A lineáris törésmechanika alapjai Tihanyi Károly Tartalom Bevezetés... 1 Törésmechanikai elméletek... 1 Lineárisan rugalmas törésmechanika... 2 Feszültség intenzitás elmélete... 2 Energia elmélete... 5 Irodalomjegyzék... 8 Bevezetés Törésmechanika a törésre való méretezéssel foglalkozó tudományág. A hagyományos szilárdsági méretezéssel szemben, feltételezi, hogy az anyag nem tökéletes folytonosságú, hanem abban valamilyen oknál fogva repedések vannak jelen. A törésmechanika feladata annak eldöntése, hogy a repedés milyen feltételek mellett terjed tovább.[1] Ennek a tudománynak az alapját képező repedéseknek az anyag makroszkópikus folytonossági hiányait hívjuk. Az anyagot összetartó kémiai kötés a repedés környezetében külső vagy belső feszültségek, esetleg az anyagot körülvevő közeg hatására megszűnik. Ez a folyamat végül az adott alkatrész törésével teljesedik ki.[2] Törésmechanikai elméletek A törésmechanika viszonylag fiatal tudományág, az 1950-es évek végétől kezdték el kidolgozni a különböző anyagokra, illetve repedésterjedési típusokra érvényes elméleteket. Bár Griffith által már az 1920-as években kidolgozott repedésterjedésre vonatkozó elméletét is lehet a kezdet kezdetének tekinteni. A repedés terjedés feltételének azt tekinti, hogy a felszabaduló rugalmas alakváltozással tárolt energia nagyobb, mint a keletkező felületek felületi energiája. Elméleti megfontolásai azonban csak a szélsőségesen rideg anyagokra igazak. Kimutatták, hogy még a legridegebb anyagokban is a repedés csúcsánál létrejön egy atomi méretekben mérhető képlékenyen alakváltozott anyagrész. Az ő elméletét aztán Irwin dolgozta tovább, figyelembe véve a repedés előtti képlékeny tartományt is.[1,2] A törésmechanikai elméletek alapvetően kétféle megközelítéssel élnek, az előzőekben ismertetett repedésterjedéshez szükséges energia elméletéből, vagy pedig a repedés csúcsánál a külső/belső névleges feszültségek által létrehozott feszültség-, alakváltozási mező meghatározásából, vezetnek le olyan összefüggéseket, melyekből eldönthetővé válik, hogy a repedés terjedni fog-e vagy
sem. Lineárisan rugalmas anyagokra, ahol egyszerű geometriai feltételek esetén komplex feszültség függvényekből levezetett analitikus megoldások nyújtanak kielégítő pontosságú törési kritériumokat. A fenti törésmechanikai elméletekből kielégítő pontosságú törési feltételekhez lehet jutni, olyan esetekben, ahol a repedés előtti képlékeny tartomány lényegesen kisebb, mint a repedés mérete.[2] Azokban az esetekben azonban, mikor a képlékenyen alakváltozott anyagrész mérete már jelentős a képlékeny törésmechanika megközelítéseivel kell élni. Az egyik ilyen a COD-elmélet (= crack opening displacement), amely nem a repedéscsúcs feszültségintenzitásával, hanem az elmozdulás, a kritikus repedéskinyílás segítségével állapít meg repedésterjedési kritériumokat. A másik, igen elterjedten használt J-integrál elmélet, amely a repedéscsúcs körül kialakult rugalmasan alakváltozott mező energiájából, valamint elmozdulás, feszültség mezőből kiindulva határoz meg törési feltételt.[2] Ezeken kívül születtek még elméletek a fáradásos repedésterjedési -, hőfáradásos repedésterjedési -, valamint a korróziós repedés terjedési sebesség megahatározására. A dinamikus erőhatások pedig a repedés megindulási, repedés terjedési, valamint repedés megállási elméleteket dolgoztak ki.[2] Lineárisan rugalmas törésmechanika Feszültség intenzitás elmélete A lineárisan rugalmas törésmechanika feszültség intenzitás levezetett törési kritériumhoz először érdemes megvizsgálni Neuber feszültség koncentrációs tényezőjét. Az 1.ábrán látható lemez alakú próbatestet névleges húzófeszültséggel terhelünk, ebben egy ellipszis alakú repedés található. Az ellipszis hossztengelye hosszúságú, a repedés végeinek lekerekítési sugara. Ekkor többtengelyű feszültség állapot alakul ki, melynek a húzás irányú komponense az ábrán látható eloszlású. Ennek a maximuma: (1), ahol formatényező az (2). Látható, hogy minnél nagyobb a repedés hossza a szélességéhez képest annál nagyobb ez az érték. Valódi repedésméreteknél a maximális feszültség 2-3 nagyságrenddel nagyobb is lehet, mint a névleges feszültség, esetén, pedig a a -hez tart.[1]
1.ábra: Neuber feszültség koncentrációs tényezőhöz tartozó értékek [3] A Neuber feszültség koncentrációs elv éles bemetszésekre, azaz lekerekítési sugarú repedésekre nem alkalmazható. A probléma megoldása egy síkban fekvő hosszúságú, éles bemetszésű repedést tartalmazó test feszültségállapotának meghatározásából indul ki. A modell különböző terhelési módokra egy végtelen méretű, lemezszerű testben, a repedés csúcsának környezetében szilárdságtani számítások útján határozza meg a különböző feszültségkomponensek nagyságát az repedéscsúcstól mért távolság, és a repedés síkjával bezárt szög függvényében. A modell értelmezését segítő vázlat a 2.ábrán látható. Ha a lemezre a repedés síkjára merőleges irányú feszültség hat, akkor a, húzófeszültségek, valamint a nyírófeszültségek értéke a következő egyenletekkel írható fel:
