Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés: Teljes négyzetté alakítás x 1x 16 = (x 6x 8) = (x 6x 9 9) 16 = [(x 3) 9 16] = = (x 3).. lépés: Ábrázolni: 3. lépés: Az ábráról leolvasható, hogy hol veszi fel a függvény a nulla értéket. (Ez egyben a zérushelye is.) x 1 = 4 és x =. Hiányos másodfokú egyenlet megoldása Hiányos másodfokú egyenlet: ax c =, ahol a. Általános megoldás: x 1 = c a és x = c a, ahol c a. Példa1.: 4x 16 = 4x 16 = Hozzáadunk mindkét oldalhoz 16ot. 4x = 16 Osztunk 4gyel. x = 4 Mindkét oldalból négyzetgyököt vonunk. KÉT megoldás lesz!!! x 1 = és x =. Hiányos másodfokú egyenlet: ax bx =, ahol a. 1
Általános megoldás: x 1 = és x = b a. Példa.: 4x 16x = 4x 16x = Kiemelünk 4xet. 4x(x 4) = Egy szorzat értéke akkor, ha az egyik tényezője. 4x = vagy x 4 = Megoldva a két egyenletet: x 1 = és x = 4. A másodfokú egyenlet megoldóképlete Másodfokú egyenlet általános alakja: ax bx c =, ahol a, és a, b, c valós paraméterek. Megoldásai (gyökei) a következő megoldóképlettel számolható ki: x 1, = b ± b 4ac a Példa3. x 8x 9 =. a = 1; b = 8; c = 9. Behelyettesítve a megoldóképletbe: Ebből: x 1,= ( 8) ± ( 8) 4 1 ( 9) 1 = 8 ± 1 = 8 ± 1 x 1 = 8 1 = 9 és x = 8 1 = 1 Ellenőrzés: Az eredeti egyenletbe behelyettesítve a kapott eredményeket: Ha x 1 = 9, akkor Bal oldal: 9 8 9 9 =, Jobb oldal. Ha x = 1, akkor Bal oldal: ( 1) 8 ( 1) 9 = 1 8 9 =, Jobb oldal. A másodfokú egyenlet diszkriminánsa Az ax bx c = (a ) másodfokú egyenlet megoldóképletében a b 4ac kifejezést diszkriminánsnak nevezzük, jele: D. Két valós gyöke van, ha D >. Egy valós (két egyenlő) gyöke van, ha D =. Nincs valós gyöke, ha D <. Példa1. Az egyenletek megoldása nélkül állapítsd meg, hogy hány megoldása van! a) x 6x 1 = b) x 6x 9 = c) x 6x 1 =. a) Vizsgáljuk a diszkrimináns értékeit!
a = 1; b = 6; c = 1; D = b 4ac = 6 4 1 1 = 36 4 = 3 >, tehát két megoldása van. b) a = 1; b = 6; c = 9; D = b 4ac = 6 4 1 9 = 36 36 =, tehát egy megoldása van. c) a = 1; b = 6; c = 1; D = b 4ac = 6 4 1 1 = 36 4 = 4 <, tehát nincs megoldása. A gyöktényezős alak Az a(x x 1 )(x x ) = egyenletet a másodfokú egyenlet gyöktényezős alakjának nevezzük. Példa1. Írd fel az x x 6 = másodfokú egyenlet gyöktényezős alakját! Számold ki a másodfokú egyenlet gyökeit a megoldóképlet segítségével. x 1 = 1 és x = 3 Mivel a =, ezért a gyöktényezős alak: (x 1)(x 3) =. Viéte formulák Az ax bx c = másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói között fennállnak a követező összefüggések: x 1 x = b a és x 1 x = c a Ezeket az összefüggéseket nevezzük Viéte formulának. Példa. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg a gyökök összegét, és szorzatát! 5x 3x = Az egyenletből leolvasva: a = 5; b = 3; c =, majd behelyettesítve a Viéte formulákba: x 1 x = b a = 3 5 x 1 x = c a = 5 = 5 Négyzetgyökös egyenletek Azokat az egyenleteket, amelyekben az ismeretlen négyzetgyök alatt van, négyzetgyökös egyenletnek nevezzük. Példa: Oldd meg a következő egyenleteket! a) x 3 = 4 b) x 1 = x 1 c) x 3 x = 5 d) x 3 x = 4 3
a) 1. Lépés: KIKÖTÉS: A gyökjel alatt nem állhat negatív szám, ezért: x 3, amiből x 3.. lépés: Egyenlet rendezése, mindkét oldalt négyzetre emeljük: ( x 3) = 4 x 3 = 16, amiből x = 13. A 13 jó megoldás, mert megfelel a kikötésnek. Ellenőrzés: Bal oldal: 13 3 = 16 = 4 Jobb oldal: 4. b) 1. Lépés: KIKÖTÉS: Bal oldalra: A gyökjel alatt nem állhat negatív szám, ezért: x 1, amiből x 1. Jobb oldalra: Négyzetgyökvonás értéke nemnegatív: x 1, amiből x 1. A két egyenlőtlenség közös része: x 1.. lépés: Egyenlet rendezése, mindkét oldalt négyzetre emeljük: ( x 1) = (x 1) x 1 = x x 1 = x 4x = x(x 4) amiből x 1 = és x = 4. A 4 jó