. Elméleti alapok Számrendszerek.. A kettes számrendszerről Számlálás közben mi tízesével csoportosítunk (valószínűleg azért, mert ujjunk van). Ezt a számírásunk is követi. A helyiértékek: egy, tíz, száz (x= ), ezer ( ), tízezer ( 4 ), De nem volt ez mindig így: Mezopotámia, sumérok: a 6,, 6 számoknak kitüntetett szerepe volt. Innen származik az időmérés: óra az 6 perc, egy nappal pedig óra (és az éjjel is óra). hónap egy év. Matematika, szögmérés: fok= 6 perc Angol (és még néhány más) nyelvben a és számoknak külön nevük van. Köznyelvben a múlt századokban a tucat szó (-t jelent) elterjedt volt. római számok írása: 5-ös csoport is kitüntetett. Latin, olasz, francia: A számnevekben -as csoportosítást fedezhetünk fel. Számítógép-generációk: Relés számítógépek (elektromechanikus elv) Elektroncső (elektromos elv) Tranzisztor (elektromos elv) A relé, elektroncső, a tranzisztor a számítógépekben kétféle állapotban tud működni, egy kapcsolóhoz hasonlóan: bekapcsolt/kikapcsolt; vezet/nem vezet; vagy van feszültség/nincs feszültség. (A mágneslemez is kétféle állapottal (észak-dél vagy dél-észak) működik.) Mi -es számrendszert használunk, mert ez nekünk testhezálló (az ujjaink száma miatt ), de a számítógépeknek ez nem kényelmes, nekik a kétféle állapot esik jól. Tehát kétféle jellel is mindent le kell tudni írni. Tízes számrendszerben féle jelünk van (a számjegyek), tízesével csoportosítunk. Kettes számrendszerről beszélünk, ha két jelet fogunk használni, azaz kettesével csoportosítunk. Ekkor -es, 4-es, 8-as, 6-os, csoportokat képezünk, ezek lesznek a helyiértékek:. ábra: C soportosítás -es számrendszerben darab 8-as csoport darab 4-es csoport darab -es csoport darab -es Helyiértékek: 8 4 A szám leírva: Jelölés: Ha nem egyértelmű, hogy a szám az tízes számrendszerben értelmezett szám vagy pedig kettes számrendszerbeli szám (mint a példában), akkor a szám után szoktuk írni a számrendszert: az -es (decimális) számrendszert jelöl, a pedig kettes (bináris) számot. AZ INFORMÁCIÓ MÉRTÉKEGYSÉGE a bit, azaz egy darab kettes számrendszerbeli számjegy (binary digit). A kettes számrendszer terjengős: a példában szereplő tizenegyes számot kettes számrendszerben egy 4 számjegyű számmal tudunk leírni (-es számrendszerben pedig kétjegyű szám is bőven elég). Ezért a számítógépek alapegységének a 8 bitből álló bináris számot választották, ennek a neve BÁJT (angolosan: BYTE). Ez azt jelenti, hogy a számítógép általában 8 bittel (vagy ennek többszörösével) végez műveletet egyszerre. Valószínűleg azért, mert a gyakorlatban könnyebb vele dolgozni. Például amikor a piacon néhány ember osztozkodik: egy tucat tojást lehet két-, három-, négy- és hatfelé is osztani. (A tíz csak kettő és öt felé osztható.) És a tranzisztorokból álló integrált áramkörök is. Általános iskola osztályban sokan az ujjaikon számolnak. 4.6..; v.9.; BMRG
