Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Kanizsai Rita Zenei fogalmak és rendszerek a matematika nyelvén BSc szakdolgozat Témavezet : Dr. Gergó Lajos Numerikus Analízis Tanszék Budapest, 2012
Tartalomjegyzék 1. Bevezet 4 1.1. Zeneelméleti bevezet............................ 4 1.1.1. A hang, és tulajdonságai...................... 5 1.1.2. Egyéb zenei deníciók....................... 6 1.2. Matematikai bevezet............................ 11 1.2.1. Csoportelméleti fogalmak..................... 11 1.2.2. Számelméleti fogalmak....................... 14 2. Matematikai formalizmussal meghatározott zenei fogalmak 16 2.1. Zenei alapfogalmak............................. 16 2.2. További zenei deníciók.......................... 18 3. Algebra a zenében 20 3.1. Az temperált kromatikus skála struktúrája................ 20 3.1.1. A h függvény ekvivalens deníciója................ 21 3.1.2. Az kromatikus temperált hangsor, mint csoport......... 22 3.2. A kvintkör.................................. 24 3.2.1. A kvintkör haszna a zenében.................... 27 4. Együtt megszólaló hangok 29 4.0.2. Harmónia.............................. 29 4.0.3. Hangzatforma............................ 32 4.0.4. Harmóniaforma........................... 34 1
4.1. Következmények............................... 35 5. Nem-temperált kromatikus skálák 37 5.1. A hangok zikája.............................. 37 5.1.1. Két hang együttes rezgése..................... 38 5.2. A Püthagoreusok számelmélete a zenében................. 40 5.3. BolyaiBaumgartner-féle diatonikus skála................. 41 5.4. Konszonancia................................ 42 5.4.1. A konszonanciafok kialakulásának matematikatörténete..... 42 5.4.2. Egy mai konszonanciadeníció................... 46 6. Skálák összehasonlítása 49 7. Befejezés 52 2
El szó Két igencsak távoli terület. Mégis mi közük lehet egymáshoz? A zene és a matematika már az ókortól kezdve összefonódva él egymás mellett. Nem véletlen, hogy a matematika legnagyobbjai mind foglalkoztak a zeneelmélettel. Püthagorasztól elkezdve, Mersenne, Euler és Gauss mind kiváló matematikusok, akiknek jelent s zeneelméleti fejtegetéseik is fennmaradtak. A magyarok közül hadd említsem meg a Bolyaiakat, Fejér Lipótot és Farkas Gyulát, akik kit n en hegedültek, zongoráztak, és többen közülük olyan magas zenei képzettséggel rendelkeztek, hogy magánórákat is adtak, továbbá komolyan foglalkoztak a zene elméletével is. Sokan talán azt gondolják, hogy a zene, mint m vészet, egyfajta logikátlansággal teli és csupán megérzéseken alapuló tudomány, míg a matematika egy nagyon is racionális, jól felépített, logikus és ellentmondásmentes következtet rendszer. Talán azt mondhatná a laikus, hogy a két területben semmi hasonlóság nincsen. Mégis azt állítom, és ezt az állítást helyezem dolgozatom középppontjába, hogy a zeneelmélet egy matematikailag jól megragadható és modellezhet rendszer. A zenét, nevezetesen a zeneelméletet nagyon is szoros kapcsolat f zi össze a matematikával. Egy halmazelméleti és algebrai alapokon nyugvó, és az elméleti nyelv segítségével egzaktul leírható tudomány, s mint ilyen, felépített, rendszerezett és axiómák illetve deníciók egymásra épülésén alapul. S t továbbmenve azt állítom, hogy az elméleti nyelvvel még a homályos zeneelméleti fogalmak is pontosabbá tehet k. Vannak fogalmak, amiknek a jelentésében, pontos meghatározásában máig nem tudtak megállapodni a zeneelmélet kidolgozói. Erre mi a matematikai formalizmus segítségével teszünk majd kísérletet. A dolgozat témája tehát a zene és a matematika kapcsolatainak feltárása, a zene matematikai nyelven való megalapozása, továbbá zenei deníciók pontosítása, matematikai megfogalmazása, egy olyan rendszer kiépítése, mely a matematika és a zene közötti átmeneteket tartalmaz. Az el szó befejezéseként szeretnék köszönetet mondani Dr. Gergó Lajos tanár úrnak, aki mellém állt a témaválasztáskor, és mind technikai, mind szakmai problémákban segítséget nyújtott, illetve Balázsnak a források fordításáért. 3
1. fejezet Bevezet 1.1. Zeneelméleti bevezet Els ként vegyük sorra azokat a zenei alapfogalmakat, melyeket a dolgozat során használni fogunk. Ezekkel a deníciókkal szeretném a fogalmak laikus értelmezését pontosítani, hogy a vizsgálódás során egyértelm en hivatkozhassunk rájuk. Fontos megjegyezni, hogy ebben a részben a fogalmak jelentését inkább zenei, tapasztalati szemszögb l adjuk meg. A bevezet ben igyekeztem a zeneelmélet alapjait tömören megfogalmazni, így a deníciók ugyan veszítenek egzaktságukból, de teljeskör vizsgálódásra e dolgozat sajnos nem nyit teret. Célom csupán az, hogy a f bb zenei fogalmaknak matematikai hátteret adjak. A zeneelmélet egy egyszer sített formáját dolgozom fel a dolgozatban, így a bonyolult zenei fogalmakkal nem ismertetem meg az olvasót, és a deníciókat is csak a további vizsgálódásnak megfelel részletességgel adom meg. A zeneelméletben sokszor még maguk a zenészek és komponisták között sincs egyetértés a fogalmak tekintetében. Az egyértelm ség érdekében a zeneelméleti bevezet ben a fogalmakat Kesztler L rinc elmélete alapján dolgoztam fel, és ezen meghatározásokból indultam ki. [2] 4
1.1.1. A hang, és tulajdonságai El ször deniáljuk, hogy mi a hang, és vegyük sorra a f tulajdonságait. 1.1.1. Deníció. Hang A hang olyan zikai jelenség, melyet hallás útján érzékelünk. A hang keletkezésekor a leveg rezgésbe jön, és hanghullámok (rezgések) formájában terjed. Attól függ en, hogy a rezgés periodikus-e vagy egyenl tlen beszélhetünk zenei hang-ról, zörej -r l illetve dörej -r l. [6] A dolgozat során a hang szót ezen els, zenei hang értelmezésében használjuk. A hang zenei vonatkozású tulajdonságait elemezve, azt mondhatjuk, hogy a hangnak négy f tulajdonsága van, ezek: hang magassága hang id tartama hanger sség hangszín 1.1.2. Deníció. Hangmagasság A hangmagasságot a hangjel frekvenciájával azonosítjuk. A frekvencia mértékegysége a Hz, ami megadja, hogy hány rezgés történik egy másodperc alatt. A hangmagasság a frekvenciával logaritmikus összefüggésben áll. Ennek oka, hogy az emberi érzékszervek általában logaritmikusan érzékelik az ingereket. Attól függ en, hogy a hang milyen frekvenciájú beszélhetünk infrahangról, ultrahangról. A kett között helyezkedik el az emberi fül számára is érzékelhet hangok tartománya. (Lásd 1.1 táblázat) 1.1.3. Deníció. Hang id tartama A rezgés kezdetét l annak megsz néséig tartó id tartam. Mértékegysége: sec. 5
