetle val sz s gi v ltoz meggyel se is lehets ges. helyett De ci Az F(x) Q( ( x)) x R f ggv yt az II... v ltoz eloszl sf ggv y ek evezz k. val sz s gi F(x) Q( ( x))(f! (!) <xg) $ Megjegyz s ( <x) x R vagyis F R! [ ]val s f ggv y. $ T tel Aval sz s gi v ltoz eloszl sa s eloszl sf ggv ye k lcs se II... egy rtelm e meghat rozz k egym st. A II.. t telt em bizoy tjuk, csak ayit jegyz k meg, Megjegyz s a bizoy t s azo m lik, hogy a f legyeesek ltal geer lt -algebra hogy a Borel-f le -algebra. A t telek az a fotos zeete va a sz mukra, maga hogy az eloszl sf ggv y seg ts g vel is kisz m that k az esem yek val sz s gei. II..3. T tel (Az F eloszl sf ggv y tulajdos gai) a.) F mooto emcs kke, azaz F(x) F(y), hax<y. Legye x<y, akkor Ax f! (!) <xgay f! (!) <yg, s a.) az I..3. t tel d.) potja szerit F(x) (Ax) (Ay) F(y), gy ami az ll t s volt. R( Y ) Y a s ez volt az ll t s. E E Norm lis esetbe mit ahogy az a III.6. p ld l l that Megjegyz s a lie ris regresszi s s a regresszi s sszef gg sek egybeesek. volt III.7. Kidolgozott feladatok s gyakorlatok Feladat Legye T [a b) [a b) [ap bp) tetsz leges III.7.. t gla, s " " "p f g tetsz legesek ( vagy diadikus p-dimezi s Bizoy tsuk be, hogy ekkor sz mok). 8(" " "p) ahol j () j F("a+(;")b "a+(;")b "pap+(;"p)bp) p "i A bizoy t s azo m lik, hogy megmutatjuk, hogy az egyel tles g bal oldal a ( T ) val sz s g ll, ami yilv val a emegat v. az al bbi esem yeket Ai f! i(!) <aig Dei ljuk f! i(!) <big Bi ( T )(a <b a <b ap p <bp) Ekkor ( A A Ap BB Bp) ( A B) (B) ; (A B), ahola B p Ai ) A Bi Teh t a oicare-t telt alkalmazva kapjuk, hogy ( T )(B) ; ( p ; (B) p i () j<j<<jip (Ai B)) Ajk B jk ) Ajk B jk A jk gy Mivel AjiB) F(" a +(; ") b "p ap +(; "p) bp), ahol (AjAj " j " ji a t bbi " j M sr szt (B) F(b b bp), "j az az eset, amikor midegyik "j. Visszahelyettes tve ppe az teh t ll t st kapjuk.

55 h (x) % (x)(y; ) ; (y; ) + fy (y) de ci b l, a formul k behelyettes t se ut p e; (;% ) h x; + %(y;) p ;% i fjy (x jy )dx + % (y ; ), hisze x E(Y ; a ; b ) mi ha E(Y ; a ; b)) 8a br T tel a R( Y ) Y b EY ; R( Y ) Y E III.6.4. II. Az eloszl sf ggv y fogalma 55 Bi f! (!) <yg is Bi ) 9 (!) <y; h ) (!) <y A lim c.) F (x) bizoy t sa x!+ Bi tartalmaz s trivi lisa igaz, a m sik ir y tartalmaz s lim A F (x) bizoy t sa x! <;x) lim (Y F Y (y), y!+ 4 III. FEJEZET Val sz s gi vektorv ltoz k ( ; d(y )) E ( ; r(y )+r(y ) ; d(y )) E E ( ; r(y )) + E (r(y ) ; d(y )) + E (( ; r(y )) (r(y ) ; d(y ))) E (( ; r(y )) (r(y ) ; d(y ))) E [E (( ; r(y )) (r(y ) ; d(y ))) jy ] Mivel E [(r(y ) ; d(y )) E (( ; r(y )) jy )] E [(r(y ) ; d(y )) (E ( jy ) ; r(y ))] E [(r(y ) ; d(y )) ] gy ( ; d(y )) E ( ; r(y )) + E (r(y ) ; d(y )) E ( ; r(y )) ) E ll t s. lda (Regresszi orm lis eloszl s eset ) III.6.. s Y egy ttes s r s gf ggv ye Legye f Y (x y) p exp ; (;% ) ;% y R alak, azaz a k t val sz s gi v ltoz egy ttes eloszl sa k tdimezi s x orm lis. Megmutatjuk, hogy E( jy )a Y + b, ahol a % s ; a b fjy (x jy ) f Y (x y) Az kapjuk, hogy fjy (x jy ) gy E( jy y) R + l that a felt teles s r s gf ggv y r gz tett y mellett a + amit %(y ; ) v rhat rt k s p ; % sz r s gyzet orm lis eloszl s s r s gf ggv ye. De ci Legye s Y k t adott val sz s gi v ltoz. Az III b val sz s gi v ltoz az Y -ak a -re voatkoz lie ris regresszi ja, a Legye h(a b) $ E(Y ;a;b)) A lie ris regresszi meghat roz s hoz ezt a k tv ltoz s f ggv yt kell miimaliz li. A miimumhely sz ks ges felt tele, hogy l tez s ;E [Y ; a ; b] Ie + be E(Y ) ae + b EY ) b EY ; ae ) ;E [(Y ; a ) ae +(EY ; ae)e E(Y ) ) i Legye h tetsz leges mooto fogy ullsorozat. (pl. h ilye.) y R tetsz leges r gz tett val s sz m. Legye $ (!) <y; h g Ekkor yilv B Ay;h f! B B B! fe ll, ha ugyais, Bi. M sr szt is. <y ) 9 (!) <y; h )! (!) ha Ford tva Aval sz s g folytooss gi tulajdos g b l (I..6. t tel) F(y) ( <y)( lim F (x). x!y; Bi. lim Bi) (B ) lim! ( <y; h )! x!szigor a veked tetsz leges sz msorozat (pl. x Legye ilye) $ ekkor B Ax B B B A igazol sa! tetsz leges, ekkor Legye Bi. ) K R (!) <K ) 9 (!) <K<x ) (!) R 9 B )!! ) Bi gy a folytooss gi t telb l () ( lim Bi) (B ) lim! F (x) lim x! F (x).! ( <x)(; >;x) F(x) ; (; ;x) ; (Y ;x), ahol Y ;. <;x) (Y ;x) s lim (Y ;x!+ ahogy az el bb l ttuk. mit lim gy F (x) ; lim x! y!+ (Y y) ;.

56 Y Y Y Y III.6 Afelt teles v rhat rt k 3 8yj 8yj 8xi f Y (x y) fy (y) fy (y) dxdy x 8xi 56 II. FEJEZET Aval sz s gi v ltoz II..4. T tel Tetsz leges x<yeset a.) (x <y)f(y) ; F(x) (x <<y)f(y) ; F(x +) c.) (x y) F(y +); F(x) d.) (x < y) F(y +); F(x +) e.) ( x) F(x +); F(x) Midegyik ll t s bizoy t sa hasol m do t rt ik, ez rt a c.) ll t s igazol s t r szletezz k. csak x (!) yg f! x (!)g\f! (!) yg f! x<yf! y<(!)g f! x (!)g s f! x (!)g[ Mivel (!) yg f! Aoicare-t telb l (f! x (!)g + f! (!) yg) () ( y) +(x ) ; (x y) ( y) +; ( <x) ; (x y) (*) (x y) ( y) ; ( <x). Ie Ha most h szigor a cs kke ullsorozat, akkor megmutathat, hogy f! (!) yg f! (!) <y+ hg ha! f! (!) yg, akkor Ugyais, f! (!) <y+ hg mide idexre, teh t!! f! (!) <y+ hg is. M sr szt, ha! f! (!) <y+ hg akkor mide -re f! (!) <y+ hg teh t! f! (!) yg is. A folytooss gi t rv yb l! ( y) ( (!) <y+ hg) lim f! ( <y+h )F(y +)! Ez ut bbit (*)-ba behelyettes tve kapjuk az ll t st. c.) Ha s Y f ggetleek, akkor E( jy )E. Diszkr t eset a.) (E ( j Y )) E E ( j Y yj) (Y yj) 8yj xi ( xi j Y yj) (Y yj) xi ( xi Y yj) 8xi 8xi Folytoos eset E (E( jy )) E (r (Y )) R x R R f Y (x y) dydx R xi ( xi) E r (y)fy (y) dy R x f (x) dx E Diszkr t eset (h(y ) j Y yj) E xih(yj) ( xi j Y yj) h(yj)e ( j Y yj) 8xi eset Folytoos y R tetsz leges. Ekkor Legye E (h (Y ) j Y y) h (y) R R h (y) x fjy (x jy) dx x fjy (x jy) dx h (y) E( jy y ) Diszkr t eset c.) ( xi j Y yj) ( xi) ) E ( j Y yj) xi ( xi j Y yj) 8xi xi ( xi) E ) E ( j Y )E() eset Folytoos (x y) f(x) fy (y) ) fjy (x jy )f(x) f Y r(y) R + E ( jy )E x fjy (x jy )dx R + R x f(x)dx E ) T tel Legye d R! R tetsz leges f ggv y. Ekkor III.6.3. ( ; r(y )) E ( ; d(y )), ahol r(y ) E( jy ). Speci lisa, ha E d(y) E, akkor E ( ; E ( jy )) E ( ; E).

57 f Y (x y)egy ttes eloszl s-, illetve egy ttes s r s gf ggv yel. Tekits k f Y (x y) (y). fy fy j (y jx) f(x)dx ) ll t s. fy (y) a regresszi s g rbe. II.3 Diszkr t val sz s gi v ltoz k 57 III. FEJEZET Val sz s gi vektorv ltoz k eset Folytoos s Y folytoos val sz s gi v ltoz ( )- F Y (x y) s Legye al bbi az f ggv yt (<x yy <y+y) y Y < y +y) <x ( Y (x y+y);f Y (x y) F y Y (y+y);f Y (y) F y! Y fy (y) (yy <y+y) III.6.3. De ci Az FjY (x jy) $ (y! ) Y F Y (x y+y);f Y (x y) (y+y);fy (y) FY (y) k tv ltoz s f ggv yt az fy az Y -ra voatkoz felt teles eloszl sf ggv y ek evezz k. -ek De ci A felt teles eloszl sf ggv y x-szeriti parci lis deriv lt-f ggv y t III.6.4. az -ek az Y -ra voatkoz felt teles s r s gf ggv y ek evezz k fjy (x jy) $ F Y fy (y) T tel (Bayes-formula) III.6.. (x jy) f Y j (yjx)f (x) fjy + R f Y j (yju) f(u)du f Y (x y) fy j (y jx) f(x), fy (y) R +. R + f Y (x y)dx De ci Az -ek Y -ra voatkoz felt teles v rhat rt k III.6.5. regresszi j az E( jy )r(y ) val sz s gi v ltoz t rtj k, ahol vagy r(y) R + x fjy (x jy) dx + R xf Y (x y)dx III.6.. T tel (A regresszi tulajdos gai) a.) E (E( jy )) E. E (h(y ) jy )h(y ) E ( jy ). K vetkezm y HaF folytoos az x helye, akkor ( x) HaF folytoos az x helye, akkor F(x) F(x +) s az ll t s igazolja a k vetkezm yt. e.) Eloszl sf ggv yekre p ld kat a k vetkez szakaszokba b s gese Megjegyz s aduk majd. II.3. Diszkr t val sz s gi v ltoz k De ci Az val sz s gi v ltoz t diszkr tek evezz k, ha II.3.. megsz ml lhat (sorozatba redezhet ), vagyis 8! -ra rt kk szlete (!) E fx x x g De ci A pi (f! (!) xig) $ ( xi) (i ) II.3.. sszess g t az diszkr t val sz s gi v ltoz eloszl s ak val sz s gek evezz k. T tel Az diszkr t val sz s gi v ltoz p p p eloszl s ra II.3.. teljes l, hogy a.) pi pi Trivi lis, mivel az Ai f! (!) xig esem y val sz s g r l va a.) sz. Mivel az Ai f! (!) xig (i ) esem yek teljes esem yredszert alkotak, gy az I..3 t tel c.) r sze miatt igaz az ll t s. T tel Az diszkr t val sz s gi v ltoz F eloszl sf ggv y re II.3.. (x) F xi<x pi, m sr szt pi F (xi +); F (xi) a diszkr t val sz s gi v ltoz eloszl sf ggv ye olya l pcs s f ggv y, Azaz melyek az ugr helyei az x x x helyeke vaak, s az ugr s agys ga redre p p p.