Kettes számrendszerben A számok - közti számjegyekből állnak. A helyiértékek (jobbról balra haladva): = ; = ; = 4; = 8; 4 = 6; 5 = ; 6 = 64; 7 =8; 8 = 56; Egy szám így nézhet ki: Ennek az értéke (jobbról balra olvasva): * + * + *4 + *8 + *6 = 9 9 = 5; =4; A legnagyobb 4 jegyű szám: * + * + *4 + *8 = 5, ami nem más, mint 4 -. tehát négyjegyű számokkal 4 =6 féle számot tudunk leírni -tól 5-ig 8 jegyű számokkal: 8 =56 féle számot tudunk leírni -tól 8 --ig (azaz 55-ig) (55 = B ) A hosszú számokat (a könnyebb olvashatóság kedvéért) 4-es csoportokban szoktuk leírni: Hasonló gondolat -es számrendszerben A számok -9 számjegyekből állnak. A helyiértékek (jobbról balra haladva): =; =; =; =; 4 = ; 5 = ; Egy szám így nézhet ki: 59 Ennek értéke (jobbról balra olvasva): * + 9* + 5* + * +* = 59 A legnagyobb 4 jegyű szám: 9* + 9* + 9* + 9* = 9999, ami nem más, mint 4 -. Tehát négyjegyű számokkal 4 = féle számot lehet leírni -tól 9999-ig. 8 jegyű számokkal 8 = féle számot tudunk leírni -tól 8 --ig (azaz 99 999 999-ig). A hosszú számokat (a könnyebb olvashatóság kedvéért) -es csoportokban szoktuk leírni: 9 6 4 A kilo prefixum értéke 4 (informatikában) A kilo prefixum értéke A számok után írt nulla -vel való szorzást jelent, mert ezzel a kettedesvesszőt mozgatjuk. 4 Prefixumok (kilo, mega, giga) a számítástechnikában Prefixum=előtag. Prefixumok jelentése: méter= kilométer gramm = kilogramm A kilo jelentése tehát. A számok után írt nulla -zel való szorzást jelent, mert a tizedesvesszőt mozgatjuk. méter= milliméter kilométer = méter = milliméter A milli jelentése ezred. A függvénytáblázatokban megtalálhatóak a prefixumok ( -5 -től 8 -ig). Néhány példa: kilo = Mega = kilo = Giga = Mega = kilo = Tera = Giga = Mega = Informatikában a kettes számrendszert használjuk, amiben nem az, hanem az 4 a kerek szám. (4 = ) Mivel ez a két szám közel egyenlő, ezért informatikában a kilo 4-et jelent: 4 bájt= kilobyte (rövidítve: 4 B = KB) Nagyobb számokkal: MB = 4 KB = 4*4 B (KB = kilobyte, MB = Megabyte, GB = Gigabyte) GB = 4 MB = 4*4 KB = 4*4*4 B = 7 74 84 B Ezért van az, hogy akinek hivatalosan 64 MB memóriája van, annak a számítógépe nem 64, hanem 65 56 KB-ot számol össze bekapcsoláskor. Ez az oka, hogy egy 6 GB-os merevlemeznek valójában 56 GB-nál is kevesebb a kapacitása. (A boltosok és a gyártók -rel számolnak 4 helyett, mert így nagyobb számot írhatnak rá, hogy jobban el tudják adni.) Átváltás -es és -es számrendszer között BINÁRISBÓL DECIMÁLISBA: 7 6 5 4 B = 7 + 6 + 5 + 4 + + + = 6 + 5 + + = 64++8+4 = 8 D DECIMÁLISBÓL BINÁRISBA: 4 Mert egy ahogy -es számrendszerben egy helyiértékkel léptetés -es szorzót jelent (pl. helyett ), úgy kettes kettes számrendszerben ez -es szorzót jelent (pl. helyett ). 4.6..; v.9.; BMRG
D = *8 + *64 + * + *6 + *8 + *4 + * + * = B A módszer lényege, hogy megmondjuk, hogy hány -es, -es, 4-es,, 8-as, bináris számjegy kell ahhoz, hogy kijöjjön a decimális szám. Ez egy kicsit nehéz, mert sokat kell kivonni és számolni hozzá. ÁTVÁLTÁS DECIMÁLISBÓL (PROFI MÓDON) BINÁRISBA: Hogy megértsük, először vegyünk egy egyszerű feladatot: váltsuk át a 86 decimális (-es számrendszerű) számot -es számrendszerbe! Ez azt jelenti (azon felül, hogy semmit sem kell csinálni), hogy mondjuk meg, hány -es, -es, -as, kell hozzá. Ez nem nehéz, ránézésre ki tudjuk olvasni. De ha az a feladat, hogy