Tételsor a szóbeli számításelmélet vizsgához A vizsgázó az 1-6., 7-10., 11-15. és 16-19. tételek közül húz egyet-egyet. Minden rész 1..5-ig lesz értékelve. Minden részb ı l legalább 2-est kell elérni, hogy 1-nél nagyobb jegyet kapjunk, ekkor a jegyek átlaga lesz az érdemjegy. 1., Elsı rend nyelvek, termek, formulák.kötött és szabad változók. Elsı rend nyelv, típus, változó, konstansjel, függvényjel, argumentumszám, predikátum- és függvényjelek alakja, term, term típusa, szabad változói, term szerkezeti fája, termekre vonatkozó szerkezeti indukció és egyértelm elemzés, atomi formula, formula, formula logikai összetettsége, formula szerkezeti fája, formulákra vonatkozó szerkezeti indukció és egyértelm elemzés, formulában változó szabad/kötött elı fordulása, formula paraméterei, nyílt/zárt formula, mondat, Termhelyettesítés, termhelyettesítés szabályos végrehajtása, vátozótisztasági lemma és bizonyítása. Példák elsı rend nyelvekre: Ar, Geom nyelvek. Természetes nyelvi állítások alkalmas nyelven történı formalizálása. [PVK-VM 1-3. fejezet, mint feltételezett alapismeret és 5.1 fejezet] 2., Az elsı rend nyelv interpretálása. Kielégíthetı formulák. Interpretáció adott nyelv számára. Változóértékelés adott interpretáció felett. Termek értéke, formulák igazságértéke. Termek értéke és formulák igazságértéke csak a szabad változók változóértékelésétı l függ. Nyílt termek és formulák jelentése. Példák interpretációkra, konkrét formulák és termek értékelése adott interpretációban. Kielégíthetı formulahalmaz fogalma. Példák kielégíthetı és nem kielégíthetı formulahalmazokra. [PVK-VM 5.2 fejezet] 3., Logikai törvények és ellentmondások. Logikailag ekvivalens formulák. A logikai következmény. Logikai következmény, logikai törvény, logikai ekvivalencia, logikai ellentmondás, Ttautologikusan igaz formula fogalma. A formula általánosítása. Példák, bizonyítással. Kvantoros logikai törvények és igazolásuk. Módszer ezen fogalmak eldöntésére propozicionális(nulladrend ) logika esetén. [PVK-VM 5.3 5.4 fejezet] 4., Ítéletlogikai kalkulusok, helyesség, teljesség. Ítéletkalkulus axiómasémái, levezetés, egy formula ítéletlogikai levezethetı sége adott formulahalmazból, bizonyítható formula. A szemantikus és szintaktikus következményfogalom különbsége és kapcsolata: Gödel-féle teljességi tétel. Dedukciós tétel, bizonyítással. Az eldöntésprobléma tétele, bizonyítással. Az ítéletkalkulus helyessége, bizonyítással. Az ítéletkalkulus gyönge teljessége a Kalmár-féle bizonyítás. Az ítéletkalkulus teljessége, bizonyítás csak a jeles édemjegyért. [PVK-VM 6.1 fejezet 1. alfejezet] 5., Az elsı rend logika bizonyításelmélete. A természetes levezetési kalkulus. A predikátumkalkulus axiómasémái, levezetési szabályai, levezetései. Egy formula levezethetı sége adott formulahalmazból, bizonyítható formula. A szemantikus és szintaktikus következményfogalom különbsége és kapcsolata elsı rend logika esetén. Dedukciótétel, bizonyítással. A predikátumkalkulus helyességérı l szóló tétel és bizonyítása. Az általánosítás szabálya. A predikátumkalkulus Gödel-féle teljességi tétele bizonyítás nélkül. [PVK-VM
6.1.2 alfejezet] A természetes levezetés szabályai, azok helyességének igazolása. [PVK-VM 6.2.1 alfejezet] A formális axiomatikus elmélet fogalma és példák. [PVK-VM 335 338. oldal] 6., A kvantormentes formulák normálformái, a kvantoros formulák prenex alakja. Literál, elemi konjunkció, elemi diszjunkció, konjunktív normálforma, diszjunktív normálforma, a k.n.f.-ra alakítás tétele, a d.n.f-ra alakítás tétele: a bizonyítás szemléltetése példán keresztül.[pvk-vm 93 96. oldal] Prenex normálforma, a p.n.f-ra alakítás tétele. [PVK-VM 143 246. oldal] 7., Nyelvek, nyelvtanok. M veletek nyelvekkel. Chomsky-féle nyelvosztályok. Szó, üres szó, szó hosssza, m veletek szavakkal. Nyelv, nyelvek megadási módjai. M veletek nyelvekkel. Reguláris kifejezések és nyelvek definíciója. Azonosságok reguláris kifejezések között. A Chomsky-féle nyelvosztályok. L3 L2 L1 L0, bizonyítással. Az üresszó-lemma, a bioznyítás szemléltetése egy példán keresztül. [DFHM 1.1, 1.3, 2.7, 3.1 3.3] 8., Automaták típusai. Gill tétele. Mealy-, Moore-, kimen jel nélküli automata, véges-, iniciális-, parciális automata, nemdeterminisztikus automata, valószín ségi automata, Robin-Scott féle felismer automata)}. Automaták megadása táblázattal és gráffal.. A Mealy- és Moore-automaták ekvivalenciája (Gill tétele) a bizonyítás példán keresztüli bemutatásával. [DFHM 2.1--2.2, 2.6] ı 9., Automaták és nyelvek kapcsolaom1v1 Il.. ı