58 ;k ; k ;k k ( ; p) k p q k p k ; k) ( pk k k; p k q ;k (p + q). III.6 Afelt teles v rhat rt k h (x) (y;) + i f (x) fy (y) teljes l, 58 II. FEJEZET Aval sz s gi v ltoz Mivel Ax f! (!) <xg xi<x Ai xi<x f! (!) xig az Ai esem yek egym st p rok t kiz rj k, k vetkezik az ll t s els s M sr szt pi ( xi) (xi xi) F(xi +); F(xi) r sze. lda Idik tor val sz s gi v ltoz II.3.. ( ) Kolmogorov-f le val sz s gi mez, A egy pozit v Legye val sz s g esem y p (A) >. Az! R f ggv y de ci ja ak vetkez (!)! A! A.Ekkor diszkr t val sz s gi v ltoz, idik tor val sz s gi v ltoz ak evez k. Jel l s I(A). melyet eloszl sa p ( )p p ( ); p Az lda Biomi lis eloszl s val sz s gi v ltoz II.3.. ( ) Kolmogorov-f le val sz s gi mez, A egy poz- Legye val sz s g esem y p (A) >. Hajtsuk v gre egy -szeres it v Vegye fel azt az rt ket, ah yszor A bek vetkezett a k s rletsorozatot. lehets ges rt kei teh t Az egyes rt kek k s rletsorozatba. val sz s gei, azaz eloszl sa felv tel ek Ugyais (!) kg AA A f! A A A {z } + (;k);szor {z } k-szor AA A {z } k;szor A A A {z } (;k)-szor AA A {z } + (k)-szer AA A A A {z } (;k)-szer + jobb oldalo ll esem yek egym st kiz rj k, s midegyik k val sz s ge A a f ggetles g miatt p k q ;k. A tagok sz ma! ; k mert elem olya ism tl ses permut ci ir l va sz, ahol k illetve ; k elem k!(;k)! megegyezik. pk val sz s gek eloszl st alkotak, hisze a biomi lis t tel szerit A k pk s p param ter biomi lis eloszl s val sz s gi v ltoz ak evezz k. -et B( p). Jel l s B( p)i(a) teh t a biomi lis eloszl s az idik tor eloszl s kiter- Nyilv jeszt se. megadhat f (x) det e; (x;)t (x;) x R p T tel Ha s Y egy ttes eloszl sa orm lis, akkor s Y III.5.9. s csak akkor f ggetleek, ha korrel latlaok. akkor A f ggetles gb l midig k vetkezik a korrel latlas g. R ( Y ) akkor az egy ttes s r s gf ggv yre Ha f Y (x y) ; exp ami m r igazolja a f ggetles get. III.6. A felt teles v rhat rt k Diszkr t eset III.6.. De ci Legye A (A) > tetsz leges esem y, fx x g pedig a.) tetsz leges diszkr t val sz s gi v ltoz. Ekkor ( xi j A) egy (xi A) i az felt teles eloszl sa A-ra zve. (A) Legye A A teljes esem yredszer, fx x g pedig tetsz leges diszkr t val sz s gi v ltoz. Ekkor a egy ( xi j Aj) g j g eloszl sokat az -ek az ff g redszerre voatkoz felt teles eloszl s ak evezz k. faj j Legye fx x g s Y fy y g diszkr t val sz s gi v ltoz c.) )-. Ekkor a ff ( xi j Y yj) i g j g ( eloszl sokat az -ek az Y -ra voatkoz felt teles eloszl s ak evezz k. III.6.. De ci a.) E ( j Y yj) $ 8xi xi ( xi j Y yj) $ r (yj) az felt teles v rhat rt ke az Y yj felt tel mellett. Az -ek az Y -ra voatkoz regresszi j,vagy felt teles v rhat rt k az E ( j Y )-vel jel lt diszkr t val sz s gi v ltoz t rtj k, melyek azt K fr (yj) $ E ( j Y yj) j g eloszl sa pedig rt kk szlete (E ( j Y )r (yj)) (Y yj) j

59 (;)!! pk p k i p kj j p kr r k!(ki)!(kj)!kr pq ;ppr ;pp... h (x) % (x)(y; ) ; p ; (y; ) e y x p p e; (;% ) h x; + %(y; ) ;% i dx! p ; (y; ) e + %(y ; ) dy + % ( + ) ; % + % Teh t cov( Y )% kovariaciam t- % % II.3 Diszkr t val sz s gi v ltoz k 59 pk ;k+ k p q p k (k 3 ) p q a.) pk ( k)p k q ;k pk k)p k q ( ;k+ ;k+ III. FEJEZET Val sz s gi vektorv ltoz k poliomi lis eloszl st a III.. p ld ba adtuk meg. A r val sz s gi v ltoz k midegyik re igaz, hogy Az B( pi) azaz biomi lis eloszl s ak. Ez rt i (p p pr) T (p p pr) T p. E ki kell sz moluk a cov(i j) kovariaci kat. Akovariaciam trixhoz j) E(i 8k k+k++kr ()pipj ki kj ( k i ki j kj r kr) 8k k++kr ()pi pj, mert a szumma m g tt az ; p p pr param ter eloszl s val sz s gei llak, melyek sszege. poliomi lis cov(i j) E(i j);(ei)(ej) ()pipj ;pi pj gy ; pi pj, hai 6 j. Akovariaciam trix diago lis ba a biomi lis sz r s gyzetei, teh t cov(i i) i pi ( ; pi) kompoesek pi qi llak. Teh t pq ;pp ;ppr BB@ B. ;ppr prqr ;ppr.. CCA C III.5.. lda (A kompoesek korrel ci ja k tdimezi s orm lis esetbe.) s Y egy ttes s r s gf ggv ye Ha (x y) f Y x y R, akkor E (Y ) R R y p exp ; (;% ) ;% R ( Y ) A s r s gf ggv y a R R R xy f Y (x y) dxdy + (y; ) rix s a ( ) T v rhat rt k-vektor seg ts g vel m trixos fel r sba is i dy II.3.. bra A biomi lis eloszl s p 5 param terekkel II.3.3. T tel A biomi lis eloszl s pk elemeire teljes l, hogy Ha [( +) p], ahol [x] az eg szr szt jel li, akkor p pk (k ). a.) k A feti azooss gb l ad dik, hogy pk pk () ;k+ k +)p k illetve pk pk () ;k+ k ( p. q p () ;p p () ;p +)p k. Ie m r l that, hogy ha az idexre [( +)p], ( a hozz tartoz eloszl s rt k agyobb a t bbi l. Az is megmu- akkor hogy ha (+)p maga is eg sz sz m, akkor az (+)p tathat, tartoz val sz s gek egyel ek, s a t bbi l agyobbak idexekhez leszek. lda oisso-eloszl s val sz s gi v ltoz II.3.3. egy val sz s gi v ltoz rt kk szlete a term szetes sz mok halmaza Ha N f g eloszl sa pedig pk ( k) k k! e; k E ahol > akkor -et param ter oisso-eloszl s val sz - s gi v ltoz ak evezz k. Jel l s o()

60 k e; e ; k! ; k p k q ;k k k! e; azaz a oisso-eloszl s a biomi- b( p)! e; Folytatva az elj r st, a t tel ll t s t miatt III.5 Akovariacia s a korrel ci s egy tthat 9 Legye ~ ;E s ~ Y Y ;EY Y ak t stadardiz lt val sz s gi v ltoz. cov( ~ ~ Y )E ; ;E Y ;EY 6 II. FEJEZET Aval sz s gi v ltoz k II.3.. bra Aoisso-eloszl s param terrel param terekkel Afeti val sz s gek val ba eloszl st alkotak, mert pk k T tel lim! II.3.4. p! p k k k! e ; e eloszl s hat resete, amikor a k s rletek sz ma () mide hat ro t l lis az A esem y p val sz s ge pedig -hoz tart, mik zbe az p szorzat, llad. Jel lje b(k p) ; k ;k k p q. A II.3.3 t telbe l ttuk, b(k p) most ;k+ b(k p) hogy k p p+(;k)p k(;p)! k q hisze p ( ; k)p!, k( ; p)! k a felt telek miatt. M sr szt b( p) ( ; p) ; )! e ; is. gy b( p) b( p)! miatt b( p)! e; Hasol a ( b( p) b( p)! kapjuk. A oisso-eloszl s j l alkalmazhat olya -szeres k s rletsorozat Megjegyz s modellez s hez, ahol a k s rletek sz ma agyo agy, viszot a meg- esem y val sz s ge -hoz k zeli. gyelt ld ul egy adott t rfogatba id egys g alatt elboml atomi r szecsk k sz ma a mikroszk p l t ter be beker lt egysejt ek sz ma T tel Ha az s Y val sz s gi v ltoz k sz r s gyzetei l tezek, III.5.6. akkor R( Y ). Y cov( Y ) Y R( Y ). III.5.3 t telt felhasz lva A ( ~ ~ Y ) ~ + ~Y cov( ~ ~ Y )+ R( Y ) () R( Y ) K vetkezm y jcov( Y )j Y. T tel Ha az s Y val sz s gi v ltoz k sz r s gyzetei l tezek, III.5.7. gy R( Y ) () 9 a b R ( a Y + b) ~ ;E Legye s ~ Y Y ;EY Y a stadardiz lt val sz s gi v ltoz. a b R ( a Y + b), ( ~ ~ Y ), 9 ( ~ ~ Y )( R( Y )), Y ) r ad sul R( Y )sg(a) R( A levezet sbe felhasz ltuk a II.7. s III.5.6 t tel eredm yeit. De ci Az ( p) T val sz s gi vektorv ltoz III.5.4. v rhat rt k vektor a kompoes val sz s gi v ltoz k v rhat rt keib l ll vektort rtj k E (E E Ep) T De ci Az ( p) T val sz s gi vektorv ltoz III.5.5. kovariaciam trix a (cov(i j)) p j p pp-s m trixot rtj k. T tel szimmetrikus s pozit v szemideit, azaz T s III.5.8. a R p -re a T a. 8 Legye a R p tetsz leges! T a E(a T (; E) ( ; E) T a) EY, ahol a Y a T (; E) p ai(i; Ei). III.5.. lda (A poliomi lis eloszl s v rhat rt k-vektora s kovariaciam trixa

61 ;( 8i xi( xi)) ( 8j II.3 Diszkr t val sz s gi v ltoz k 6 k p ;q p p q 8 III. FEJEZET Val sz s gi vektorv ltoz k De ci Az s Y val sz s gi v ltoz k korrel latlaok, ha III.5.3. Y )cov( Y )E( Y ) ; (E) (EY ) R( Megjegyz s A korrel latlas g a f ggetles g sz ks ges, de em felt tle l el gs ges a.) felt tele. Diszkr t a kovariacia sz m t sa esetbe ) cov( Y 8i 8j xiyj( xi Y yj); yj(y yj)) Folytoos esetbe a kovariacia sz m t sa cov( Y ) R + R + xyf Y (x y)dxdy; R + x f(x)dx + R y fy (y)dy T tel Ha az s Y val sz s gi v ltoz k sz r s gyzetei l tezek, III.5.3. gy ( Y ) + Y cov( Y ) ( Y )E [( Y ) ] ; [E( Y )] E [ Y + Y ] ; [(E) (E)(EY )+(EY ) ] E EY + EY ; (E) (E)(EY ) ; (EY ) + Y cov( Y ). III.5.4. T tel ( p i) p i + i<j cov(i j) p -re ppe a III.5.3 t telt kapjuk. Tegy k fel, hogy az igaz valamely p -re! Ekkor ll t s ( p+ p+ i) ( i + p i) + p+ +cov( i<j%i j p p cov(i j) + i p+) p cov(i p+) ) ll t s. T tel Tetsz leges a b R eset cov(a + by Z) III.5.5. ( Z) +bcov (Y Z) acov E ((a + by )Z) ae(z)+be(yz) s (a + by )EZ ae EZ +bey EZ miatt, a III.5.. t telre hivatkozva E bizoy thatjuk az ll t st. id egys g alatt a telefok zpotba be rkez h v sok sz ma id egys g alatt bek vetkez r di akt v boml sok sz ma egy s tem yszeletbe tal lhat mazsol k sz ma egy k yvoldalo tal lhat sajt hib k sz ma stb. eml tett esetekbe biomi lis eloszl s alkalmaz sa k r lm yes lee, Az a biomi lis egy tthat k sz mol sa a agy miatt t lcsordul shoz, mert illetve sz mol si potatlas gokhoz vezethet. lda Geometriai eloszl s val sz s gi v ltoz II.3.4. K egy v letle k s rlet, s ( ) a hozz tartoz Kolmogorov-f le Legye mez, A egy pozit v val sz s g esem y p (A) >. val sz s gi K k s rlethez tartoz k s rletsorozatot addig hajtsuk v gre, am g az A A beemk vetkezik. Az val sz s gi v ltoz t rtelmezz k gy, esem y aza esem y bek vetkez s hez sz ks ges ism tl sek sz m t. -et p mit geometriai eloszl s val sz s gi v ltoz ak evezz k. Jel l s param ter G(p) II.3.3. bra A geometriai eloszl s p 6 param terrel lehets ges rt kei 34 azaz a pozit v eg sz sz mok. eloszl sa pk ( k) (; p) k p q k p, hisze f! (!) kg A A A {z } (k)-szer A, s a f ggetle v grehajt s miatt az esem y val sz - q q q p q k p A geometriai sor sszegz k plet t felhasz lv s ge l thatjuk be, hogy ezek a val sz s gek val ba eloszl st alkotak k pk k k p q p k