ne ránézzünk, hanem számítsuk ki, hogy melyik helyiértékből mennyi van, akkor így számolnánk: A 86-ot elosztjuk -zel, a maradékot (egyesek száma) a vonaltól jobbra, az egészrészt (ahányszor megvan) alá írjuk: Tovább osztunk, hogy megkapjuk a -esek számát: Majd a -sok számát: Az ezreseket: Tízezres már nincs, mert elértük a -t: 86 6 8 8 Maradék 8 A maradékokat kiolvasva: kell 6 darab egyes, darab -es, 8 darab -as, darab ezres. A számot pedig lentről fölfelé lehet kiolvasni: 86 Most váltsuk át a decimális számot kettes számrendszerbe: Elosztjuk -vel, hogy megkapjuk a egyesek számát (leírjuk alá), a maradékot (egyesek száma) pedig a vonaltól jobbra: Majd ismét elosztjuk, hogy megkapjuk a -esek számát: Majd ismét elosztjuk, hogy megkapjuk 4-esek számát: Majd a 8-asok számát: Majd a -esek számát:... Lentről fölfelé kiolvasva:, azaz ugyanaz, mint az előző feladatban. Még elé szoktunk írni - ákat, hogy 8 számjegy hosszú legyen 5 : Összeadás, kivonás természetes számokkal Kettes számrendszerben + = 9 + = + = 999 + = + Magyarázat: kettes számrendszerben az a legnagyobb számjegy, ha ezt megnöveljük, akkor az értéke lesz, és keletkezik egy átvitel. 9999 + 6 5 7 Hasonló gondolat -es számrendszerben Magyarázat: tízes számrendszerben a 9 a legnagyobb számjegy. Ha ezt megnöveljük, akkor az értéke lesz, és keletkezik egy átvitel. 6 5 Mert a byte-ban mindig 8 bit van, mint ahogy a vízórában is mindig 5 számjegy van, legfeljebb az eleje -ákból áll 6 A példában azért szerepel 9-es és -es is, mert kettes számrendszerben az egyben a legnagyobb számjegy is, tehát kicsit a -es rendszerbeli 9-eshez is hasonló (ha hozzáadunk -et, -et kaponk). 4.6..; v.9.; BMRG
Kettes számrendszerben Az összeadás művelete a fenti példán: (jobbról balra) + az egy, leírjuk az -et, nincs átvitel. + az nulla, leírjuk a -t, nincs átvitel. += B, 7 leírjuk a -t, marad az. +=, plusz az átvitel az, leírjuk az -et. +=, leírjuk az -et, nincs átvitel. +=, leírjuk a -t, maradt az. +=, + átvitel, az, leírjuk az -et, marad. +=, + átvitel az, leírjuk a -t, marad. semmi (azaz ) + átvitel az, leírjuk. Ugyanez -es számrendszerben: B = 44 D + B = + D B = 45 D Kivonás: Magyarázat: A kivonás hasonló, mint -es számrendszerben. Ha nagyobb számot kell kivonni a kisebből (azaz -ból -et), akkor keletkezik egy átvitel, és B = D -ból vonunk ki -et. (- = ) Hasonló gondolat -es számrendszerben Az összeadás művelete a fenti példán: (jobbról balra) + az egy, leírjuk az -et, nincs átvitel. + az nulla, leírjuk a -t, nincs átvitel. 9+=, leírjuk a -t, marad az. +=, plusz az átvitel az, leírjuk az -et. +=, leírjuk az -et, nincs átvitel. 9+=, leírjuk a -t, maradt az. 9+=, plusz az átvitel, az, leírjuk az -et, marad. 