[Rónyai 7.1-7.2] 12., Szimuláció, szimulációs tételek. A szimuláció fogalma. Többszalagos T-gépek szimulációja 1-szalagossal. Többszalagos gépek gyors szimulációja 2-szalagossal. Lineáris gyorsítás tétele. A bizonyítás ötletei kellenek. [Rónyai 7.3] 13, Rekurzív és rekurzívan felsorolható nyelvek. Univerzális Turing-gépek. Church-tézis. Rekurzív és rekurzívan felsorolható nyelv. Parciálisan rekurzív függvény. A Church-Turing tézis és intuitív érvek elfogadása mellett. Van rekurzívan nem felsorolható nyelv bizonyítással. Van parciálisan sem rekurzív fügvény bizonyítással. A Turing-gépek és számítások egy kódolása, egy univerzális Turing-gép. A diagonális nyelv. Az univerzális nyelv. A rekurzív és rekurzívan felsorolható nyelvek kapcsolata. A rek. fels. nyelvek és a parc. rek. függvények értékkészleteinek kapcsolata bizonyítással. [Rónyai 7.4 7.7] 14., Algoritmikusan nem megoldható problémák. A megállási probléma. Eldönthetı nyelv és eldönthetı probléma. További eldönthetetlen problémák. A megállási probléma. Hilbert 10. problémája diofantoszi egyenletek. A dominóprobléma. Post megfeleltetési problémája. Példák eldönthetı nyelvekre. [Rónyai 7.8] 15., RAM-gépek. A RAM-gépek, az általuk kiszámítottt függvények és általuk eldöntött nyelvek. RAM-gépek uniform és logaritmikus költsége. RAM-gépek és Turing-gépek egymással való szimulációja, a biz. ötletével. [Rónyai 7.10] 16., Bonyolultsági osztályok. A tár-idı tétel. Idı korlátos Turing-gépek, tárkorlátos T-gépek. TIME(f), SPACE(f),F TIME(f), FSPACE(f). P, PSPACE, EXPTIME, EXPSPACE. Tár-idı tétel, bizonyítással. Tár-idı tétel függvénykiszámításokra, bizonyítással. cotime(f)=time(f), cospace(f)=space(f). P PSPACE EXPTIME, bizonyítással. Példák P-beli nyelvekre és FP-beli függvényekre: A magyar módszer maximális párosítás keresésére, gráf csúcsainak 2 színnel való kiszínezhetı sége, egy adott jelsorozat formula-e adott elsı rend nyelvben, egy 2-es típusú nyelvtanban levezethetı -e adott szó. [Rónyai 8.1 8.2 + a logika és nyelvek és automaták tárgyak idevágó részei] 17., Nemdeterminisztikus Turing-gépek. P és NP osztályok és kapcsolatuk. A tanú tétel. Nemdeterminisztikus Turing-gép, futása és elfogadott szavai, a nemdet. T-gépek által felismert nyelv definíciója. Nemdeterminisztikus idı - és tárkorlát fogalma. NP, conp fogalma. P NP, P conp. P=NP és P NP következményei a számítástudományban és a kriptográfiában. A tanú-tétel, bizonyítással. Példák NP-beli nyelvekre: az összetett számok nyelve, prímek nyelve, kielégíthetı nulladrend logikai kielégíthetı formulák halmaza,
Hamilton-körrel rendelkezı gráfok és irányított gráfok, 3 színnel színezhetı gráfok. Az egészek faktorizációjának FP-beliségére vonatkozó szükséges és elégséges feltétel. [Rónyai 8.3 8.4] 18. NP-teljes problémák. Karp-redukció. Példák NP-teljes problémákra. NP-nehéz és NP-teljes problémák. A SAT-probléma NP-teljes (Cook-Levin tétel). Karpredukció és tulajdonságai. További NP-teljes problémák: 3-SAT, a 3 színnel kiszínezhetı gráfok nyelve, maximális méret független pontrendszer gráfokban, az ÉLLEFOGÁS probléma, 3-dimenziós házasítás problémája, pontos fedés hármasokkal, Hamilton-körrel rendelkezı gráfok, Hamilton-körrel rendelkezı irányított gráfok problémája, az utazóügynökprobléma, a hátizsák-probléma, a Részhalmaz-összeg probléma. [Rónyai 8.5 8.7] 19., A programhelyesség bizonyítása. A szekvenciális programok szintaxisa és szemantikája. Parciális helyesség és teljes helyesség. A programhelyesség bizonyításának módszere: Hoare-kalkulus szabályai. Példa a Hoarekalkulus alkalmazására egyszer, egy-két ciklusos programok esetére. [Varga-Kozma 134 158. oldal] [Papp Z. prezentációk] KÖTELEZ İ IRODALOM [PVK-VM] Pásztorné Varga Katalin Várterész Magda: A matematikai logika alkalmazásszer tárgyalása, Panem, 2003. [DFHM] Dömösi Pál, Fazekas Attila, Horváth Géza, Mecsei Zoltán: Formális nyelvek és automaták, DE elektronikus egyetemi jegyzet, http://www.inf.unideb.hu/~domosi/fonya_ok.pdf [HMN] Horváth Géza, Mecsei Zoltán, Nagy Benedek: Gyakorlati összefoglaló, elektronikus jegyzet a Nyelvek és automaták c. tárgy számára, http://www.inf.unideb.hu/~domosi/feladat1.ps [Rónyai] Rónyai Lajos, Ivanyos Gábor, Szabó Réka: Algoritmusok, Typotex, 1998 [Varga-Kozma] Varga László, Kozma László: A szodftvertechnológia elméleti kérdései, Kiskapu, 2007 [Papp Z] Papp Zoltán: Hoare-kalkulus prezentációk, interneten elérhetı fájlok, http://www.inf.unideb.hu/~pappzol AJÁNLOTT IRODALOM Patricza(szerk): Formális módszerek az informatikában, Typotex, 2004.