II.1. RAJZOLD LE EGY VONALLAL! Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Kombinatorika, geometria, gráfelmélet alapvető ismereteinek elsajátítása egyszerű feladatokon keresztül. Előzmények Tulajdonképpen konkrét ismeret alig szükséges. A páros szám, páratlan szám fogalmakat kell ismerni. Cél A kombinatorikus gondolkodás fejlesztése rajzoláson, szabályalkotáson, szisztematikus megszámláláson és számoláson keresztül, érvelés és esetleges vitafolyamat segítségével. A modellalkotás és a szövegértés fejlesztése. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben + Ismeretek alkalmazása + Tájékozódás az időben Problémakezelés és -megoldás + Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban + Alkotás és kreativitás + Tapasztalatszerzés + Kommunikáció + Képzelet + Együttműködés + Emlékezés + Motiváltság + Gondolkodás + Önismeret, önértékelés + Ismeretek rendszerezése A matematika épülésének elvei + Ismerethordozók használata Felhasználási útmutató A gráfelméleti alapfogalmak bevezetéséhez is használható a feladatsor, ebben az esetben nyugodtan lehet válogatni is a feladatok közül. A 2. feladathoz otthon is lehet készíteni további rajzokat, ábrákat, esetleg konkrét figurális ötleteket is meg lehet valósítani, azaz az elkészült rajz valamilyen jól felismerhető konkrét dolgot ábrázoljon (például arc, jármű, növény). Az 1. feladat megoldásakor egy-egy jó rajz elkészítése után ösztönözzük a gyerekeket az összes lehetséges kiindulópont megtalálására. A lehetetlenség [1. b) 3. ábrája, c) 2. ábrája] észrevétele és igazolása néha segítséggel is nehéz. Ha lehetséges, bátran biztassuk a gyerekeket szabályalkotásra! A 2. feladattal kapcsolatban várhatóan jó ábrák születnek majd. Mindenképpen kérjünk kifejezetten egyszerű ábrát, valamint olyat is, ami ránézésre bonyolult, de jól látszik rajta a lerajzolhatóság vagy annak lehetetlensége. A 3. és a 4. feladatban fontos a szöveg alapos megértése; továbbvisszük a gráfelméleti gondolatot (más-más absztrakciós szinten), és előkerül a lehetőségek szisztematikus megszámolása is. II. Kombinatorika, gráfok II.1. Rajzold le egy vonallal! 1.oldal/5
RAJZOLD LE EGY VONALLAL! Feladat sor RAJT CÉL GYŐZELEM 1. Rajzold le egy vonallal a ceruza felemelése nélkül az alábbi ábrákat! (A már megrajzolt vonalon még egyszer áthaladni nem szabad, megrajzolt vonalat keresztezni szabad.) Az ábra melyik pontjában lehet egy sikeres rajzolást elkezdeni? Keresd meg az összes ilyen pontot! Jelöld ezeket színessel! a) b) c) 2. a) Tervezz olyan ábrákat, amit le lehet rajzolni egy vonallal! Legyen közöttük olyan ábra, ami látszólag bonyolult, de könnyen meg tudod mutatni, hogy le lehet rajzolni. [Például ilyen az 1. a) feladat 3. ábrája.] Legyen közöttük olyan ábra, ami egy konkrét dolgot felismerhetően ábrázol. b) Tervezz olyan ábrát, amit nem lehet lerajzolni egy vonallal! II. Kombinatorika, gráfok II.1. Rajzold le egy vonallal! 2.oldal/5
ÚTFESTÉS Az alábbi térképen Gibabó sziget úthálózatát látjuk. Az utak mindig két települést kötnek össze, és ha két út találkozik, akkor az egyiket a másik fölött felüljáróként építették meg. Az országutakon középen van egy felfestett folyamatos vagy szaggatott vonal, a máshol is szokásos módon. A festés azonban már kissé elkopott, ezért megbízzák Mekk Elek mestert az újrafestéssel. A mester úgy kalkulál, hogy minden útvonalon elég pontosan egyszer végigmennie a festést végző kis járművel, így az a legolcsóbb megoldás, ha minden úton csak egyszer jár. Mekk Elek úgy dönt, hogy a festést Sebonában kezdi és Yamiban fogja befejezni. Sebona Tufi Pamta Ambala Yami 3. a) Helyes volt-e Mekk Elek döntése? Ha igen, miért? Ha nem, honnan kellene indulnia és hol kellene befejeznie? b) Hányféleképpen juthat Mekk Elek Sebonából Yamiba, ha a lehető legtöbb útfestést akarja elkészíteni úgy, hogy frissen festett úton még egyszer ne menjen végig? Olyan jól sikerült az útfestés Gibabón, hogy három közeli sziget is megrendelte az utak csíkozásának újrafestését. Az útfestést hasonló elven szeretnék megvalósítani mint Gibabón: lehetőleg minden úton csak egyszer kelljen végigmenni. A három