Elnevezés Infrahang Hallható hang Ultrahang Frekvencia < 16 Hz 16-20000 Hz > 20000 Hz 1.1. táblázat. Hangok frekvencia szerinti csoportosítása 1.1.4. Deníció. Hanger sség A hanger a hangrezgés amplitúdója. Értékét akusztikus decibelben mérik. A hanger sséget szintén egy logaritmikus összefüggés jellemzi, és a következ képlettel számolható ki: ( p ) 2 L p = 10 log 10 p 0 ahol p a hang nyomása az emberi fül membránján. A decibel egy arányon alapuló dimenzió nélküli mutató, ahol valamilyen referenciaszinthez viszonyítjuk a vizsgált hangnyomást. A p 0 referenciaszint a nulla érzethez tartozó inger, más néven ingerküszöb. [20][6] 1.1.5. Deníció. Hangszín A hangszín egy hangjelnek a frekvenciatartományi viselkedése, a hang és a felharmonikusok (b vebben lásd 5.4.2. alfejezetben) együtthangzása. A dolgozat során a hangoknak csak egy tulajdonságával, a hangmagassággal foglalkozunk, a másik hármat az elméletben gyelmen kívül hagyjuk. Ezt a tulajdonságot próbáljuk meg átvinni a matematika fogalomtárába, és egyértelm megfeleltetéseket keresni az ehhez a tulajdonsághoz kapcsolódó zenei fogalmak és a matematika között. 1.1.2. Egyéb zenei deníciók Hangmagassághoz kapcsolódó fogalmak A rezgésszámnak, s így a hangmagasságnak nincsen határa, ezért az elméletileg lehetséges magasságú, különböz hangok száma végtelen. A hangoknak ezt az összességét zikai hangkészlet-nek nevezzük. A fent már említett hallható tartományba es 6
frekvenciák képezik a ziológiai hangkészlet -et. A zenében használt hangok száma azonban töredéke ezeknek a hangkészleteknek. A dallamok leírásához használt hangok összességét zenei hangkészlet-nek nevezzük. A zenei hangokat az ABC nagybet ivel jelöljük. Alább látható a zenei hangok egy része, (a hét f zenei hang), azok nevei, és helyük a szokásos ötvonalas rendszerben. Ezeket nevezzük törzshangok -nak. G C D E F G A H A szokásos ötvonalas rendszer öt vízszintes alapvonal-ból, és ennek megfelel en négy vonalköz -b l áll. A hangokat kottafejek jelölik, ezek a vonalakon, és a vonalközökben helyezkedhetnek el. A vonalak és vonalközök számozását lentr l indítva felfelé növeked sorrendben adjuk meg. A törzshangoknak rögzített helyük van az ötvonalas rendszerben. A sor elején található jel az úgynevezett violin-kulcs, más néven G-kulcs. Ez adja meg a G hang helyét, hiszen a második vonalról indul, ennek megfelel en a G hang is a második vonalon helyezkedik el, és ehhez képest adott a többi hang helye. 1.1.6. Deníció. Hangköz A hangköz két hang magasságbeli viszonya. Az egyes szomszédos törzshangok között nem egyforma hangtávolság van. A hangok között lehet egy egészhang-nyi távolság, vagy félhang-nyi. Két félhangnyi távolság értelemszer en egy egészhangnyi távolságnak felel meg. A félhangot más néven kis szekund-nak, míg az egészhangot nagy szekund-nak is szokás nevezni. A törzshangok sorában a szomszédosak közötti hangtávolságokat, azaz, hogy mely hangok között van egész-, és melyek között félhang, alább láthatjuk: C 1 D 1 E 1 2 F 1 G 1 A 1 H 1 2 C A nevezetes hangközök elnevezését látjuk a következ 1.2. táblázatban, ahol a távolság kifejezés (a továbbiakban is) félhang-egységekben értend. 7
Hangköz neve Távolság Tiszta prím 0 Kis szekund 1 Nagy szekund 2 Kis terc 3 Nagy terc 4 Tiszta kvart 5 Sz kített kvint 6 Tiszta kvint 7 Kis szext 8 Nagy szext 9 Kis szeptim 10 Nagy szeptim 11 Oktáv 12 1.2. táblázat. A hangközök elnevezései A törzshangokon kívül származtatott zenei hangok is vannak, ezeket a törzshangok módosításával kapjuk. Ehhez bevezetjük a módosítójel fogalmát. 1.1.7. Deníció. Módosítójel A (bé), (kereszt) és (feloldójel) jeleket módosítójeleknek nevezzük, ahol egy félhanggal lejjebb, félhanggal feljebb szállítja a hangot, pedig megszünteti az el z két jel érvényességét. Így egy teljes 12 hangból álló hangsorozatot kapunk, mely a törzshangokon kívül a származtatott hangokat is tartalmazza. Minden zenei m ebb l a 12 zenei hangból, mint elemi épít kövekb l épül fel. A törzshangok és a módosított hangok könnyen értelmezhet k úgy, mint a zongora fehér, illetve fekete billenty i. (Lásd 1.1. ábra) 1.1.8. Deníció. Skála/Hangsor A skála hangok hangmagasság szerint növekv sorozata. 8
1.1. ábra. A zongora billenty i Diatonikus skálá-nak nevezik azokat a hétfokú hangsorozatokat, melyek a fent megadott C-D-E-F-G-A-H skálához hasonlóak, azaz a különböz szomszédos hangok távolsága vagy egészhang, vagy félhang, és félhang csak a harmadik és negyedik, illetve a hetedik és nyolcadik sorszámú hangok között lehet. A kromatikus skála olyan skála, melyben tizenkét hang szerepel, melyeknek egymástól való távolsága félhang. A kromatikus skálán belül vannak skálák, melyekben minden hang egyforma félhang-távolságra van egymástól, ezeket temperált skálá-nak nevezzük, ám ezek mellett vannak olyan skálák, ahol a két szomszédos hang távolsága nem rögzített, hanem több különböz nagyságú félhang szerepel a skálában. Ezeknek az eltérése ugyan nagyon kicsi, de mégis van köztük különbség. Ezeket a félhangok közötti eltéréseket kommák-nak nevezzük. A dolgozat során kromatikus skálákkal fogunk foglalkozni, és azon belül mindkét csoportba tartozó skálákkal. A 2. 3. és 4. fejezetben a temperált, míg az 5. fejezetben a nem-temperált skálákkal dolgozunk. Itt láthatjuk a temperált skála hangjat, jelöléseit és a hangok helyét az ötvonalas rendszerben. A két skála egymással ekvivalens. G G C C 4 Cisz 2 Desz D D 4 Disz 2 Esz E E F F 4 Fisz 2 Gesz G G 4 Gisz 2 Asz A A 4 Aisz 2 B H H C' C' 1.1.9. Deníció. Tonika A skála els eleme. Más néven alaphangnak is nevezik. 9
1.1.10. Deníció. Transzponálás Egy hang n-nel való transzponáltján értjük azt a hangot, melyet úgy kapunk, hogy az eredeti hangot n-félhanggal feljebb szállítjuk. Ugyanígy értelmezhet egy skála n-nel való transzponáltja, ekkor a skála minden elemét n félhanggal feljebb szállítjuk. Egyéb szükséges fogalmak A hang id tartam paraméterével, mint már említettem a dolgozat során nem foglalkozunk, így a különböz elnevezéseket csak említés szintjén tárgyaljuk, pusztán a kés bbi példák megértése végett. Hang neve Hang jele Egész Fél Negyed ˇ Nyolcad ˇ ( Tizenhatod ˇ ) Harmincketted ˇ * 1.3. táblázat. A hangok id tartam szerinti jelölései, és elnevezései Attól függ en, hogy a hangok milyen hosszú ideig szólnak, bevezetünk különböz jeleket a különböz ideig megszólaló hangokra. A hangok megszólalásának id arányának elnevezéseit a 1.3 táblázat mutatja. Az id tartam mértéke egy 1-nél kisebb dimenziótlan törtszám, ezt a darab elején, a violin-kulcs után jelölik. Az egységet szintén a darab elején jelöljük a következ képpen: ˇ = 80, ahol a szám azt adja meg, hogy hány egység szólal meg percenként. 1.1.11. Deníció. Hangzat Az egyid ben megszólaló hangokat hangzatnak nevezzük. Általában a laikus értelmezésben disszonáns hangzat az, ami "rosszul" hangzik, és konszonáns az, amelyik "szépen". A konszonancia fogalma máig nem tisztázott, sok 10