megoldás, mert megfelel a kikötésnek, a nem megoldása az egyenletnek. Ellenőrzés: Bal oldal: 4 1 = 9 = 3 Jobb oldal: 4 1 = 3. c) 1. Lépés: KIKÖTÉS: Az egyenlet jobb oldalán negatív szám szerepel. Az egyenlet bal oldalán vedd észre, hogy a két gyökjel értéke nullánál nagyobb kell legyen, és köztük összeadás van, tehát az összegük is nulla, vagy annál nagyobb. Ellentmondásra jutottunk a két oldal vizsgálatakor, emiatt nincs megoldása az egyenletnek! d) 1. Lépés: KIKÖTÉS: Bal oldalra: A gyökjel alatt nem állhat negatív szám, ezért: x 3, amiből x 3 és x, amiből x. A két egyenlőtlenségnek nincs közös része, ezért az egyenletnek nincs megoldása. Számtani és mértani közép Definíció: Két nemnegatív szám számtani közepén a két szám összegének a felét értjük: a b A(a, b) = Kettőnél több szám esetén: A = a 1 a a n n Definíció: Két nemnegatív szám mértani közepén a két szám szorzatának a négyzetgyökét értjük: 4
Több szám esetén: G(a, b) = a b n G = a 1 a a n Másodfokú egyenlőtlenségek Példa1. Oldd meg az alábbi másodfokú egyenlőtlenséget! x 6x 5 >. 1. lépés: Oldd meg az egyenlőtlenséget, mintha egyenlőség lenne. x 6x 5 =, amiből x 1 = 1 és x = 5.. lépés: Az egyenlőtlenség megoldása várhatóan egy (vagy több) intervallum lesz, azok az intervallumok, ahol a másodfokú kifejezés nullánál nagyobb, vagyis pozitív () értéket vesz fel, ezért készítünk egy táblázatot: ] ; 1[ 1 ]1; 5[ 5 ]5; [ x (pl. x = ) (pl. x = ) (pl. x = 1) 6x 5 jó nem jó nem jó nem jó jó A táblázatból leolvasható: Megoldás = {x R ] ; 1[ ]5; []} (Más jelöléssel: x < 1 vagy x > 5 ) Példa. Oldd meg az alábbi egyenlőtlenséget! x x 6 x 4x 5 1. lépés: A számlálót, és a nevezőben levő másodfokú kifejezést egyenlővé tesszük val, és megoldjuk. Számláló: x x 6 =, amiből x 1 = és x = 3 Nevező: x 4x 5 =, amiből x 3 = 1 és x 4 = 5. lépés: Készítünk egy táblázatot: Sz.: x x 6 N.: x 4x 5 ] ; [ ]; 1[ 1 ]1; 3[ 3 ]3; 5[ 5 ]5; [ pl. x = 3 pl. x = 1,5 pl. x = pl. x = 4 pl. x = 6 pl. x = 3 pl. x = 1,5 pl. x = pl. x = 4 pl. x = 6 n. é. n. é. jó jó nem jó n. é. jó jó nem jó n. é. jó A táblázatból leolvasható: Megoldás = {x R ] ; ] ] 1; 3] ]5; [} (Más jelöléssel: x vagy 1 < x 3 vagy 5 < x ) Észrevétel: Sz N jelenti: vagy vagy vagy Sz N jelenti: vagy vagy vagy 5
Sz N > jelenti: vagy, ahol Nevező Sz N < jelenti: vagy, ahol Nevező. Másodfokúra visszavezethető magasabb fokszámú egyenletek Példa: Oldd meg az alábbi negyedfokú egyenletet! x 4 5x 4 = Legyen y = x, és y = x 4 Ekkor: y 5y 4 = másodfokú egyenletet kaptunk, melynek megoldásai: y 1 = 4 és y = 1 Mivel y 1 = x = 4, ebből x 1 = és x =, valamint y 1 = x = 1, ebből x 1 = 1 és x = 1. x = {; 1; 1; } Ellenőrzés: MIND a 4 végeredménnyel: Ha x =, akkor a bal oldal: ( ) 4 5( ) 4 = 16 4 =. Ha x = 1, akkor a bal oldal: ( 1) 4 5( 1) 4 = 1 5 4 =. Ha x = 1, akkor a bal oldal: 1 4 5 1 4 = 1 5 4 =. Ha x =, akkor a bal oldal: 4 5 4 = 16 4 =. Az egyenlet jobb oldala:. Másodfokú egyenletrendszerek Példa: I. x y = 7 II. x y = 18 } Az első egyenletből fejezzük ki valamelyik ismeretlent: x kifejezése I. x y = 7 x = 7 y} II. x y = 18 A másik egyenletbe behelyettesítjük x helyére 7 y t. I. x y = 7 } II. (7 y) y = 18 A második egyenlet már csak egy ismeretlent tartalmaz. Felbontjuk a zárójelet, elvégezzük az egyenlet rendezését. 7y y = 18 y 7y 18 =, amiből: y 1 = 9 vagy y =. Kiszámoljuk x et: Ha y 1 = 9, akkor x 1 = 7 y = 7 9 = Ha y =, akkor x = 7 y = 7 ( ) = 9. (x; y) = ( ; 9)vagy (9; ). Ellenőrzés: Ha (x; y) = ( ; 9), akkor I. Bal oldal: 9 = 7, jobb oldal: 7. II. Bal oldal: ( ) 9 = 18, jobb oldal: 18. 6
Ha (x; y) = (9; ), akkor I. Bal oldal: 9 ( ) = 7, jobb oldal: 7. II. Bal oldal: 9 ( ) = 18, jobb oldal: 18. 7