2.ábra: Egy végtelen, lemezszerű anyag feszültség intenzitási tényezőjének meghatározásához szükséges jelölések értelmezése [4] Ha síkbeli feszültségi állapotban van a test, akkor a, ha azonban az, azaz síkbeli alakváltozási állapot írja le a test viselkedését, akkor az egyenletből a. Látható, hogy a, és a -hez tartozó egyenletek mindegyike egy csak a repedés méretétől és a feszültség nagyságától függő tagból és egy csak a repedés csúcsától való távolságtól és iránytól függő tagok szorzatából áll. A feszültségmező, tehát egy értékkel jellemezhető, melyet feszültségintenzitási tényezőnek neveznek és a mértékegysége vagy. Ha ennek mértéke meghalad egy az anyagra, illetve a falvastagságra jellemző értéket a repedés elkezd instabilan terjedni, ezt a mérőszámot kritikus feszültségintenzitási tényezőnek nevezzük és -vel jelöljük. A feszültség intenzitási tényező indexében levő I a terhelési módra utal, a repedés síkjára merőleges húzófeszültségen kívül még két féle terhelési módot különböztetünk meg. A II terhelési mód esetén az igénybevételi állapot a repedés terjedési irányával párhuzamos, a III mód esetén pedig a lemez síkjából kifelé mutat és az előző kettőre merőleges. Mindhárom terhelési módhoz különböző anyagtól és falvastagságtól függő kritikus feszültségintenzitási tényezők tartoznak, melyeket rendre,, -vel jelölnek. A különböző terhelési módok a 3. ábrán láthatóak, a gyakorlatban a -nek van jelentősége.[1,2]
3.ábra: Végtelen lemezalakú test három különböző terhelési módja [4] Előzöleg említésre került, hogy a kritikus feszültségintenzitási tényező a falvastagságtól is függ, ui. vékony lemezekre a síkbeli feszültségi állapot, míg a vastag lemezekre síkbeli alakváltozási állapot a jellemző, mint ismeretes ebben az esetben egy a lemez síkjára merőleges feszültségkomponens is ébred. A -t a vastagság függvényében ábrázoló diagram a 4.ábrán látható. maximumát a vastagságnál veszi fel, míg értéktől kezdve az alakváltozási állapot gyakorlatilag síkbeli. Energia elmélete 4.ábra: Kritikus feszültségintenzitási tényező falvastagság függése [5] Az lineáris rugalmas törésmechanika energia elméletének tárgyalásához, először érdemes Griffith repedésterjedési modelljét vizsgálni. A megállapításait kizárólag rugalmasan alakváltozott anyag repedésterjedésére mondja ki, ahol a terhelő névleges feszültség a repedés terjedése alatt semmilyen alakváltozást nem okoz a vizsgált darabon, tehát az általa végzett munka 0. Alapfeltevése az volt, hogy a repedés terjedése során a keletkező felületek felületi feszültségéből származó plusz energiának, és a repedés környezetében rugalmas alakváltozással tárolt energia felszabadulásának az összege mindig a stabilisabb állapot felé mozdul, tehát csökken. Azaz az ( felületi feszültségből származó energia, rugalmas energia felszabadulásából származó energia) megváltozása a repedés növekedésének függvényében mindig kisebb, mint 0. Ha az 2. ábrán látható, az előző alfejezetben már vizsgált végtelen lemez alakú testre nézzük, akkor a következő féleképpen juthatunk el a repedésterjedési kritériumhoz: A felületi feszültség növekedéséből származó energia:, ahol 2a a repedés hossza, v a lemez vastagsága, S pedig a fajlagos felületi feszültség, a képlet elején levő 2-es szorzó repedés két végére utal. A tárolt rugalmas energia:, magyarázatára nem térek ki külön, az összefüggés elején lévő a lineárisan rugalmas alakváltozás munkája. Ha ezeket behelyettesítjük a kiinduló összefüggésbe és szerint deriválva megvizsgáljuk, hogy milyen feltételek mellett csökken, akkor a feszültség intenzitási tényezőt kifejező összefüggést kapunk:
Vizsgálatok kimutatták, hogy ez az összefüggés csak ideálisan rideg törésnél érvényes, mert még a legridegebb anyagokban is játszódik le képlékeny alakváltozás.[1] A valóságos repedésterjedéseknél az anyagban tárolt rugalmas energia felszabadulás mellett terhelő erők munkájára is szükség van. Az energia elméletének bevezetéséhez érdemes az 5. ábrán látható elrendezést szemügyre venni. 5.ábra: 2a hosszúságú repedést tartalmazó rugalmasan alakváltozó lemez modellje [2] Ha az anyag lineárisan rugalmas, akkor a lemez egy rugóként is modellezhető és fölírható rá a következő összefüggés:, ahol rugómerevség függ az eredeti hossztól, a rugalmassági modulustól és a repedés hosszúságától. Amennyiben egy adott terhelő erő esetén a repedés hossza megnő, a rugómerevség is vele nő, melyet a 6. ábra szemléltet.