elmélet létezik arra, hogy mi a "szépenhangzás" deníciója. Itt egyet bemutatunk ezekb l (Kesztler, 1959. 181182. o. [2]), és kés bb a matematika segítségével adunk pontosabb választ. 1.1.12. Deníció. Konszonancia Két hang együttes megszólalásának összehangzása. A hangzat olyan jellemz je, mely mutatja, hogy mennyire érezzük a megszólaló hangokat egymáshoz tartozónak. Disszonancia ennek az ellentéte. Legtökéletesebb konszonáns akkord a prím és az oktáv, a leginkább disszonáns hangzat pedig a szekund és a szeptim. 1.2. Matematikai bevezet A zene rövid elméleti áttekintése után helyezzük át gyelmünket most a matematika, azon belül is f ként az algebra tudományára. A további fejezetek megértéséhez szükségünk lesz bizonyos alapszint csoportelméleti és számelméleti fogalmak bevezetésére. Célom ebben az alfejezetben, hogy bepillantást nyerjünk a fels bb matematika világába. Ehhez Fuchs László [4] jegyzetét használtam fel. 1.2.1. Csoportelméleti fogalmak 1.2.13. Deníció. Csoport Olyan G algebrai struktúra, melyben teljesülnek a következ axiómák: 1. Bármely g 1, g 2 G elemekhez létezik g 3 G, hogy g 1 g 2 = g 3. 2. Bármely g 1, g 2, g 3 G elemekre g 1 (g 2 g 3 ) = (g 1 g 2 )g 3. 3. Létezik e G, melyre minden g G-re teljesül, hogy eg = g. 4. Bármely g G-hez létezik g 1 G, hogy gg 1 = e teljesül. A fenti axiómák a következ képpen értelmezhet k. Az (1) axióma szerint a csoportban adott egy m velet, és bármely két csoportbeli elemre a m veletet elvégezve csoportbeli elemet kapunk. A m veletet deniálhatjuk külön jobb- illetve baloldali 11
m veletként, mi most azonban az egyszer ség kedvéért a további deníciókban is két oldali m veletként tekintünk rá. Továbbá a (2) axióma kimondja, hogy a m velet asszociatív. A (3) axióma jelentése, hogy létezik egy úgynevezett egységelem, mellyel bármely g csoportbeli elemre a m veletet elvégezve g-t kapjuk. Az utolsó, (4) állítás szerint minden elemnek van inverze. Ha teljesül a kommutativitás tulajdonság, akkor kapjuk a következ struktúrát: 1.2.14. Deníció. Abel-csoport Az olyan csoportokat, melyekben teljesül, hogy minden g 1, g 2 Gre teljesül, hogy g 1 g 2 = g 2 g 1, Abel-csoportnak, vagy más néven kommutatív csoportnak nevezzük. A dolgozatban nagy jelent sége lesz a ciklikus csoport fogalomnak, ehhez azonban néhány egyéb csoportelméleti fogalmat is be kell még vezetnünk. 1.2.15. Deníció. Részcsoport A G csoport egy H részhalmazát részcsoportnak nevezzük, ha H elemei a G-beli m veletre nézve maguk is csoportot alkotnak. 1.2.16. Deníció. Generált részcsoport Legyen H a G csoport egy tetsz leges részhalmaza, akkor a G csoport összes, H-t tartalmazó részcsoportjának metszete szintén csoport, ezt nevezzük a G csoport K által generált részcsoportjának. 1.2.17. Deníció. Generátorelem A g G elemet generátorelemnek nevezzük, ha a g által generált csoport éppen a G csoport. 1.2.18. Deníció. Ciklikus csoport G csoportot ciklikusnak nevezzük, ha egyetlen elemmel generálható. G =< g > A denícióból következ en kétféle ciklikus csoportot különböztetünk meg, aszerint hogy G-nek végtelen, vagy véges sok eleme van, végtelen ciklikus csoport -nak, illetve véges ciklikus csoport -nak nevezzük. Az els esetben G elemei {g 0 = e; g; g 2 ; g 3 ;...} mind különböz ek. A második esetben g k = g l adódik. 12
1.2.19. Deníció. Descartes-szorzat A és B halmazok Descartes-, vagy direkt szorzatán értjük azon (a; b) rendezett párok halmazát, melyre teljesül, hogy a A és b B.[16] Jelölés: A B := {(a, b) : a A, b B} 1.2.20. Deníció. Reláció Az A és B halmazok Descartes-szorzatának egy R részhalmazát az A és B halmazok közötti kétoldali relációnak nevezzük. Ha (a, b) R akkor ezt arb-vel is szokás jelölni. [16] 1.2.21. Deníció. Ekvivalencia-reláció Egy A alaphalmazon értelmezett relációt, melyre igaz, hogy részhalmaza A A-nak ekvivalencia-relációnak nevezünk, ha teljesül, hogy a reláció: 1. reexív, azaz minden a A-ra teljesül, hogy a a 2. szimmetrikus, azaz minden a, b A-ra teljesül, hogy ha a b akkor b a 3. tranzitív, azaz minden a, b, c A-ra teljesül, hogy ha a b és b c, akkor a c. 1.2.22. Deníció. Ekvivalenciaosztályok Az ekvivalenciaosztályok az A alaphalmaz azon x, y elemeinek halmaza, melyekre teljesül, hogy x y. 1.2.23. Deníció. Relációk szorzata Egy R 1 A B és R 2 C D relációk szorzatán azt az R 1 R 2 A D relációt értjük, amely azoknak az (a, d) A D elemeknek a halmaza, melyek esetén létezik olyan c B C, melyre ar 1 c és cr 2 d teljesül. [17] 1.2.24. Deníció. Faktorhalmaz Ha R egy ekvivalenciareláció A-n, akkor az {R(x) x A} halmazt, ahol R(x) az x A elem ekvivalenciaosztályát jelöli, A/R-rel jelöljük, és A-nak az R-szerinti faktorhalmazának nevezzük. 13
A fenti halmazokra kimondott deníciók csoportokra is értelmezhet k, de ezek közül csak a faktorcsoport deníciójára lesz szükségünk, így ezt vezetjük be a következ deníciókon keresztül. 1.2.25. Deníció. Mellékosztályok Legyen H a G részcsoportja, és a G. Ekkor az ah részhalmazt a G csoport H részcsoport szerinti baloldali mellékosztályának nevezzük. Az a ah az ah egy reprezentánsa. 1.2.26. Deníció. Normálosztó, normális részcsoport Ha H részcsoport G-ben, és teljesül, hogy minden a G-re az a szerinti jobb- és baloldali mellékosztályok megegyeznek, azaz ah = Ha, akkor H-t normálosztónak, vagy normális részcsoportnak nevezzük. Jele: H G Az el z deníciókból következik az alábbi állítás: 1.2.1. Állítás. Kommutatív csoportban minden részcsoport normálosztó. 1.2.27. Deníció. Faktorcsoport Ha N normálosztó G-ben, akkor N szerinti mellékosztályok csoportot alkotnak az alábbi m veletre nézve: (an)(bn) := (ab)n Ezt nevezzük a G csoport N normálosztó szerinti faktorcsoportjának. Jele: G/N 1.2.2. Számelméleti fogalmak 1.2.28. Deníció. Kongruencia Legyenek a és b egész számok, és m pozitív egész. Azt mondjuk, hogy a kongruens b-vel, modulo m, ha m a b. [12] Jelölés: a b (mod m) 14