62 qm+k p qm+k p m p q qm+k p q m q k p ( k) q III.5 Akovariacia s a korrel ci s egy tthat 7 p ;y ;p y + f Y ; ; p y y ( ) s r s gf ggv y 6 II. FEJEZET Aval sz s gi v ltoz A geometriai eloszl s r kifj tulajdos g t a k vetkez k pp Megjegyz s iterpret li att l, hogy egy esem y az ism telt v grehajt s sor r - lehet ge fordult el, m g em fog a bek vetkez si val sz s g meg i! T tel (A geometriai eloszl s r kifj tulajdos ga) II.3.5. m + k j >m)( k) 8m k-ra, azaz aak felt teles val - ( hogy a k vetkez k v grehajt s v g bek vetkezik az A esem y, sz s ge, az el z m meggyel s alatt em k vetkezett be ugyaayi, ameyibe aak val sz s ge, hogy ppe a k-adik v grehajt s ut k vetkezik mit az A esem y. be ( m + k j >m) (m+k >m) (>m) (m+k) (>m) II.4. Folytoos val sz s gi v ltoz k m+ q p De ci Legye az ( )- rtelmezett val sz s gi v ltoz, II.4.. melyek rt kk szlete kotimuum sz moss g. Jel lje F az eloszl s- -et folytoos val sz s gi v ltoz ak evezz k, ha F abszol f ggv yt. folytoos, azaz l tezik olya Riema itegr lhat f R! R f ggv y, melyre fe ll az F(x) xr f(t) dt (x R) sszef gg s. f f ggv yt az val sz s gi v ltoz (vagy az F eloszl sf ggv y) Az evezz k. Ha F abszol t folytoos, akkor folytoos is s r s gf ggv y ek majdem mide tt diereci lhat, azaz pl. v ges sok helye lehet csak s df(x) t r spotja. Megjegyz s dx f(x) ha x folytooss gi potja f-ek. A diszkr t val sz s gi v ltoz k em folytoosak, m r csak az rt sem, a.) eloszl sf ggv y k em folytoos. mert L tezek olya val sz s gi v ltoz k, melyek se em diszkr tek, se em Ezek az ltal os val sz s gi v ltoz k, melyekkel a tov b- folytoosak. biakba mi em foglalkozuk a gyakorlatba ritk fordulak el. l. III.5.. T tel cov( Y )E( Y ) ; (E) (EY ) cov( Y )E(( ; E) (Y ; EY )) E( Y ; EY ; Y E +(E) (EY )) E( Y ) ; (E) (EY ) ; (EY ) (E) +(E) (EY ) E( Y ) ; (E) (EY ) T tel Ha s Y f ggetleek, akkor cov( Y ) s III.5.. Y ) A t tel megford t sa ltal ba em igaz. R( A t tel a III.4.7 s a III.5. t telek egyszer k vetkezm ye. megford t sra k t ellep lda A s Y diszkr t val sz s gi v ltoz, rt kk szletekkel. Legye eloszl sukat az al bbi t bl zatba l thatjuk Egy ttes Y + Y perem perem EY 4 () E Y )() () + E( Y )E( Y ) ; (E) (EY ) s Y em f ggetleek, mert cov( ( Y ) 4 6 ( ) (Y ) 4 pl. esetre ellep lda Folytoos U( ), azaza( ) itervallumo egyeletes eloszl s val sz s gi v ltoz. Y si s Z cos. Hat rozzuk meg cov(y Z)-t! EY R si x dx ;cos EZ (si cos ) 5E(si ) 4 E(YZ)E R cos x dx R si si x dx 4 ;cos 8 cov(y Z) de em f ggetleek, hisze (Y + Z ) Ha Y s gy f ggetleek le ek, akkor az Y + Z val sz s gi v ltoz s r s gf gg- Z az f Y (y) p y v y t ; f Y val kovolv l s val lehete kisz m tai, ahol fy (y) fz (y) mag val ( ) ak t kompoes azoos s r s gf ggv ye. Ekkor viszot y (Y + Z )-ak kellee fe llia! (Ld. a II.. k vetkezm yt!)

63 8xi xiyj( xi Y yj) 8xi 8yj R( Y )cov( ~ ~ Y ) cov( Y ) Y. Jel l s II.4 Folytoos val sz s gi v ltoz k 63 8 < + R f(x) $ ha 6 9 df (x) dx 8 < 6 III. FEJEZET Val sz s gi vektorv ltoz k l tezz k a v rhat rt k k. Ekkor a Z Y val sz s gi v ltoz ak is s a v rhat rt ke, s EZ E EY. l tezik Alkalmazzuk a III.4.5 t telt g(x y) x y -ra! diszkr t a.) eset EZ 8i 8j xi( xi) folytoos eset EZ R + R + R + xf(x)dx xyf Y (x y)dydx + R yj(y yj) R + R + 8yj! xiyj( xi)(y yj) E EY yfy (y)dy E EY xyf(x)fy (y)dydx T tel Legyeek az s Y val sz s gi v ltoz k f ggetleek, III.4.8. l tezz k a sz r s gyzet k. Ekkor ( Y ) + Y s ( Y )E( Y ) ; [E( Y )] E [ Y + Y ] ; [(E) E EY +(EY ) ] E E( Y )+EY ; (E) E EY ; (EY ) E ; (E) + EY ; (EY ) + Y a III.4.7 t tel ll t s t, miszerit f ggetles g eset Felhasz ltuk Y )(E) (EY ). E( III.5. Akovariacia s a korrel ci s egy tthat De ci Legyeek s Y val sz s gi v ltoz k az ( ) III.5.. val sz s gi mez. Tegy k fel, hogy l tezik a sz r s gy- Kolmogorov-f le Ekkor az s Y kovariaci j a Z ( ; E) (Y ; EY ) zet k. v ltoz v rhat rt k t rtj k. val sz s gi Jel l s cov( Y )E [( ; E) (Y ; EY )]. Megjegyz s cov( ) De ci Az s Y val sz s gi v ltoz k korrel ci s egy tthat j III.5.. stadardiz ltjaik kovariaci j t rtj k. az ltal os val sz s gi v ltoz, melyek eloszl sf ggv ye az ha x F(x) p xr ;t dt ha x> e T tel (A s r s gf ggv y tulajdos gai) II.4.. az ( )- rtelmezett folytoos val sz s gi v ltoz. Akkor Legye az f R! R s r s gf ggv yre teljes l, hogy a.) f(x) f(t) dt Mivel F mooto em cs kke, s df (x) dx a.) f-ek, k vetkezik az ll t s. potja lim F (x) lim x!+ x!+ Megjegyz s xr f(t) dt R + f(x) ha x folytooss gi f(t) dt A s r s gf ggv y a folytoos val sz s gi v ltoz k l ugyaazt a szerepet a.) t lti be, mit diszkr t val sz s gi v ltoz k l az eloszl s. Ugyais tetsz leges a R s x> -ra (a <a+x) F(a+x);F(a) R a+x a f(t) dt f(a ) x ahol a a <a+x. x kicsi, akkor f(a) f(a ) gy (a <a+ x) f(a) x Ha az val sz s gi v ltoz az a k ryezet be az f(a) rt kkel Teh t val sz s ggel tart zkodik. (Az f(a) rt k lehet - l agyobb ar yos is!) lda (Az egyeletes eloszl s val sz s gi v ltoz ) II.4.. az [a b] itervallumo egyeletes eloszl s, ha eloszl sf ggv ye Az F(x) x a x;a a<x b;a x>b b Jel l s U([a b]) Ekkor a s r s gf ggv y f(x) b;a (a b) x (a b) x

64 ;x e x> ; x III.4 Val sz s gi vektorv ltoz k traszform ci i 5 u ( p) g ( p) Y u ( p) p up ( p) p gy f Y p (y x xp) lesz, ha y g (x x xp ( p (g (y x xp) x xp) f (g (y x xp) x xp) f p dx p dx f p (g (y x xp) x xp) dx p dx dx p dxdy g (x x xp) f p (x x xp) dxp dx E + + Ep Az el z t tel k vetkezm ye, amikor g(x x xp) + x + + xp x 64 II. FEJEZET Aval sz s gi v ltoz II.4.. bra Az [ 3] itervallumo egyeletes eloszl s eloszl sf ggv ye II.4.. bra Az [ 3] itervallumo egyeletes eloszl s s r s gf ggv ye Az U([a b]) val sz s gi v ltoz ra jellemz, hogy Megjegyz s hossz s g szakaszo azoos val sz s ggel veszi fel rt keit. b rmely ha c c + [a b], akkor Teh t, (c <c+)f (c +); F (c) c+;a b;a ; c;a b;a. egyr szt em f gg a r szitervallum c kezd potj t l, m s- Aval sz s g ppe a r szitervallum s a teljes itervallum hosszaiak ar y val r szt egyel. lda (Az expoeci lis eloszl s val sz s gi v ltoz ) II.4.. val sz s gi v ltoz > param ter expoeci lis eloszl s, ha Az eloszl sf ggv ye F(x) b EY yw yw (Y y) y yw xv g(x)y y g (x) ( x) xv g(x)y xv ( x) g (x) ( x) eset Folytoos III.4.. t telt alkalmazzuk, arra az u R p ;! R p traszform ci ra, ahol A... iverztraszform ci Jacobi determi s ak abszol t rt ke most (y (y x amib l a III.3.. t telt felhasz lva itegr l ssal kapjuk fy (y) gy EY R R y R R R R R yfy (y) dy R egy bk (y (y x (g (y x xp) x (y x yf p azy g (x x xp) v ltoz traszform ci t az itegr lba, v grehajtva igazoltuk az ll t st m ris y g (x x xp) R R T tel Az Y + ++p val sz s gi v ltoz v rhat III.4.6. l tezik, ameyibe a i tagok v rhat rt ke l tezik, s EY E + rt ke III.4.7. T tel Legyeek az s Y val sz s gi v ltoz k f ggetleek,

65 k; e; e; (k;)! + k; + ;(+) k e (i) x (i) x (i) o (i p) egy ttes eloszl - x pedig fri i ip ( x () i x () i p x (p) ip )g sukat ; xi xi xip ( x () i x () i p g (p) ip ) x + R g(x x xp)f p (x x xp)dxp dxdx II.4 Folytoos val sz s gi v ltoz k 65 ;x x> e egy bk t 4 III. FEJEZET Val sz s gi vektorv ltoz k tulajdos g b l (ld. I.. axi m k, o tulajdos g) m r k vetkezik addit v ll t s. az lda Legyeek o() Y o() f ggetleek (ld. II.3.3. III.4.. Akkor p ld t!). ( + Y k) (+)k k! (+)k k! (+)k k! e ;(+) k k ( )(Y k ; ) k!!(k;)! e ;(+) k azaz + Y o( + ) III.4.5. T tel a.) Az p diszkr t val sz s gi v ltoz k rt kk szleteit jel lje redre R (i) g R p! R tetsz leges p-v ltoz s val s f ggv y. Ekkor az Legye g( p) val sz s gi v ltoz, s l tezik a v rhat rt ke Y EY 8(i i ip) Az p folytoos val sz s gi v ltoz k egy ttes s r s gf ggv y t jel lje f p (x x xp) Legye g R p! R tetsz leges val s f ggv y. Ekkor az Y g( p) val sz s gi p-v ltoz s s l tezik a v rhat rt ke v ltoz, EY R + R + eset Diszkr t a diszkr t ( p) T vektor rt k val sz s gi v ltoz Legye a V megsz ml lhat vektorhalmaz, az Y g () diszkr t va- rt kk szlete v ltoz pedig W fy y g (x) x V g l sz s gi de ci szerit Ekkor k! Jel l s E() A s r s gf ggv y F (x) f (x) Expoeci lis eloszl ssal a gyakorlatba beredez sek lettartam t Megjegyz s szok s modellezi. De expoeci lis eloszl s ak tekithet t meg- modellekbe a kiszolg l si id s az j ig yek redszerbe val kiszolg l si ideje is, vagy a r dioakt v atomok elboml si ideje is. be rkez si bra A 5 param ter expoeci lis eloszl sok II.4.3. eloszl sf ggv yei bra A 5 param ter expoeci lis eloszl sok II.4.4. s r s gf ggv yei