9+=9, plusz átvitel, az, leírjuk a -t, marad. semmi (azaz ) + átvitel az, leírjuk. Kivonás: 99 9949 999 Ha kisebb számból kell kivonni a nagyobbat: például -ból a 9-et, akkor nem -ból, hanem - ből vonjuk ki a -t, és lesz egy átvitel (kölcsön). A világon -féle ember létezik: aki érti a kettes számrendszert és aki nem... A tizenhatos (hexadecimális) és nyolcas (oktális) számrendszer Hogy az informatikusoknak ne kelljen olyan hosszú bináris számokat írni, ezért a 6-os számrendszert is használják. A számok leírásához kettes számrendszerben, tízes számrendszerben, tizenhatos számrendszerben 6 különböző számjegy kell (azaz csak kellene, mert csak számjegyünk van). Mivel nem akartak hat új jelet bevezetni az új számjegyeknek, ezért az angol ABC első hat betűjét használták fel erre a célra. A=, B=, C=, D=, E=4, F=5. Ha a számítógéppel kapcsolatban ilyen számokat látunk, hogy F8 vagy 7D5, akkor az valószínűleg nem sült bolondság, hanem tizenhatos számrendszer béli szám 8. Néha jelölni kell, hogy a 4 az -es vagy 6-os számrendszerbeli szám. Ezért gyakran így írják: x4 vagy 4h esetleg $4. Az egész 6-os számrendszernek az a nagy előnye, hogy minden négyjegyű kettes számrendszerbeli számot egy darab egyjegyű számmal le tudunk írni. Ráadásul nagyon könnyű átváltani a két számrendszer között oda vissza: Egy bájt az pont egy kétjegyű hexadecimális számmal ábrázolható, így a jobb oldali 4 és a jobb oldali 4 bináris számjegy is egy-egy hexa számjegyet jelent. A helyiértékek: -es, 6-os, 6*6-os, 6*6*6-os, Mennyit ér -es számrendszerben a 7D4? -es -es 6-os -es -es 6-os 6 7 8 9 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 4 8 9 9 5 9 A 6 A B 7 B C 8 C D 9 D 4 E E 5 F F. táblázat: Átváltás -es és 6-os számrendszer között 7 Természetesen +=, de a kettes számrendszerben leírva D= B 8 Kezdő UHU-Linux Felhasználók Kódexe, 4. oldal 4.6..; v.9.; BMRG 4
AZ OKTÁLIS SZÁMOK pedig -7 közti számjegyekből állnak. Az oktális és a bináris számok is könnyen válthatóak át egymásba: egy oktális számjegy pont biten ábrázolhatóak. A. táblázat megadja a különféle számrendszerek egyes helyiértékeinek -es rendszerbeli értékét, így segítséget nyújthat az átváltáshoz. Tört számok esetén is segíthet, mert bár a tizedes (vagy kettedes) vesszőtől jobbra levő értékeket nem tünteti fel a táblázat, könnyen kiszámolható az /x képlettel (ahol x a megfelelő helyiérték a táblázatból). 9 Számjegy 4 5 6 7 8 9 Helyiérték 4 5 6 7 8 9.. BCD számok -es számr. (decimális) = = = = 4 = 5 = 6 = 7 = 8 = 9 = = = Ez a Binary Coded Decimal (azaz Binárisan Kódolt Decimális) számokat jelöli. Az ilyen szám nem egy 8 bites szám, hanem két darab 4 bites szám, melyek a -9 értékeket vehet fel. Tehát a számjegyeket tároljuk. Mivel nem egy szám, hanem két független számjegy, ezért az alapműveleteket nem a hagyományos módon kell elvégezni. Például a 7-es szám BCD-ben így néz ki: (az első 4 bit értéke, a második 4 bité 7)..4. Szövegek tárolása Helyiértékek a különféle számrendszerekben -es számr. (bináris) = = = 4 = 8 4 = 6 5 = 6 = 64 7 = 8 8 = 56 9 = 5 = 4 = 48 8 = 8 = 8 8 = 64 8 = 5 8-as számr. (oktális) 8 4 = 496 8 5 = 768 8 6 = 644 8 7 = 975 8 8 = 67776 8 9 = 4778 8 = 77484 8 = 85899459 FELADAT: A számítógép tudjon tárolni betűket is. A PROBLÉMA: A számítógép csak számokat tud tárolni, csak számokkal tud műveleteket végezni. (Azt is leginkább bináris számokkal: vezet/nem vezet, van feszültség/nincs feszültség) A MEGOLDÁS: A betűket, írásjeleket stb. (egy szóval karaktereket) kódolni fogjuk. A