1.2.29. Deníció. Maradékosztály Rögzített m modulus mellett az a-val kongruens elemek halmazát az a által reprezentált maradékosztálynak nevezzük. [12] 1.2.30. Deníció. Teljes maradékrendszer Ha rögzített m modulus mellett minden maradékosztályból egy és csak egy elemet kiveszünk, akkor az így kapott számokat teljes maradékrendszernek nevezzük mod m. [12] 15
2. fejezet Matematikai formalizmussal meghatározott zenei fogalmak Ebben a fejezetben a két, látszatra egymástól távoli terület közelítését láthatjuk. A matematika alapját a halmazelmélet axiomatikus felépítése adja. Adottak deniálatlan alapfogalmak, melyekb l egy egész tudományt, magát a matematikát fel tudjuk építeni. Tekintsünk úgy a zenére, mint egy ilyen, még "fel nem épített tudomány"-ra, és próbáljuk meg alapfogalmakból kiindulva matematikai módszerekkel, és szemlélettel felépíteni azt. Ebben a fejezetben az els fejezet néhány zeneelméleti denícióját fogjuk formalizálni, és így újradeniálni, illetve ezek segítségével, még nem deniált fogalmakat is meg tudunk majd adni. Az els fejezetben azért adtuk meg a fogalmak kicsit ugyan pongyola zeneelméleti jelentéseit, hogy ebben a fejezetben hivatkozhassunk rájuk. E témakör kidolgozásában Rudolf Wille [1] gondolatai voltak segítségemre. 2.1. Zenei alapfogalmak Ahhoz, hogy elméleti nyelven tudjunk beszélni, szükségünk van néhány deniálatlan alapfogalom bevezetéséhez. Ezek legyenek a hang és a hangmagasság. További alapfogalmak lehetnének a hangszín, a kiadott hang id tartama, illetve a hanger sség, ezekre most nem térünk ki, mert jelen dolgozatban csak egyparaméteres modellre szorítkozunk. A hangrendszer a zenei hangkészlet azon hangjaiból álló alaphalmaz, amelyb l az 16
összes zenei m megszerkeszthet, és minden zenei struktúra ezen elemi épít kövekb l felépíthet. A hangrendszerb l származtathatók a skálák, harmóniák és esetleges dallamminták. [22] A fenti megállapítás egyik logikus elméleti következtetése, hogy nincs zenei hang a hangrendszeren kívül. A gyakorlatban persze el állíthatók zenei hangok bizonyos hangszereken, (például a heged n), de a rendszer felépítésénél ki kell jelentenünk, hogy zeneelméletileg nem ismerhetünk el hangrendszeren kívüli hangokat. [22] A hangrendszer halmazelméleti fogalmakkal való felírásához vegyük a T halmazt, és egy h injektív leképezést {h : T R + }. Jelölje a hangrendszert egy rendezett pár: (T ; h). T elemeit nevezzük hangok-nak, és a h(t) érték pedig legyen a t hanghoz tartozó hangmagasság. 2.1.31. Deníció. Temperált hangrendszer Deniáljuk a (T ; h) hangrendszert a következ szerint: T := { 48, 47,..., 35, 39} és h(t) := 440 2 t 12 (t T ) Ezzel megadtuk az Európában elterjedt temperált hangrendszert. [1] 2.1.1. Megjegyzés. A zenében különös jelent sége van emiatt alaphangnak is szokás nevezni az A hangnak, aminek a frekvenciája 440 Hz. A többi hangot ehhez viszonyítva adják meg. Mechanikai hatásra a hangvilla rezg ágai között is ez a hang szólal meg. Ezért a t = 0-hoz rendelt hangmagasság éppen 440 Hz. 2.1.2. Megjegyzés. Mi alapján választottuk meg a T alaphalmazt? A T halmaz lehetne végtelen elemb l álló halmaz is, viszont akkor olyan hangokat is kapnánk, melyek nincsenek benne a fülünk által érzékelhet tartományban. Viszont ha utánaszámolunk, akkor az is kiderül, hogy a megadott alaphalmaz jóval sz kebb, mint a hallható tartomány hangjai. Ennek oka nagyon egyszer : a skála deníciójában a hagyományos zongora billenty inek hangjait deniáltuk, a hangmagasság pedig a kiadott hang frekvenciájának felel meg Hz-egységekben. [21] 17
2.1.3. Megjegyzés. Egy másik elterjedt skála: T := {0, 1, 2,..., 79, 80} h(t) := 100 5 t 25 (t T ) Ezt a skálát a modern közel-keleti zenében használják. Az ebben a hangrendszerben íródott dallamot makám-nak nevezik. [19] Ebben a denícióban a hangmagasságot nem Hz-ben kapjuk meg, hanem centben, ami egy másik gyakran használt hangmagasságmértékegység. A fenti halmazelméleti denícióval akármilyen hangrendszert deniálhatnánk. A gyakorlatban a fenti két példán kívül több hangrendszert is használnak a világban, melyek azonban az európai zenéhez szokott fülnek szokatlanok. 2.2. További zenei deníciók 2.2.32. Deníció. Hangzat Ha K halmaz T halmaznak egy véges részhalmaza, akkor K halmazt hangzatnak nevezzük. Ha K = n, akkor a a hangzatot n-hangzat-nak nevezzük. Egy n elemb l álló rendezett hangzatot rendezett n-hangzat-nak nevezünk. 2.2.33. Deníció. Hangköz A két hangból álló rendezett hangzatok esetén a hangzatban szerepl két hang magasságának arányát hangköznek nevezzük. n = 2 és (t 1 ; t 2 ) rendezett pár esetén a hangközt a g : T 2 R + függvénnyel adhatjuk meg, [1] ahol g(t 1 ; t 2 ) := h(t 2 ) : h(t 1 ). 18
2.2.2. Állítás. Az oktávtól eltekintve g minden hangközhöz egy irracionális számot rendel. Bizonyítás: A hangköz deníciójából kiindulva g(t 1 ; t 1) = 440 2 t 1 12 440 2 t 1 12 = 2 t Ha feltesszük, hogy 12 t 1 t 1, akkor a kitev ben racionális szám szerepel, ami azt jelenti, hogy g irracionális. Ha a kitev ben a t 1 t 1 osztható 12-vel, akkor a két hang távolsága oktáv vagy annak többszöröse. 1 t 1 12 19
3. fejezet Algebra a zenében 3.1. Az temperált kromatikus skála struktúrája A zene egy nagyon jelent s és nélkülözhetetlen fogalma a skála, vagy más néven hangsor. A bevezet ben deniáltam a fogalmat, most már csak az a feladatunk, hogy ezt matematikai formalizmussal megadjuk. A temperált kromatikus skálának 12 hangja van. Ezeket meg tudjuk adni a szokásos (T ; h) hangrendszerben úgy, hogy vesszük az A T részhalmazt, és a szokásos h függvénnyel megadva a különböz frekvenciákat, a frekvenciákhoz a hangok elnevezéseit rendeljük. 2.1.1. megjegyzésben említettük, hogy történeti okok miatt az alaphang az A=440 Hz, és a denícióból a frekvenciáját úgy kapjuk meg, hogy a t-t 0-nak választjuk. Következésképpen a temperált kromatikus hangsort úgy kaphatjuk meg, hogy a T alaphalmazból az A := { 9, 8,..., 2} részhalmazt kell kiválasztanunk ahhoz, hogy az ezen számokhoz tartozó hangmagasságok éppen a temperált hangsor hangjait adják meg. Ezzel egy probléma adódik, hogy 0-hoz nem a hangsor kezd hangját, a C-t rendeltük. 20