66 ;e;(x+t) +e ;x +e ;x t s-re ; G( s ) s azaz G( )(G(s)) G(s) M sr szt eloszl sf ggv ye (x) p xr ha F(x) III.4 Val sz s gi vektorv ltoz k traszform ci i 3 8>< > f Y (x + t t) dt. 66 II. FEJEZET Aval sz s gi v ltoz T tel (Az expoeci lis eloszl s r kifj tulajdos ga) II.4.. folytoos eloszl s val sz s gi v ltoz ( <x)f (x) elos- Legye Akkor ( <x+t j x) ( <t) 8 <x t-re () zl sf ggv yel. > F (x) ; e ;x x> vagyis E () 9 az rt r kifj, mert aak felt teles val sz s ge, hogy Megjegyz s legfeljebb x + t-ig l, ha m r x-et meg lt egyel aak val sz s g vel, legfeljebb t ideig l, azaz a t l l si kod ci k az id m l s val em hogy hisze s t k z tt ugyaaz a t l l si es ly mit x s x + t cs kkeek, A t tel azt ll tja, hogy az expoeci lis eloszl s az egyetle r kifj a k z tt. folytoos eloszl sok k z tt. ( <x ttetsz legesek, ekkor Legyeek <x+ t j x) (x<x+t) (x) ( e ;t ( <t) ; ) F (x+t);f (x) (x) ;F G(x) ; F (x) ( x) Ekkor 8 <x t-ra Legye <x+ t j x) ( <t) G(x);G(x+t) ( G(x) ; G(t) G(x + t) G(x)G(t) azaz G(t) (G(t)) G(3t) G(t)G(t) (G(t)) 3 G(t) (G(t)) Teh t G m ; ; s m m s (G (s)) azaz s -gyel G( m m ) (G()) gy ; G racio lis sz mra fe ll G(r) (G()) r Mivel Q <r tetsz leges Teh t is s az expoeci lis f ggv yek folytoosak, gy 8x > val s sz mra is G kell llia G(x) (G()) x -ek. De G(); F () < miatt 9 > fe G() e ; legye. Behelyettes t s ut G(x) e ;x 8x > azaz hogy (x) ; e ;x E () F lda (A orm lis eloszl s val sz s gi v ltoz ) II.4.3. val sz s gi v ltoz R s > param ter orm lis eloszl s, Az Jel l s N( ) ; (t;) dt x R e s r s gf ggv ye f(x) ' (x) p Az e ; (x;) x R. Ha ), stadard orm lis eloszl sr l besz l k. Ilyekor N( akkor p ' (x) e ; x s (x) (x) x p R '(x) e ; t dt lda Legyeek Y U ( ) f ggetleek, Z + Y! Sz moljuk III.4.. ki Z s r s gf ggv y t! Z ( ) lehet csak. Legye z ( ) tetsz leges. A kovol ci s k pletb l fz(z) R f(z;x)fy (x) dx R mif zg maxf zg dx z R R z dx z ha z ( ) dx z ha z ( ) ha z ( ) III.4.3. T tel (K t folytoos val sz s gi v ltoz k l bs g ek eloszl sa) s Y val sz s gi v ltoz az ( ) Kolmogorov-f le val sz s gi Legye mez. Jel lje f Y (x y) az egy ttes s r s gf ggv y ket. Ekkor a Z ; Y val sz s gi v ltoz s r s gf ggv ye fz(x) R + f Y (t x + t) dt R + Ha s Y f ggetleek is, akkor fz(x) R + f(t) fy (x + t) dt R + f(x + t) fy (t)dt A III.4. t telhez hasol a, az y u(x x) x ; x m dos t ssal. T tel (Diszkr t val sz s gi v ltoz k sszeg ek eloszl sa) III.4.4. s Y diszkr t emegat v eg sz rt k val sz s gi v ltoz k, akkor Ha Z + Y szit diszkr t emegat v eg sz rt k val sz s gi v ltoz, melyek eloszl sa (Z k) k k ( k ; Y ) k. ( Y k ; ) Ha m g az is igaz, hogy s Y f ggetleek, akkor (Z k) k k ( )(Y k ; ) f! Z(!) kg k k ( k ; )(Y ) f! (!) Y (!) k ; g, s a kompoesesem yek egym st p rok t kiz rj k. gy a val sz s g -

67 f Y (x ; t t) dt. y u(x x) x (y y) x gy det(j(y y)) f Y (t y ; t) dt k pletet. Ha s Y f ggetleek, akkor a f Y (x y) dydx Midk t f Y (x y) dydx f Y (x z ; x) dx II.4 Folytoos val sz s gi v ltoz k 67 III. FEJEZET Val sz s gi vektorv ltoz k Z + Y val sz s gi v ltoz s r s gf ggv ye fz(x) R + f Y (t x ; t) dt R + Ha s Y f ggetleek is, akkor fz(x) R + f(t) fy (x ; t) dt R + f(x ; t) fy (t)dt Ez ut bbi esetbe fz az f s fy s r s gf ggv yek kovol ci ja. Alkalmazzuk a III.4. t telt az u(x x) x + x y szereposzt ssal. Ilyekor J(y y) y ; y u (y y) x ) u y Z + Y s Y egy ttes s r s gf ggv ye A (y y) f Y (y ; y y) fz Y Ie Z s r s gf ggv y t a III.3. t telt felhasz lva sz molhatjuk fz(y) R + fz Y (y y)dy R + f Y (y ; y y)dy Az ut bbi itegr lba az y ; y t v ltoz traszform ci val kapjuk az fz(y) R + III.3. t telb l kapjuk, hogy f Y (x y) f(x) fy (y) gy fz(x) R + Megjegyz s f(t) fy (x ; t)dt R + f(x ; t) fy (t)dt. a.) Az el z t tel egy m sik bizoy t sa az al bbi FZ(z) (Z <z) ( + Y < z) R R z;x z szerit deriv lva kapjuk meg a s r s gf ggv yt oldalt (z) d fz R dz R R z;x R d dz R z;x f Y (x y)dy dx Mivel f ggetle esetbe az sszeg s r s gf ggv y re a k t kompoes kovol ci j t kaptuk, f ggetle val sz s gi v l- s r s gf ggv yeiek eset az sszeg val sz s gi v ltoz t a kompoes v ltoz k kovol ci j atoz k is evezz k. bra Az N ( 5) N ( ) s N ( )orm lis eloszl sok II.4.5. eloszl sf ggv yei bra Az N ( 5) N ( ) s N ( )orm lis eloszl sok II.4.6. s r s gf ggv yei II.4.3. T tel (A ' Gauss-f ggv y tulajdos gai) a.) '(;x) '(x), vagyis ' p ros f ggv y. lim x!+ lim '(x) x! '(x) p c.) '() '(x) > 8x R d.) ' iexi s helyei a + s, azaz' () ' (+)

68 Az a.) s ll t sok yilv val ak. s d.) ' (x) ;x p c.) e ; x ;x'(x), x ; + R t dt e r i (x) + p c.) (x ; x3!3 + + ()k x k+ '(x) p c.) e ; x p III.4 Val sz s gi vektorv ltoz k traszform ci i (y)) det(j(y)) y H f (u H, @u f(x) dx R D 68 II. FEJEZET Aval sz s gi v ltoz e.) R + '(x)dx. (x) ;'(x) ; x' (x) '(x)(x ; ), x ' + iexi s potok. ) ' () ;'() < ) ahelye maximum va. e.) R + e ; t dt R + ; u du e a t r cos u r si pol rkoordi t kra t + u r J(r )det R + R + ; (t +u ) dtdu e k vetkezik az ll t s. R R ;r si cos r cos si r e ; r ddr R + h ; r ;e R + II.4.4. T tel (A eloszl sf ggv y tulajdos gai) ; (t +u ) dtdu tt rve e, ahoa m r a.) (x) ; (;x) 8x>, azaz grakoja szimmetrikus a ( )-ra, szigor a mooto veked, lim d.) x! lim (x) x! a.) (;x) ; (x) R ;x (x) R '(t) ; dt ;x k! k (k+) x R '(t) ; dt + ) 8x > Igaz, mert (x) '(x) > (II.4.3 t tel c.) r sze). k k xk k k! () x R '(;t) ; dt d.) Nyilv val k vetkezm ye a II.4.3 t tel e.) r sz ek. '(t) dt s ahoa m r k vetkezik az ll t s. R + R + R + f p (t t tp) dtp dt dt A III.. t tel a.) s c.) potj b l, valamit az egy ttes III.3. de ci j b l k zvetle l k vetkezik. s r s gf ggv y Val sz s gi vektorv ltoz k traszform ci i III.4. A II.5. traszform ci s t tel t bbdimezi s ltal os t sa az al bbi T tel Jel lje az ( p) T val sz s gi vektorv ltoz III.4.. s r s gf ggv y t f(x), amely elt ik a D R p tartom yo k v l. u D! H( R p ) bijekt v (k lcs se egy-egy rtelm ) traszform ci. Legye Ekkor az Y u() val sz s gi vektorv ltoz s r s gf ggv y t az al bbi m do sz m thatjuk fy (y) ahol J(y) BBBB CCCC C A alek pez s Jacobi-m trixa. Legye D egy tetsz leges p-dimezi s Borel-halmaz, (D) B pedig az sk pe, vagyis az a p-dimezi s Borel-halmaz, melyet u D-re k pez. Ekkor yilv (Y D) ( u (D)) ( B). u s r s gf ggv yek seg ts g vel (Y D) R A fy (y) dy, m sr szt D u (D)) R ( (D) u f(u (y)) det(j(y) dy. Ak t itegr l sszehasol t s b l m r k vetkezik az ll t s. III.4.. T tel (K t folytoos val sz s gi v ltoz sszeg ek eloszl sa) s Y val sz s gi v ltoz az ( ) Kolmogorov-f le val sz s gi Legye mez. Jel lje f Y (x y) az egy ttes s r s gf ggv y ket. Ekkor a

69 fi i i k (xi xi xik ) ky fi j (xij ), 8x i xi xik R. f Y (x y)dx II.5 Val sz s gi v ltoz k traszform ci i 69 pk lesz. 8xkt(xk)yj p ;k ( ; p) ;(;k) ; k ;k ; p) p ( k 8 < ; k e; ha k k! i e; ha k i! fy (y) f(t (y)) III. FEJEZET Val sz s gi vektorv ltoz k bra Ak tdimezi s orm lis eloszl s s r s gf ggv ye. A III.3. tegelyt tartalmaz s kmetszetei haragg rb k, a szimmetria szimmetriategelyre mer leges s kmetszetek pedig ellipszisek. T tel Legyeek p folytoos val sz s gi v ltoz k III.3.. ( ) Kolmogorov-f le val sz s gi mez. az p p rok t f ggetleek () 8 i<j -re a.) (x y) f i (x) f j (y) teljes l 8 x y R -re. fi j p teljese f ggetleek () 8 k p s i <i < <ik p idexkombi ci ra 8 j Az III..5 de ci b l egyszer e deriv l ssal k vetkezik az ll t s. p esetbe az el z t telek speci lis alakjai Megjegyz s F Y f Y (x y), f(x) R + f Y (x y)dy, fy (y) ha s Y f ggetleek f Y (x y) f(x)fy (y) (8 x y R) III.3.3. T tel (Az egy ttes s r s gf ggv y tulajdos gai) a.) f p (x x xp) R + II.5. Val sz s gi v ltoz k traszform ci i T tel Legye diszkr t val sz s gi v ltoz II.5.. fxk k g rt kk szlettel s pk ( xk) eloszl s- A Legye t A! B tetsz leges f ggv y, B fyj j g sal. az Y t() diszkr t val sz s gi v ltoz rt kk szlete B, eloszl sa Akkor (Y yj) 8xkt(xk)yj Mivel f! (!) xkg v esem yek k l b z k idexek az kiz rj k, s f! Y (!) yjg egym st eset val sz s g -additivit s b l m r k vetkezik az ll t s. lda Ha B ( p) s t(x) ; x, akkor II.5.. t() B ( ; p), hisze (Y k) ( ; k) Y ; ;k II.5.. lda Ha o() s t(x) Y t() rt kk szlete B f g s eloszl sa (Y k) i ha x x ha x> f! (!) xkg, a,akkor az T tel Ha olya folytoos val sz s gi v ltoz, hogy II.5.. ( A) valamely A R halmazra, s t A! B szigor a mooto f ggv y, akkor az Y t() is folytoos val sz s gi v ltoz lesz, s FY (y) (y)) ha t sz.m. " F(t ; F(t (y)) ha t sz.m. # illetve dt (y) dy Mivel t szigor a mooto, ez rt ivert lhat is. Ha t veked (cs kke ), akkor az iverze is veked (cs kke ). Ha t szigor a veked, az f! t((!)) <yg s az f! (!) <t (y)g v esem yek mooto ekvivalesek, a t lek pez s ivert lhat s ga miatt. FY (y) (Y < y) (t() <y) ( <t (y)) F(t (y)) gy t szigor a mooto cs kke, akkor az f! t((!)) <yg s az Ha f! (!) >t (y)g v esem yek ekvivalesek, s FY (y) (Y < y)