kódolás azt jelenti, hogy egy-egy betűhöz egy-egy számot rendelünk. Például a számok jelentsék a következőt: =A, =Á, =B, 4=C, 5=CS, 6=D, 7=DZ, 8=DZS, 9=E, =É, =F, =G Ezeket a kódokat és jelentéseket egy táblázatban felírjuk egy lapra, hogy el ne felejtsük. Ezt a táblázatot hívják kódlapnak. Ezután ha például azt látjuk leírva, hogy 9,,, 6 akkor (az előbbi kódlap alapján értelmezve) ki tudjuk találni, hogy miről van szó. Persze többféle módon lehet számokat rendelni a karakterekhez, a fenti az csak egy találomra kiválasztott példa. Ezzel a hozzárendeléssel az a baj, hogy önkényesen történik. Lehet, hogy a világ más részén valaki úgy is gondolhatja, hogy az egyjegyű számokhoz (-9) az írásjeleket és a szünetet rendeli, és -től kezdi az A-betűt. Ha két program nem ugyanazt a betű szám összerendelést használja, akkor amit az egyik programmal elkészítettünk, a másik programból megnézve zagyvaságnak tűnik. Ez nem jó. 9 Például a második tizedesjegyhez kinézzük a = -at,tehát értéke / lesz. Ugyanez 6-os számrendszerben: kinézzük a 6 = 56-ot,tehát értéke /56 lesz. Dél körül. Egy orosz programozónak pedig valószínűleg nem a magyar ABC jut az eszébe 6-os számr. (hexadecimális) 6 = 6 = 6 6 = 56 6 = 496 6 4 = 6556 6 5 = 48576 6 6 = 67776 6 7 = 6845456 6 8 = 49496796 6 9 = 687947676 6 = 6 = Az első oszlop a számjegyek helye a számban, jobbról balra számolva. (Például az 58 -as számból a 8 -as az első számjegy (egyesek), és az 5 -ös a harmadik számjegy (aminek helyiértéke -es rendszerben -as, 8-as rendszerben 64-es, 6-os rendszerben pedig 56-os)). táblázat: A helyiértékek -es, -es, 8-as és 6-os számrendszerekben 4.6..; v.9.; BMRG 5
Közösen meg kell állapodni, hogy melyik szám melyik betűt jelenti. A legelterjedtebb ilyen megállapodás az Amerikai Szabványos Kódolás (American Standard Code for Information Interchange, röviden ASCII). Mivel az alapegység a byte, ami 8 bitből áll, ehhez a számtartományhoz rendeltek karaktereket. Ebből egy bitet akkoriban a kommunikáció ellenőrzésére használták, ezért csak a maradék 7 biten tárolt 8 számhoz (-7 közötti értékek) rendeltek karaktereket. Íme néhány karakter kódja: Szám Binárisan Hex Mit jelent? Szám Binárisan Hex Mit jelent? 47 F Szünet (space) Felkiáltójel (írásjelek és matematikai jelek) 48 49 5 57 58-6 9 9 További jelek: : ; < = >? 64 65 66 67 9 9-96 4 4 4 4 5A @ A B C Z További írásjelek: [ \ ] ^ _ 97 98 99-7 6 6 6 6 7A ` a b c z További írásjelek:{ } ~ A - közötti számkódok különleges célra lettek meghatározva, a rendes karakterek -vel (hexa ) kezdődnek. Amit érdemes megjegyezni az, hogy 48-tól (hexa ) kezdődnek a számjegyek, és 65 (hexa 4) a nagy A, és 65+ (hexa 4+) a kis a betű). A másik fontos észrevétel, hogy nem tartalmaz ékezetes (magyar) karaktereket, mivel eredetileg az USA számára (angol nyelvhez) készült. Ebből elég sok bonyodalom adódik, melyeket most nem részletezünk. A lényeg, hogy a 8-55 tartományban minden ország meghatározta, hogy melyik szám melyik ékezetes betűt jelentse. Így alakultak ki (csak Magyarországot tekintve) a CWI, IBM85, Windows-5, ISO-8859- kódlapok. 