3.1.1. A h függvény ekvivalens deníciója A további elemzések érdekében adjuk meg a h(t) = 440 2 t 12 függvény egy ekvivalens alakját: A ĥ és h függvények közötti kapcsolat: ĥ(t) := 262 2 t 12 262 2 t+9 12 = 440 2 t 12 Tehát az eredeti h függvényen függvénytranszformációt hajtottunk végre. alaphang helyett a hangsort C hangról tudjuk indítani. Így az A A zeneelméletben a kromatikus skála szokásosan C-r l indul. Ennek matematikai következménye, hogy ezzel az átalakítással A = { 9, 8,..., 2} halmaz helyett vehetjük  := 0, 1, 2,... 11. A  h(a) = ĥ(â) Név -9 0 262 C -8 1 277 Cisz -7 2 294 D -6 3 311 Disz -5 4 330 E -4 5 349 F -3 6 370 Fisz -2 7 392 G -1 8 415 Gisz 0 9 440 A 1 10 466 Aisz 2 11 494 H 3.1. táblázat.  T halmazt, ahol A továbbiakban ezzel a módosított  halmazzal dolgozunk. A h és ĥ függvényekre a továbbiakban nem lesz közvetlenül szükségünk. 21
a 1, 3.1.2. Az kromatikus temperált hangsor, mint csoport Azonosítsuk az  halmazban szerepl számokat a neki megfelel hangelnevezésekkel. Így a hangok helyett a 0, 1... 11 számokkal számolhatunk. Elméleti síkon, mint ahogyan említettem, a T alaphalmaz elemszáma végtelen is lehetne. Ekkor T alaphalmaz éppen Z halmaznak felelne meg. Kézenfekv nek t nik a temperált kromatikus hangsor hangjaira úgy tekinteni, mint az alaphalmaz mod 12 vett elemei. Ezt a halmazt nevezzük a mod 12 vett maradékosztályok halmazának. Vegyük észre, hogy a  elemei éppen ezek a maradékosztályok. Deniáljunk egy m veletet az  halmazon! Összeadáson értsük a következ t: a 2  esetén a 1 a 2 := a 1 + a 2 (mod 12). (Megjegyezzük, hogy az összeadás itt pusztán elméleti m velet, természetesen a valóságban így nem lenne értelme két hangot összeadni, hiszen ez azt jelentené, hogy a zongorán két billenty t lenyomva egy harmadik hangot hallanánk. Matematikailag azonban bevezethet, és így érdekes dolgokat tudunk levezetni.) 3.1.3. Állítás.  halmaz a m veletre nézve csoportot alkot. [3] Az állítást általánosan igazoljuk. 3.1.4. Állítás. A mod m vett maradékosztályok az összeadásra nézve csoportot alkotnak. Bizonyítás: A bizonyításhoz igazoljuk a csoportaxiómák teljesülését. Mivel a 1, a 2 Z ebb l következik, hogy (a 1 + a 2 ) Z, és létezik olyan k Z, hogy az ã := a 1 + a 2 km összeg eleme lesz a csoportnak, vagyis 0 ã m 1. Az egész számok közötti összeadás asszociativitása miatt teljesül, hogy (a 1 + a 2 ) + a 3 a 1 + (a 2 + a 3 ). Válasszuk az egységelemet 0-nak! Ekkor minden a Â-ra teljesül, hogy a + 0 a (mod m) 22
Kell, hogy minden a Â-ra létezik egy a 1, hogy a + a 1 0 (mod m) Mindkét oldalból levonva a-t kapjuk, hogy a 1 a m a (mod m) Mivel 0 m a m 1, ezért m a Â. Így megkaptuk, hogy a mod m, (jelen esetben m = 12) vett maradékosztályok csoportot alkotnak. Ezt Z + m-al (Z + 12) jelöljük. Mivel a kongruencia ekvivalenciareláció, ezért az összeadás kommutatív, tehát a Z + 12 csoport Abel-csoport. A fenti Z + 12 csoport egy ciklikus a C 12 csoport, hiszen van olyan g Z + 12, hogy a g generálja az egész csoportot. Jelen esetben g := 1 esetén < g >= Z + 12. Konklúzióként megkaptuk, hogy ahogyan a mod 12 vett elemek, úgy a nekik megfelel hangok is sorban ciklikusan követik egymást. Tehát a C, Cisz,..., H hangok után ismét C, Cisz,... hangok következnek. Ez a zeneelméletben is így van. Ha a zongorára gondolunk, akkor észrevehetjük, hogy a 1.1. ábrán bemutatott minta a zongora klaviatúráján egymás után ismétl dik, méghozzá hétszer. Matematikailag a ciklus végtelenszer ismétl dik, de ennek a zenében zikai határai vannak. Az ötvonalas hangrendszerben a bevezet ben deniált szabályt követve a hangsort lefelé és felfelé is folytathatjuk. Ha már az els vonal alá kerülünk, vagy az ötödik vonal fölé, akkor úgynevezett pótvonalak segítségével tudjuk b víteni a lekottázható hangok számát. A végeredmény tehát, hogy a kromatikus temperált skála 12 hangjából minden dallam el állítható. A skála hangjai, mint ekvivalenciaosztályok Az egész számok halmaza a szokásos összeadásra csoportot alkot. Mivel az összeadás kommmutatív, ezért Z Abel-csoport is. 23
Az egész számok részcsoportja a 12Z csoport, hiszen 12Z Z, és 12Z csoport, hiszen bármely két 12-vel osztható szám összege osztható 12-vel, az összeadás asszociatív, az egységelem itt is a 0, és minden elem inverze az ellentettje. Mivel ez a csoport is kommutatív, ezért 1.2.1. értelmében 12Z normálosztó is. Vegyük az egész számok additív csoportját és faktorizáljuk a 12Z additív csoporttal. A kapott faktorcsoport Z/12Z éppen a mod 12 vett teljes maradékrendszer. A teljes maradékrendszer elemei éppen a faktorizálás ekvivalenciaosztályai. [3] Az egyes ekvivalenciaosztályok tehát a következ k: C := 0 + 12Z, Cisz := 1 + 12Z,..., H := 11 + 12Z. A zene nyelvén ez azt jelenti, hogy az egymástól 12 félhangra, azaz egy oktávra lév hangok egy ekvivalenciaosztály tagjai. Ezen oknál fogva nevük megegyezik, de ennél fontosabb következmény, hogy nem különböztetjük meg ket egymástól. Azaz az oktávnyi távolságra lév hangok annyira összetartoznak mind hangzásilag, és most már elméletileg is, hogy szinte ugyanarról a hangról beszélünk. 3.2. A kvintkör 1 Feladat. Vegyük a C 12 csoportot, és keressük meg a generátorelemeit! mint Az el z pontban láttuk, hogy az 1 generátoreleme, mert bármely n C 12 el áll, 1 + 1 + + 1 }{{} n 3.2.5. Állítás. Ciklikus C m csoportban minden olyan elem, mely m modulushoz relatív prím, generátoreleme a csoportnak. Bizonyítás: Ha g C m relatív prím m-hez, azaz (m; g) = 1, akkor a legkisebb k Z szám, melyre kg 0 (mod 12) éppen a modulus. Ha g nem lenne relatív prím a modulushoz, akkor nem generálhatná a csoportot, hiszen akkor az általa generált csoport minden tagja osztható lesz l = (m; g) l 1 számmal, azaz < g > C m 24
A feladat megoldásainak száma tehát négy, a generátorelemek pedig az 1, 5, 7, 11 számok. A generátorelemeket és az általuk generált teljes maradékrendszereket a 3.2 táblázat prezentálja: (mod 12) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 5 5 10 3 8 1 6 11 4 9 2 7 0 7 7 2 9 4 11 6 1 8 3 10 5 0 11 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 3.2. táblázat. Generáljunk most hangsorozatokat ezen generátorelemek segítségével, azaz a számoknak feleltessük meg a hozzájuk tartozó hangokat. Vizsgáljuk meg, hogy milyen hangsorozatokat kapunk. Az 1-el generált hangsor éppen a kromatikus temperált hangsor, ezzel nem foglalkozunk, ugyanúgy a 11-el generált hangsorral sem, hiszen ez ugyanez a hangsor fordított sorrendben véve a hangokat. Számunkra nagyobb jelent séggel bírnak az 5-tel és 7-tel generált sorozatok. Vegyük az ezen generátorokkal generált sorozatokban a számokhoz tartozó hangokat. Az eredményt a 3.3 táblázat mutatja. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 g=5 5 10 3 8 1 6 11 4 9 2 7 0 F B Esz Asz Desz Gesz H E A D G C g=7 7 2 9 4 11 6 1 8 3 10 5 0 G D A E H Fisz Desz Asz Esz B F C 3.3. táblázat. Hasonlítsuk össze a táblázatot a 3.1. ábrával! 25