70 a s r s gf ggv yt fy (x) '( p x) p x p kapjuk e ; x ha x> x, gy III.3 Folytoos val sz s gi v ltoz k egy ttes eloszl sa 99 R x R x f p (t t tp)dtpdtp F p (x x azaz f p (x x xp),hax (x x xp) T f p (t t tp)dtjdtj dtjp;k h (x) % (x)(y; ) ; (x p ; ) (y; e f Y y) p p e; (;% ) h x; + %(y;) ;% i ; (y; ) e p p p e; (;% ) h ;% + %(y;) i dx m g tt az N + %(y ; ) p ; % eloszl s s r s g- itegr l Az 7 II. FEJEZET Aval sz s gi v ltoz (t() <y) ( >t (y)) ; F(t (y)) Deriv l s ut ad dik a a k plet. s r s gf ggv yekre lda Ha az stadard orm lis eloszl s val sz s gi v ltoz, II.5.3. mi a s r s gf ggv ye azy val sz s gi v ltoz ak? x> (Y < x)( <x)(jj < p x) Ha (; p x<< p x)( p x) ; (; p x)( p x) ; ) deriv l s ut lda Ha az param ter orm lis eloszl s val sz s gi II.5.4. mi a s r s gf ggv ye azy e val sz s gi v ltoz ak? (Y az v ltoz, logorm lis eloszl s val sz s gi v ltoz )... <x) ; e <x ( <l x) F(l x) ; l x; (Y (x) p e x fy (l x;) ; II.5. t tel speci lis esete az al bbi, mely v letlesz m geer l sok l A haszos. T tel Ha U a [ ] itervallumo egyeletes eloszl s s F (y) II.5.3. szigor a mooto vekv eloszl sf ggv y azo az itervallumo, ahol egy <F(y) <, akkor az Y F (U) val sz s gi v ltoz eloszl sf ggv ye F (y) lesz. ppe is megjegyezz k, hogy egy szigor a mooto vekv f ggv yek El sz r az iverze. (Y < y)(f (U) <y)(f (F (U)) <F(y)) l tezik <F(y)) F (y) mert F (y) [ ] (U A II.5.3 t tel lehet s get ad arra, hogy a sz m t g pek egyeletes Megjegyz s eloszl s v letle sz mokat geer l rutija seg ts g vel tetsz leges i- F (y) eloszl sf ggv yhez tartoz v letle sz mokat el ll tsuk s vert lhat szimul ci s programokhoz felhasz ljuk. azokat Ak vetkez t tel az el z megford t sa T tel Ha eloszl sf ggv ye F (y) egy szigor a mooto vekv II.5.4. eloszl sf ggv y azoazitervallumo, ahol <F(y) <,akkor az U F () val sz s gi v ltoz egyeletes eloszl s lesz [ ]-e. r lhat f ggv yt rtj k, melyre F p (x x xp) R xp folytooss gi potja f p (x x xp)-ek. De ci Az f p (x x xp) egy ttes s r s gf ggv yegyk-dimezi s III.3.. vet leti s r s gf ggv y ( k p) valamely <i < <ik p idexkombi ci ra az i i ik val sz s gi i egy ttes s r s gf ggv y t rtj k. v ltoz k III.3.. T tel fi i i k (xi xi xik ) R R R azaz az egy ttes s - az sszes t bbi a kiv lasztott idex kombi ci ba em r s gf ggv yt idexhez tartoz v ltoz ra kell kiitegr li a teljes sz megyee- szerepl hogy el ll tsuk a k-dimezi s vet leti s r s gf ggv yt se, fi i ikg fj j jp;k A III..3 t tel egyszer k vetkezm ye. lda (A k tdimezi s orm lis eloszl s) III.3.. s Y egy ttes s r s gf ggv ye Ha f Y (x y) p exp ; (;% ) ;% + (y; ) y R alak, akkor a k t val sz s gi v ltoz egy ttes eloszl sa k tdimezi s x orm lis, ahol a peremeloszl sokra N( ) Y N( ) Ugyais megmutathat, hogy teljes l. gy pl. fy (y) ; (y; ) e p R f Y (x y) dx f ggv ye ll, gy az itegr l rt ke. R x; i

71 Ai Ekkor, pi Hajtsuk v gre egy -szeres k s rlet- i. Az val sz s gi v ltoz k egy ttes eloszl sa r k k r kr)! k!k!kr! pk p k p kr r. A feti val sz - ( II.5 Val sz s gi v ltoz k traszform ci i 7 (y) jaj f fy ; y;b F ; F ; y;b ; y;b a> ha, s r s gf ggv ye pedig a< ha (x) ( x; ), a.) '( x; ( x; ) p a.) ; t dt p xr e 98 III. FEJEZET Val sz s gi vektorv ltoz k Az p diszkr t val sz s gi v ltoz k teljese f ggetleek, ha k p-re s 8 j <j < <jk p eset 8 (j x j j x j jk x jk ) kq (j x j ) A bizoy t st em r szletezz k, csak ayit jegyz k meg, az i val sz s gi v ltoz k teljes f ggetles ge ekvivales a kapcso- hogy latos Ai f! i(!) xig v esem yek teljes f ggetles g vel. lda (oliomi lis eloszl s) III... ( ) Kolmogorov-f le val sz s gi mez, A A Ar egy Legye r esem yb l ll teljes esem yredszer, azaz AiAj ha < (Ai) pi, akkor r Vegye fel i azt az rt ket, ah yszor Ai bek vetkezett a k s rletsorozatbasorozatot. Az r val sz s gi v ltoz k egy ttes eloszl s t p p pr param ter poliomi lis eloszl sak evezz k. Az i val sz s gi v ltoz k rt kei a sz mok k z esek. Az r val sz s gi v ltoz k rt kei k z tt szoros sszef gg s va val ba eloszl st alkotak, hisze s gek 8ki k+k++kr! pk pk pkr r (p + p + + pr) k!k!kr! A biomi lis eloszl s speci lis poliomi lis eloszl s, amikor Megjegyz s. A teljes esem yredszer ilyekor A s az elletettje. Teh t a poli- r eloszl s a biomi lis eloszl s t bbdimezi s kiterjeszt se. A poliomi liomi lis eloszl s i kompoesei egyek t B( pi) eloszl s ak, azaz a poliomi lis eloszl s egydimezi s peremeloszl sai biomi lisak. Folytoos val sz s gi v ltoz k egy ttes III.3. eloszl sa De ci Az p folytoos val sz s gi v ltoz k III.3.. s r s gf ggv y azt az f p (x x xp) Riema-iteg- egy ttes r r is megjegyezz k, hogy egy szigor a mooto vekv f ggv yek El sz r az iverze. Legye y [ ] tetsz leges! l tezik <y)(f () <y)(f (F ()) <F (y)) (U ( <F (y)) F (F (y)) y, ez rt U U ([ ]) T tel (Lie ris traszform ci ) II.5.5. folytoos val sz s gi v ltoz, s t(x) ax + b a 6 akkor az Ha Y t() a + b lie ris traszform lt val sz s gi v ltoz eloszl sf ggv ye FY (y) a a a A II.5. t tel egyszer k vetkezm ye. t tel azt modja ki, hogy a orm lis eloszl scsal d a lie ris Ak vetkez zve z rt traszform ci ra II.5.6. T tel (A orm lis eloszl s traszform ci s tulajdos gai) ' (x) vagyis a stadard orm lis eloszl s s r s gf ggv y vel ) s eloszl sf ggv y vel tesz leges R s > param ter orm lis eloszl s s r s gf ggv y s eloszl sf ggv y el ll that. x; R u; t + u dt du t az a.) midk t oldal t deriv ljuk. ; (u;) du (x) e II.5.7. T tel (Folytoos val sz s gi v ltoz diszkretiz l sa) Legye folytoos val sz s gi v ltoz, s t(x) k yki (x [rk rk)),

72 R rk rk R rk rk ;x dx ; e ;x k k e j ; j ;j k j < p ( p) ; j j; p j ( ; p) ;j III. Diszkr t val sz s gi v ltoz k egy ttes eloszl sa 97 az ri i ip ( x () i x () i p x (p) ip ) val sz s gek Ekkor Nyilv val, hisze az Ai i ip! (!) x () i a.)! p(!) x (p) ip o esem y val sz s g r l va sz. o! (!) x () i o 7 II. FEJEZET Aval sz s gi v ltoz ahol rk szigor a veked sorozat, I (x [rk rk)) ha x 6 [r k rk) ha x [rk rk) Ekkor Y t() diszkr t val sz s gi v ltoz lesz f y y y y g rt kk szlettel s (Y yk) f(u)du eloszl ssal. (Y yk) (rk <rk) II.5.5. lda Legye E () t(x) [x]+ Ekkor Y t() G ; ; e ; Hisze (Y k) k R k f(u)du ; ; ; ; e k ; ; ; e Ha feladatuk valamely f y y y y g ; (Y yk) k eloszl s diszkr t val sz - pk rt kk szlet, s gi v ltoz sz m t g pes szimul l sa, akkor a II.5.7 t tel azo speci lis eset t kell alkalmazi, amikor U ( ) s rk II.5.6. lda (Biomi lis eloszl s v letle sz mok geer l sa sz m t g ppel) U ( ) v letle sz m. Legye Y k, ha Legye k Y B ( p) v letle sz m lesz. II.6. Av rhat rt k II.6.. De ci k j pj k L that, hogy Az diszkr t val sz s gi v ltoz ak akkor l tezz k v rhat rt ke, ha a.) a E jxij ( xi) sor koverges. Ekkor az v rhat rt k az xi( xi) sor sszeget rtj k. az p diszkr t val sz s gi v ltoz k egy ttes eloszl sa. sszess ge De ci Ha adott az p diszkr t val sz s gi v ltoz k III... r i i ip ( x () i x () i p x (p) ) 8i ko egy ttes eloszl sa, ip s j <j < <jk p, akkor az j j jk diszkr t v ltoz k egy ttes eloszl s t k-dimezi s vet leti- vagy peremeloszl sak val sz s gi evezz k. T tel A diszkr t val sz s gi v ltoz k egy ttes eloszl sa kiel g ti III... az al bbi tulajdos gokat a.) ri i ip 8i i ip ri i ip (j x j j x j jk x jk ) c.) 8ilfj j jkg ri i ip Mivel az Ai i ip esem yek teljes esem yredszert alkotak, igaz az ll t s. A folytooss gi t tel k vetkezm ye ez a tulajdos g, melyek r szletez s t l c.) eltekit k. Speci lisa, az ll t s p esetbe ( xi) j ( xi Y yj) III... T tel ( xi Y yj) s (Y yj) Az s Y diszkr t val sz s gi v ltoz k f ggetleek, ha 8 i j-re a.) xi Y yj) ( xi) (Y yj) (