6.ábra: A rugómerevség és a hosszváltozásának hatására munkát viszünk a rendszerbe [2] Látható, hogy a vizsgált darab megnyúlt azaz a sraffozott háromszögnek megfelelő nagyságú munkát vittünk a rendszerbe, amely a repedés növelésére fordítódott. Képletekkel fölírva: Ha ennek a repedésterjedésre fordított munkának nézem a repedés hossza szerinti megváltozását, akkor a G-vel jelölt fajlagos energia felszabadulásnak nevezett értékhez jutok. G mértékegysége MPam vagy MPamm. A G-ből és a kifejezhetőek a következő képletek segítségével: feszültség intenzitási tényezők is Síkbeli feszültségi állapot esetén: Síkbeli alakváltozási állapot esetén: Az első képletet megvizsgálva nagyon hasonló a Griffith által megállapított feltételhez, amelyből megállapítható, hogy a G ideálisan törékeny anyagok esetében éppen a fajlagos felületi feszültség kétszerese, azaz 2S. A valóságban ennél 3 nagyságrenddel nagyobb értékeket mértek. A különbség a képlékeny alakváltozás által felemésztett energiából adódik.
Felkészülést segítő kérdések Milyen törésmechanikai elméletek léteznek? Milyen a tengelyirányú feszültség eloszlása egy ellipszis alakú bemetszést tartalmazó lemezszerű test esetében a Neuber elmélet szerint? Van egy teljes keresztmetszeten átérő, sík repedést tartalmazó végtelen, lemezszerű testünk, melyet a repedésre merőleges egytengelyű húzófeszültséggel terhelünk. A repedés környezetében felírható, feszültség állapotot jellemző egyenletekben mi lesz az a tag, amely csak a feszültségtől és a repedés méretétől függ? Mi feszültségintenzitási tényező jele és mértékegysége? Hogyan dönthető el a fenti esetben, hogy a repedés terjed-e vagy sem? Milyen terhelési módok léteznek? Hogyan befolyásolja a falvastagság mérete a kritikus feszültségintenzitási tényező nagyságát? Milyen alapfeltevésből indul ki a Griffith modell? Milyen repedésterjedési feltételt állapít meg a Griffith modell? Milyen kapcsolat van a Griffith modell és a feszültségintenzitási elmélet között? Hol alkalmazható a Griffith modell? Milyen plusz energiára van szükség a repedés terjedéséhez az energia elmélet szerint a Griffith modellhez képest? Mit nevezünk fajlagos energiafelszabadulásnak? Mi a jele és a mértékegysége? Milyen törési feltételt állapít meg a törésmechanika energia elmélete? Milyen kapcsolat áll fenn a fajlagos energiafelszabadulás és feszültségintenzitási tényezők között az egyes terhelési módok esetében? Ez a lineáris törésmechanikáról szóló összefoglaló eredetileg az Önálló Feladat 2 nevű tárgyhoz készült. Úgy gondoltam, hogy megosztom veletek, hátha segítelek titeket a törésmechanika alapjainak megértésében. Amennyiben a rövid összefoglalóban hibát találtok vagy egyéb észrevételetek van kérlek írjátok meg nekem a tihanyikaroly@freemail.hu e-mail címre. Mindenkinek sikeres és hosszú távon hasznos felkészülést kívánok! Irodalomjegyzék [1] Dr. Gillemot László: Anyagszerkezettan és anyagvizsgálat, 1967 IBSN 963 18 7527 x [2] Horst Blumenauer Gerhard Pusch: Műszaki törésmechanika, 1987 IBSN 963 10 6718 1 [3] Dr. Csizmazia Ferencné: Anyagismeret I. diasor www.sze.hu/~csizm/gepipari%20mernokasszisztens.../negyedik.pdf [4] www.banki.hu/~aat/oktatas/gepesz/anyagtudomany1/mechavi2.ppt [5] Dr Krállics György Reé András: Törés diasor www.att.bme.hu/oktatas/bmegemtamt1/letoltes/.../tores_ais_09.p... [6] http://www.scielo.br/scielo.php?pid=s1516-14392011000200004&script=sci_arttext