3.1. ábra. Kvintkör Induljunk ki a C hangtól, ami a kör tetején található. Ha negatív irányban haladunk a kör mentén, láthatjuk, hogy éppen a 7-es által generált teljes maradékrendszer hangjait kaptuk meg. [3] Ezt az objektumot nevezik a zenészek kvintkörnek, és a zenében nagyon nagy jelent sége van. Azért nevezik kvintkörnek, mert a 7 távolság megegyezik a tiszta kvint hangközzel. A 7 + 5 0 (mod 12) egyenl ség teljesüléséb l következik, hogy 7 5 (mod 12). Ha most a másik irányban haladunk a kör mentén C-t l kezdve, akkor megkapjuk a másik, az 5 generátor szerinti sorrendet, ami valóban ugyanaz, mintha a 7-tel generált kör mentén haladnánk visszafelé. Ezt kvartkörnek nevezik, mert az 5 távolság éppen a tiszta kvart hangköznek felel meg. Megjegyezzük, hogy ha a C-t l két irányba indulunk el, akkor a hatodik lépésben a két irány találkozik a közös F = G hangnál. Ez a következ levezetésb l adódik. Vonjuk ki egymásból a két egyenletet: 7 6 42 42 30 = 12 0 (mod 12) 5 6 30 26
3.2.1. A kvintkör haszna a zenében A dalt a tonalitása azaz hangneme jellemzi. Ez azt jelenti, hogy a dal csak meghatározott törzshangokból épül fel, továbbá, hogy egy adott hangon (alaphang/tonika) végz dik, és sok esetben ugyanezen a hangon is indul. A dal végén szerepl tonika lezártságot ad a dallamnak. Szépnek, konszonánsnak, befejezettnek érezzük a dallamot. A tonalitás ezeket a törzshangokat és a tonikát határozza meg. [2] Egy egyszer példán bemutatva: GS ˇ ˇ ˇŁˇ ˇ ˇ Ö ˇ Łˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ Ö ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ A tonika határozza meg a dal el jegyzéseit is (a és módosítójeleket, és számukat). A fenti egyszer (Boci, boci c.) népdal alaphangja C, hiszen ezen a hangon végz dik. A dal tehát C tonalitású. Ha a sor elejét tekintjük, akkor látjuk, hogy a dal kezd hangja is C. Mivel a népdal hangneme C, így a sor elejére nem került el jegyzés. Nézzük meg ugyanezt a dallamot de más alaphangról indulva. Kezdjük a dalt most G-r l. A kottakép ekkor így alakul: G 4 S ˇ Łˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ Łˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ Öˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ Öˇ ˇ ˇ Ahhoz, hogy maga a dallam ugyanaz maradjon, viszont egy magasabb G hangfekvésben halljuk, minden F hangot fél hanggal feljebb kell szállítani. Ezt mutatja a el jegyzés a sor elején. Ha a dalt D-r l kezdtük volna, akkor két kereszt került volna a sor elejére, ha A-ról, akkor három kereszt stb. Viszont ha F-r l kezdenénk, akkor egy el jegyzéssel indulna a kotta. Ezt a kvintkör jól reprezentálja. Ha a kör tetején lév C-t l jobbra indulunk, akkor a keresztes tonalitásokat látjuk, ha pedig balra indulunk akkor a -s tonalitásokat. Attól függ en, hogy hányadik helyen áll a C-hez viszonyítva az adott tonalitás bet jele, annyi el jegyzés kerül majd a kotta elejére. A kör alján a sorok összeérnek, így tehát az, hogy hat -et vagy hat -t látunk a kotta elején, az egymással egyenérték. 27
Azt, hogy adott tonalitásban mely hangok lesznek módosítva, onnan tudjuk, hogy a törzshangok egymástól vett távolságainak a korábban tárgyalt C hangnem diatonikus hangsorban lév távolságaival kell megegyeznie. C 1 D 1 E 1 2 F 1 G 1 A 1 H 1 2 C Ezeknek a távolságoknak minden hangfekvésben rögzítettnek kell lennie a hangsorban. Tehát a távolságokat kiszámítva a módosított hangsorok törzshangjai 3.4 táblázat szerint alakulnak. Tonalitás El jegyzés Törzshangok sorrendben C C D E F G A H G G A H C D E Fisz D D E Fisz G A H Cisz A A H Cisz D E Fisz Gisz E E Fisz Gisz A H Cisz Disz H H Cisz Disz E Fisz Gisz Aisz Fisz/Gesz Fisz Gisz Aisz H Cisz Disz F Desz Desz Esz F Gesz Asz B C Asz Asz B C Desz Esz F G Esz Esz F G Asz B C D B B C D Esz F G A F F G A B C D E 3.4. táblázat. A kvintkörben kapott tonalitásokat dúr hangnemeknek nevezzük. A tonikák után a kapott hangnemek neve C-dúr, G-dúr, F-dúr stb. Végeredményként megkaptuk, hogy ez az elegáns és matematikailag egyszer en megadható konstrukció, ami a zenészek és komponisták által egy automatikusan használt eszköz, egy pontos csoportelméleti következmény. 28
4. fejezet Együtt megszólaló hangok A 2.1. fejezetben már deniáltuk az n-hangzat és a rendezett n-hangzat fogalmát, továbbá egy hangköz terjedelmét, azaz két hang távolságát. A hangzat deníciója magában foglalta, hogy az alaphalmazból tetsz legesen kiválaszthatunk egy részhalmazt, az mindig hangzat lesz, az egyetlen kritérium, hogy a hangok egyszerre szólaljanak meg. Tehát, ha a zongorán kiválasztunk 10 billenty t, és ezeket a billenty ket egyszerre lenyomva megszólaltatjuk, akkor egy általános tizeshangzatot kapunk. Ezeket az általános hangzatokat szeretnénk ebben a fejezetben csoportosítani, osztályozni. 4.0.2. Harmónia A harmóniákat az egyszerre megszólaló hangok alkotják, de számuk a hangzatokénál jóval kevesebb, hiszen a harmóniák speciális hangzatok. Nem összekeverend a laikus értelemben használt harmonikus szó az itt deniált harmóniával. A harmónia nem kell, hogy konszonáns (harmonikus) hangzatú legyen, azt is harmóniának hívjuk, ami disszonáns hangok összessége. A kritérium csak annyi, hogy több hang szóljon egyszerre. A harmóniákat más néven akkordoknak is nevezzük. [23] 1. Példa. A harmónia fogalmát egy példán keresztül vezetjük be. Lássuk a következ két hangzatot: 29