73 Fi i i k (xi xi xik ) ky Fi j (xij ) 8x i xi xik R -re. o (i p). II.6 Av rhat rt k 73 (xk+ ; xk) jel li. K pezz k a x helye F (x) ugr sa p F (x +); F (x), akkor 96 III. FEJEZET Val sz s gi vektorv ltoz k vet leti eloszl sf ggv y, ami yilv em hat rozza meg az egy ttes ak t mely az " param tert is tartalmazza. eloszl sf ggv yt, De ci Legyeek p val sz s gi v ltoz k az III..5. ) Kolmogorov-f le val sz s gi mez. ( p p rok t f ggetleek, ha8 i<j -re a.) (x y) F i (x) F j (y) teljes l 8 x y R-re. Fi j p teljese f ggetleek, ha8 k p s i <i < <ik p idexkombi ci ra 8 j T tel Ha p teljese f ggetleek, akkor p rok t III..4. f ggetleek. A megford t s ltal ba em igaz. is A t tel els fele yilv val, hisze a teljes f ggetles g felt telredszere a p rok ti f ggetles g felt telredszer t is tartalmazza. Az ugyaazo a p ld alapulhat, mit amikor megmutattuk, hogy a ellep lda f ggetle esem yek redszere em felt tle l alkot teljese f g- p rok t getle esem yredszert. (l sd I.4.4 t telt). Diszkr t val sz s gi v ltoz k egy ttes III.. eloszl sa III... De ci Ha s Y diszkr t val sz s gi v ltoz k E fx x x g illetve a.) fy y y g rt kk szletekkel, akkor az D (f! (!) xig\f! Y (!) yjg) $ ( xi Y yj) rij j ) val sz s gek sszess g t a k t diszkr t val sz s gi (i v ltoz egy ttes eloszl s ak evezz k. Az diszkr t v ltoz k rt kk szleteit jel lje p (i) val sz s gi (i) x x (i) x (i) e redre Az folytoos val sz s gi v ltoz ak akkor l tezz k v rhat rt ke, ha az R + jxjf(x)dx improprius itegr l koverges. Ekkor az v rhat rt k az E Megjegyz s R + x f(x)dx sz mot rtj k. Egy val sz s gi v ltoz ak em felt tle l l tezik a v rhat rt ke. a.) l ti foguk ellep ld kat. K s bb Az.. Stieltjes-itegr l seg ts g vel a v rhat rt k mid a diszkr t, a folytoos esetbe azoos m do dei lhat. Legye F (x) egy mid slegye g(x) folytoos s korl tos R-e. Legye tov bb x k lim eloszl sf ggv y, f[xk xk+) k lim k! x k g k! a sz megyees egy v gtele feloszt sa, melyek a oms g t () sup <k< k g (x k )(F (x k+) ; F (xk)) ahol x k az [x k xk+) itervallum egy potja. A Riemaitegr l sszegeket, l tez s ek bizoy t sa szite sz szerit tvihet erre az esetre s gy kimutathat, hogy ha a ( ) itervallum feloszt s t mide is, hat ro t l s r tj k, azaz, ha ()!, akkor az itegr lk zel t R hat r rt khez, amelyet sszegek egy koverg lak g(x)df (x)-szel je- s a g(x) f ggv yek az F (x) s lyf ggv yre voatkoz Stieltjesitegr lj al l k, evezz k. A Stieltjes-itegr l de ci j b l k vetkezik, ha F (x) egy diszkr t val sz s gi v ltoz eloszl sf ggv ye, vagyis hogy (x) l pcs s f ggv y, m gpedig F (x) ugr shelyei x x x s az F R g(x)df (x) g(x)p K ye bel that tov bb, hogy ha F (x) szakaszok t eloszl sf ggv y, R f(x) akkor sima (x) sf R g(x)df (x) g(x)f(x)dx Ugyais, ha F (x) az (a b) itervallumba mide tt dif- akkor a Lagrage-k z p rt kt tel szerit fereci lhat, (xk+) ; F (xk) f (x k )(x k+ ; xk), aholxk <x k <x k+, s gyha F

74 (y)) dy (g g g(x)f (x) dx III. Val sz s gi vektorv ltoz k, egy ttes eloszl sf ggv y 95 (BD) ; (AD) ; (BC)+ (AB), Fi i i k (xi xi xik F (x x x). + perem 8 > < Ekkor (x) Fi > 74 II. FEJEZET Aval sz s gi v ltoz x k,akkor a x k k sszeg ppe a R g (x k )(F (x k+) ; F (xk)) k g (x k ) f(x k )(x k+ ; xk) g(x)f(x)dx Riema-itegr l itegr l k zel t sszege! Teh t, ha most g(x) x, mid a diszkr t, mid a folytoos esetbe a v rhat rt k Stieltjes-itegr llal rhat fel E R + x df(x) T tel Legye g R! R tetsz leges val s f ggv y. Ekkor, ha II.6.. Y g() val sz s gi v ltoz, s l tezik a v rhat rt ke, akkor az a.) ha diszkr t EY ha folytoos EY eset Diszkr t R + g(xi) ( xi) g(x) f(x)dx az diszkr t val sz s gi v ltoz rt kk szlete a V megsz ml hat Legye az Y g () diszkr t val sz s gi v ltoz pedig sz mhalmaz, fy y g (x) x V g Ekkor de ci szerit W EY yw yw (Y y) y yw xv g(x)y y g (x) ( x) xv g(x)y xv ( x) g (x) ( x) eset Folytoos fel, hogy g diereci lhat. Ekkor a II.5.. t telt alkalmazva Tegy k EY R yfy (y) dy R yf (g (y)) v grehajtva azy g(x) v ltoz cser t R T tel Legye az val sz s gi v ltoz ak v rhat rt ke E II.6.. az Y a + b val sz s gi v ltoz ak is l tezik v rhat rt ke, s Ekkor EY ae + b a II.6.. t telt a g(x) ax + b lie ris f ggv yre! Alkalmazzuk f! (!) <dg D Ekkor ( T )(a <b c <d) ; AB CD BD(A + C) (BD) ; (BD (A + C)) (BD); (ABD + BCD) (BD); (ABD); (BCD)+ (ABCD) A B s C D, gy az elyel d s miatt Mivel ami ppe az ll t s. De ci Ha ( p) T val sz s gi vektorv ltoz III..4. eloszl sf ggv ye F s j <j < <jk p egy tetsz leges k el- idexkombi ci, akkor az idexekhez tartoz j j jk kompoeem val sz s gi v ltoz k egy ttes eloszl sf ggv yeazf egy k-dimezi s perem- vagy vet leti eloszl sf ggv ye. T tel Ha a p val sz s gi v ltoz k egy ttes eloszl sf ggv ye III..3. F ismert, akkor b rmely vet leti eloszl sf ggv ye megha- Ford tva ltal ba em igaz ha ismerj k az sszes alacsoyabb t rozhat. vet leti eloszl sf ggv yt, az egy ttes eloszl sf ggv y em l- dimezi s l that el. A r szletes bizoy t st a val sz s g folytooss gi tulajdos g val lehete elv gezi. Ekkor az l that be, hogy lim ) 8xj! jfi i ikg hogy a ford tott ll t s em igaz, p esetbe aduk ellep ld t Arra, s olya val sz s gi v ltoz k, melyek csak a s + Legyeek rt keket vehetik fel az al bbi eloszl st bl zat szerit 5 + " 5 ; " ; " 5 + " 5 perem ahol <"< 5 tetsz leges. ha x ha <x 5 ha <x 75 ha <x

75 lim c.) F (x xi xp) s lim 9xi! F (x xi xp) 8xi!+ II.6 Av rhat rt k 75 pi a E + b k ;k p q k ; k p ()! q p ;(k) pk (k)!(;(k))! ; p k q ; p (p + q) p azaz E p k k! e; k k e; ; e (k)! k (k)! E-et kifejezve E ;q p ad dik. ahoa 94 III. FEJEZET Val sz s gi vektorv ltoz k ( <x <x p <xp) f ggv yt az val sz s gi vektorv ltoz eloszl sf ggv y ek, illetveaz p kompoes val sz s gi v ltoz k egy ttes eloszl sf ggv y ek evezz k. T tel Az val sz s gi vektorv ltoz eloszl sa s eloszl sf ggv ye III... k lcs se egy rtelm e meghat rozz k egym st. Megjegyz s A t telt em bizoy tjuk. III... T tel (Az egy ttes eloszl sf ggv y tulajdos gai) F mide v ltoz j ba mooto em cs kke f ggv y, azaz8 i -re, a.) x i <x i akkor F(x x i xp) F(x x i xp) ha F mide v ltoz j ba balr l folytoos f ggv y, azaz lim i ; F(x y xp) F(x x i xp) y!x Az egyszer s g kedv rt csak p esetbe modjuk ki ezt a tulajdos got. d.) ltal os eset t rgyal s t l sd a III.7.. feladatba.) (Az T [a b) [c d) tetsz leges p dimezi s t gla. Ekkor Legye (a c) +F (b d) ; F (a d) ; F (b c) F Az a.), s c.) ll t sok az egydimezi s esethez, hasol a r szletez s kt l itt eltekit k. A d.) ll t s em szerepelt az bizoy that ak esetbe, ott a eki megfelel alak a tetsz leges [a b) itervallum egydimezi s F(b) ; F(a), ami a mootoit si tulajdos ggal esik egybe. eset T bbdimezi s esetbe sz ks g va d.)-re, mert pl p esetbe az F (x x) ha x + x ha x + x > kiel g ti a.), s c.)-t, de d.) em teljes l r. A bizoy t s azo f ggv y hogy megmutatjuk, hogy d.) baloldal a ( T ) val sz s g ll, m lik, yilv val a emegat v. Dei ljuk az al bbi esem yeket ami f! (!) <ag A f! (!) <bg B f! (!) <cg C a.) diszkr t eset E folytoos eset E R + a E + b + b)pi a (a xi (ax + b)f(x)dx a + b xi pi R + xf(x)dx + b R + f(x)dx K vetkezm y Akostas val sz s gi v ltoz v rhat rt ke maga. lda (Az idik tor eloszl s v rhat rt ke) II.6.. eloszl s ( )p ( ); p q E p + q p Az lda biomi lis v rhat II.6.. eloszl s rt ke) (A ( k) ; k k ;k ; p ( ; p) k k ;k p q pk eloszl s Az k E k p k ; k k k k pk k ;k k p q k! pk q ;k (k)!(;k)! lda (A oisso-eloszl s v rhat rt ke) II.6.3. eloszl s pk ( k) k k! e; k Az E k k pk e ; e k k ()! pk q ;!(;)! lda (A geometriai eloszl s v rhat rt ke) II.6.4. eloszl s pk ( k) (; p) k p q k p, k 3 Az E k k pk k k q k p k (k ; ) q k p + k k q k p q E +,

76 h x i b b ;a a+b e ;x dx ;xe ;x + R x ; e;x + h p ; e ; x i + x; )dx '( 76 II. FEJEZET Aval sz s gi v ltoz E E II.6.5. lda (Az egyeletes eloszl s v rhat rt ke) R + x f(x)dx b R a b;a dx b;a x a b;a II.6.6. lda (Az expoeci lis eloszl s v rhat rt ke) R + x f(x)dx R II.6.7. lda (A orm lis eloszl s v rhat rt ke) a.) Stadard orm lis eloszl s E R + x f(x)dx R x Az ltal os eset, N( ) E R R + x f(x)dx (y +)'(y)dy R p e ; x dx x ' (x)dx R + y'(y)dy + R R + x e ;x dx '(y)dy + Teh t a orm lis eloszl s param tere a v rhat rt ket jeleti. II.7. Magasabb mometumok, sz r s gyzet De ci Az val sz s gi v ltoz -edik mometum az II.7.. val sz s gi v ltoz v rhat rt k t rtj k, ha az l tezik. Jel l s E. Megjegyz s a.) diszkr t esetbe folytoos esetbe x i ( x i) R + x f(x)dx III. fejezet Val sz s gi vektorv ltoz k Val sz s gi vektorv ltoz k, val sz s gi III.. v ltoz k egy ttes eloszl sa gyakra em lehet a v letle jeles get egyetle sz madattal jellemezi. Nagyo l. amikor az id j r si helyzetet pr b lj k el rejelezi, megadj k a h m rs klet, csapad kmeyis g, l gyom s, sz ler ss g stb. adatokat, v rhat azaz a progosztiz lt helyzetet egy vektorral jellemzik. A vektor kom- val sz s gi v ltoz k, rt keik a v letlet l f ggek. Felmer lhet poesei egyes kompoesek k z tt fe ll kapcsolatok k rd se is. az De ci Legye ( ) Kolmogorov-f le val sz s gi mez. III... Tekits k az! R p f ggv yt! Az ( p) T vektorv ltoz, ha mide B B p p-dimezi s Borel-halmazra val sz s gi (!) Bg teljes l. f! B p a B B Bp alak halmazok ltal geer lt - Megjegyz s ahol Bi B tetsz leges egydimezi s Borel-halmaz. algebra, De ci A Q(B) (f! (!) Bg), B B p az val sz s gi III... vektorv ltoz eloszl sa. De ci Legye (x x xp) T x R p, s a hozz tartoz III..3. Borel-halmaz Bx ( x ) ( x ) ( xp ) p-dimezi s Ekkor az F(x) F p (x x xp) Q(Bx) 93