4 (Jelenleg az ISO-8859- az elterjedten használt kódlap.) A magyar kódlap és a többi ország kódlapjai is mind ugyanazokhoz a számkódokhoz (8-55) rendelik a saját ékezetes betűiket. 5 Ezért egyszerre csak kódlap használható. Így viszont nem lehet például egy szövegben leírni magyar, francia cirill és görög betűket. Ezért megterveztek egy nagy egyesített (unified) kódlapot (code page), amiben a világ összes betűje szerepel. Ez lett az UNICODE. Ez a szabvány a karaktereket hogy a sok ezer kínai, indiai, afrikai betű is beleférjen -- nem 8, hanem biten ábrázolja. 6 A szabványt néhány évente újra tárgyalják, és ha szükséges, új karaktereket vesznek fel a szabványba. Mivel a UNICODE 8 bitnél hosszabb értékekkel dolgozik (a mai számítógépek pedig a byte-ot szeretik), ezért csak lassan terjedt el. 7 Megemlítendő még, hogy az MS-Word már 997 óta a UNICODE egyik 6-bites részhalmazát használja. Itt egy betűt egy (vagy két) darab 6 bites karakter ír le. Azaz egy karakter két egymás utáni byte-ot foglal el. Ha egy szöveget úgy látunk, hogy minden második betűje egy négyzet, az azért van, mert azt nem byte-onként (8 bitenként) kellene értelmezni (ahogy a programunk teszi), hanem kétbyte-onként (6 bitenként). Mostanában (4) kezdik széleskörűen használni UTF-8-nak nevezett kódolást 8, ami a bites UNICODE egy speciális 8 bites kódolása. Így a magyar szövegek alig lettek hosszabbak, mint korábban (a legtöbb betű byte-os), de mégis van lehetőség ugyanabban a szövegkörnyezetben leírni az egzotikus betűket is (görög, cirill, kínai). 9 Az IBM ekkor már belsőleg használt egy EBCDIC nevű kódolást. Az IBM nagygépek még most is így működnek belsőleg. Mint például: lapdobásjel (nyomtatónak); tárcsázásjel (modemnek), újsor-jel (táv-írógépnek); üzenet/fájl vége stb. 4 Azért nem darab van, hanem ennyi, mert az IBM és Microsoft is a saját (több országra kiterjedő) szempontjaik szerint saját kódlapokat határoztak meg. (Az, hogy egyes országok már addigra kitaláltak valamit, az nem számított.) Ebből volt is kavarodás az elmúlt időszakban. A 85-es kódlap magyar szabvány lett: MSZ 7795-:99 néven. Mai napig ez a magyar nyelvű DOS betűinek kódolása. 5 Például a 65 az jelenthet (magyar kódlap szerint) á betűt, de egy svéd vagy francia kódlap szerint egy másik betűt jelent. 6 Néhány éve kérték, hogy a Star Trek-ből ismert harcias Klingon nép ABC-jét is vegyék bele az UNICODE kódlapba. De a mérnökökből álló döntőbizottság végül komolytalannak tartotta az ötletet. Az ősi magyar rovásírás még elbíráslás alatt áll. 7 Két ok lassítja a terjedését: egyrészt, hogy a bites kód nem 56, hanem kb. millió különböző karaktert jelent, és ennyit nehéz kezelni egy programnak. A másik baj, hogy mivel 4 byte-on ábrázolnak egy betűt, ez 4-szeres helyfoglalást jelent. 8 Az ajánlás azrfc69 ( november). Ez az 998-as RFC79 újragondolt, módosított verziója. 9 De az UNICODE sem tökéletes, mert a magyar nyelvtan szerint az ny olyan egyetlen betű, ami két betűjegyből (n és y) áll, ez elválasztásnál lehet fontos. (Nem beszélve a régi kettős betűkről, mint például az eö (Weöres) vagy cz (Losonczy)) 4.6..; v.9.; BMRG 6