ˇ ˇˇˇˇˇˇ G ˇˇˇ Ha zongorán megszólaltatjuk a két hangzatot, akkor azt tapasztaljuk, hogy fülünk nem érez különbséget a két hangzás között. Mindkét akkord a C, E és G hangokból épül fel, csak a második egy oktávval magasabb C', E' és G' hangokat is tartalmaz. Fülünk számára azonban mindkét hangzat ugyanúgy szól, csak az egyik nagyobb hangtömeget képvisel, de harmonikus szempontból ugyanannak tekinthet. Lássunk egy matematikai konstrukciót a fenti két különböz hangzat invarianciájára! A harmóniák invarianciájának elégséges feltétele a harmóniahangok oktávcseréje. Az oktávcserék az elméleti nyelvben kétoldali relációként értelmezhet k. jelöljük Ω-val. 34. Deníció. Hangzatok halmaza A relációt Legyen k(t ) az összes, a temperált (T ; h) hangrendszerben képezhet összes hangzat halmaza. 35. Deníció. Oktávcsere (Ω) Legyen Ω a k(t ) halmazon értelmezett reláció. Ekkor minden K, K k(t )-ra KΩK fennáll, ha minden t 1 K, t 2 K -höz található t 1 K, t 2 K és z 1, z 2 Z, melyekre g(t 1, t 1) = 2 z 1 és g(t 2, t 2) = 2 z 2. KΩK tehát azt jelenti, hogy K hangzat K hangzatból és ugyanúgy K hangzat K hangzatból egyes hangok oktáváthelyezésével származtatható. 2. Példa. Vegyük a következ két hármashangzatot: 1. G ˇˇ 2. G ˇˇˇ Legyen a (T ; h) hangrendszer a temperált hangrendszer. Ekkor mindkét hangzat k(t ). Az 1gyel jelölt hangzatot jelölje K, a 2vel jelölt hangzatot pedig K. Mindkét hangzat három hangból áll, és ebb l kett -kett a két hangzatban megegyezik. A két 30
harmadik hang között éppen egy oktávnyi távolság van. Ekkor a deníció szerint KΩK, hiszen kizárólag oktávcserékkel az egyik hangzatból megadható a másik. A két hangzat a T alaphalmaz két részhalmaza: K, K T K = { 9; 2; 7} K = { 2; 3; 7} Látható, hogy a két halmaz csak egyetlen elemében tér el. Legyen Ekkor g(t 1 ; t 1) = 440 2 t 1 12 440 2 t 1 t 1 := 9 t 1 := 3 12 = 2 t Tehát z 1 = 1 Z, így a kívánt feltétel teljesül. 6. Állítás. Igazoljuk, hogy Ω ekvivalenciareláció. 1 12 t 1 12 = 2 3 ( 9) 12 = 2 1 Bizonyítás: Az állítások könnyen igazolhatók az oktávcsere deníciója alapján. Deníció szerint Mivel 0 Z ezért ez a feltétel teljesül. akkor Ha teljesül, hogy Mivel z Z, ezért z Z. Ha teljesül a következ két feltétel: g(t; t) = h(t) h(t) = 20 g(t K ; t L ) = h(t L) h(t K ) = 2t L t K = 2 z g(t L ; t K ) = h(t K) h(t L ) = 2t K t L = 2 z. g(t K ; t L ) = 2 i és akkor igaz, hogy g(t L ; t M ) = 2 j g(t K ; t M ) = 2 i+j. 31
Mivel i, j Z, ezért i + j Z. Mivel Ω ekvivalenciareláció, ezért a létrehozhatjuk k(t )/Ω faktorhalmazt. 36. Deníció. A k(t )/Ω elemeit, azaz Ω ekvivalenciaosztályait nevezzük harmóniáknak. A zene nyelvére lefordítva tehát oktávcsere erejéig két hangzatot egymással egyenérték nek tekintünk. 4.0.3. Hangzatforma 3. Példa. Vegyük a következ két hármashangzatot: 1. 2. G ˇˇˇ G 4ˇ ˇ ˇ A fenti 4.0.2 deníció alapján nem igaz, hogy ez a két hangzat egymással invariáns lenne, azaz nem taroznak egy harmóniába, hiszen kizárólag oktávcserékkel nem lehetne az egyiket a másikká átalakítani. A két hangzat között azonban mégis van hasonlóság, mégpedig az egyes hangok közötti távolságok. A legmélyebb hang és a középs hang közötti távolság nagy terc, a legmélyebb és a legmagasabb hangok távolsága pedig tiszta kvint. Tehát a két hangzat "felépítése" megegyezik. A két hangzat közötti kapcsolat feltárásához be kell vezetnünk a transzponált fogalmát. 37. Deníció. Deniálja az r-rel való transzponálást egy (T ; h) hangredszerben értelmezett τ r : T T (r R + ) függvény, [1] ahol τ r := {(t 1 ; t 2 ) t 1, t 2 T g(t 1, t 2 ) = r} A transzponálás egy injektív, m velettartó leképezés, T -b l T -be, de általában az értelmezési tartomány nem az egész alaphalmaz D(τ r ) T, hiszen nem szükségszer az egész hangsort transzponálni. A hangrendszerek transzponálásának feltételével egy kétoldali relációt deniálhatunk k(t )-n. 32
38. Deníció. Legyen Φ olyan reláció, ahol K, K k(t ) esetén KΦK teljesül, ha létezik egy r R +, hogy τ r (K) = K. Ez azt jelenti, hogy egyik hangzat a másikból transzponálás útján megkapható és fordítva. (Lásd az el bbi példát, amelyben a C, G, E hangok egy egészhanggal feljebb való transzponálása során megkapjuk, a D, Fisz, A hangokat.) 7. Állítás. Φ ekvivalenciareláció k(t ) halmazon. Bizonyítás: Itt szintén az ekvivalenciareláció három tulajdonságát igazoljuk. Legyen r := 1, ekkor τ r (K) = K. Ekkor minden K k(t ) esetén KΦK. Ha K, L k(t ) és KΦL, akkor létezik r R + hogy τ r (K) = L. Vegyük 1/r R + -t, ekkor teljesül, hogy τ 1/r (L) = K, tehát LΦK. Ha K, L, M k(t ) és teljesül, hogy KΦL és LΦM, akkor létezik olyan r, q R +, hogy τ r (K) = L és τ q (L) = M. Ekkor igaz, hogy τ rq (K) = M, tehát KΦM. Mivel Φ szintén ekvivalenciarelációnak bizonyult k(t )-n, vegyük a k(t )/Φ faktorhalmazt. 39. Deníció. Φ ekvivalenciaosztályait, azaz a transzponálásra invariáns alakzatokat hangzatformáknak nevezzük. Ez azt jelenti, hogy a hangzatokat transzponálás erejéig egymással invariánsnak tekintjük, azaz a hangzatban a hangok rögzítése helyett a köztük lév távolságokat rögzítjük. Nevezetes hangzatformákra példa az összes hangköz, továbbá a dúr illetve moll hármashangzat-formák. A dúr hármashangzat felépítése: [alaphang], [alaphang+nagy terc], [alaphang+tiszta kvint], míg a moll-hármashangzat felépítése: [alaphang], [alaphang+kis terc], [alaphang+tiszta kvint]. A hármashangzatok közül fontos megemlíteni még a sz kített és a b vített hármashangzatokat. A négyeshangzatok közül példaként megemlíthet a domináns szeptimakkord. A lista természetesen nem 33
ˇˇˇˇ ˇ ˇ teljes, hiszen a hangzatformáknak elég sok variációját el állíthatjuk, itt most csak a legfontosabb hangzatformákat soroltuk fel. Az el bbi példák szemléltetése a következ ábrán látható C alaphanggal. Az els sorban a hangközök, a második sorban pedig rendre a dúr-, moll-, sz kített és b vített hármashangzatok, illetve a domináns szeptimakkord négyeshangzat szerepel. G 2ˇ ˇ ˇˇ 2ˇ 2ˇ ˇ ˇˇ ˇˇ ˇ ˇ ˇ 2ˇ ˇ ˇ ˇ 2ˇ ˇ ˇ ˇ G ˇˇˇ 2ˇˇˇ 2ˇ ˇ 4ˇˇˇ 4.0.4. Harmóniaforma 4. Példa. Példaként vegyük a következ két hangzatot: 4ˇˇ G ˇˇˇ 4ˇˇˇ ˇ A fenti deníciók alapján már tudjuk, hogy oktávcserékkel és transzponálással a két hangzat egy alakra hozható. (Ha második hangzatot egy egészhanggal letranszponáljuk, és a három legfels hangot egy oktávval lejjebb szállítjuk, akkor éppen az els hangzatot kapjuk.) Vezessük be a Ω Φ relációt k(t )-n. Az el z ek alapján, ha minden t 1 K-hoz létezik egy t 2 L és z Z, hogy g(t 1, t 2 ) = 2 z akkor KΩL. Továbbá, ha létezik olyan r R +, hogy minden t 2 L-hez létezik t 3 K, hogy g(t 2, t 3 ) = r, akkor LΦK. Ezek alapján K(Ω Φ)K fennáll, ha minden t 1 K-hoz létezik z Z, r R + és t 3 K, melyre teljesül, hogy g(t 1, t 3 ) = 2 z r. 8. Állítás. Ω Φ is ekvivalenciareláció K(T )-n. Bizonyítás: Az el z ek alapján ez triviálisan következik. 34