77 8 < II.7 Magasabb mometumok, sz r s gyzet 77 (xi ; E) ( xi) 9 II. FEJEZET Aval sz s gi v ltoz Gyakorlat Az orig b l kiidulva egy bolha ugr l a sz megyeese. II.8.9. Mide ugr sa egys gyi hossz s a t bbit l f ggetle l p val sz - jobbra, ; p val sz s ggel balra t rt ik. Az t dik ugr s ut s ggel a bolha hely t. Adja meg eek az eloszl s t! meggyelj k Gyakorlat Az orm lis eloszl s val sz s gi v ltoz v rhat II.8.3. rt ke ;5 s tudjuk, hogy (;5 <) 3 Meyi (;5 <<4)? Gyakorlat L tezik-e az F (x) x l x ; x + x [ e] eloszl sf ggv y II.8.3. val sz s gi v ltoz ak m sodik mometuma? II.8.3. Gyakorlat Az val sz s gi v ltoz s r s gf ggv ye f(x) ;x ha x e x ha <x 3e egy bk t Meyi E? Gyakorlat Egy szab lyos p z rm t addig dobok fel ism telte, II am g k t fejet, vagy k t r st em kapok. Meyi a dob sok sz m ak v rhat rt ke s sz r sa? Gyakorlat Legye E (), ahol s Y [] azaz II eg szr sze. Meyi az Y diszkr t val sz s gi v ltoz v rhat rt ke? Gyakorlat Egy j t kos rulettezik. H rom t tet tesz meg egyegy II Ft-os zsetot tesz a fekete 3 sz mra, a fekete mez re s a p ratla tsz r megism telve ezt a strat gi t, meyi a j t kos yeres g ek mez re. v rhat rt ke? (A rulett rcs -t l 36-ig llak a sz mok, (vesztes g ek) fekete, 8 piros, a - s z ld sz.a fekete sz mok k z tt 9 db p ros s 8 db p ratla va. Ha valaki sz mra tesz, a t tet s m g aak 36-szoros t 9 be. A fekete vagy p ratla mez k a yeres g k tszeres. A -ra em sepri fogadi. Ha - s p r g ki, mide megrakott t tet a bak viszi el.) lehet De ci Az val sz s gi v ltoz sz r s gyzet vagy variaci j II.7.. az Y (; E) val sz s gi v ltoz v rhat rt k t rtj k az l tezik). Jel l s E( ; E) (ameyibe val sz s gi v ltoz sz r sa a sz r s gyzet pozit v gyzetgy ke Az +p E( ; E) Megjegyz s a.) diszkr t esetbe folytoos esetbe R + (x; E) f(x)dx T tel Legye olya val sz s gi v ltoz, melyek l tezik II.7.. Ekkor mide val s x eset sz r s gyzete. E( ; E) E( ; x) A bizoy t sba felhasz ljuk a v rhat rt k addit v tulajdos g t, melyet majd a III.4.6. t telbe bizoy tuk. g(x) E( ; x) E( ; x + x )E ; x E + x Legye g (x) x ; E,akkor ha x E s g (x) >, ez rt az Mivel x E hely miimumhely, ami m r igazolja az ll t st. Az val sz s gi v ltoz rt kei a v rhat rt k k r l Megjegyz s a legkisebb m rt kbe az sszes val s sz m k z l, s ezt a mi- igadozak igadoz st, bizoytalas got jellemzi a sz r s gyzet. Ha teh t egy im lis v ltoz ak agy a sz r sa, rt keit bizoytalaul tudjuk csak val sz s gi Ha a sz r s gyzet kicsi, a bizoytalas guk a v ltoz rt keit megbecs li. cs kke. Ad abszurdum, a kostas sz r s gyzete. illet e II.7.. T tel () ( E) Ha diszkr t, akkor 8i E) ( xi) (xi; 8ixi6E 8i xi 6 E ) ( xi) () () () 8ixi6E () ( E) ( xi) ( 6 E) () (xi; E) ( xi) ()

78 ; k ;k p q k k k ;k p q k ; k II.8 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 9 M sz mot, amelyre ( <M) ( M) teljes l. 78 II. FEJEZET Aval sz s gi v ltoz T tel (Steier formula) II.7.3. E( ; a) ; [E( ; a)] mide a R-re. Speci lisa a -ra E ; [E] Legye a R tetsz leges! ; a) E( ; a + a )E ; a E + a E( ; a)] [E ; a] [E] ; a E + a [E( E( ; a) ; [E( ; a)] E ; [E] gy E( ; E) E( ; E +[E] ) Viszot E ; E E +[E] E ; [E] amib l m r k vetkezik az ll t s. K vetkezm y Mivel E( ; E) ) II.7.. [E], teh t, ha m sodik mometuma ( gy a sz r s gyzete is) E l tezik, akkor a v rhat rt kek is l tezie kell! T tel (a +b) a, mide a b R-re. Azaz a sz r s gyzet II.7.4. eltol s ivari s. (a + b) E(a + b) ; [E(a + b)] a E +ab E + b ; a [E] ; ab E ; b a (E ; [E] )a De ci val sz s gi v ltoz stadardiz ltj az II.7.3. Egy ;E ~ lie ris traszform lt val sz s gi v ltoz t rtj k. Megjegyz s E ~ ~ lda (Az idik tor eloszl s sz r s gyzete) II.7.. (; p) p +(; p) q q p + p q p q(q + p) pq p( ; p) lda (A biomi lis eloszl s sz r s gyzete) II.7.. E ; [E] E k k k k pk (k ; ) ; k k k ; k k ;k k + p q k! pk q ;k + E (k;)!(;k)! ;k k p q k Gyakorlat Egy m r s elv gz s hez k t lehet s g k va. Vagy II.8.. dr ga k sz l kkel m r k egyet, ahol a m r s hib ja N ( ) eloszl s, egy egy olcs k sz l kkel m r k h romszor, s a m r seredm yeket tlagoljuk, vagy ahol viszot a m r s hib ja m r N ( 6) eloszl s. Melyik m r si techika adja a potosabb m r st? Gyakorlat Egy dobozba a sziv rv y h t sz vel egyez sz II.8.. goly k vaak. Addig h zzuk ki a goly kat visszatev ssel a dobozb l, valameyi sz goly t ki em h ztuk egyszer. Mi az ehhez sz ks ges am g h z ssz m eloszl sa? Gyakorlat Legye az val sz s gi v ltoz eloszl sf ggv ye II.8.. F (x) s r s gf ggv ye pedig f(x) Bizoy tsa be, hogy EF () Gyakorlat Legye logisztikus eloszl s, azaz s r s gf ggv ye II.8.3. f(x) ex (+e x ) x R Sz molja ki az medi j t, vagyis azt az II.8.4. Gyakorlat Legye f g olya val sz s gi v ltoz, melyek l tezik a v rhat rt ke. Bizoy tsa be, hogy E Gyakorlat Legye az val sz s gi v ltoz olya, hogy II.8.5. ( <<) Bizoy tsa be, hogy <E! ( i) Gyakorlat Egy baromudvarba a godoz gy r j r l lees II.8.6. k vet az egyik liba leyelte. A godoz k ytele a lib k lev g s val rt kes visszaszerezi a k vet. Addig v gja le a v letleszer e elkapott megpr b li am g valamelyik begy be meg em tal lja a k v t. Ha sszese 5 lib kat, va a farmo, meyi a k yszer s gb l lev gott lib k sz m ak v rhat liba rt ke? Gyakorlat Legye (a b) az egys g gyzet egy v letle l II.8.7. potja. Jel lje a pot orig t l vett euklideszi t vols g t. kiv lasztott Meyi v rhat rt ke? Gyakorlat B ; s Y Mi Y eloszl sa, II.8.8. Legye a v rhat rt ke? meyi s

79 II.7 Magasabb mometumok, sz r s gyzet 79 ; ( ; )p ; ; p q ;; + p k e; + (k;)! k; + e ; e + + (k;)! ; (k ; ) +k ; q k p q E +E q E + p ; Ie E -et kifejezve E ;p p E ; [E] ;p p ; p q p ;p p gy h x 3 i b b 3 ;a 3 a +ab+b 3 (b;a) e ;x dx ;x e ;x + R x + ;x dx, gy E ; [E] ; ; xe 9 II. FEJEZET Aval sz s gi v ltoz Gyakorlat Tekits k az f(x) 3x 7 II.8.. [ ] s r s gf ggv yt! x Az U ( ) seg ts g vel ll tsuk el olya Y val sz s gi v ltoz t, amelyek s r s gf ggv ye ppe f(x)! Gyakorlat Milye b rt k l lesz az f(x) b p x ; x ( 3) II.8.. s r s gf ggv y? f ggv y Gyakorlat Egy orm lis eloszl s val sz s gi v ltoz II.8.3. vesz fel - l kisebb rt ket, s 5 val sz s ggel 3 6- val sz s ggel l agyobb rt ket. Meyi a v rhat rt ke s sz r sa? Gyakorlat Egy sz m t g pes szerv zbe egy h ap h sz mukaapj b l II.8.4. tlagosa kett icse reklam ci. oisso-eloszl st felt te- meyi aak a val sz s ge, hogy egy adott apo h rom, vagy lezve, t bb reklam ci rkezik? h rom l Gyakorlat Legye U (a b) s Y Adja meg Y eloszl sf ggv y t! II.8.5. Gyakorlat Egy teg addig t zel egy c lpotra, am g el em II.8.6. A tal lat val sz s ge mide l v s l p. Meyi az egy tal lathoz tal lja. sz ks ges tlagos l szerk szlet, a mu ci? Gyakorlat Az A k yvbe az egy oldalo tal lhat sajt hib k II.8.7. o() m g a B k yvbe ugyaez Y o() Igaz-e a sz ma k t ll t s egyszerre (i) Az A k yvbe h romszor ayi sajt hiba k vetkez mit ab k yvbe. (ii) A B k yvbe tsz r akkora egy hibametes va oldalak a val sz s ge, mit aza k yvbe? Gyakorlat A boltba rult izz k %-a hib s. Ha vesz k II.8.8. akkor h y darab lesz bee rossz a legagyobb val sz s ggel, s darabot, mekkora ez a val sz s g? Gyakorlat Egy MFt k lts g sz m t g p termel i r t II.8.9. meghat rozi. A sz m t g p lettartama expoeci lis eloszl s v kell rt kkel. Garaci t v llaluk gy, hogy ha az els vbe a g p v rhat akkor kicser lj k, ha a m sodik is elromlik egy ve bel l, akkor elromlik, a g p r t. A termel i r legye az az rt k, mely mellett a kiad s visszaadjuk a bev tel v rhat rt ke megegyezik. (A visszavett g pek rt kteleek.) s ( ; ) p k (;)! pk; q ;;(k;) + p (k;)!(;;(k;))! ( ; ) p (p + q) ; + p p ; p + p p ; p + p ; (p) p( ; p) pq gy II.7.3. lda (A oisso-eloszl s sz r s gyzete) E k e ; k k pk k k (k ; ) pk + gy E ; [E] + ; k k pk II.7.4. lda (A geometriai eloszl s sz r s gyzete) E k k q k p k II.7.5. lda (Az egyeletes eloszl s sz r s gyzete) E R + x f(x)dx b R a b;a dx b;a x E ; [E] a +ab+b 3 ; (a+b) 4 3 a a ;ab+b k b;a II.7.6. lda (Az expoeci lis eloszl s sz r s gyzete) E R + R x f(x)dx R II.7.7. lda (A orm lis eloszl s sz r s gyzete) 3 xe ;x dx