szigeten az utak szintén mindig két települést kötnek össze, és ha két út találkozik, akkor az egyiket a másik fölött felüljáróként építették meg. (Két település között természetesen egynél több közvetlen utat nem építettek, és bármely településről el lehet jutni bármelyikre az utak mentén.) A szigetekről beküldték az úthálózatok tervrajzát Mekk Elek logisztikai központjába, de ott véletlenül egy-egy tintapaca csöppent a térképekre. Szerencsére a fekete folt alatt település nem volt. 4. Döntsd el, hogy melyik úthálózatot lehet újrafesteni úgy, mint Gibabó szigetén, és melyik úthálózat festését nem lehet ilyen módon elvégezni! Sosa Reju Babuna Yube Finti Sal Sana Qanda Vanba Mamsu Tuka Peve Gimu Pojo Awuba Rudu Ugvi Yuwuwa sziget Bisunda sziget Umada sziget II. Kombinatorika, gráfok II.1. Rajzold le egy vonallal! 3.oldal/5
MEGOLDÁSOK 1. a) A rajzolás a három ábra bármelyik pontjában elkezdhető. [Lásd a b) megoldásában.] b) Az első két ábrát csak a megjelölt pontokban elkezdve lehet lerajzolni egy vonallal, a harmadik ábrát pedig nem lehet egy vonallal lerajzolni. c) Magyarázat: Figyeljük meg a csúcsokat! (Csúcs alatt most a sokszögek csúcsát értjük.) Ha egy csúcson a rajz közben áthaladunk, akkor egy bejövő és egy kimenő vonalat elhasználtunk. Így áthaladáskor mindig kettővel csökken a csúcsnál megrajzolandó vonalak száma. Akkor vagyunk készen, ha minden csúcsnál elfogytak a vonalak. Ha egy pont nem kezdő vagy befejező pont a rajzban, akkor ott páros sok vonalnak kell találkoznia. (Csak így csökkenhet nullára a megrajzolandó vonalak száma.) A kezdőpont és a befejező pont különleges. Ha nem esnek egybe, akkor a rajtuk áthaladó vonalpárokon kívül a kezdőpontnál van még egy kimenő kezdővonal, illetve a végpontnál van még egy bejövő záróvonal, azaz itt páratlan sok vonal találkozik. Ha a kezdőpont és a végpont egybeesik, akkor minden pontban páros sok vonal találkozott. Egy vonallal lerajzolható ábránál más eset nincs. A harmadik ábrán azonban négy olyan pont is van, amelynél páratlan sok vonal fut össze. Így ezt nem lehet lerajzolni egy vonallal. [A megfogalmazásban szándékosan kerültük a gráfelméleti terminológiát, de ha a tanár úgy gondolja, bátran lehet használni az idevágó fogalmakat.] Az első és a harmadik ábrát csak a megjelölt pontokban elkezdve lehet lerajzolni egy vonallal, a második ábrát pedig nem lehet egy vonallal lerajzolni, a magyarázat ugyanaz, mint a b) feladatban. II. Kombinatorika, gráfok II.1. Rajzold le egy vonallal! 4.oldal/5
2. a) Látszólag bonyolult ábrák: 1 2 3 Ugyanúgy lerajzolható, mint az 1. a) 3. ábrája. A lerajzolás iránya például a vastag szaggatott pöttyözött vonalak mentén halad. b) Felismerhető rajz, például egy autó: 3. a) Mekk Elek döntése helyes, hiszen Sebona és Yami azok a települések, ahonnan páratlan számú út indul ki, és csak ezek azok. Tehát Sebonában kell kezdenie a festést, és Yamiban kell befejeznie, vagy fordítva. b) A települések kezdőbetűjét használjuk. Sebonából Yamiba érkezve az összes utat át tudja festeni Mekk Elek a feltételeknek megfelelően. A lehetséges útsorrendek: STYAPSY SPAYTSY SYAPSTY STYSPAY SPAYSTY SYTSPAY Tehát hatféleképpen juthat el Sebonából Yamiba. 4. Yuwuwa sziget: meg lehet valósítani a kívánt módon történő festést. Minden településről két-két út indul. Bármelyik településen elkezdve az festést a továbbhaladás biztosított és egyértelmű. A végén visszaérkezünk a kiindulási helyre. (Meg lehet kérdezni, hogy hányféleképpen lehet elvégezni a festést? Válasz: Bármely településen elkezdhetjük, és a kezdésnél két útból választhatunk, a többi már ezek után egyértelműen adódik, tehát tízféleképpen.) Bisunda sziget: meg lehet valósítani a festést. Pojótól Quanda felé haladva a településekből induló utak száma: 1, 2, 2, 3, 2. Mivel két páratlan úttal rendelkező település van, így a terv megvalósítható, ha valamelyikükből indul a festés, akkor a másik településen ér majd véget. Umada sziget: nem lehet megvalósítani a festést. Négy olyan település is van, amiből három-három út indul [lásd 1. b)]. II. Kombinatorika, gráfok II.1. Rajzold le egy vonallal! 5.oldal/5