4.1. Következmények Ebben a fejezetben bevezettünk különböz fogalmakat, melyekkel egyszer bbé tettük a hangok világát, és egyfajta rendezettséget hoztunk létre a hangzatok között. A fenti deníciók természetesen tetsz legesen deniált skálára igazak, mi azonban az eddig is használt temperált skála rendszerével dolgozunk, és a példákat is ebb l a skálából hoztuk. A transzponálás és oktávcsere fogalmak bevezetésekor azonban kihasználtuk, hogy a már mindenki számára ismert C-Cisz-D-Disz-E-F-Fisz-G-Gisz-A-Aisz-H kromatikus temperált hangsor minden egyes hangja egy adott rögzített frekvenciához tartozó hangmagasság elnevezése. 4.1.4. Megjegyzés. A zene elméletben gyakran találkozunk a dó-ré-mi-fá-szó-lá-ti szolmizációs hangsorral. Jogosan merül fel a kérdés, hogy mi a különbség a szolmizációs hangsor, és a fenti rögzített frekvenciájú hangokból álló temperált hangsor között. Amint azt fent említettük a temperált skála hangjai rögzített hangmagassághoz (frekvenciához) tartoznak, tehát például az A hang alatt a 440 Hz frekvencián megszólaló hangot értjük. A szolmizációs hangsorban a hangok frekvenciája nem kötött, tehát ez a hangsor a temperált hangsorból, és annak transzponáltjaiból áll. A hangok távolsága a két skálában megegyezik. A szolmizáció tehát nem a hangokról, hanem a hangviszonyokról ad információt. Így tehát a szolmizációs skálára úgy is tekinthetnénk, mint a hétfokú (diatonikus) skála hangzatformájára, viszont a skála és a hangzat fogalmak között zenei értelmezésbeli különbség van, (az egyikben a hangok egyszerre szólalnak meg, a másik pedig sorozat), így ezt nem tesszük meg. Miért van szükség a szolmizációs skálára? Attól függ en, hogy egy adott dallamnak mi a tonikája, ezt feleltetjük meg a dó szolmizációs hangnak. Így, ha egy dalt különböz hangnemekbe transzponálunk, (lásd 3.4. táblázat), a szolmizált alakja ugyanaz marad. 4.1.5. Megjegyzés. A harmóniák és harmóniaformák szisztematikus kombinatorikus rendszerezését jelen dolgozatban nem teszem meg, hiszen egy hasonló témájú munkát találhatunk Ádám András [9] szerkesztésében. A cikk témája éppen a harmóniaformák áttekintése és táblázatba foglalása. A szerz a harmóniaforma helyett a hangkészlet kifejezést használja, viszont ez a szóhasználat jelen munkában ellentmondásba ütközne azzal, 35
hogy a bevezetésben hangkészlet alatt az összes képezhet hangot deniáltuk. A szerz a cikkben ugyanúgy oktávcserére invariánsnak tekinti a hangokat, és a transzponálás segítségével (azt m veletnek tekintve) alakít ki osztályokat, rendszerezve a harmóniaformákat. 36
5. fejezet Nem-temperált kromatikus skálák 5.1. A hangok zikája A nem temperált skálák bevezetéséhez el ször is vizsgáljuk meg, hogy zikailag mi történik egy hang megszólalásakor. Kísérleti tapasztalat, hogy hangot akkor hallunk, hogy ha valamely rezg test, más szóval hullámforrás, megfelel intenzitású és frekvenciájú hullámai a közvetít közeg nyomásingadozásai révén hangingert, majd hangérzetet váltanak ki bennünk. A hangforrás általában valamilyen rezg test, vagy közeg. (Például a rezg hangvilla ága, rezg gitárhúr, a sípokban rezg leveg oszlop.) A bevezet ben említettem, hogy egy hangot akkor nevezünk zenei hangnak, ha a rezgés periodikus. A hang tehát hullámjelenség, s mint ilyen, a következ függvénnyel jellemezhet : [6] y(x, t) = A sin(ωt kx) Az A, ω és k paraméterek, míg x változó a vízszintes helykoordináta, t pedig az id változását jelöli. y függvény a hullám kitérését adja meg adott t id pillanatban adott x helyen. A hang, ahogy az egyenletb l is látszik, szinuszosan változó periódikus hullámként terjed. A periodicitás miatt további paraméterekkel is jellemezhet, úgy, mint T periódusid (egy periódus megtételéhez szükséges id ), λ hullámhossz, (az a távolság mely 37
alatt a hullám egy periódusa lezajlik), és az f frekvencia, (id egység alatt megtett periódusok száma). A hullám id -kitérés függvénye 2 1.5 sin(x) 1 0.5 Kitérés 0-0.5-1 -1.5-2 0 2 4 6 8 10 12 14 Id Fontosnak tartom megemlíteni, hogy a hang a longitudinális hullámok csoportjába tartozik, melyekre fennáll, hogy a rezgések a haladás irányában keletkeznek, ellentétben a transzverzális hullámokkal, melyeknél a rezgések a haladási irányra mer legesek. A fenti egyenlet a longitudinális hullámokra is igaz, csak az y értelmezése módosul. Ebben az esetben nem a haladási iránytól való kitérést, hanem az x-re mer leges rezgési síkok kitérését fogja jelenteni. [6] 5.1.1. Két hang együttes rezgése Vizsgáljuk meg, mi történik, ha két különböz frekvenciájú hangot egyszerre szólaltatunk meg. A két szinuszfüggvényt indítsuk az origóból! Mikor fog a két függvény újra y = 0-ban találkozni? 5.1.5. Példa. Tegyük fel, hogy az egyik hang hullámhossza λ 1 = 2 a másiké pedig λ 2 = 3. Azaz az egyik hullám 2, a másik 3 id egység alatt tesz meg egy periódust. A két hullám közös állapotba kerüléséhez a két hullámhossz legkisebb közös többszörösének, azaz 6 id egységnek kell eltelnie. (5.1. ábra) A hullámhossz, mint azt a zika elmélete levezeti fordított arányosságban áll a frekvenciával, és az arányossági tényez a hullám terjedési sebessége, (jelen esetben c = 38
5.1. ábra. 340m/s). A c = λf képlet jellemzi a összefüggést. Így a fenti jelenség akkor is fennáll, ha hullámhossz helyett frekvenciáról beszélünk. Ha két hangot együtt szólaltatunk meg, vagyis kettes-akkordot vagy hangközt hozunk létre, akkor a hangközt tudjuk úgy jellemezni, mint a frekvenciák arányát. Ez a modell teljesen beleillik a 2.2.33. denícióban megadott hangköz-denícióba, miszerint, hogyha a hangközben szerepl két hang hangmagasságainak arányát vesszük, akkor megkapjuk a hangköz terjedelmét. A fenti deníció és e tapasztalati meghatározás közti különbség abban rejlik, hogy a 4. fejezetben a g(t 1 ; t 2 ) irracionális szám is lehetett, itt viszont g(t 1 ; t 2 ) Q +. 5.1.6. Példa. Vegyük a 440 Hz frekvencián megszólaló A hangot, és a 880 Hz magasságú A' hangot. A két frekvencia aránya 2:1. Így tehát azt kapjuk, hogy az oktáv hangköz ezzel a hányadossal jellemezhet. Tehát e modell szépsége az egész számok közti arányosságokon múlik. A két modell összehasonlítását majd a 6. fejezetben láthatjuk. A következtetés tehát az, hogy minden hangköz adott aránnyal jellemezhet. Ezt kísérletileg is tudjuk igazolni, mégpedig a következ képpen: ha egy gitárhúrt éppen a felénél fogunk le, akkor a húr hangját egy oktávval feljebb halljuk. Ha a húrt a 2/3nál fogjuk le, akkor tiszta kvintet hallunk. Ha a 3/4-nél, akkor tiszta kvartot. Az eredeti kísérletet Püthagorasz és tanítványai végezték egy egy húrból álló monochord nev hangszeren. Ez alapján készítették el a püthagoraszi skálát, melyet a következ alfejezetben fogunk részletesen tárgyalni. [10] 39