80 h (; p x e ; x ) + i + R + R x; )dx R '( + + R y'(y)dy II.8 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 89 p Adja meg Y 8 II. FEJEZET Aval sz s gi v ltoz a.) Stadard orm lis eloszl s E R + x f(x)dx gy E ; [E] ; R Az ltal os eset, N( ) E R R + x x f(x)dx y '(y)dy + R p x e ; x dx R p e ; x dx + x ' (x)dx (y + ) '(y)dy R + x p x e ; x dx '(y)dy E ; [E] + ; Teh t a orm lis Ie eloszl s param tere a sz r st jeleti. II.8. Kidolgozott feladatok s gyakorlatok II.8.. Feladat Mutassuk meg, hogy az F () f ggv y em lehet eloszl sf ggv y! Mivel lim x! ha x +x x; 8 F (x), ez rt a c.) tulajdos g s r l. ha x> Feladat Egy csomag magyar k rty b l tal lomra kih zuk egy II.8.. Vegye fel ak rtya pot rt k t! (als, fels 3, kir ly4, sz, lapot. yolcas8, kileces9, tizes). Adjuk meg s br zoljuk a eloszl sf ggv y t! hetes7, rt kk szlete a f g sz mhalmaz. Midegyik i rt ket ( i) 8 val sz s ggel veheti fel. gy az eloszl sf ggv y Gyakorlat Az egys g yzete tal lomra kiv lasztuk egy II.8.. Jel lje a s a hozz legk zelebb ll cs cs t vols g t. Adja meg potot. eloszl s- s s r s gf ggv y t! Gyakorlat Legye E () s Y Adja meg Y s r s gf ggv y t! II.8.. Gyakorlat Legye az val sz s gi v ltoz eloszl sf ggv ye II.8.3. (x) Legye Y maxf g Z mif ;g V jj s W ; F Fejezze ki Y Z V s W eloszl sf ggv y t F (x)-szel! Gyakorlat A ( ) itervallumba kijel l k h rom potot v letleszer e. II.8.4. Hat rozzuk meg a k z ps pot ;t l val t vols g ak eloszl sf ggv y t! Gyakorlat Egy csomag 3 lapos magyar k rty b l kih zuk egy II.8.5. Legye akih zott lap rt ke. Adja meg s br zolja eloszl s- lapot. f ggv y t! Sz molja ki a 7 5 << esem y val sz s g t! Gyakorlat Legye U ( ) s Y II.8.6. s r s gf ggv y t! Gyakorlat Egy h ztart si g p gy ri k lts ge Ft. A II.8.7. a gy r v garaci t ad, ami szerit a hib s g pet igye kicser li, term kre az ve bel l meghib sodik. A gy r szakemberei szerit a g p ameyibe 3 v v rhat rt k expoeci lis eloszl s. A termel i r a g p lettartama plussz a garaci lis cser k k lts g ek v rhat rt ke. Mekkora k lts ge a termel i r? legye Gyakorlat E () seg ts g vel geer ljo egy Y G ; 3 II.8.8. val sz s gi v ltoz t! Gyakorlat Egy gy rtm yak az egy sz zal ka selejtes. A darabokat II.8.9. ezres vel dobozokba csomagolj k. Meyi a val sz s ge, hogy egy v letleszer e kiv lasztott dobozba ics h rom l t bb hib s? Gyakorlat Egy szab lyos p z rm t addig dobuk fel jra s II.8.. m g meg em kapjuk a m sodik fej et is. Meyi aak a val sz s ge, jra, az els fej ut a m sodik fej ig ugyaayi dob sra va sz ks g, mit hogy dob s kellett az els fej ig? ah y

81 ) dx l ( + x ) diver- (+x Ha ~ ; jel li a stadardiz ltat, akkor ~ N( ). k k; k ;k E ~ k is fe ll. Behelyettes tve kaphatjuk a v geredm yt. k; k ) ( ) ; ; ( ; ) Av rhat yeres g teh t zseto! ; ; EY 8 9 E E II.8 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 8 8>< > ; k 88 II. FEJEZET Aval sz s gi v ltoz Feladat Ha az s r s gf ggv ye f(x) (+x ) II.8.7. l tezik-e rt ke? v rhat akkor R mert l tezik, Nem ges. x (x R), Feladat Legye N( ), azaz, param ter orm lis II.8.8. val sz s gi v ltoz! Adjuk k pletet E -re! eloszl s E ~ R x ' (x) dx ( ; ) R x ; ' (x) dx ( ; ) E ~ ;. Mivel ~, gy a stadardiz lt mide p ratla hatv y ak v rhat rt ke. E ~ ( ; )( ; 3) ( ; )!, mivel E ~. M sr szt E E Feladat Egy j t kos 3 zseto idul t k vel rulettezik. Az II.8.9. strat gi ja, hogy addig folytatja a j t kot, am g vagy yer, vagy pedig elf- a az sszes zsetoja. Mide forgat s el tt a piros mez re rak megdupl zva ogy el z t tet. Meyi a yerem y ek av rhat rt ke? (Az egyszer s g az kedv rt tekits k a piros s fekete forgat sok val sz s geit -ek!) a piros forgat shoz sz ks ges k s rletsz m G ; a j t kos yeres ge. A yeres g, ha yer a j t kos midig zseto. A Y j t kos a -dik j t k ut midegyik zsetoj t elveszti ( >) Feladat Egy r te h rom szarvas legel szik gya tlaul. Egym sr l II.8.3. em tudva h rom vad sz lopakodik a tiszt shoz, s egyszerre t zelek Midegyik l v s tal l, s hal los. avadakra. a l v sek ut a r tr l elszalad szarvasok sz m ak v rhat Meyi rt ke s sz r sa? (Elvileg t bb vad sz is l het ugyaarra a szarvasra...) az elfut szarvasok sz ma f g ( ) (Midegyik vad sz ugyaazt a szarvast l vi le) 3 7 ( ) (Midegyik vad sz m s-m s a szarvasra l ) 6 7 ( ); ( ); ( ) 8 7 F(x) ha x ha <x 3 8 ha 3 <x 4 8 ha 4 <x 7 38 ha 7 <x 8 48 ha 8 <x 9 58 ha 9 <x 68 ha <x 78 ha <x Feladat Av letle k s rlet az, hogy darab dobozba v letleszer e II.8.3. goly kat helyez k el gy, hogy mide elhelyez s l b rmelyik kiv laszt sa egyform val sz. Akkor lluk meg, ha szrevessz k, doboz az egyes sz m dobozba beker lt az els goly. Jel lje a k s rlet hogy befejez d sekor az elhelyezett goly k sz m t. Adjuk meg az eloszl s t! Aak a val sz s ge, hogy az egyes sz m dobozba ejt k goly t p, aak, hogy em ebbe ker l a goly q egy Ha A-. jel lj k azt az esem yt, hogy az egyes dobozba ker l a goly, akkor a val elhelyez s t addig kell folytatuk, am g A el sz r be em k vetkezik, goly k geometriai eloszl s lesz. Az eloszl sa ( k) q k p teh t k Feladat Meyi a val sz s ge, hogy a hagyom yos 9/5 lott h z s II.8.4. sor valameyi kih zott sz m p ros lesz?

82 (45 eloszl sa, ( k) k )( 45 5;k) Az 9 k ) ( 8 < 8 < II.8 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 87 l 3 Ez rt ( ) ; ( ); ( ); 3 3 j 4 j q Ekkor Y i ha qi < qi+ i. yilv N lesz. A l yok pedig N 4 + N 8 + N N k+ k + sz ma k N k ; ; k ;k ( ; p) ; (EY ) stb. p k +k 8 II. FEJEZET Aval sz s gi v ltoz k A arra amikor k 5,azazakeresett val sz s g k rd s (45 voatkozik, 5) 5 )( 45 ) ( ( 9 5 ) 78. Feladat Az egys g gyzete kiv lasztuk v letleszer e egy II.8.5. Jel lje apotakalegk zelebbi oldalt l vett t vols g t. Ad- potot. juk meg az val sz s gi v ltoz s r s gf ggv y t! Geometriai m dszerrel lehet meghat rozi az eloszl sf ggv yt. Az al bbi br s t t tve mutatjuk az <xesem yek megfelel tartom yt A ter let agys ga ;( ; x), gyf(x) Deriv l s ut kapjuk a s r s gf ggv yt f(x) ha x ; ( ; x) ha <x 5 ha x> 5 ; 8x ha <x 5 4 egy bk t. Feladat Egy egys gyi hossz s g szakaszt tal lomra v lasztott II.8.6. k t r szre osztuk. Mi a keletkezett szakaszok k z l a kisebbik potj val hossz ak s r s gf ggv ye? Jel lj k Y -al a kiv lasztott pot orig t l vett t vols g t! Ekkor yilv Y U [ ], s eloszl sf ggv ye FY (x) ha x ha <x< x ha x szakaszok k z l a r videbb hossz t jel lj k -el! A k t v ltoz Akeletkez k z tt az al bbi kapcsolat ll fe gy eloszl sf ggv ye kifejezhet Y eloszl sf ggv y vel ha Y 5 Y ; Y ha Y > 5.. Jel lje az egy ap alatt meghib sodott telefok sz l kek yilv oisso-eloszl s. Mivel ( )e ; 36 3 ) sz m t! Az apok v rhat sz ma 36 ; ; 3 ( + l 3) 37 ( + l 3) Feladat Az U ( ) val sz s gi v ltoz seg ts g vel geer ljuk II.8.3. Y G ( 5) eloszl s val sz s gi v ltoz t! Legye qi i j Feladat Egy k pzeletbeli diktat r ba a Nagy Testv raz II.8.4. redeleteket hozta al bbi A hadsereg ut p tl s ak biztos t sa v gett mide csal d k teles gyermeket sz li. A demogr ai robba s elker l se v gett mide csal dba, ha m r sz letett, t bb gyermek em sz lethet. Hogya v ltoztatja meg a Nagy Testv reze k t redelete a -l y ar yt? A Nagy Testv rv gtele b lcsess ge k vetkezt be, em meg a l y ar y! Hisze, ha N csal d va az orsz gba, a k v ltozik N 4 k Feladat Legye oisso-eloszl s > param terrel, II Adjuk meg Y v rhat rt k t s sz r s gyzet t! Y EY E + + Y 4 4 Feladat Legye s p param ter biomi lis eloszl s val sz s gi II.8.6. v ltoz, Y Y EY k k +.Adjuk meg Y v rhat rt k t s sz r s t! ;k k ( ; p) p k +k;

83 8 < A ) f(x) p ; x p e p N p II.8 Kidolgozott feladatok s gyakorlatok 83 8 < p ( ; p) 3 (; e) (e) 3 hat rozhatjuk meg (A) (99 <) s g vel F() ; F(99) ; ; ; 99 ( 5) ; (; 5) ; 3 3 ((A)) ( ; (A)) ; x;4 3. )) 86 II. FEJEZET Aval sz s gi v ltoz Jel lje Y illetve Z ak t pot orig t l vett t vols g t! Ekkor jy ; Zj, ( <x) (Y ; x<z<y + x) Geometriai val sz - m dszerrel (Y Z) egy v letle pot az egys g gyzetbe, gy s gsz m t si (Y ; x) <Z<(Y + x) felt telek megfelel tartom y az Akeresett eloszl sf ggv y F(x) ha x ; ( ; x) ha x ( ) ha x Feladat Az A param ter milye rt k l lesz az f(x) Ae ;x II.8.. R f ggv y s r s gf ggv y? Meyi ekkor a v rhat rt k s a sz r s- x gyzet? Feladat Az egys gyi oldal gyzet k t tellees oldal tal lomra II.8.. v lasztuk egy-egy potot. Jel lj k -el a k t pot t vols g t! Adja meg az F (x) ( <x) eloszl sf ggv yt! q (x ; y) + t ; p -re F (t) ( <t) ; (x ; y) +<t ; x ; p t ; <y<x+ p t ; ; ; ; p t ; p t ; ; (t ; ) Feladat Az egyeteme agyo sok telefok sz l k va, amelyek II.8.. egym st l f ggetle l romlaak el azoos val sz s ggel. Az v 36 tlagosa olya ap va, hogy egyetle k sz l k sem romlik el. apj b l h y olya ap lesz, amikor vagy - l t bb telefo romlik el? V rhat a, ( <x)( <x Y 5) + ( <x Y> 5) F(x) (Y < x Y 5) + ( ; Y < x Y > 5) (Y < x)+ ( ; x<y) azaz U [ 5] ha x +(; ( ; x)) x ha x ( 5) x ha x 5 Feladat Egy szob ba t telefo m k dik, melyek k z l b rmelyik II.8.7. megsz lalhat a t bbiekt l teljese f ggetle l id bel l, ahol expoeci lis eloszl s val sz s gi v ltoz. Meyi az es lye param ter hogy egys gyi id bel l potosa k t telefok sz l k fog cs r gi? aak, AzA egy telefo megcs rre egys gyi id bel lesem y p ( <) F() ; e Mivel t f ggetle l val sz s ge k sz l k k va, a feladat tfogalmazhat gy, mitha az A esem yre zemel voatkoz tsz r s k s rletsorozatr l vola sz. gy a biomi lis gyelembev ve, aak val sz s ge, hogy az A esem y potosa eloszl st k vetkezik be ; 5 k tszer 989 Feladat Egy automata zacsk kba cukork t adagol. A zacsk k II.8.8. (gramm), (gramm) param ter orm lis eloszl s ak s ly t Meyi a val sz s ge aak, hogy h rom v letleszer e tekithetj k. zacsk k z tt legal bb egy olya va, amelyek a s lya 99 s kiv lasztott gramm k z esik? Legye A a zacsk s lya 99 s gramm k z esik esem y. Az A bek vetkez s ek val sz s g t az eloszl sf ggv ye seg t- ( 5) ; 383 A h rom zacsk kiv laszt sa 3 s (A) param ter biomi lis eloszl ssal modellezhet, ami alapj a keresett val sz s g Feladat Legye az val sz s gi v ltoz folytoos eloszl sf ggv ye II.8.9. olya, hogy >F(x) > esetbe szigor a mooto veked is. be, hogy ekkor az Y 3F ()+4 val sz s gi v ltoz egyeletes Bizoy tsa a [4 7] itervallumo! eloszl s (Y < x) (3F () +4 < x) ( < F ( x;4 3 )) (F ( x;4 F 3,